אלגברה ליניארית תאוריה ותרגילים פרופ' שלמה הבלין, אוניברסיטת בר אילן ד"ר יפית מעין, מרכז אקדמי לב

אלגברה ליניארית תאוריה ותרגילים פרופ' שלמה הבלין, אוניברסיטת בר אילן ד"ר יפית מעין, מרכז אקדמי לב

1 א. תכונות וקטורים תוכן עניינים 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 7 8 9 9 10 10 11 11 12 12 וקטור שוויון וקטורים סכום וקטורים מכפלת וקטור בסקלר וקטור האפס מכפלה סקלרית תכונות של מכפלה סקלרית של וקטורים וקטורים ניצבים אורתוגונליים( מרחק בין וקטורים אורך של וקטור וקטור יחידה נרמול וקטור משפט Cauchy Schwartz וקטורים מעל המרחב המרוכב מכפלה סקלרית של וקטורים ב- Cn אורך של וקטור ב- Cn שוויון מטריצות סכום מטריצות מכפלת מטריצה בסקלר תכונות של סכום מטריצות כפל מטריצות תכונות של כפל מטריצות סוגי מטריצות ופעולות על מטריצות.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16 ב. מטריצות.1.2.3.4.5.6.7 14 15 17 תכונות של מטריצה משוחלפת תכונת מטריצת היחידה ג. מטריצות ומשוואות ליניאריות 17 1. מטריצות ומשוואות הסיבוב

19 ד. מרחב וקטורי 21 תת מרחב subspace(.1 24 ה. תלות ליניארית של וקטורים 24 26 צירוף לינארי תלות ליניארית 1..2 28 32 ו. בסיס ומימד ז. קואורדינטות 33 36 36 37 38 41.1 ח. העתקה.1.2.3.4 מעבר מבסיס לבסיס העתקה ליניארית גרעין ותמונה של העתקה ליניארית אופרטור ליניארי פעולות על אופרטורים ליניאריים 43 ט. מטריצות ואופרטורים ליניאריים 43 47 49 51 הצגה מטריציאלית של אופרטור ליניארי מטריצת מעבר מבסיס לבסיס מעבר של אופרטור מבסיס לבסיס דמיון מטריצות.1.2.3.4 55 י. דטרמיננטות 57 59 62 תכונות של דטרמיננטות מינור וקופקטור מערכת משוואות n משוואות ב- נעלמים( n.1.2.3 63 72 יא. ערכים עצמיים וקטורים עצמיים יב. מרחב מכפלה פנימית 72 75 בסיס אורתונורמלי תהליך גרם-שמידט.1.2

א. תכונות וקטורים 1. וקטור n n קבוצה בת n מספרים ממשיים מסודרים נקראת וקטור בעל מימד וקטור או מימדי( מעל שדה המספרים הממשיים. סימון: (1 i n.u u i R כאשר u = (u 1, u 2, u 3,, u n uנקראים i רכיבים או קואורדינטות( של הוקטור דוגמאות: (2, 1 (5,0, 9 ( π, 0,1,3 1. וקטור 2 מימדי: 2. וקטור 3 מימדי: 3. וקטור 4 מימדי: n קבוצת כל הוקטורים בעלי מימד n מעל שדה המספרים הממשיים נקראת מרחב ממשי מימדי.R n ומסומנת 2. שוויון וקטורים u = v שני וקטורים,u v נקראים כלומר שווים אם הם בעלי אותו מימד ואם כל רכיביהם שווים בהתאמה. (x, x y, z + 3 = (2,1, 5 z + 3 = 5,x y = 1,x = 2 z = 8,y = 1,x = 2 (1,5,3, (1,3,5 (1,2,2, (1,2 דוגמאות: 4. הוקטורים 5. הוקטורים 6. מצא את ערכי המשתנים כלומר: אינם שווים. אינם שווים. z,y,x אם נתון: 3. סכום וקטורים סכום של וקטורים בהתאמה. הוא וקטור שרכיביו הם סכומים של רכיבי הוקטורים המחוברים כלומר: ] 1 [

v = (v 1, v 2, v 3,, v n, u = (u 1, u 2, u 3,, u n u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3,, u n + v n אם אז הערה: סכום של וקטורים ממימדים שונים אינו מוגדר. v = (2,5, 4 u + v, u = (1, 3,9 u + v = (2 + 1,5 3, 4 + 9 = (3,2,5 7. נתון: חשב: 4. מכפלת וקטור בסקלר מכפלת וקטור המוכפל. בסקלר הוא וקטור שרכיביו הם כפולות בסקלר של רכיבי הוקטור k R, u = (u 1, u 2, u 3,, u n ku = (ku 1, ku 2, ku 3,, ku n v = ( 2,1,0,1 2u 3v, u = (1, 5,2, 3 2u 3v = 2(1, 5,2, 3 3( 2,1,0,1 = (2, 10,4, 6 + ( 1( 6,3,0,3 = (2, 10,4, 6 + (6, 3,0, 3 = (8, 13,4, 9 כלומר: אם אז 8. נתון: חשב: 5. וקטור האפס (0,0,0,,0 וקטור האפס הוא וקטור שכל רכיביו הם אפסים. כלומר: 6. מכפלה סקלרית מכפלה סקלרית של וקטורים היא סכום מכפלות רכיבי הוקטורים המוכפלים ב- R n בהתאמה. כלומר: ] 2 [

v = (v 1, v 2, v 3,, v n, u = (u 1, u 2, u 3,, u n u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + + u n v n = v = ( 2,3,6 u v, u = (1,4,5 n i=1 u v = ( 2,3,6 (1,4,5 = ( 2 1 + 3 4 + 6 5 = 40 u i v i אם אז 9. נתון: חשב: 7. תכונות של מכפלה סקלרית של וקטורים u v = v u (ku v = k(u v (u + v w = u w + v w k R יהיו u, v, w R n וקטורים ויהי א. חוק החילוף קומוטטיביות( ב. חוק הקיבוץ אסוציאטיביות( ג. חוק הפילוג דיסטריביוטיביות( סקלר. אז מתקיים: 8. וקטורים ניצבים אורתוגונליים( שני וקטורים נקראים ניצבים אם מכפלתם הסקלרית שווה 0., אז u v = 0 כלומר: אם, uהם v ניצבים., (2,1,1,6 = v. בדוק האם וקטורים אלו ניצבים. u = (1,3, 5,0 u v = (2,1,1,6 (1,3, 5,0 = 2 1 + 1 3 + 1 5 + 6 0 = 0 10. נתונים שני וקטורים: מאחר שמתקיים: יהיו הרי שוקטורים אלו ניצבים. הערה: ההגדרה האלגברית הנזכרת לעיל של מכפלה סקלרית שקולה להגדרה הגיאומטרית הידועה של מכפלה סקלרית: R 1 R 2 = R 1 R 2 cosθ וקטורים כלשהם ותהי θ הזווית שביניהם. אז: R 1, R 2 לצורך הפשטות, נוכיח את שקילות ההגדרות עבור וקטורים דו מימדיים: R 1 R 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 R 1 R 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 = R 1 cosθ 1 R 2 cosθ 2 + R 1 sinθ 1 R 2 sinθ 2 = R 1 R 2 cos(θ 2 θ 1 = R 1 R 2 cosθ יהיו: 2 R 1 = (x 1, y 1, R 2 = (x 2, y אז לפי ההגדרה האלגברית כאן מתקיים: נחשב גודל זה במישור הממשי ראה איור א- 1 (: ] 3 [

y 2 y 1 R 2 θ2 θ1 R 1 x 2 x 1 איור א- 1 9. מרחק בין וקטורים ב- R n מרחק בין וקטורים בהתאמה. הוא שורש סכום ריבועי ההפרשים של רכיבי הוקטורים v = (v 1, v 2, v 3,, v n, u = (u 1, u 2, u 3,, u n d(u, v = (u 1 v 1 2 + (u 2 v 2 2 + (u 3 v 3 2 + + (u n v n 2 כלומר: אם אז.u = (1,0,5, v = (2, 3,6 11. חשב את המרחק בין הוקטורים d(u, v = (1 2 2 + (0 ( 3 2 + (6 5 2 = (1 2 2 + (0 ( 3 2 + (6 5 2 = 11 10. אורך של וקטור אורך של וקטור ב- R n הוא שורש סכום ריבועי רכיביו. u = (u 1, u 2, u 3,, u n u = u u = u 1 2 +u 2 2 +u 3 2 + + u n 2 כלומר: אם אז u = 1 2 +( 2 2 +3 2 +1 2 = 15.u = (1, 2,3,1 12. חשב את אורך הוקטור d(u, v = u v מסקנה: המרחק בין וקטורים הוא אורך וקטור ההפרש בין הוקטורים: ] 4 [

11. וקטור יחידה וקטור יחידה הוא וקטור שאורכו 1.. e =1 כלומר: e הוא וקטור יחידה אם 12. נרמול וקטור חלוקת וקטור באורכו נקראת נרמול הוקטור..u. u e u = u e u כלומר: הוקטור הוא וקטור יחידה באותו כיוון כמו הוקטור.13 משפט Cauchy Schwartz. u v u v מתקיים: u, v משפט 1: לכל 2 וקטורים u = (u 1, u 2, u 3,, u n, v = (v 1, v 2, v 3,, v n u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + + u n v n u 1 v 1 + u 2 v 2 + + u n v n = הוכחה: אם אז n = u i v i i=1 u = u 2 1 +u 2 2 +u 2 2 3 + + u n v = v 2 1 +v 2 2 +v 2 2 3 + + v n נעזר באי השיוויון: 0 2 y ( x או 2xy x 2 + y 2 x = u i u, y = v i v 2 u i v i u v u i 2 u + v i 2 2 v 2 2 i u iv i u v u 2 i i u + i v i 2 v 2 u i v i i u v 1 2 = u 2 u 2 + v 2 v 2 = 2 i אם אז נבצע סכום לכל בשני האגפים: ] 5 [

u i v i u v i u v u v על סמך אי השיוויון הקודם, ניתן להגדיר זווית בין 2 וקטורים באופן הבא: cosθ = u v u v θ u, v הזווית בין 2 וקטורים היא הזווית המקיימת: הערה: הגדרה זו נותנת אמנם את הזווית בין 2 וקטורים במרחב הממשי.,θ = π אמנם u v = 0 2 יש לשים לב שאם כלומר הוקטורים ניצבים, כמו שהגדרנו לעיל. 14. וקטורים מעל המרחב המרוכב n n קבוצה בת n מספרים מרוכבים מסודרים נקראת וקטור בעל מימד או וקטור מימדי( מעל שדה המספרים המרוכבים. n.(1 i n u i C סימון: n u = (u 1, u 2, u 3,, u כאשר קבוצת כל הוקטורים בעלי מימד n ומסומנת מעל שדה המספרים המרוכבים נקראת מרחב מרוכב מימדי פעולות חיבור וכפל בסקלר מרוכב( מוגדרות כפי שהוגדרו בוקטורים מעל שדה המספרים הממשיים..C n (2 + 3i, 4 i, 3 + (3 2i, 4i, 3 5i = (5 + i, 4 + 3i, 6 5i 2i(2 + 3i, 4 i, 3 = ( 6 + 4i, 2 + 8i, 6i דוגמאות:.13.14 אולם, מכפלה סקלרית ואורך של וקטור מוגדרים אחרת מאשר מכפלה סקלרית ואורך של ב- C n וקטור ב- R, n כפי שיפורט בנושא הבא. ] 6 [

