יחידה מפרקים לגורמים ומצמצמים שיעור. כפל וחילוק שברים אלגבריים לפניכם חלק מדפי העבודה במתמטיקה של יואב ושל מאי ב דקו את תשובותיהם וה סביר שימו לב בכל התרגילים 0 a, b. 0 b b a b b b a b b b 9a b a b b Y b Y 9 b a a b a b b b b a a b 9 b b b a b b a b b a b יואב מאיה נכפול, נחלק ונצמצם שברים אלגבריים.. נתייחס לנתונים שבמשימת הפתיח במה טעה יואב? במה טעתה מאיה? תקנו את הטעויות. תזכורת כופלים ומחלקים שברים אלגבריים באותה דרך שבה כופלים ומחלקים שברים מספריים. כדי לחלק כופלים בהופכי. קבוצת המספרים שאפשר להציב בביטוי אלגברי במקום המשתנה נקראת תחום הצב הוא כל המספרים פרט ל- () רושמים תחום ההצבה של הביטוי דוגמה בשברים אלגבריים רושמים את תחום ההצב. בכל סעיף כ תבו ביטוי קצר ככל האפשר. המכנה שונה מ- 0. 7a b b a 7ab c c a b a b b a a b. כ תבו את תחום ההצבה, ח לקו ופ שטו )ר שמו ביטוי קצר יותר(. a a b a b a b a b a 9b a יחידה - מפרקים לגורמים ומצמצמים
חושבים על.... א. מה תחום ההצבה של הביטוי? y y ערן אמר תחום ההצבה הוא.y 0, 0 יורם אמר אינו מופיע במכנה לכן תחום ההצבה הוא,y 0 מספר כלשהו. מי צודק? ה סבירו. ב. פּ שטו את הביטוי וב דקו תשובתכם.. איזה מהביטויים הבאים זהה לביטוי? חושבים על....7 דע המ ת ות א ור ור שמ לה ות קה כוי חל הז המ כל. בכל סעיף ק בעו "נכון" או "לא נכון". ה סבירו. בכל הסעיפים המכנה שונה מ.0 - בכל סעיף ק בעו "נכון" או "לא נכון" (תחום ההצבה.) ה סבירו. ( ) ים ( ) ^ h ( ) ^ h תזכורת ביטוי מהצורה b c a 0, אפשר לפעמים לכתוב כמכפלה. פועלים באחת מהדרכים הבאות, לפי אופי הביטוי מוציאים גורם משותף (מספר או ביטוי), נעזרים בפירוק תלת איבר (טרינום), נעזרים בנוסחאות הכפל המקוצר (a b)(a b) a b (a b) a ab b (a b) a ab b (a b) a b b b (a b) a b b b a יחידה - מפרקים לגורמים ומצמצמים
.8 בכל סעיף ר שמו את תחום ההצבה, כּ תבו כמכפלה, צ מצמו וכ פלו. דוגמה נתון הביטוי 7 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( תחום ההצבה,, 7.9 9 8 8 7 9 8 0 0 0 בכל סעיף ר שמו את תחום ההצבה, פּ רקו לגורמים וצ מצמו. 8 8 דע המ ת ות א ור ור שמ לה ות קה כוי חל הז המ כל אוסף משימות. פּ רק ו לגורמים וצ מצמו. 8 0 0 ים.. פּ רק ו לגורמים (על - ידי הוצאת גורם משותף), ר שמו את תחום ההצבה וצ מצמו, אם אפשר. a a ^ a h a a a a a a a a a פּ רק ו לגורמים (על - ידי הוצאת גורם משותף), ר שמו את תחום ההצבה וצ מצמו, אם אפשר. a 8a a a 8a 8a 8a a 8a a a a 8a a 8a 0a a 8a a a יחידה - מפרקים לגורמים ומצמצמים 7
