תורת החבורות מערכי תרגול קורס

גודל: px
התחל להופיע מהדף:

Download "תורת החבורות מערכי תרגול קורס"

תמליל

1 תורת החבורות מערכי תרגול קורס ינואר 2020, גרסה 1.12 אוניברסיטת בר-אילן סמסטר א תש"ף

2 תוכן העניינים מבוא מבוא לתורת המספרים מבנים אלגבריים בסיסיים חבורות אבליות תת חבורות חבורת אוילר ומציאת הופכי חבורות ציקליות סדר של חבורה וסדר של איבר תת חבורה הנוצרת על ידי איברים החבורה הסימטרית (על קצה המזלג) 9 10 מחלקות שמאליות וימניות משפט לגראנז ושימושים פעולה של חבורה על קבוצה משוואת המחלקות חבורות מוצגות סופית הומומורפיזמים 16 תת חבורות נורמליות חבורת החילופין 18 חבורות מנה משפטי האיזומורפיזם של נתר משפט קיילי 21 משפטי סילו אוטומורפיזמים משפט N/C מכפלות ישרות וישרות למחצה חבורות אבליות נוצרות סופית תת חבורת הקומוטטורים 27 סדרות נורמליות וסדרות הרכב חבורות פתירות נספח: חבורות מוכרות 2

3 מבוא נתחיל עם כמה הערות: דף הקורס נמצא באתר. שאלות בנוגע לחומר הלימודי מומלץ לשאול בדף השיחה באתר של הקורס. יפורסמו תרגילי בית כל שבוע, ומתוכנן בוחן. החומר בקובץ זה נאסף מכמה מקורות, ומבוסס בעיקרו על מערכי תרגול קודמים בקורס אלגברה מופשטת למתמטיקה באוניברסיטת בר-אילן. נשמח לכל הערה על מסמך זה. מחברים בשנת הלימודים תשע"ז: תומר באואר ושירה גילת עדכונים בשנת הלימודים תשע"ח: תומר באואר עדכונים בשנת הלימודים תש"ף: תומר באואר ותמר בר-און 3

4 1 מבוא לתורת המספרים נסמן כמה קבוצות של מספרים: }... 3, {1, 2, = N המספרים הטבעיים..(Zahlen המספרים השלמים (מגרמנית: Z = {0, ±1, ±2, ±3,... } } {0} Z\ Q = p Z, q המספרים הרציונליים. { p q R המספרים הממשיים. C המספרים המרוכבים. מתקיים.N Z Q R C הגדרה 1.1. יהיו,a b מספרים שלמים. נאמר כי a מחלק את b אם קיים k Z כך ש- b,ka = ונסמן.a b למשל משפט 1.2 (משפט החילוק, או חלוקה אוקלידית). לכל d,0 n Z קיימים,q r יחידים כך ש- r n = qd + וגם d r <.0 המשפט לעיל מתאר "מה קורה" כאשר מחלקים את n ב- d. הבחירה בשמות הפרמטרים במשפט מגיעה מלע"ז quotient (מנה) ו- remainder (שארית). הגדרה 1.3. בהנתן שני מספרים שלמים,n m המחלק המשותף המרבי (ממ"מ, greatest (divisor common שלהם מוגדר להיות המספר gcd(n, m) = max {d N : d n d m} לעיתים נסמן רק m).(n, למשל = 2 10).(6, נאמר כי n, m זרים אם = 1 m).(n, למשל 2 ו- 5 הם זרים. הערה 1.4. אם d a וגם,d b אזי d מחלק כל צירוף לינארי של a ו- b. טענה.1.5 אם,n = qm + r אז r).(n, m) = (m, הוכחה. נסמן (m d, =,n) וצ"ל כי (r d. =,m) אנו יודעים כי d n וגם.d m אנו יכולים להציג את r כצירוף לינארי של,n, m ולכן.d r = n qm מכך קיבלנו r).d (m, כעת, לפי הגדרה,m) r) r וגם,m), r) m ולכן,m) r) n כי n הוא צירוף לינארי של.m, r אם ידוע כי (m, r) m וגם,(m, r) n אזי.(m, r) d סך הכל קיבלנו כי.d = (m, r) הערה.1.6 תמיד מתקיים ±m).(n, m) = (m, n) = (±n, 4

5 משפט 1.7 (אלגוריתם אוקלידס). "המתכון" למציאת ממ"מ בעזרת שימוש חוזר בטענה 1.5 הוא אלגוריתם אוקלידס. ניתן להניח m < n 0 לפי ההערה הקודמת. אם = 0,m אזי.(n, m) = n אחרת נכתוב n = qm + r כאשר r < m 0 ונמשיך עם (r,n). (m =,m) (הבינו למה האלגוריתם חייב להעצר.) דוגמה 1.8. נחשב את הממ"מ של 53 ו- 47 בעזרת אלגוריתם אוקלידס (53, 47) = [53 = ] (47, 6) = [47 = ] (6, 5) = [6 = ] (5, 1) = [5 = ] (1, 0) = 1 ואם יש זמן, דוגמה נוספת עבור מספרים שאינם זרים: (224, 63) = [224 = ] (63, 35) = [63 = ] (35, 28) = [35 = ] (28, 7) = [28 = ] (7, 0) = 7 כהערת אגב, מספר השלבים הרב ביותר באלגוריתם יתקבל עבור מספר עוקבים בסדרת פיבונצ י. משפט 1.9 (אפיון הממ"מ כצירוף לינארי מזערי). לכל מספרים שלמים 0 b,a מתקיים כי (a, b) = min {au + bv N u, v Z} בפרט קיימים s, t Z כך ש- tb (a, b) = sa + (זהות בזו). S a,b = {ua + vb u, v Z} הוכחה. נתבונן בקבוצה נשים לב כי S a,b אינה ריקה, כי למשל b±. S a,b יהי d המספר הטבעי הקטן ביותר ב- S. אנו רוצים להראות כי b).d = (a, מפני ש-,d S a,b אז קיימים s, t Z כך ש- tb.d = sa + נחלק את a ב- d עם שארית, ונקבל a = qd + r כאשר r < d.0 כעת מתקיים r = a qd = a q(sa + tb) = (1 qs)a + tb S a,b אבל אמרנו כי d הינו הטבעי הקטן ביותר ב- S, a,b ולכן בהכרח = 0 r. כלומר,d a ובאופן דומה נקבל.d b לכן מהגדרת הממ"מ נובע (b d.,a) מצד שני,,a) (b a וגם 5

6 ,a), (b b ולכן (b,a) מחלק גם כל צירוף לינארי של a ושל b. בפרט,,a), (b d ולכן.(a, b) = d בסך הכל קיבלנו.(a, b) d הוכחה נוספת: ניתן להניח > 0 b,a וקל להוכיח ש-( b.gcd(a, b) = gcd(a b, עבור = 1 b a = מתקיים כי gcd(a, b) = 1 = ונניח שהטענה נכונה עבור כל a. + b < m נוכיח שהיא נכונה עבור a. + b = m אם,a = b אז gcd(a, b) = 1 a + 0 b = a ואחרת b) gcd(a, b) = gcd(a b, והנחת האינדוקציה נכונה עבור.a b, b לכן gcd(a, b) = s(a b) + tb = sa + (t s)b צירוף לינארי כדרוש. הערה 1.10 (לדלג). יהי.n Z נסמן את הכפולות שלו ב-{... ±2n,.nZ = {0, ±n, למשל }... 12, 4, 0, 4, 8, 8, 12,,.. {. =.4Z מן המשפט האחרון נוכל להסיק כי.(a, b) x מתקיים כי x S a,b שכן לכל,S a,b = (a, b) Z תרגיל יהיו,a,b c מספרים שלמים כך ש- 1 = (b,a) וגם.a bc הראו כי.a c פתרון. לפי אפיון הממ"מ כצירוף לינארי, קיימים,s t כך ש- tb = sa + 1. נכפיל ב- c ונקבל.c = sac + tbc ברור כי a sac ולפי הנתון גם.a tbc לכן tbc),a (sac + כלומר.a c מסקנה אם p ראשוני וגם,p bc אז p b או.p c פתרון. אם,p b אז סיימנו. אחרת, p b ולכן = 1 (b,p), ולפי התרגיל הקודם.p c דוגמה כדי למצוא את המקדמים,s t כשמביעים את הממ"מ כצירוף לינארי כנ"ל נשתמש באלגוריתם אוקלידס המורחב: (234, 61) = [234= = ] (61, 51) = [61= = = 61 1 ( ) = ] (51, 10) = [51= = = 51 5 ( ) = ] (10, 1) = 1 ולכן = 1 = 61).(234, כלומר 23 = t.s = 6, טענה תכונות של ממ"מ: א. יהי (m d =,n) ויהי e כך ש- e m וגם,e n אזי.e d 6

7 ב. m) (an, am) = a (n, הוכחה. א. קיימים,s t כך ש- tm d. = sn + כיוון ש- m,e n, אז הוא מחלק גם את צירוף לינארי שלהם,sn + tm ז"א את d. ב. (חלק מתרגיל הבית) שאלה 1.15 (לבית). אפשר להגדיר ממ"מ ליותר מזוג מספרים. יהי d הממ"מ של המספרים.n 1,..., n k הראו שקיימים מספרים שלמים s 1,..., s k המקיימים + 1 s 1 n.k רמז: אינדוקציה על. + s k n k = d הגדרה יהי n מספר טבעי. נאמר כי,a b Z הם שקולים מודולו n אם.n a b כלומר קיים k Z כך ש- kn.a = b + נסמן זאת n) a b (mod ונקרא זאת a" שקול ל- b מודולו n". טענה שקילות מודולו n היא יחס שקילות שמחלקות השקילות שלו מתאימות לשארית החלוקה של מספר ב- n. כפל וחיבור מודולו n מוגדרים היטב. כלומר אם.a + c b + d (mod n) וגם ac bd (mod n) אז,a b, c d (mod n) תרגיל מצאו את הספרה האחרונה של פתרון. בשיטה העשרונית, הספרה האחרונה של מספר N היא (10 N. (mod נשים לב כי 10) (mod לכן = = ( 3 4) 83 3 = (mod 10) = (mod 10) ומכאן שהספרה האחרונה היא 3. בהמשך נגלה מדוע נבחר 3. 4 משפט 1.19 (משפט השאריות הסיני). אם,n m זרים, אזי לכל,a b Z קיים x יחיד עד כדי שקילות מודולו nm כך ש-( n x b (mod m),x a (mod (יחד!). הוכחה. מפני ש- 1 = m),(n, אזי קיימים s, t Z כך ש- 1 = tm.sn + כדי להוכיח קיום של x כמו במשפט נתבונן ב- atm.bsn + מתקיים bsn + atm atm a 1 a (mod n) bsn + atm bsn b 1 b (mod m) ולכן x = bsn + atm הוא פתרון אפשרי. ברור כי גם x = x + kmn לכל k Z הוא פתרון תקף. כדי להראות יחידות של x מודולו nm נשתמש בטיעון קומבינטורי. לכל זוג (b,a) יש x (לפחות אחד) המתאים לו מודולו.nm ישנם בסה"כ nm זוגות שונים (b,a) (מודולו,(nm וכן רק nm ערכים אפשריים ל- x (מודולו.(nm ההתאמה הזו היא פונקציה חח"ע בין קבוצות סופיות שוות עוצמה, ולכן ההתאמה היא גם על. דרך אחרת: אם קיים מספר y המקיים את הטענה, אז n x y וגם.m x y מהנתון = 1 m) (n, נקבל כי (.Z n Z m = Znm נראה גם (בהמשך.x y (mod nm) ולכן nm x y 7

8 דוגמה.1.20 נמצא x Z כך ש-( 3 x 1 (mod וגם 5).x 2 (mod ידוע כי = 1 3),(5, ולכן = במקרה זה = 3 m n = 5, וכן = 2 t,s = 1, ולפי משפט השאריות הסיני אפשר לבחור את = ( 5) 1 =.x אכן מתקיים.7 2 (mod 5) 7 וגם 1 (mod 3) משפט השאריות הסיני הוא יותר כללי. הנה גרסה שלו למערכת חפיפות (משוואות של שקילות מודולו): משפט 1.21 (אם יש זמן). תהא } k {m 1,..., m קבוצת מספרים טבעיים הזרים בזוגות (כלומר כל זוג מספרים בקבוצה הוא זר). נסמן את מכפלתם ב- m. בהנתן קבוצה כלשהי של שאריות k},{a i (modm i ) 1 i קיימת שארית יחידה x מודולו m המהווה פתרון למערכת המשוואות x a 1 (mod m 1 ).. x a k (mod m k ) דוגמה.1.22 נמצא y Z כך ש-ש-( 3 y 2 (mod 5),y 1 (mod וגם 3 y (7.(mod נשים לב שהפתרון = 7 y מן הדוגמה הקודמת הוא נכון עד כדי הוספה של = (כי 3) (mod 0 15 וגם 5) (mod 0.(15 לכן את שתי המשוואות.y 7 (mod 15) ניתן להחליף במשוואה אחת y 2 (mod 5),y 1 (mod 3) נשים לב כי = 1 (7,15) ולכן אפשר להשתמש במשפט השאריות הסיני בגרסה לזוג משוואות. בדקו כי = 52 y מהווה פתרון. הגדרה 1.23 (לבית). בהנתן שני מספרים שלמים,n m הכפולה המשותפת המזערית (כמ"מ, (least common multiple שלהם מוגדרת להיות lcm(n, m) = min {d N : n d m d} בדרך כלל נסמן רק m].[n, למשל = 30 10] [6, ו- 10 = 5].[2, טענה תכונות של כמ"מ: א. אם m a וגם,n a אז.[n, m] a ב. nm.[n, m] (n, m) = למשל 4 6 = 24 = 2 12 = 4) (6, 4].[6, 2 מבנים אלגבריים בסיסיים הגדרה 2.1. אגודה,semigroup) או חבורה למחצה) היא קבוצה לא ריקה S ומפעולה בינארית על S המקיימת קיבוציות (אסוציטיביות,.(associativity כלומר לכל c,a,b.(a b) c = a (b c) מתקיים S דוגמה.2.2,Z מילים ושירשור מילים, קבוצה X עם הפעולה.a b = b 8

9 דוגמה 2.3. המערכת (,Z) אינה אגודה, מפני שפעולת החיסור אינה קיבוצית. למשל.(5 2) 1 5 (2 1) הגדרה 2.4. תהי (,S) אגודה. איבר e S נקרא איבר יחידה אם לכל a S מתקיים.a e = e a = a אגודה שבה קיים איבר יחידה נקראת מונואיד,monoid) או יחידון). דוגמה 2.5. Z, מטריצות ריבועיות מעל שדה, פונקציות על קבוצה X. גם (,N) היא מונואיד, ואיבר היחידה שלה הוא 1. לעומת זאת, (,2N) היא אגודה שאינה מונואיד, כי אין בה איבר יחידה. הערה 2.6. יהי M מונואיד. קל לראות כי איבר היחידה ב- M הוא יחיד. דוגמה 2.7. תהי X קבוצה כלשהי, ותהי (X) P קבוצת החזקה שלה (זהו אוסף כל תת הקבוצות של X). אזי (,(X) P) היא מונואיד שבו איבר היחידה הוא X. מה קורה עבור (,(X) P)? (להמשך, נשים לב כי במונואיד זה לכל איבר a מתקיים.(a 2 = a הגדרה.2.8 יהי e) (M,, מונואיד. איבר יקרא הפיך אם קיים איבר b M כך ש- e.ba = ab = במקרה זה a 1 = b יקרא הופכי של a. תרגיל 2.9 (אם יש זמן). אם aba M הפיך במונואיד, הראו כי גם,a b הפיכים. פתרון. יהי c ההופכי של.aba כלומר abac = caba = e לכן cab הוא הופכי שמאלי של a, ו- bac הופכי ימני של a. בפרט a הפיך ומתקיים.cab = bac לכן מתקיים גם (aca)b = a(cab) = a(bac) = e = (cab)a = (bac)a = b(aca) וניתן להסיק כי aca הופכי שמאלי וימני של b. תרגיל האם קיים מונואיד שיש בו איבר הפיך מימין שאינו הפיך משמאל? פתרון. כן. נבנה מונואיד כזה. תהא X קבוצה. נסתכל על קבוצת ההעתקות מ- X לעצמה המסומנת {X X. X = f} : X ביחס לפעולת ההרכבה זהו מונואיד, ואיבר היחידה בו הוא העתקת הזהות.id ההפיכים משמאל הם הפונקציות החח"ע. ההפיכים מימין הם הפונקציות על (לפי הקורס מתמטיקה בדידה. הוכחה לבית). מה יקרה אם נבחר את X להיות סופית? אם ניקח למשל X = N קל למצוא פונקציה על שאינה חח"ע. הפונקציה שנבחר היא 1) n.d(n) = max(1, לפונקציה זו יש הופכי מימין, למשל + 1 n,u(n) = אבל אין לה הפיך משמאל. 9

10 תרגיל 2.11 (ממבחן). הוכיחו כי לכל מונואיד (,X) הקבוצה (X) P של כל תת הקבוצות הלא ריקות של X מגדירה מונואיד ביחס לפעולת הכפל הנקודתית: A B = {a b a A, b B} ומצאו מי הם האיברים ההפיכים ב-(,(X) P). פתרון. הקבוצה (X) P אינה ריקה, לדוגמה היא מכילה את {e} (כאשר e הוא איבר היחידה של X). הפעולה מוגדרת היטב וסגורה. קל לבדוק כי הפעולה קיבוצית בהתבסס על הקיבוציות של הפעולה ב- X. איבר היחידה ב-(,(X) P) הוא {e}. האיברים ההפיכים במונואיד הן הקבוצות מהצורה {a} עבור a הפיך ב- X (ההופכי הוא } 1.({a אכן, נניח כי (X) A P הפיך. לכן קיימת (X) B P כך שלכל a A, b B מתקיים.ab = e נראה כי = 1. B אחרת קיימים לפחות שני איברים b 1, b 2 B ומתקיים,b 1 a = ab 1 = ab 2 = b 2 a = e ולכן מיחידות ההופכי של a נקבל. A באופן סימטרי = 1.b 1 = b 2 הגדרה חבורה (group),g), (e היא מונואיד שבו כל איבר הוא הפיך. לפי ההגדרה לעיל על מנת להוכיח שמערכת אלגברית היא חבורה צריך להראות: א. סגירות הפעולה. ב. קיבוציות הפעולה. ג. קיום איבר יחידה. ד. כל איבר הוא הפיך. כמו כן מתקיים: חבורה מונואיד אגודה. דוגמה (עבור קבוצה סופית אחת הדרכים להגדיר פעולה בינארית היא בעזרת לוח כפל.) למשל, אם {b S =,a} ונגדיר a b a a b b b a אז קל לראות שמתקיימת סגירות, אסוציאטיביות, a הוא יחידה ו- b הוא ההופכי של עצמו. למעשה, זוהי החבורה היחידה עם שני איברים (עד כדי שינוי שמות). דוגמה קבוצה בעלת איבר אחד ופעולה סגורה היא חבורה. לחבורה זו קוראים החבורה הטריוויאלית. דוגמה C,N,Z,Q,R חבורות ביחס לחיבור. מה קורה עם כפל? (כל שדה הוא חבורה חיבורית ומונואיד כפלי). 10

