37 שיעור 3 מבחני השוואה, מנה, ושורש לטורים חיוביים בשיעור זה נסקור שלושה סוגים של מבחני התכנסות והתבדרות עבור טורים חיוביים: מבחני השוואה, מבחני מנה, ומבחן שורש. טורים חיוביים הם טורים שאיבריהם חיוביים מלבד אולי מספר סופי של יוצאים מהכלל (הכוונה למעשה היא לאיברים אי שליליים, אך השם טורים חיוביים, כבר השתרש). הטיפול בטורים חיוביים פשוט בהרבה מאשר בטורים כלליים, אך דרוש כתשתית קודמת לפני שניגשים לטורים כלליים. חלק גדול מהמשפטים על טורים חיוביים משמש כבסיס תאורטי לטיפול בטורים כלליים. אחת התכונות החשובות של טור חיובי היא העובדה שסדרת הסכומים החלקיים שלו תמיד מונוטונית עולה. טיפול בסדרות מונוטוניות עולות קל יותר מטיפול בסדרות כלליות. S S S 3 S S + לשם דיוק נציין כי ברוב המקרים שנפגוש, טור חיובי הוא טור שכל איבריו חיוביים. אך כפי שלמדנו ממשפטי השיעור הקודם, ההתכנסות או ההתבדרות של טור נקבעת על פי זנב כלשהו שלו. לכן אם כל איברי הטור חיוביים חוץ אולי ממספר סופי של איברים, הטור יקרא בכל זאת טור חיובי.
38 למרות זאת, ברוב ההוכחות של המשפטים והטענות אנו נניח ללא הגבלת הכלליות שכל איברי הטור חיוביים. מבחני השוואה מבחן השוואה להתכנסות או התבדרות של טור מתאפיין על ידי השוואת הטור הנבדק עם טור שני שהתכנסותו (או התבדרותו) כבר ידועים לנו. יהיו,, שני טורים חיוביים נתונים. ההשוואה בין שני טורים יכולה להתבצע על ידי בדיקת תנאים כגון, c, או תנאים על הגבול a, וכדומה. lim משפט 3.: (מבחן השוואה ראשון), שני טורים חיוביים נתונים. אם לכל מספר טבעי החל יהיו, ממקום מסוים מתקיים (3.) אזי א. מההתכנסות של הטור נובעת ההתכנסות של הטור ב. מההתבדרות של הטור נובעת ההתבדרות של הטור הוכחה: ללא הגבלת הכלליות אנו נניח כי אי השוויון (3.) מתקיים לכל, החל מ =, משום שתמיד ניתן לזרוק משני הטורים את האיברים הראשונים שעבורם זה לא נכון מבלי לשנות את ההתכנסות או ההתבדרות שלהם., ותהי } {B תהי } A} סדרת הסכומים החלקיים של הטור סדרת הסכומים החלקיים של הטור. מאי השוויון (3.) נובע כי A B לכל מספר טבעי..B = מאחר שהסדרה א. אם הטור מתכנס אזי קיים הגבול lim B
39.A B,A מונוטונית עולה, יוצא שהיא חייבת להתכנס לגבול {A } לכן גם הטור מתכנס בהכרח.. lim B = ולכן גם, lim מתבדר אז = A מתבדר. ב. אם הטור כלומר, גם הטור מסקנה: ניתן להוסיף לחלק א של המשפט גם את אי השוויון: בדוגמא. בספר הלימוד (חדו א, חלק א ) מטפלת בארבעה טורים מעניינים (לקריאה בבית). נפתור את הטור השני בלבד בדרך נוספת. מתכנס.! דוגמא 3.: הוכח כי הטור. לשם כך נוכיח באינדוקציה פיתרון: נבצע השוואה מול הטור ההנדסי על, שלכל 7, מתקיים אי השוויון (*)! < ( ) בהנחה שהוכחנו את אי השוויון הזה, נקבל שלכל 7,! < ( ) = מתכנס, הרי שממבחן ההשוואה מאחר וידוע לנו כי הטור ההנדסי מתכנס.! הראשון נובע שגם הטור נשאר להוכיח את אי השוויון (*). בסיס האינדוקציה: ההוכחה עבור = 7 פשוטה 7! = 5040 < ( )7 7 = 6433.996875
40 נניח כי אי השוויון (*) מתקיים עבור המספר הטבעי. נוכיח אותו עבור ( + )! = ( + )! < ( + ) ( = + ( ) ) = + + ( ( + )) = + ( + ) = + (+ ) = ( ) + + ( ) : + במעבר משורה לשורה 3 השתמשנו באי השוויון + ניתן להוכיח אי שוויון זה על ידי בדיקה שהפונקציה f(x) = + x x א. מונוטונית עולה בקטע 0.5] [0, 0) (x) (f ב. מתאפסת בנקודה = 0 x ג. ולכן 0 f(x) בקטע 0.5] [0, 5 0 3+ + דוגמא 3.: בדוק את התכנסות הטור פיתרון: עד לשלב הנוכחי לא היו לנו כלים בכדי להתמודד עם טור מסוג זה. קל לבדוק שהטור חיובי החל מ 3 =. החזקות ה יות במונה ובמכנה
4 5 0 3+ + = 5 0 8 + מצביעות על השוואה מול טור הנדסי = 5 8 ( ) 5 הוא טור מתכנס כי המנה שלו = 5 8 q מקיימת את 4 + 7 + 8 ( 5 8 ) הטור ההנדסי התנאי < q ולכן גם הטור הנבדק מתכנס. דוגמא 3.3: בדוק התכנסות או התבדרות של הטור פיתרון: נבצע השוואה מול הטור ההרמוני מתבדר ולכן הטור הנבדק 4 + 7 + 4 + 7 4 + 4 = = 3 = 3 9 4 בשיעור הקודם הוכחנו שהטור ההרמוני מתבדר. הערה: לפעמים מבחן ההשוואה מנוסח על ידי אי שוויון a, c כאשר c הוא קבוע ממשי. ברור שניסוח כזה נגזר בקלות ממבחן ההשוואה הראשון ותכונת התכנסות של הכפלת טור בקבוע.
