: שאלות עם שאלה..1 שאלות הוכיחו על סמך ההגדרה שפונקציה 00 0 00. N 0 דיפרנציאבילית בראשית ומצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה 000. 00 0. לכן נחשב את הגבול: 0 0 0 0 0 0 הפונקציה מוגדרת בכל המישור גם בסביבת הנקודה. מוצאים את הנגזרות החלקיות על סמך ההגדרה: 00 0 0 אזי 0 0 אם 00 0 0 00 00 00 0? 0 נכתוב את הביטוי בצורה אחרת: 0 1 0 שני השברים חסומים: 1 ופונקציה שואפת ל- 0 כאשר נקודה g שואפת ל- 00. לכן לפי משפט.1.6 הגבול המבוקש שווה ל- 0. מ- 1 ו- לפי הגדרה.. נובע כי הפונקציה הנתונה דיפרנציאבילית בראשית. אם הפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה 00 אזי המישור עם המשוואה: z 00 00 00. N 0 נציב את הנתונים ונקבל: 000 z הוא מישור המשיק לגרף הפונקציה בנקודה 1 את המצב ההדדי של המישור וגרף הפונקציה ניתן לראות בקובץ CD Chaper File 7.dpg. Chaper 1
M 0 00 שאלה.. הוכיחו כי הפונקציה נגזרות חלקיות בנקודה הזאת. אינה דיפרנציאבילית בנקודה תחום ההגדרה של הפונקציה הוא מישור R לכן הפונקציה מוגדרת בסביבת הנקודה. 00 00 1 : M 0 שתי הנגזרות החלקיות קיימות בנקודה 00 אך היא רציפה ובעלת. M 0 0 כאן: 0 0 C 0 0 0 0 0 0 0 נתבונן בגבול:. 0. C { k נחקור את הגבול לאורך המסלולים הישרים: {R k k 0 k.. לכן 0 0 0 1 k 1 k 1 k 0 1 k 1 k 1 k k 1 אזי ערך הגבול שווה 1 0 0 אם אינו קיים כלל מכאן הוא אינו יכול להיות שווה ל- 0. ליתר דיוק הגבול. : M 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 הפונקציה רציפה בנקודה גרף הפונקציה נמצא ב- CD Chaper קובץ. Chaper File.dpg שאלה... M 0 00 הוכיחו שהפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה באמצעות הקרוב הליניארי מצאו את הערך המקורב של 0.. 0.1 הפונקציה מוגדרת בסביבת הנקודה.. 00 0 00 1 : M 0 הפונקציה גזירה בנקודה 00 0 0 0 0 0 0 נתבונן בגבול: מתקיים: ל. אורך כל המסלולים הישרים 1 1 15
0 0 C 0 k k 0 k ננסח את ההשערה: הגבול שווה ל-. 0 נוכיח את ההשערה באמצעות כלל הסדביץ': 0 0 0 0 0 0 0 0 לפי הסעיפים הקודמים הפונקציה דיפרנציאבילית בראשית לכן עבור הנקודות הקרובות לראשית מתקיים: 00 00 00 0 0. 0.1 0. ואז 0. שאלה.. מצאו את כל הנקודות עבורן הפונקציה דיפרנציאבילית. הפונקציה רציפה עבור כל הנקודות של המישור לכן בשלב זה אין לשלול אף נקודה. 1 הפונקציה גזירה לפי משתנה בכל נקודות המישור: 1 פונקצית הנגזרת החלקית רציפה בכל המישור. : הפונקציה גזירה לפי משתנה 0 בנקודות 1 ופונקצית הנגזרת החלקית רציפה שם. לפי התנאי המספיק ל משפט.. הפונקציה הנתונה. 0 כך ש- דיפרנציאבילית בכל הנקודות 16