11 דוגמה לכל n Z מתקיים כי (+ (nz, היא חבורה שאיבר היחידה בה הוא 0. בכתיב חיבורי מקובל לסמן את האיבר ההופכי של a בסימון a. כתיב זה מתלכד עם המושג המוכר של מספר נגדי ביחס לחיבור. דוגמה נסתכל על אוסף מחלקות השקילות מודולו n, שמקובל לסמן = n Z Z}.Z/nZ = {[a] a למשל [3]}, [2], [1], {[0] = 4.Z לפעמים מסמנים את מחלקת השקילות [a] בסימון a, ולעיתים כאשר ברור ההקשר פשוט a. כזכור [b [a]+[b] = a] + כאשר באגף שמאל הסימן + הוא פעולה בינארית הפועלת על אוסף מחלקות השקילות (a הוא נציג של מחלקת שקילות אחת ו- b הוא נציג של מחלקת שקילות אחרת) ובאגף ימין זו פעולת החיבור הרגילה של מספרים (שלאחריה מסתכלים על מחלקת השקילות שבה a + b נמצא). אפשר לראות כי (+, n Z) היא חבורה אבלית. נבחר נציגים למחלקות השקילות [0] + [a] = [0 + a] = [a] איבר היחידה הוא [0] (הרי.Z n = {[0], [1],..., [n 1]} לכל [a]). קיבוציות הפעולה והאבליות נובעות מהקיבוציות והאבליות של פעולת החיבור הרגילה. האיבר ההופכי של [a] הוא [a n]. מה ניתן לומר לגבי (, n Z)? ישנה סגירות, ישנה קיבוציות וישנו איבר יחידה [1]. אך זו לא חבורה כי ל-[ 0 ] אין הופכי. נסמן {[0]} \ n.z n = Z האם ) n, (Z חבורה? לא בהכרח. למשל עבור 6 Z נקבל כי [0] = [6] = [3].[2] לפי ההגדרה 6 Z /,[0] ולכן הפעולה ב-(,n Z) אינה בהכרח סגורה (כלומר אפילו לא אגודה). בהמשך נראה איך אפשר "להציל" את הכפל. הגדרה 2.18 (חבורת האיברים ההפיכים). יהי M מונואיד ויהיו,a b M זוג איברים. אם,a b הם הפיכים, אזי גם a b הוא הפיך במונואיד. אכן, האיבר ההופכי הוא 1 a.(a b) 1 = b 1 לכן אוסף כל האיברים ההפיכים במונואיד מהווה קבוצה סגורה ביחס לפעולה. כמו כן האוסף הנ"ל מכיל את איבר היחידה, וכל איבר בו הוא הפיך. מסקנה מיידית היא שאוסף האיברים ההפיכים במונואיד מהווה חבורה ביחס לפעולה המצומצמת. נסמן חבורה זו ב-( U(M (קיצור של.(Units הערה מתקיים U(M) = M אם ורק אם M היא חבורה. הגדרה המערכת (,(R) M) n של מטריצות ממשיות בגודל n n עם כפל מטריצות היא מונואיד. לחבורת ההפיכים שלו U(M n (R)) = GL n (R) = {A M n (R) det A 0} קוראים החבורה הלינארית הכללית (ממעלה n) מעל.(group Linear General) R אתגר נסמן ב-( MN F) את אוסף המטריצות האינסופיות מעל השדה F שבכל שורה ובכל עמודה יש להן רק מספר סופי של איברים ששונה מאפס. הוכיחו שפעולת הכפל הופכת את ) F) MN למונואיד שאינו חבורה (צריך להראות גם סגירות לפעולה!). הראו שבמקרה זה יש הבדל בין הפיכות משמאל להפיכות מימין. 11

12 3 חבורות אבליות הגדרה 3.1. נאמר כי פעולה דו מקומית : G G G היא אבלית (או חילופית, (G, ) אם.a b = b a מתקיים a, b G אם לכל שני איברים (commutative חבורה והפעולה היא אבלית, נאמר כי G היא חבורה אבלית (או חילופית). המושג נקרא על שמו של נילס הנריק א בּ ל Abel).(Niels Henrik דוגמה.3.2 יהי F שדה. החבורה ) ), (F (GL n אינה אבלית עבור > 1.n דוגמה 3.3. מרחב וקטורי V יחד עם פעולת חיבור וקטורים הרגילה הוא חבורה אבלית. תרגיל.3.4 תהי G חבורה. הוכיחו שאם לכל x G מתקיים = 1 2,x אזי G היא חבורה אבלית. הוכחה. מן הנתון מתקיים לכל a, b G כי = 1 2.(ab) 2 = a 2 = b לכן abab = (ab) 2 = 1 = 1 1 = a 2 b 2 = aabb נכפיל את השיוויון לעיל מצד שמאל בהופכי של a ומצד ימין בהופכי של b, ונקבל.ba = ab זה מתקיים לכל זוג איברים, ולכן G חבורה אבלית. הערה 3.5. אמנם אנחנו רגילים מהעבר שפעולות הן בדרך כלל חילופיות, אך יש פעולות משמעותיות מאוד שאינן חילופיות (כגון כפל מטריצות והרכבת פונקציות). אחת מהמטרות בתורת החבורות היא להבין את אותן פעולות. ככלל, הפעולות בהן נדון תהינה תמיד קיבוציות (חלק מהגדרת חבורה), אך לא בהכרח חילופיות. הגדרה.3.6 תהי G חבורה. נאמר ששני איברים a, b G מתחלפים אם.ab = ba נגדיר את המ ר כּ ז של חבורה G להיות Z(G) = {g G h G, gh = hg} דהיינו זהו האוסף של כל האיברים ב- G שמתחלפים עם כל איברי G. דוגמה 3.7. חבורה G היא אבלית אם ורק אם.Z(G) = G האם אתם יכולים להראות שבהנתן חבורה G, אז גם Z(G) היא חבורה? 4 תת חבורות הגדרה 4.1. תהי G חבורה. תת קבוצה H G נקראת תת חבורה של G אם היא חבורה ביחס לאותה פעולה (באופן יותר מדויק, ביחס לפעולה המושרית מ- G ). במקרה כזה נסמן.H G בפועל מה שצריך לבדוק כדי להוכיח ש- G H: 12

13 תת הקבוצה H לא ריקה (בדרך כלל קל להראות e). H סגירות לפעולה: לכל a, b H מתקיים.ab H סגירות להופכי: לכל a H מתקיים.a 1 H H = 1 a b 0 1 c דוגמה 4.2. נוכיח שקבוצת המטריצות a, b, c R היא תת חבורה של (R).GL 3 H). ולכן גם של G איבר היחידה של (שהיא I 3 H כי ברור ש- H 1 a b 0 1 c a b 0 1 c יש סגירות לפעולה כי לכל זוג איברים 1 a + a b + b + ac = 0 1 c + c H אפשר לראות שהמטריצות ב- H הפיכות לפי הדטרמיננטה, אבל זה לא מספיק! צריך גם להראות שהמטריצה ההופכית נמצאת ב- H בעצמה. אמנם, 1 a b 0 1 c = 1 a ac b 0 1 c H לחבורה זאת (ודומותיה) קוראים חבורת הייזנברג. דוגמה.4.3 ) (F.SL n (F ) = {A GL n (F ) det A = 1} GL n קוראים לה החבורה הלינארית המיוחדת מדרגה n מעל F. דוגמה 4.4. לכל חבורה G מתקיים כי.Z(G) G 5 חבורת אוילר ומציאת הופכי הגדרה 5.1. נגדיר את חבורת אוילר (Euler) להיות (, n U n = U(Z לגבי פעולת הכפל מודולו n. 13

14 דוגמה 5.2. נבנה את לוח הכפל של Z 6 (בהתעלם מ-[ 0 ] שתמיד יתן במכפלה [0]): האיברים ההפיכים הם אלו שמופיע עבורם 1 (הפעולה חילופית ולכן מספיק לבדוק רק עמודות או רק שורות). כלומר {[5], [1]} = 6 U. במקרה זה [5] הוא ההופכי של עצמו. טענה 5.3 (בהרצאה). יהי.m Z אז [m] U n אם ורק אם = 1 m).(n, כלומר, ההפיכים במונואיד (, n Z) הם כל האיברים הזרים ל- n. יש לנו דרך למצוא את ההופכי של m: ראינו שקיימים,s t כך ש- 1 = tm.sn + אם נחשב מודולו n נקבל 1 tm כלומר ש- t m 1 = ב-(, n Z). קיבלנו שההופכי הוא המקדם המתאים בצירוף של הממ"מ. הערה.5.4 אם p הוא מספר ראשוני, אז.U p = Z p דוגמה } {1, 5, 7, = 12.U דוגמה 5.6. לא קיים ל- 5 הופכי כפלי ב- Z, 10 שכן אחרת 5 היה זר ל- 10 וזו סתירה. תרגיל.5.7 מצאו x Z 0 כך ש-( x 1 (mod פתרון. לפי הנתון, קיים k Z כך ש k 61x. + זאת אומרת ש- 1 הוא צירוף לינארי (מינימלי במקרה זה) של 61 ו לפי איפיון ממ"מ קיבלנו כי = 1 (61,234). כלומר,k x הם המקדמים מן המשפט של איפיון הממ"מ כצירוף לינארי מזערי. בדוגמה 1.13 ראינו כי =.1 לכן 234) x 23 (mod הוא ההופכי, וכדי להבטיח כי x אינו שלילי נבחר = 211 x. 6 חבורות ציקליות הגדרה 6.1. תהי G חבורה, ויהי a. G תת החבורה הנוצרת על ידי a היא = a. { a k k Z } הגדרה 6.2. תהי G חבורה ויהי a. G אם a G = נאמר כי G חבורה ציקלית ושהיא נוצרת על ידי a. כלומר כל איבר ב- G הוא חזקה (חיובית או שלילית) של היוצר a. דוגמה 6.3. רשימה של כמה תת חבורות ציקליות: א. Z נוצרת על ידי 1. שימו לב שהיוצר לא חייב להיות יחיד. למשל גם 1 הוא יוצר. 14

15 a = a0 = I, a, a 2 = , a 1 = k = k Z ב. n.nz = ג. 5 = 1 = 6.Z ד. 3 = 1} = 4 = 7, 3 3 = 9, 3 2 {3, 3 = 10.U ) ה. עבור (R),a = GL 3 ( ,..., a n =, a 2 = 1 0 n 0 1 0, ,..., a n, סדר של חבורה וסדר של איבר הגדרה 7.1. הסדר של חבורה G הוא עוצמתה כקבוצה, ומסומן G. גשמיות, כמה איברים יש בחבורה. במילים יותר דוגמה.7.2 =, Z. Z n = n הגדרה.7.3 פונקציית אוילר מוגדרת לפי n.φ(n) = U סופרת כמה מספרים קטנים וזרים ל- n : לפי טענה 5.3 נסיק שהיא φ(n) = {a 0 a < n, (a, n) = 1} דוגמה 7.4. עבור p ראשוני, אנחנו כבר יודעים ש- 1 p.φ(p) = ניתן להראות (בהרצאה) כי לכל ראשוני p ולכל k טבעי, k 1,φ(p k ) = p k p כמו כן, בתרגיל הבית תוכיחו כי = 1 b) (a, אם ורק אם φ(a)φ(b).φ(ab) ) = ( ).φ(n) = n (1 1p1 1 1 p n n = p α 1 אז 1 p αn מכאן מתקבלת ההכללה: יהי n למשל כדי לחשב את 60, U נזכר כי = 2 60 ולכן ( φ(60) = ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) =

16 הגדרה.7.5 יהי a G איבר בחבורה. הסדר של a הוא e}.o(a) = min {n N a n = אם לא קיים כזה, נאמר שהסדר הוא אינסוף. בכל חבורה הסדר של איבר היחידה הוא 1, וזהו האיבר היחיד מסדר 1. דוגמה.7.6 בחבורה.o(1) = 1, o(5) = 2,U 6 דוגמה.7.7 בחבורה.o (1) = o (5) = 6,o (3) = 2,o (2) = o (4) = 3,Z 6 דוגמה.7.8 בחבורה (R) GL 2 נבחר את ) ( =.b נראה ש- 3 = o(b) כי ( ) ( ) ( ) b = I 2, b = I 2, b = = I טענה.7.9 תהי G חבורה, ויהי.a G מתקיים a n = e אם ורק אם.o (a) n טענה.7.10 תהי G חבורה. יהיו a, b G מסדר סופי כך ש- ba ab = וגם = b a b ותת החבורה הנוצרת על ידי a החיתוך בין תת החבורה הנוצרת על ידי (כלומר {e} היא טריוויאלית). אז o(b)].o (ab) = [o(a), דוגמה.7.11 עבור G = H 1 H 2 והאיברים a H 1 ו- b H 2 הסדר של (a, b) G הוא o(b)].[o(a), הרי ) 2 (a, e מתחלף עם b) (e 1, ו-= } G (a, e 2 ) (e 1, b) = {e.(e 1, e 2 ) הוכחה. נסמן o(a) n = ו-( o(b m. = נראה ש-( o(ab מחלק את [m,n]: (ab) [n,m] = a [n,m] b [n,m] = e e כי ab = ba ו- m n, מחלקים את m].[n, לפי טענה 7.9 קיבלנו m].o(ab) [n, מצד שני, כדי להוכיח מינימליות, אם,(ab) t = e אז.a t = b t לכן a t, b t a b = e כלומר n t וגם,m t ולכן.[n, m] t כלומר o(b)].o (ab) = [o(a), משפט הסדר של איבר x שווה לסדר תת החבורה שהוא יוצר, כלומר ל- x. בפרט, נניח G חבורה מסדר n, אז G היא ציקלית אם ורק אם קיים איבר מסדר n. דוגמה ב- U 8 קל לבדוק ש- 2 = (7)o (3)o = (5)o = ולכן החבורה אינה ציקלית. תרגיל.7.14 האם Z n Z n היא ציקלית? פתרון. הסדר של החבורה הוא n. 2 על מנת שהיא תהיה ציקלית יש למצוא איבר שהסדר שלו הוא.n 2 אולם לכל (a, b) Z n Z n מתקיים: 0) (0, = nb) n(a, b) = (na, ולכן הסדר של כל איבר קטן או שווה ל- n. כלומר Z n Z n לא ציקלית עבור > 1 n. תרגיל תהי G חבורה אבלית. הוכיחו שאוסף האיברים מסדר סופי, שנסמן T (עבור,(torsion הוא תת חבורה. 16

17 פתרון. נוכיח את התנאים הדרושים לתת חבורה:.o(e) שהרי = 1,e T כי T סגירות לפעולה: יהיו.a, b T אז יש n, m טבעיים כך ש- e.a n = b m = אזי:.(ab) nm = a nm b nm = (a n ) m (b m ) n = e m e n = e (שימו לב לשימוש בחילופיות!) סגירות להופכי: יהי.a T יש n כך ש- e,a n = אז a a n 1 = e לכן 1 n a 1 = a וכבר ראינו שיש סגירות לפעולה. תרגיל תהי G חבורה ויהיו,a b G מסדר סופי. האם גם ab בהכרח מסדר סופי? פתרון. אם G אבלית, אז ראינו שזה נכון בתרגיל כמו כן, אם G סופית, נקבל כי T. = G באופן כללי, התשובה היא לא. הנה דוגמה נגדית: נבחר את (R),GL 2 ונתבונן באיברים ( ) ( ) a =, b = ( ) 1 1 ניתן לבדוק שמתקיים:.a 4 = b 3 = I אולם = ab אינו מסדר סופי כי 0 1 ( ).(ab) n 1 n = 0 1 טענה מספר תכונות של הסדר: א. בחבורה סופית הסדר של כל איבר הוא סופי. ב. אם G חבורה ציקלית סופית מסדר n אז לכל g G מתקיים g. n = e ג. o(a).o(a i ) למעשה ) o(a) o(a i (בהמשך). ד. ) 1 o(a. o(a) = פתרון. נוכיח את הסעיף האחרון, לפי שני שני מקרים: מקרה.1 נניח < n.o(a) = לכן.a n = e ראשית, e = e n = (a 1 a) n = (a 1 ) n a n = (a 1 ) n e = (a 1 ) n כאשר המעבר מבוסס על כך ש- a ו- 1 a מתחלפים (הרי (ab) n a n b n באופן כללי). הוכחנו ש- e,(a 1 ) n = ולכן (a).o(a 1 ) n = o כעת, צריך להוכיח את אי-השוויון השני. אם נחליף את a ב- 1 a, נקבל ) 1 o(a.o(a) = o ((a 1 ) 1 ) לכן יש שוויון. 17