4 משפט 3.: (מבחן ההשוואה השני), שני טורים חיוביים נתונים. אם קיים הגבול a (3.) lim = k, יהיו ו מתכנסים או מתבדרים יחד. א. אם < k < 0 אז הטורים ב. אם = 0 k אז מהתכנסות הטור נובעת התכנסות הטור מהתבדרות הטור נובעת התבדרות הטור ג. אם = k אז מהתכנסות הטור נובעת התכנסות הטור מהתבדרות הטור נובעת התבדרות הטור הוכחה: א. יהי > 0 ɛ כך ש 0 > ɛ k (למשל.(ɛ = k מהשוויון (3.) והגדרת גבול סדרה נובע שקיים מספר טבעי N כך שלכל > N מתקיים k ɛ < < k + ɛ ולכן לכל, > N (k ɛ) < < (k + ɛ) לכן ממבחן ההשוואה הראשון (משפט ) נובע ששני הטורים מתכנסים או מתבדרים יחד.
43 ב. הרעיון דומה. במידת הצורך וזמן יוכח במהלך השיעור. ג. הרעיון דומה. במידת הצורך וזמן יוכח במהלך השיעור. על ידי השוואה עם הטור דוגמא 3.4: הוכח התכנסות של הטור הטלסקופי 4 =,b אזי פיתרון: נסמן 4, = 4 lim = lim = lim ( ) = בשיעור קודם הוכחנו את התכנסות הטור הטלסקופי, ולכן ממבחן ההשוואה מתכנס גם כן. השני יוצא שהטור ta דוגמא 3.5: בדוק התכנסות או התבדרות של הטור פיתרון: נסמן = ta ונבצע השוואה מול הטור = (שכרגע הוכחנו את התכנסותו). ta lim = lim = lim si cos si = lim cos = = si x x. ממבחן ההשוואה השני יוצא שהטור lim x השתמשנו בזהות הידועה = מתכנס על ידי השוואה עם הטור הטלסקופי מתכנס. ta תרגיל 3.: הוכח כי הטור (+) ( ) cos דוגמא 3.6: בדוק התכנסות או התבדרות של הטור פיתרון: נשתמש בפיתוח לטור טיילור (שישה איברים ושארית) של הפונקציה cos x = x! + x4 4! + R(x) cos x
44 R(x) = cos c x 6, 6! 0 c x x = ונקבל כאשר נציב בנוסחה cos =! + 4! 4 cos c לכן 6! 6 (*) cos =! 4! + cos c 4 6! 6. נחלק את שני האגפים של (*) בביטוי נבצע השוואה מול הטור ונקח את הגבול כאשר שואף לאינסוף: cos lim = lim (! 4! + cos c ) 6! 4 = דרך שניה לחשב את הגבול האחרון היא באמצעות משפט לופיטל: הוכח כי.x = cos x lim = x 0 + x ואז הצב דרך שלישית לפתור את הבעייה היא באמצעות הזהות הטריגונומטרית cos x = si x זוהי אומנם דרך קלה יותר, אבל כדאי להכיר את הטכניקות הקודמות. נשאיר את הפרטים לתלמיד. בכל הדרכים אנו מקבלים כי על פי מבחן ההשוואה השני (משפט חלק ב ) מתכנס). ) מתכנס (כי הטור הטור ( cos
45 (3.3) משפט 3.3: (מבחן השוואה שלישי) ו טורים חיוביים ממש 0) >.( > 0,a + + יהיו אם לכל טבעי מתקיים אזי א. מהתכנסות הטור נובעת התכנסות הטור ב. מהתבדרות הטור נובעת התבדרות הטור הוכחה: מאי השוויון (3.3) נובע כי (3.4) + + } { מונוטונית יורדת וחיובית ולכן חסומה מלמטה על ידי 0. לכן הסדרה לכן קיים גבול ממשי a (3.5) lim = k מסקנות המשפט נובעות ממבחן ההשוואה השני. מבחן המנה של דאלמבר (D Alembert) הטור ההנדסי הוא דוגמא יסודית ופשוטה לטור שהתכנסותו או התבדרותו קלה לבדיקה. מבחני ההתכנסות של קושי ודאלמבר משתמשים בטור ההנדסי כבסיס Jea le Rod d Alembert, 77 783 Augusti-Louis Cauchy, 789 857 השוואה בכדי לבדוק התכנסות של טורים חדשים.
