תורת החבורות מערכי תרגול קורס

תורת החבורות מערכי תרגול קורס 88-218 ינואר 2020, גרסה 1.12 אוניברסיטת בר-אילן סמסטר א תש"ף

תוכן העניינים.......................... 3 מבוא................. 4 מבוא לתורת המספרים 1................ 8 מבנים אלגבריים בסיסיים 2.................... 12 חבורות אבליות 3...................... 12 תת חבורות 4............... 13 חבורת אוילר ומציאת הופכי 5.................... 14 חבורות ציקליות 6.............. 15 סדר של חבורה וסדר של איבר 7............ 18 תת חבורה הנוצרת על ידי איברים 8........... 21 החבורה הסימטרית (על קצה המזלג) 9 10 מחלקות שמאליות וימניות................ 25................ 28 11 משפט לגראנז ושימושים............... 30 12 פעולה של חבורה על קבוצה................... 33 13 משוואת המחלקות................. 37 14 חבורות מוצגות סופית.................... 38 15 הומומורפיזמים 16 תת חבורות נורמליות.................. 42.................... 43 17 חבורת החילופין 18 חבורות מנה...................... 45.............. 48 19 משפטי האיזומורפיזם של נתר..................... 51 20 משפט קיילי 21 משפטי סילו...................... 54.................... 56 22 אוטומורפיזמים..................... 58 23 משפט N/C.............. 59 24 מכפלות ישרות וישרות למחצה.............. 61 25 חבורות אבליות נוצרות סופית................ 63 26 תת חבורת הקומוטטורים 27 סדרות נורמליות וסדרות הרכב.............. 65.................... 66 28 חבורות פתירות................. 68 נספח: חבורות מוכרות 2

מבוא נתחיל עם כמה הערות: דף הקורס נמצא באתר.www.math-wiki.com שאלות בנוגע לחומר הלימודי מומלץ לשאול בדף השיחה באתר של הקורס. יפורסמו תרגילי בית כל שבוע, ומתוכנן בוחן. החומר בקובץ זה נאסף מכמה מקורות, ומבוסס בעיקרו על מערכי תרגול קודמים בקורס אלגברה מופשטת למתמטיקה באוניברסיטת בר-אילן. נשמח לכל הערה על מסמך זה. מחברים בשנת הלימודים תשע"ז: תומר באואר ושירה גילת עדכונים בשנת הלימודים תשע"ח: תומר באואר עדכונים בשנת הלימודים תש"ף: תומר באואר ותמר בר-און 3

1 מבוא לתורת המספרים נסמן כמה קבוצות של מספרים: }... 3, {1, 2, = N המספרים הטבעיים..(Zahlen המספרים השלמים (מגרמנית: Z = {0, ±1, ±2, ±3,... } } {0} Z\ Q = p Z, q המספרים הרציונליים. { p q R המספרים הממשיים. C המספרים המרוכבים. מתקיים.N Z Q R C הגדרה 1.1. יהיו,a b מספרים שלמים. נאמר כי a מחלק את b אם קיים k Z כך ש- b,ka = ונסמן.a b למשל. 5 10 משפט 1.2 (משפט החילוק, או חלוקה אוקלידית). לכל d,0 n Z קיימים,q r יחידים כך ש- r n = qd + וגם d r <.0 המשפט לעיל מתאר "מה קורה" כאשר מחלקים את n ב- d. הבחירה בשמות הפרמטרים במשפט מגיעה מלע"ז quotient (מנה) ו- remainder (שארית). הגדרה 1.3. בהנתן שני מספרים שלמים,n m המחלק המשותף המרבי (ממ"מ, greatest (divisor common שלהם מוגדר להיות המספר gcd(n, m) = max {d N : d n d m} לעיתים נסמן רק m).(n, למשל = 2 10).(6, נאמר כי n, m זרים אם = 1 m).(n, למשל 2 ו- 5 הם זרים. הערה 1.4. אם d a וגם,d b אזי d מחלק כל צירוף לינארי של a ו- b. טענה.1.5 אם,n = qm + r אז r).(n, m) = (m, הוכחה. נסמן (m d, =,n) וצ"ל כי (r d. =,m) אנו יודעים כי d n וגם.d m אנו יכולים להציג את r כצירוף לינארי של,n, m ולכן.d r = n qm מכך קיבלנו r).d (m, כעת, לפי הגדרה,m) r) r וגם,m), r) m ולכן,m) r) n כי n הוא צירוף לינארי של.m, r אם ידוע כי (m, r) m וגם,(m, r) n אזי.(m, r) d סך הכל קיבלנו כי.d = (m, r) הערה.1.6 תמיד מתקיים ±m).(n, m) = (m, n) = (±n, 4

משפט 1.7 (אלגוריתם אוקלידס). "המתכון" למציאת ממ"מ בעזרת שימוש חוזר בטענה 1.5 הוא אלגוריתם אוקלידס. ניתן להניח m < n 0 לפי ההערה הקודמת. אם = 0,m אזי.(n, m) = n אחרת נכתוב n = qm + r כאשר r < m 0 ונמשיך עם (r,n). (m =,m) (הבינו למה האלגוריתם חייב להעצר.) דוגמה 1.8. נחשב את הממ"מ של 53 ו- 47 בעזרת אלגוריתם אוקלידס (53, 47) = [53 = 1 47 + 6] (47, 6) = [47 = 7 6 + 5] (6, 5) = [6 = 1 5 + 1] (5, 1) = [5 = 5 1 + 0] (1, 0) = 1 ואם יש זמן, דוגמה נוספת עבור מספרים שאינם זרים: (224, 63) = [224 = 3 63 + 35] (63, 35) = [63 = 1 35 + 28] (35, 28) = [35 = 1 28 + 7] (28, 7) = [28 = 4 7 + 0] (7, 0) = 7 כהערת אגב, מספר השלבים הרב ביותר באלגוריתם יתקבל עבור מספר עוקבים בסדרת פיבונצ י. משפט 1.9 (אפיון הממ"מ כצירוף לינארי מזערי). לכל מספרים שלמים 0 b,a מתקיים כי (a, b) = min {au + bv N u, v Z} בפרט קיימים s, t Z כך ש- tb (a, b) = sa + (זהות בזו). S a,b = {ua + vb u, v Z} הוכחה. נתבונן בקבוצה נשים לב כי S a,b אינה ריקה, כי למשל b±. S a,b יהי d המספר הטבעי הקטן ביותר ב- S. אנו רוצים להראות כי b).d = (a, מפני ש-,d S a,b אז קיימים s, t Z כך ש- tb.d = sa + נחלק את a ב- d עם שארית, ונקבל a = qd + r כאשר r < d.0 כעת מתקיים r = a qd = a q(sa + tb) = (1 qs)a + tb S a,b אבל אמרנו כי d הינו הטבעי הקטן ביותר ב- S, a,b ולכן בהכרח = 0 r. כלומר,d a ובאופן דומה נקבל.d b לכן מהגדרת הממ"מ נובע (b d.,a) מצד שני,,a) (b a וגם 5

,a), (b b ולכן (b,a) מחלק גם כל צירוף לינארי של a ושל b. בפרט,,a), (b d ולכן.(a, b) = d בסך הכל קיבלנו.(a, b) d הוכחה נוספת: ניתן להניח > 0 b,a וקל להוכיח ש-( b.gcd(a, b) = gcd(a b, עבור = 1 b a = מתקיים כי gcd(a, b) = 1 = 1 1 + 0 1 ונניח שהטענה נכונה עבור כל a. + b < m נוכיח שהיא נכונה עבור a. + b = m אם,a = b אז gcd(a, b) = 1 a + 0 b = a ואחרת b) gcd(a, b) = gcd(a b, והנחת האינדוקציה נכונה עבור.a b, b לכן gcd(a, b) = s(a b) + tb = sa + (t s)b צירוף לינארי כדרוש. הערה 1.10 (לדלג). יהי.n Z נסמן את הכפולות שלו ב-{... ±2n,.nZ = {0, ±n, למשל }... 12, 4, 0, 4, 8, 8, 12,,.. {. =.4Z מן המשפט האחרון נוכל להסיק כי.(a, b) x מתקיים כי x S a,b שכן לכל,S a,b = (a, b) Z תרגיל 1.11. יהיו,a,b c מספרים שלמים כך ש- 1 = (b,a) וגם.a bc הראו כי.a c פתרון. לפי אפיון הממ"מ כצירוף לינארי, קיימים,s t כך ש- tb = sa + 1. נכפיל ב- c ונקבל.c = sac + tbc ברור כי a sac ולפי הנתון גם.a tbc לכן tbc),a (sac + כלומר.a c מסקנה 1.12. אם p ראשוני וגם,p bc אז p b או.p c פתרון. אם,p b אז סיימנו. אחרת, p b ולכן = 1 (b,p), ולפי התרגיל הקודם.p c דוגמה 1.13. כדי למצוא את המקדמים,s t כשמביעים את הממ"מ כצירוף לינארי כנ"ל נשתמש באלגוריתם אוקלידס המורחב: (234, 61) = [234=3 61+51 51 = 234 3 61] (61, 51) = [61=1 51+10 10 = 61 1 51 = 61 1 (234 3 61) = 1 234 + 4 61] (51, 10) = [51=5 10+1 1 = 51 5 10 = 51 5 ( 1 234 + 4 61) = 6 234 23 61] (10, 1) = 1 ולכן 61 23 234 6 = 1 = 61).(234, כלומר 23 = t.s = 6, טענה 1.14. תכונות של ממ"מ: א. יהי (m d =,n) ויהי e כך ש- e m וגם,e n אזי.e d 6

