דף נגזרות ואינטגרלים לשאלון 608 כללים למציאת נגזרת של פונקציה: n n n, y הנגזרת נכפול בחזקה )נרשום אותה משמאל ל- ( א נחסר אחד מהחזקה ב 7 y כאשר גוזרים כופלים בחזקה, 7 כלומר נרשום אותה משמאל ל-, ובחזקה של ה- נוריד אחד 6 'y 7 מהחזקה בחזקה הופיע, 7 ולכן לאחר ההורדה נקבל בחזקה 6 נקבל שהנגזרת היא: אם נקבל חיבור או חיסור בין ביטויים נגזור כל ביטוי בנפרד ונשאיר את סימני החיבור והחיסור 0 7 5 8 6 8 6 y הנגזרת: אם נקבל כפול ביטוי, נכפול את ה ונעשה נגזרת לביטוי, כלומר נכפול את ה בחזקה ונוריד אחד מהחזקה 7 5 0 8 6 y 5 הנגזרת: אם נקבל, אז בנגזרת יישאר רק ה 8, y הנגזרת נגזרת של שווה ל- 5 הנגזרת 0, y ביטוי אם נקבל נעשה נגזרת לביטוי ונשאיר את ה )כמו בסעיף ( 6 8 5 9 5 9 הנגזרת: y 6 6 במידה ויש סוגריים בתרגיל נבצע פתיחת סוגריים לפני הגזירה 7 ) y ( )( כאשר יש סוגריים בתרגיל נפתח סוגריים בשלב ראשון ונקבל: y נגזור לפי הכללים הקודמים נקבל: y 9 8 עם ביטוי נגזרת של מכפלה הגדרה של מכפלה: ביטוי עם נוסחה לנגזרת של מכפלה: מכפלה y u v u ' v', נפתח סוגריים נציב בנוסחה של נגזרת מכפלה ( ) ( ) 9 8 y ( )( ) y ( )( ), נכנס איברים דומים ונקבל: גזור את הפונקציה: נעשה עבודת הכנה: הנוסחה: u' v v' u הנוסחה מילולית: ראשון 'שני שני 'ראשון נקבל: ראשון 'שני שני 'ראשון 6 8 כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע 50-0885
נגזרת של מנה הגדרה של מנה: ביטוי שיש בו נוסחה לנגזרת של מנה: -ים במכנה y u v u' v' גזור את הפונקציה: y נסתכל על הפונקציה y בפונקציה יש -ים במכנה ולכן נגזור לפי נגזרת מנה y נציב בנוסחת נגזרת של מנה: נעשה עבודת הכנה: 6 ונתחיל לפתוח סוגריים, זוהי הנגזרת 6 8 6 8 6, 'y נשאיר את המכנה בצורת, 6 8 6 8 6 6 במונה: המתקדמת ביותר בתרגיל: נגזרת של פונקציה מורכבת: שלבים בגזירת הפונקציה המורכבת: נגזור כרגיל: נכפול את הסוגריים בחזקה כמו שהיא נרשום את הסוגריים החזקה שתופיע מימין לסוגריים תהיה קטנה באחד מהחזקה המקורית נכפול את הסוגריים בנגזרת של הביטוי שנמצא בתוך הסוגריים 9 y 6 8 9 גזור את הפונקציה: 9 נגזור את הנוסחה: y 6 8 כמו שגוזרים y )כי לשניהם יש חזקת ( בשלב ראשון נעתיק את u ' v v' u v הנוסחה מילולית: מונה 'מכנה מכנה 'מונה מכנה ה- משמאל לסוגריים, נרשום את הסוגריים ונוריד אחד מהחזקה, כלומר החזקה תהיה נקבל: 8 'y 9 6 8 כעת יש לכפול בנגזרת של הביטוי שרשום בתוך הסוגריים, כלומר נכפול ב- 8 9 6 8 6 נקבל: 6 0 כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע 50-0885
טוי y tan y יטוי cos sin y ביטויcos ביטוי נגזרת הביטוי cos נגזרת של פונקציות טריגונומטריות: הפונקציה ביטוי y sin הנגזרת נגזרת הביטוי ביטוי רת הביטוי y tan cos y cos 6 sin 6 6 6sin6 y sin cos cos נגזרת של פונקצית שורש ריבועי: פונקציה: ביטוי y נגזרת: נגזרת הביטוי ביטוי y 9 9 כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע 50-0885
כללים לפעולת האינטגרל: n n אינטגרל רגיל: d c n 5 d לפנינו אינטגרל רגיל יש להוסיף אחד לחזקה )החזקה תהפוך להיות מ- 5 6 5 ל- 6 (, יש לחלק בחזקה החדשה 6, ולרשום מימין c כלומר: d c 6 אם נקבל מחוברים וביניהם חיבור או חיסור נעשה אינטגרל לכל מחובר ונשמור על סימני החיבור והחיסור 5 d 8 c 6 תוצאת האינטגרל: c 6 אם נקבל כפול ביטוי נשמור את ה ונעשה אינטגרל לביטוי 6 d, כלומר: c, 6 ניתן לצמצם ולקבל תוצאת האינטגרל: c d ולכן נרשום את ה ולידו 8d לפנינו אינטגרל של, 0 8 ביטוי אם נקבל )שבר שבמכנה יש (, שבמכנה נשאיר אותו דבר d 5 נעשה אינטגרל לביטוי שבמונה ואת ה c 5,, 0 c 5 c 5, תוצאת האינטגרל: אם נקבל קו שבר שבמונה מחוברים ובמכנה אחד בלבד, נפצל את המונה, נקבל שברים שלכל אחד מהם נעשה אינטגרל לחוד 9 d 5 9, וכעת נבצע את פעולת בשלב ראשון נפצל ל קווי שבר: d 5 5 5 9 9 c ונקבל:, 5 5 5 0 5 5 c האינטגרל רגיל: 5 6 8 כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע 50-0885
