ו- ( ( השייכים לתחום ההגדרה שאלה פתרון: א. לפי ההגדרה, f היא פונקציה זוגית, אם לכל ( ) שלה, מתקיים. f f נציב את במקום בפונקציה הנתונה ונקבל: ( ) ( ) ( ) + + + + ( ) f f f כלומר, הפונקציה היא זוגית. על סמך הגדרת הערך המוחלט, מתקיים: + +, > f ( ), +, <. נמצא את נגזרת הפונקציה בסביבה שמשמאל ובסביבה שמימין לנקודה ( + ) ( ) > : f 6 8 + f < : f 6 8 f אינה שווה לנגזרת שבסביבה קיבלנו שהנגזרת בסביבה הימנית של הנקודה. השמאלית, לכן הפונקציה אינה גזירה בנקודה שבה. לפיכך מתקיים t, נניח כי עבור > שיעורי ה- של שתי נקודות הקיצון הם: t f () t 6t 8t + t + 8t f ( t) 8t 56t + 8t ( t ) t, t, t התוצאה t אינה מקיימת אף משוואה, התוצאה t אינה מקיימת את התחום,.(, 6) לכן הפתרון הוא: t. מכאן שנקודות הקיצון הפנימיות הן: 6,, ניעזר בנגזרת השנייה ונבדוק את סוג הקיצון: f () ( 6 8 + ) 8 8 f 6< ; f () > הנקודה 6, היא נקודת מקסימום מקומי. הנקודה (6 (, היא נקודת מינימום מקומי. הנקודה, היא נקודת מינימום מקומי ומוחלט כי שיעור ה- y שלה הוא הנמוך ביותר.
y היא מקסימום מקומי ומוחלט כי שיעור ה- y שלה הוא הגדול ביותר.. < <. < <, < < (, 6) תחומי העלייה הם: תחום הירידה הוא: ד. על סמך סעיף א' הפונקציה זוגית לכן גרף הפונקציה סימטרי לגבי ציר ה-. y נסרטט את גרף הפונקציה: ( ) ( ) שאלה פתרון (תקציר): א. נגזור את הפונקציה: + + + + f() m m m m m m m m + m m f() ; f ( ) m + ( + m) + m הדיסקרימיננטה של המשוואה ריבועית הנ"ל מקיימת: + m m 6 + 6m + m m 6 + 6m m 6 + 6m > >, דהיינו: m m m m m למשוואה ריבועית יש שני פתרונות אם: ו- m, m> m : f ;. m m 6 + 6m < ( ) m ו- : למשוואה יש פתרון אחד אם ( i) ( ii) נציב את הערבים הנ"ל במשוואה ונקבל: + m : f ( ) אינה בתחום ההגדרה של הפונקציה, ולכן התוצאה היא: אך הנקודה אין נקודות קיצון כאשר m וגם < m + + f ( ) ; f ( ) ( ) ( iii) הפונקציה ונגזרתה הן: תחום ההגדרה: ±.