ב. m) (an, am) = a (n, הוכחה. א. קיימים,s t כך ש- tm d. = sn + כיוון ש- m,e n, אז הוא מחלק גם את צירוף לינארי שלהם,sn + tm ז"א את d. ב. (חלק מתרגיל הבית) שאלה 1.15 (לבית). אפשר להגדיר ממ"מ ליותר מזוג מספרים. יהי d הממ"מ של המספרים.n 1,..., n k הראו שקיימים מספרים שלמים s 1,..., s k המקיימים + 1 s 1 n.k רמז: אינדוקציה על. + s k n k = d הגדרה 1.16. יהי n מספר טבעי. נאמר כי,a b Z הם שקולים מודולו n אם.n a b כלומר קיים k Z כך ש- kn.a = b + נסמן זאת n) a b (mod ונקרא זאת a" שקול ל- b מודולו n". טענה 1.17. שקילות מודולו n היא יחס שקילות שמחלקות השקילות שלו מתאימות לשארית החלוקה של מספר ב- n. כפל וחיבור מודולו n מוגדרים היטב. כלומר אם.a + c b + d (mod n) וגם ac bd (mod n) אז,a b, c d (mod n) תרגיל 1.18. מצאו את הספרה האחרונה של 333. 333 פתרון. בשיטה העשרונית, הספרה האחרונה של מספר N היא (10 N. (mod נשים לב כי 10) (mod 3.333 לכן 3 333 = 3 4 83+1 = ( 3 4) 83 3 = 81 83 3 1 83 3 (mod 10) 333 333 = 3 333 3 (mod 10) ומכאן שהספרה האחרונה היא 3. בהמשך נגלה מדוע נבחר 3. 4 משפט 1.19 (משפט השאריות הסיני). אם,n m זרים, אזי לכל,a b Z קיים x יחיד עד כדי שקילות מודולו nm כך ש-( n x b (mod m),x a (mod (יחד!). הוכחה. מפני ש- 1 = m),(n, אזי קיימים s, t Z כך ש- 1 = tm.sn + כדי להוכיח קיום של x כמו במשפט נתבונן ב- atm.bsn + מתקיים bsn + atm atm a 1 a (mod n) bsn + atm bsn b 1 b (mod m) ולכן x = bsn + atm הוא פתרון אפשרי. ברור כי גם x = x + kmn לכל k Z הוא פתרון תקף. כדי להראות יחידות של x מודולו nm נשתמש בטיעון קומבינטורי. לכל זוג (b,a) יש x (לפחות אחד) המתאים לו מודולו.nm ישנם בסה"כ nm זוגות שונים (b,a) (מודולו,(nm וכן רק nm ערכים אפשריים ל- x (מודולו.(nm ההתאמה הזו היא פונקציה חח"ע בין קבוצות סופיות שוות עוצמה, ולכן ההתאמה היא גם על. דרך אחרת: אם קיים מספר y המקיים את הטענה, אז n x y וגם.m x y מהנתון = 1 m) (n, נקבל כי (.Z n Z m = Znm נראה גם (בהמשך.x y (mod nm) ולכן nm x y 7

דוגמה.1.20 נמצא x Z כך ש-( 3 x 1 (mod וגם 5).x 2 (mod ידוע כי = 1 3),(5, ולכן = 1 3 2 5 +. 1 במקרה זה = 3 m n = 5, וכן = 2 t,s = 1, ולפי משפט השאריות הסיני אפשר לבחור את = 7 6 2 + ( 5) 1 =.x אכן מתקיים.7 2 (mod 5) 7 וגם 1 (mod 3) משפט השאריות הסיני הוא יותר כללי. הנה גרסה שלו למערכת חפיפות (משוואות של שקילות מודולו): משפט 1.21 (אם יש זמן). תהא } k {m 1,..., m קבוצת מספרים טבעיים הזרים בזוגות (כלומר כל זוג מספרים בקבוצה הוא זר). נסמן את מכפלתם ב- m. בהנתן קבוצה כלשהי של שאריות k},{a i (modm i ) 1 i קיימת שארית יחידה x מודולו m המהווה פתרון למערכת המשוואות x a 1 (mod m 1 ).. x a k (mod m k ) דוגמה.1.22 נמצא y Z כך ש-ש-( 3 y 2 (mod 5),y 1 (mod וגם 3 y (7.(mod נשים לב שהפתרון = 7 y מן הדוגמה הקודמת הוא נכון עד כדי הוספה של = 15 5 3 (כי 3) (mod 0 15 וגם 5) (mod 0.(15 לכן את שתי המשוואות.y 7 (mod 15) ניתן להחליף במשוואה אחת y 2 (mod 5),y 1 (mod 3) נשים לב כי = 1 (7,15) ולכן אפשר להשתמש במשפט השאריות הסיני בגרסה לזוג משוואות. בדקו כי = 52 y מהווה פתרון. הגדרה 1.23 (לבית). בהנתן שני מספרים שלמים,n m הכפולה המשותפת המזערית (כמ"מ, (least common multiple שלהם מוגדרת להיות lcm(n, m) = min {d N : n d m d} בדרך כלל נסמן רק m].[n, למשל = 30 10] [6, ו- 10 = 5].[2, טענה 1.24. תכונות של כמ"מ: א. אם m a וגם,n a אז.[n, m] a ב. nm.[n, m] (n, m) = למשל 4 6 = 24 = 2 12 = 4) (6, 4].[6, 2 מבנים אלגבריים בסיסיים הגדרה 2.1. אגודה,semigroup) או חבורה למחצה) היא קבוצה לא ריקה S ומפעולה בינארית על S המקיימת קיבוציות (אסוציטיביות,.(associativity כלומר לכל c,a,b.(a b) c = a (b c) מתקיים S דוגמה.2.2,Z מילים ושירשור מילים, קבוצה X עם הפעולה.a b = b 8

דוגמה 2.3. המערכת (,Z) אינה אגודה, מפני שפעולת החיסור אינה קיבוצית. למשל.(5 2) 1 5 (2 1) הגדרה 2.4. תהי (,S) אגודה. איבר e S נקרא איבר יחידה אם לכל a S מתקיים.a e = e a = a אגודה שבה קיים איבר יחידה נקראת מונואיד,monoid) או יחידון). דוגמה 2.5. Z, מטריצות ריבועיות מעל שדה, פונקציות על קבוצה X. גם (,N) היא מונואיד, ואיבר היחידה שלה הוא 1. לעומת זאת, (,2N) היא אגודה שאינה מונואיד, כי אין בה איבר יחידה. הערה 2.6. יהי M מונואיד. קל לראות כי איבר היחידה ב- M הוא יחיד. דוגמה 2.7. תהי X קבוצה כלשהי, ותהי (X) P קבוצת החזקה שלה (זהו אוסף כל תת הקבוצות של X). אזי (,(X) P) היא מונואיד שבו איבר היחידה הוא X. מה קורה עבור (,(X) P)? (להמשך, נשים לב כי במונואיד זה לכל איבר a מתקיים.(a 2 = a הגדרה.2.8 יהי e) (M,, מונואיד. איבר יקרא הפיך אם קיים איבר b M כך ש- e.ba = ab = במקרה זה a 1 = b יקרא הופכי של a. תרגיל 2.9 (אם יש זמן). אם aba M הפיך במונואיד, הראו כי גם,a b הפיכים. פתרון. יהי c ההופכי של.aba כלומר abac = caba = e לכן cab הוא הופכי שמאלי של a, ו- bac הופכי ימני של a. בפרט a הפיך ומתקיים.cab = bac לכן מתקיים גם (aca)b = a(cab) = a(bac) = e = (cab)a = (bac)a = b(aca) וניתן להסיק כי aca הופכי שמאלי וימני של b. תרגיל 2.10. האם קיים מונואיד שיש בו איבר הפיך מימין שאינו הפיך משמאל? פתרון. כן. נבנה מונואיד כזה. תהא X קבוצה. נסתכל על קבוצת ההעתקות מ- X לעצמה המסומנת {X X. X = f} : X ביחס לפעולת ההרכבה זהו מונואיד, ואיבר היחידה בו הוא העתקת הזהות.id ההפיכים משמאל הם הפונקציות החח"ע. ההפיכים מימין הם הפונקציות על (לפי הקורס מתמטיקה בדידה. הוכחה לבית). מה יקרה אם נבחר את X להיות סופית? אם ניקח למשל X = N קל למצוא פונקציה על שאינה חח"ע. הפונקציה שנבחר היא 1) n.d(n) = max(1, לפונקציה זו יש הופכי מימין, למשל + 1 n,u(n) = אבל אין לה הפיך משמאל. 9

תרגיל 2.11 (ממבחן). הוכיחו כי לכל מונואיד (,X) הקבוצה (X) P של כל תת הקבוצות הלא ריקות של X מגדירה מונואיד ביחס לפעולת הכפל הנקודתית: A B = {a b a A, b B} ומצאו מי הם האיברים ההפיכים ב-(,(X) P). פתרון. הקבוצה (X) P אינה ריקה, לדוגמה היא מכילה את {e} (כאשר e הוא איבר היחידה של X). הפעולה מוגדרת היטב וסגורה. קל לבדוק כי הפעולה קיבוצית בהתבסס על הקיבוציות של הפעולה ב- X. איבר היחידה ב-(,(X) P) הוא {e}. האיברים ההפיכים במונואיד הן הקבוצות מהצורה {a} עבור a הפיך ב- X (ההופכי הוא } 1.({a אכן, נניח כי (X) A P הפיך. לכן קיימת (X) B P כך שלכל a A, b B מתקיים.ab = e נראה כי = 1. B אחרת קיימים לפחות שני איברים b 1, b 2 B ומתקיים,b 1 a = ab 1 = ab 2 = b 2 a = e ולכן מיחידות ההופכי של a נקבל. A באופן סימטרי = 1.b 1 = b 2 הגדרה 2.12. חבורה (group),g), (e היא מונואיד שבו כל איבר הוא הפיך. לפי ההגדרה לעיל על מנת להוכיח שמערכת אלגברית היא חבורה צריך להראות: א. סגירות הפעולה. ב. קיבוציות הפעולה. ג. קיום איבר יחידה. ד. כל איבר הוא הפיך. כמו כן מתקיים: חבורה מונואיד אגודה. דוגמה 2.13. (עבור קבוצה סופית אחת הדרכים להגדיר פעולה בינארית היא בעזרת לוח כפל.) למשל, אם {b S =,a} ונגדיר a b a a b b b a אז קל לראות שמתקיימת סגירות, אסוציאטיביות, a הוא יחידה ו- b הוא ההופכי של עצמו. למעשה, זוהי החבורה היחידה עם שני איברים (עד כדי שינוי שמות). דוגמה 2.14. קבוצה בעלת איבר אחד ופעולה סגורה היא חבורה. לחבורה זו קוראים החבורה הטריוויאלית. דוגמה 2.15. C,N,Z,Q,R חבורות ביחס לחיבור. מה קורה עם כפל? (כל שדה הוא חבורה חיבורית ומונואיד כפלי). 10

