האקדמית תל אביב-יפו מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות מועד א' סמסטר ב' תשע"ד הפתרון לא נכתב על ידי גורם רשמי ובהחלט יכול להיות שנפלו טעויות פה ושם עשיתי כמיטב יכולתי אבל תשימו לב ותפעילו שיקול דעת אשמח לשמוע הערות על הפתרונות ועל טעויות, אם ישנן. מוזמנים להפיץ ו/או להעתיק בכל דרך שהיא בתוספת קרדיט לכותבת חוץ מזה אני מעבירה שיעורים פרטיים לכל דורש/ת בת-חן סרי 052-6543101 seribatchen@gmail.com - 1 -
שאלה 1: הוכח או הפרך: ( P( A) P( B)) A B (( \ ) C C A B = A ) ( B A= ) (13 נקודות) (12 נקודות) פתרון 1: X P( A) X A קבוצת חזקה מוגדרת על ידי: ; נניח (B ) Pונראה (A )P אם יוצא מכך שבהכרח A B P( A) B פירושו, לפי הגדרת קבוצת חזקה: )P (A )P (B כלומר, לפי הגדרת הכלה: X B) X ( X P( A) בפרט, (A A P( ומכאן ש: A B -1-2 -3 נשתמש בשלושה כללים: C X \ Y = X Y (מסקנה מידית מהגדרת הפרש) ( X Y ) C = X C Y (זהו אחד מכללי דה-מורגן לאיחוד וחיתוך) C (טריוויאלי) C C ( X ) = X ( A \ B) C = A נניח C C C C C C C C מכיוון ש: ( A \ B) = ( A B ) = A ( B ) = A B C C A B= נקבל: A כלומר, B לא תורם כלום לאיחוד, C ופירוש הדבר שהוא מוכל ב- A.פורמלית: C C C C C A B= A A B A B A. A ופירוש הדבר שהוא לא נחתך עם, A אז B מוכל במשלים של פורמלית: C C C C B A B A = B B A= ( B A ) A= B ( A A) = - 2 -
שאלה 2: (13 נקודות) הוכיחו או הפריכו את הטענה הבאה: (( ( )) ( ( ( ( ) )))) g g = id b a a = b g (12 נקודות) הוכיחו או הפריכו: תהיינה : A B, g : C A פונקציות כך ש- על. אזי על. פתרון 2: רוב העבודה בשאלה הזו היא להבין מה הטענה אומרת. ראשית, זו טענה שנוגעת לפונקציות ששייכות לקבוצה, דהיינו פונקציות שהתחום והטווח שלהן הוא. המבנה של הטענה הוא של תנאי, כלומר לפי הטענה פונקציה שמקיימת את מה שכתוב לפני החץ (מצד שמאל), בהכרח מקיימת גם את מה שכתוב אחרי החץ (מצד ימין). g ( g= id ) לפני החץ כתוב: שזה בדיוק אומר ש- הפיכה מימין.. ( a ( ( a) b) ) אחרי החץ כתוב: = b כלומר, לכל מספר ממשי b, קיים מספר ממשי a שולחת אותו ל- b ש- זה בדיוק אומר ש- על. אז מה שכתוב בטענה, בתרגום לעברית: "כל פונקציה מ- ל-, אם היא הפיכה מימין אז היא על." ואנחנו יודעים שלכל פונקציה שהיא הפיכה מימין אמ"מ על. כעת נוכיח את הטענה; מתקיים: תהי g ( g= ונניח ש- ) id ( a ( ( a) b) ) צ"ל: = b יהי, b g( b) = g ( b) מההנחה: = b ( ) נבחר: =a ונקבל הדרוש. g( b) בואו נראה אם הטענה נכונה; - 3 -
a A על פירושו שלכל b B קיים a) ( כך ש: = b : A B ( ) g( c) = g( c) = b c C על אמ"מ לכל b B קיים g : C B כך ש: בואו נצייר את זה: g אז בציור שלנו g היא אכן על. אבל שימו לב שבחרנו g שהיא חח"ע ועל. מה היה קורה אם לא היתה כזו? התכונה הקריטית לענייננו, ואת זה אפשר לראות די בקלות מהציור, היא היותה של g לא קשה למצוא g שאינה על שתגרום גם להרכבה להיות לא על. למשל: על. אז הטענה לא נכונה. בתור דוגמא נגדית, אני משאירה לכם לכתוב בצורה פורמלית את מה שמומחש בציור. ואם כבר בהרכבות עסקינן, אז באופן כללי כדאי לזכור: אם אם אם - 4 -, g על, אז ההרכבה g g חח"ע,, g אז ההרכבה g על. על, אז גם על. גם חח"ע.