(,). אין נקודות חיתוך עם ציר ה-. נקודת החיתוך עם ציר ה- y היא: ד. ± עבור. ± הן: המכנה של מתקיים: f() מתאפס והמונה איננו מתאפס לכן האסימפטוטות האנכיות. y () lim f לפיכך האסימפטוטה האופקית היא: ± f ( ) + +, ה. על-ידי בדיקת התנהגות הפונקציה בסביבה של כל אחת מנקודות החשודות לקיצון נמצא כי: 5 ma,, min (,.5). < <, < < תחומי העלייה הם:. >, < < תחומי הירידה הם: <, y..5.5 שאלה פתרון: תחום ההגדרה: ) f ( זוגית ורציפה f (.5) < f( ) הנקודה חשודה לקיצון כי הפונקציה אינה גזירה בנקודה זו. < <.5 (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) על סמך הטבלה, בקטע פתוח מתקיים: ) f ( בתחום הנ"ל. < f ( ) > f יורדת עבור < <, כי ) f ( עולה עבור <.5 <, כי הנקודה היא מינימום של בתחום הנ"ל. בתחום הנ"ל..( 7) - - - -,( 6).( 5),( ).( 6) נובע מ-( 5 ), f ( ) >,( ),( ). f ( ) <.5 <, כי,( ) (, ) ( f ( קעורה כלפי מעלה עבור ( (, היא מקסימום מוחלט. נובע מ- הנקודות ו- הן מינימום מוחלט. נובע מ-,( 8),( 6),( 5), ( ). f ( ) (, ),( ),( ) (, ) על סמך הטענות ( ( נסרטט סקיצה של,( 9) ( 5) ( 6) ( 7) ( 8) ( 9) ( ) ( )
f a sin cos a sin cos + sin cos a cos cos + sin ( sin ) a ( cos cos sin sin ) f ( ) a ( cos cos sin sin cos ) sinα sinα cosα שאלה פתרון: א. נגזור את הפונקציה: a cos ( cos sin cosα ) sin α cos f ( ) a cos cos a cos ( cos + cos ) f acos cos הוא, זאת אומרת נמצא את ערך הפרמטר : a נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה. שנגזרת הפונקציה בנקודה הנ"ל שווה ל- f a cos cos a a. f() sin cos על סמך סעיף ב', הפונקציה היא נמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה- y: f () sin cos (, ) : נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה- בתחום הנתון y f() sin cos sin או K K או או K cos +K +, K, ±,... ניעזר בטבלה הבאה: K K K +. (, ),,,(, ), (, ) ד. נקודות החיתוך עם ציר ה- בתחום הנתון הן: מסעיפים א' ו-ב' נובע שהנגזרת של הפונקציה היא cos. f cos נשווה את הנגזרת לאפס ונמצא את הנקודות החשודות לקיצון: cos cos או cos f cos או cos cos
+K.+ K K, ±,... +K או או ±.68+ K. +K, : נמצא את הנקודות החשודות לקיצון, השייכות לתחום K + K.+K.+ K...866...866, הנקודות החשודות לקיצון הן:,. נבנה את טבלת החקירה. (נדלג על רישום החישובים הדרושים לבניית הטבלה. יש לציין כי חובה לבצע אותם.) f() f() min < <. + עולה..8 ma.< < יורדת min < <.866 + עולה.866.8 ma.866< < יורדת min ; < <.866, < <. לסיכום: תחומי העלייה הם: בנקודות תחומי הירידה הם: ו-,.8) (.866 יש (.,.8) ;.866 < <,.< < מקסימום מקומי ומוחלט, כי שיעור ה- y שלהן הוא הגבוה ביותר; שלה הוא הנמוך ביותר ; בנקודה ) ( יש מינימום מקומי ומוחלט, כי שיעור ה- y, בנקודת קצה שמאלית (,) יש מינימום מקומי, כי הפונקציה עולה מימינה; בנקודת קצה ימנית (, ( יש מינימום מקומי, כי הפונקציה יורדת משמאל לנקודה. y ה. נסרטט את סקיצת גרף הפונקציה על-פי התוצאות שקיבלנו בסעיפים קודמים: 5