דוגמה 2.16. לכל n Z מתקיים כי (+ (nz, היא חבורה שאיבר היחידה בה הוא 0. בכתיב חיבורי מקובל לסמן את האיבר ההופכי של a בסימון a. כתיב זה מתלכד עם המושג המוכר של מספר נגדי ביחס לחיבור. דוגמה 2.17. נסתכל על אוסף מחלקות השקילות מודולו n, שמקובל לסמן = n Z Z}.Z/nZ = {[a] a למשל [3]}, [2], [1], {[0] = 4.Z לפעמים מסמנים את מחלקת השקילות [a] בסימון a, ולעיתים כאשר ברור ההקשר פשוט a. כזכור [b [a]+[b] = a] + כאשר באגף שמאל הסימן + הוא פעולה בינארית הפועלת על אוסף מחלקות השקילות (a הוא נציג של מחלקת שקילות אחת ו- b הוא נציג של מחלקת שקילות אחרת) ובאגף ימין זו פעולת החיבור הרגילה של מספרים (שלאחריה מסתכלים על מחלקת השקילות שבה a + b נמצא). אפשר לראות כי (+, n Z) היא חבורה אבלית. נבחר נציגים למחלקות השקילות [0] + [a] = [0 + a] = [a] איבר היחידה הוא [0] (הרי.Z n = {[0], [1],..., [n 1]} לכל [a]). קיבוציות הפעולה והאבליות נובעות מהקיבוציות והאבליות של פעולת החיבור הרגילה. האיבר ההופכי של [a] הוא [a n]. מה ניתן לומר לגבי (, n Z)? ישנה סגירות, ישנה קיבוציות וישנו איבר יחידה [1]. אך זו לא חבורה כי ל-[ 0 ] אין הופכי. נסמן {[0]} \ n.z n = Z האם ) n, (Z חבורה? לא בהכרח. למשל עבור 6 Z נקבל כי [0] = [6] = [3].[2] לפי ההגדרה 6 Z /,[0] ולכן הפעולה ב-(,n Z) אינה בהכרח סגורה (כלומר אפילו לא אגודה). בהמשך נראה איך אפשר "להציל" את הכפל. הגדרה 2.18 (חבורת האיברים ההפיכים). יהי M מונואיד ויהיו,a b M זוג איברים. אם,a b הם הפיכים, אזי גם a b הוא הפיך במונואיד. אכן, האיבר ההופכי הוא 1 a.(a b) 1 = b 1 לכן אוסף כל האיברים ההפיכים במונואיד מהווה קבוצה סגורה ביחס לפעולה. כמו כן האוסף הנ"ל מכיל את איבר היחידה, וכל איבר בו הוא הפיך. מסקנה מיידית היא שאוסף האיברים ההפיכים במונואיד מהווה חבורה ביחס לפעולה המצומצמת. נסמן חבורה זו ב-( U(M (קיצור של.(Units הערה 2.19. מתקיים U(M) = M אם ורק אם M היא חבורה. הגדרה 2.20. המערכת (,(R) M) n של מטריצות ממשיות בגודל n n עם כפל מטריצות היא מונואיד. לחבורת ההפיכים שלו U(M n (R)) = GL n (R) = {A M n (R) det A 0} קוראים החבורה הלינארית הכללית (ממעלה n) מעל.(group Linear General) R אתגר נסמן ב-( MN F) את אוסף המטריצות האינסופיות מעל השדה F שבכל שורה ובכל עמודה יש להן רק מספר סופי של איברים ששונה מאפס. הוכיחו שפעולת הכפל הופכת את ) F) MN למונואיד שאינו חבורה (צריך להראות גם סגירות לפעולה!). הראו שבמקרה זה יש הבדל בין הפיכות משמאל להפיכות מימין. 11

3 חבורות אבליות הגדרה 3.1. נאמר כי פעולה דו מקומית : G G G היא אבלית (או חילופית, (G, ) אם.a b = b a מתקיים a, b G אם לכל שני איברים (commutative חבורה והפעולה היא אבלית, נאמר כי G היא חבורה אבלית (או חילופית). המושג נקרא על שמו של נילס הנריק א בּ ל Abel).(Niels Henrik דוגמה.3.2 יהי F שדה. החבורה ) ), (F (GL n אינה אבלית עבור > 1.n דוגמה 3.3. מרחב וקטורי V יחד עם פעולת חיבור וקטורים הרגילה הוא חבורה אבלית. תרגיל.3.4 תהי G חבורה. הוכיחו שאם לכל x G מתקיים = 1 2,x אזי G היא חבורה אבלית. הוכחה. מן הנתון מתקיים לכל a, b G כי = 1 2.(ab) 2 = a 2 = b לכן abab = (ab) 2 = 1 = 1 1 = a 2 b 2 = aabb נכפיל את השיוויון לעיל מצד שמאל בהופכי של a ומצד ימין בהופכי של b, ונקבל.ba = ab זה מתקיים לכל זוג איברים, ולכן G חבורה אבלית. הערה 3.5. אמנם אנחנו רגילים מהעבר שפעולות הן בדרך כלל חילופיות, אך יש פעולות משמעותיות מאוד שאינן חילופיות (כגון כפל מטריצות והרכבת פונקציות). אחת מהמטרות בתורת החבורות היא להבין את אותן פעולות. ככלל, הפעולות בהן נדון תהינה תמיד קיבוציות (חלק מהגדרת חבורה), אך לא בהכרח חילופיות. הגדרה.3.6 תהי G חבורה. נאמר ששני איברים a, b G מתחלפים אם.ab = ba נגדיר את המ ר כּ ז של חבורה G להיות Z(G) = {g G h G, gh = hg} דהיינו זהו האוסף של כל האיברים ב- G שמתחלפים עם כל איברי G. דוגמה 3.7. חבורה G היא אבלית אם ורק אם.Z(G) = G האם אתם יכולים להראות שבהנתן חבורה G, אז גם Z(G) היא חבורה? 4 תת חבורות הגדרה 4.1. תהי G חבורה. תת קבוצה H G נקראת תת חבורה של G אם היא חבורה ביחס לאותה פעולה (באופן יותר מדויק, ביחס לפעולה המושרית מ- G ). במקרה כזה נסמן.H G בפועל מה שצריך לבדוק כדי להוכיח ש- G H: 12

תת הקבוצה H לא ריקה (בדרך כלל קל להראות e). H סגירות לפעולה: לכל a, b H מתקיים.ab H סגירות להופכי: לכל a H מתקיים.a 1 H H = 1 a b 0 1 c 0 0 1 דוגמה 4.2. נוכיח שקבוצת המטריצות a, b, c R היא תת חבורה של (R).GL 3 H). ולכן גם של G איבר היחידה של (שהיא I 3 H כי ברור ש- H 1 a b 0 1 c 0 0 1 1 a b 0 1 c 0 0 1 יש סגירות לפעולה כי לכל זוג איברים 1 a + a b + b + ac = 0 1 c + c H 0 0 1 אפשר לראות שהמטריצות ב- H הפיכות לפי הדטרמיננטה, אבל זה לא מספיק! צריך גם להראות שהמטריצה ההופכית נמצאת ב- H בעצמה. אמנם, 1 a b 0 1 c 0 0 1 1 = 1 a ac b 0 1 c 0 0 1 H לחבורה זאת (ודומותיה) קוראים חבורת הייזנברג. דוגמה.4.3 ) (F.SL n (F ) = {A GL n (F ) det A = 1} GL n קוראים לה החבורה הלינארית המיוחדת מדרגה n מעל F. דוגמה 4.4. לכל חבורה G מתקיים כי.Z(G) G 5 חבורת אוילר ומציאת הופכי הגדרה 5.1. נגדיר את חבורת אוילר (Euler) להיות (, n U n = U(Z לגבי פעולת הכפל מודולו n. 13

דוגמה 5.2. נבנה את לוח הכפל של Z 6 (בהתעלם מ-[ 0 ] שתמיד יתן במכפלה [0]): 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 4 0 2 4 3 3 0 3 0 3 4 4 2 0 4 2 5 5 4 3 2 1 האיברים ההפיכים הם אלו שמופיע עבורם 1 (הפעולה חילופית ולכן מספיק לבדוק רק עמודות או רק שורות). כלומר {[5], [1]} = 6 U. במקרה זה [5] הוא ההופכי של עצמו. טענה 5.3 (בהרצאה). יהי.m Z אז [m] U n אם ורק אם = 1 m).(n, כלומר, ההפיכים במונואיד (, n Z) הם כל האיברים הזרים ל- n. יש לנו דרך למצוא את ההופכי של m: ראינו שקיימים,s t כך ש- 1 = tm.sn + אם נחשב מודולו n נקבל 1 tm כלומר ש- t m 1 = ב-(, n Z). קיבלנו שההופכי הוא המקדם המתאים בצירוף של הממ"מ. הערה.5.4 אם p הוא מספר ראשוני, אז.U p = Z p דוגמה.5.5 11} {1, 5, 7, = 12.U דוגמה 5.6. לא קיים ל- 5 הופכי כפלי ב- Z, 10 שכן אחרת 5 היה זר ל- 10 וזו סתירה. תרגיל.5.7 מצאו x Z 0 כך ש-( 234.61x 1 (mod פתרון. לפי הנתון, קיים k Z כך ש- 1 234k 61x. + זאת אומרת ש- 1 הוא צירוף לינארי (מינימלי במקרה זה) של 61 ו- 234. לפי איפיון ממ"מ קיבלנו כי = 1 (61,234). כלומר,k x הם המקדמים מן המשפט של איפיון הממ"מ כצירוף לינארי מזערי. בדוגמה 1.13 ראינו כי 61 23 234 6 =.1 לכן 234) x 23 (mod הוא ההופכי, וכדי להבטיח כי x אינו שלילי נבחר = 211 x. 6 חבורות ציקליות הגדרה 6.1. תהי G חבורה, ויהי a. G תת החבורה הנוצרת על ידי a היא = a. { a k k Z } הגדרה 6.2. תהי G חבורה ויהי a. G אם a G = נאמר כי G חבורה ציקלית ושהיא נוצרת על ידי a. כלומר כל איבר ב- G הוא חזקה (חיובית או שלילית) של היוצר a. דוגמה 6.3. רשימה של כמה תת חבורות ציקליות: א. Z נוצרת על ידי 1. שימו לב שהיוצר לא חייב להיות יחיד. למשל גם 1 הוא יוצר. 14