15. מכפלה סקלרית של וקטורים ב- C n מכפלה סקלרית של וקטורים ב- C n היא סכום מכפלות רכיבי הוקטור הראשון במכפלה בצמודים של רכיבי הוקטור השני במכפלה, בהתאמה. u = (u 1, u 2, u 3,, u n, v = (v 1, v 2, v 3,, v n u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + + u n v n = n i=1 u i v i כלומר: אם אז הערות: א. הגדרה זו כוללת גם את ההגדרה של מכפלה סקלרית של וקטורים מעל שדה המספרים הממשיים,. u v v u. שכן אז: v i = v i ב. לפי הגדרה זו מתקיים: v = (3 2i, 5,4 6i,u = (2 + 3i, 4 i, 2i u v = (2 + 3i(3 2i + (4 i5 + 2i(4 6i = = (2 + 3i(3 + 2i + (4 i5 + 2i(4 + 6i =.v u ואת u v דוגמאות: 15. נתון: חשב את = 13i + 20 5i 12 + 8i = 8 + 16i v u = (3 2i(2 + 3i + 5(4 i + (4 6i2i = = (3 2i(2 3i + 5(4 + i + (4 6i( 2i = = 13i + 20 + 5i 8i 12 = 8 16i כלומר, מתקיים כאן: u (u v = (v (u v = (v u ואמנם, אפשר להוכיח זאת באופן כללי: משפט 2: לכל 2 וקטורים מתקיים u = (u 1, u 2, u 3,, u n, v = (v 1, v 2, v 3,, v n u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + + u n v n v u = v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3 + + v n u n (v u = (v 1 u 1 + (v 2 u 2 + (v 3 u 3 + + (v n u n = הוכחה: אם אז = v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3 + + v n u n = u v ] 7 [

16. אורך של וקטור ב- C n אורך של וקטור ב- C n הוא שורש סכום מכפלות כל רכיב בצמוד שלו. u = (u 1, u 2, u 3,, u n u = u u = u 1 u 1 + u 2 u 2 + + u n u n = u 1 2 + u 2 2 + + u n 2 כלומר: אם אז מסקנה:.u = 0 וכן u הם ממשיים וחיוביים כאשר 0 u ושווים 0 אם"ם u u u = (2i, 5 + i, 6 u u = (2i(2i + (5 + i(5 + i + 6(6 =. u ואת u u 16. נתון: חשב את = (2i( 2i + (5 + i(5 i + 6 6 = 4 + 26 + 36 =66 u = u u = 66 אורך u: ] 8 [

מטריצות ב. a 11 a 12 a 1n a ij, כאשר ( a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn מטריצה היא סמל מהצורה מרוכבים. נקראת שורה i של המטריצה. סקלרים ממשיים או ( a i1 a i2 a in.m n.j i ( נקראת עמודה j של המטריצה. a 1j a 2j נקרא רכיב אלמנט( מטריצה שמקומו שורה ועמודה a nj מטריצה בעלת m שורות ו- n עמודות נקראת מטריצה מסדר a ij ( 1 2 0.1 מטריצה מסדר 3 :2 1 3 7, (1 2 0 שורות המטריצה הן: ( 1 3 7 (0 7, (2 3, ( 1 1 עמודות המטריצה הן: 1. שוויון מטריצות A=B שתי מטריצות A,B שווים בהתאמה. כלומר שוות נקראות אם הן מאותו סדר ואם כל רכיביהן כלומר:,b ij B m n a ij A m n אם הרכיב הכללי של הוא והרכיב הכללי של הוא i a ij = b ij A m n אם = B m n אז: ו- j. לכל הערות: א. מטריצה בעלת שורה אחת או עמודה אחת יכולה להחשב כוקטור שורה או עמודה וכן וקטור יכול להחשב כמטריצה(..1 1 ב. סקלר יכול להחשב כמטריצה מסדר ] 9 [

סכום 2. מטריצות סכום של מטריצות המחוברות בהתאמה. הוא מטריצה שרכיביה הם סכומים של רכיבי המטריצות כלומר: a 11 a 1n A = ( a 21 a 2n a m1 a mn אם B = ( b 11 b 1n b 21 b 2n b m1 b mn a 11 + b 11 a 1n + b 1n A + B = ( a 21 + b 21 a 2n + b 2n a m1 + b m1 a mn + b mn אז: הערה: סכום של מטריצות מסדרים שונים אינו מוגדר. A = ( 1 3 2 0 2 7 נתון: B = ( 3 0 2 חשב את סכום המטריצות. 3 1 0.2 A + B = ( 4 3 4 1 2 4 3. מכפלת מטריצה בסקלר מכפלת מטריצה בסקלר היא מטריצה שרכיביה הם כפולות בסקלר של רכיבי המטריצה המוכפלת. a 11 a 1n כלומר: k R, A = ( a 21 a 2n a m1 a mn אם ] 10 [

ka 11 ka 1n ka = ( ka 21 ka 2n ka m1 ka mn אז A = ( 1 3 2 נתון: חשב את מכפלת המטריצה ב- 5. 7 0 2 5 15 10 5A = ( 0 10 35.3 4. תכונות של סכום מטריצות k R A, B, C V.m n תהי V קבוצת כל המטריצות מסדר לכל שלוש מטריצות ולכל סקלר מתקיים: A + B = B + A א. חוק החילוף קומוטטיביות( (A + B + C = A + (B + C ב. חוק הקיבוץ אסוציאטיביות( k(a + B = ka + kb ג. חוק הפילוג דיסטריביוטיביות( A + ( A = 0 ד. 5. כפל מטריצות,B A B A תהיינה לדוגמא ו- מטריצות כך שמספר העמודות של היא מטריצה מסדר ו- שווה למספר השורות של היא מטריצה מסדר n. k אז מכפלת C ij B m n AB A המטריצות היא מטריצה שהרכיב הכללי שלה הוא המכפלה הסקלרית של השורה ה- i של מטריצה A בעמודה ה- j של מטריצה B. כלומר: a 11 a 1n a 21 a 2n A m n = ( a m1 a mn אם b 11 b 1k b B n k = ( 21 b 2k b n1 b nk ] 11 [

a 11 a 1n b 11 b 1j b 1k c 11 c 1k....... AB = a i1 a in... =. c ij........ ( a m1 a mn ( b n1 b nj b nk ( c m1 c mk n C ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + a i3 b 3j + + a in b nj = k=1 a ik b kj אז כאשר: A הערה: מכפלת AB במטריצה מוגדרת רק אם היא מטריצה שבה מספר העמודות שווה למספר השורות.B ( a b c d (r s t + bu as + bv at + bw = (ar u v w cr + du cs + dv ct + dw ( 3 5 7 4 (1 0 2 6 = 1 + (3 5 2 3 0 + 5 6 30 = (13 7 1 + 4 2 7 0 + 4 6 15 24 ( 1 0 2 6 (3 5 7 4 = (1 3 + 0 7 1 5 + 0 4 2 3 + 6 7 2 5 + 6 4 = ( 3 5 48 34 דוגמאות:.4.5.6 הדוגמא האחרונה מראה שכפל מטריצות אינו מקיים את חוק החילוף כפל מטריצות אינו.BA קומוטטיבי(. כלומר AB לא בהכרח שווה ל- אולם, ישנן מספר תכונות המתקיימות במכפלת מטריצות. 6. תכונות של כפל מטריצות (ABC = A(BC A(B + C = AB + AC (B + CA = BA + CA א. ב. חוק הקיבוץ אסוציאטיביות(: חוק הפילוג דיסטריביוטיביות(: סוגי מטריצות ופעולות על מטריצות.7 1. מטריצת האפס היא מטריצה שכל רכיביה הם אפסים. כלומר: 0 0 0 0 ( 0 0 2. מטריצה ריבועית היא מטריצה שבה מספר העמודות שווה למספר השורות, כלומר מטריצה :n n a 11 a 1n A n n = ( a n1 a nn a 11, a 22,, a nn מסדר אלכסון המטריצה כולל את האיברים ] 12 [

היא מטריצה ריבועית מסדר 3 3. 3 7 2 A = ( 5 6 1 8 4 4 7. המטריצה מטריצה אלכסונית היא מטריצה ריבועית בה כל האיברים שאינם באלכסון שווים ל- 0. A = ( a 11 0 a 22 0 a nn כלומר:.3 היא מטריצה אלכסונית. 2 0 0 A = ( 0 7 0 0 0 9 8. המטריצה מטריצה חצי אלכסונית היא מטריצה ריבועית בה כל האיברים מצד אחד של האלכסון שווים ל-.0 כלומר:.4 a 11 a 12 a 1n a 22 a 2n A = ( 0 a nn היא מטריצה חצי אלכסונית. 2 3 7 A = ( 0 9 8 0 0 5 9. המטריצה A מטריצה משוחלפת A כעמודות. היא של המטריצה שבה השורות של מטריצה נכתבות באותו סדר,.5.Ã סימון: A t או A או כלומר: a 11 a 12 a 1n A = ( a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn אם A t = ( a 11 a 21 a m1 a 12 a 22 a m2 a 1n a 2n a mn A t m n אז הערה: אם A היא מטריצה מסדר אז היא מטריצה מסדר n m ] 13 [

A = ( 3 7 2 נתון: חשב את.A t 1 5 6 3 5 A t = ( 7 6 2 1.10 תכונות של מטריצה משוחלפת תהיינה A,B מטריצות ויהי k R סקלר. אז מתקיים: (A + B t = A t + B t ב. A (A t t = (ka t = ka t (AB t = B t A t א. ג. ד. A = ( a 11 a 12 a 21 a 22 B = ( b 11 b 12 b 21 b 22 AB = ( a 11b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22.(AB t,ab נתון: חשב את.11 (AB t = ( a 11b 11 + a 12 b 21 a 21 b 11 + a 22 b 21 = ( b 11 b 21 ( a 11 a 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 12 + a 22 b 22 b 12 b 22 a 12 a 22 = B t A t מטריצה צמודה למטריצה A סימון: היא המטריצה שאיבריה הם הצמודים לאיברים של A, בהתאמה..A.6 A = ( 1 5 i 3 12. נתון: חשב את.A i + 7 5i i A = ( 1 5 + i 3 i + 7 5i i מטריצה צמודה משוחלפת היא המטריצה הצמודה של המטריצה המשוחלפת של A או המטריצה המשוחלפת של המטריצה הצמודה של A. כלומר t A או A t סדר הפעולות אינו משמעותי(. סימון: +.A.7 ] 14 [