0 בנקודות 0 דיפרנציאבילית שם: פונקציה ה אינה גזירה חלקית לפי משתנה לכן היא אינה יכולה להיות 0 0 0 0 0 אינה מוגדרת בסביבת 00 לפי הגדרת הנגזרת החלקית מקבלים: 0 0 0 ה. פונקציה בנקודה הראשית לכן אין משמעות לדון ברציפות הפונקציה על מנת לבדוק את התנאי המספיק ל. במקרה זה נפנה להגדרת ה ונקבל: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0? 0 נכתוב את הביטוי בצורה אחרת:. מכאן: הביטוי הוא מכפלה של פונקציה חסומה ופונקציה ששואפת ל- 0 כאשר 00 והפונקציה הנתונה דיפרנציאבילית גם בראשית. 0 0 0 כך ש- 0 וגם בראשית. סופית מקבלים: הפונקציה דיפרנציאבילית בכל הנקודות גרף הפונקציה נמצא ב- CD Chaper קובץ. Chaper File 9.dpg a sin 0 00 00 שאלה..5 כאשר a פרמטר. מצאו עבור אילו ערכים של פרמטר a הפונקציה דיפרנציאבילית בראשית. במקרה הנתון בדיקת רציפות הפונקציה לא תביא לשום מידע נוסף מכיוון שהפונקציה רציפה בראשית עבור כל ערך של פרמטר a אנו משאירים לקורא לבדוק את הטענה הזאת. : 00 נמצא את הנגזרות החלקיות 00 sin 0 sin 00 0 0 0 00 0 0 0 0 1 17
הפונקציה גזירה חלקית לפי שני המשתנים עבור כל ערך של פרמטר. a נתבונן בגבול: a sin 1 0 0 a sin 0 0 0 0 0 0 sin sin 0 0 a 1 sin 0 0 0 0 0 sin sin 0 sin 0 a 1. 0 0 0 sin 0 sin cos 1 0 0 1 sin 0 0 נראה כי: אכן אם ורק אם 0 מכאן 0 הפונקציה a 1 g היא הומוגנית מסדר 0 לכן הגבול קיים ושווה ל- 0 אם ורק אם. a 1 0 תשובה:. a 0.5. 00 שאלות לעבודה עצמית שאלה..6 a 00 0 00 א מצאו: עבור אילו ערכים של פרמטר a הפונקציה רציפה בנקודה 00. ב מצאו: עבור אילו ערכים של פרמטר a הפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה שאלה..7 הוכיחו או הפריכו את הטענה: הפונקציה 1
ln 1 0 00 00 דיפרנציאבילית בראשית. רמז: כתבו את המכנה כסכום הריבועים. שאלה.. נא להיעזר בקרוב הליניארי עבור הפונקציה המ. כדי למצוא את הערך המקורב של ישור המשיק לגרף הפונקציה בנקודה זאת הוא: z z z. ln 1.0 097 1 שאלה..9 z דיפרנציאבילית בנקודה 1. 1 1 1 מצאו:. z 1 שאלה..10. z z מצאו את כל הנקודות בהן הפונקציה רציפה א מצאו את פונקציות הנגזרות החלקיות: z ב ג הביאו דוגמה של נקודה בה הפונקציה הנתונה דיפרנציאבילית על סמך התנאי המספיק משפט.. אזי הפונקציה a 0 00 00 שאלות מושגיות ושאלות להעמקה שאלה..11 כאשר - a פרמטר חיובי. מצאו לאילו ערכים של הפרמטר הפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה 00. שאלה..1 00 מתקיים: r1 r e cos1 sin r 1 1sin הוכיחו שאם לפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה זו. שאלה..1 נתונות שלוש פונקציות וקטוריות: בסביבת הנקודה 19
z כך שהיא דיפרנציאבילית בנקודה הוכיחו כי לא קיימת אף פונקציה 11 ועל גרף הפונקציה נמצאים שלושת העקומים המהווים גרפים של הפונקציות הווקטוריות. 0 אזי עבור כל עקום חלק C העובר דרך דיפרנציאבילית בנקודה z רמז: אם הפונקציה 0 0 ונמצא על גרף הפונקציה מתקיים: הישר המשיק לעקום נמצא במישור המשיק 0 0 0. 0 g 0 ונגזרת מימין הנקודה לגרף הפונקציה. שאלה..1 נתון: פונקציה מצאו: דיפרנציאבילית בנקודה. נגדיר את הפונקציה. 00 דיפרנציאבילית בראשית. g 00 שאלה..15 תהי g מוגדרת בסביבת נקודה 0 א ב מצאו עבור אילו ערכים של קיימות: מצאו עבור אילו ערכים של הפונקציה תשובות z z z שאלה..6 א עבור כל ערך של a ב a 0 שאלה הטענה..7 אינה נכונה שאלה.. 0.01 שאלה..9 1 1 1 1 1 שאלה..10 א z 0 ב 0 z 0 z z 0 0 z 0 z z ג כאשר כל נקודה z 0 0 z 0 שאלה..11 a שאלה..1 1 שאלה..15 א 0 ב 0 150