a = a0 = I, a, a 2 = 1 0 2 0 1 0 0 0 1 1 0 1..., a 1 = 0 1 0 0 0 1 1 0 k = 0 1 0 k Z 0 0 1 ב. n.nz = ג. 5 = 1 = 6.Z ד. 3 = 1} = 4 = 7, 3 3 = 9, 3 2 {3, 3 = 10.U ) ה. עבור (R),a = GL 3 ( 1 0 1 0 1 0 0 0 1,..., a n =, a 2 = 1 0 n 0 1 0,... 0 0 1 1 0 2 0 1 0,..., a n,... 0 0 1 7 סדר של חבורה וסדר של איבר הגדרה 7.1. הסדר של חבורה G הוא עוצמתה כקבוצה, ומסומן G. גשמיות, כמה איברים יש בחבורה. במילים יותר דוגמה.7.2 =, Z. Z n = n הגדרה.7.3 פונקציית אוילר מוגדרת לפי n.φ(n) = U סופרת כמה מספרים קטנים וזרים ל- n : לפי טענה 5.3 נסיק שהיא φ(n) = {a 0 a < n, (a, n) = 1} דוגמה 7.4. עבור p ראשוני, אנחנו כבר יודעים ש- 1 p.φ(p) = ניתן להראות (בהרצאה) כי לכל ראשוני p ולכל k טבעי, k 1,φ(p k ) = p k p כמו כן, בתרגיל הבית תוכיחו כי = 1 b) (a, אם ורק אם φ(a)φ(b).φ(ab) ) = ( ).φ(n) = n (1 1p1 1 1 p n n = p α 1 אז 1 p αn מכאן מתקבלת ההכללה: יהי n למשל כדי לחשב את 60, U נזכר כי 5 3 2 = 2 60 ולכן ( φ(60) = 60 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) = 16 2 3 5 15

הגדרה.7.5 יהי a G איבר בחבורה. הסדר של a הוא e}.o(a) = min {n N a n = אם לא קיים כזה, נאמר שהסדר הוא אינסוף. בכל חבורה הסדר של איבר היחידה הוא 1, וזהו האיבר היחיד מסדר 1. דוגמה.7.6 בחבורה.o(1) = 1, o(5) = 2,U 6 דוגמה.7.7 בחבורה.o (1) = o (5) = 6,o (3) = 2,o (2) = o (4) = 3,Z 6 דוגמה.7.8 בחבורה (R) GL 2 נבחר את ) 1 1 0 1 ( =.b נראה ש- 3 = o(b) כי ( ) ( ) ( ) b 1 0 1 = I 2, b 2 1 1 = I 2, b 3 1 0 = = I 2 1 1 1 0 0 1 טענה.7.9 תהי G חבורה, ויהי.a G מתקיים a n = e אם ורק אם.o (a) n טענה.7.10 תהי G חבורה. יהיו a, b G מסדר סופי כך ש- ba ab = וגם = b a b ותת החבורה הנוצרת על ידי a החיתוך בין תת החבורה הנוצרת על ידי (כלומר {e} היא טריוויאלית). אז o(b)].o (ab) = [o(a), דוגמה.7.11 עבור G = H 1 H 2 והאיברים a H 1 ו- b H 2 הסדר של (a, b) G הוא o(b)].[o(a), הרי ) 2 (a, e מתחלף עם b) (e 1, ו-= } G (a, e 2 ) (e 1, b) = {e.(e 1, e 2 ) הוכחה. נסמן o(a) n = ו-( o(b m. = נראה ש-( o(ab מחלק את [m,n]: (ab) [n,m] = a [n,m] b [n,m] = e e כי ab = ba ו- m n, מחלקים את m].[n, לפי טענה 7.9 קיבלנו m].o(ab) [n, מצד שני, כדי להוכיח מינימליות, אם,(ab) t = e אז.a t = b t לכן a t, b t a b = e כלומר n t וגם,m t ולכן.[n, m] t כלומר o(b)].o (ab) = [o(a), משפט 7.12. הסדר של איבר x שווה לסדר תת החבורה שהוא יוצר, כלומר ל- x. בפרט, נניח G חבורה מסדר n, אז G היא ציקלית אם ורק אם קיים איבר מסדר n. דוגמה 7.13. ב- U 8 קל לבדוק ש- 2 = (7)o (3)o = (5)o = ולכן החבורה אינה ציקלית. תרגיל.7.14 האם Z n Z n היא ציקלית? פתרון. הסדר של החבורה הוא n. 2 על מנת שהיא תהיה ציקלית יש למצוא איבר שהסדר שלו הוא.n 2 אולם לכל (a, b) Z n Z n מתקיים: 0) (0, = nb) n(a, b) = (na, ולכן הסדר של כל איבר קטן או שווה ל- n. כלומר Z n Z n לא ציקלית עבור > 1 n. תרגיל 7.15. תהי G חבורה אבלית. הוכיחו שאוסף האיברים מסדר סופי, שנסמן T (עבור,(torsion הוא תת חבורה. 16

פתרון. נוכיח את התנאים הדרושים לתת חבורה:.o(e) שהרי = 1,e T כי T סגירות לפעולה: יהיו.a, b T אז יש n, m טבעיים כך ש- e.a n = b m = אזי:.(ab) nm = a nm b nm = (a n ) m (b m ) n = e m e n = e (שימו לב לשימוש בחילופיות!) סגירות להופכי: יהי.a T יש n כך ש- e,a n = אז a a n 1 = e לכן 1 n a 1 = a וכבר ראינו שיש סגירות לפעולה. תרגיל 7.16. תהי G חבורה ויהיו,a b G מסדר סופי. האם גם ab בהכרח מסדר סופי? פתרון. אם G אבלית, אז ראינו שזה נכון בתרגיל 7.15. כמו כן, אם G סופית, נקבל כי T. = G באופן כללי, התשובה היא לא. הנה דוגמה נגדית: נבחר את (R),GL 2 ונתבונן באיברים ( ) ( ) 0 1 0 1 a =, b = 1 0 1 1 ( ) 1 1 ניתן לבדוק שמתקיים:.a 4 = b 3 = I אולם = ab אינו מסדר סופי כי 0 1 ( ).(ab) n 1 n = 0 1 טענה 7.17. מספר תכונות של הסדר: א. בחבורה סופית הסדר של כל איבר הוא סופי. ב. אם G חבורה ציקלית סופית מסדר n אז לכל g G מתקיים g. n = e ג. o(a).o(a i ) למעשה ) o(a) o(a i (בהמשך). ד. ) 1 o(a. o(a) = פתרון. נוכיח את הסעיף האחרון, לפי שני שני מקרים: מקרה.1 נניח < n.o(a) = לכן.a n = e ראשית, e = e n = (a 1 a) n = (a 1 ) n a n = (a 1 ) n e = (a 1 ) n כאשר המעבר מבוסס על כך ש- a ו- 1 a מתחלפים (הרי (ab) n a n b n באופן כללי). הוכחנו ש- e,(a 1 ) n = ולכן (a).o(a 1 ) n = o כעת, צריך להוכיח את אי-השוויון השני. אם נחליף את a ב- 1 a, נקבל ) 1 o(a.o(a) = o ((a 1 ) 1 ) לכן יש שוויון. 17

מקרה.2 נניח =,o(a) ונניח בשלילה < ) 1.o(a לפי המקרה הראשון,.o(a 1 ) = וקיבלנו סתירה. לכן,o(a) = o(a 1 ) < במילים, הסדר של איבר הוא סדר אזי a o. (a) = הערה 7.18. יהי a. G תת החבורה שהוא יוצר. תרגיל 7.19 (מההרצאה). תהי G חבורה, ויהי.a G נניח < n.o (a) = הוכיחו שלכל d n טבעי, o ( a d) = n (d, n) = o (a) (d, o (a)) ( a d ) n (d,n) הוכחה. תחילה נוכיח היתכנות: נשים לב כי = (a n ) d (d,n) d (הפעולות שעשינו חוקיות, כי Z ). (d, n) ( a d) t, כלומר.a dt = e לפי טענה,7.9.n dt לכן, ( ) כעת נוכיח את המינימליות: נניח = e n. (d, n), d n dt (שניהם מספרים שלמים מדוע?). מצד שני, = 1 (d, n) גם n) (d, n) (d, n לפי תרגיל 1.11 נקבל t, כמו שרצינו. (d, n) תרגיל 7.20. תהי G חבורה ציקלית מסדר n. כמה איברים ב- G יוצרים (לבדם) את?G G = a k o ( a k) = n n (k, n) = e פתרון. נניח כי a G. = אזי = n (k, n) = 1 לכן, מספר האיברים היוצרים את G הוא n U. כלומר בדיוק.φ(n) 8 תת חבורה הנוצרת על ידי איברים הגדרה 8.1. תהי G חבורה ותהי S G תת קבוצה לא ריקה איברים ב- G (שימו לב ש- S אינה בהכרח תת חבורה של G). תת החבורה הנוצרת על ידי S הינה תת החבורה המינימלית המכילה את S ונסמנה S. אם S G = אז נאמר ש- G נוצרת על ידי S. עבור קבוצה סופית של איברים, נכתוב בקיצור k. x 1,..., x הגדרה זו מהווה הכללה להגדרה של חבורה ציקלית. חבורה היא ציקלית אם היא נוצרת על ידי איבר אחד. 18