אינטגרל זו פעולה מוגבלת ביותר בעוד שאפשר לגזור כל פונקציה בעולם, אי אפשר לעשות 7d אינטגרל למנה: אי אפשר d או למכפלה: אי אפשר 6 לכן כאשר נקבל אינטגרל של מכפלה, נפתח סוגריים ורק אז נעשה אינטגרל 7d לפנינו אינטגרל של מכפלת סוגריים נפתח סוגריים: 7 7d 7 כעת נעשה אינטגרל לכל ביטוי בנפרד: 7 c אינטגרל של חזקה כאשר נקבל אינטגרל של מנה ( -ים במכנה( מהצורה של, לכאורה אי אפשר לעשות חזקה אינטגרל למנה לפי כלל 6 לכן נתחכם לתרגיל ונעלה את החזקה השלילית שנמצאת n n במכנה למונה באמצעות חוק החזקות: או בצורתו המורחבת: n n בשלב זה כל החזקות נמצאות במונה )על אף שחלקן שליליות(, נעשה אינטגרל רגיל ובסוף התרגיל ניתן להשתעשע ולשאיר תשובה סופית באמצעות חזקות חיוביות בלבד 5 d לפנינו מצב של יש להיעזר בחוק החזקות כדי להיפטר מהמכנה בתרגיל נקבל: n 5 כעת נבצע אינטגרל רגיל: c ניתן להשתעשע אלגברית ובמקום להשאיר d חזקה שלילית, להוריד אותה למכנה ולהפוך אותה להיות חזקה חיובית נקבל: c אינטגרל של הנוסחה: b a d עבור פונקציה מורכבת: a b a דוגמה : d לפנינו מצב של כדי להשתמש בנוסחה אנחנו צריכים שיהיה גם את המונה וגם את המכנה של הביטוי שבתוך האינטגרל ב-, נקבל: כעת נציב ישירות בנוסחה ונקבל: במכנה, ולכן נכפול גם d c 7 6 9 5 כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע 50-0885
כדי להשתמש בנוסחה אנחנו צריכים שיהיה דוגמה :0 d לפנינו מצב של a b גם גם את המונה וגם את המכנה של הביטוי שבתוך האינטגרל ב-, נקבל: כעת נציב ישירות בנוסחה ונקבל: במכנה, ולכן נכפול d c 00 אינטגרל של פונקציה מורכבת: קיימת נוסחה לאינטגרל של פונקציה מורכבת בתנאי שהביטוי בתוך הסוגריים הוא ממעלה ראשונה: n n a b a b d n a הסבר של הנוסחה: עושים אינטגרל רגיל, כלומר מוסיפים אחד לחזקה ומחלקים בחזקה החדשה בנוסף נרשום במכנה את הנגזרת הפנימית של הביטוי שהופיע בתוך סוגריים 5 d לפנינו אינטגרל של פונקציה מורכבת כאשר הביטוי שבתוך הסוגריים הוא ממעלה ראשונה נוסיף אחד ובמכנה נרשום את הנגזרת של הביטוי 5 5, נסדר: c 5 5 לחזקה, כך שבחזקה יהיה רשום, נחלק בחזקה החדשה c שהופיע בתוך הסוגריים, כלומר 5 נקבל: 5 5 7 d לפנינו אינטגרל של פונקציה מורכבת כאשר הביטוי שבתוך הסוגריים הוא ממעלה ראשונה צריך לשים לב שהסוגריים עם החזקה נמצאים במכנה ולכן בשלב ראשון נעלה אותם למונה כאשר נשנה את סימן 5 7 כעת נעשה אינטגרל לפונקציה מורכבת: נוסיף אחד לחזקה, כך החזקה נקבל: d שבחזקה יהיה רשום, נחלק בחזקה החדשה ובמכנה נרשום את הנגזרת של הביטוי 5 7 5, נסדר: c 5 7 5 c שהופיע בתוך הסוגריים, כלומר 5 נקבל: 5 7 6 כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע 50-0885
00 אינטגרל של פונקציה טריגונומטרית: sin ביטוי ביטוי נגזרת הביטוי sin ביטוי d נגזרת הביטוי y cos cos ביטוי ביטוי נגזרת הביטוי cos ביטוי d נגזרת הביטוי y sin הפונקציה נוסחת הנגזרת אינטגרל: ביטוי sin cos ביטוי sin cos d cos5 sin5 d c 5 7 כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע 50-0885