. בכל סעיף ה עתיקו וה שלימו מספר או ביטוי, כך שיתקבל שבר זהה ל-. ר שמו את תחום ההצבה וצ מצמ. ^ h^ 8 h ^ h ^ h^ h ^ h^ h. בכל סעיף פ שטו לביטוי קצר ככל האפשר. המכנה שונה מ- 0. b 8a a b b b a 8a 9a a a a b a a 9b c cb 9ab 7ab c c a. בכל סעיף פ שטו לביטוי קצר ככל האפשר. המכנה שונה מ- 0. a b ab ac b c bc 9b a b a 0 b 7. בכל סעיף פ שטו לביטוי קצר ככל האפשר. המכנה שונה מ- 0. a b 8a ab 0a 0ac ab 8. ר שמו את תחום ההצבה, פ שטו וכ תבו ביטוי קצר ככל האפשר. a 9b a 8b 8a 7b a b a b b a a 8 9. ר שמו את תחום ההצבה, פ שטו וכ תבו ביטוי קצר ככל האפשר. a a 9 b 0ab b 9a b יחידה - מפרקים לגורמים ומצמצמים 8
.0 ר שמו את תחום ההצבה, פּ שטו וכ תבו ביטוי קצר ככל האפשר. ab 8a b 0c c a b 8b a a a a. ר שמו את תחום ההצבה, צ מצמו ופ רק ו לגורמים, אם יש צורך. ^ h 9. ר שמו את תחום ההצבה וצ מצמו. 9 ^ h^ h 9 ^ h ^ h דע המ ת ות א ור ור שמ לה ות קה כוי חל הז המ כל ^ h ^ h ^ h ^ h. ר שמו את תחום ההצבה וצ מצמו. 8 8 ^ h 9 8 9 0 ים. ליד כל ביטוי שבמסגרת רשומים ארבעה ביטויים שרק אחד מהם זהה לו. מ צאו ביטוי זה, וה סבירו בחירתכם. (המכנים שונים מ ).0 - a a a a a a a ^ a h a a (a ) יחידה - מפרקים לגורמים ומצמצמים 9
משימות נוספות. ר שמו את תחום ההצבה וצ מצמו אם אפשר. 9 ז. 9 ח. 9 ט.. בדקו את השוויונות הבאים. ס מנו את הנכונים ות קנו את השגויים. 9 9 9 9 9 9 9 7 8 9 9 7 9 9 ז. ח. ^ h ^ h. ר שמו את תחום ההצבה וצ מצמ 7. ר שמו את תחום ההצבה וצ מצמ ^h ^h y y 8 ז. c m 8 ^h y ^yh y y y ^y h ח. ט. ^ h 8 y y y. ר שמו שלושה שברים אלגבריים שתחום ההצבה שלהם והם מצטמצמים ל- ( ). יחידה - מפרקים לגורמים ומצמצמים 0
שיעור. משוואות עם שברים אלגבריים נתונה המשוואה מהו תחום ההצבה של המשוואה? ה ציעו דרכים לפתרון המשווא נפתור משוואות עם שברים אלגבריים בדרכים שונות. במשימות ו- נתייחס למשוואה שבמשימת הפתיח בעזרת פעולות על אגפי המשוואה כך /( ). אמיר פ ת ר את המשוואה האם הוא הפתרון של המשוואה? ה ציבו, ב דקו וה סביר ב. ניר אמר מנה של שני מספרים שווה כאשר המספרים שווים. לכן / לכן הפתרון של אמיר נכון. מיכל אמרה אי-אפשר להציב את במשוואה הזאת, כי מקבלים ביטוי לא מוגדר. לכן למשוואה אין פתרון. האם ניר צודק? האם מיכל צודקת? ג. שחר אמר תחום ההצבה של המשוואה הוא ( ) ( ) מוציאים גורם משותף במונה מותר לצמצם עבור מקבלים שוויון שאינו נכון לכן, למשוואה אין פתרון. האם הדרך של שחר נכונה? חושבים על.... ס כמו את מסקנותיכם באילו דרכים אפשר לפתור את המשוואה איזו דרך אתם מעדיפים? מדוע?? )תוכלו להיעזר במילים כמו גורם משותף, צמצום, פעולות על אגפי המשוואה, שיקולים, תחום הצבה.(? ה סביר מה פתרון המשוואה יחידה - מפרקים לגורמים ומצמצמים