46 משפט 3.4: (מבחן המנה (D alembert יהי טור חיובי ממש (0 > a). אם לכל מספר טבעי, החל ממקום מסוים, מתקיים (3.6) + q < אזי הטור מתכנס. אם (3.7) + אזי הטור מתבדר. הוכחה: א. אם נרשום את (3.6) באופן הבא + q+ q אז ממבחן ההשוואה השלישי נובעת מסקנת המשפט. ב. אי השוויון (3.6) גורר כי + ולכן { } סדרה מונוטונית עולה בניגוד לתנאי ההכרחי שאיבריה חיוביים ממש. לכן בהכרח > 0 lim a להתכנסות טור. לכן הטור מתבדר.. נוסחת האיבר הכללי היא. = 6 si 3 דוגמא 3.7: בדוק את התכנסות הטור 7 + = + < שאלה: נתבונן בטור ההרמוני שים לב כי לכל, אך ידוע לנו כי הטור ההרמוני מתבדר, האם יש כאן סתירה עם מבחן המנה?!
47 תופעה זהה קורית גם עם הטור + = ( + ) < שידוע כטור מתכנס. מה ניתן ללמוד משתי דוגמאות אלה על מבחן המנה? משפט 3.5: (הצורה הגבולית של מבחן המנה) יהי טור חיובי ממש (0 > a). אם קיים הגבול a (3.8) + lim = L אזי א. אם < L אז הטור מתכנס ב. אם > L אז הטור מתבדר ג. אם = L אז לא ניתן לקבוע התכנסות או התבדרות של הטור הוכחה: א. אם < L, אז קיים > 0 ɛ כך ש < ɛ L. + על פי הגדרת הגבול, קיים מספר טבעי N כך שלכל, > N מתכנס + < L + ɛ < ולכן ממבחן המנה הראשון נובע שהטור ב. אם > L אז קיים > 0 ɛ כך ש > ɛ L. על פי הגדרת מושג הגבול,
48 קיים מספר טבעי N כך שלכל, > N מתבדר. + > L ɛ > ולכן שוב ממבחן המנה הראשון יוצא שהטור ג. כאשר = L לא ניתן לקבוע התכנסות או התבדרות. פגשנו כבר את שבהם = L, אבל הטור הראשון מתבדר והשני ו הטורים מתכנס. + = 5 + דוגמא 3.8: בדוק את התכנסות הטור 3 = 5 + פיתרון: נפעיל את מבחן המנה על 3 5( + ) + : 5 + 3 + 3 = 5( + ) + 3 + = 3 = 3 מתכנס. ( + ) ( + ) + + + lim = 3 3 5 + + + לכן מקבלים מייד כי 5 + לכן על פי מבחן המנה הגבולי, הטור 3 5 ( )! תרגיל 3.: בדוק את התכנסות הטור
49 מבחן השורש של קושי (Cauchy) משפט 3.6: (קושי) יהי טור חיובי נתון. א. אם החל ממקום מסוים איברי הטור מקיימים a q < אזי הטור מתכנס. ב. אם החל ממקום מסוים איברי הטור מקיימים a אזי הטור מתבדר. ג. אם קיים הגבול אזי lim a = L אם < L אז הטור מתכנס אם > L אז הטור מתבדר אם = L אז לא ניתן לקבוע התכנסות או התבדרות הוכחה: נשאיר לקורא את רוב הפרטים. נציין רק כי כאשר חיובי, אי השוויון q שקול ל. q לכן מבחן ההשוואה הראשון (ראה משפט בסעיף הקודם) ישים למקרה זה. תרגיל 3.3: בדוק התכנסות הטור תרגיל 3.4: בדוק התכנסות הטור. 3 e +. האם מבחן השורש ישים? ככל
50 הנראה נזדקק למבחן נוסף: מבחן האינטגרל... תרגילים מומלצים א. חדו א חלק א, בן ציון קון סעיף., תרגילים 5 (עמוד 4) סעיף., תרגילים 8 (עמוד 8) ב. Calculus II, Complete Assigmets, Paul Dawkis Calc II Assigmets, p. 40, Compariso Test / Limit Compariso Test: -0 Calc II Assigmets, p. 43, Ratio Test: -8 Calc II Assigmets, p. 43, Root Test: -4 ג. שימוש בתוכנת SymPy עבור שוב על הפקודות הבסיסיות של תוכנת SymPy שהוצגו בתרגילים של הסעיף SymPy - Example Commads פתח חלון SymPy דרך הקישור הבא: SymPy Live Shell - Iteractive SymPy Widow חזור שוב לחלק מהתרגילים שניתנו בסעיפים הקודמים ובדוק איזה מהם תוכל לאמת באמצעות תוכנת.SymPy תוכל לגבש השערות לגבי התכנסות או התבדרות של טורים על ידי חישוב סכומים חלקיים שלהם באמצעות תוכנת.SymPy