דוגמה.8.2 ניקח Z 3} {2, ואת 3 2, =.H נוכיח H = Z בעזרת הכלה דו כיוונית. H תת חבורה של Z, ובפרט H. Z כיוון ש- H 2 אזי גם H ( 2) ומכאן ש- H 1 = 3 +.( 2) כלומר איבר היחידה, שהוא יוצר של,Z מוכל ב- H. לכן,Z = 1 H כלומר.Z H נסיק.H = Z דוגמה.8.3 אם ניקח Z 6},{4, אז נקבל: Z} {4n + 6m : m, n = 6. 4, נטען ש- 2Z = gcd (4, 6) Z = 6 4, (כלומר תת חבורה של השלמים המכילה רק את המספרים הזוגיים). נוכיח על ידי הכלה דו כיוונית, :( ) ברור ש- 6n 2 4m + ולכן 2Z 6. 4, :( ) יהי.2k 2Z אזי 6 4, 6k.2k = 4 ( k) + לכן מתקיים גם: 2Z. 4, 6 דוגמה 8.4. בדומה לדוגמה האחרונה, במקרה שהחבורה אבלית, קל יותר לתאר את תת החבורה הנוצרת על ידי קבוצת איברים. למשל אם ניקח שני יוצרים,a b G נקבל: Z}. a, b = {a i b j i, j בזכות החילופיות, ניתן לסדר את כל ה- a -ים יחד וכל ה- b -ים יחד. למשל abaaab 1 bbba 1 a = a 4 b 3 באופן כללי, בחבורה אבלית מתקיים: a 1,..., a n = { a k 1 1... a kn n 1 i n, ki Z } דוגמה 8.5. נוח לעיתים לחשוב על איברי A בתור קבוצת "המילים" שניתן לכתוב באמצעות האותיות בקבוצה A. מגדירים את האלפבית שלנו להיות 1 A A כאשר {A A. 1 = a} 1 a מילה היא סדרה סופית של אותיות מן האלפבית, והמילה הריקה מייצגת את איבר היחידה ב- G. (אם יש זמן: להציג את F.) n הגדרה 8.6. חבורה G תקרא נוצרת סופית, אם קיימת לה קבוצת יוצרים סופית. כלומר קיימים מספר סופי של איברים a 1,..., a n G כך ש- G. a 1,..., a n = מסקנה 8.7. כל חבורה סופית נוצרת סופית. דוגמה 8.8. כל חבורה ציקלית נוצרת סופית (מהגדרה). לכן יש חבורות אינסופיות כמו Z. Z =,1),(0,0) (1 שנוצרות סופית. האם יש עוד חבורות כאלו? כן, למשל Z (אם יש זמן: גם F 2 נוצרת סופית על ידי שני איברים, אבל היא לא אבלית.) 8.1 חבורת שורשי היחידה דוגמה 8.9. קבוצת שורשי היחידה מסדר n מעל C היא { Ω n = {z C z n = 1} = cis 2πk } n k = 0, 1,..., n 1,ω n = cis 2π n נקבל n.ω n = ω כלומר Ω n היא זו תת חבורה של C. אם נסמן תת חבורה ציקלית ונוצרת על ידי ω. n מפני ש- Ω n מסדר n וציקלית, אז בהכרח.Ω n = Zn 19

=.Ω הוכיחו: תרגיל 8.10. נגדיר את קבוצת שורשי היחידה Ω n n=1 א. Ω היא חבורה לגבי כפל. (איחוד חבורות הוא לא בהכרח חבורה!) ב. לכל Ω o (x) <,x (כלומר: כל איבר ב- Ω הוא מסדר סופי). ג. Ω אינה ציקלית. לחבורה כזו, שבה כל איבר הוא מסדר סופי, קוראים חבורה מפותלת. פתרון. לכן א. נוכיח שהיא חבורה על ידי זה שנוכיח שהיא תת חבורה של C. ראינו בתרגיל 7.15 שתת חבורת הפיתול של חבורה אבלית היא תת חבורה. לפי הגדרת Ω, רואים שהיא מכילה בדיוק את כל האיברים מסדר סופי של החבורה האבלית C, ולכן חבורה. באופן מפורש ולפי הגדרה: ברור כי Ω 1, ולכן היא לא ריקה. יהיו 2 g 1, g l, k Z נכתוב עבור.g 2 Ω n,g 1 Ω m שעבורם m, n לכן קיימים.Ω מתאימים: g 1 = cis 2πk m, g 2 = cis 2πl n g 1 g 2 = cis 2πk ( 2πk m cis2πl n = cis m + 2πl ) n ( ) 2π (kn + lm) = cis Ω mn Ω mn סגירות להופכי היא ברורה, שהרי אם,g Ω n אז גם Ω.g 1 Ω n (אם יש זמן: לדבר שאיחוד של שרשרת חבורות, ובאופן כללי יותר, איחוד רשת של חבורות, היא חבורה.) ב. לכל Ω x קיים n שעבורו.x Ω n לכן,.o (x) n ג. לפי הסעיף הקודם, כל תת החבורות הציקליות של Ω הן סופיות. אך Ω אינסופית, ולכן לא ייתכן שהיא שווה לאחת מהן. תרגיל 8.11. הוכיחו שהחבורות הבאות לא נוצרות סופית א. חבורת שורשי היחידה Ω. 20 ב. +) (R), (M 3 ג. ), (Q

פתרון. א. בעוד ש- Ω היא אינסופית, נראה שכל תת החבורה הנוצרת על ידי מספר סופי של איברים מ- Ω היא סופית. יהיו a 1,..., a k שורשי יחידה מסדרים n 1,..., n k בהתאמה. אז a 1,..., a k = { a i 1 1... a i k k 0 ij n j, 1 j k } מפני ש- Ω היא אבלית. לכן יש מספר סופי (החסום מלמעלה במכפלה n) 1 n k של איברים ב-. a 1,..., a k לכן Ω אינה נוצרת סופית. ב. אפשר להוכיח זאת בעזרת שיקולי עוצמה. כל חבורה נוצרת סופית היא סופית או בת מנייה (אוסף המילים הסופיות על אלפבית סופי הוא בן מנייה), ואילו (R) M 3 אינה בת מניה. Q = a1,..., a n = b 1 b n { (a1 ) k1... b 1 ( an b n ) kn ג. נניח בשלילה כי } 1 i n, k i Z אז קל לראות שהגורמים הראשוניים במכנה של כל איבר מוגבלים לקבוצת הגורמים הראשוניים שמופיעים בפירוק של המכפלה b. 1 b n אך זו קבוצה סופית, ולכן לא ניתן לקבל את כל השברים ב- Q, כלומר סתירה. 9 החבורה הסימטרית (על קצה המזלג) הגדרה 9.1. החבורה הסימטרית מדרגה n היא S n = {σ : {1, 2,..., n} {1, 2,..., n} σ is bijective} זהו אוסף כל ההעתקות החח"ע ועל מהקבוצה {n,...,2,1} לעצמה, ובמילים אחרות אוסף כל שינויי הסדר של המספרים {n S n,1}.,2..., היא חבורה עם הפעולה של הרכבת פונקציות. איבר היחידה הוא פונקציית הזהות. כל איבר של S n נקרא תמורה. הערה 9.2 (אם יש זמן). החבורה S n היא בדיוק חבורת ההפיכים במונואיד X X עם פעולת ההרכבה, כאשר n}.x = {1, 2,..., דוגמה.9.3 ניקח לדוגמה את.S 3 איבר σ S 3 הוא מהצורה σ (2) = j,σ (1) = i ו- k,σ (3) = כאשר 3} {1, 2, k i, j, שונים זה מזה. נסמן בקיצור ( ) 1 2 3 σ = i j k נכתוב במפורש את כל האיברים ב- S: 3 21

( ) 1 2 3.id = 1 2 3 ( ) 1 2 3.τ = 2 1 3 ( ) 1 2 3.σ = 2 3 1 ( ).σ 2 1 2 3 = σ σ = 3 1 2 ( ) 1 2 3.στ = σ τ = 3 2 1 ( ) 1 2 3.τσ = τ σ = 1 3 2 א. ב. ג. ד. ה. ו. מסקנה 9.4. נשים לב ש- S 3 אינה אבלית, כי.στ τσ מכאן גם קל לראות ש- S n אינה ציקלית לכל 3 n, כי היא לא אבלית. הערה 9.5. הסדר הוא!n S. n = אכן, מספר האפשרויות לבחור את (1) σ הוא n; אחר כך, מספר האפשרויות לבחור את (2) σ הוא 1 n; כך ממשיכים, עד שמספר האפשרויות לבחור את (n) σ הוא 1, האיבר האחרון שלא בחרנו. בסך הכל, = n S.n (n 1) 1 = n! הגדרה 9.6. מחזור (או עגיל) ב- S n הוא תמורה המציינת מעגל אחד של החלפות של מספרים שונים: a 1 a 2 a 3 a k a 1 (ושאר המספרים נשלחים לעצמם). כותבים את התמורה הזו בקיצור ) k.(a 1 a 2... a האורך של המחזור ) k (a 1 a 2... a הוא k. ( ) 1 2 3 4 5. דוגמה 9.7. ב- S, 5 המחזור (2 4) 5 מציין את התמורה 1 4 3 5 2 משפט 9.8. כל תמורה ניתנת לכתיבה באופן יחיד כהרכבת מחזורים זרים, כאשר הכוונה ב"מחזורים זרים" היא מחזורים שאין לאף זוג מהם איבר משותף. הערה 9.9. שימו לב שמחזורים זרים מתחלפים זה עם זה (מדוע?), ולכן חישובים עם מחזורים יהיו לעיתים קלים יותר מאשר חישובים עם התמורה עצמה. 22