תזכורת במשוואות שבהן יש משתנה במכנה, בודקים תחילה אילו ערכים אינם יכולים להיות פתרון, כי הצבתם נותנת ביטוי לא מוגדר. ^ h דוגמה במשוואה הצבת המספר נותנת ביטוי לא מוגדר. כלומר, תחום ההצבה של המשוואה הוא כל המספרים פרט ל- ; כותבים. לכן, אינו יכול להיות פתרון.. פ תרו את המשוואות. האם לשתי המשוואות אותו פתרון? ה סביר ) (. ר שמו את תחום ההצבה ופ תרו )ז כרו לבדוק אם הפתרון תואם את תחום ההצבה(. פותרים משוואה עם ביטוי במכנה לפי השלבים הבאים רושמים תחום הצבה, פותרים את המשוואה, בודקים אם המספרים שהתקבלו נמצאים בתחום ההצבה, רושמים את פתרון המשווא תחום ההצבה נתונה המשוואה דוגמה פותרים את המשוואה מקבלים אבל אינו נמצא בתחום ההצבה, לכן למשוואה אין פתרון.. בכל סעיף ר שמו את תחום ההצבה ופ תרו את המשווא 7 0 0 0 יחידה - מפרקים לגורמים ומצמצמים
חושבים על.... מה פתרון המשוואה? שחר אמרה לפנינו שני שברים שווים שיש להם אותו מונה, ולכן גם המכנים שווים. כלומר 0 למשוואה אין פתרון. האם שחר צודקת? ה סבירו. אוסף משימות. ר שמו את תחום ההצבה ופ תרו את המשוואות.. ר שמו את תחום ההצבה ופ תרו את המשוואות.. ים. 7 פּ רק ו לגורמים, ר שמו את תחום ההצבה ופ תרו את המשוואות.. דע המ ת ות א ור ור שמ לה ות קה כוי חל הז המ כל פּ רק ו לגורמים, ר שמו את תחום ההצבה ופ תרו את המשוואות. 0 9 0 9 9 0 9 פּ רק ו לגורמים, ר שמו את תחום ההצבה ופ תרו את המשוואות. 9 0 ^ 0h^ h 8 7 יחידה - מפרקים לגורמים ומצמצמים 9 0 0 0 0
. פ רק ו לגורמים, ר שמו את תחום ההצבה ופ תרו את המשוואות. 9 8 8 9 7 9 7 0 0 0 0 0 8 9 0 7^ h 7 0 0 ( 0,.) 0.7 נתון היעזרו בנתון זה, כדי לחשב את הערך של כל אחד מהביטויים הבאים. 0 שימו לב אין צורך לחשב תחילה את הערך המתאים ל-. ( 0, 0.).8 נתון 9 היעזרו בנתון זה, כדי לחשב את הערך של כל אחד מהביטויים הבאים. שימו לב אין צורך לחשב תחילה את הערך המתאים ל-. 8 8 8 9. בכל סעיף מ צאו את הביטוי שיש לרשום במכנה כדי שפתרון המשוואה יהיה "כל המספרים". 0 0 0 0 0 0 0. בכל סעיף מ צאו את הביטוי שיש לרשום במכנה כדי שפתרון המשוואה יהיה "כל המספרים". 8 8 8 8 8 8 יחידה - מפרקים לגורמים ומצמצמים
שיעור. מכנה משותף פשוט ביותר בכל סעיף ב חרו את הביטויים המתאימים כמכנה משותף למשוואה שבמסגרת. 0 ( ) ( )( ) 0 ( )( ) נמצא את המכנה המשותף הפשוט ביותר ונשתמש בו לפתרון משוואות.. נתייחס לביטויים ממשימת הפתיח בכל סעיף ק בעו איזה ביטוי מבין הביטויים שבחרתם הוא הפשוט ביותר. ר שמו את תחום ההצבה ופ תרו את המשוואות )היעזרו במכנה המשותף שבחרתם(. בפתרון משוואות עם ביטויים במכנה, אפשר לכפול את אגפי המשוואה במכנה המשותף בדרכים שונות אפשר לכפול במכפלת המכנים, אפשר לכפול במכנה המשותף הפשוט ביותר - כלומר, בביטוי הפשוט ביותר המתחלק בכל אחד 0, מהמכנים. דוגמאות בפתרון המשוואה אפשר לכפול ב- 7, אך המכנה המשותף הפשוט ביותר הוא,, בפתרון המשוואה 0 אפשר לכפול ב- ) )(,( אך המכנה המשותף הפשוט ביותר הוא( )( (. פ תרו את המשוואות. 7 7 יחידה - מפרקים לגורמים ומצמצמים