18 מקרה.2 נניח =,o(a) ונניח בשלילה < ) 1.o(a לפי המקרה הראשון,.o(a 1 ) = וקיבלנו סתירה. לכן,o(a) = o(a 1 ) < במילים, הסדר של איבר הוא סדר אזי a o. (a) = הערה יהי a. G תת החבורה שהוא יוצר. תרגיל 7.19 (מההרצאה). תהי G חבורה, ויהי.a G נניח < n.o (a) = הוכיחו שלכל d n טבעי, o ( a d) = n (d, n) = o (a) (d, o (a)) ( a d ) n (d,n) הוכחה. תחילה נוכיח היתכנות: נשים לב כי = (a n ) d (d,n) d (הפעולות שעשינו חוקיות, כי Z ). (d, n) ( a d) t, כלומר.a dt = e לפי טענה,7.9.n dt לכן, ( ) כעת נוכיח את המינימליות: נניח = e n. (d, n), d n dt (שניהם מספרים שלמים מדוע?). מצד שני, = 1 (d, n) גם n) (d, n) (d, n לפי תרגיל 1.11 נקבל t, כמו שרצינו. (d, n) תרגיל תהי G חבורה ציקלית מסדר n. כמה איברים ב- G יוצרים (לבדם) את?G G = a k o ( a k) = n n (k, n) = e פתרון. נניח כי a G. = אזי = n (k, n) = 1 לכן, מספר האיברים היוצרים את G הוא n U. כלומר בדיוק.φ(n) 8 תת חבורה הנוצרת על ידי איברים הגדרה 8.1. תהי G חבורה ותהי S G תת קבוצה לא ריקה איברים ב- G (שימו לב ש- S אינה בהכרח תת חבורה של G). תת החבורה הנוצרת על ידי S הינה תת החבורה המינימלית המכילה את S ונסמנה S. אם S G = אז נאמר ש- G נוצרת על ידי S. עבור קבוצה סופית של איברים, נכתוב בקיצור k. x 1,..., x הגדרה זו מהווה הכללה להגדרה של חבורה ציקלית. חבורה היא ציקלית אם היא נוצרת על ידי איבר אחד. 18

19 דוגמה.8.2 ניקח Z 3} {2, ואת 3 2, =.H נוכיח H = Z בעזרת הכלה דו כיוונית. H תת חבורה של Z, ובפרט H. Z כיוון ש- H 2 אזי גם H ( 2) ומכאן ש- H 1 = 3 +.( 2) כלומר איבר היחידה, שהוא יוצר של,Z מוכל ב- H. לכן,Z = 1 H כלומר.Z H נסיק.H = Z דוגמה.8.3 אם ניקח Z 6},{4, אז נקבל: Z} {4n + 6m : m, n = 6. 4, נטען ש- 2Z = gcd (4, 6) Z = 6 4, (כלומר תת חבורה של השלמים המכילה רק את המספרים הזוגיים). נוכיח על ידי הכלה דו כיוונית, :( ) ברור ש- 6n 2 4m + ולכן 2Z 6. 4, :( ) יהי.2k 2Z אזי 6 4, 6k.2k = 4 ( k) + לכן מתקיים גם: 2Z. 4, 6 דוגמה 8.4. בדומה לדוגמה האחרונה, במקרה שהחבורה אבלית, קל יותר לתאר את תת החבורה הנוצרת על ידי קבוצת איברים. למשל אם ניקח שני יוצרים,a b G נקבל: Z}. a, b = {a i b j i, j בזכות החילופיות, ניתן לסדר את כל ה- a -ים יחד וכל ה- b -ים יחד. למשל abaaab 1 bbba 1 a = a 4 b 3 באופן כללי, בחבורה אבלית מתקיים: a 1,..., a n = { a k a kn n 1 i n, ki Z } דוגמה 8.5. נוח לעיתים לחשוב על איברי A בתור קבוצת "המילים" שניתן לכתוב באמצעות האותיות בקבוצה A. מגדירים את האלפבית שלנו להיות 1 A A כאשר {A A. 1 = a} 1 a מילה היא סדרה סופית של אותיות מן האלפבית, והמילה הריקה מייצגת את איבר היחידה ב- G. (אם יש זמן: להציג את F.) n הגדרה 8.6. חבורה G תקרא נוצרת סופית, אם קיימת לה קבוצת יוצרים סופית. כלומר קיימים מספר סופי של איברים a 1,..., a n G כך ש- G. a 1,..., a n = מסקנה 8.7. כל חבורה סופית נוצרת סופית. דוגמה 8.8. כל חבורה ציקלית נוצרת סופית (מהגדרה). לכן יש חבורות אינסופיות כמו Z. Z =,1),(0,0) (1 שנוצרות סופית. האם יש עוד חבורות כאלו? כן, למשל Z (אם יש זמן: גם F 2 נוצרת סופית על ידי שני איברים, אבל היא לא אבלית.) 8.1 חבורת שורשי היחידה דוגמה 8.9. קבוצת שורשי היחידה מסדר n מעל C היא { Ω n = {z C z n = 1} = cis 2πk } n k = 0, 1,..., n 1,ω n = cis 2π n נקבל n.ω n = ω כלומר Ω n היא זו תת חבורה של C. אם נסמן תת חבורה ציקלית ונוצרת על ידי ω. n מפני ש- Ω n מסדר n וציקלית, אז בהכרח.Ω n = Zn 19

20 =.Ω הוכיחו: תרגיל נגדיר את קבוצת שורשי היחידה Ω n n=1 א. Ω היא חבורה לגבי כפל. (איחוד חבורות הוא לא בהכרח חבורה!) ב. לכל Ω o (x) <,x (כלומר: כל איבר ב- Ω הוא מסדר סופי). ג. Ω אינה ציקלית. לחבורה כזו, שבה כל איבר הוא מסדר סופי, קוראים חבורה מפותלת. פתרון. לכן א. נוכיח שהיא חבורה על ידי זה שנוכיח שהיא תת חבורה של C. ראינו בתרגיל 7.15 שתת חבורת הפיתול של חבורה אבלית היא תת חבורה. לפי הגדרת Ω, רואים שהיא מכילה בדיוק את כל האיברים מסדר סופי של החבורה האבלית C, ולכן חבורה. באופן מפורש ולפי הגדרה: ברור כי Ω 1, ולכן היא לא ריקה. יהיו 2 g 1, g l, k Z נכתוב עבור.g 2 Ω n,g 1 Ω m שעבורם m, n לכן קיימים.Ω מתאימים: g 1 = cis 2πk m, g 2 = cis 2πl n g 1 g 2 = cis 2πk ( 2πk m cis2πl n = cis m + 2πl ) n ( ) 2π (kn + lm) = cis Ω mn Ω mn סגירות להופכי היא ברורה, שהרי אם,g Ω n אז גם Ω.g 1 Ω n (אם יש זמן: לדבר שאיחוד של שרשרת חבורות, ובאופן כללי יותר, איחוד רשת של חבורות, היא חבורה.) ב. לכל Ω x קיים n שעבורו.x Ω n לכן,.o (x) n ג. לפי הסעיף הקודם, כל תת החבורות הציקליות של Ω הן סופיות. אך Ω אינסופית, ולכן לא ייתכן שהיא שווה לאחת מהן. תרגיל הוכיחו שהחבורות הבאות לא נוצרות סופית א. חבורת שורשי היחידה Ω. 20 ב. +) (R), (M 3 ג. ), (Q

21 פתרון. א. בעוד ש- Ω היא אינסופית, נראה שכל תת החבורה הנוצרת על ידי מספר סופי של איברים מ- Ω היא סופית. יהיו a 1,..., a k שורשי יחידה מסדרים n 1,..., n k בהתאמה. אז a 1,..., a k = { a i a i k k 0 ij n j, 1 j k } מפני ש- Ω היא אבלית. לכן יש מספר סופי (החסום מלמעלה במכפלה n) 1 n k של איברים ב-. a 1,..., a k לכן Ω אינה נוצרת סופית. ב. אפשר להוכיח זאת בעזרת שיקולי עוצמה. כל חבורה נוצרת סופית היא סופית או בת מנייה (אוסף המילים הסופיות על אלפבית סופי הוא בן מנייה), ואילו (R) M 3 אינה בת מניה. Q = a1,..., a n = b 1 b n { (a1 ) k1... b 1 ( an b n ) kn ג. נניח בשלילה כי } 1 i n, k i Z אז קל לראות שהגורמים הראשוניים במכנה של כל איבר מוגבלים לקבוצת הגורמים הראשוניים שמופיעים בפירוק של המכפלה b. 1 b n אך זו קבוצה סופית, ולכן לא ניתן לקבל את כל השברים ב- Q, כלומר סתירה. 9 החבורה הסימטרית (על קצה המזלג) הגדרה 9.1. החבורה הסימטרית מדרגה n היא S n = {σ : {1, 2,..., n} {1, 2,..., n} σ is bijective} זהו אוסף כל ההעתקות החח"ע ועל מהקבוצה {n,...,2,1} לעצמה, ובמילים אחרות אוסף כל שינויי הסדר של המספרים {n S n,1}.,2..., היא חבורה עם הפעולה של הרכבת פונקציות. איבר היחידה הוא פונקציית הזהות. כל איבר של S n נקרא תמורה. הערה 9.2 (אם יש זמן). החבורה S n היא בדיוק חבורת ההפיכים במונואיד X X עם פעולת ההרכבה, כאשר n}.x = {1, 2,..., דוגמה.9.3 ניקח לדוגמה את.S 3 איבר σ S 3 הוא מהצורה σ (2) = j,σ (1) = i ו- k,σ (3) = כאשר 3} {1, 2, k i, j, שונים זה מזה. נסמן בקיצור ( ) σ = i j k נכתוב במפורש את כל האיברים ב- S: 3 21

22 ( ) id = ( ) τ = ( ) σ = ( ).σ = σ σ = ( ) στ = σ τ = ( ) τσ = τ σ = א. ב. ג. ד. ה. ו. מסקנה 9.4. נשים לב ש- S 3 אינה אבלית, כי.στ τσ מכאן גם קל לראות ש- S n אינה ציקלית לכל 3 n, כי היא לא אבלית. הערה 9.5. הסדר הוא!n S. n = אכן, מספר האפשרויות לבחור את (1) σ הוא n; אחר כך, מספר האפשרויות לבחור את (2) σ הוא 1 n; כך ממשיכים, עד שמספר האפשרויות לבחור את (n) σ הוא 1, האיבר האחרון שלא בחרנו. בסך הכל, = n S.n (n 1) 1 = n! הגדרה 9.6. מחזור (או עגיל) ב- S n הוא תמורה המציינת מעגל אחד של החלפות של מספרים שונים: a 1 a 2 a 3 a k a 1 (ושאר המספרים נשלחים לעצמם). כותבים את התמורה הזו בקיצור ) k.(a 1 a 2... a האורך של המחזור ) k (a 1 a 2... a הוא k. ( ) דוגמה 9.7. ב- S, 5 המחזור (2 4) 5 מציין את התמורה משפט 9.8. כל תמורה ניתנת לכתיבה באופן יחיד כהרכבת מחזורים זרים, כאשר הכוונה ב"מחזורים זרים" היא מחזורים שאין לאף זוג מהם איבר משותף. הערה 9.9. שימו לב שמחזורים זרים מתחלפים זה עם זה (מדוע?), ולכן חישובים עם מחזורים יהיו לעיתים קלים יותר מאשר חישובים עם התמורה עצמה. 22

23 ( ) =.σ כדי דוגמה נסתכל על התמורה הבאה ב- S: לכתוב אותה כמכפלת מחזורים זרים, לוקחים מספר, ומתחילים לעבור על המחזור המתחיל בו. למשל: אז בכתיבה על ידי מחזורים יהיה לנו את המחזור (4 1). כעת ממשיכים כך, ומתחילים ממספר אחר: אז נקבל את המחזור (6 2) 7 בכתיבה. נשים לב ששאר המספרים הולכים לעצמם, כלומר 3,3 5,5 ולכן σ = (1 4) (2 7 6) נחשב את σ. 2 אפשר ללכת לפי ההגדרה, לעבור על כל מספר ולבדוק לאן σ 2 תשלח אותו; אבל, כיוון שמחזורים זרים מתחלפים, נקבל σ 2 = ((1 4) (2 7 6)) 2 = (1 4) 2 (2 7 6) 2 = (2 6 7) 9.1 סדר של איברים בחבורה הסימטרית תרגיל.9.11 יהי σ S n מחזור מאורך.k מצאו את (σ).o פתרון. נסמן ) k 1.σ = (a 0 a 1... a נוכיח כי.o (σ) = k מתקיים ש- σ k (a 0 ) = a i mod k (שימו לב, האינדקס מודולו k מאפשר לנו לעבוד בטווח 1} k,... 1,.({0, ראשית, ברור כי :σ k = id לכל a i מתקיים σ k (a i ) = σ k 1 (a i+1 ) = = σ (a i 1 ) = a i ולכל σ k (m) = m,m a i (כי.(σ (m) = m נותר להוכיח מינימליות. אבל אם.σ l id כלומר,σ l (a 0 ) = a l אז a 0,l < k טענה 9.12 (תזכורת). תהי G חבורה. יהיו a, b G כך ש- ba ab = וגם, a b = e אז o(b)].o (ab) = [o(a), מסקנה סדר מכפלות מחזורים זרים ב- S n הוא הכמ"מ (lcm) של אורכי המחזורים. דוגמה הסדר של (56) (193) הוא 6 והסדר של (56) (1234) הוא 4. תרגיל מצאו תת חבורה מסדר 45 ב- S. 15 פתרון. נמצא תמורה מסדר 45 ב- S. 15 נתבונן באיבר σ = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) (10, 11, 12, 13, 14) ונשים לב כי = 45 5] [9, = (σ).o כעת, מכיוון שסדר האיבר שווה לסדר תת החבורה שאיבר זה יוצר, נסיק שתת החבורה σ עונה על הדרוש. 23

24 שאלה האם קיים איבר מסדר 39 ב- S? 15 פתרון. לא. זאת מכיוון שאיבר מסדר 39 לא יכול להתקבל כמכפלת מחזורים זרים ב-.S 15 אמנם ניתן לקבל את הסדר 39 כמכפלת מחזורים זרים, האחד מאורך 13 והאחר מאורך, 3 אבל = ולכן, זה בלתי אפשרי ב-.S הצגת מחזור כמכפלת חילופים הגדרה מחזור מסדר 2 ב- S n נקרא חילוף. טענה.9.18 כל מחזור ) r (a 1, a 2,..., a ניתן לרשום כמכפלת חילופים (a 1, a 2,..., a r ) = (a 1, a 2 ) (a 2, a 3 )... (a r 1, a r ) S n = {(i, j) 1 i, j n} הסיקו ש- S n גם נוצרת על ידי n}}.{(1, j) j {2,..., האם אפשר על ידי פחות איברים? לכן: תרגיל.9.19 כמה מחזורים מאורך r n 2 יש בחבורה?S n ( n אפשרויות כאלה. r) פתרון. זו שאלה קומבינטורית. בוחרים r מספרים מתוך n ויש כעת יש לסדר את r המספרים ב-! r דרכים שונות. אבל ספרנו יותר מידי אפשרויות, כי יש r מחזורים זהים, שהרי (a 1,..., a r ) = (a 2,..., a r, a 1 ) = = (a r, a 1,..., a r 1 ) לכן נחלק את המספר הכולל ב- r. נקבל שמספר המחזורים מאורך r ב- S n הינו. ( n r) (r 1)! תרגיל מה הם הסדרים האפשריים לאיברי S? 4 פתרון. ב- S 4 הסדרים האפשריים הם: א. סדר - 1 רק איבר היחידה. ב. סדר - 2 חילופים (j,i) או מכפלה של שני חילופים זרים, למשל (34) (12). ג. סדר - 3 מחזורים מאורך 3, למשל (243). ד. סדר - 4 מחזורים מאורך 4, למשל (2431). וזהו! כלומר הצלחנו למיין בצורה פשוטה ונוחה את כל הסדרים האפשריים ב- S. 4 תרגיל מה הם הסדרים האפשריים לאיברי S? 5 24

25 פתרון. ב- S 5 הסדרים האפשריים הם: א. סדר - 1 רק איבר היחידה. ב. סדר - 2 חילופים (j,i) או מכפלה של שני חילופים זרים. ג. סדר - 3 מחזורים מאורך 3. ד. סדר - 4 מחזורים מאורך 4. ה. סדר - 5 מחזורים מאורך 5. ו. סדר - 6 מכפלה של חילוף ומחזור מאורך 3, למשל (54) (231). וזהו! שימו לב שב- S n יש איברים מסדר שגדול מ- n עבור 5 n. 10 מחלקות שמאליות וימניות הגדרה.10.1 תהי G חבורה, ותהי.H G לכל a G נגדיר מחלקות :(cosets) א. המחלקה השמאלית של a ביחס ל- H היא הקבוצה {H.aH = {ah h ב. המחלקה הימנית של a ביחס ל- H היא הקבוצה {H.Ha = {ha h את אוסף המחלקות השמאליות ביחס ל- H נסמן ב- G/H. (למה זה בכלל מעניין להגדיר את האוסף זה? בעתיד נראה שכאשר H תת חבורה "מספיק טובה" (נקראת נורמלית), אז אוסף המחלקות יחד עם פעולה שמושרית מ- G יוצרים חבורה.) הערה.10.2 עבור איבר היחידה e G תמיד מתקיים.eH = H = He אם החבורה G היא אבלית, אז המחלקה השמאלית של a ביחס ל- H שווה למחלקה הימנית: ah = {ah h H} = {ha h H} = Ha תרגיל תנו דוגמה לחבורה G, תת חבורה H ואיבר a G כך ש- Ha.aH פתרון. חייבים לבחור חבורה G שאינה אבלית ואיבר Z(G) a. / נבחר G, = S 3 את 2)} (1 {id, H = (1 2) = ואת 3) (1 =.a נחשב (1 3) H = {(1 3) id = (1 3), (1 3) (1 2) = (1 2 3)} H (1 3) = {id (1 3) = (1 3), (1 2) (1 3) = (1 3 2)} 25