( ) 1 2 3 4 5 6 7 =.σ כדי דוגמה 9.10. נסתכל על התמורה הבאה ב- S: 7 4 7 3 1 5 2 6 לכתוב אותה כמכפלת מחזורים זרים, לוקחים מספר, ומתחילים לעבור על המחזור המתחיל בו. למשל: 1 4 1 אז בכתיבה על ידי מחזורים יהיה לנו את המחזור (4 1). כעת ממשיכים כך, ומתחילים ממספר אחר: 2 7 6 2 אז נקבל את המחזור (6 2) 7 בכתיבה. נשים לב ששאר המספרים הולכים לעצמם, כלומר 3,3 5,5 ולכן σ = (1 4) (2 7 6) נחשב את σ. 2 אפשר ללכת לפי ההגדרה, לעבור על כל מספר ולבדוק לאן σ 2 תשלח אותו; אבל, כיוון שמחזורים זרים מתחלפים, נקבל σ 2 = ((1 4) (2 7 6)) 2 = (1 4) 2 (2 7 6) 2 = (2 6 7) 9.1 סדר של איברים בחבורה הסימטרית תרגיל.9.11 יהי σ S n מחזור מאורך.k מצאו את (σ).o פתרון. נסמן ) k 1.σ = (a 0 a 1... a נוכיח כי.o (σ) = k מתקיים ש- σ k (a 0 ) = a i mod k (שימו לב, האינדקס מודולו k מאפשר לנו לעבוד בטווח 1} k,... 1,.({0, ראשית, ברור כי :σ k = id לכל a i מתקיים σ k (a i ) = σ k 1 (a i+1 ) = = σ (a i 1 ) = a i ולכל σ k (m) = m,m a i (כי.(σ (m) = m נותר להוכיח מינימליות. אבל אם.σ l id כלומר,σ l (a 0 ) = a l אז a 0,l < k טענה 9.12 (תזכורת). תהי G חבורה. יהיו a, b G כך ש- ba ab = וגם, a b = e אז o(b)].o (ab) = [o(a), מסקנה 9.13. סדר מכפלות מחזורים זרים ב- S n הוא הכמ"מ (lcm) של אורכי המחזורים. דוגמה 9.14. הסדר של (56) (193) הוא 6 והסדר של (56) (1234) הוא 4. תרגיל 9.15. מצאו תת חבורה מסדר 45 ב- S. 15 פתרון. נמצא תמורה מסדר 45 ב- S. 15 נתבונן באיבר σ = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) (10, 11, 12, 13, 14) ונשים לב כי = 45 5] [9, = (σ).o כעת, מכיוון שסדר האיבר שווה לסדר תת החבורה שאיבר זה יוצר, נסיק שתת החבורה σ עונה על הדרוש. 23

שאלה 9.16. האם קיים איבר מסדר 39 ב- S? 15 פתרון. לא. זאת מכיוון שאיבר מסדר 39 לא יכול להתקבל כמכפלת מחזורים זרים ב-.S 15 אמנם ניתן לקבל את הסדר 39 כמכפלת מחזורים זרים, האחד מאורך 13 והאחר מאורך, 3 אבל = 16 3 13 + ולכן, זה בלתי אפשרי ב-.S 15 9.2 הצגת מחזור כמכפלת חילופים הגדרה 9.17. מחזור מסדר 2 ב- S n נקרא חילוף. טענה.9.18 כל מחזור ) r (a 1, a 2,..., a ניתן לרשום כמכפלת חילופים (a 1, a 2,..., a r ) = (a 1, a 2 ) (a 2, a 3 )... (a r 1, a r ) S n = {(i, j) 1 i, j n} הסיקו ש- S n גם נוצרת על ידי n}}.{(1, j) j {2,..., האם אפשר על ידי פחות איברים? לכן: תרגיל.9.19 כמה מחזורים מאורך r n 2 יש בחבורה?S n ( n אפשרויות כאלה. r) פתרון. זו שאלה קומבינטורית. בוחרים r מספרים מתוך n ויש כעת יש לסדר את r המספרים ב-! r דרכים שונות. אבל ספרנו יותר מידי אפשרויות, כי יש r מחזורים זהים, שהרי (a 1,..., a r ) = (a 2,..., a r, a 1 ) = = (a r, a 1,..., a r 1 ) לכן נחלק את המספר הכולל ב- r. נקבל שמספר המחזורים מאורך r ב- S n הינו. ( n r) (r 1)! תרגיל 9.20. מה הם הסדרים האפשריים לאיברי S? 4 פתרון. ב- S 4 הסדרים האפשריים הם: א. סדר - 1 רק איבר היחידה. ב. סדר - 2 חילופים (j,i) או מכפלה של שני חילופים זרים, למשל (34) (12). ג. סדר - 3 מחזורים מאורך 3, למשל (243). ד. סדר - 4 מחזורים מאורך 4, למשל (2431). וזהו! כלומר הצלחנו למיין בצורה פשוטה ונוחה את כל הסדרים האפשריים ב- S. 4 תרגיל 9.21. מה הם הסדרים האפשריים לאיברי S? 5 24

פתרון. ב- S 5 הסדרים האפשריים הם: א. סדר - 1 רק איבר היחידה. ב. סדר - 2 חילופים (j,i) או מכפלה של שני חילופים זרים. ג. סדר - 3 מחזורים מאורך 3. ד. סדר - 4 מחזורים מאורך 4. ה. סדר - 5 מחזורים מאורך 5. ו. סדר - 6 מכפלה של חילוף ומחזור מאורך 3, למשל (54) (231). וזהו! שימו לב שב- S n יש איברים מסדר שגדול מ- n עבור 5 n. 10 מחלקות שמאליות וימניות הגדרה.10.1 תהי G חבורה, ותהי.H G לכל a G נגדיר מחלקות :(cosets) א. המחלקה השמאלית של a ביחס ל- H היא הקבוצה {H.aH = {ah h ב. המחלקה הימנית של a ביחס ל- H היא הקבוצה {H.Ha = {ha h את אוסף המחלקות השמאליות ביחס ל- H נסמן ב- G/H. (למה זה בכלל מעניין להגדיר את האוסף זה? בעתיד נראה שכאשר H תת חבורה "מספיק טובה" (נקראת נורמלית), אז אוסף המחלקות יחד עם פעולה שמושרית מ- G יוצרים חבורה.) הערה.10.2 עבור איבר היחידה e G תמיד מתקיים.eH = H = He אם החבורה G היא אבלית, אז המחלקה השמאלית של a ביחס ל- H שווה למחלקה הימנית: ah = {ah h H} = {ha h H} = Ha תרגיל 10.3. תנו דוגמה לחבורה G, תת חבורה H ואיבר a G כך ש- Ha.aH פתרון. חייבים לבחור חבורה G שאינה אבלית ואיבר Z(G) a. / נבחר G, = S 3 את 2)} (1 {id, H = (1 2) = ואת 3) (1 =.a נחשב (1 3) H = {(1 3) id = (1 3), (1 3) (1 2) = (1 2 3)} H (1 3) = {id (1 3) = (1 3), (1 2) (1 3) = (1 3 2)} 25

נמשיך ונחשב את :G/H המחלקות השמאליות הן id H = {id, (1 2)} = (1 2) H (1 3) H = {(1 3), (1 2 3)} = (1 2 3) H (2 3) H = {(2 3), (1 3 2)} = (1 3 2) H כלומר H}.G/H = {H, (1 3) H, (2 3) נשים לב שאיחוד כל המחלקות הוא,G וזהו איחוד זר. H = {( 1 0 n דוגמה אחרת (אם יש זמן): נבחר (Q),G = GL 2 ותהי Z} n ) 1 ( 5 0 0 =,g ונחשב תת חבורה של G. נבחר ) 1 {( ) ( ) } {( ) } 5 0 1 n gh = 0 1 0 1 n Z 5 5n = 0 1 n Z {( ) ( ) } {( ) } 1 n 5 0 Hg = 0 1 0 1 n Z 5 n = 0 1 n Z וקל לראות כי לא רק ש- Hg,gH אלא גם.gH Hg דוגמה 10.4. ניקח את (+,Z) G, = ונסתכל על המחלקות השמאליות של H: = 5Z 0 + H = H = {..., 10, 5, 0, 5, 10,... } 1 + H = {..., 9, 4, 1, 6, 11,... } 2 + H = {..., 8, 3, 2, 7, 12,... } 3 + H = {..., 7, 2, 3, 8, 13,... } 4 + H = {..., 6, 1, 4, 9, 14,... } 5 + H = {..., 5, 0, 5, 10, 15,... } = H 6 + H = 1 + H 7 + H = 2 + H וכן הלאה. בסך הכל, יש חמש מחלקות שמאליות של 5Z ב- Z, וכך Z/5Z = {H, 1 + H, 2 + H, 3 + H, 4 + H} הערה 10.5. כפי שניתן לראות מהדוגמאות לעיל, המחלקות השמאליות (או הימניות) של תת חבורה H G יוצרות חלוקה של G. למעשה הן מחלקות השקילות של יחס השקילות הבא על G: a H b ah = bh כלומר a H b אם ורק אם קיים h H כך ש- bh a, = וזה נכון אם ורק אם.b 1 a H נסכם זאת במשפט הבא. 26

משפט 10.6 (בהרצאה). תהי G חבורה, תהי H G תת חבורה ויהיו.a, b G אז א. ah = bh אם ורק אם.b 1 a H בפרט ah = H אם ורק אם.a H ב. לכל זוג מחלקות ah ו- bh, או ש- bh ah = או שהן זרות = bh.ah ג. האיחוד של כל המחלקות הוא כל החבורה:, gh = G וזהו איחוד זר. gh G/H הגדרה 10.7. מספר המחלקות (השמאליות) של H ב- G נקרא האינדקס (השמאלי) של.[G : H] = G/H כלומר.[G : H] ומסומן ב- G H הערה 10.8. האינדקס [H G] : הוא מדד לגודל תת החבורה. ככל שהאינדקס קטן יותר, כך תת החבורה H גדולה יותר. בפרט, = 1 [H G] : אם ורק אם H. = G דוגמה 10.9. על פי הדוגמאות שראינו: א. = 3 2) ] (1 : 3 [S ב. = 5 5Z] [Z : ג. G [G : {e}] = הערה 10.10. ישנה התאמה חח"ע ועל בין מחלקות שמאליות של H G ובין מחלקות ימניות לפי 1 Hg.gH ניתן להבין התאמה זאת מכך שכל חבורה סגורה להופכי:.H 1 = H נחשב gh (gh) 1 = { (gh) 1 h H } = { h 1 g 1 h H } = { kg 1 k H } = Hg 1 בפרט קיבלנו שמספר המחלקות השמאליות שווה למספר המחלקות הימניות. לכן אין הבדל בין האינדקס השמאלי לבין האינדקס הימני של תת חבורה, ופשוט נקרא לו האינדקס. בתרגיל הבית תדרשו להתאמה.gH Hg תרגיל.10.11 מצאו חבורה G ותת חבורה H כך ש- = H].[G : פתרון. נביא שתי דוגמאות: א. נבחר G = Z Z ואת {0} Z.H = יהיו a, b Z שונים. אז (0, a) + H = {(n, a) n Z} = {(n, b) n Z} = (0, b) + H ולכן.[G : H] = ℵ 0 ב. נבחר G = R ואת,H = Q ואז מתקיים,[G : H] = ℵ כי העוצמה של ah היא ℵ. שהיא מעוצמה G ואיחוד כל המחלקות הוא ℵ, 0 27