אם g חח"ע, אז g חח"ע. אם פונקציה אחת היא חח"ע או על (או גם וגם), לא ניתן להסיק מזה דבר על ההרכבה! טיפה אוף טופיק, אבל חובה לזכור: הפיכה מימין הפיכה משמאל על חח"ע - 5 -
שאלה 3: A { N : X 5} ( \ { }) 25) נקודות) תהי = X. A= נגדיר יחס על באופן הבא: BC x C B= x הוכיחו כי אנטי-רפלקסיבי, סימטרי ולא טרנזיטיבי. פתרון 3: A היא קבוצה שאיבריה הם קבוצות של מספרים טבעיים מגודל 5. } { הקבוצה 3, 4, 5, 6, 7 היא דוגמא לאיבר ב-. A שתי קבוצות ב- A מקיימות את היחס אם ההפרש ביניהן הוא קבוצה מגודל 1. (למעשה, לא דייקתי פה. הניסוח הפורמלי של היחס מקנה חשיבות לסדר- יש הבדל בהגדרה בין BC ל-.CB עוד מעט נראה ש- סימטרי, וכך נצדיק בדיעבד את חוסר הדיוק.) למשל, הקבוצות: 7} { 3, 4, 5, 6, ו- 10} { 3, 4, 5, 6, הקבוצות: מקיימות את היחס. 7} { 3, 4, 5, 6, ו- 12} { 8, 9, 10, 11, לא מקיימות את היחס. אנטי-רפלקסיבי: B A( BB) אנטי-רפלקסיבי ( ) ( ) B A x( B \ B { x} ) B A BB = ולפי הגדרת :. B \ B=, ופרט לא קיים x כך ש-{ x { B \ B= ואכן, לכל B A מתקיים: סימטרי: ( ) BC, A BC CB סימטרי ולפי הגדרת : ( ) ( ) ( ) ( ) BC, A BC CB BC, A x C \ B= { x} y B \ C= { y} B ו- Cשתיהן קבוצות מגודל 5. לכן, אם ההפרש Cהוא \ B מגודל 1, ברור כי גם ההפרש B \ C הוא מגודל 1. נפרמל את זה כך: C ( ) ( C B) ( C \ B) ( C B) C= C B = מכיוון ששתי הקבוצות באיחוד זרות, אפשר לכתוב: - 6 -
C = C \ B + C B C B = 4, C \ B = 1 נניח: BC ידוע כי = 5 C ומההנחה נקבל ולכן: באופן דומה מתקיים: B = B \ C + B C B \ C = 1 B C = 4 ידוע כי = 5 B וקיבלנו: ולכן: CB אז אכן מתקיים : (( ) ) BC,, D A BC CD BD (( ) ) BC,, D A BC CD BD לא טרנזיטיבי: לא-טרנזיטיבי כלומר: לא-טרנזיטיבי ( ) BC,, D A BC CD BD ובאופן שקול: לא-טרנזיטיבי, Cהוא D מגודל 1, אז ל-. BD אז צריך לתת דוגמא ל- BC,, D כאלו. נשים לב שאם ההפרש בין, BC הוא מגודל 1, וההפרש בין,B יש לפחות 3 איברים משותפים. D,B עם בדיוק 3 איברים משותפים, יתקיים: אם נמצא D { } { } { } B= 1, 2, 3, 4, 5, C= 1, 2, 3, 4, 6, D= ניקח: 1, 2, 3, 8, 6 ונקבל את הנדרש. ( D= (אפשר גם לקחת, BC שמקיימות את היחס ו- B - 7 -
שאלה 4: (5 נקודות) הגדירו: פונקציה : A B הפיכה משמאל (20 נקודות) תהיינה H, G : N N פונקציות המוגדרות באופן הבא: H ( x) = 2x+ 1 x 1, x> 1 G( x) = 5, x= 1 F הוכח כי. F( ) = G H F : N N N נגדיר N באופן הבא: על. פתרון 4: g = id A : A B g : B A הפיכה משמאל פירושו שקיימת כך ש:,(id B זכרו: idאו A אם התלבטתם מה לכתוב באינדקס של פונקצית הזהות ) בהרכבת שתי פונקציות ששווה ל ז הוּת, זו תמיד הזהות על התחום של הפונקציה הפנימית. נפתח בשאלה: מי זו? מאיפה היא הגיעה פתאום? אז ככה: את אנחנו פוגשות לראשונה בתור הארגומנט של F (כלומר, F מקבלת את. N אם נתבונן בהגדרות של כקלט), אז חייבת להגיע מהתחום של, F כלומר: N,H ו- F