26 נמשיך ונחשב את :G/H המחלקות השמאליות הן id H = {id, (1 2)} = (1 2) H (1 3) H = {(1 3), (1 2 3)} = (1 2 3) H (2 3) H = {(2 3), (1 3 2)} = (1 3 2) H כלומר H}.G/H = {H, (1 3) H, (2 3) נשים לב שאיחוד כל המחלקות הוא,G וזהו איחוד זר. H = {( 1 0 n דוגמה אחרת (אם יש זמן): נבחר (Q),G = GL 2 ותהי Z} n ) 1 ( =,g ונחשב תת חבורה של G. נבחר ) 1 {( ) ( ) } {( ) } n gh = n Z 5 5n = 0 1 n Z {( ) ( ) } {( ) } 1 n 5 0 Hg = n Z 5 n = 0 1 n Z וקל לראות כי לא רק ש- Hg,gH אלא גם.gH Hg דוגמה ניקח את (+,Z) G, = ונסתכל על המחלקות השמאליות של H: = 5Z 0 + H = H = {..., 10, 5, 0, 5, 10,... } 1 + H = {..., 9, 4, 1, 6, 11,... } 2 + H = {..., 8, 3, 2, 7, 12,... } 3 + H = {..., 7, 2, 3, 8, 13,... } 4 + H = {..., 6, 1, 4, 9, 14,... } 5 + H = {..., 5, 0, 5, 10, 15,... } = H 6 + H = 1 + H 7 + H = 2 + H וכן הלאה. בסך הכל, יש חמש מחלקות שמאליות של 5Z ב- Z, וכך Z/5Z = {H, 1 + H, 2 + H, 3 + H, 4 + H} הערה כפי שניתן לראות מהדוגמאות לעיל, המחלקות השמאליות (או הימניות) של תת חבורה H G יוצרות חלוקה של G. למעשה הן מחלקות השקילות של יחס השקילות הבא על G: a H b ah = bh כלומר a H b אם ורק אם קיים h H כך ש- bh a, = וזה נכון אם ורק אם.b 1 a H נסכם זאת במשפט הבא. 26

27 משפט 10.6 (בהרצאה). תהי G חבורה, תהי H G תת חבורה ויהיו.a, b G אז א. ah = bh אם ורק אם.b 1 a H בפרט ah = H אם ורק אם.a H ב. לכל זוג מחלקות ah ו- bh, או ש- bh ah = או שהן זרות = bh.ah ג. האיחוד של כל המחלקות הוא כל החבורה:, gh = G וזהו איחוד זר. gh G/H הגדרה מספר המחלקות (השמאליות) של H ב- G נקרא האינדקס (השמאלי) של.[G : H] = G/H כלומר.[G : H] ומסומן ב- G H הערה האינדקס [H G] : הוא מדד לגודל תת החבורה. ככל שהאינדקס קטן יותר, כך תת החבורה H גדולה יותר. בפרט, = 1 [H G] : אם ורק אם H. = G דוגמה על פי הדוגמאות שראינו: א. = 3 2) ] (1 : 3 [S ב. = 5 5Z] [Z : ג. G [G : {e}] = הערה ישנה התאמה חח"ע ועל בין מחלקות שמאליות של H G ובין מחלקות ימניות לפי 1 Hg.gH ניתן להבין התאמה זאת מכך שכל חבורה סגורה להופכי:.H 1 = H נחשב gh (gh) 1 = { (gh) 1 h H } = { h 1 g 1 h H } = { kg 1 k H } = Hg 1 בפרט קיבלנו שמספר המחלקות השמאליות שווה למספר המחלקות הימניות. לכן אין הבדל בין האינדקס השמאלי לבין האינדקס הימני של תת חבורה, ופשוט נקרא לו האינדקס. בתרגיל הבית תדרשו להתאמה.gH Hg תרגיל מצאו חבורה G ותת חבורה H כך ש- = H].[G : פתרון. נביא שתי דוגמאות: א. נבחר G = Z Z ואת {0} Z.H = יהיו a, b Z שונים. אז (0, a) + H = {(n, a) n Z} = {(n, b) n Z} = (0, b) + H ולכן.[G : H] = ℵ 0 ב. נבחר G = R ואת,H = Q ואז מתקיים,[G : H] = ℵ כי העוצמה של ah היא ℵ. שהיא מעוצמה G ואיחוד כל המחלקות הוא ℵ, 0 27

28 11 משפט לגראנז ושימושים משפט 11.1 (משפט לגראנז ). תהי G חבורה סופית ותהי.H G אז G. H מסקנה מכיוון שאנו יודעים כי a o(a) = לכל a, G נקבל שהסדר של כל איבר מחלק את סדר החבורה. הערה מהוכחת המשפט נקבל H G. = G] : [H המסקנה הזו נכונה גם לחבורות אינסופיות בחשבון עוצמות, והיא שקולה לאקסיומת הבחירה. תרגיל תהא G חבורה מסדר 8. הוכיחו: א. אם G היא ציקלית, אז קיימת תת חבורה של G מסדר 4 (למה ברור כי תת החבורה ציקלית?). ב. אם G לא אבלית, אז עדין קיימת תת חבורה ציקלית של G מסדר 4 (כאן הציקליות של תת החבורה לא ברורה מיידית). ג. מצאו דוגמה נגדית לסעיף הקודם אם G אבלית. פתרון. אם יש זמן בכיתה, נוכל לספר שיש בדיוק חמש חבורות מסדר 8 עד כדי איזומורפיזם (ואפילו מכל סדר p 3 עבור p ראשוני). בפתרון לא נשתמש במיון זה. א. נניח g G = ציקלית מסדר 8 עם יוצר g. אזי קיימת תת החבורה הציקלית שנוצרת על ידי } 6. g 2 = {e, g 2, g 4, g ב. תהא G חבורה לא אבלית. לפי משפט לגראנז, הסדר של כל איבר בחבורה סופית מחלק את סדר החבורה. לכן הסדרים האפשריים היחידים בחבורה מסדר 8 הם 4 2, 1, או 8 (לא בהכרח כל הסדרים משתתפים). יש רק איבר אחד מסדר 1 והוא איבר היחידה. לא ייתכן כי כל שאר האיברים הם מסדר 2, שכן לפי תרגיל שראינו נקבל כי G אבלית. אין בחבורה איבר מסדר 8, שכן אז היא תהיה ציקלית, וכל חבורה ציקלית היא אבלית. מכאן קיים איבר, נאמר a, G שהוא מסדר 4. הסדר של איבר הוא הסדר של תת החבורה הציקלית } 3 {e, a, a 2, a שהוא יוצר. ג. במקרה זה G לא יכולה להיות ציקלית. נבחר את Z. 2 Z 2 Z 2 אפשר לבדוק שהסדר של כל איבר בחבורה זו הוא 2, פרט לאיבר היחידה. לכן אין לה תת חבורה ציקלית מסדר 4. תרגיל 11.5 (אם יש זמן). הכלילו את התרגיל האחרון: תהא G חבורה לא אבלית מסדר 2 t עבור > 2 t. אזי קיימת ב- G תת חבורה ציקלית מסדר 4. 28

29 פתרון. באופן דומה לשאלה האחרונה, הסדרים האפשריים היחידים בחבורה מסדר 2 t (כאשר > 2 (t הם רק מן הצורה 2 k עבור t}.k {0, 1, 2,..., ישנו רק איבר אחד מסדר 1. הסדר של כל שאר האיברים לא יכול להיות 2, כי אז G אבלית. אין איבר מסדר 2, t שכן אז החבורה ציקלית ולכן אבלית. לכן קיים איבר, נאמר a, G כך ש- 2 > k.o(a) = 2 נתבונן בתת החבורה a ונבחר את האיבר 2 k a. מתקיים o(a 2k 2 ) = 2 k (2 k, 2 k 2 ) = 4 וקיבלנו שזהו האיבר שיוצר את תת החבורה הציקלית הדרושה מסדר 4. תרגיל הוכיחו שחבורה סופית היא מסדר זוגי אם ורק אם קיים בה איבר מסדר.2 פתרון. הכיוון ( ) הוא לפי לגראנז, שכן הסדר של האיבר מסדר 2 מחלק את סדר החבורה. את הכיוון ( ) עשיתם בתרגיל בית. נסיק מתרגיל זה שבחבורה מסדר זוגי יש מספר אי זוגי של איברים מסדר 2. מסקנה נזכר בטענה ש- o(a) m אם ורק אם a. m = e כעת אפשר להסיק שלכל איבר a בחבורה סופית G מתקיים.a G = e משפט 11.8 (משפט אוילר.(2 לכל a U n מתקיים n).a φ(n) 1 (mod דוגמה.11.9 יהי p מספר ראשוני, ויהי.a U p מתקיים 1 p φ(p) = ולכן 1 p 1 a (p.(mod זהו למעשה משפט פרמה הקטן. (העשרה אם יש זמן: פונקציית קרמייקל (Carmichael) λ(n) מוגדרת להיות המספר הטבעי m הקטן ביותר כך ש-( n a m 1 (mod לכל a שזר ל- n. ממשפט לגראנז נקבל.λ(n) φ(n) נסו למצוא דרך לחשב את,λ(n) ומתי φ(n) (.λ(n) תרגיל מצאו את שתי הספרות האחרונות של פתרון. אנו נדרשים למצוא את הביטוי מודולו 100, כלומר מספיק לחשב את (mod 100) אנו יודעים כי = 40 ) 1 1)(1 100(1 =,φ(100) ולפי משפט אוילר נקבל (mod 100) ואנו יודעים כי יש הופכי כפלי ל- 11 מודולו 100 מפני שהם זרים. אנו מחפשים פתרון למשוואה 100) 11x 1 (mod שקיים אם ורק אם קיים k Z כך ש- 1 =.100k+11x 29

30 אפשר למצוא פתרון למשוואה בעזרת אלגוריתם אוקלידס המורחב. נביע את (11,100) כצירוף לינארי שלהם: (100, 11) 100= = (11, 1) = 1 כלומר =,1 ולכן 100).k = 9 91 (mod קיבלנו (mod 100) ולכן שתי הספרות האחרונות הן 10. שאלה ראינו מסקנה ממשפט לגראנז : בחבורה סופית G מתקיים לכל איבר g G כי G.o(g) האם הכיוון ההפוך נכון? כלומר, אם G חבורה סופית והמספר m N מחלק את G, האם בהכרח קיים ב- G איבר מסדר m? פתרון. לא בהכרח! דוגמה נגדית: נבחן את החבורה Z. 4 Z 4 סדר החבורה הינו 16 אבל אין בה איבר מסדר 8 או 16. ראינו כבר שהסדר המרבי בחבורה הזאת הוא לכל היותר 4. בנוסף, אילו היה קיים איבר מסדר 16, אזי היא ציקלית, אבל הוכחנו שהחבורה Z n Z n אינה ציקלית עבור > 1.n הערה נעיר שבחבורה ציקלית a G = מסדר n N זה כן מתקיים בעזרת נוסחת הקסם שראינו = ) t.o(a n (n,t) 12 פעולה של חבורה על קבוצה ההבדל הבסיסי בין קבוצה לחבורה היא קיומה של פעולה על קבוצה. אנחנו מכירים מקרים בהם ניתן להפעיל פעולה על (x,g) (כאשר g איבר בחבורה ו- x איבר בקבוצה) ולקבל איבר אחר בקבוצה. למשל, אם G = F שדה ו- X = V מרחב וקטורי מעל השדה, אז למרות שלא ניתן להכפיל את איברי V זה בזה, נוכל להכפיל איבר ב- F באיבר של V ולקבל איבר של V. זהו הכפל בסקלר בשדה. הגדרה פעולה של חבורה G על קבוצה X היא פעולה בינארית G X X שנסמנה לפי,(g, x) g x המקיימת: א. x) (gh) x = g (h לכל g, h G ו- X.x ב. e x = x לכל.x X הגדרה 12.2 (הגדרה שקולה). פעולה של חבורה G על קבוצה X היא הומומורפיזם.φ: G S X כלומר לכל g נתאים פונקציה חח"ע ועל φ(g): X X ומתקיים.φ(g 1 g 2 ) = φ(g 1 ) φ(g 2 ) דוגמה כנראה ראיתם כבר בהרצאה. 30

31 א. פעולת הכפל משמאל של חבורה על עצמה (זו הפעולה שנראה בהוכחת משפט קיילי). מתי כפל מימין הוא לא פעולה? ב. פעולת ההצמדה של חבורה על עצמה. זו "דוגמה קלאסית" וחשובה שנתעסק בה. ג. הפעולה של S n על ] n F [x 1,..., x בתמורה על האינדקסים של המשתנים. ד. הפעולה של ) (F GL n על.F n הגדרה פעולה של חבורה על קבוצה נקראת נאמנה אם האיבר היחידי שפועל טריוויאלית הוא איבר היחידה. באופן שקול, פעולה היא נאמנה אם לכל g h G קיים x X כך ש-.g x h x בהצגה כהומומורפיזם,φ: G S X למעשה דורשים חח"ע. דוגמה מהדוגמאות הקודמות: א. נאמנה תמיד. ב. תלוי אם יש איבר Z(G) e, x אז הוא פועל טריוויאלית. ג. נאמנה. ד. נאמנה. הגדרה בהנתן פעולה של G על X, המסלול של איבר x X היא תת הקבוצה orb(x) = G x = {g x g G} דוגמה.12.7 עבור פעולת הכפל משמאל.orb(x) = Gx = G דוגמה עבור הפעולה של S 4 על פולינומים, נחשב את המסלול של הפולינום :f = x 1 x 2 + x 3 x 4 orb(f) = {f, x 1 x 3 + x 2 x 4, x 1 x 4 + x 2 x 3 } דוגמה עבור פעולת ההצמדה, conj(g) orb(g) = נקראת מחלקת צמידות של g. בחבורה אבלית G, אין שני איברים שונים הצמודים זה לזה. הרי אם g ו- h צמודים בחבורה אבלית, אז קיים a G שעבורו h = aga 1 = gaa 1 = g באופן כללי בחבורה כלשהי G, מתקיים (G) g Z אם ורק אם {g}.conj(g) = תרגיל תהי G חבורה, ויהי g G מסדר סופי n. הוכיחו: א. אם h G צמוד ל- g, אזי.o (h) = n 31

32 ב. אם אין עוד איברים ב- G מסדר n, אזי (G) g. Z פתרון. א. g ו- h צמודים, ולכן קיים a G שעבורו 1 aga h. = לפי תרגיל מהשיעורי בית o(h) = o(aga 1 ) = o(a 1 ag) = o(g) ב. יהי h. G לפי הסעיף הראשון, o. (hgh 1 ) = n אבל נתון ש- g הוא האיבר היחיד מסדר n ב- G, ולכן.hgh 1 = g נכפול ב- h מימין, ונקבל ש- gh.hg = הוכחנו שלכל h G מתקיים,hg = gh ולכן (G).g Z הערה הכיוון ההפוך בכל סעיף אינו נכון - למשל, בחבורה Z 4 מתקיים = (1) o = 4 (3) o, אבל הם לא צמודים. כמו כן, שניהם במרכז, ולכל אחד מהם יש איבר אחר מאותו סדר. דוגמה בחבורה,S 3 האיבר 3) (1 2 = σ צמוד לאיבר (1 2) (1 2 3) (1 2) 1 = (2 3) (1 2) = (1 3 2) = σ 2 אין עוד איברים צמודים להם, כי אלו כל האיברים מסדר 3 ב- S. 3 טענה (לבית). תהי,σ S n ויהי מחזור.(a 1, a 2,..., a k ) S n הוכיחו כי σ (a 1, a 2,..., a k ) σ 1 = (σ (a 1 ), σ (a 2 ),..., σ (a k )) תרגיל בחבורה S 6 נתונות התמורות 6) (1, 5, 3, =,µ σ = (1, 3) (4, 5, 6) ו-( 5 (1, 4, =.τ חשבו את 1 σµσ ואת 1.τστ σµσ 1 = (3, 6, 1, 4) פתרון. לפי הנוסחה מהטענה הקודמת, τστ 1 = ( τ(13)τ 1) ( τ(456)τ 1) = (43)(516) הגדרה תהי σ S n תמורה ונציג אותה כמכפלה של מחזורים זרים = σ.σ 1 σ 2... σ k נניח כי האורך של σ i הוא,r i וכי.r 1 r 2 r k נגדיר את מבנה המחזורים של σ להיות ה- k -יה הסדורה ) k.(r 1, r 2,..., r דוגמה מבנה המחזורים של (6,5) (3,1),2 הוא (2,3); מבנה המחזורים של 3) (4, 2, 5) (1, גם הוא 2) ;(3, מבנה המחזורים של 8) (7, 6) (5, 4) (1, 2, 3, הוא 2).(4, 2, טענה שתי תמורות ב- S n הן צמודות אם ורק אם יש להן אותו מבנה מחזורים. דוגמה התמורה 6) (5, 3) (1, 2, צמודה ל-( 5 (1, 3) (4, 2, ב-,S 8 אבל הן לא צמודות לתמורה 8) (7, 6) (5, 4).(1, 2, 3, 32

33 הגדרה חלוקה של n היא סדרה לא עולה של מספרים טבעיים 1 n.n מספר החלוקות של את נסמן ב-( p(n.n = n n k כך ש- n k > 0 מסקנה מספר מחלקות הצמידות ב- S n הוא.p(n) דוגמה נחשב כמה מחלקות צמידות יש ב- S. 5 נמצא את החלוקות של 5: 5 = 5 5 = = = = = = ולכן = 7 (5)p. בעזרת המסקנה האחרונה נסיק שישנן 7 מחלקות צמידות ב- S משוואת המחלקות טענה 13.1 (משוואת המחלקות). כל פעולה מגדירה יחס שקילות: x y אם קיים g G כך ש- y g. x = מחלקות השקילות הן בדיוק המסלולים של הפעולה. בפרט, X = orb(x) X = Fix(X) + orb(x i ) כאשר Fix(X) הוא אוסף נקודות השבת points).(fixed שימו לב שהסכימה היא על נציגים של המסלולים. הערה עבור פעולת ההצמדה של S 4 על עצמה נקבל: S 4 = orb (id) orb (( )) orb (( )) orb (( )) orb (( )( )) טענה ניסוח של הטענה הקודמת עבור פעולת ההצמדה: G = Z(G) + conj(x i ) x i / Z(G), rep. הגדרה יהי x. X המייצב של x הוא תת החבורה stab(x) = {g G g x = x} ודאו שברור למה זו תת חבורה. סימון מקובל אחר הוא G. x 33