. פ תרו את המשוואות. 0 ( )( ) 0 דוגמה מפרקים לגורמים את המכנה, תחום ההצבה הוא 0 / ^ h^ h כופלים את אגפי המשוואה במכנה המשותף ) ( ( ) 0 מקבלים 0 / 0 0 או אינו בתחום ההצבה, לכן הפתרון הוא מציבים את הפתרון במשוואה ובודקים אם התקבל שוויון נכון. 8 9. פ תרו את המשוואות. 9 דוגמה תחום ההצבה הוא, / ^ h^ כופלים את אגפי המשוואה במכנה המשותף h מקבלים ) (9 ( ) ( ) 8 9 / 9 7 0 מפרקים לגורמים 0 ) )( ( מקבלים או אינו בתחום ההצבה, לכן הפתרון הוא מציבים את הפתרון במשוואה המקורית ובודקים אם התקבל שוויון נכון. 9 יחידה - מפרקים לגורמים ומצמצמים
. מ צאו לכל ביטוי שלושה מספרים שהצבתם במקום תיתן מספר שלם. ה סבירו את שיקוליכם., ^ h ^ h. ב דקו את הבוחן, ק בעו באילו שלבים יש שגיאות, ת קנו אותם ופ תר ה ציבו את הפתרון במשוואה המקורית וב דקו אות פ תרו את המשוואות. בוחן a a 0 a a 0 a 0 7 a 0 7 a 7 a / a 8 תחום הצבה a / ( a ) 0 a a a תחום הצבה a a, a 7 7 a a a a 7 7 a a a a a 7 7 7 7 / 7 0 a 0 תחום הצבה 0 a / a a a a a a a a תחום הצבה 0 a a, 0 / ( a )( a ) a a a 0 a (a ) a a a a a a a a(a ) a a / aa ( ) 8 a a 0 / a 0 8 a a a a a a / a a a ב ה צ ל ח ה יחידה - מפרקים לגורמים ומצמצמים 7
אוסף משימות. בכל סעיף ב חרו את המכנה המשותף הפשוט ביותר של המשוואה שבמסגרת. היעזרו במכנה המשותף שבחרתם ופ תרו את המשוואות. )בכל הסעיפים תחום ההצבה 0.( 0. בכל סעיף ב חרו את המכנה המשותף הפשוט ביותר של המשוואה שבמסגרת. היעזרו במכנה המשותף שבחרתם ופ תרו את המשוואות. )בכל הסעיפים המכנים שונים מ- 0.( ( )( ) ( ) ( )( ) 9. בכל סעיף ר שמו פעולת חשבון כך שתתקבל משוואה שפתרונה כל המספרים שבתחום ההצבה.( 0, ) ^ h 0 ^ h 9 ^ h יחידה - מפרקים לגורמים ומצמצמים 8
. בכל סעיף ר שמו פעולת חשבון כך שתתקבל משוואה שפתרונה כל המספרים שבתחום ההצבה.(, ) 9 0 0. פ תרו את המשוואות )ר שמו את תחום ההצבה(. 7 ^ h ^ h 8 9 9 ^ 7h 7. פ תרו את המשוואות )ר שמו את תחום ההצבה(. 0 0 9 0 7. פ תרו את המשוואות )ר שמו את תחום ההצבה(. 7 9 0 7 7 יחידה - מפרקים לגורמים ומצמצמים 9
שיעור. משוואות עם שברים אלגבריים )המשך(.(, ) נתונה המשוואה ( )( ) / ( ) () שייך לתחום ההצבה ולכן הפתרון הוא. נ בו פתר כך יהב פתר כך / ( )( ) ( )( ) 8 0 ( )( ) 0 או אינו בתחום ההצבה ולכן הפתרון הוא. איזו דרך יעילה יותר? ה סביר נפתור משוואות עם שברים אלגבריים.. ר שמו את תחום ההצבה ופ תרו את המשוואות. תוכלו להיעזר בפירוק לגורמים. תחום הצבה, 0( ) ( ) ( ) 0 0 0 מצמצמים מקבלים / דוגמה נמצא בתחום ההצבה, לכן הוא פתרון המשווא 7 7 0 00. ר שמו את תחום ההצבה ופ תרו את המשוואות. 0 0 0 יחידה - מפרקים לגורמים ומצמצמים 0