שאלה 5 פתרון: א. נתון כי הישר הפונקציה מתאפס עבור הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה, כלומר המכנה של נמצא את ערך הפרמטר : a a sin a a.. f( ) על סמך סעיף א', הפונקציה היא sin נשווה את המכנה לאפס ונמצא את נקודות אי-ההגדרה של הפונקציה: sin sin sin 5 + K, + K או או K ± sin + K, + K 5 השייכות לתחום הנתון הן:.,, עבור כל,,... נקודות אי-ההגדרה, אחת מנקודות אי-ההגדרה הנ"ל המכנה של הפונקציה מתאפס והמונה אינו מתאפס, לכן 5 הישרים ו- הם שתי האסימפטוטות האנכיות הנוספות (הישר הוא אסימפטוטה אנכית על-פי הנתון). בהתאם לתחום ההגדרה, צריך לבדוק את התנהגות 5 הפונקציה מימין לנקודה, משמאל ומימין לנקודה ומשמאל לנקודה. lim f ( ) lim + ; + + sin sin + + + lim f ( ) lim + ; sin sin + + lim f ( ) lim ; sin + + sin + lim f ( ) lim. sin 5 5 5 sin נגזור את הפונקציה: f ( ) v sin v v( ) f ( ) ( sin ) sincos ( sin ) ( sin ) 6
( ) sinα cosα sinα f sin ( sin ) נשווה את הנגזרת לאפס ונמצא את הנקודות החשודות לקיצון: f ( ) sin sin K sin K, K, ±,... הן:., הנקודות החשודות לקיצון, השייכות לתחום הנתון, נבנה את טבלת החקירה בהתאם לתחום הנתון ולמיקומן של הנקודות החשודות לקיצון ונקודות אי-ההגדרה בתחום זה. p p p p 5p (נדלג על רישום החישובים הדרושים לבניית הטבלה. יש לציין כי חובה לבצע אותם.) f() f() < < יורדת min < < + עולה < < + עולה ma < < 5 יורדת 5, < < ; < <, < < לסיכום: תחומי העלייה הם: תחומי הירידה הם: יש מקסימום מקומי; y (, ) < ; > בנקודה יש מינימום מקומי; בנקודה, (מסעיף ב' נובע כי לפונקציה אין מינימום ומקסימום מוחלטים). 5-5 ד. נסרטט את סקיצת גרף הפונקציה על-פי התוצאות שקיבלנו בסעיפים הקודמים:. < m< ה. () () (). מקביל לציר ה- y הישר m ניעזר בסקיצה של גרף הפונקציה ונקבל: הישר חותך את גרף הפונקציה בנקודה אחת כאשר. m ו- m y ו- y, כלומר עבור הישר חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות בטווח. m< או m> y> או y<, דהיינו עבור, < y< הישר אינו חותך את גרף הפונקציה בטווח כלומר עבור 7
u ( ). cos מתקיים כי ( )u עולה לכל שאלה 6 פתרון: א. נסמן:. u sin. u cos נגזור את ) : u( (הנקודות היות ש- הן נקודות עלייה). לכן >, דהיינו: sin > > sin ( k,,... ) u( ) > k מאחר ש-, u נקבל כי לכל נסמן + cos. v נגזור את הפונקציה:. v sin+ sin v עבור >. כלומר, הפונקציה ) v( עולה בתחום הנ"ל. ( ) על סמך סעיף א', > ) v( בתחום >. לפיכך, ) v( נקבל כי > היות ש- cos + > cos> נחבר את אי השוויונים שאת נכונותם הוכחנו בסעיפים א' וב', ונקבל: + cos > sin + cos sin > cos sin > ( ) אי השוויון נכון עבור >. שאלה 7 פתרון: א. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה כלשהי שעל הגרף שווה לערך הנגזרת של הפונקציה בנקודה הנ"ל ושווה לטנגנס הזווית שיוצר המשיק עם הכיוון החיובי של ציר. f ה-. נגזור את הפונקציה: 6 6 הטנגנס של זווית חדה הוא חיובי, לכן נמצא את ערכי שעבורם >. f 6 6 > 6 > < < : g( ) נסמן ב-( )g את ( ( f ונמצא את נקודת הקיצון של g ( ) ( 6 6 ) 6 ; g ( ) g ( ) ( 6 ) ; g ( ) < ( )g פונקציה רציפה ובתחום g( ) קיבלנו שעבור לפונקציה יש מקסימום. הגדרתה יש לה נקודת קיצון אחת בלבד שהיא מקסימום. הזווית החדה הגדולה ביותר היא: tan α g tan α α.+ k <α< α. 8
AC. BC שאלה 8 פתרון: נסמן ב- את המרחק בין B ו-, C כלומר ניעזר במשפט פיתגורס במשולש ABC ונמצא את המרחק : AC AC AB + BC AC + האדם שט במהירות קבועה של שעות. את המרחק 9 קמ"ש ולכן את המרחק שהוא עבר האדם במשך, CD 5 עבר האדם ברכיבה על אופניים 5, CD קמ"ש, + 9 במהירות קבועה של מכאן שמשך זמן רכיבתו: שעות. 5 + f() + 9 נסמן ב- f() את זמן התנועה הכולל: על-פי תנאי הבעיה מתקיים: 5 וגם 5. עלינו למצוא את המינימום המוחלט של הפונקציה f() בתחום סגור 5 נגזור את הפונקציה, נשווה את הנגזרת לאפס ונמצא את הנקודות החשודות לקיצון: 5 + f() + f() ; 9 9 + 9 + f() 9 + 9 + 9 + 7 + נעלה את שני האגפים של המשוואה בריבוע ונקבל: 9 9 + 9 6 + 9.9 ±.9. B A, לכן נחשב את ערך.9 C. 5 5, 5 נפסול את התוצאה.9, מכיוון שהיא איננה שייכת לתחום על מנת למצוא את המינימום המוחלט של הפונקציה בתחום הפונקציה בנקודה החשודה לקיצון.95.9 ובקצוות ו- f (.95).; f ( ).6; f ( 5).6 D לסיכום: לאחר השוואת התוצאות, נקבל שלפונקציה יש מינימום מוחלט כאשר.95 כי ערך הפונקציה בנקודה זו הוא הנמוך ביותר. דהיינו, כדי שהאדם יגיע בזמן המינימלי מ- A ל-, D המרחק בין B ל- C צריך להיות.95 ק"מ. 9
שאלה 9 פתרון: f() ו- g() יש משיק משותף העובר דרך נקודת ההשקה המשותפת נתון כי לפונקציות. נמצא את שיעור ה- של הנקודה: שנמצאת בתחום f ( ) g ( ) ( a cos) ( sin) sin cos :cos tan tan tan + K, K, ±, ±,... : a נמצא את ערך הפרמטר. הנקודה השייכת לתחום הנתון היא f g a cos sin a sin cos + a א. y f() p p g() על סמך סעיף א', קיבלנו כי. f() cos. נחשב את השטח: השטח המבוקש נמצא בתחום S cos sin d cos sin d sin + cos sin + cos sin+ cos S. קיבלנו שהשטח המבוקש הוא: שאלה פתרון: א. הפונקציה II שלילית בתחומים בהם הפונקציה I יורדת, וחיובית בתחומים בהם הפונקציה. II f, I f עולה. לפיכך מתקיים: I f ( ) בתחום < 6 < לפונקציה הנגזרת מתאפסת ומחליפה את סימנה ב- יש נקודות קיצון בתחום הנ"ל. נקודות, לכן f ( ). E (.8,.) לפי הנתון:. f ( ). m f.8.5 y..5(.8) y.5 +.6 על סמך סעיף א', הנקודה E נמצאת על גרף הפונקציה שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה E הוא: נמצא את משוואת המשיק:
[, ] f ( ) ד. השטח המבוקש, מוגבל על-ידי לציר ה-. נחשב את השטח: ועל-ידי ציר ה- בתחום נמצא מתחת S f d f f..6. C D A E B שאלה פתרון: א. נסמן ב- d את המרחק בין B ל-. A נסמן ב- את זמן נסיעתם של האוטובוס והמונית. נניח כי כעבור שעות האוטובוס שיצא מ- B הגיע לנקודה, E לכן BE 8 ולכן. EA d 8 באופן דומה, כעבור שעות המונית שיצאה מ- A הגיעה ל-, D דהיינו,. AD 96 ניעזר במשפט קוסינוסים במשולש EAD ונקבל: ED EA + AD EA AD cos ED EA + AD + EA AD ( ) + + ( ) f d 8 96 96 d 8. ED f, ED כלומר f ( ) ( 8) ( d 8 ) + 96 96 + 96( d 8 ) 8 96 נסמן ב- ( f ( את נגזור את הפונקציה ונקבל: d f ( ) 587 6d 6( 8 d ); f ( ) 8 d f ( ) 587 > f > 8 d קיבלנו כי לפונקציה ( f ( יש מינימום (אחד בלבד) כאשר. על-פי הנתון, המרחק 8 בין אוטובוס למונית הוא מינימלי כעבור.5 שעות. נמצא את המרחק : AB d 7 ק"מ AB d 7.5 8 נמצא את המרחק המינימלי: f (.5) ( 7 8.5) + ( 96.5) + 96.5 ( 7 8.5) f (.5) 58 ED f (.5) 7.7 ק"מ ED 58
שאלה פתרון: א. הפונקציה I עולה בתחומים בהם הפונקציה II חיובית; הפונקציה I יורדת בתחומים בהם הפונקציה II שלילית; לפונקציה I יש ערך קיצון בנקודות בהן הפונקציה II. II f, I f מתאפסת ומחליפה את סימנה. לפיכך מתקיים: f() לפונקציה f() יש נקודות קיצון בנקודות בהן הנגזרת היא נקודת מקסימום כי מחליפה את סימנה + מ-() מחליפה את סימנה. ל-() במעבר דרך הנקודה. + ל-() f() היא נקודת מינימום כי f() מחליפה את סימנה מ- () במעבר דרך הנקודה..8 ד. f מחליפה את סימנה. לפונקציה ( f ( יש פיתול בנקודות בהן הנגזרת השנייה( ( שיעורי ה- של הנקודות הם:,..,.8 S את השטח האפור שמעל לציר ה- S נסמן ב- שמתחת לציר ה-. ונסמן ב- את השטח האפור S f d f.8 f f.8 f.8.8 S f d f f.8 f.8 f.8. S S קיבלנו כי y S S t t t S t d t t שאלה פתרון: א. ישר המקביל לציר ה- חותך את גרף הפונקציה בנקודה... y t t t ) t ).,t לכן משוואת הישר היא: S את השטח האפור בתחום נסמן ב- S את השטח האפור בתחום נסמן ב- t t t S t d t t t t + t השטח המבוקש הוא: 8 S S+ S S() t t t +
:S() t נגזור את 8 S () t t t + 8t t; S () t t( t ) t, t. כדי למצוא מינימום ומקסימום t היא פונקציה מוגדרת בקטע סגור ()S t מוחלטים של הפונקציה, ניתן לחשב את ערכי הפונקציה בנקודות החשודות לקיצון ובקצות הקטע, ולהשוות בין התוצאות. S, S( ), S() קיבלנו כי עבור t ערך הפונקציה הוא הנמוך ביותר ושווה ל-. כלומר, השטח המינימלי מתקבל כאשר t ושווה ל-. t ערך הפונקציה הוא הגדול ביותר. דהיינו, שטח מקסימלי מסעיף ב' נובע כי כאשר t ושווה ל-. מתקבל עבור y A B פתרון:. B, sin,a, AB y y AB sin A B ( ) שאלה א. נסמן: נסמן ב- ( f ( את פונקציית המטרה: f sin; f cos; f ( ) cos ± + k ± + k k, ±,... מתקיים:. בתחום f ( ) sin f sin > נמצא את הערכים של הפונקציה בנקודות לפונקציה יש מינימום. קיבלנו כי עבור הקצה ובנקודה : f ( ) sin, f sin.9, f sin. AB יש מינימום מקומי ומוחלט. לפיכך, המרחק f לפונקציה ( ) בנקודה שבה. A, מינימלי כאשר