34 דוגמה א. עבור פעולת ההצמדה, (x) stab(x) = C G הוא המ ר כּ ז של x. ב. עבור פעולת הכפל משמאל, {e}.stab(x) = ג. עבור הפעולה של S 4 על ] 4,F [x 1, x 2, x 3, x stab(x 1 + x 2 ) = {id, (12), (34), (12)(34)} משפט.13.6 לכל x X מתקיים stab(x)]. orb(x) = [G : אם G סופית, אז orb(x) = G stab(x) כמסקנה, orb(x) מחלק את הסדר של G (אפילו שהוא לא בהכרח מוכל שם!). בפרט, conj(x) מחלק את הסדר של G (אפילו שהיא לא תת חבורה). נחשב את המייצב של = f S 3 על ] 3.F [x 1, x 2, x דוגמה.13.7 נתבונן בפעולה של.x 1 x 2 + x 1 x 3 מפני ש-( f = x 1 (x 2 +x 3 קל לראות ש-( 23 ) id, מייצבים את.f לכן 2. stab(f) קל לחשב את המסלול orb(f) = {f, x 2 (x 1 + x 3 ), x 3 (x 1 + x 2 )} stab(f) = ולכן, stab(f) = S 3 orb(x) = 6 3 כלומר יש בו שלושה איברים. לכן = 2.{id, (23)} תרגיל כמה איברים ב- S n מתחלפים עם (34)(12)? פתרון. זה שקול ללשאול כמה איברים σ S n מקיימים (12)(34) = 1.σ(12)(34)σ או במילים אחרות: כמה איברים יש במייצב של (34)(12) ביחס לפעולת ההצמדה. לפי המשפט, נבדוק את הגודל של המסלול. כידוע, האיברים הצמודים ל-( 12)(34 ) הם כל התמורות מאותו מבנה מחזורים.. 2( 1 n )( n 2 ) דהיינו, כל המכפלות של 2 חילופים זרים: 2 2 לכן הגודל של המייצב הוא 1 2( n 2 n! )( n 2 2 ) = 8(n 4)! תרגיל נתון שהחבורה 1 a b G = 0 1 c a, b, c Z פועלת על קבוצה X מגודל 218. הוכיחו שיש לפעולה נקודת שבת. כלומר שקיים.orb(x) = כך ש-{ x } x X 34

35 פתרון. נשים לב ש- 27 = 3 = 3. G נקח נציגים של המסלולים,x 1,..., x k אזי ) k.x = orb(x 1 ) orb(x מהמשפט נקבל ש- ( orb(x i מחלק את 27. לכן הגודל של המסלולים השונים יכול להיות רק מ-{ 27,1}.,3,9 נניח בשלילה שלא קיים איבר x X כך ש- 1 =. orb(x) אזי גדלי המסלולים האפשריים הם {27,3}.,9 אז X = 218 = (3+ +3)+(9+ +9)+( ) = 3α+9β+27γ = 3(α+3β+9γ) קיבלנו ש וזו סתירה! הגדרה יהי p ראשוני. חבורה G תקרא חבורת- p, אם הסדר של כל איבר בה הוא חזקה של p. תרגיל הראו שאם G סופית, אז G חבורת- p אם ורק אם G = p n עבור איזשהו.n N תרגיל נסו להכליל את מה שעשינו בתרגיל קודם: אם G חבורת- p סופית הפועלת על קבוצה X כך ש- X p, אז קיימת ב- X נקודת שבת. תרגיל הוכיחו שהמרכז של חבורת- p אינו טריוויאלי. פתרון (רק אם לא נעשה בהרצאה). תהי G חבורת- p. על פי משוואת המחלקות מתקיים Z (G) = p n p n C G (x i ) = pn p n p r i = p n p n r i נשים לב שאגף ימין של המשוואה מתחלק ב- p (כי r) i n ולכן באגף שמאל p מחלק את הסדר של (G) Z. מכאן נובע ש-( G ) Z לא יכול להיות טריוויאלי טרנזיטיביות והלמה של ברנסייד הגדרה אומרים שהפעולה של G על X היא טרנזיטיבית אם לכל שני איברים.g x 1 = x 2 כך ש- g G קיים x 1, x 2 X זה בעצם אומר ש- X orb(x) = (ודאו למה זה שקול!). דוגמה א. הצמדה היא בדרך כלל לא טרנזיטיבית (בגלל היחידה, גם להראות ב- S). n ב. הפעולה של S n על n},... 2, {1, היא טרנזיטיבית. ג. (לדלג) הפעולה של S 4 על תת החבורה הנורמלית היא לא טרנזיטיבית. V = {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} 35

36 ד. הפעולה של S n על ] n F [x 1,..., x היא לא טרנזיטיבית. הפעולה הנ"ל על תת הקבוצה } n {x 1, x 2,..., x היא טרנזיטיבית. ה. תהי Y קבוצת בת לפחות 2 איברים. S n פועלת על Y n על ידי תמורה על האינדקסים. זו פעולה לא טרנזיטיבית כי למשל )... 2, (1, 1),... 1,.(1, טענה אם חבורה סופית G פועלת טרנזיטיבית על קבוצה סופית X, אז X מחלק את. G הרי לפי המשפט G. X = orb(x) הגדרה יהי.g G נסמן x} X g = {x X g x = עבור קבוצת נקודות השבת של g. למה (הלמה שאינה של ברנסייד). תהי G חבורה הפועלת על קבוצה X. נסמן ב- k את מספר המסלולים. אז מתקיים (גם בחשבון עוצמות) k G = g G X g בחבורה סופית אפשר לפרש זאת שמספר המסלולים הוא ממוצע גודל קבוצות השבת: k = 1 G X g g G תרגיל תהי G חבורה סופית (לא טריוויאלית) הפועלת טרנזיטיבית על קבוצה X (מגודל לפחות 2). הוכיחו כי קיים g G כך ש- = g X. יש בעצם רק = 1.1 כלומר G פתרון. כיוון שהפעולה טרנזיטיבית, אז orb(x) = X לכל x. X מסלול אחד (דהיינו = 1 k). לפי הלמה של ברנסייד Xg g G. G = g G Xg מפני ש- 1 > X X, e = אז בהכרח אחת מהקבוצות X g האחרות חייבת להיות מגודל אפס. תרגיל רוצים לקשט את הרחוב בדגלים. כל דגל הוא מלבן המחולק ל- 6 פסים אותם אפשר לצבוע בצבעים שונים מתוך 4 צבעים. אנחנו נחשיב שני דגלים (צבועים) להיות זהים אם הם צבועים בדיוק אותו דבר או במהופך (כך שאם הופכים את אחד הדגלים זה נראה בדיוק אותו דבר). כמה דגלים שונים אפשר ליצור? פתרון. נתחיל מלחשוב על כל הדגלים בתור איברים של ) 6 4 X = Z) (כאשר המספרים,0,1,2 3 מייצגים את שמות הצבעים). שימו לב שכרגע ב- X יש איברים שונים שמייצגים את אותו דגל, כמו (3,0),1,1,2,2.(3, 2, 2, 1, 1, 0) 36

37 S 6 פועלת על X לפי תמורה על הקואורדינטות. נסתכל ספציפית על התמורה (34)(25)(16) = σ ועל הפעולה של σ על X. נשים לב ששני איברים של X מייצגים את אותו דגל אם ורק אם הם באותו מסלול. בפעולה לכן השאלה כמה דגלים שונים יש שקולה לשאלה כמה מסלולים שונים יש X של החבורה σ על X. כדי להשתמש בלמה של ברנסייד, צריך לחשב את id ו-. X σ ברור ש- = 4 6 X X id =. עבור σ, האיברים ב- X σ הם בעצם נקודות השבת (הוקטורים שלא מושפעים). אלו הם האיברים שמספיק לבחור עבורם את הצביעה של 3 הקואורדינטות הראשונות, ולכן = 4 3 σ. X לפי הלמה של ברנסייד יש = 2080 ) 6 ( = 1 k דגלים שונים. 14 חבורות מוצגות סופית בהרצאה ראיתם דרך לכתיבה של חבורות שנקראת "יצוג על ידי יוצרים ויחסים". בהנתן יצוג G = X R נאמר ש- G נוצרת על ידי הקבוצה X של היוצרים עם קבוצת היחסים R. כלומר כל איבר בחבורה G ניתן לכתיבה (לאו דווקא יחידה) כמילה סופית ביוצרים והופכיהם, ושכל אחד מן היחסים הוא מילה ששווה לאיבר היחידה. דוגמה יצוג של חבורה ציקלית מסדר n הוא Z n = x x n כל איבר הוא חזקה של היוצר x, ושכאשר רואים את תת המילה x n אפשר להחליף אותה ביחידה. לנוחות, בדרך כלל קבוצת היחסים תכתב עם שיוויונות, למשל x. n = e באופן דומה, החבורה הציקלית האינסופית ניתנת ליצוג Z = x ובדרך כלל משמיטים את קבוצת היחסים אם היא ריקה. ודאו שאתם מבינים את ההבדל בין החבורות הלא איזומורפיות Z Z = x, y xy = yx, F 2 = x, y הגדרה ראינו שחבורה שיש לה קבוצת יוצרים סופית נקראת חבורה נוצרת סופית. אם לחבורה יש יצוג שבו גם קבוצת היוצרים סופית וגם קבוצת היחסים סופית, נאמר שהחבורה מוצגת סופית presented).(finitely דוגמה כל חבורה ציקלית היא מוצגת סופית, וראינו מה הם היצוגים המתאימים. כל חבורה סופית היא מוצגת סופית (זה לא טריוויאלי). נסו למצוא חבורה נוצרת סופית שאינה מוצגת סופית (זה לא כל כך קל). 37

38 14.1 החבורה הדיהדרלית הגדרה עבור מספר טבעי n, הקבוצה D n של סיבובים ושיקופים המעתיקים מצולע משוכלל בן n צלעות על עצמו, יחד עם הרכבת פונקציות נקראת החבורה הדיהדרלית מדרגה n. הפעולה של D n על קודקודי המצולע המשוכלל היא נאמנה וטרנזיטיבית. מיוונית, פירוש השם "די-הדרה" הוא שתי פאות, ומשה ירדן הציע במילונו את השם חבורת ה פּ א ת יִים. אם σ הוא סיבוב ב- 2π ו- τ הוא שיקוף סביב ציר סימטריה כלשהו, אז יצוג סופי n מקובל של D n הוא D n = σ, τ σ n = τ 2 = id, στ = τσ 1 הערה 14.5 (אם יש זמן). פונקציה :α R 2 R 2 שהיא חח"ע ועל ושומרת מרחק (כלומר α(y)) (d(x, (y = d(α(x), נקראת איזומטריה. אוסף האיזומטריות עם הפעולה של הרכבת פונקציות הוא חבורה. תהי L R 2 קבוצה כך שעבור איזומטריה α מתקיים.α(L) = L במקרה זה α נקראת סימטריה של L. אוסף הסימטריות של L הוא תת חבורה של האיזומטריות. החבורה D n היא בדיוק אוסף הסימטריות של מצולע משוכלל בן n צלעות. דוגמה החבורה D 3 נוצרת על ידי סיבוב σ של 120 ועל ידי שיקוף τ, כך שמתקיימים היחסים הבאים בין היוצרים:.τστ = σ 1,σ 3 = τ 2 = id כלומר עם משולש מה עושה כל איבר, וכנ"ל עבור.(D 5 (להדגים D 3 = {id, σ, σ 2, τ, τσ, τσ 2 } מה לגבי האיבר?στ D 3 הוא מופיע ברשימת האיברים תחת שם אחר, שכן τστ = σ 1 στ = τ 1 σ 1 = τσ 2 לכן.στ = τσ 2 כך גם הראנו כי D 3 אינה אבלית. { id, σ, σ 2,..., σ n 1, τ, τσ, τσ 2,..., τσ n 1} סיכום איברי D n הם בפרט נקבל כי D n = 2n ושעבור > 2 n החבורה אינה אבלית כי.τσ = στ (למי,D 3 אבל עבור > 3 n החבורות שכבר מכיר איזומורפיזמים ודאו שאתם מבינים כי = S3 D n ו- S n אינן איזומורפיות.) 15 הומומורפיזמים הגדרה.15.1 תהינה ),(G, (H, ) חבורות. העתקה f : G H תקרא הומומורפיזם של חבורות אם מתקיים x, y G, f(x y) = f(x) f(y) 38

Microsoft Word - SDAROT 806 PITRONOT.doc

Microsoft Word - SDAROT 806 PITRONOT.doc 5 יח"ל - תרגילים הכנה לבגרות תרגיל 8 נסמן ב- את האיבר הראשון ונסמן ב- את מנת הסדרה. על פי הנתון מתקיים: 6 ( S6 89 89 0 5 0 5 S0 S5 ( 0 5 0 t t 0 6 (. לפיכך, 89 5 נסמן t ונקבל: 5 t או או או 5 t נפסול את

קרא עוד

תרגיל 9 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. תהי L השפה בעלת סימן פונקצייה דו מקומי G, סימן פונקציה חד מקומי T, סימן יחס תלת מקומי.c, d וקבועים L

תרגיל 9 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד 1. תהי L השפה בעלת סימן פונקצייה דו מקומי G, סימן פונקציה חד מקומי T, סימן יחס תלת מקומי.c, d וקבועים L תרגיל 9 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. תהי L השפה בעלת סימן פונקצייה דו מקומי G, סימן פונקציה חד מקומי T, סימן יחס תלת מקומי.c, d וקבועים L, K סימני יחס חד מקומיים,R לכל אחד מהביטויים הבאים,

קרא עוד

<4D F736F F D20F4FAF8E5EF20EEE5F2E320E020F1EEF1E8F820E120FAF9F2E3>

<4D F736F F D20F4FAF8E5EF20EEE5F2E320E020F1EEF1E8F820E120FAF9F2E3> האקדמית תל אביב-יפו מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות מועד א' סמסטר ב' תשע"ד הפתרון לא נכתב על ידי גורם רשמי ובהחלט יכול להיות שנפלו טעויות פה ושם עשיתי כמיטב יכולתי אבל תשימו לב ותפעילו שיקול דעת אשמח לשמוע

קרא עוד

תורת החישוביות תרגול הכנה לוגיקה ותורת הקבוצות מה יש כאן? בקורס תורת החישוביות נניח ידע בסיסי בתורת הקבוצות ובלוגיקה, והכרות עם מושגים בסיסיים כמו א"ב

תורת החישוביות תרגול הכנה לוגיקה ותורת הקבוצות מה יש כאן? בקורס תורת החישוביות נניח ידע בסיסי בתורת הקבוצות ובלוגיקה, והכרות עם מושגים בסיסיים כמו אב תורת החישוביות תרגול הכנה לוגיקה ותורת הקבוצות מה יש כאן? בקורס תורת החישוביות נניח ידע בסיסי בתורת הקבוצות ובלוגיקה, והכרות עם מושגים בסיסיים כמו א"ב, מילה ושפה לטובת מי ששכח חומר זה, או שלא למדו מעולם,

קרא עוד

מועד: א בחינה סופית במתמטיקה דיסקרטית משך הבחינה: 2 1 שעות מרצה: פרופ' תאופיק מנסור תאריך: סמסטר: א תשע"ח m 2 הוראות לנבחן: )1( הבחינה מו

מועד: א בחינה סופית במתמטיקה דיסקרטית משך הבחינה: 2 1 שעות מרצה: פרופ' תאופיק מנסור תאריך: סמסטר: א תשעח m 2 הוראות לנבחן: )1( הבחינה מו מועד: א בחינה סופית במתמטיקה דיסקרטית משך הבחינה: 2 1 שעות מרצה: פרופ' תאופיק מנסור תאריך: 26.01.2018 2 סמסטר: א תשע"ח m 2 הוראות לנבחן: )1( הבחינה מורכבת מ- 6 שאלות. כל שאלה מזכה ב- 20 נקודות כך הנקודות

קרא עוד

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם 1

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם 1 חשבון אינפיניטסימלי מתקדם הסיכומים של דינה מבוסס על הרצאות ותרגולים מאת: פרופ' רז קופרמן מר אורי שפירא ירושלים 007 תוכן עניינים מרחבים מטריים 3 נספח א' נספח ב' הגדרות ודוגמאות 3 קבוצות מיוחדות במרחב מטרי

קרא עוד

מבנים בדידים וקומבינטוריקה סמסטר אביב תשע"ט מספרי רמזי תרגול 11 הגדרה: (t R = R(s, הוא המספר הטבעי הקטן ביותר כך שבכל צביעה של צלעות הגרף וכחול(, קיים

מבנים בדידים וקומבינטוריקה סמסטר אביב תשעט מספרי רמזי תרגול 11 הגדרה: (t R = R(s, הוא המספר הטבעי הקטן ביותר כך שבכל צביעה של צלעות הגרף וכחול(, קיים מספרי רמזי תרגול 11 הגדרה: (t R = R(s הוא המספר הטבעי הקטן ביותר כך שבכל צביעה של צלעות הגרף וכחול( קיים תת-גרף שלם K s שצבוע בכחול או שקיים תת-גרף שלם K t שצבוע באדום. הגדרה שקולה: עבור גרף עם לפחות (t

קרא עוד

תכנון אלגוריתמים, אביב 1021, תרגול מס' 4 תכנון דינאמי תכנון דינאמי בתרגול זה נדון בבעיית הכפלת סדרת מטריצות (16.1.(CLR ראשית נראה דוגמא: דוגמא: תהינה

תכנון אלגוריתמים, אביב 1021, תרגול מס' 4 תכנון דינאמי תכנון דינאמי בתרגול זה נדון בבעיית הכפלת סדרת מטריצות (16.1.(CLR ראשית נראה דוגמא: דוגמא: תהינה תכנון דינאמי בתרגול זה נדון בבעיית הכפלת סדרת מטריצות (6..(CLR ראשית נראה דוגמא: דוגמא: תהינה ארבע מטריצות:. A, A, A, A נסמן את גודל המטריצות בסדרה ע"י סדרת גדלים כאשר, p 5 5 p היא בגודל A {,,,5,}, P כלומר

קרא עוד

Microsoft Word - hedva 806-pitronot-2011.doc

Microsoft Word - hedva 806-pitronot-2011.doc ו- ( ( השייכים לתחום ההגדרה שאלה פתרון: א. לפי ההגדרה, f היא פונקציה זוגית, אם לכל ( ) שלה, מתקיים. f f נציב את במקום בפונקציה הנתונה ונקבל: ( ) ( ) ( ) + + + + ( ) f f f כלומר, הפונקציה היא זוגית. על