חילוק פולינומים מכיוון שאין לנו כלים לעשות אינטגרל למנה של פונקציות, כשנקבל פונקצית מנה והצמצום האלמנטרי על ידי פירוק לגורמים קשה, נחלק פולינומים ונקבל פונקצית פולינום קלה לאינטגרציה שיטת עבודה לחילוק פולינומים: נרשום את המחלק והמחולק בסדר חזקות יורד נגדיר איבר מוביל שהוא האיבר עם החזקה הגבוהה ביותר במחולק )האיבר שבמונה, זה שמחלקים אותו( נחלק את האיבר השמאלי במחולק באיבר השמאלי במחלק נכפול את התוצאה שהתקבלה במחלק ונרשום את התוצאה שהתקבלה מתחת למחולק נעשה חיסור בצורה הבאה: המחולק פחות תוצאת המכפלה נמשיך בתרגיל חילוק ארוך 0 6 d 5 עלינו לעשות אינטגרל למנה מזעזעת שבה החזקה במונה גדולה מהחזקה במכנה לכן ניעזר בחלוקת פולינומים נעשה חלוקת פולינומים לביטוי: 0 6 5 0 נחלק את האיבר המוביל של המחולק באיבר האיבר המוביל הוא האיבר השמאלי במחולק והוא: את ה- נרשום מעל ה- 0 מתקבל: המוביל של המחלק 5 ונקבל: 0 6 5 נרשום את תוצאת המכפלה 0, ונקבל 5 כעת נכפול את תוצאת החילוק במחלק מתחת למחולק התרגיל נראה עד עכשיו כך: 0 6 5 0 כעת נבצע חיסור, המחולק פחות תוצאת המכפלה נקבל: 5 6 כעת האיבר המוביל הוא 5 והאיבר המוביל של המחלק הוא עדיין 5 חלוקת האיברים המובילים 5 נחסר שוב נותנת 7 נרשום למעלה, 7 ונכפול את תוצאת החלוקה במחלק נקבל: 7 ונקבל: 0 6 החילוק הארוך נראה כך: 7 0 6 5 0 5 6 5 7 0 6 כעת האיבר המוביל הוא 0 והאיבר המוביל של המחלק הוא עדיין 5 חלוקת האיברים המובילים נותנת 6 נרשום למעלה, 6 ונכפול את תוצאת החלוקה במחלק נקבל: 0 6 נחסר שוב ונקבל: 0 החילוק הארוך נראה כך: כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע 50-0885
זה כמו לעשות אינטגרל 7 6 0 6 5 0 5 6 5 7 0 6 0 6 0 ברגע שקיבלנו תוצאה של, 0 תם טקס חלוקת הפולינומים 0 6 היא 7 6 קיבלנו שתוצאת המנה 5 לכן אם היינו צריכים לעשות אינטגרל לביטוי 0 6 d 5 7 לביטוי, 7 6d נקבל: 6 c אינטגרציה על ידי הצבה כאשר נרצה לעשות אינטגרל ובאינטגרל יהיו מעורבות מכפלה, מנה או חזקה של פונקציה והנגזרת שלה נעשה אינטגרל בהצבה באחד מהמצבים הבאים:, f f u u ' d כלומר מכפלה של פונקציה והנגזרת שלה u ', f כלומר מנה של פונקציה והנגזרת שלה d f u f u n, f f u u ' d כלומר חזקה של פונקציה והנגזרת שלה u שיטת עבודה: מגדירים את בתור הפונקציה ולא בתור הנגזרת שלה, כלומר רושמים: גוזרים את שני הצדדים, ומקבלים: f 'd du du נחלק את d f' נחזור לפונקציה שרוצים לעשות לה אינטגרל ונציב במקום u ו- d את הביטויים הנתונים נעשה אינטגרל מיידי של, u ואחריו נציב במקום u את הביטוי שמכיל -ים לפי הסימון כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע 50-0885
5 אם זה ממש מעניין אותי, אז אם אני גוזר את אני מקבל מצא: 5 d לפנינו אינטגרל של חזקה מזעזעת, שזה מזכיר את מה שכופל את הסוגריים בכל מקרה בשלב ראשון, נגדיר את הפונקציה )ולא את הנגזרת( בתור, u כלומר: u 5 כעת נגזור ונקבל שהנגזרת של u היא בצד שמאל נרשום את הסימון לנגזרת של u שהוא, du בצד ימין נרשום את הנגזרת ונציין שמדובר בנגזרת לפי, ולכן נרשום d du כלומר נקבל: du d נבודד את, d ונקבל: d כעת נחזור לפונקציה שרוצים לעשות לה אינטגרל ונציב את הביטויים שאנו מכירים נציב:, 5 u du du du u du כלומר:, u ונקבל: נצמצם ב-, u ונקבל: d u כעת נעשה אינטגרל מיידי:, c כלומר: u c נציב u 5 ונקבל: 8 5 c 8 כל הזכויות שמורות למרכז הלמידה של רועי גבע 50-0885