( f ( יש מקסימום מקומי ומוחלט. A(, ) על-פי פתרון של סעיף א' ניתן לראות כי לפונקציה : A עבור. מכאן שהשיעורים של הנקודה. ; הוא: הישר הישר הוא: נמצא את השטח המבוקש: cos cos cos 8 ( ) S sin d + + +.8. f <. f >. < < f(). לכן < < f ( ) < שאלה 5 א. פתרון: על סמך הציור ידוע כי עבור יורדת בתחום הנ"ל. < < < < ) ( ובתחום, f > f עולה בתחום הנ"ל. f ( ) < ובתחום ; < < f ( ) < < < ( ) (), f לכן בתחום <, f > < לפיכך ) ( בתחום, f לכן בתחום < < עדיין < < f ( ) > לפיכך מתקיים: עבור ו- עבור f ( ) ) f ( עולה, בתחומים בהם < f ( ) > בתחומים בהם מסעיף א' נובע: הפונקציה הפונקציה ) f ( יורדת ; < <, < עולה עבור < f ( ) (,.5) ) f ( יורדת. עבור < <. מעלייה לירידה. בנקודה ל- באופן דומה, בנקודה ל- ( f ( יש מקסימום כי הפונקציה בנקודה עוברת ) f ( יש מינימום. (,.5) y f(). f ( ) f ( ) על סמך סעיפים א' ו-ב' נסרטט סקיצות של ו- f () S f d f f.5 על-פי הנתון,. f.5, f לפיכך מתקיים:, f.5 ד. על-פי הנתון, השטח S נמצא מתחת לציר ה-, לכן נקבל: S f d f f.5.5 S..5 S היחס המבוקש הוא:
שאלה 6 פתרון: g d g d + g d f d + g d א. f + g d Md M M M M ) f ( בקטע ] :[, נביע באמצעות M את ערך הממוצע של f ( ) d M g ( ) d M d g ( ) d M M ( M M ) M M שאלה 7 פתרון: א. נגזור את הפונקציה: f a sin cos + sin cos f () a sin + sin. a נחשב את. f + על-פי הנתון a sin + sin + a + + a a 6 על סמך סעיף א' הפונקציה ונגזרתה הן: f ( ) sin + sin ( ) ; f ( ) ( sin + sin ) נשווה את הנגזרת לאפס ונמצא את הנקודות הפנימיות החשודות לקיצון: f () sin + sin sin + sin cos sin + cos k sin k או k, ±,... cos ± + k ± + k הנקודות הפנימיות השייכות לתחום < < הן:,., נמצא את ערכי הפונקציה בנקודות הנ"ל ובקצות הקטע [, ]: f ( ), f, f, f, f ( ) 5
לאחר השוואת התוצאות, נקבל כי מינימום מקומי ומוחלט של הפונקציה מתקבל בנקודות ) (, ו- ), (. מקסימום מקומי ומוחלט מתקבל בנקודות, ו-,. בנקודה, לפונקציה יש מינימום מקומי.. f( ) המסקנה העולה היא שבתחום [, [ מתקיים: [, ]. נחשב את השטח המבוקש: cosα + α S sin sin d sin ( f ( אי שלילית בתחום cos S cos + d ( cos cos ) d sin sin ( ) ( ) מסעיף ב' נובע כי מ.ש.ל. שאלה 8 פתרון:.( נסמן ב- ) Q( את א. על סמך הנתון, הפולינום ( )P מתחלק ללא שארית ב- (a הפולינום המתקבל במנה. לפיכך מתקיים: P( ) Q( ) P( ) ( a) Q( ) P( a) ( a a) Q( a) P( a) a מ.ש.ל..( ) + : נפרק לגורמים את הטרינום בהסתמך על הנתון, f מתחלקת ללא שארים גם ב-( + ( וגם ב- על-פי סעיף א' נמצא את ערכי הפרמטרים b ו- : c f ( ) + b+ c c b b,c f ( ) 6 8 + b + c c b 8 על סמך סעיף ב' הפונקציה היא. f כאמור לעיל f, כלומר, הנקודה ), ( היא נקודת ההשקה. נגזור את הפונקציה ונמצא את שיפוע המשיק: f ( ) ; m f ( ) 9 משוואת המשיק היא: 9 9. y 6