קרא עוד

<4D F736F F D20EEF9E5E5E0E5FA20E3E9F4F8F0F6E9E0ECE9E5FA2E646F63>

<4D F736F F D20EEF9E5E5E0E5FA20E3E9F4F8F0F6E9E0ECE9E5FA2E646F63> משוואות דיפרנציאליות מושגי ייסוד: משוואה המקשרת את גורם הפונקציה עם הפונקציה והנגזרות שלה או הדיפרנציאלים שלה, נקראת "משוואה דיפרנציאלית רגילה" לפתור משוואה דיפרנציאלית פירושו, למצוא את הפונקציה המקיימת

קרא עוד

פתרונות לשאלות ממבחנים עוזי וישנה, 1996 השאלות לקוחות ממבחנים של פרופ' א. רואן. הפתרונות מוצגים באופן תמציתי, ויתכן שבמבחן כדאי להרחיב יותר. קובץ זה נ

פתרונות לשאלות ממבחנים עוזי וישנה, 1996 השאלות לקוחות ממבחנים של פרופ' א. רואן. הפתרונות מוצגים באופן תמציתי, ויתכן שבמבחן כדאי להרחיב יותר. קובץ זה נ פתרונות לשאלות ממבחנים עוזי וישנה, 1996 השאלות לקוחות ממבחנים של פרופ' א. רואן. הפתרונות מוצגים באופן תמציתי, ויתכן שבמבחן כדאי להרחיב יותר. קובץ זה נכתב במקור בתוכנת,Oren ותורגם באופן אוטומטי למחצה ל

קרא עוד

Microsoft Word - ExamA_Final_Solution.docx

Microsoft Word - ExamA_Final_Solution.docx סמסטר חורף תשע"א 18 בפבואר 011 הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מרצה: מתרגלים: רן אל-יניב נועה אלגרבלי, גיא חפץ, נטליה זילברשטיין, דודו ינאי (אחראי) סמסטר חורף תשע" מבחן סופי פתרון (מועד

קרא עוד

. שאלה 1: ה אי x] T : R 4[ x] R 4[ אופרטור ליניארי מוגדר על-ידי T( ax bx cx d) bx ax cx c )13 נק'( א( מצאו את הערכים העצמיים, המרחבים העצמיים

. שאלה 1: ה אי x] T : R 4[ x] R 4[ אופרטור ליניארי מוגדר על-ידי T( ax bx cx d) bx ax cx c )13 נק'( א( מצאו את הערכים העצמיים, המרחבים העצמיים שאלה : ה אי x] : R4[ x] R4[ אופרטור ליניארי מוגדר על-ידי ( ax bx cx d) bx ax cx c )3 נק'( א( מצאו את הערכים העצמיים המרחבים העצמיים והפולינום המורכב מוקטורים עצמיים של R [ [x האופייני של מצאו בסיס של 4

קרא עוד

דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון 608 כללים למציאת נגזרת של פונקציה: n 1. y' n x n, y הנגזרת x.1 נכפול בחזקה )נרשום אותה משמאל ל- (. x א. נחסר אחד מהחזקה. ב

דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון 608 כללים למציאת נגזרת של פונקציה: n 1. y' n x n, y הנגזרת x.1 נכפול בחזקה )נרשום אותה משמאל ל- (. x א. נחסר אחד מהחזקה. ב דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון 608 כללים למציאת נגזרת של פונקציה: n n n, y הנגזרת נכפול בחזקה )נרשום אותה משמאל ל- ( א נחסר אחד מהחזקה ב 7 y כאשר גוזרים כופלים בחזקה, 7 כלומר נרשום אותה משמאל ל-, ובחזקה של

קרא עוד

תאריך הבחינה 30

תאריך הבחינה   30 אוניברסיטת בן-גוריון בנגב מדור בחינות 9//8 תאריך הבחינה : ד"ר ס. סמית, דר' דבורה שמות המורים : פרץ, פרופ' גריגורי דרפל מבחן ב: חדו"א ג' --9 מס' הקורס: מיועד לתלמידי: ביולוגיה, כימיה וגאולוגיה ב מועד: א

קרא עוד

תרגול מס' 7 – חזרה על MST ואלגוריתם Dijkstra

תרגול מס' 7 – חזרה על MST ואלגוריתם Dijkstra תרגול מס' 10 תכנון ליניארי תכנון לינארי הינו כלי שימושי במדעי המחשב. בקורס ראינו כיצד ניתן להציג בעיות שונות במסגרת תכנון לינארי. בנוסף, ראינו שימושים לדואליות של תוכניות לינאריות, אשר מקשרת בין בעיות

קרא עוד

MathType Commands 6 for Word

MathType Commands 6 for Word 0 אלגברה לינארית גיא סלומון סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת מתמטיקה באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות

קרא עוד

מטלת מנחה (ממ"ן) 11 הקורס: חשבון אינפיניטסימלי II חומר הלימוד למטלה: יחידות 2,1 4 מספר השאלות: 7 משקל המטלה: נקודות סמסטר: ב 2007 מו

מטלת מנחה (ממן) 11 הקורס: חשבון אינפיניטסימלי II חומר הלימוד למטלה: יחידות 2,1 4 מספר השאלות: 7 משקל המטלה: נקודות סמסטר: ב 2007 מו מטלת מנחה (ממ"ן) הקורס: - חשבון אינפיניטסימלי II חומר הלימוד למטלה: יחידות, 4 מספר השאלות: 7 משקל המטלה: נקודות 337 סמסטר: ב 7 מועד אחרון להגשה: אנא שים לב: מלא בדייקנות את הטופס המלווה לממ"ן בהתאם לדוגמה

קרא עוד

פקולטה: מחלקה: שם הקורס: קוד הקורס: מדעי הטבע מדעי המחשב ומתמטיקה מתמטיקה בדידה תאריך בחינה: _ 07/07/2015 משך הבחינה: 3 שעות סמ' _ב' מועד

פקולטה: מחלקה: שם הקורס: קוד הקורס: מדעי הטבע מדעי המחשב ומתמטיקה מתמטיקה בדידה תאריך בחינה: _ 07/07/2015 משך הבחינה: 3 שעות סמ' _ב' מועד פקולטה: מחלקה: שם הקורס: קוד הקורס: מדעי הטבע מדעי המחשב ומתמטיקה מתמטיקה בדידה 2-7012610-3 תאריך בחינה: _ 07/07/2015 משך הבחינה: 3 שעות סמ' _ב' מועד ב' שם המרצה: ערן עמרי, ענת פסקין-צ'רניאבסקי חומר עזר:

קרא עוד

Microsoft Word - solutions.doc

Microsoft Word - solutions.doc תחרות גיליס 009-00 הרי פוטר הגיע לחנות הדובשנרייה בהוגסמיד. הוא מגלה, שהכסף שלו מספיק בדיוק ל- סוכריות קוסמים ול- 5 קרפדות שוקולד, או בדיוק ל- 0 קרפדות שוקולד ול- 0 נשיקות מנטה, או בדיוק ל- 45 נשיקות מנטה

קרא עוד

áñéñ åîéîã (ñéåí)

áñéñ åîéîã (ñéåí) מתו% 5 בסיס ומימד סיום) במסגרת הוכחת משפט של בסיסי לכל שני בסיסי של אותו מ"ו יש אותו מספר איברי ), הוכחנו בעצ יותר: משפט: א V מ"ו נוצר סופית, A V קבוצה בת"ל, B V קבוצה פורשת אז. A B הערה: מרחב וקטורי הוא

קרא עוד

שיעור 1

שיעור 1 שיעור קצב גדילת פונקציות אנחנו בודקים את היעילות האסימפטותית של האלגוריתם, כיצד גדל זמן הריצה כאשר גודל הקלט גדל ללא גבול. בדר"כ אלגוריתמים עם "סיבוכיות" ריצה טובה יותר יהיו יעילים יותר מלבד לקלטים קצרים

קרא עוד

אוניברסיטת בן-גוריון המחלקה למדעי המחשב בוחן במבנים בדידים וקומבינטוריקה פרופ' מתיא כ"ץ, ד"ר עופר נימן, ד"ר סטוארט סמית, ד"ר נתן רובין, גב'

אוניברסיטת בן-גוריון המחלקה למדעי המחשב בוחן במבנים בדידים וקומבינטוריקה פרופ' מתיא כץ, דר עופר נימן, דר סטוארט סמית, דר נתן רובין, גב' אוניברסיטת בן-גוריון המחלקה למדעי המחשב בוחן במבנים בדידים וקומבינטוריקה 0-- פרופ' מתיא כ"ץ, ד"ר עופר נימן, ד"ר סטוארט סמית, ד"ר נתן רובין, גב' יעל שטיין טל באומל, לילך חייטמן-ירושלמי, נתי פטר, ד ר סטוארט

קרא עוד

א. נציג את השרטוט המתאים ונסביר בהמשך: שטח המשולש גדול פי משטח המשולש בגרות סט יולי 09 מועד קיץ ב שאלון CAE, CEB כאשר לשני המשולשים גובה משותף

א. נציג את השרטוט המתאים ונסביר בהמשך: שטח המשולש גדול פי משטח המשולש בגרות סט יולי 09 מועד קיץ ב שאלון CAE, CEB כאשר לשני המשולשים גובה משותף א. נציג את השרטוט המתאים ונסביר בהמשך: שטח המשולש גדול פי משטח המשולש 3 CAE, CEB כאשר לשני המשולשים גובה משותף, E בהתאמה. לכן, הנקודה BE.3: לצלעות AE מחלקת את ו- AB ביחס של ע"פ נוסחת חלוקת קטע ביחס נתון

קרא עוד

עב 001 ינואר 12 מועד חורף פתרונות עפר

עב 001 ינואר 12 מועד חורף פתרונות עפר ק( נסמן ב- את מהירות המשאית שיצאה מעיר A (קמ"ש, קבועה) בגרות עב ינואר מועד חורף שאלון 35 נסמן ב- y את מהירות המכונית שיצאה מעיר B (קמ"ש, קבועה) B A נסמן ב- s את המרחק מעיר לעיר "מ) s v עד מפגש ראשון משאית

קרא עוד

! 1! משוואות מסדר ראשו! (הפרדת משתני*, הומוגנית, לינארית) xyy = 1 x y xy 2 = 2xy 2 מצא את הפתרו' הכללי: x y y = 3 א) y ג) ב) ד) y tan x = y (1 ( x+ y

! 1! משוואות מסדר ראשו! (הפרדת משתני*, הומוגנית, לינארית) xyy = 1 x y xy 2 = 2xy 2 מצא את הפתרו' הכללי: x y y = 3 א) y ג) ב) ד) y tan x = y (1 ( x+ y !! משוואות מסדר ראשו! (הפרדת משתני*, הומוגנית, לינארית) tan ( a a z 0 a z s ds dt (רמז: cos d d ז) d ( ) d ( ) ח) ) מצא את הפתרונות המקיימי :. () 0 ( ). (). () 0 d ( ) d ( ) π. sin ln ) tan cos d cos d

קרא עוד

<4D F736F F D20FAF8E2E5EC20E0ECE2E1F8E420EEF2E5F8E D F9E0ECE5FA2E646F63>

<4D F736F F D20FAF8E2E5EC20E0ECE2E1F8E420EEF2E5F8E D F9E0ECE5FA2E646F63> < 0 a b b a > 0 נתון: מכאן ניתן לומר בוודאות כי -. a < b ab < 0 a 0 b > לא ניתן לקבוע בוודאות.. ( 0)?. לא ניתן לדעת. + ( + ) ( ) + + נתון: כמה ערכי שונים מקיימים את המשוואה?. אינסוף 0 +. תשובות ו נכונות

קרא עוד

<4D F736F F D20F4F2E5ECE5FA20EEE5EEF6E0E5FA20312E646F63>

<4D F736F F D20F4F2E5ECE5FA20EEE5EEF6E0E5FA20312E646F63> 1 תרגול פעולות מומצאות ( ( $ מה מהתשובות לא יכולה להיות תוצאה של הפעולה ) ( $ 1 הוגדרה פעולה חדשה $ + 1 1 + 10 + () () מה תוצאת הפעולה ) ( @ @ 10 = הוגדרה הפעולה החדשה 10 1 () 10 () 10 $ 19 $ 17 a) ( $

קרא עוד

Microsoft Word - tutorial Dynamic Programming _Jun_-05.doc

Microsoft Word - tutorial Dynamic Programming _Jun_-05.doc הטכניון מכון טכנולוגי לישראל אלגוריתמים (3447) סמסטר חורף 006/007 הפקולטה למדעי המחשב תכנון דינאמי תרגיל תת מחרוזת משותפת ארוכה ביותר תת-מחרוזת z k שקיימת סדרה עולה ממש,... z = z של מחרוזת נתונה x m,...,,

קרא עוד

הטכניון מכון טכנולוגי לישראל אלגוריתמים 1 )443432( סמסטר חורף הפקולטה למדעי המחשב תרגול 9 מסלולים קלים ביותר תרגיל APSP - 1 עד כה דנו באלגור

הטכניון מכון טכנולוגי לישראל אלגוריתמים 1 )443432( סמסטר חורף הפקולטה למדעי המחשב תרגול 9 מסלולים קלים ביותר תרגיל APSP - 1 עד כה דנו באלגור תרגול 9 מסלולים קלים ביותר תרגיל APSP - 1 עד כה דנו באלגוריתמים לפתרון בעית מסלולים קלים מציאת מסלולים קלים ביותר מצומת ביותר ממקור יחיד. כלומר, V לכל צמתי הגרף. בעיה אחרת הקשורה לבעיה זו היא בעית ה-(

קרא עוד

מתמטיקה של מערכות

מתמטיקה של מערכות מתמטיקה של מערכות פתרון לתרגיל נגזור את שני האגפים לפי ונקבל : ) ולכן נתון ש- אז א ) e e נתון ש- א ) נגזור את שני האגפים לפי ונקבל: e, ולכן ) e e e ונקבל: נחלק את שני האגפים ב- נתון ש- ו- וגם ש- פונקציות

קרא עוד

Limit

Limit פרק אינטגרל כפול לכן לפי משפט 55 )ראו גם את ההערה( שאלות :5 d cos( ) d [ ] [] שאלות עם פתרון שאלה 5 חשבו: פתרון 8 הפונקציה ) f ( ) cos( מתקיים: רציפה במלבן d cos( ) d d cos( ) d עדיף לחשב את האינטגרל השני:

קרא עוד

אלגברה ליניארית תאוריה ותרגילים פרופ' שלמה הבלין, אוניברסיטת בר אילן ד"ר יפית מעין, מרכז אקדמי לב

אלגברה ליניארית תאוריה ותרגילים פרופ' שלמה הבלין, אוניברסיטת בר אילן דר יפית מעין, מרכז אקדמי לב אלגברה ליניארית תאוריה ותרגילים פרופ' שלמה הבלין, אוניברסיטת בר אילן ד"ר יפית מעין, מרכז אקדמי לב 1 א. תכונות וקטורים תוכן עניינים 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 7 8 9 9 10 10 11 11 12 12 וקטור שוויון וקטורים

קרא עוד

2019 שאלות מומלצות לתרגול מס' דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך(. כלל השרשרת. S = ( x, y, z) z = x + 3y על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק

2019 שאלות מומלצות לתרגול מס' דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך(. כלל השרשרת. S = ( x, y, z) z = x + 3y על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק דיפרנציאביליות של פונקציה סקלרית )המשך( כלל השרשרת S ( z) z + על המשטח מצאו נקודה בה מישור משיק מקביל : f ( ) + הפונקציה מוגדרת וגזירה ברציפות בכל M( ) שאלה נתון פרבולואיד אליפטי P ( z) + 6 + z + 8 למישור

קרא עוד

Untitled

Untitled 2 אגודת הסטודנטים, בן-גוריון 3 פתרון מבחן מועד ב', חדו"א 2 להנדסת חשמל, סמסטר ב', תשע"ו שאלה : א הטור המגדיר את fx הוא טור טלסקופי. הסכומים החלקיים של טור זה הם S n x n k kxe kx k xe k x nxe nx x fx lim

קרא עוד

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 313, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 313, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 313, 635863 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 תלמיד קנה 11 מחברות דקות ו- 4 מחברות עבות,

קרא עוד

אנליזה מתקדמת

אנליזה מתקדמת א) א) ג) -- אוניברסיטת בן- מדור בחינות מס' גוריון בנגב תאריך הבחינה: 7/0/00 שם המרצים: פונף, בסר, טקצ'נקו, ליידרמן חדו"א א בחינה ב: 0--00 מס' הקורס: מתמטיקה,מדעי המחשב, הנדסת תכנה מיועד לתלמידי: א' מועד:

קרא עוד

ע 003 מרץ 10 מועד מיוחד פתרונות עפר

ע 003 מרץ 10 מועד מיוחד פתרונות עפר בגרות ע מרץ 0 מועד מיוחד שאלון 5005. x א. () יש למצוא את הערך של m שעבורו גרף + ) mx f ( x) mm ( 6) x + ( כאשר נציב m או 6 m נקבל 0 0 ונקבל פונקציה עולה ובהתאם הישר לא מקביל לציר ה - הוא ישר המקביל לציר

קרא עוד

Microsoft Word - אלגברה מעורב 2.doc

Microsoft Word - אלגברה מעורב 2.doc תרגול אלגברה? ( ), (6 ) 6 9 נתון:. מהו ערכו של. () () () (). למה שווה? a ai. נתון: a + 9 + 6a () () 7 () () אף תשובה אינה נכונה?. ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + )( ) () () () (). נתון: + 0 z z z iz

קרא עוד

ðñôç 005 î

ðñôç 005 î ו - משופר נספח לשאלון 005 9005 תוכן עניינים: עמ' סדרות תוספת לאי-שיוויונים ממעלה שניה יישומים 40 (כולל יישום במשפט ויאטה לעומת הנספח הקודם, השאלות הבאות הוחלפו : עמ ' שאלה עמ ' שאלה עמ ' שאלה 6,7,8,9 0,