11 משפט לגראנז ושימושים משפט 11.1 (משפט לגראנז ). תהי G חבורה סופית ותהי.H G אז G. H מסקנה 11.2. מכיוון שאנו יודעים כי a o(a) = לכל a, G נקבל שהסדר של כל איבר מחלק את סדר החבורה. הערה 11.3. מהוכחת המשפט נקבל H G. = G] : [H המסקנה הזו נכונה גם לחבורות אינסופיות בחשבון עוצמות, והיא שקולה לאקסיומת הבחירה. תרגיל 11.4. תהא G חבורה מסדר 8. הוכיחו: א. אם G היא ציקלית, אז קיימת תת חבורה של G מסדר 4 (למה ברור כי תת החבורה ציקלית?). ב. אם G לא אבלית, אז עדין קיימת תת חבורה ציקלית של G מסדר 4 (כאן הציקליות של תת החבורה לא ברורה מיידית). ג. מצאו דוגמה נגדית לסעיף הקודם אם G אבלית. פתרון. אם יש זמן בכיתה, נוכל לספר שיש בדיוק חמש חבורות מסדר 8 עד כדי איזומורפיזם (ואפילו מכל סדר p 3 עבור p ראשוני). בפתרון לא נשתמש במיון זה. א. נניח g G = ציקלית מסדר 8 עם יוצר g. אזי קיימת תת החבורה הציקלית שנוצרת על ידי } 6. g 2 = {e, g 2, g 4, g ב. תהא G חבורה לא אבלית. לפי משפט לגראנז, הסדר של כל איבר בחבורה סופית מחלק את סדר החבורה. לכן הסדרים האפשריים היחידים בחבורה מסדר 8 הם 4 2, 1, או 8 (לא בהכרח כל הסדרים משתתפים). יש רק איבר אחד מסדר 1 והוא איבר היחידה. לא ייתכן כי כל שאר האיברים הם מסדר 2, שכן לפי תרגיל שראינו נקבל כי G אבלית. אין בחבורה איבר מסדר 8, שכן אז היא תהיה ציקלית, וכל חבורה ציקלית היא אבלית. מכאן קיים איבר, נאמר a, G שהוא מסדר 4. הסדר של איבר הוא הסדר של תת החבורה הציקלית } 3 {e, a, a 2, a שהוא יוצר. ג. במקרה זה G לא יכולה להיות ציקלית. נבחר את Z. 2 Z 2 Z 2 אפשר לבדוק שהסדר של כל איבר בחבורה זו הוא 2, פרט לאיבר היחידה. לכן אין לה תת חבורה ציקלית מסדר 4. תרגיל 11.5 (אם יש זמן). הכלילו את התרגיל האחרון: תהא G חבורה לא אבלית מסדר 2 t עבור > 2 t. אזי קיימת ב- G תת חבורה ציקלית מסדר 4. 28

פתרון. באופן דומה לשאלה האחרונה, הסדרים האפשריים היחידים בחבורה מסדר 2 t (כאשר > 2 (t הם רק מן הצורה 2 k עבור t}.k {0, 1, 2,..., ישנו רק איבר אחד מסדר 1. הסדר של כל שאר האיברים לא יכול להיות 2, כי אז G אבלית. אין איבר מסדר 2, t שכן אז החבורה ציקלית ולכן אבלית. לכן קיים איבר, נאמר a, G כך ש- 2 > k.o(a) = 2 נתבונן בתת החבורה a ונבחר את האיבר 2 k a. מתקיים o(a 2k 2 ) = 2 k (2 k, 2 k 2 ) = 4 וקיבלנו שזהו האיבר שיוצר את תת החבורה הציקלית הדרושה מסדר 4. תרגיל 11.6. הוכיחו שחבורה סופית היא מסדר זוגי אם ורק אם קיים בה איבר מסדר.2 פתרון. הכיוון ( ) הוא לפי לגראנז, שכן הסדר של האיבר מסדר 2 מחלק את סדר החבורה. את הכיוון ( ) עשיתם בתרגיל בית. נסיק מתרגיל זה שבחבורה מסדר זוגי יש מספר אי זוגי של איברים מסדר 2. מסקנה 11.7. נזכר בטענה ש- o(a) m אם ורק אם a. m = e כעת אפשר להסיק שלכל איבר a בחבורה סופית G מתקיים.a G = e משפט 11.8 (משפט אוילר.(2 לכל a U n מתקיים n).a φ(n) 1 (mod דוגמה.11.9 יהי p מספר ראשוני, ויהי.a U p מתקיים 1 p φ(p) = ולכן 1 p 1 a (p.(mod זהו למעשה משפט פרמה הקטן. (העשרה אם יש זמן: פונקציית קרמייקל (Carmichael) λ(n) מוגדרת להיות המספר הטבעי m הקטן ביותר כך ש-( n a m 1 (mod לכל a שזר ל- n. ממשפט לגראנז נקבל.λ(n) φ(n) נסו למצוא דרך לחשב את,λ(n) ומתי φ(n) (.λ(n) תרגיל 11.10. מצאו את שתי הספרות האחרונות של 8821811. 4039 + 2019 פתרון. אנו נדרשים למצוא את הביטוי מודולו 100, כלומר מספיק לחשב את 8821811 4039 + 2019 11 4039 + 19 (mod 100) אנו יודעים כי = 40 ) 1 1)(1 100(1 =,φ(100) ולפי משפט אוילר נקבל 2 5 11 4039 11 100 40 11 39 11 1 (mod 100) ואנו יודעים כי יש הופכי כפלי ל- 11 מודולו 100 מפני שהם זרים. אנו מחפשים פתרון למשוואה 100) 11x 1 (mod שקיים אם ורק אם קיים k Z כך ש- 1 =.100k+11x 29

אפשר למצוא פתרון למשוואה בעזרת אלגוריתם אוקלידס המורחב. נביע את (11,100) כצירוף לינארי שלהם: (100, 11) 100=9 11+1 = (11, 1) = 1 כלומר 11 9 100 1 =,1 ולכן 100).k = 9 91 (mod קיבלנו 8821811 4039 + 2020 11 1 + 19 10 (mod 100) ולכן שתי הספרות האחרונות הן 10. שאלה 11.11. ראינו מסקנה ממשפט לגראנז : בחבורה סופית G מתקיים לכל איבר g G כי G.o(g) האם הכיוון ההפוך נכון? כלומר, אם G חבורה סופית והמספר m N מחלק את G, האם בהכרח קיים ב- G איבר מסדר m? פתרון. לא בהכרח! דוגמה נגדית: נבחן את החבורה Z. 4 Z 4 סדר החבורה הינו 16 אבל אין בה איבר מסדר 8 או 16. ראינו כבר שהסדר המרבי בחבורה הזאת הוא לכל היותר 4. בנוסף, אילו היה קיים איבר מסדר 16, אזי היא ציקלית, אבל הוכחנו שהחבורה Z n Z n אינה ציקלית עבור > 1.n הערה 11.12. נעיר שבחבורה ציקלית a G = מסדר n N זה כן מתקיים בעזרת נוסחת הקסם שראינו = ) t.o(a n (n,t) 12 פעולה של חבורה על קבוצה ההבדל הבסיסי בין קבוצה לחבורה היא קיומה של פעולה על קבוצה. אנחנו מכירים מקרים בהם ניתן להפעיל פעולה על (x,g) (כאשר g איבר בחבורה ו- x איבר בקבוצה) ולקבל איבר אחר בקבוצה. למשל, אם G = F שדה ו- X = V מרחב וקטורי מעל השדה, אז למרות שלא ניתן להכפיל את איברי V זה בזה, נוכל להכפיל איבר ב- F באיבר של V ולקבל איבר של V. זהו הכפל בסקלר בשדה. הגדרה 12.1. פעולה של חבורה G על קבוצה X היא פעולה בינארית G X X שנסמנה לפי,(g, x) g x המקיימת: א. x) (gh) x = g (h לכל g, h G ו- X.x ב. e x = x לכל.x X הגדרה 12.2 (הגדרה שקולה). פעולה של חבורה G על קבוצה X היא הומומורפיזם.φ: G S X כלומר לכל g נתאים פונקציה חח"ע ועל φ(g): X X ומתקיים.φ(g 1 g 2 ) = φ(g 1 ) φ(g 2 ) דוגמה 12.3. כנראה ראיתם כבר בהרצאה. 30