. ד. השטח המבוקש נמצא בתחום נחשב את השטח: 5 7 S ( ) ( 9 9) d ( 7 5) + + d + + 5 5 S.95 שאלה 9 פתרון: א. נסמן ב- t את שיעור ה- של נקודת ההשקה שהמשיק בה הוא בעל שיפוע מקסימלי. לפיכך, הנקודה היא:,t. נגזור את הפונקציה ( : f ( t + f ( ) + + () () () m t f t m t t ( t + ) נסמן t ב-() m את השיפוע של המשיק: : m( t) נמצא את נקודות הקיצון של t + t t t + t + t + t t 6 t m () t m () t ; t + t + t + t + m () t t t, t v() t () ( ), u t 6 t ונסמן ב- () t סימנה של, t (t )u את המונה, כלומר: v( t) > m היא שבר. נסמן ב- () ( + ). v t t () t את המכנה: של היות ש- לכל m זהה לסימנה u בנקודות החשודות לקיצון: u t t u < m < () () () u > m > () <, m הנקודה שבה () t מאחר ש- המשיק הוא: t, היא נקודת מקסימום. השיפוע המקסימלי של. (, נקודת ההשקה היא: ) נמצא את משוואת המשיק: y+ ( ) y 8 8 8 6 g( ) 6 g( ) + +. m () 8 על סמך הנתון מתקיים: 7
S 6 ( + ) השטח המבוקש הוא: d ניעזר בשיטת ההצבה. נסמן: +, u מכאן נקבל: u du ( ) 6d du d נחשב את גבולות האינטגרציה: u u( ) ; u u( ) לפיכך מתקיים: S du u u שאלה פתרון: א. נחשב את : a 5 5 5 f g sin a+ cos( 5) a a f ( ) g( ) sin cos : g( ו-( f ( ) נמצא את כל הנקודות המשותפות של + cosα sin α sin sin sin + sin sin או sin sin sin + k k, ±,..., y sin + k שיעור ה- y של כל אחת מהנקודות הוא לפיכך הנקודות המשותפות הן: + k,. נגזור את כל אחת מהפונקציות: f ( ) cos; g ( ) sin נמצא את שיפועי המשיקים לגרפים של שתי הפונקציות בכל אחת מהנקודות המשותפות: m f + k cos + k ; m g + k sin( + k) קיבלני שהמשיקים לגרפים של שתי הפונקציות מתלכדים ולכן הנקודות המשותפות הן נקודות ההשקה. 8
ד. על סמך סעיף ב' שיעורי ה- של נקודות ההשקה הקרובות ביותר לראשית הצירים הם:., נחשב את השטח במבוקש: S ( + cos sin ) d + sin + cos פתרון: שאלה (, ( נמצאת על גרף הפונקציה. נמצא את המשוואה הראשונה על-פי הנתון, הנקודה א. המקשרת בין הפרמטרים: f ( ) 7a + 9b + c + 5 9a + b + c ( ). f ( ) a + b+ c נגזור את הפונקציה: בנקודות הקיצון הנגזרת מתאפסת, לפיכך מתקיים: f 7a + 6b + c f a b+ c () ) ( ו- ) :( נפתור את מערכת המשוואות ( ), 9a + b + c 7a + 6b + c a b + c ממשוואה ( ( נחסר את משוואה ( ( ולאחר מכן ממשוואה ( ( נחסר את משוואה( ( ונקבל: 8a + b / : 6a + b a, b a + 8b / :8 a + b נציב את שני הערכים הנ"ל ונקבל כי c.. m f f + 5; f על סמך סעיף א', הפונקציה ונגזרתה הן: שיפוע המשיק לגרף הפונקציה שווה לערך הנגזרת בנקודת ההשקה. נסמן: : m( ) נמצא את שיעור ה- של נקודת המינימום של m ; m ; m m > ( )m יש מינימום (אחד בלבד). בנקודה שבה ל- m היא פונקציה רציפה ובתחום הגדרתה יש לה נקודת קיצון אחת בלבד שהיא נמצא את שיעור ה- y לכן שיפוע המשיק הוא מינימלי בנקודה בה. המינימום.. f כלומר, נקודת ההשקה היא: () של הנקודה:. (, ) 9