קרא עוד

פתרון וחקירת מערכות של משוואות לינאריות שאלות: 1( מצא אילו מהמערכות הבאות הן מערכות שקולות: 2x+ y= 4 x+ y= 3 x y = 0 2x+ y = 3 x+ 10y= 11 א. 2x 2y= 0

פתרון וחקירת מערכות של משוואות לינאריות שאלות: 1( מצא אילו מהמערכות הבאות הן מערכות שקולות: 2x+ y= 4 x+ y= 3 x y = 0 2x+ y = 3 x+ 10y= 11 א. 2x 2y= 0 פתרון וחקירת מערכות של משוואות לינאריות שאלות: 1( מצא אילו מהמערכות הבאות הן מערכות שקולות: x+ y= x+ y= 3 x y = 0 x+ y = 3 x+ 10y= 11 x y= 0 x y= 7 x y= 1 ד x = 3 x+ y = z+ t = 8 רשום את המטריצות המתאימות

קרא עוד

Microsoft Word - Sol_Moedb10-1-2,4

Microsoft Word - Sol_Moedb10-1-2,4 הפקולטה למתמטיקה - הטכניון חיפה מד''ח - 48 חורף תשע''א - בחינה סופית מועד ב' שאלה : תהי נתונה המד"ח הבאה: u + uu = y א. מצא את העקומים האופייניים של משוואה זו בצורה פרמטרית. ב. פתור את המד"ח הנתונה לעיל

קרא עוד

פתרונות לדף מס' 5

פתרונות לדף מס' 5 X הוכיחו כי קבוצה X סגורה אמ"מ פתוחה P נקודה כלשהי עלינו למצוא כך ש- X P X פתרון: תהא X קבוצה סגורה ניקח נניח בשלילה כי לא קיים כזה, ז"א לכל קיימת כך ש- X מכיוון ש- P P נסיק כי d P, P סגורה מתקיים P B

קרא עוד

תכנון אלגוריתמים עבודת בית 4: תכנון אלגוריתמים תאריך הגשה: 02: , בצהריים,תא מספר 66 בקומת כניסה של בניין 003 מתרגל אחראי: אורי 0

תכנון אלגוריתמים עבודת בית 4: תכנון אלגוריתמים תאריך הגשה: 02: , בצהריים,תא מספר 66 בקומת כניסה של בניין 003 מתרגל אחראי: אורי 0 22 עבודת בית 4: תכנון אלגוריתמים תאריך הגשה: 2: 622, בצהריים,תא מספר 66 בקומת כניסה של בניין 3 מתרגל אחראי: אורי הוראות כלליות: כל עוד לא נאמר אחרת, כאשר הנכם מתבקשים לתאר אלגוריתם יש לספק את הבאות: תיאור

קרא עוד

מקביליות

מקביליות תכונות בטיחות Safety Properties גרא וייס המחלקה למדעי המחשב אוניברסיטת בן-גוריון 2 תזכורת: תכונות זמן ליניארי Linear Time Properties תכונות זמן-ליניארי מתארות קבוצת עקבות שהמערכת צריכה לייצר מכוונים ללוגיקה

קרא עוד

rizufim answers

rizufim answers ÌÈÙÂˆÈ מדריך למורה פעילות זו היא פעילות חקר לבדיקת כל אפשרויות הריצוף שבהן סידור מצולעים סביב קודקוד הוא זהה. המצולעים שבהם ישתמשו התלמידים הם: משולש שווה צלעות, משושה משוכלל וריבוע - כולם בעלי צלע באותו

קרא עוד

מבוא ללוגיקה ולתורת הקבוצות

מבוא ללוגיקה ולתורת הקבוצות תורת הקבוצות מושגים בסיסיים מבוא ללוגיקה ולתורת הקבוצות חוברת תרגילים כתוב באופן מפורש את הקבוצות הבאות: 5 2x + 3< היא קבוצת המספרים השלמים המקיימים : 7 B היא קבוצת האותיות הקודמות לאות f באלף-בית הלטיני.

קרא עוד

Microsoft Word - 01 difernziali razionalit

Microsoft Word - 01 difernziali razionalit פונקציות רציונליות 5 יחידות מתוך הספר 806 כרך ד' 0, כל הזכויות שמורות ל ואריק דז'לדטי חל איסור מוחלט לתרגם, להעתיק או לשכפל חוברת זו או קטעים ממנה, בשום צורה ובשום אמצעי אלקטרוני, אופטי או מכני (לרבות

קרא עוד

מקומות גיאומטריים השתלמות קיץ הקדמה: נושא המקומות הגיאומטריים הינו מרכזי בתכנית הלימוד ל- 5 יח"ל. פרק זה מאגד בתוכו את כל המרכיבים של הגיאומטרי

מקומות גיאומטריים השתלמות קיץ הקדמה: נושא המקומות הגיאומטריים הינו מרכזי בתכנית הלימוד ל- 5 יחל. פרק זה מאגד בתוכו את כל המרכיבים של הגיאומטרי מקומות גיאומטריים השתלמות קיץ - 015 הקדמה: נושא המקומות הגיאומטריים הינו מרכזי בתכנית הלימוד ל- 5 יח"ל פרק זה מאגד בתוכו את כל המרכיבים של הגיאומטריה האנליטית: ישר, מעגל, אליפסה ופרבולה בראיה מוכללת נושא

קרא עוד

67865 כלים מתמטיים 7 בינואר 2014 מרצה: מיכאל בן אור מתרגל: צור לוריא איני לוקחת אחריות על מה שכתוב כאן, so tread lightly אין המרצה קשור לסיכום זה בשום

67865 כלים מתמטיים 7 בינואר 2014 מרצה: מיכאל בן אור מתרגל: צור לוריא איני לוקחת אחריות על מה שכתוב כאן, so tread lightly אין המרצה קשור לסיכום זה בשום 67865 כלים מתמטיים 7 בינואר 2014 מרצה: מיכאל בן אור מתרגל: צור לוריא איני לוקחת אחריות על מה שכתוב כאן, so tread lightly אין המרצה קשור לסיכום זה בשום דרך הערות יתקבלו בברכה nogarotman@gmailcom אהבתם?

קרא עוד

<4D F736F F D20F9E9F2E5F820F1E9EEF0E920E7ECE5F7E4>

<4D F736F F D20F9E9F2E5F820F1E9EEF0E920E7ECE5F7E4> ניב רווח פסיכומטרי 1 שיעור מבוא נושא סימני החלוקה כולל מספר מושגים שצריך להכיר כמו חלוקה לגורמים או שארית של חלוקה. בבחינה יכולות להופיע שאלות שיעסקו בנושא זה כנושא בפני עצמו, ולעתים הידע בנושא דרוש לפתרון

קרא עוד

מצגת של PowerPoint

מצגת של PowerPoint שלום לתלמידי י"א חמש יחידות מתמטיקה גיל קרסיק מורה למתמטיקה בשעה וחצי הקרובות נדבר על שאלון 806 סדרות הנדסיות וחשבוניות ארבעה תרגילים שהיו בבחינות בגרות ארבעה טיפים )טיפ אחד אחרי כל תרגיל שנפתור הערב(

קרא עוד

Microsoft Word - 28

Microsoft Word - 28 8-6-7-8 - פתרון מבחן מס' 8 (ספר לימוד שאלון 87) y M (, ) y מרכז המעגל החוסם את המשולש נמצא בנקודת חיתוך האנכים האמצעיים y y לצלעות המשולש: y M _, y y R M ( M) ( M) () R M y m 9 9 69 9 9 9 9 (ב) משוואת

קרא עוד

מבוא לאנליזה נומרית na191 Assignment 2 solution - Finding Roots of Nonlinear Equations y cos(x) שאלה 1 היכן נחתכים הגרפים של? y x 3 1 ושל ממש פתרונות

מבוא לאנליזה נומרית na191 Assignment 2 solution - Finding Roots of Nonlinear Equations y cos(x) שאלה 1 היכן נחתכים הגרפים של? y x 3 1 ושל ממש פתרונות מבוא לאנליזה נומרית na191 Assignmnt 2 solution - Finding Roots of Nonlinar Equations y cos() שאלה 1 היכן נחתכים הגרפים של? y 3 1 ושל ממש פתרונות בעזרת שיטת החצייה ובעזרת Rgula Falsi )אין צורך לפתור אנליטית(

קרא עוד

תרגול 1

תרגול 1 תרגול rcsin d rcsin t d שאלה חשב את האינטגרלים המסוימים הבאים: sin cos d rcsin d sin cos d א ב ג פתרון שאלה סעיף א נציב dt sin d t cos עבור נקבל t cos cos עבור נקבל sin cos d tdt סעיף ב נפתור תחילה בעזרת

קרא עוד

Microsoft Word - 38

Microsoft Word - 38 08.05.6-80 - פתרון מבחן מס' 8 (ספר מבחנים שאלון 0580) t (v 75) (א) מהירות ההתקרבות של שני הרוכבים היא לכן הזמן שעבר מיציאת הרוכבים ועד הפגישה: קמ"ש, שעות 60 v 75 לפי הנתון בשאלה, נרכיב את המשוואות: 60

קרא עוד

שאלון להערכה עצמית במתמטיקה לקראת לימודי שנה א מדוע להתכונן לשנה א מסלולי לימוד רבים באוניברסיטה (מדעי המחשב, הנדסה, פיזיקה וכמובן מתמטיקה) דורשים לימ

שאלון להערכה עצמית במתמטיקה לקראת לימודי שנה א מדוע להתכונן לשנה א מסלולי לימוד רבים באוניברסיטה (מדעי המחשב, הנדסה, פיזיקה וכמובן מתמטיקה) דורשים לימ שאלון להערכה עצמית במתמטיקה לקראת לימודי שנה א מדוע להתכונן לשנה א מסלולי לימוד רבים באוניברסיטה (מדעי המחשב, הנדסה, פיזיקה וכמובן מתמטיקה) דורשים לימודי מתמטיקה בשנה א. אין מבחני כניסה לקורסים אלו, אולם

קרא עוד

Microsoft Word - עבודת פסח לכיתה י 5 יחל.doc

Microsoft Word - עבודת פסח לכיתה י 5 יחל.doc עבודת פסח במתמטיקה לכיתה י' (5 יחידות) תרגילים שבעבודה על החומר שנלמד בכיתה ומיועדים לחזרה יש לעשות לא פחות מ- תרגילים מכל פרק אלגברה פתור את מערכת המשוואות הבאות: y x 1 y y 1 x y m x 1 x עבור אילו ערכים

קרא עוד

פסגות ע"ש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה -

פסגות עש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה - פסגות ע"ש ברוך ונגר בית ספר על יסודי מקיף ומכללה יחס פרופורציה וקנה מידה נוסחאות הכפל המקוצר ופירוק לגורמים פתרון משוואות, אי שוויונות ומערכת משוואות ממעלה ראשונה שאלות מילוליות משוואות ריבועיות שברים

קרא עוד

1 בגרות עח יולי 18 מועד קיץ ב שאלון x b 2 2 y x 6x שיעור ה- א x לכן, של קדקוד הפרבולה, ו-, מתקבל על ידי הנוסחה a. C(3, 9) ובהתאם, y. (3, 9) 2 C

1 בגרות עח יולי 18 מועד קיץ ב שאלון x b 2 2 y x 6x שיעור ה- א x לכן, של קדקוד הפרבולה, ו-, מתקבל על ידי הנוסחה a. C(3, 9) ובהתאם, y. (3, 9) 2 C 8 מועד קיץ ב שאלון 58 x b y x x שיעור ה- א x לכן של קדקוד הפרבולה ו- מתקבל על ידי הנוסחה a C( 9) ובהתאם y ( 9) C 9 C הם x C ( ) תשובה: שיעורי קדקוד הפרבולה B A y x x ב הישר y 5 חותך את הפרבולה בנקודות

קרא עוד

משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון

משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון אינטגרל מסוים i שאינו תלוי בחלוקה ] [ ובחירה m. S f סכום אינטגרלי + f + K i lim S כאשר i 0. I f I הגדרה אם קיים נקרא אינטגרל מסוים ומסומן הצבה.[ רציפות ב- ] אז הוא f g g g כאשר f g g כאשר udv uv vdu g

קרא עוד

מבוא לתכנות ב- JAVA תרגול 7

מבוא לתכנות ב- JAVA  תרגול 7 מבוא לתכנות ב- JAVA תרגול 8 תזכורת - מבנה של פונקציה רקורסיבית.2 פונקציה רקורסיבית מורכבת משני חלקים עיקריים 1. תנאי עצירה: מקרה/מקרים פשוטים בהם התוצאה לא מצריכה קריאה רקורסיבית לחישוב צעד רקורסיבי: קריאה

קרא עוד

טיפים להצלחה במהלך הבחינה 1. בתחילת הבחינה קראו היטב את כל השאלות וסמנו לעצמכם את השאלות המועדפות על ידכם. קראו כל שאלה לפחות פעמיים, כדי שלא תחמיצו נ

טיפים להצלחה במהלך הבחינה 1. בתחילת הבחינה קראו היטב את כל השאלות וסמנו לעצמכם את השאלות המועדפות על ידכם. קראו כל שאלה לפחות פעמיים, כדי שלא תחמיצו נ טיפים להצלחה במהלך הבחינה 1. בתחילת הבחינה קראו היטב את כל השאלות וסמנו לעצמכם את השאלות המועדפות על ידכם. קראו כל שאלה לפחות פעמיים, כדי שלא תחמיצו נתון כלשהו.. אין צורך לענות על השאלות לפי סדר הופעתן.

קרא עוד

שאלה 2. תכנות ב - CShell

שאלה 2. תכנות ב - CShell ביה"ס למדעי המחשב 4.2.2018 האקדמית נתניה מבחן מועד א' יסודות מערכות פתוחות סמסטר חורף, תשע"ח משך המבחן: שלוש וחצי שעות. יש לענות על כל השאלות. מותר השימוש בחומר עזר כלשהו, פרט למחשבים, (מחשבונים מותר).

קרא עוד

Microsoft Word - beayot tnua 3 pitronot.doc

Microsoft Word - beayot tnua 3 pitronot.doc ק( בעיות מילוליות - בעיות תנועה.7 פתרון: א. נסמן : קמ"ש קמ"ש מהירותו של הולך הרגל. מהירותו של רוכב האופניים. משך זמן הליכתו של הולך הרגל מקיבוץ א' לקיבוץ ב'. משך זמן רכיבתו של רוכב האופניים מקיבוץ א' לקיבוץ

קרא עוד

מבוא למדעי המחשב

מבוא למדעי המחשב מבוא כללי לתכנות ולמדעי המחשב 1843-0310 מרצה: אמיר רובינשטיין מתרגל: דין שמואל אוניברסיטת תל אביב סמסטר חורף 2017-8 חלק ב - מבוא לקריפטוגרפיה שיעור 5 (offset מונחים בסיסיים צופן קיסר (היסט,.1.2 1 Today

קרא עוד

אוניברסיטת בן-גוריון בנגבNEGEV BEN-GURION UNIVERSITY OF THE ת.ד.,653 באר-שבעISRAEL 10584P.O.B. 653, BEER SHEVA , המזכירות האקדמית המרכז ללימודים

אוניברסיטת בן-גוריון בנגבNEGEV BEN-GURION UNIVERSITY OF THE ת.ד.,653 באר-שבעISRAEL 10584P.O.B. 653, BEER SHEVA , המזכירות האקדמית המרכז ללימודים אוניברסיטת בן-גוריון בנגבNEGEV BEN-GURION UNIVERSITY OF THE ת.ד.,65 באר-שבעISRAEL 058P.O.B. 65, BEER SHEVA 8 05, המזכירות האקדמית המרכז ללימודים קדם אקדמיים אלגברה - נוסחאות הכפל מקוצר גיליון תרגילים מס'

קרא עוד

Algorithms Tirgul 1

Algorithms Tirgul 1 - מעגלי אוילר ומסלולי אוילר תרגול 1 חידה: האם אפשר לצייר את הציורים הבאים בלי להרים את העיפרון מהנייר? 1 קצת אדמיניסטרציה אופיר פרידלר ophir.friedler@gmail.com אילן כהן - ilanrcohen@gmail.com שעות קבלה

קרא עוד

אי שוויונים ממעלה ראשונה לארבע יחידות

אי שוויונים ממעלה ראשונה לארבע יחידות אי שיוונים ממעלה ראשונה ל יח"ל. נעמי ברנס/כהן. המחברות: מיטל מתלון/מיכאלי. רטל חדד/בן רחמים הנחיות לשימוש בחוברת "אי שויונים ממעלה ראשונה" לתלמידי יח"ל החוברת מיועדת ללימוד עצמאי למי שלא למד את הנושא.