A = ( 1 5 i 3 i + 7 5i i 13. נתון: חשב את + A. 1 i + 7 A + = ( 5 + i 5i 3 i. a ij = a מטריצה הרמטית היא מטריצה המקיימת A. + = A כלומר, לכל רכיב של A מתקיים ji הערה: מטריצה הרמטית היא בהכרח מטריצה ריבועית..8 A = ( 8 6 i נתון: בדוק האם המטריצה הינה הרמטית. 3 + i 6.14 A t = ( 8 6 + i 6 i 3 (A t = ( 8 6 i ולכן A היא מטריצה הרמטית. + i 3 = A 6 מטריצת היחידה או מטריצת הזהות( היא מטריצה ריבועית שרכיבי האלכסון הראשי שלה הם 1 וכל שאר הרכיבים הם אפסים..I או סימון: I n כלומר: 1 0 1.9 δ ij = { 1 i = j 0 i j ( 0 1 סימון נוסף למטריצת היחידה, הוא ע"י הדלתא של קרונקר : AI = IA = A תכונת מטריצת היחידה לכל מטריצה ריבועית A מתקיים: הערה: תכונה זו דומה לתכונה של הסקלר 1, ולכן מטריצה זו נקראת 'מטריצת היחידה'. ( a b c d (1 0 0 1 = (a b c d ( 1 0 0 1 (a b c d = (a b c d.15.16 10. מטריצה אוניטרית היא מטריצה שמכפלתה בצמודה המשוחלפת שלה נותנת מטריצת יחידה. ] 15 [

1 2 A = ( 1 i 1 i 0 2 2 0 0 i A + = ( 1 2 1 2 1 2 0 1 i 0 2 1 i 0 2 0 0 i A + A = I 1 1 1 1 0 i 0 AA + 2 2 2 2 1 0 0 = ( 1 i 1 i 0 ( 1 1 i 0 = ( 0 1 0 2 2 2 2 0 0 1 0 0 i 0 0 i כלומר: AA + = I נתון: במקרה זה מתקיים גם בדוק האם המטריצה הינה אוניטרית. ולכן A היא מטריצה אוניטרית..17 11. מטריצה הופכית למטריצה Aהיא מטריצה שמכפלתה ב- A סימון: שווה למטריצת היחידה. A A 1 = I.A 1 כלומר:.A 1 A = I במקרה זה מתקיים גם A = ( 6 2. A 1 = 1 הערה: אם היא מטריצה מסדר 2 2, אז: c a c d בתנאי שמתקיים: 0 bc ;ad אחרת אין ל- A מטריצה הופכית( ad bc ( d b A = ( a b נתון: חשב את 1.A 8 3.18 8 1 A 1 = ( 42 21 3 1 42 7 A A 1 = ( 6 2 8 3 8 ( 1 42 21 = ( 1 0 3 1 42 0 1 7 בדיקה: ] 16 [

ג. מטריצות ומשוואות ליניאריות a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 מערכת של משוואות ליניאריות: a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n x 2 b ( ( = ( 2 a m1 a m2 a mn x n b n ניתנת לכתיבה בכתיב מטריציאלי:.A = (a ij, X = (x i, B = (b i או בקיצור:,AX = B כאשר: במקרה זה, מטריצה A נקראת מטריצת המקדמים. במקרים רבים, הכתיב המטריציאלי נוח ויעיל יותר מאשר כתיבת מערכת משוואות לינאריות. { 5x 7y + 3z = 5 2x + 3y 2z = 1 x 2 3 2 ( y = ( 5 z 1 ( 5 7 3 נתונה מערכת משוואות: כתוב מערכת זו בכתיב מטריציאלי..1 1. מטריצות ומשוואות הסיבוב θ (x, y בהינתן נקודה x,y( במישור, ניתן לבטא את שיעוריה בעזרת מערכת המשוואות הבאה: במערכת צירים מסובבת בזווית x = xcosθ + ysinθ y = xsinθ + ycosθ ( x cosθ sinθ = ( y sinθ cosθ (x y משוואות אלו נקראות משוואות סיבוב של נקודה במישור. בכתיב מטריציאלי: cosθ sinθ ( sinθ cosθ נקראת מטריצת סיבוב בדו-מימד. הכפלת מטריצת הסיבוב בוקטור y x המטריצה מסובבת אותו בזווית θ מבלי לשנות את אורכו(. למטריצת סיבוב מסדר 3 3 יש חשיבות רבה בסיבוב של גוף תלת מימדי קשיח. ] 17 [

y (x,y (x',y' x' θ x איור ג- 1 ] 18 [

ד. מרחב וקטורי מרחב וקטורי S מעל שדה F, הוא קבוצה של וקטורים שמוגדרות עליהם פעולות חיבור וכפל באברי השדה סקלרים ממשיים או מרוכבים(, כך שלכל,u,v w S סקלרים, מתקיימים שמונת התנאים הבאים: וקטורים ולכל k 1, k 2 F. k u S u + v = v + u k F סגירות לחיבור ולכפל בסקלר: אם u, v S אזי,u + v S חוק החילוף קומוטטיביות(: ואם סקלר אזי.1.2 (u + v + w = u + (v + w 3. חוק הקיבוץ אסוציאטיביות( לחיבור:. u S. קיום איבר ניטרלי לחיבור: קיים איבר ב- S הנקרא "0" והמקיים u + 0 = u קיום איבר נגדי לחיבור: לכל קיים איבר המקיים לכל u + ( u = 0.u S u S u S סקלר היחידה: קיים איבר F 1 המקיים u = u 1 לכל.4.5.6 (k 1 k 2 u = k 1 (k 2 u (k 1 + k 2 u = k 1 u + k 2 u k(u + v = ku + kv חוק הקיבוץ אסוציאטיביות( לכפל בסקלר: חוק הפילוג דיסטריביוטיביות(:.7.8 עם פעולות החיבור והכפל בסקלר שהוגדרו לעיל פרק u = (a 1, a 2,, a n, v = (b 1, b 2,, b n u, v S n דוגמאות למרחבים וקטוריים: 1. תהי S קבוצת כל הוקטורים ממימד 0 נושאים.4,3 בדוק האם S מהווה מרחב וקטורי. כלומר u + v = (a 1, a 2,, a n + (b 1, b 2,, b n = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, a n + b n S k u = (ka 1, ka 2,, ka n S 1. סגירות לחיבור אם אז סגירות לכפל בסקלר אם k F סקלר אז 2. חוק החילוף u + v = v + u לפי הגדרת חיבור וקטורים לעיל פרק 0 נושאים.4,3 3. חוק הקיבוץ לחיבור w (u + v + w = u + (v + לפי הגדרת חיבור וקטורים לעיל פרק 0 נושאים.4,3 4. קיום איבר ניטרלי לחיבור.α + ( α = 0.α S וקטור האפס,0 (0,0 = 0 המקיים α + 0 = α לכל 5. קיום איבר נגדי לחיבור, α = ( a 1, a 2,, a n המקיים: לכל αקיים = (a 1, a 2,, a n S S 6. סקלר היחידה ] 19 [

(a 1, a 2,, a n 1 לפי הגדרת כפל בסקלר. = (a 1, a 2,, a n לכל u S מתקיים: 7. חוק הקיבוץ לכפל בסקלר c, 1 לפי הגדרת כפל בסקלר. c 2 (a 1, a 2,, a n = c 1 (c 2 a 1, c 2 a 2,, c 2 a n 8. חוק הפילוג (c 1 + c 2 (a 1, a 2,, a n = ((c 1 + c 2 a 1, (c 1 + c 2 a 2,, (c 1 + c 2 a n = c 1 (a 1, a 2,, a n + c 2 (a 1, a 2,, a n c(a 1, a 2,, a n + c(b 1, b 2,, b n = (ca 1, ca 2,, ca n + (cb 1, cb 2,, cb n = (ca 1 + cb 1, ca 2 + cb 2,, ca n + cb n = c(a 1 + b 1, a 2 + b 2,, a n + b n = c{(a 1, a 2,, a n + (b 1, b 2,, b n } לפי הגדרת חיבור וקטורים וכפל וקטור בסקלר. לסיכום, הראנו שקבוצת הוקטורים ממימד n מהווה מרחב וקטורי. תהי S קבוצת כל הוקטורים מהצורה a,a,b( עם פעולות החיבור והכפל בסקלר שהוגדרו לעיל. קל להוכיח ש- S מהווה מרחב וקטורי. תהי S קבוצת כל הוקטורים מהצורה a,b,1( עם פעולות החיבור והכפל בסקלר שהוגדרו (a, b, 1 + (c, d, 1 = (a + c, b + d, 2 S עם פעולות החיבור והכפל בסקלר שהוגדרו לעיל. c A S לעיל. קל להוכיח ש- S אינה מהווה מרחב וקטורי. הוכחה: סגירות לחיבור אינה מתקיימת. m n יהיו (a, b, 1, (c, d, 1 S אך: תהי S קבוצת כל המטריצות מסדר בדוק האם S מהווה מרחב וקטורי. 1. סגירות לחיבור ולכפל בסקלר אם A, B S אזי A + B S ואם c סקלר אזי בסקלר של מטריצות פרק 0 נושאים 4,3(. 2. חוק החילוף לפי הגדרת פעולות החיבור והכפל A + B = B + A לפי הגדרת חיבור מטריצות לעיל פרק 0 נושאים.4,3 3. חוק הקיבוץ C (A + B + C = A + (B + לפי הגדרת חיבור מטריצות לעיל פרק 0 נושאים.4,3 4. קיום איבר ניטרלי לחיבור.A S 0 0 0 = ( 0 0 מטריצת האפס המקיימת A + 0 = A לכל A + ( A = 0 5. קיום איבר נגדי לחיבור לכל קיים A S המקיים A S.2.3.4 ] 20 [

סקלר היחידה לכל A S מתקיים A = A 1 לפי הגדרת כפל בסקלר. חוק הקיבוץ לכפל בסקלר.6.7 (c 1 c 2 A = c 1 (c 2 A לפי הגדרת כפל מטריצה בסקלר. (c 1 + c 2 A = c 1 A + c 2 A c(a + B = ca + cb 8. חוק הפילוג לפי הגדרת חיבור מטריצות וכפל מטריצה בסקלר. לסיכום, הראנו שקבוצת המטריצות מסדר m n מהווה מרחב וקטורי. 1. תת מרחב subspace( קבוצת איברים מרחב. מתוך המרחב הוקטורי המהווה בעצמה מרחב וקטורי נקראת תת- דוגמאות:.i.ii.iii.a יהי V המרחב הוקטורי של כל הוקטורים התלת מימדיים. נגדיר קבוצה חלקית המכילה את כל הוקטורים מהצורה (0,b,a, ונוכיח שקבוצה זו מהווה תת מרחב. א. קבוצת וקטורים אלו היא קבוצה חלקית למרחב הוקטורי התלת מימדי. ב. קבוצת וקטורים אלו מקיימת את כל התנאים של מרחב וקטורי: סגירות לחיבור ולכפל בסקלר אם אזי u, v S u + v S סקלר אזי c ואם החיבור והכפל בסקלר. חוק החילוף.V מתקיים בכל המרחב הוקטורי u + v = v + u חוק הקיבוץ c u S.V מתקיים בכל המרחב הוקטורי (u + v + w = u + (v + w לפי הגדרת הקבוצה ופעולות קיום איבר ניטרלי לחיבור וקטור האפס,0 = (0,0,0 קיום איבר נגדי לחיבור לכל המקיים u + 0 = u לכל.u + ( u = 0.u S uקיים = (a, b, 0 S, u = ( a, b, 0 S המקיים סקלר היחידה לכל u = (a, b, 0 S חוק הקיבוץ לכפל בסקלר מתקיים 0 b, (a, b, 0 = (a, 1.iv.v.vi.vii ] 21 [