F( ) ). f ( על-פי הנתון, ) f ( היא אי זוגית, ( ). f f שאלה פתרון: א. נסמן ב- F את הפונקציה הקדומה של ( ) דהיינו, לכל ו- היא זוגית, כלומר, לכל ו- בתחום הגדרתה מתקיים: בתחום הגדרתה מתקיים: יש להראות כי ( ). F F : G( ) ( ) ( ). G F F נגזור את + G ( ) F( ) F( ) F ( ) F F ( ) F ( ) f( ) + f ( ) f ( ) f( ) ( )G היא פונקציה קבועה. G( ) מתקיים כי נסמן: קיבלנו כי היות ש- נראה כי היא שווה לאפס. מכאן נקבל: F( ) F( ) F( ) F( ) < <. < < ), G ( לכן G( ) F( ) F( ) f ( ) מ.ש.ל. על סמך הסקיצה < <. לפיכך חיובית בתחומים ו- ושלילית בתחום ו- < < ; יורדת עבור < <. y סימטרי לגבי ציר ה- f ( ( < עולה עבור < f ( ) ובתחום על-פי סעיף א' f זוגית, לכן הגרף של. < < ; עלייה: < <, < < מתקיים: ירידה: < < > > שיעורי ה- של נקודות קיצון הם: מקסימום: ± (בנקודות בתחום הנ"ל ) f ( עוברת מעלייה לירידה); מינימום: ±, (בנקודות הנ"ל ) f ( y f() עוברת מירידה לעלייה).. על סמך (i) נסרטט סקיצה של - - - - ) f ( בתחום (i) (ii)
שאלה פתרון: א. על סמך הנתון, ( f ( היא פונקציה רציונאלית ותחום הגדרתה מקיים:., כלומר, המכנה של הפונקציה מתאפס עבור ו-. נמצא את ערכי הפרמטרים a ו- : b : a ( ) + b ( ) + 9a b a : a + b + a+ b b 8+ c על-פי סעיף א', הפונקציה היא. f + נמצא עבור אילו ערכי c המונה והמכנה מתאפסים יחד. תחילה נציב את במונה: : ( ) 8( ) + c c נתבונן בגבול הבא: 8 ( )( + ) lim f lim lim lim.5 + +. (,.5) ) f ( יש "חור" c קיבלנו כי עבור כעת, נציב את לגרף של במונה: בנקודה : 8 + c c 7 ( )( 7) ( )( + ) בגרף בנקודה.5).(, 8+ 7 7 lim f lim lim lim.5 + ) f ( יש נתבונן בגבול הבא: c 7 ד. דהיינו, עבור ל- "חור" נמצא את האסימפטוטה האופקית: 8 c + 8 + c lim f ( ) lim lim ± ± + ± + נמצא את נקודת החיתוך: הישר y הוא אסימפטוטה האופקית של הפונקציה. f ( ) y 8+ c + מתקיים: עבור, 8+ c + c+ c+ ( 8)( + ) ( )( 8 + c) ( + ) f... נגזור את הפונקציה:
( ) + + + f. v() + 6 c c ( + ) u() + 6 + c + c u() f(), כאשר v() נסמן: היות ש- לכל ו-. u( ) זהה לסימנה של f ( ( בתחום ההגדרה, הסימן של v( ) > f u + 6+ c + c נמצא את הדיסקרימיננטה של המשוואה הריבועית הנ"ל: ( 6+ c) + ( c ) ( c+ )( c 7) קיבלנו כי < עבור < 7 c <. לפונקציה ריבועית u המקדם של הוא שלילי. מכאן שכאשר > מתקיים יורדת לכל f ( ) לכן <. f מכך נובע כי בתחום הגדרתה. : c ו- 7 c כאשר f ( ) ( f ( יורדת לכל בתחום הגדרתה עבור c : u 6 9 + < c 7: u + <. c 7, u < נבדוק את סימנה של כתוצאה מכך, קיבלנו כי. < < f( ) < ; >, < f ( ) > שאלה פתרון: א. הפרבולה f מקיימת: עבור עבור ( )בתחום הגדרתה, g( ) g( ) 6+. g אם 8 על-פי הנתון ו- לכל ( ) g( ) g( ) לכל ו- בתחום הגדרתה, אז אז הפונקציה היא זוגית. אם הפונקציה היא אי-זוגית. אם קיימת לפחות נקודה אחת בתחום הגדרה של הפונקציה שעבורה אף אחד משני התנאים הנ"ל אינו מתקיים, אז הפונקציה לא זוגית ולא אי-זוגית. נתבונןב-() g. g( ) + 6+ 8 5; g() 6+ 8 ( ), g g לכן הפונקציה אינה זוגית ואינה אי-זוגית. g ו- ) ( ( ) קיבלנו כי g g ו- 8 y ) g( מקיימת: + < > g( ), + 6 8 < < 6 8, : g( ) על-פי סעיף א', נסרטט סקיצה של
6 <, > g ( ) 6 < < g. g a נראה שבנקודות בהן a ( ) ( +, a כאשר ) g 6 g g + + g 6 + הנגזרת ד. ( ( הפונקציה g מקיימת: ( )g אינה גזירה עבור הנגזרת אינה קיימת. ( ) ( + ). g g ו- באופן דומה, נקבל