. ר שמו את תחום ההצבה ו פ תרו את המשוואות. ^ 9h 0 9 0 8 9 9 8 ^ h אוסף משימות. בכל סעיף ב חרו ביטויים שהם מכנה משותף של המשוואה שבמסגרת )המכנים שונים מ- 0(. 0 0 0 0 0 9 0 0 ( ). בכל סעיף ב חרו ביטויים שהם מכנה משותף של המשוואה שבמסגרת )תחום ההצבה הוא 0 (. 8 0 7 7 8 8 8 7 9 8 8 9 יחידה - מפרקים לגורמים ומצמצמים
ז.. מ צאו זוגות של משוואות שלהן אותו פתרון )תחום ההצבה הוא 0 ). ח.. מ צאו זוגות של משוואות שלהן אותו פתרון )תחום ההצבה הוא 0 ).. בכל סעיף ק בעו לאיזו משוואה פתרון שונה מפתרון המשוואות האחרות. )תחום ההצבה הוא 0.) 0 0 0 8 0 8 8 0 0 0 8 8 8 7. ר שמו את תחום ההצבה, ופ תרו את המשוואות. 8 0 0 יחידה - מפרקים לגורמים ומצמצמים
7. ר שמו את תחום ההצבה, ופ תרו את המשוואות. 0 0 0 8. ר שמו את תחום ההצבה, ופ תרו את המשוואות. 0 0 8 9. בכל סעיף ק בעו מהו הביטוי ששיש לרשום במקום הריק כך שפתרון המשוואה יהיה "כל המספרים". ז. ח. ט. י. 7 7 9 9 ( 0).0 נתון 7 היעזרו בנתון זה כדי לחשב את הערך של כל אחד מהביטויים הבאים. שימו לב אין צורך לחשב תחילה את הערך המתאים ל-. 0 8 יחידה - מפרקים לגורמים ומצמצמים
משימות נוספות. פתרו את המשוואות )ר שמו את תחום ההצבה(. ^ h 0 7 0 9 8 7 0 0. לכל משוואה מ צאו את תחום ההצבה ופ תר ( ) ( ) 0 0 ( ). לכל משוואה מ צאו את תחום ההצבה ופ תר 0 ( ) 0 0 ( ) 9 9 8 ( ) 0 ( ) 0. בכל סעיף רשמו את תחום ההצבה ופ שט 8 8 8 8 9 9. לכל משוואה מ צאו את תחום ההצבה ופ תר 9 0 9 9 0 0. בכל סעיף מ צאו את הביטוי שיש לרשום במכנה כדי שפתרון המשוואה יהיה "כל המספרים". 00 00 00 0 0 0 0 0 0 יחידה - מפרקים לגורמים ומצמצמים
שיעור. משוואות עם ביטויים נגדיים, ובעיות מילוליות נתונה המשוואה 0 כּ תבו את תחום ההצב מהו המכנה המשותף? פ תרו את המשוואה וב דקו את הפתרונות. נפתור משוואות ובעיות מילוליות עם שברים אלגבריים שבהם ביטויים נגדיים.. כ תבו את תחום ההצבה ופ תר ה ציבו וב דקו את הפתרון. 9 0 9 0 9 0 מכנים נגדיים. פ תרו את המשוואות. 0 דוגמה תחום ההצבה הוא זהים. ו- מכיוון ש- ) (, הביטויים לכן אפשר לכתוב את הביטוי שבאגף שמאל כך כלומר / ( ) כופלים את אגפי המשוואה במכנה מקבלים 7 9. 9 נמצא בתחום הצבה, לכן פתרון המשוואה הוא 9 מציבים את הפתרון במשוואה המקורית ובודקים אם התקבל שוויון. 9 9 0 0 יחידה - מפרקים לגורמים ומצמצמים