V. מתקיים בכל המרחב הוקטורי c 1 c 2 u = c 1 (c 2 u (c 1 + c 2 u = c 1 u + c 2 (c 1 + c 2 u = c 1 u + c 2 u c(u + v = cu + cv (a, b, 0 חוק הפילוג מתקיים בכל המרחב הוקטורי V. לסיכום, הראנו שקבוצת הוקטורים מהצורה מהווה תת מרחב..viii יהי V המרחב הוקטורי של כל המטריצות הריבועיות מסדר n. n נגדיר קבוצה חלקית.a ij = a ji המכילה את כל המטריצות הסימטריות, כלומר המטריצות המקיימות.b ( a b a b c b c ; ( b d e c e f דוגמאות למטריצות סימטריות: נוכיח שקבוצה זו מהווה תת מרחב. קבוצת מטריצות אלו היא קבוצה חלקית למרחב הוקטורי של כל המטריצות הריבועיות. א. קבוצת מטריצות אלו מקיימת את כל התנאים של מרחב וקטורי: ב. c A S c סגירות לחיבור ולכפל בסקלר A + B S אם A, B S אזי ואם סקלר אזי החיבור והכפל בסקלר. חוק החילוף.V מתקיים בכל המרחב הוקטורי A + B = B + A חוק הקיבוץ בכל המרחב הוקטורי V. לפי הגדרת הקבוצה ופעולות. A S (c 1 + c 2 A = c 1 A + c 2 A c(a + B = ca + cb A + 0 = A C (A + B + C = A + (B + מתקיים קיים איבר ניטרלי לחיבור 0 0 0 = ( 0 0 מטריצת האפס קיום איבר נגדי לחיבור לכל קיים, A S המקיים המקיימת לכל. A + ( A = 0 A S סקלר היחידה לכל A S מתקיים A = A 1. חוק הקיבוץ לכפל בסקלר V. מתקיים בכל המרחב הוקטורי c 1 c 2 A = c 1 (c 2 A חוק הפילוג.i.ii.iii.iv.v.vi.vii.viii מתקיים בכל המרחב הוקטורי V. לסיכום, הראנו שקבוצת המטריצות הסימטריות מהווה תת מרחב. ] 22 [

] 23 [

ה. תלות ליניארית של וקטורים 1. צירוף לינארי אזי כל וקטור ב- V v. 1, v 2,, v n V יהי V מרחב וקטורי מעל שדה סקלרים K, ויהיו,c 1, c 2,, c n K נקרא c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c n v n מהצורה כאשר צירוף ליניארי של.v 1, v 2,, v n הוקטורים דוגמאות:.1 נתונים שני וקטורים: (2,3,0 1;.(3,0, 2(3,0, 1 + 5(2,3,0 = (16,15, 2 נבצע את הפעולה הבאה: הוקטור (2,16,15 הוא צירוף ליניארי של הוקטורים הנ"ל..2 הוקטור 6 (5,3, הוא צירוף ליניארי של הוקטורים (1,0,0 ; (0,1,0 ;,(0,0,1 שכן: למעשה, כל וקטור (c,a,b (5,3, 6 = 5(1,0,0 + 3(0,1,0 6(0,0,1 הוא צירוף ליניארי של הוקטורים (1,0,0 ;(0,1,0 ;(0,0,1: (a, b, c = a(1,0,0 + b(0,1,0 + c(0,0,1 כתוב את הוקטור 2,5 (1, = v כצירוף ליניארי של הוקטורים הבאים: e 1 = (1,1,1; e 2 = (1,2,3 ; e 3 = (2, 1,1.3. v = xe 1 + ye 2 + ze 3 צריך למצוא סקלרים x,y,z כלומר: המקיימים: (1, 2,5 = x(1,1,1 + y(1,2,3 + z(2, 1,1 = (x, x, x + (y, 2y, 3y + (2z, z, z = (x + y + 2z, x + 2y z, x + 3y + z מתקבלת מערכת של שלוש משוואות בשלושה נעלמים: ] 24 [

(1 (2 (3 x + y + 2z = 1 x + 2y z = 2 x + 3y + z = 5 } (1 (2 (1 (3 (1 x + y + 2z = 1 y 3z = 3 2y z = 4 } (1 (2 (1 (3 (2 z = 2 y = 3 x = 6 x + y + 2z = 1 y 3z = 3 5z = 10 v = 6e 1 + 3e 2 + 2e 3 } ולכן: e 2 =,e 1 = t 2 2t + 5 כתוב את הפולינום 3 4t v = t 2 + כצירוף ליניארי של הפולינומים.4. v = xe 1 + ye 2 + ze 3 x,y,z.2t 2 3t ; e 3 = t + 3 צריך למצוא סקלרים המקיימים t 2 + 4t 3 = x(t 2 2t + 5 + y(2t 2 3t + z(t + 3 כלומר: = xt 2 2xt + 5x + 2yt 2 3yt + zt + 3z = (x + 2yt 2 + ( 2x 3y + zt + 5x + 3z (1 x + 2y = 1 (2 2x 3y + z = 4 (3 5x + 3z = 3 } (1 x + 2y = 1 2(1 + (2 y + z = 6 (3 5(1 10y + 3z = 8 } מתקבלת מערכת של שלוש משוואות בשלושה נעלמים: (1 2(1 + (2 x + 2y = 1 y + z = 6 (3 + 10(2 13z = 52 z = 4 y = 2 x = 3 } ולכן: v = 3e 1 + 2e 2 + 4e 3 e 2 = ;e 1 = (1,0 בדוק האם הוקטור (2,5 יכול להכתב כצירוף ליניארי של הוקטורים.5.(2,0, v = xe 1 + ye 2 צריך לבדוק האם קיימים סקלרים x,y המקיימים ] 25 [

(2,5 = x(1,0 + y(2,0 = (x + 2y, 0 (1 x + 2y = 2 (2 5 = 0 (2,5 כלומר: מתקבלת מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים: למערכת משוואות זו אין פתרון מכיוון שמשוואה 2( מהווה סתירה. מכאן שהוקטור לא יכול להכתב כצירוף ליניארי של שני הוקטורים הנ"ל. יש לשים לב שהוקטור הנ"ל כן יכול להכתב כצירוף ליניארי של שני הוקטורים הללו: e 1 = (1,1 ; e 2 = (2,0 (2,5 = x(2,0 + y(1,1 = (2x + y, y (1 (2 2x + y = 2 y = 5 } x = 3 2 y = 5 v = xe 1 + ye 2 צריך למצוא סקלרים x,y המקיימים v = 3 2 e 1 + 5e 2 כלומר : ולכן: 2. תלות ליניארית נתונים m וקטורים v 1, v 2,, v m השייכים למרחב וקטורי.V הוקטורים נקראים תלויים ליניארית, או ת"ל או תלויים(, אם קיימים m סקלרים שלא כולם 0 המקיימים + 1 c 1 v = 0 n ;c 2 v 2 + + c n v אחרת כלומר, אם כולם אפסים(, הוקטורים נקראים בלתי תלויים ליניארית או בת"ל או בלתי תלויים(. הערות א. מושג התלות הליניארית קשור למושג צירוף ליניארי. אם הוקטורים תלויים ליניארית זאת אומרת שאפשר לכתוב את אחד מהוקטורים הללו כצירוף ליניארי של הוקטורים האחרים ולכן הם נקראים תלויים ליניארית.,v 1 ב. אם אחד הוקטורים, נניח הוא וקטור האפס, אזי תמיד הוקטורים יהיו תלויים ליניארית לפי הגדרה זו. שכן: = 0 m v 1 + 0 v 2 + + 0 v 1 ולא כל המקדמים הם אפסים. דוגמאות הם תלויים ליניארית, שכן: 2(1,3, 1 + 3(1, 1,0 1(5,3, 2 = (0,0,0.6 הוקטורים 1 (1,3, = u w = (5,3, 2 ; v = (1, 1,0 ; בדוק האם הוקטורים 2,1 (1, = u w = (7, 4,1 ; = (2,1, 1 ; הם תלויים ליניארית. צריך לבדוק האם קיימים סקלרים x,y,z שלא כולם אפסים המקיימים: x(1, 2,1 + y(2,1, 1 + z(7, 4,1 = (0,0,0.7 (x, 2x, x + (2y, y, y + (7z, 4z, z = (0,0,0 כלומר: (x + 2y + 7z, 2x + y 4z, x y + z = (0,0,0 ] 26 [

(1 (2 (3 x + 2y + 7z = 0 2x + y 4z = 0 x y + z = 0 } (1 2(1 + (2 (3 (1 x + 2y + 7z = 0 5y + 10z = 0 3y 6z = 0 } (1 (2 x + 2y + 7z = 0 y + 2z = 0 } מתקבלת מערכת של שתי משוואות בשלושה נעלמים ולכן יש אינסוף פתרונות לבעיה, כלומר אינסוף אפשרויות לסקלרים x,y,z המקיימים: x(1, 2,1 + y(2,1, 1 + z(7, 4,1 = (0,0,0 ולכן הוקטורים הנ"ל תלויים ליניארית. בדוק האם הוקטורים (0,5,4,2 = u w = (7,2,4, 2 ; = (0,0, 3,1 ; תלויים ליניארית. צריך לבדוק האם קיימים סקלרים x,y,z שלא כולם אפסים המקיימים: x(0,5,4,2 + y(0,0, 3,1 + z(7,2,4, 2 = (0,0,0,0.8 (0,5x, 4x, 2x + (0,0, 3y, y + (7z, 2z, 4z, 2z = (0,0,0,0 כלומר: (7z, 5x + 2z, 4x 3y + 4z, 2x + y 2z = (0,0,0,0 (1 (2 (3 (4 7z = 0 5x + 2z = 0 4x 3y + 4z = 0 2x + y 2z } z = 0 x = 0 y = 0 התקבל פתרון יחיד לסקלרים = 0 z x,y,z : x = y = ליניארית. ולכן הוקטורים הנ"ל הם בלתי תלויים הערה: ניתן לבדוק תלות ליניארית בין וקטורים בדרך נוספת, המחליפה את הצורך בפתרון מערכת משוואות: רושמים את הוקטורים הנתונים בעמודות או בשורות, ומגיעים למטריצה חצי אלכסונית ע"י פעולות כפל שורה אחת בקבוע וחיבורה לשורה אחרת. אם מגיעים למטריצה עם שורת אפסים אזי הוקטורים תלויים ליניארית. אם לא ניתן להגיע לשורה של אפסים אזי הוקטורים בלתי 1 6 2 ( תלויים ליניארית. בדוק האם הוקטורים (1,5,4 = u w = (1,6,2 ; v = (2,3, 3 ; תלויים ליניארית. 1 6 2 1 6 2 2 3 3 ( 0 9 7 ( 0 9 7 1 5 4 0 1 2 0 0 25 ניתן לראות שלא ניתן להגיע לשורת אפסים ולכן הוקטורים הם בלתי תלויים ליניארית..9 ] 27 [

