1 ----- ואלה עיקריו של המהפך במתמטיקה - 1 הוא המספר האי רציונלי היחידי, וכל שאר המספרים הם רציונליים. בפיסיקה - מסלולי התנועה הטבעיים של כוכבים, הם מסלולים בורגיים. בגיאומטריה - פאי משתנה ואינו קבוע. המהפך הגיאומטרי יוצג עתה ביתר פירוט, בעזרת ציור של ריבוע החוסם מעגל. מהציור הזה ניתן להשיג שני מספרים מקשרים,וזאת בשיטות גיאומטריות - מתמטיות מקובלות וידועות. המספר הראשון מקשר בין שטח הריבוע לשטח המעגל, והוא יכונה מספר מקשר שטחי. המספר השני מקשר בין היקף הריבוע להיקף המעגל, והוא יכונה מספר מקשר קווי. מספר מקשר מביע תוצאה של מדידה, כמו זו המוצגת בעזרת קיסם ועיפרון עיפרון קיסם אם נמדוד את אורך העיפרון על פי אורך הקיסם, נגלה כי אורך הקיסם נכנס 2 פעמים באורך העיפרון.. לכן, המספר המקשר בין אורך העיפרון לאורך הקיסם הוא 2 המספר המקשר הזה יופיע בשתי משוואות משוואה ראשונה : אורך הקיסם * 2 = אורך העיפרון משוואה שניה : אורך העיפרון / 2 = אורך הקיסם כאמור, מהציור של ריבוע החוסם מעגל ניתן להשיג ) בחישוב ולא במדידה ( מספר מקשר שטחי ומספר מקשר קווי, והתוצאה המפתיעה היא שערכם כמעט זהה, והוא 1.27 בקירוב. המספר המקשר הזה יופיע במשוואות הבאות. 1.27 = שטח הריבוע * שטח המעגל 1.27 = שטח המעגל / שטח הריבוע 1.27 = היקף הריבוע * היקף המעגל 1.27 = היקף המעגל. / היקף הריבוע, יש להדגיש כי מספר מקשר המושג בדרך של מדידה, הוא לא מושלם. יכול להיות שהמספר המקשר האמיתי בין אורך הקיסם לאורך העיפרון, הוא, 1.998 ואולי 2.017 ואולי מספר אחר קרוב ל 2 מהבחינה המעשית הדיוק המושלם אינו נדרש, ולא מחפשים אחריו. גם המספר המקשר המושג מהציור ) בדרך של חישוב ( אינו מושלם. את החישוב אפשר לשפר, ולהגיע לתוצאה כמו 1.273 אבל זו אינה התוצאה המושלמת האמיתית. גם התוצאה של 1.2732406 אינה התוצאה המושלמת, ו 6 אינה הספרה האחרונה. החישוב מספק מספר מקשר בדרגת דיוק גבוהה מאוד, אך טמונה בו הנחה סמויה המצביעה על התעלמות מגורם ממשי, שיכול להשפיע על ערכו של המספר המקשר.
2 -- -- ההנחה הסמויה שעל פיה מתנהל החישוב של מספרים מקשרים. כדי להציג את ההנחה הסמויה, יש להבהיר את המושג מידה אמיתית של ריבוע החוסם מעגל. כאשר מביעים את אורך הצלע של הריבוע בכמות של סנטימטרים, אז מביעים את המידה האמיתית של הריבוע, וגם את המידה האמיתית של המעגל, וכמובן גם את המידה האמיתית של הציור בכללותו. בציור הבא מופיעים שני ריבועים, וכל אחד מהם מופיע במידה האמיתית שלו. אורך צלע של הריבוע 9 ס"מ אורך צלע של הריבוע 0.7 ס"מ הבחנה : תהליך החישוב המגלה את המספר המקשר 1.27 כלל לא קשור למידה האמיתית של הציור, ואין בחישוב כל התייחסות למידה האמיתית של הציור. אפשר לערוך את החישוב על הציור הגדול, ולקבל את התוצאה הלא מושלמת 1.2732406 ואפשר לערוך את החישוב על הציור הקטן ולקבל בדיוק אותה תוצאה. תהליך החישוב של המספר המקשר מתייחס רק לצורות. המידה האמיתית של הצורות האלה, כלל לא מופיעה בתהליך החישוב. מהבחנה זו נובעת או רשלנות (אולי הגורם של מידה אמיתית. כן משפיע על חישוב המספר המקשר ( או הנחה סמויה המבטלת כל השפעה של מידה אמיתית, על תוצאת החישוב של המספר המקשר. כך או כך זה המצב העובדתי, ומקובל לחשב את המספר המקשר בלי כל התייחסות למידה אמיתית. יש להדגיש, כי אפילו אם יעלה רצון להכניס את הגורם של מידה אמיתית לתהליך החישוב של המספר המקשר, לא נראית כל דרך וכל אפשרות להגשים את הרצון הזה. לאחר ההבחנה כי המידה האמיתית לא משחקת כל תפקיד בחישובים מקובלים, אפשר להציג טענה חדשנית. טענת המידה האמיתית. המידה האמיתית