בעקבות..., מספר טבעי.. נתונה המשוואה מהו תחום ההצבה של המשוואה? מה פתרון המשוואה? ה סביר בעיות מילוליות. ש טחו של מלבן הוא סמ"ר. האריכו את אחת מצלעות המלבן ב- ס"מ וקיצרו את הצלע הסמוכה ב- ס"מ. התקבל מלבן ששטחו 8 סמ"ר. אילו ערכים יכולים להתאים למידות המלבן? ה סביר כּ תבו משוואה, פ תרו ומ צאו את אורכי צלעות המלבן. כמה פתרונות לבעיה? ה סביר. ח לקה מלבנית ששטחה מ"ר צמודה לקיר. מקיפים את החלקה בג ד ר בחזית ובשני הצדדים. אורך הגדר מטרים. אילו ערכים יכולים להתאים למידות החלקה? ה סביר כתבו משוואה, פ תרו ומ צאו את מידות החלק כמה פתרונות לבעיה? ה סביר בפתרון בעיה בעזרת משוואה ריבועית )שיש לה שני פתרונות( ייתכן שחלק מהפתרונות אינם מתאימים לתנאי הבעי דוגמאות במשימה, אם מייצג את אורך אחת הצלעות בס"מ ( > ), או שפתרונותיה ^ h` מתקבלת המשוואה 8 j רק הפתרון מתאים לתנאי הבעי כלומר, במשימה, למשוואה אין פתרון שהוא מספר טבעי. יחידה - מפרקים לגורמים ומצמצמים
אוסף משימות... 0 פּ תרו את המשוואות (ר שמו תחילה את תחום ההצבה). 0 9 0 פּ תרו את המשוואות (ר שמו תחילה את תחום ההצבה). 9 9 9 0 9 0 פּ תרו את המשוואות (ר שמו תחילה את תחום ההצבה). ה 9. 9 9 9 ים. 0 0 0 דע המ ת ות א ור ור שמ לה ות קה כוי חל הז המ כל. פּ תרו את המשוואות (ר שמו תחילה את תחום ההצבה). 0 8 ^ h ( ) 9 0 פּ תרו את המשוואות (ר שמו תחילה את תחום ההצבה). ^ h^ h 7 9 0 ^ h יחידה - מפרקים לגורמים ומצמצמים 7
..7 ^ h ^ h פּ תרו את המשוואות (ר שמו תחילה את תחום ההצבה). 7 7 ^ h ^ h 9 9 9 פּ תרו את המשוואות (ר שמו תחילה את תחום ההצבה). ^ h 0 ש טחו של מלבן הוא 0 סמ"ר. ים.9 ^ h 7 9 דע המ ת ות א ור ור שמ לה ות קה כוי חל הז המ כל.8 פּ תרו את המשוואות (ר שמו תחילה את תחום ההצבה). א. ס מנו ב - את אורך אחת הצלעות של המלבן (, > 0 המידות בס"מ). ר שמו ביטוי לאורך הצלע השנייה. ב. מאריכים את אחת הצלעות ב - ס"מ, ואת הצלע הסמוכה מקצרים ב - ס"מ ומתקבל ריבוע. ר שמו משוואה מתאימה ופ תרו אותה. ג. מה אורכי צלעות המלבן?.0 מקיפים עוגה מלבנית ששטחה מ"ר בגדר שאורכה 0 מ'. א. אילו ערכים יכולים להתאים למידות הערוגה? ה סבירו. ב. כּ תבו משוואה, פ תרו ומ צאו את מידות הערוגה. כמה פתרונות לבעיה? כמה ערוגות שונות קיימות? ה סבירו. 8 יחידה - מפרקים לגורמים ומצמצמים
משימות נוספות. הוסיפו פעולת חשבון כך שהשוויון יהיה נכון. רשמו את תחום ההצב 8 ( ) 0 0 0 7 ( ) ( ) ( ) 9. פתרו את המשוואות הבאות. ר שמו את תחום ההצב 7 9 9 ^h 0 8 9 ( ). בכל משוואה ה שלימו ביטוי במקום הריק, כך שהשוויון יתקיים. ר שמו את תחום ההצב 0 0 ( ) 9 00 7 9 9 9. אילו מבין הביטויים הבאים מצטמצמים ל- ( )? ( 0) ( 0) ( ). ה תאימו לכל שבר אלגברי ביטוי מצומצם )בכל סעיף המכנה שונה מ- 0(. ^h ^ h 9 9 9 יחידה - מפרקים לגורמים ומצמצמים 9