בסיס ומימד ו. מרחב וקטורי יקרא בעל מימד V וקטורים n אם ישנם n e 1, e 2,, e n בלתי תלויים ליניארית שפורשים את V, כלומר שכל וקטור ב- V יכול להיכתב כצירוף ליניארי שלהם. במקרה זה קבוצת הוקטורים {e 1, e 2,, e n } נקראת בסיס למרחב הוקטורי. סימון:. dimv = n משפט 1: יהי V מרחב וקטורי סופי ממד סופי( אזי לכל בסיס שלו יהיו אותו מספר איברים. דוגמאות: למרחב וקטורי תלת מימדי R 3 יש בסיס הנקרא טבעי:.1 e 1 =(1,0,0 ; e 2 = (0,1,0 ; e 3 = (0,0,1 xe 1 + ye 2 + ze 3 וקטורים אלו הם בלתי תלויים ליניארית: = 0 z x = y = 0 = וניתן לבנות מהם כל וקטור במרחב התלת מימדי. dim R 3 = 3 כי בבסיס ישנם 3 וקטורים. למרחב הוקטורי V של כל הוקטורים באורך n יש בסיס טבעי:.2 e 1 = (1,0,0,,0 e 2 = (0,1,0,,0 e 3 = (0,0,1,,0 e n = (0,0,0,,1 dim V =n כי בבסיס ישנם וקטורים. n המטריצות (1 0 0 0 ; (0 1 0 0 ; (0 0 1 0 ; ( 0 0 0 1 המטריצות 2 2. הממד הוא 4 כי בבסיס ישנם 4 "וקטורים". מהוות בסיס טבעי למרחב הוקטורי של כל מסדר יהי W מרחב וקטורי של כל הפולינומים ב- t ממעלה.n אזי הקבוצה } n {1, t, t 2,, t היא.3.4 בלתי תלויה ליניארית, וע"י צירוף ליניארי של איבריה אפשר לקבל כל איבר ב- W, קבוצה זו נקראת בסיס ל- W. מכאן ניתן להסיק ש: ולכן.dimW = n+1 הערה: המרחב הוקטורי של כל הפולינומים אינו בעל מימד סופי היות ואי אפשר לבטא הפולינומים ע"י צירוף ליניארי של קבוצה סופית של וקטורים. את כל ] 28 [

dimv = n אזי: משפט 2: יהי V מרחב וקטורי המקיים א. כל ב. כל דוגמאות: n+1 n וקטורים או יותר הם תלויים ליניארית. וקטורים בלתי תלויים ליניארית מהווים בסיס. א. ב. ג. ד. האם הוקטורים הבאים מהווים בסיס למרחב א. ב. ג. ד.?R 3 (1, 1,5; (1,1,1 (1,2,3; (1,0, 1; (3, 1,0; (2,1, 2 (1,1,1; (1,2,3; (2, 1,1 (1,1,2; (1,2,5; (5,3,4 לא. לא. dimr 3 = 3 dimr 3 = 3 ולכן בכל בסיס שלו צריכים להיות 3 וקטורים לפי משפט 1(. ולכן בכל בסיס שלו צריכים להיות 3 וקטורים לפי משפט 1(. יש לשים לב שארבעת הוקטורים הם בטוח תלויים ליניארית לפי משפט 2 א'(.,dimR 3 = 3 וכאן נתונים שלושה וקטורים. ליניארית לפי משפט 2 ב'(. לבדוק האם נותר נבדוק את התלות הליניארית בעזרת מטריצה באופן הבא: הוקטורים הם בלתי תלויים ליניארית ולכן הם מהווים בסיס. וקטורים אלו תלויים 1 1 2 1 1 2 1 1 2 ( 1 2 1 ( 0 1 3 ( 0 1 3 1 3 1 0 2 1 0 0 5,dimR 3 = 3 וכאן נתונים שלושה וקטורים. ליניארית לפי משפט 2 ב'(. לבדוק האם נותר נבדוק את התלות הליניארית בעזרת מטריצה באופן הבא: וקטורים אלו תלויים 1 1 2 ( 1 2 5 5 3 4 ( 1 1 2 0 1 3 0 2 6 1 1 2 ( 0 1 3 0 0 0 הוקטורים תלויים ליניארית ולכן הם לא מהווים בסיס. יהי W תת מרחב של R 4 הנוצר מהוקטורים ; v = (2,3,1, 4 ; u = (1, 2,5, 3 w = (3,8, 3, 5 א. ב. א. מצא בסיס ומימד של W. הרחב את הבסיס של W לבסיס של.R 4 כדי לדעת מהו המימד של W יש לבדוק האם הוקטורים הם בלתי תלויים ליניארית. נבדוק את התלות הליניארית בעזרת מטריצה באופן הבא:.5.6 ] 29 [

1 2 5 3 1 2 5 3 1 2 5 3 ( 2 3 1 4 ( 0 7 9 2 ( 0 7 9 2 3 8 3 5 0 14 18 4 0 0 0 0 מכאן ששני הוקטורים 3 2,5, (1, ; 9,2 (0,7, בסיס לתת מרחב W. כלומר, המימד של W הוא 2 סימון: הם בלתי תלויים ליניארית ומהווים.dimW=2 ב. אנו מחפשים 4 וקטורים בלתי תלויים ליניארית ששניים מהם יהיו שני הוקטורים הנ"ל. הוקטורים 3 2,5, (1, ; 9,2 (0,7, ; (0,0,0,1 ; (0,0,1,0 הם בלתי תלויים ליניארית שכן הם יוצרים מטריצה חצי אלכסונית ללא שורת אפסים, ולכן הם יהוו בסיס ל- R. 4 ( 0 1 1 0 ; (0 0 0 1 ; (1 0. יהי V מרחב המטריצות הסימטריות מסדר 2 2. הוכח כי = 3 dimv נבחר את 3 המטריצות: ונוכיח שהן מהוות בסיס למרחב V. 0 0 אלו. טענה: כל המטריצות הסימטריות מסדר 2 2 מהוות צירוף ליניארי של שלוש מטריצות הוכחה: ( a b b c = a (1 0 0 0 + b (0 1 1 0 + c (0 0 0 1 כלומר, קבוצת המטריצות פורשת את V. כעת צריך להוכיח שמטריצות אלו הן בלתי תלויות ליניארית: x ( 1 0 0 0 + y (0 1 1 0 + z (0 0 0 1 = (0 0 0 0 x = y = z = 0 כלומר, המטריצות הן בלתי תלויות ליניארית, ולכן הן מהוות בסיס ל- V.. מסקנה: = 3 dimv יהי W מרחב הנוצר ע"י קבוצת כל הצירופים הליניאריים של הפולינומים הבאים:.7.8 v 1 = t 3 2t 2 + 4t + 1 v 2 = 2t 3 3t 2 + 9t 1 v 3 = t 3 + 6t 5 v 4 = 2t 3 5t 2 + 7t + 5 מצא בסיס ומימד של W. כדי לדעת מהו המימד של W יש לבדוק האם הוקטורים הם בלתי תלויים ליניארית. נבדוק את התלות הליניארית בעזרת מטריצה באופן הבא: ] 30 [

1 2 4 1 1 2 4 1 1 2 4 1 2 3 9 1 0 1 1 3 0 1 1 3 1 0 6 5 0 2 2 6 0 0 0 0 ( 2 5 7 5 ( 0 1 1 3 ( 0 0 0 0 מכאן ששני הוקטורים (2,4,1,1 ; (3,0,1,1 הם בלתי תלויים ליניארית, ולכן הפולינומים dimw הוא ( 2 W כלומר, המימד של.W מהווים בסיס למרחב t 2 + t 3 ; t 3 2t 2 + 4t + 1.= 2 יהי V מרחב וקטורי של זוגות סדורים של מספרים מרוכבים מעל שדה הסקלרים הממשיים.,(1,0; (0,1; (i, 0; (0, i הוכח כי.dimV=4 נבחר את ארבעת הוקטורים טענה: כל וקטור מהצורה הכללית ונוכיח שהם מהווים בסיס למרחב V. di z = (a + bi, c + מהווה צירוף ליניארי של ארבעת z = a(1,0 + b(i, 0 + c(0,1 + d(0, i הוקטורים הללו. הוכחה: כעת צריך להוכיח שוקטורים אלו הם בלתי תלויים ליניארית. הוכחה: כלומר, קבוצת הוקטורים פורשת את V. x 1 (1,0 + x 2 (i, 0 + x 3 (0,1 + x 4 (0, i = (0,0 x 1 + x 2 i = 0 x 3 + x 4 i = 0 x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = 0 כלומר, הוקטורים הם בלתי תלויים ליניארית ולכן הם מהווים בסיס ל- V. מסקנה: = 4.dimV.9 ] 31 [

ז. קואורדינטות v B = {v 1, v 2, v n } יהי כלשהו במרחב V. אזי בסיס במרחב וקטורי V בעל מימד n, מעל שדה K. יהי הוא צירוף ליניארי של אברי הבסיס B: וקטור.v = x 1 v 1 + x 2 v 2 + + x n v n.b v v הקבוצה n (x 1, x 2,, x נקראת ההצגה הוקטורית של אברי הקבוצה נקראים הקואורדינטות של לפי הבסיס B. לפי הבסיס v [v] B = (x 1, x 2,, x n סימון: x 1, x 2,, x n הערות: א. מכיוון שאיברי הבסיס הינם בת"ל, הצגה כזו היא ייחודית. כלומר, הסקלרים נקבעים באופן מוחלט ע"י הוקטור v וע"י הבסיס B. ב. הוקטורים שבמרחב הרגיל נכתבים בהצגה הוקטורית לפי הבסיס הטבעי.B = {(1,0,0; (0,1,0; (0,0,1} ל 7(0,0,1 + 3(0,1,0 5(1,0,0 = 3,7 (5, לפי הבסיס: B = {(1,0,0; (1,1,0; (1,1,1} v = (4, 3,2 = x(1,0,0 + y(1,1,0 + z(1,1,1 v = (4, 3,2 (4, 3,2 = (x + y + z, y + z, z z = 2 ; y = 5 ; x = 7 [v] B = (7, 5,2 דוגמאות: 1. מצא את הקואורדינטות של הוקטור צריך למצוא סקלרים x,y,z מכאן שההצגה הוקטורית של המקיימים: v לפי הבסיס B היא 2 2 יהי V מרחב וקטורי של המטריצות מסדר לפי הבסיס המטריצה } 0 0 הממשיות. מצא את הקואורדינטות של B = {(1 1 1 1 ; (0 ; (1 1 1 1 0 0 0 ; (1 0 A = ( 2 3 4 7.2 A = ( 2 3 4 7 = x (1 1 1 1 + y (0 + z (1 1 1 1 0 0 0 + w (1 0 0 0 ( 2 3 4 7 = (x + z + w x y z x + y x x + z + w = 2 x y z = 3 x + y = 4 x = 7 x = 7 y = 11 z = 21 w = 30 צריך למצוא סקלרים x,y,z,w המקיימים: ] 32 [