של ציור המציג ריבוע החוסם מעגל כן משפיעה על ערכו של המספר המקשר. ההשפעה אומנם זעירה אך יש להתחשב בה, אם מבקשים להגיע למספר מקשר מדויק מאוד. מקור ההשפעה הוא המעגל ולא הריבוע, וזאת על פי ההבחנה הבאה. קו ההיקף של המעגל הזעיר החסום בריבוע שאורך צלעו 0.7 ס"מ, הוא בעל עקמומיות רבה קו ההיקף של המעגל הגדול החסות בריבוע שאורך צלעו 9 ס"מ, הוא בעל עקמומיות מועטה. הבחנה זו מעידה כי יש להתחשב במידה האמיתית של מעגלים, כאשר קיימת דרישה למספר מקשר בדרגת דיוק גבוהה, מכיוון שלעקמומיות המשתנה תהיה השפעה על ערכו של המספר המקשר. ועכשיו,,,,,, טענת המידה האמיתית זקוקה רק להוכחה.
3 ---- ---- ------ --- --- הקדמה להוכחת טענת המידה האמיתית. כדי להוכיח קשר בין מידה אמיתית (של הציור בו נראה ריבוע חוסם מעגל ( לערכו של מספר מקשר, צריך להשיג את ערכו של המספר המקשר בדרך חדשה. ומדוע דרך חדשה? מכיוון שהחישוב נפסל, היות וכבר קבענו שאין כל אפשרות להכניס בו את הגורם של מידה אמיתית ואם החישוב נפסל מה אפשר לעשות? האפשרות היחידה שנשארה היא לחזור אל הדרך הנושנה של מדידה, כאשר מראש ברור שזו צריכה להיות מדידה מדויקת מאוד, מאוד, מאוד, מאוד, מאוד,.. מכיוון שההשפעה של "מידה אמיתית" תהיה קטנה מאוד, מאוד, מאוד,.. הטענה על קשר בין מידה אמיתית וערכו של מספר מקשר, היא טענה קשה מאוד להוכחה. המדידה אמורה להבחין בשינויים זעירים מאוד, וזו מדידה קשה מאוד לביצוע. טענה זו גם מעלה את השאלה "מה פתאום הוכחה בדרך של מדידה בתחום הגיאומטרי? " יש הוכחות רבות בתחום הגיאומטרי, אבל אף אחת מהן לא מושגת בדרך של מדידה. אין ספק שהגישה של מדידה היא בלתי שגרתית, אבל היא הכרחית כיוון שדרך אחרת לא קיימת. במדידה אפשר להכניס את הגורם של מידה אמיתית, ובחישוב אי אפשר. אם המדידה תצליח להוכיח כי יש קשר בין מידה אמיתית ובין ערכו של מספר מקשר, יתרחש מהפך אמיתי בתחום הגיאומטרי, שישנה מוסכמות הקיימות אלפי שנים. מאוד, מיד מתברר שמדידה זו לא מאוד, החיבור בין גיאומטריה ופיסיקה. כאשר נפלה ההחלטה ללכת בדרך המדידה המדויקת, מאוד, יכולה להיערך על גבי ציור של ריבוע החוסם מעגל, ואפילו הוא יהיה מדויק מאוד. מדידה מדויקת על גבי ציור, היא בלתי אפשרית. ואם הציור של ריבוע חוסם מעגל נפסל למדידה על מה תיערך המדידה? מדידה מדויקת יכולה להיערך על גופים פיסיים ממשיים מתכתיים, המעובדים באמצעים טכנולוגיים משוכללים לצורות כמעט מושלמות של גלילים בעלי קטרים שונים, אפשר ואת קוטר הגליל (שהוא צלע הריבוע החוסם ( בסיסו של גליל כזה מציג מעגל כמעט מושלם, למדוד ברמת דיוק של אלפית מ"מ. גם את גובה הגליל אפשר למדוד באותה רמת דיוק של פלוס מינוס אלפית מ"מ כך נוצר החיבור בין הגיאומטריה והפיסיקה המדידה צריכה להיערך על גופים ממשיים המציגים צורות גיאומטריות כמעט מושלמות. על הגופים האלה אפשר לערוך מדידות אורך מדויקות בעזרת מכשיר מדידה משוכלל כמו מיקרומטר. נשארה הבעיה של מדידת שטח מדויקת, וגם עליה צריך להתגבר לא קיים מד שטח מדויק, אבל כן קיים מד משקל מדויק. היות ולא קיים מכשיר מדידה למדידת שטחים, אין כל אפשרות למדוד את שטח הבסיס המעגלי של גליל. גובהו וקוטרו נמדדים בקלות בדרגת דיוק גבוהה מאוד, אבל אין כל אפשרות למדוד את שטח בסיסו. לכן, נוותר על מדידת שטח, ונערוך במקומה מדידת משקל מאזניים אנליטיות מסוגלות למדוד משקל, ברמת דיוק של אלפית גרם בקלות רבה.. ומה הטעם בשקילה מדויקת של גלילים? הרעיון המדריך הוא, שהגליל המתכתי ניכר "בפיזור אחיד של החומר המתכתי בנפח " ולכן, משקלו הפיסיקלי של גליל, משקף את נפחו הגיאומטרי.