נוכל לראות שבאמת ההרכבה מוגדרת כמו שצריך. G הרבה פעמים משתמשים באובייקט כללי מבלי לציין במפורש מהו, ומצפים שנבין מההקשר. לפעמים זה מאד פשוט, כמו בדוגמא- נגדיר : על ידי, ( x) = sinx שבה x הוא מספר ממשי. לפעמים זה יהיה פחות ברור, ותצטרכו להתחקות אחרי מקור האובייקט כמו שעשינו למעלה.. F את H ו- G די פשוט להבין. בואו נדבר טיפה על G (שגם הן N F מקבלת פונקציה ב-, N מרכיבה אותה מצד אחד עם H ומצד שני עם N N פונקציות ב- N) ומחזירה את הפונקציה המורכבת, גם היא ב-. N צריך להראות ש- F על, ונזכור ש- F על פירושו: אז בהינתן ( ( ) ) g N N N N F = g g N N F( ) = G H = g שתקיים: כלשהי, אנחנו מחפשות g ברור שה- המבוקשת תלויה ב- g עם תוספות שינטרלו את H ו- G. שהתחלנו ממנה. צריכה להיות מין משודרגת, זה מצב שקורה הרבה פעמים, ולא רק עבור פונקציות, אז אני רוצה להתעכב עליו טיפה. בואו נשים רגע מספרים רציונליים במקום פונקציות: r x s= y יהיו ואנחנו מחפשים x Q שיקיים: r, s, y Q \{0} - 8 -
אז היינו רוצים ש- x יהיה y בתוספת דברים שינטרלו את r ו- s 1 1 חילוק ולכן ניקח: y =x ונקבל את מה שחיפשנו. r s. מה שמנטרל כפל זה אותו רעיון תקף לגבי פונקציות, כשהדרך לנטרל פונקציה זה להרכיב אותה עם ההופכית שלה. הבעיה היא שלא לכל פונקציה יש הופכית. למעשה, אצלנו H ו- G שתיהן לא הפיכות. אבל (שימו לב!) במקרה הזה מספיק למצוא הופכיות חד-צדדיות. ובמפורש: ל- H דרושה הופכית שמאלית ול- G דרושה הופכית ימנית. בשביל זה מספיק ש- H תהיה הפיכה משמאל, וש- G תהיה הפיכה מימין. ואכן, - H חח"ע, כלומר היא הפיכה משמאל, ו- G על, כלומר היא הפיכה מימין. נראה כי H חח"ע. H ( x) = H ( y) כך ש- x, יהיו y N 2x+ 1= 2y+ אזי מהגדרת H: 1 x= נחסר 1 ונחלק ב- 2 ונקבל: y אז H חח"ע ולכן הפיכה משמאל. כלומר, יש ל- H הופכית שמאלית, נסמן אותה ב-. Ĥ כעת, נראה כי G על. ( x= y+ יהי, y N אז ניקח 1 G( x) = x 1= y+ 1 1= ונקבל: y x= y+ 1 (כי 1. אז Gעל ולכן הפיכה מימין. כלומר, יש ל- G הופכית ימנית, נסמן אותה ב- Ĝ = Gˆ g Hˆ N כעת, נגדיר: N על ידי: F( ) = F( Gˆ g Hˆ ) = G Gˆ g Hˆ נקבל: H = g כנדרש. לכן F על. - 9 -
שאלה 5: αn,,α1,...,α2 פסוקים לא בהכרח β כאשר α1, α2,..., αn (5 נקודות) הגדירו: β יסודיים.. α1, α2,..., αn הוכיחו או הפריכו: נתון כי β.i 10) נקודות) אם β סתירה, אז α1 α2... αn סתירה.. α β כך ש- 1 i n נקודות) קיים 10).ii i פתרון 5: α1, α2,..., αn פירושו: β בכל הצבת ערכי אמת בפסוקים הפשוטים המרכיבים את α, α,..., α, β כך ש- 1 2 n,α1,...,α2 αn אמיתיים כולם, גם β אמיתי.. α1, α2,..., αn נניח שמתקיים β i. נניח ש- β סתירה, כלומר שבכל מקרה β שקרי. אם α1 α2 לא... αn סתירה, אז יש מצב בו α1 α2... αn אמיתי. β שקרי תמיד, ובפרט במצב בו α1 α2... αn אמיתי, וזו סתירה לגרירה הטאוטולוגית. לכן אם β סתירה, אז גם α1 α2... αn סתירה..ii נפריך על ידי דוגמא נגדית: α1= p α = q 2 β = p q ניקח: כאשר, pq הם פסוקים פשוטים שונים. α1, α2 מתקיים: β α β, אבל: α β 1 2-10 -