[A] B מכאן שההצגה הוקטורית של A לפי הבסיס B היא (21,30,7,11 = V = {ax 2 + bx + c: a, b, c R} יהי V מרחב וקטורי של פולינומים ממעלה קטנה או שווה 2. מצא את הקואורדינטות של הפולינום + 2 3t v = 4t 2 הבאים: לפי הבסיס הנוצר ע"י הוקטורים v 1 = 1 + t + t 2 v 2 = 1 + 2t + 3t 2 v 3 = 2 t + t 2 x,y,z צריך למצוא סקלרים המקיימים: v = 2t 2 3t + 4 = x(1 + t + t 2 + y(1 + 2t + 3t 2 + z(2 t + t 2 = (x + 3y + zt 2 + (x + 2y zt + (x + y + 2z x + 3y + z = 2 x = 131 16 x + 2y z = 3 y = 85 16 x + y + 2z = 4 z = 9 16 [v] B = (131 16, 85 16, 9 16 מכאן שההצגה הוקטורית של v לפי הבסיס B היא:.3 1. מעבר מבסיס לבסיס.R 3 יהיו 3 F = (f 1, f 2, f 3 ; E = (e 1, e 2, e שני בסיסים של המרחב f 1 = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 f 2 = b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 f 3 = c 1 e 1 + c 2 e 2 + c 3 e 3 אזי מתקיים: תהי Q המטריצה המשוחלפת של מטריצת המקדמים שלעיל. כלומר: a 1 b 1 c 1 Q = ( a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 המטריצה Q נקראת מטריצת מעבר מבסיס E לבסיס F. E,F משפט 1: בהינתן וקטור כלשהו לפי בסיס [v], f אזי ניתן להעבירו לקואורדינטות לפי בסיס.Q[v] f = [v] e ע"י הקשר הבא v = rf 1 + sf 2 + tf 3 הוכחה: [v] f = (r, s, t נניח אזי ] 33 [

f i נקבל e i ו- לפי הקשר בין v = r(a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 + s(b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 + t(c 1 e 1 + c 2 e 2 + c 3 e 3 = (ra 1 + sb 1 + tc 1 e 1 + (ra 2 + sb 2 + tc 2 e 2 + (ra 3 + sb 3 + tc 3 e 3 מכאן ra 1 + sb 1 + tc 1 a 1 b 1 c 1 r [v] e = ( ra 2 + sb 2 + tc 2 = ( a 2 b 2 c 2 ( s = Q[v] f ra 3 + sb 3 + tc 3 a 3 b 3 c 3 t 4. נתונים 2 בסיסים: B = {α 1 = (1,0,0 ; α 2 = (0,1,0 ; α 3 = (0,0,1} B = {α 1 = (1,0, 1 ; α 2 = (1,1,1 ; α 3 = (1,0,0}.B'.B א. מצא את מטריצת המעבר מבסיס 'B לבסיס ב. מצא את ההצגה של וקטור כללי הנתון בבסיס B לפי ההצגה של וקטור בבסיס α 1 = x 1 α 1 + y 1 α 2 + z 1 α 3 α 2 = x 2 α 1 + y 2 α 2 + z 2 α 3 α 3 = x 3 α 1 + y 3 α 2 + z 3 α 3 (1,0,0 = α 1 = (x 1 + y 1 + z 1, y 1, x 1 + y 1 x 1 = 0 y 1 = 0 z 1 = 1 (0,1,0 = α 2 = (x 2 + y 2 + z 2, y 2, x 2 + y 2 x 2 = 1 y 2 = 1 z 2 = 2 (0,0,1 = α 3 = (x 3 + y 3 + z 3, y 3, x 3 + y 3 x 3 = 0 y 3 = 1 z 3 = 1 α 1 = 0 α 1 + 0 α 2 + 1 α 3 α 2 = 1 α 1 + 1 α 2 2 α 3 α 3 = 1 α 1 + 0 α 2 + 1 α 3 0 1 1 T = ( 0 1 0 B 1 2 1 a v = ( b c מסקנה: בהינתן וקטור לפי בסיס ואנו מעוניינים בהצגה לפי בסיס 'B, נוכל [v] B = T[v] B לחשב ] 34 [

0 1 1 a b c ( 0 1 0 ( b = ( b 1 2 1 c a 2b + c (a, b, c = x(1,0, 1 + y(1,1,1 + z(1,0,0 = (x + y + z, y, x + y בדיקה: y = b x + y = c x = b c z = a (b c b = a 2b + c x + y + z = a ] 35 [

העתקה ח. U V יהיו U,V מרחבים וקטוריים. העתקה פונקציה( ממרחב וקטורי היא התאמה שמתאימה לכל וקטור וקטור יחיד למרחב וקטורי.u.v V,u U v,v הוקטור u נקרא המקור של והוקטור נקרא התמונה של f(u = ( 2 3 5 1 4 7 u, וכן f(u = v f: R 3 R 2 סימון: f: U V העתקה המוגדרת כך: מצא את התמונה של מתאימה לכל וקטור ב- R3 וקטור יחיד 1 f ( 2 = ( 2 3 5 1 1 4 7 ( 2 = ( 23 30 3 3.u = (1,2,3 ב-.R 2.1 העתקה 1. ליניארית יהיו U,V מרחבים וקטוריים מעל שדה F. העתקה פונקציה( ממרחב וקטוריV למרחב וקטורי U היא f(v + w = f(v + f(w f(αv = αf(v α F ליניארית אם לכל v, w V ולכל א. שמירה על חיבור וקטורים ב. שמירה על כפל וקטור בסקלר הערות: א. בהעתקה ליניארית, תמיד מתקיים מתקיים: התמונה של וקטור ה- 0 היא תמיד 0(. תכונה זו f(αv + βw = f(αv + f(βw.α=0 f(0 = 0 נובעת מתכונה ב' של העתקה ליניארית כאשר ב. ניתן לאחד את שתי התכונות של העתקה ליניארית לתכונה אחת: דוגמאות: f(x, y, z = f: R 3 R 3 נתונה העתקת ההיטל על המישור xy היא העתקה ליניארית? ראה איור( המוגדרת כך: f האם.(x, y, 0.2 z v=(x,y,z x y f(v=(x,y,0 יהיו ויהי נבדוק האם תכונות הליניאריות מתקיימות בהעתקה זו, כלומר האם ההעתקה שומרת על חיבור וקטורים ועל כפל וקטור בסקלר. α R סקלר כלשהו. אזי: v = (x 1, y 1, z 1, w = (x 2, y 2, z 2 ] 36 [

f(v + w = f((x 1, y 1, z 1 + (x 2, y 2, z 2 = f(x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2, 0 = (x 1, y 1, 0 + (x 2, y 2, 0 = f(v + f(w f(αv = f(α(x 1, y 1, z 1 = f(αx 1, αy 1, αz 1 = (αx 1, αy 1, 0 = α(x 1, y 1, 0 = αf(v מסקנה: f היא העתקה ליניארית..R t יהיV מרחב וקטורי של כל הפולינומים במשתנה מעל שדה הממשיים נתונה העתקת.3 df. D(f = האם D היא העתקה ליניארית? dt הנגזרת :D V V המוגדרת כך: נבדוק האם תכונות הליניאריות מתקיימות בהעתקה זו, כלומר האם ההעתקה שומרת על חיבור וקטורים ועל כפל וקטור בסקלר. α R יהיו f, g V פולינומים כלשהם ויהי סקלר כלשהו. D(f + g = d(f + g dt = d(f dt + d(g dt מתכונות הנגזרת ידוע שמתקיים: D(αf = d(αf dt = α d(f dt מסקנה: D היא העתקה ליניארית. הערה: באותו אופן ניתן להראות שגם העתקת האינטגרל המתאימה לכל פולינום במשתנה את האינטגרל המסויים שלו בין 0 ל- 1 היא העתקה ליניארית. אולם, העתקת הסינוס והעתקת הלוגריתם אינן העתקות ליניאריות. t העתקה f: R 2 R 2 המוגדרת כך: 2 + y. F(x, y = (x + 1, האם F היא העתקה ליניארית? לפי ההערה לעיל בדוגמא 3, בהעתקה ליניארית תמיד מתקיים = 0 (0F. נבדוק האם.v = (0,0 F(0,0 = (1,2 (0,0 תכונה זו מתקיימת כאן: נבחר וקטור מסקנה: F אינה העתקה ליניארית..4 2. גרעין ותמונה של העתקה ליניארית F F: U V תהי התמונה העתקה ליניארית. היא קבוצת כל התמונות של ב- V. F של image( {קיים u U כך ש Im F = {v V: f(v = u F של kernel( סימון: Im F סימון: הגרעין היא קבוצת כל האיברים ב- U שהתמונה שלהם ב- F היא 0. Ker F Ker F = {u U: f(u = 0} ] 37 [

המוגדרת כך: 0 y, f(x, y, z = (x, ראה Im F = {(x, y, 0: x, y R} Ker F = {(0,0, z: z R} f: R 3 R 3 xy 5. נתונה העתקת ההיטל על המישור דוגמא 2 לעיל(. מצא את התמונה ואת הגרעין של ההעתקה. התמונה של F הגרעין של היא אוסף כל הוקטורים שבמישור.xy כלומר: F הוא אוסף כל הוקטורים שבציר ה- z. כלומר: 3. אופרטור ליניארי T: V V יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F. העתקה ליניארית לעצמו, נקראת אופרטור ליניארי כלומר ממרחב וקטורי V I(v = v I: V V על V. יהי V מרחב וקטורי כלשהו. האופרטור המוגדר כך: אופרטור המתאים לכל וקטור את עצמו( נקרא אופרטור היחידה או אופרטור הזהות( על V. L = ( 1 1 V = {v = ( a b } V=R 2 יהי מרחב כל הוקטורים ממימד 2: T(v = Lv כאשר יהי T אופרטור על V המוגדר כך: ניתן לראות שהתמונות של האופרטור הן איברים ב- V שכן: 1 1 T(v = ( 1 1 1 1 (a b = ( a b a + b.6 R. T ישנם מקרים range( הטווח {Lv} קבוצת כל הוקטורים שבהם נקראת זהה ל- V ובמקרים אחרים של T. סימון: V. הוא תת מרחב של R T R T Lv = ( 1 1,T מצא את הטווח של האופרטור המוגדר כמו בדוגמא הקודמת. 1 1 (a a b = ( b a + b = ( a b (a b.7 R T = {( u u } כלומר : ] 38 [

במקרה זה, הטווח של T הוא תת מרחב של ממספר כלשהו והנגדי לו. המימד של את כל הוקטורים ב- אופרטור המקיים: V R T.R T T: V V אופרטור הפיך יקרא שכן שייכים אליו רק הוקטורים שמורכבים הוא 1 שכן בבסיס יש וקטור אחד: ( 1 הפורש 1 אם יש לו אופרטור הופכי המסומן T 1 T כלומר, אם קיים אופרטור 1.T 1 T = TT 1 = I התמונה של האופרטור T, נקבל חזרה את וקטור המקור של האופרטור שאם נפעיל אותו על.T.8 האם האופרטור T לכל הוקטורים מהצורה המוגדר כמו בדוגמא הקודמת הוא אופרטור הפיך? a + μ ( b + μ יש אותה תמונה ע"י האופרטור T. a b Lv = ( (a b ( ולכן אנו אומרים ש- T אינו הפיך, כלומר אין לו אופרטור הפכי שכן צריך להתאים לוקטור a b (a b תמונה (a b וקטור יחיד (a b אבל ישנם אינסוף וקטורים + μ (a b + μ ( a b ב- T. שהיתה להם אותה dimr T = dimv משפט 1: יהי V מרחב וקטורי ויהי אם T אופרטור ליניארי על V. dimr T dimv T אז אינו אופרטור הופכי. ואם אז T אופרטור הופכי. דוגמאות:.9 האופרטור T המוגדר כמו בדוגמא 8 אינו הפיך שכן המימד של R T וקטור אחד: 1 ( 1 הפורש את כל הוקטורים ב-.RT ואילו המימד של V הוא 2. ולכן מתקיים מסקנה: T אינו אופרטור הפיך..dimR T dimv הוא 1, מאחר ובסיס יש V = {v = ( a b } יהי V מרחב כל הוקטורים ממימד 2: ויהי T אופרטור על V המוגדר כך: T(v = Lv כאשר. האם T אופרטור הפיך? L = ( 0 1 1 0.10 ] 39 [