4 - --- --- הכנות למדידה : נכין על כן כמה גלילים בעלי קטרים שונים מגוש מתכת גולמי, ומאותו גוש גולמי נכין גם קוביה בעלת צורה גיאומטרית מושלמת. מטרת ההכנה של קוביה זו, היא השגת המשקל הסגולי של גוש החומר הגולמי, שממנו מיוצרים הגלילים. המשקל הסגולי של הקוביה יתקבל ממשקלה / נפחה את הקוביה קל לשקול בעזרת מאזניים אנאליטיות, ברמת דיוק של אלפית גרם. את נפח הקוביה נקבל על ידי מדידות אורך מדויקות של צלעותיה,ברמת דיוק של אלפית מ"מ. מנתונים מדויקים אלו נשיג את משקלה הסגולי, שהוא גם המשקל הסגולי של הגלילים. תהליך המדידה עצמו עתה נשקול כל גליל ברמת דיוק של אלפית גרם, ונשיג את נפחו באמצעות משקלו הסגולי. / נפח (בשיטה פיסיקלית) = של גליל משקלו משקלו הסגולי. תוצאה נפחית זו תחשב לתוצאה הבטוחה ביותר והמדויקת ביותר האפשרית, לאור רמת הדיוק המופלגת של המדידות. ) יש להדגיש כי אנו רגילים לחשב נפח של גליל על פי קוטרו וגובהו, אבל כאן אנו מודדים את נפחו של גליל על פי משקלו ומשקלו הסגולי.) למדידת נפח זו נוסיף מדידת קוטר וגובה של כל גליל ברמת דיוק של אלפית מ"מ. מכאן ואילך, כל גליל שנבחר, נפחו גובהו וקוטרו, יהיו ידועים בדרגת דיוק גבוהה, ומצב זה מאפשר לבדוק אם יש קשר בין מידה אמיתית לערכו של מספר מקשר. בדיקת הקשר בין מידה אמיתית לערכו של מספר מקשר. רעיון הבדיקה: המכפלה (שטח בסיס של גליל * גובה הגליל ( חייבת לתת תוצאה של הנפח שהושג במדידה פיסיקלית. על פי הידיעה כי..שטח בסיס הגליל = קוטרו בריבוע / מספר מקשר שטחי נרשום את המשוואה הבאה (קוטר בריבוע / מספר מקשר שטחי ( *גובה הגליל,צריך להיות = לנפח הגליל שהושג במדידה. וממנה נסיק את המשוואה הבאה / * מספר מקשר שטחי של גליל = קוטר בריבוע גובה הגליל נפחו שהושג במדידה. משוואה זו מסיימת את תהליך המדידה, וכל כוחה נובע מהנתון של נפח שהושג במדידה פיסיקלית. את נתוני כל גליל אפשר להכניס למשוואה זו, ואז נקבל את המספר המקשר השטחי של כל גליל אם המספר המקשר השטחי של כולם יהיה כמעט זהה, פירוש הדבר שאין קשר בין מידה אמיתית לערכו של המספר המקשר השטחי. ואם לכל גליל יהיה מספר מקשר שטחי אופייני לו, פירוש הדבר שיש קשר בין מידה אמיתית לערכו של מספר מקשר שטחי. ואכן, המשוואה מגלה כי לכל גליל יש את המספר המקשר השטחי האופייני שלו.. בין המספרים המקשרים יש הבדלים זעירים מאוד עם מגמה ברורה ככל שהמידה האמיתית קטנה יותר כך המספר המקשר השטחי גדול יותר. ומאחר שמקור ההשפעה על הקשר בין מידה אמיתית וערכו של מספר מקשר שטחי, הוא המעגל ניתן לרשום את ההקבלה הבאה בין שני תחומי שינוי, סופי ואינסופי. אינסוף ס"מ תחום שינוי של קוטר המעגל אפס ס"מ 1.28 תחום שינוי של מספר מקשר שטחי 1.27