קרא עוד

סז 002 נואר 07 מועד חורף פתרונות עפר

סז 002 נואר 07 מועד חורף פתרונות עפר הציר האופקי מציג את מספר פעימות המונה הציר האנכי מציג את המחיר שגובה חברת הטלפונים (שקלים) ב. א. יש למצוא מהו המחיר ל- 00 פעימות המונה הראשונות בחודש. הנקודה המסומנת בגרף, בעיגול, מראה כי עבור 00 פעימות

קרא עוד

מקביליות

מקביליות תכונות שמורה Invariant Properties גרא וייס המחלקה למדעי המחשב אוניברסיטת בן-גוריון 2 בדיקות מודל Checking( )Model מערכת דרישות מידול פירמול בדיקות מודל )Model Checking( מודל של המערכת תכונות פורמליות סימולציה

קרא עוד

תוכן העניינים: פרק צמצומים ומימושים של פונקציות בוליאניות... 2 צמצומים של פונקציות באמצעות מפת קרנו:...2 שאלות:... 2 תשובות סופיות:... 4 צמצום

תוכן העניינים: פרק צמצומים ומימושים של פונקציות בוליאניות... 2 צמצומים של פונקציות באמצעות מפת קרנו:...2 שאלות:... 2 תשובות סופיות:... 4 צמצום תוכן העניינים: פרק 2 3 צמצומים ומימושים של פונקציות בוליאניות 2 צמצומים של פונקציות באמצעות מפת קרנו: 2 שאלות: 2 תשובות סופיות: 4 צמצום באמצעות שיטת 6:QM שאלות: 6 תשובות סופיות: 7 מימושים בעזרת פונקציות

קרא עוד

משוואות דפרנציאליות רגילות /ח

משוואות דפרנציאליות רגילות /ח qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty Version 10 uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq משוואות דפרנציאליות רגילות /ח wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

קרא עוד

Microsoft PowerPoint - YL-05.ppt

Microsoft PowerPoint - YL-05.ppt מבוא למחש ב ב שפת C הרצאה 5: לולאות מבוסס על השקפים שחוברו ע"י שי ארצי, גיתית רוקנשטיין ז"ל, איתן אביאור וסאהר אסמיר עבור הקורס "מבוא למדעי המחשב". עודכן ע"י דן רביב. עדכון אחרון: מרס 2015 יחיאל קמחי נכתב

קרא עוד

עבודת קיץ לקראת כיתה ט' - מצויינות מתמטיקה העבודה כוללת שאלות מכל הנושאים שנלמדו במהלך השנה. את חלק מהשאלות כבר פגשתם, וזו הזדמנות עבורכם לוודא שאתם י

עבודת קיץ לקראת כיתה ט' - מצויינות מתמטיקה העבודה כוללת שאלות מכל הנושאים שנלמדו במהלך השנה. את חלק מהשאלות כבר פגשתם, וזו הזדמנות עבורכם לוודא שאתם י עבודת קיץ לקראת כיתה ט' - מצויינות מתמטיקה העבודה כוללת שאלות מכל הנושאים שנלמדו במהלך השנה. את חלק מהשאלות כבר פגשתם, וזו הזדמנות עבורכם לוודא שאתם יודעים כיצד לפתור אותן. את העבודה יש להגיש במהלך השבוע

קרא עוד

Microsoft Word - c_SimA_MoedA2006.doc

Microsoft Word - c_SimA_MoedA2006.doc מבוא למדעי המחשב בחינת מועד א', סמסטר א' תשס"ו,..006 מרצה: מתרגלת: גב' יעל כהן-סיגל. גב' ליאת לוונטל. משך המבחן: שעתיים וחצי. חומר עזר: מותר כל חומר עזר, מלבד מחשב. הנחיות:. יש לענות על כל השאלות.. קראו

קרא עוד

אוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב מבוא למדעי המחשב מועד א' סמסטר ב', תשע"ג, משך המבחן: שעתיים וחצי חומר עזר: אסור הנחיות: וודאו כי יש בידיכם

אוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב מבוא למדעי המחשב מועד א' סמסטר ב', תשעג, משך המבחן: שעתיים וחצי חומר עזר: אסור הנחיות: וודאו כי יש בידיכם אוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב מבוא למדעי המחשב מועד א' סמסטר ב', תשע"ג,.6.013 משך המבחן: שעתיים וחצי חומר עזר: אסור הנחיות: וודאו כי יש בידיכם 8 עמודי שאלון )כולל עמוד זה(. עליכם לכתוב את התשובות על

קרא עוד

מספר זהות: סמסטר ב' מועד א' תאריך: 11102/4// שעה: 9:22 משך הבחינה: 3 שעות חומר עזר: אין מותר השימוש במחשבון פשוט בחינה בקורס: מבני נתונים מרצה: הדר בי

מספר זהות: סמסטר ב' מועד א' תאריך: 11102/4// שעה: 9:22 משך הבחינה: 3 שעות חומר עזר: אין מותר השימוש במחשבון פשוט בחינה בקורס: מבני נתונים מרצה: הדר בי מספר זהות: סמסטר ב' מועד א' תאריך: 11102/4// שעה: 9:22 משך הבחינה: 3 שעות חומר עזר: אין מותר השימוש במחשבון פשוט בחינה בקורס: מבני נתונים מרצה: הדר בינסקי הנחיות: יש לענות על כל השאלות. יש לענות על כל

קרא עוד

אוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב.5.6 מבוא למדעי המחשב סמסטר א' תשע"ז בחינה סופית מועד א', מרצה: שולי וינטנר מתרגלים: סמאח אידריס, ראמי עילבו

אוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב.5.6 מבוא למדעי המחשב סמסטר א' תשעז בחינה סופית מועד א', מרצה: שולי וינטנר מתרגלים: סמאח אידריס, ראמי עילבו אוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב.5.6 מבוא למדעי המחשב סמסטר א' תשע"ז בחינה סופית מועד א', 31.1.2017 מרצה: שולי וינטנר מתרגלים: סמאח אידריס, ראמי עילבוני, דולב שרון הנחיות: 1. משך הבחינה: 120 דקות. 2. היציאה

קרא עוד

סיכום אינפי 2 28 ביולי 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה ב

סיכום אינפי 2 28 ביולי 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה ב סיכום אינפי 2 28 ביולי 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך..אינני לוקחת אחריות על מה שכתוב מטה. השימוש

קרא עוד

בגרות עז יולי 17 מועד קיץ ב שאלון ,000 א. ניתוח הנתונים מחירה של ספה הוא שקלים, והיא התייקרה ב-. 25% כאשר המחיר מתייקר ב- המחיר החדש הוא פי,

בגרות עז יולי 17 מועד קיץ ב שאלון ,000 א. ניתוח הנתונים מחירה של ספה הוא שקלים, והיא התייקרה ב-. 25% כאשר המחיר מתייקר ב- המחיר החדש הוא פי, ,000 א ניתוח הנתונים מחירה של ספה הוא שקלים, והיא התייקרה ב- 5% כאשר המחיר מתייקר ב- המחיר החדש הוא פי, 5% לכן, המחיר החדש הוא: 5,000 00 5 5 00 שקלים ממחירו הקודם 0005 תשובה: מחיר הספה לאחר ההתייקרות הוא

קרא עוד

סדרה חשבונית והנדסית

סדרה חשבונית והנדסית .2 סדרות חשבוניות וסדרות הנדסיות n = 5 טבעי על-ידי כלל הנסיגה: + = an + 3. סדרה מוגדרת לכל n רשמו את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה. הסבירו מדוע הסדרה הנתונה היא סדרה חשבונית עולה. מצאו את האיבר ה- 57 בסדרה.

קרא עוד

תאריך פרסום: תאריך הגשה: מבנה נתונים תרגיל 5 )תיאורטי( מרצה ומתרגל אחראים: צחי רוזן, דינה סבטליצקי נהלי הגשת עבודה: -את העבודה יש לה

תאריך פרסום: תאריך הגשה: מבנה נתונים תרגיל 5 )תיאורטי( מרצה ומתרגל אחראים: צחי רוזן, דינה סבטליצקי נהלי הגשת עבודה: -את העבודה יש לה תאריך פרסום: 01.01.15 תאריך הגשה: 15.01.15 מבנה נתונים תרגיל 5 )תיאורטי( מרצה ומתרגל אחראים: צחי רוזן, דינה סבטליצקי נהלי הגשת עבודה: -את העבודה יש להגיש בזוגות. -העבודה חייבת להיות מוקלדת. -הקובץ חייב

קרא עוד

Microsoft Word - vaidya.doc

Microsoft Word - vaidya.doc Preconditioners של וואידיה ברצוננו לפתור Axb כאשר המטריצה A היא מטריצה סימטרית חיובית (כל הערכים העצמיים שלה חיוביים) ודלילה (רוב הערכים בה הם אפס). דרך אחת לפתור מערכת לינארית כזאת היא הדרך הישירה: מציאת

קרא עוד

סט נובמבר 08 מועד מיוחד - פתרונות עפר.doc

סט נובמבר 08 מועד מיוחד - פתרונות עפר.doc נפתור את מערכת המשוואות y+ 3 = 5 5 7 3 2y + = 8 3 נארגן את המשוואה הראשונה 1/ 5/ y+ 3 5 = 5 1 y+ 3= 5(5 ) y+ 3= 25 5 8+ y= 25 /5 נארגן את המשוואה השנייה 3 1 3 / / / 2y 7 3 8 + = 1 3 1 6y+ 7 3= 24 7+ 6y

קרא עוד

א"ודח ב2 גרבימ הרש 1 רפסמ האצרה סקוטס טפשמו בחרמב םיווק םילרגטניא 13 בחרמב ינש גוסמ יוק לרגטניא L יהי :ידי לע ירטמרפ ןפואב ראותמה בחרמב קלח םוקע (x(t)

אודח ב2 גרבימ הרש 1 רפסמ האצרה סקוטס טפשמו בחרמב םיווק םילרגטניא 13 בחרמב ינש גוסמ יוק לרגטניא L יהי :ידי לע ירטמרפ ןפואב ראותמה בחרמב קלח םוקע (x(t) א"ודח ב גרבימ הרש רפסמ האצרה סקוטס טפשמו בחרמב םיווק םילרגטניא בחרמב ינש גוסמ יוק לרגטניא יהי :ידי לע ירטמרפ ןפואב ראותמה בחרמב קלח םוקע ttt t r רשאכ ttt :עטקב תופיצר תורזגנ תולעב [ab]. יהי F תופיצר תורזגנ

קרא עוד

מבחן סוף סמסטר מועד א 15/02/08 מרצה אחראית: דר שירלי הלוי גינסברג מתרגלים: גלעד קותיאל, דניאל גנקין הוראות: א. בטופס המבחן 7 עמודים ו 4 דפי נוסחאות. ב

מבחן סוף סמסטר מועד א 15/02/08 מרצה אחראית: דר שירלי הלוי גינסברג מתרגלים: גלעד קותיאל, דניאל גנקין הוראות: א. בטופס המבחן 7 עמודים ו 4 דפי נוסחאות. ב מבחן סוף סמסטר מועד א 15/02/08 מרצה אחראית: דר שירלי הלוי גינסברג מתרגלים: גלעד קותיאל, דניאל גנקין הוראות: א. בטופס המבחן 7 עמודים ו 4 דפי נוסחאות. בדקו שכל העמודים ברשותכם. ב. משך המבחן שלוש שעות (180

קרא עוד

HaredimZ2.indb

HaredimZ2.indb יחידה :31חופפים משולשים נחפוף משולשים ונוכיח תכונות של אלכסוני משולשים שווה שוקיים ואלכסוני המלבן. שיעור.1חופפים במשולש שווה שוקיים נחקור ונוכיח תכונות של משולש שווה שוקיים נתון משולש שווה שוקיים שבו.

קרא עוד

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation מבוא למדעי המחשב תירגול 6: כתובות ומצביעים 1 תוכנייה מצביעים מצביעים ומערכים, אריתמטיקה של מצביעים 2 3 מצביעים תזכורת- כתובות זיכרון הזיכרון כתובת התא #1000 #1004 #1008 ערך השמור בתא תא 10-4 לא מאותחל

קרא עוד

PRESENTATION NAME

PRESENTATION  NAME נכתב ע"י כרמי גרושקו. כל הזכויות שמורות 2010 הטכניון, מכון טכנולוגי לישראל הקצאה דינמית )malloc( מערכים דו-מימדיים סיבוכיות: ניתוח כזכור, כדי לאחסן מידע עלינו לבקש זכרון ממערכת ההפעלה. 2 עד עכשיו: הגדרנו

קרא עוד

אוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב מרצה: שולי וינטנר מתרגלים: נעמה טוויטו, מחמוד שריף מבוא למדעי המחשב סמסטר א' תשע"ב בחינת סיום, מועד א', הנחי

אוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב מרצה: שולי וינטנר מתרגלים: נעמה טוויטו, מחמוד שריף מבוא למדעי המחשב סמסטר א' תשעב בחינת סיום, מועד א', הנחי אוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב מרצה: שולי וינטנר מתרגלים: נעמה טוויטו, מחמוד שריף מבוא למדעי המחשב סמסטר א' תשע"ב בחינת סיום, מועד א', 6.2.2012 הנחיות: 1. משך הבחינה: 120 דקות. 2. היציאה מהכיתה במהלך

קרא עוד

. [1,3] ו = 0 f(3) f(1) = עמוד 1 מתוך 6 דר' ז. אולחא מס' הקורס 9711 חדו''א הנ מכונות 1 f ( x) = ( x 1)( x 2)( x 3) c= f c = c (1,3), c תשובות I 1) פונ

. [1,3] ו = 0 f(3) f(1) = עמוד 1 מתוך 6 דר' ז. אולחא מס' הקורס 9711 חדו''א הנ מכונות 1 f ( x) = ( x 1)( x 2)( x 3) c= f c = c (1,3), c תשובות I 1) פונ . [,] ו 0 f() f() עמוד מתוך 6 ז. אולחא מס' הקורס 97 חדו''א הנ מכונות f ( ) ( )( )( ) f (,), תשובות I ) פונ' לכן קיים פתרון רציפה וגזירה בקטע כך ש 0 ) (? f ( ) +, ± ± 0.58 (, ),.58,.4 יש n פעמים להשתמש

קרא עוד

תכנות דינמי פרק 6, סעיפים 1-6, ב- Kleinberg/Tardos סכום חלקי מרחק עריכה הרעיון: במקום להרחיב פתרון חלקי יחיד בכל צעד, נרחיב כמה פתרונות אפשריים וניקח

תכנות דינמי פרק 6, סעיפים 1-6, ב- Kleinberg/Tardos סכום חלקי מרחק עריכה הרעיון: במקום להרחיב פתרון חלקי יחיד בכל צעד, נרחיב כמה פתרונות אפשריים וניקח תכנות דינמי פרק 6, סעיפים -6, ב- Kleinberg/Tardos סכום חלקי מרחק עריכה הרעיון: במקום להרחיב פתרון חלקי יחיד בכל צעד, נרחיב כמה פתרונות אפשריים וניקח בסוף את הטוב ביותר. סכום חלקי sum) (subset הקלט: סדרה

קרא עוד

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation מה הם הגורמים שקובעים את רמת הפעילות הכלכלית, שער הריבית, רמת המחירים ורמת התעסוקה? הפעילות המשותפת במספר שווקים: פעילות ריאלית שוק הסחורות: CIGX-M עקומת IS (r,) שיווי משק ל פעילות מונטרית שוק הכספים:

קרא עוד

Microsoft Word - ex04ans.docx

Microsoft Word - ex04ans.docx 1 אריאל סטולרמן סטטיסטיקה / תרגיל #4 קבוצה 03 Φ2. ההתפלגות הנורמלית (1) Φ2.2. Φ2.22. Φ1.5 1Φ1.5. Φ0. Φ5 1Φ5 1Φ4.417. Φ 1Φ 1Φ4.417. נתון: ~ 0,1 ( a )להלן חישוב ההסתברויות: 2.22 1.55 Φ1.55 Φ2.22 Φ1.55 1Φ2.22

קרא עוד

"עשר בריבוע", כיתה ז' - מדריך למורה 1. משתנה וביטוי אלגברי 1. משתנה וביטוי אלגברי רקע הפרק "משתנה משתנה וביטוי אלגברי" פותח את השנה ואת לימוד האלגברה.

עשר בריבוע, כיתה ז' - מדריך למורה 1. משתנה וביטוי אלגברי 1. משתנה וביטוי אלגברי רקע הפרק משתנה משתנה וביטוי אלגברי פותח את השנה ואת לימוד האלגברה. רקע הפרק "משתנה משתנה וביטוי אלגברי" פותח את השנה ואת לימוד האלגברה. בפרק אנו עוסקים תחילה בחוקיות. מהי חוקיות? המושג חוקיות, REGULARITY באנגלית, הוא מושג בסיסי להבנת תופעות טבע, רוב התופעות במדע וכן התנהגות

קרא עוד

שיטות הסתברותיות ואלגוריתמים חוברת התרגילים 25 באוקטובר 2015 חוברת זו מכילה תרגילים נבחרים מהיסטוריית הקורס ופתרונם. בשעות האימון יוצג מבחר מהתרגילים

שיטות הסתברותיות ואלגוריתמים חוברת התרגילים 25 באוקטובר 2015 חוברת זו מכילה תרגילים נבחרים מהיסטוריית הקורס ופתרונם. בשעות האימון יוצג מבחר מהתרגילים שיטות הסתברותיות ואלגוריתמים חוברת התרגילים 5 באוקטובר 05 חוברת זו מכילה תרגילים נבחרים מהיסטוריית הקורס ופתרונם. בשעות האימון יוצג מבחר מהתרגילים בחוברת. מרחק בין התפלגויות קרבה בין התפלגויות עבור שתי

קרא עוד

אוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב מרצה: שולי וינטנר מתרגלים: נעמה טוויטו, מחמוד שריף מבוא למדעי המחשב סמסטר א' תשע"ב בחינת סיום, מועד א', הנחי

אוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב מרצה: שולי וינטנר מתרגלים: נעמה טוויטו, מחמוד שריף מבוא למדעי המחשב סמסטר א' תשעב בחינת סיום, מועד א', הנחי אוניברסיטת חיפה החוג למדעי המחשב מרצה: שולי וינטנר מתרגלים: נעמה טוויטו, מחמוד שריף מבוא למדעי המחשב סמסטר א' תשע"ב בחינת סיום, מועד א', 6.2.2012 הנחיות: 1. משך הבחינה: 120 דקות. 2. היציאה מהכיתה במהלך

קרא עוד

Microsoft Word B

Microsoft Word B מרצה: שולי וינטנר. מתרגל: שלמה יונה מבוא למדעי המחשב מועד ב', סמסטר א' תשס"ג, 17/2/03 משך המבחן: שעתיים וחצי. חומר עזר: מותר כל חומר עזר, מלבד מחשב. הנחיות: 1. ודאו כי בטופס שבידיכם 8 עמודים. יש לכתוב

קרא עוד

שימו לב! יש לענות על כל השאלות בתוך טופס הבחינה, מחברות טיוטא הולכות לגריסה. על השאלות יש לענות במקום המיועד אחרי כל שאלה. תאריך הבחינה: שם

שימו לב! יש לענות על כל השאלות בתוך טופס הבחינה, מחברות טיוטא הולכות לגריסה. על השאלות יש לענות במקום המיועד אחרי כל שאלה. תאריך הבחינה: שם שימו לב! יש לענות על כל השאלות בתוך טופס הבחינה, מחברות טיוטא הולכות לגריסה. על השאלות יש לענות במקום המיועד אחרי כל שאלה. תאריך הבחינה: 26.01.2018 שם המרצים: דר' אלה שגב, דר' יובל ביתן שם הקורס: מבוא

קרא עוד