.dimr T = dimv ולכן מתקיים V את כל b פורש a Lv = ( 0 1 a (a b = (b 0 1 מסקנה: T הוא אופרטור הפיך. הוקטור T משפט 2: יהי T אופרטור ליניארי. אם בגרעין של אופרטור הפיך. נמצא רק וקטור האפס, כלומר, אם = kerl {0} אז T 1. T(x, y, z = (2x, 4x y, 2x + 3y z האופרטור T: R 3 R 3 א. הוכח כי מוגדר כך אופרטור הפיך T -1 T ב. מצא נוסחה עבור א. כדי להוכיח שאופרטור הוא הפיך אפשר להוכיח את אחת משתי הטענות הבאות: dimr L = dimv.11 2. kerl = {0} T(1,0,0 = (2,4,2 T(0,1,0 = (0, 1,3 T(0,0,1 = (0,0, 1 : נוכיח כאן את שתי הטענות: נוכיח ש- dimv dimr L = T.1 נפעיל את האופרטור על אברי הבסיס של המרחב הוקטורי: לפי מבנה וקטורי התמונות מטריצה חצי אלכסונית בלי שורת אפסים(, ניתן לראות שהם T(x, y, z = (0,0,0 (2x, 4x y, 2x + 3y z = (0,0,0 T(x, y, z = (r, s, t.kerl = {0} בלתי תלויים ליניארית, כלומר מתקיים.dimR L = dimv מסקנה: T הוא אופרטור הפיך. נוכיח ש-{ 0 } = kerl : נבדוק מיהם הוקטורים (x,y,z שהתמונה שלהם ב- T היא 0: 2x = 0 4x y = 0 2x + 3y z = 0 x = 0 y = 0 z = 0 ניתן לראות שהגרעין מכיל רק את וקטור האפס, כלומר T.2 מסקנה: ב. הוא אופרטור הפיך..T -1 נסמן: אזי: נמצא נוסחה עבור ] 40 [

(x, y, z = T 1 (r, s, t r = 2x T(x, y, z = (2x, 4x y, 2x + 3y z s = 4 y t = 2x + 3y z r x = 2 y = 2r s z = 7r 3s t ( r 2, 2r s, 7r 3s t = T 1 (r, s, t :r,s,t נבטא את x,y,z בעזרת פעולות על 4. אופרטורים ליניאריים.V L 1, L 2 יהיו אופרטורים ליניאריים המוגדרים על מרחב וקטורי בעזרת אופרטורים אלו, ניתן להגדיר אופרטורים נוספים ע"י פעולות של חיבור אופרטורים, כפל אופרטור בסקלר והרכבת אופרטורים: (L 1 + L 2 u L 1 u + L 2 u L 1 + L 2 סכום האופרטורים הוא אופרטור המוגדר כך: לכל (cl 1 u c(l 1 u cl 1.u V כפל האופרטור בסקלר הוא אופרטור המוגדר כך: (L 1 L 2 u L 1 (L 2 u L 1 L 2 L 1 L 2 הרכבת האופרטורים סימון: הוא אופרטור המוגדר כך: משפט 3: L 1 L 2 ; cl 1 ; L 1 + L 2 L 1, L 2 יהיו אופרטורים ליניאריים אז גם הם אופרטורים ליניאריים. הוכחה: (L 1 L 2 (αv + βw = (L 1 L 2 αv + (L 1 L 2 βw = L 1 (L 2 αv + L 1 (L 2 βw = L 1 (α(l 2 v + L 1 (β(l 2 w = α(l 1 (L 2 v + β(l 1 (L 2 w = α(l 1 L 2 v + β(l 1 L 2 w S(x, y = (0, x T(x, y = (x, 0 R 2 S,T דוגמאות: אופרטורים ליניאריים על המוגדרים ע"י הפעולות: ST 0, TS = 0 12. יהיו הוכח כי א. ] 41 [

(TS(x, y = T(S(x, y = T(0, x = (0,0 T 2 = T T( ב. הוכח כי T 2 = T א. (ST(x, y = S(T(x, y = S(x, 0 = (0, x (0,0 מסקנה: TS ST הרכבת אופרטורים אינה פעולה חילופית קומוטטיבית(( T 2 (x, y = T(T(x, y = T(x, 0 = (x, 0 = T(x, y ב. ] 42 [

ט. מטריצות ואופרטורים ליניאריים 1. הצגה מטריציאלית של אופרטור ליניארי.V T יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F. ויהי אופרטור ליניארי הפועל על נניח ש: } n e }בסיס 1,, e הם וקטורים ב- V ולכן אפשר לכתוב אותם כצירוף ליניארי של אברי הבסיס: T(e 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2 + + a 1n e n = a 1j e j n j=1 n של V. T(e 1 T(e n T(e 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2 + + a 2n e n = a 2j e j j=1 n T(e n = a n1 e 1 + a n2 e 2 + + a nn e n = a nj e j j=1 {e 1,, e n } ההצגה המטריציאלית של האופרטור T המשוחלפת של המקדמים הנ"ל. ביחס לבסיס היא המטריצה [T] e סימון: כלומר: [T] e ( a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n2 a 1n a 2n a nn דוגמאות: לפי הבסיס הטבעי (0,1} {(1,0, =.e יהי T אופרטור ליניארי על R2 המוגדר כך:. T ( x y = (y x מצא את ההצגה המטריציאלית של האופרטור T נכתוב את תמונות איברי הבסיס כצירוף ליניארי של איברי הבסיס:.1 T ( 0 1 = (1 0 = 0 (0 1 + 1 (1 0 T ( 1 0 = (0 1 = 1 (0 1 + 0 (1 0 [T] e = ( 0 1 1 0 ולכן: ] 43 [

2. יהיV מרחב וקטורי של כל הפולינומים במשתנה t מעל שדה הממשיים R ממעלה 3. ויהי.e = {1, t, t 2, t 3 }. D(f = df dt T אופרטור ליניארי על V המוגדר כך: מצא את ההצגה המטריציאלית של האופרטור לפי הבסיס D(1 = 0 = 0 1 + 0 t + 0 t 2 + 0 t 3 D(t = 1 = 1 1 + 0 t + 0 t 2 + 0 t 3 D(t 2 = 2t = 0 1 + 2 t + 0 t 2 + 0 t 3 D(t 3 = 3t 2 = 0 1 + 0 t + 3 t 2 + 0 t 3 0 1 0 0 0 0 2 0 [T] e = ( 0 0 0 3 0 0 0 0 D נכתוב את תמונות איברי הבסיס כצירוף ליניארי של איברי הבסיס: ולכן:.T(x, y = (4x 2y, 2x + y.f = {(1,1, ( 1,0} T(1,1 = (2,3 = 3(1,1 + ( 1,0 T יהי T אופרטור ליניארי על R 2 המוגדר כך: מצא את ההצגה המטריציאלית של האופרטור לפי הבסיס T( 1,0 = ( 4, 2 = 2(1,1 + 2( 1,0 [T] f = ( 3 2 1 2.e = {(1,0,0, (0,1,0, (0,0,1} נכתוב את תמונות איברי הבסיס כצירוף ליניארי של איברי הבסיס:.T(x, y, z = (2y + z, x 4y, 3x T ולכן: יהי T אופרטור ליניארי על R 3 המוגדר כך: מצא את ההצגה המטריציאלית של האופרטור לפי הבסיס הטבעי: נכתוב את תמונות איברי הבסיס כצירוף ליניארי של איברי הבסיס: T(1,0,0 = (0,1,3 = 0(1,0,0 + 1(0,1,0 + 3(0,0,1 T(0,1,0 = (2, 4,0 = 2(1,0,0 4(0,1,0 + 0(0,0,1 T(0,0,1 = (1,0,0 = 1(1,0,0 + 0(0,1,0 + 0(0,0,1 0 2 1 [T] e = ( 1 4 0 3 0 0 ולכן:.3.4 ] 44 [

על V. T משפט 1: יהי } n B = {v 1,, v בסיס של מרחב וקטורי,V ויהי אזי לכל וקטור v V מתקיים: אופרטור ליניארי [T(v] B = [T] B [v] B. T(v כלומר, אם נכפיל את הוקטור v הוכחה: עבור במטריצה המייצגת של האופרטור T, נקבל את הוקטור T(v k = L k1 v 1 + L k2 v 2 + + L kn v n = (L 1j, L 2j,, L nj v = x 1 v 1 + x 2 v 2 + +x n v n = x k v k [v] B = (x 1, x 2,, x n t n k=1 n l=1 L kl v l [T] B n (k = 1,, מתקיים: ולכן השורה ה- j במטריצה הוקטור מקיים: היא: v ולכן: מכאן, שההצגה של ( T(vהיא: n n n n n n T(v = T( k=1 x k v k = k=1 x k T(v k = k=1 x k l=1 L kl v l = l=1( k=1 L kl x k v l n ולכן: [T(v] B = ( L k1 x 1 k=1 n L kn x n k=1 L 11 L 21 L n1 = ( ( = [T] B [v] B L 1n L L 2n nn x n x 1 [T(v] e = [T] e [v] e דוגמאות: בדוק את קיום השיוויון אגף שמאל: בדוגמא 1..5 [T ( x y ] e = ( y x [T] e [( x y ] e אגף ימין: = ( 0 1 כלומר, השיוויון מתקיים. x (x y = (y 0 1 D(f(t = b + 2ct + 3dt 2 בדוק את קיום השיוויון [D(f] e = [D] e [f] e יהי בדוגמא 2. f(t = a + bt + ct 2 + dt 3 אגף שמאל:, אזי מתקיים:.6 ] 45 [

[D(f(t] e = ( [D] e = ( [f] e = ( b 2c 3d 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 a b c [D] e [f] e = ( d 0 1 0 0 a b 0 0 2 0 0 0 0 3 ( 0 0 0 0 d 0 b c = ( 2c 3d וכפי שהתקבל בדוגמא 2: וכידוע: אגף ימין: כלומר, השיוויון מתקיים. [T] f = ( 3 בדוק את קיום השיוויון [T(v] B = [T] B [v] B נתון בדוגמא 3. 2, קבלנו: T(x, y = (4x 2y, 2x + y.7 x = b v = (a, b = x(1,1 + y( 1,0 x y = a y = b a [v] f = (b, b a T(v = T(a, b = (4a 2b, 2a + b (4a 2b, 2a + b = [T(v] 2a + b f = ( 3b 2a 1 2 יהי b v = (a, x = 2a + b = x(1,1 + y( 1,0 x y = 4a 2b [T] f [v] f = ( 3 2 ( b 2a + b = ( 1 2 b 1 3b 2a :[v] f :[T(v] f נחשב את נחשב את y = 2a + b 4a + 2b y = 3b 2a אגף שמאל: אגף ימין: כלומר, השיוויון מתקיים. ] 46 [