5 ---- ---- ------ --- --- הקשר בין מידה אמיתית לערכו של מספר מקשר שטחי הוכח בדרך של מדידה הוכחה זו מפריכה את ההנחה הסמויה שאין השפעה למידה האמיתית על ערכו של המספר המקשר. הוכחה זו מצביעה על מגבלות החישוב הגיאומטרי מתמטי, מכיוון שאין בו גורם של מידה אמיתית. הוכחה זו גם מצביעה על עיקרון של אחדות, אי אפשר להפריד את הגיאומטריה מהפיסיקה, ותחומים אלו מאוחדים עתה בעקבות המושג מידה אמיתית של צורה. המהפך בתחום הגיאומטרי מתחיל עם כניסת המדידה הפיסיקלית אל הגיאומטריה. המשכו של המהפך מתבטא בשינוי מוסכמות בנות אלפי שנים. מוסכמה ידועה היא שפאי קבוע ולא משתנה. הצגת המהפך עם פאי קווי ופאי שטחי. ) שהם מספרים מקשרים) 4 פעמים היפוכו של המספר המקשר השטחי, הוא המספר המקשר בין שטח המעגל, לשטח ריבוע שאורך צלעו הוא רדיוס המעגל. על פי נתוני המדידה מספר מקשר זה משתנה בין 3.12 ל 3.14 מספר זה הוא גם מספר מקשר ויכונה פאי שטחי. 4 פעמים היפוכו של המספר המקשר הקווי, הוא המספר המקשר בין היקף המעגל וקוטרו = ושמו פאי. אנו נכנה אותו פאי קווי, וידוע שערכו המחושב ללא השפעת המידה האמיתית הוא כ כ 3.14 מדידת המספר המקשר הקווי היא בלתי אפשרית, ולכן אי אפשר להוכיח כי פאי קווי משתנה.. ואולם, מטעמים רעיוניים מכירים, כי מספר מקשר זה משתנה בין 3.14 ל 3.16 מגמת השינוי של המספר המקשר הקווי היא הפוכה - ככל שהקוטר יקטן המספר המקשר יגדל. ההקבלה הבאה מתארת את המהפך הגיאומטרי, עם פאי קווי ופאי שטחי. אינסוף 3.14 3.14 ס"מ תחום שינוי של רדיוס המעגל מידות אמיתיות תחום שינוי של פאי קווי תחום שינוי של פאי שטחי אפס ס"מ 3.16 3.12 המהפך הגיאומטרי יוצר גיאומטריה חדשה, והיא הגיאומטריה של המעגלים. המהפך בתחום הפיסיקלי. המהפך בתחום הפיסיקלי יוצר יקום סופי בצורת דיסקוס, הנע בקו ישר, לנצח, בחלל אינסופי. כיוון תנועת הדיסקוס הוא הקו הישר הניצב למרכז משטחו, ומהירותו (12 12C פעם מהירות האור) צורת הדיסקוס נובעת ממכלול הכוכבים שביקום, הנעים כולם במסלולים בורגיים. למסלול בורגי יש שני נתונים, קוטר ופסיעה. ביקום חדש זה, כוח המשיכה לא קיים. המהפך בתחום המתמטי המהפך בתחום המתמטי יהא ניכר בהיעלמות המושג מספרים אי רציונליים. המספר האי רציונלי היחידי הוא, 1 וכל שאר המספרים הם רציונליים. ומדוע מהפך? 137 המספר הזה פחות או יותר, או היפוכו המקורב 0.007 או 0.7 אחוז.. מופיע בשלושת התחומים, הפיסיקלי, הגיאומטרי והמתמטי. לעובדת קיומו של נתון זה קשה מאוד לספק הסבר מניח את הדעת, והוא נתון פלאי. לכן, בחרתי לשבץ את הנתון הפלאי הזה, בשם המאמר א.עצבר 7/2010