שאלה 6:, A C= = B D (13 נקודות) הוכיחו כי אם A BC, D אזי. A C B D ומתקיים:. (12 נקודות) (0,1) הוכיחו כי פתרון 6: A C= = B D נניח: A BC, D ו:. ל- B D צ"ל: A C B D כלומר, צריך להוכיח שקיימת פונקציה חח"ע ועל מ- A C באופן כללי, ישנן מספר דרכים להראות ששתי קבוצות, AB שוות עוצמה: 1- למצוא פונקציה : A B חח"ע ועל. -2 למצוא פונקציות על, : A B g : B A על. -3 למצוא פונקציות חח"ע, : A B g : B A חח"ע. -4 למצוא פונקציות על, : A B g : A B חח"ע. אין לנו שום מידע קונקרטי על הקבוצות המדוברות, אבל כן ידוע לנו משהו על פונקציות חח"ע ועל, דהיינו- : A B אנחנו יודעים שקיימת פונקציה חח"ע ועל A B g : C D אנחנו יודעים שקיימת פונקציה חח"ע ועל C D מהנתון מהנתון אז אין ממש ברירה (וזה נהדר!) אלא להגדיר hבאופן : A C B D הבא: ( x), x A h( x) = g( x), x C כעת נותר לוודא כי h מוגדרת היטב, חח"ע ועל. h מוגדרת היטב : מהנתון =C Aמקבלים שכל איבר ב- A Cשייך ל- A לשתיהן. x) x C g( ולכן: D x A ( x) כמו כן, B או ל- C אבל לא ) ( ו- ) ( ( ( ) ) x A C h x B D h חח"ע: כך ש: y) h( x) = h( - 11 - x, יהיו y A C
B שייכים אחד ל- )h,(x )h (y נקבל כי, C והשני ל- A שייכים אחד ל-,x אם y והשני ל- D וזו סתירה כי =D. B. g h x, y A x, אזי y C ואז "יורשת" את החד-חד ערכיות מ- או h על: יהי y B D נניח, בלי הגבלת הכלליות, כי y B ( x) = y כך ש: x A על ולכן קיים : A B h( x) לכן, לפי הגדרת, h גם: = y על. לכן h הערה על בה"כ: לא תמיד טורחים להסביר מתי מותר להשתמש בביטוי בלי הגבלת הכלליות (או בראשי תיבות: בה"כ), אבל האמת היא שזה מאד פשוט. בלי הגבלת הכלליות נועד למקרים בהם אנחנו בוחרים באקראי אחד משניים או יותר אובייקטים עם שמות שונים שהנחנו לגביהם בדיוק את אותן ההנחות. למשל, במקרה הזה: x X Y קבוצות ויהי X, Y, יהיו Z מותר לומר: נניח בה"כ ש- x X x X Y אבל במקרה הזה: X Z קבוצות כך ש- X, Y, יהיו Z אסור לומר: נניח בה"כ ש- x X ויהי, arctan הדרך הכי אלגנטית שאני מכירה להראות ש- (0,1) היא בעזרת פונקצית שהיא הפונקציה ההופכית של הפונקציה הטריגונומטרית. tan הגרף של, arctan רק להמחשה - 12 -
לא להיבהל. כל מה שצריך לדעת על arctan לצורך העניין זה שהיא פונקציה חח"ע ועל π π (זה נובע מהרציפות שלה) מ- לקטע ), (. 2 2 π π (, ) 2 2 אז מקבלים ש: ל- (0,1). π π עכשיו צריך להגדיר פונקציה חח"ע ועל מ- ), ( 2 2 באופן כללי, בשביל להגדיר פונקציה חח"ע ועל מקטע כלשהו ), ab ( ככה: x a ( x) (0,1) ), ab : ( מוגדרת על ידי: = b a π π שכנעו את עצמכם שזה עובד, ואחרי כן הציבו =b =a, 2 2 ל- (0,1) עושים. π π את פונקציה החח"ע ועל שהגדרנו מ- ), ( 2 2 ל- (0,1) נסמן ב- arctan : אז (0,1) ועל). לכן: (0,1) היא פונקציה חח"ע ועל (כהרכבה של פונקציות חח"ע - 13 -