2b + c [T(v] e = ( a 4b 3a 0 2 1 [T] e = ( 1 4 0 3 0 0 a [v] e = ( b c 0 2 1 [T] e = ( 1 4 0 3 0 0 בדוק את קיום השיוויון [T(v] e = [T] e [v] e נתון: בדוגמא 4., קבלנו: T(v = T(a, b, c = (2b + c, a 4b, 3a 0 2 1 [T] e [v] e = ( 1 4 0 ( 3 0 0 a b c = ( 2b + c a 4b 3a T(x, y, z = (2y + z, x 4y, 3x יהי c v = (a, b, אגף שמאל:, אזי מתקיים: וכפי שהתקבל בדוגמא 4 לעיל: וכידוע: אגף ימין: כלומר, השיוויון מתקיים..8 2. מטריצת מעבר מבסיס לבסיס, ונתונים n {e 1 e n } ; {f 1 f n } נתונים 2 בסיסים של V: הוקטורים: f 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2 + + a 1n e n f 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2 + + a 2n e n f n = a n1 e 1 + a n2 e 2 + + a nn e n {e 1 e n } אזי המטריצה המשוחלפת של המקדמים P לבסיס נקראת מטריצת מעבר מבסיס.{f 1 f n } סימון: a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n2 P = ( a 1n a 2n a nn {e i. ותהי P מטריצת מעבר מבסיס } V.[v] e = P[v] f {f i } {e i } משפט 2: נתונים 2 בסיסים ו- f}. i אזי לכל וקטור לבסיס } במרחב וקטורי v V מתקיים {e 1 e n } P טענה: נניח שמטריצה היא מטריצת מעבר מבסיס.{f 1 כלומר: f n לבסיס } ] 47 [

[v] e = P[v] f {f 1 f n ונניח שמטריצה Q היא מטריצת מעבר מבסיס }.{e 1 כלומר: e n לבסיס } [v] f = Q[v] e.p = Q 1 [v] e = P[v] f [v] f = Q[v] e = QP[v] f QP = I P = Q 1, כלומר: אז מתקיים: PQ = I הוכחה: P 1 {e i } {f i } מסקנה: אם P היא מטריצת מעבר מבסיס לבסיס אז היא מטריצת מעבר מבסיס.{f i לבסיס } {e i } e = {(1,0; (0,1}, f = {(1,1; ( 1,0} (1,1 = 1 (1,0 + 1 (0,1 ( 1,0 = 1 (1,0 + 0 (0,1 :f e נתונים 2 בסיסים של R: 2 נחשב מטריצת מעבר מבסיס לבסיס.9 P = ( 1 1 נחשב מטריצת מעבר מבסיס f לבסיס e: 0 1 (1,0 = 0 (1,1 1 ( 1,0 (0,1 = 1 (1,1 + 1 ( 1,0 Q = ( 0 1 ואמנם : 1 1 PQ = ( 1 1 1 0 ( 0 1 1 1 = (1 0 P = Q 1 כלומר: = I 1 0 {e i. ותהי P מטריצת מעבר מבסיס }.[v] f = P 1 [v] e V [v] e = P[v] f {f i } {e i } לסיכום: משפט 3: נתונים 2 בסיסים ו- f}. i אזי לכל וקטור לבסיס } במרחב וקטורי מתקיים וכן v V הערה: יש לשים לב כי לכל מטריצת מעבר קיימת מטריצה הופכית. ] 48 [

של.R 2 e = {(1,0; (0,1} f = {(1,1; ( 1,0} 10. נתונים 2 בסיסים נכתוב את b v = (a, נחשב את בהצגה לפי 2 הבסיסים: :[v] e (a, b = x(1,0 + y(0,1 x = a y = b [v] e = (a, b = ( a b (a, b = x(1,1 + y( 1,0 [v] f = (b, b a = ( b b a x = b y = b a, ולכן: P = ( 1 1 1 0 :[v] f נחשב את בדוגמא הקודמת חישבנו את P 1 = ( 0 1 ואמנם: 1 1 P[v] f = ( 1 1 1 0 ( b b a = (a b = [v] e P 1 [v] e = ( 0 1 1 1 (a b = ( b b a = [v] f 3. מעבר של אופרטור מבסיס לבסיס.V {f i } {e i } משפט 4: תהי P מטריצת מעבר מבסיס אזי לכל אופרטור ליניארי לבסיס ב- V מתקיים: במרחב וקטורי [T] f = P 1 [T] e P T T {f i } {e i כלומר, המעבר מהצגה לפי בסיס } הנ"ל באמצעות מטריצת המעבר P.( להצגה לפי בסיס של ניתן ע"י הקשר הוכחה: לפי הנתון, מתקיים: [v] e = P[v] f ] 49 [

נסמן: [v ] e = [T] e [v] e.[v ] e [v] e [T] e פעולת היא להעביר את הוקטור לוקטור.[v ] f [v] f כלומר, את האופרטור שמעביר את הוקטור [T], f אנו מעוניינים למצוא את לוקטור [v ] f = [T] f [v] f [v ] e = P[v ] f לפי הנתון, מתקיים: ולכן: P[v ] f = [v ] e = [T] e [v] e = [T] e P[v] f כלומר: [v ] f = P 1 [T] e P[v] f f האופרטור T בהצגה לפי בסיס הוא: [T] f = P 1 [T] e P L(x, y = (4x 2y, 2x + y e = {(1,0, (0,1} f = {(1,1, ( 1,0} e = {(1,0, (0,1} אופרטור ליניארי המוגדר ע"י: מצא את הצגתו לפי הבסיסים הבאים בשתי דרכים: L.11 יהי L א. לפי ההגדרה. ב. לפי משפט 4. א. לפי ה נמצא את הצגת לפי הבסיס L(e 1 = L(1,0 = (4,2 = 4(1,0 + 2(0,1 L(e 2 = L(0,1 = ( 2,1 = 2(1,0 + (0,1 [L] e = ( 4 2 2 1 נמצא את הצגת L לפי הבסיס {(1,0,(1,1} = f L(f 1 = L(1,1 = (2,3 = 3(1,1 + ( 1,0 L(f 2 = L( 1,0 = ( 4, 2 = 2(1,1 + 2( 1,0 [L] f = ( 3 2 1 2 ב. לפי משפט 4: ] 50 [

:f (1,1 = 1 (1,0 + 1 (0,1 e נחשב את המטריצה P, מטריצת המעבר מבסיס לבסיס ( 1,0 = 1 (1,0 + 0 (0,1 P = ( 1 1 ולכן המטריצה 0 1 היא המעבירה וקטורים מהצגה לפי בסיס e להצגה לפי בסיס : P 1. f נחשב את P 1 = 1 P ( 0 1 1 1 = ( 0 1 לפי ה 1 1 [L] e = ( 4 2 [L] f = P 1 [L] e P = ( 0 1 1 1 2 1 ולכן, לפי משפט 4 מתקיים: 2 1 (4 (1 2 1 1 0 = (3 2 1 2 4. דמיון מטריצות, B = P 1 AP P אם A אזי ו- B מטריצות ריבועיות וקיימת מטריצה הפיכה המקיימת B נקראת דומה ל- A ואומרים ש- B התקבלה מ- A ע"י טרנספורמציית דמיון. מטריצה. מצא מטריצה דומה ל- A. תהי 2 5 A = ( 1 1.12 P 1 = 1 2 ( 2 0 4 6 = ( 1 0 2 3 P = ( 6 0 תהי 2 4 מכאן מטריצה. B = P 1 AP = ( 1 0 1 (1 2 3 2 5 (6 0 4 2 = ( 2 2 92 34. היא מטריצה דומה ל- A B מסקנה: ההצגות המטריציאליות של אופרטור לפי בסיסים שונים הן מטריצות דומות, מכיוון שתמיד.[T] f = P 1 [T] e מתקיים P אזי הן מטריצות דומות לכל ו- f. e [T] f [T] e ו- ] 51 [

משפט 5 הפוך(: 2 מטריצות דומות מייצגות את אותו אופרטור ליניארי ביחס לבסיסים שונים. T(x, y, z = (x + y, z, x 2z e = {(1,0,0, (0,1,0, (0,0,1}, f = {(1,1,1, (1,1,0, (1,0,0} T יהי אופרטור ליניארי המוגדר ע"י: מצא את הצגתו לפי הבסיסים הבאים: והראה שהמטריצות המייצגות אותו הן מטריצות דומות. e = {(1,0,0, (0,1,0, (0,0,1} T(e 1 = T(1,0,0 = (1,0,1 = 1(1,0,0 + 0(0,1,0 + 1(0,0,1 T(e 2 = T(0,1,0 = (1,0,0 = 1(1,0,0 + 0(0,1,0 + 0(0,0,1 T(e 3 = T(0,0,1 = (0,1, 2 = 0(1,0,0 + 1(0,1,0 2(0,0,1 1 1 0 [T] e = ( 0 0 1 1 0 2 f = {(1,1,1, (1,1,0, (1,0,0} T(f 1 = T(1,1,1 = (2,1, 1 = 1(1,1,1 + 2(1,1,0 + 1(1,0,0 T(f 2 = T(1,1,0 = (2,0,1 = 1(1,1,1 1(1,1,0 + 2(1,0,0 T(f 3 = T(1,0,0 = (1,0,1 = 1(1,1,1 1(1,1,0 + 1(1,0,0 1 1 1 [T] f = ( 2 1 1 e 1 2 1,P T נמצא את הצגת נמצא את הצגת לפי הבסיס לפי הבסיס [T], f נחשב את המטריצה [T] e דומה ל- על מנת להראות ש- מטריצת המעבר מבסיס (1,1,1 = 1(1,0,0 + 1(0,1,0 + 1(0,0,1 (1,1,0 = 1(1,0,0 + 1(0,1,0 + 0(0,0,1 (1,0,0 = 1(1,0,0 + 0(0,1,0 + 0(0,0,1 T 1 1 1 P = ( 1 1 0 1 0 0 לבסיס f: ולכן המטריצה היא המעבירה וקטורים מהצגה לפי בסיס e להצגה לפי בסיס f נחשב את המטריצה מטריצת המעבר מבסיס לבסיס (1,0,0 = 0(1,1,1 + 0(1,1,0 + 1(1,0,0 (0,1,0 = 0(1,0,0 + 1(0,1,0 1(0,01 (0,0,1 = 1(1,0,0 1(0,1,0 + 0(0,01 :e f,q..13 ] 52 [

f 0 0 1 Q = ( 0 1 1 1 1 0 ולכן המטריצה בסיס היא המעבירה וקטורים מהצגה לפי בסיס להצגה לפי Q = P 1 [T] f = P 1 [T] e P [T] f [T] e ו- -. e וכידוע: ולכן, מתקיים: כלומר, המטריצות הן מטריצות דומות. {e i } אופרטור ליניארי נקרא ניתן לליכסון אם ביחס לבסיס כלשהו מטריצה אלכסונית. במקרה זה, הבסיס נקרא הבסיס המלכסן של הוא מיוצג ע"י.T {e i } T מסקנה: תהי A הפיכה, כלומר, הצגה מטריציאלית של אופרטור T, אזי ניתן לליכסון אם ורק אם קיימת מטריצה כך ש- AP P 1 היא מטריצה אלכסונית. ניתן ללכסון אם ורק אם ההצגה המטריציאלית ניתנת ללכסון ע"י טרנספורמציית דמיון.,P T trace( עקבה A = (a ij סכום איברי האלכסון של מטריצה ריבועית נקרא של המטריצה. סימון:.trA = A 11 + A 22 + + A nn trab = trba משפט 6: C = (c ij AB = C A = (a ij ; B = (b ij הוכחה: נניח ונניח כאשר n c ik = j=1 a ij b jk = n n n אזי: trab = c ii = a ij i=1 i=1 j=1 b ji ] 53 [