א. פעולת הכפל משמאל של חבורה על עצמה (זו הפעולה שנראה בהוכחת משפט קיילי). מתי כפל מימין הוא לא פעולה? ב. פעולת ההצמדה של חבורה על עצמה. זו "דוגמה קלאסית" וחשובה שנתעסק בה. ג. הפעולה של S n על ] n F [x 1,..., x בתמורה על האינדקסים של המשתנים. ד. הפעולה של ) (F GL n על.F n הגדרה 12.4. פעולה של חבורה על קבוצה נקראת נאמנה אם האיבר היחידי שפועל טריוויאלית הוא איבר היחידה. באופן שקול, פעולה היא נאמנה אם לכל g h G קיים x X כך ש-.g x h x בהצגה כהומומורפיזם,φ: G S X למעשה דורשים חח"ע. דוגמה 12.5. מהדוגמאות הקודמות: א. נאמנה תמיד. ב. תלוי אם יש איבר Z(G) e, x אז הוא פועל טריוויאלית. ג. נאמנה. ד. נאמנה. הגדרה 12.6. בהנתן פעולה של G על X, המסלול של איבר x X היא תת הקבוצה orb(x) = G x = {g x g G} דוגמה.12.7 עבור פעולת הכפל משמאל.orb(x) = Gx = G דוגמה 12.8. עבור הפעולה של S 4 על פולינומים, נחשב את המסלול של הפולינום :f = x 1 x 2 + x 3 x 4 orb(f) = {f, x 1 x 3 + x 2 x 4, x 1 x 4 + x 2 x 3 } דוגמה 12.9. עבור פעולת ההצמדה, conj(g) orb(g) = נקראת מחלקת צמידות של g. בחבורה אבלית G, אין שני איברים שונים הצמודים זה לזה. הרי אם g ו- h צמודים בחבורה אבלית, אז קיים a G שעבורו h = aga 1 = gaa 1 = g באופן כללי בחבורה כלשהי G, מתקיים (G) g Z אם ורק אם {g}.conj(g) = תרגיל 12.10. תהי G חבורה, ויהי g G מסדר סופי n. הוכיחו: א. אם h G צמוד ל- g, אזי.o (h) = n 31

ב. אם אין עוד איברים ב- G מסדר n, אזי (G) g. Z פתרון. א. g ו- h צמודים, ולכן קיים a G שעבורו 1 aga h. = לפי תרגיל מהשיעורי בית o(h) = o(aga 1 ) = o(a 1 ag) = o(g) ב. יהי h. G לפי הסעיף הראשון, o. (hgh 1 ) = n אבל נתון ש- g הוא האיבר היחיד מסדר n ב- G, ולכן.hgh 1 = g נכפול ב- h מימין, ונקבל ש- gh.hg = הוכחנו שלכל h G מתקיים,hg = gh ולכן (G).g Z הערה 12.11. הכיוון ההפוך בכל סעיף אינו נכון - למשל, בחבורה Z 4 מתקיים = (1) o = 4 (3) o, אבל הם לא צמודים. כמו כן, שניהם במרכז, ולכל אחד מהם יש איבר אחר מאותו סדר. דוגמה.12.12 בחבורה,S 3 האיבר 3) (1 2 = σ צמוד לאיבר (1 2) (1 2 3) (1 2) 1 = (2 3) (1 2) = (1 3 2) = σ 2 אין עוד איברים צמודים להם, כי אלו כל האיברים מסדר 3 ב- S. 3 טענה 12.13 (לבית). תהי,σ S n ויהי מחזור.(a 1, a 2,..., a k ) S n הוכיחו כי σ (a 1, a 2,..., a k ) σ 1 = (σ (a 1 ), σ (a 2 ),..., σ (a k )) תרגיל.12.14 בחבורה S 6 נתונות התמורות 6) (1, 5, 3, =,µ σ = (1, 3) (4, 5, 6) ו-( 5 (1, 4, =.τ חשבו את 1 σµσ ואת 1.τστ σµσ 1 = (3, 6, 1, 4) פתרון. לפי הנוסחה מהטענה הקודמת, τστ 1 = ( τ(13)τ 1) ( τ(456)τ 1) = (43)(516) הגדרה 12.15. תהי σ S n תמורה ונציג אותה כמכפלה של מחזורים זרים = σ.σ 1 σ 2... σ k נניח כי האורך של σ i הוא,r i וכי.r 1 r 2 r k נגדיר את מבנה המחזורים של σ להיות ה- k -יה הסדורה ) k.(r 1, r 2,..., r דוגמה 12.16. מבנה המחזורים של (6,5) (3,1),2 הוא (2,3); מבנה המחזורים של 3) (4, 2, 5) (1, גם הוא 2) ;(3, מבנה המחזורים של 8) (7, 6) (5, 4) (1, 2, 3, הוא 2).(4, 2, טענה 12.17. שתי תמורות ב- S n הן צמודות אם ורק אם יש להן אותו מבנה מחזורים. דוגמה.12.18 התמורה 6) (5, 3) (1, 2, צמודה ל-( 5 (1, 3) (4, 2, ב-,S 8 אבל הן לא צמודות לתמורה 8) (7, 6) (5, 4).(1, 2, 3, 32

הגדרה 12.19. חלוקה של n היא סדרה לא עולה של מספרים טבעיים 1 n.n מספר החלוקות של את נסמן ב-( p(n.n = n 1 + + n k כך ש- n k > 0 מסקנה 12.20. מספר מחלקות הצמידות ב- S n הוא.p(n) דוגמה 12.21. נחשב כמה מחלקות צמידות יש ב- S. 5 נמצא את החלוקות של 5: 5 = 5 5 = 4 + 1 5 = 3 + 2 5 = 3 + 1 + 1 5 = 2 + 2 + 1 5 = 2 + 1 + 1 + 1 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ולכן = 7 (5)p. בעזרת המסקנה האחרונה נסיק שישנן 7 מחלקות צמידות ב- S. 5 13 משוואת המחלקות טענה 13.1 (משוואת המחלקות). כל פעולה מגדירה יחס שקילות: x y אם קיים g G כך ש- y g. x = מחלקות השקילות הן בדיוק המסלולים של הפעולה. בפרט, X = orb(x) X = Fix(X) + orb(x i ) כאשר Fix(X) הוא אוסף נקודות השבת points).(fixed שימו לב שהסכימה היא על נציגים של המסלולים. הערה 13.2. עבור פעולת ההצמדה של S 4 על עצמה נקבל: S 4 = orb (id) orb (( )) orb (( )) orb (( )) orb (( )( )) טענה 13.3. ניסוח של הטענה הקודמת עבור פעולת ההצמדה: G = Z(G) + conj(x i ) x i / Z(G), rep. הגדרה 13.4. יהי x. X המייצב של x הוא תת החבורה stab(x) = {g G g x = x} ודאו שברור למה זו תת חבורה. סימון מקובל אחר הוא G. x 33

דוגמה 13.5. א. עבור פעולת ההצמדה, (x) stab(x) = C G הוא המ ר כּ ז של x. ב. עבור פעולת הכפל משמאל, {e}.stab(x) = ג. עבור הפעולה של S 4 על ] 4,F [x 1, x 2, x 3, x stab(x 1 + x 2 ) = {id, (12), (34), (12)(34)} משפט.13.6 לכל x X מתקיים stab(x)]. orb(x) = [G : אם G סופית, אז orb(x) = G stab(x) כמסקנה, orb(x) מחלק את הסדר של G (אפילו שהוא לא בהכרח מוכל שם!). בפרט, conj(x) מחלק את הסדר של G (אפילו שהיא לא תת חבורה). נחשב את המייצב של = f S 3 על ] 3.F [x 1, x 2, x דוגמה.13.7 נתבונן בפעולה של.x 1 x 2 + x 1 x 3 מפני ש-( f = x 1 (x 2 +x 3 קל לראות ש-( 23 ) id, מייצבים את.f לכן 2. stab(f) קל לחשב את המסלול orb(f) = {f, x 2 (x 1 + x 3 ), x 3 (x 1 + x 2 )} stab(f) = ולכן, stab(f) = S 3 orb(x) = 6 3 כלומר יש בו שלושה איברים. לכן = 2.{id, (23)} תרגיל 13.8. כמה איברים ב- S n מתחלפים עם (34)(12)? פתרון. זה שקול ללשאול כמה איברים σ S n מקיימים (12)(34) = 1.σ(12)(34)σ או במילים אחרות: כמה איברים יש במייצב של (34)(12) ביחס לפעולת ההצמדה. לפי המשפט, נבדוק את הגודל של המסלול. כידוע, האיברים הצמודים ל-( 12)(34 ) הם כל התמורות מאותו מבנה מחזורים.. 2( 1 n )( n 2 ) דהיינו, כל המכפלות של 2 חילופים זרים: 2 2 לכן הגודל של המייצב הוא 1 2( n 2 n! )( n 2 2 ) = 8(n 4)! תרגיל 13.9. נתון שהחבורה 1 a b G = 0 1 c a, b, c Z 3 0 0 1 פועלת על קבוצה X מגודל 218. הוכיחו שיש לפעולה נקודת שבת. כלומר שקיים.orb(x) = כך ש-{ x } x X 34

פתרון. נשים לב ש- 27 = 3 = 3. G נקח נציגים של המסלולים,x 1,..., x k אזי ) k.x = orb(x 1 ) orb(x מהמשפט נקבל ש- ( orb(x i מחלק את 27. לכן הגודל של המסלולים השונים יכול להיות רק מ-{ 27,1}.,3,9 נניח בשלילה שלא קיים איבר x X כך ש- 1 =. orb(x) אזי גדלי המסלולים האפשריים הם {27,3}.,9 אז X = 218 = (3+ +3)+(9+ +9)+(27+ +27) = 3α+9β+27γ = 3(α+3β+9γ) קיבלנו ש 3 218 וזו סתירה! הגדרה 13.10. יהי p ראשוני. חבורה G תקרא חבורת- p, אם הסדר של כל איבר בה הוא חזקה של p. תרגיל 13.11. הראו שאם G סופית, אז G חבורת- p אם ורק אם G = p n עבור איזשהו.n N תרגיל 13.12. נסו להכליל את מה שעשינו בתרגיל קודם: אם G חבורת- p סופית הפועלת על קבוצה X כך ש- X p, אז קיימת ב- X נקודת שבת. תרגיל 13.13. הוכיחו שהמרכז של חבורת- p אינו טריוויאלי. פתרון (רק אם לא נעשה בהרצאה). תהי G חבורת- p. על פי משוואת המחלקות מתקיים Z (G) = p n p n C G (x i ) = pn p n p r i = p n p n r i נשים לב שאגף ימין של המשוואה מתחלק ב- p (כי r) i n ולכן באגף שמאל p מחלק את הסדר של (G) Z. מכאן נובע ש-( G ) Z לא יכול להיות טריוויאלי. 13.1 טרנזיטיביות והלמה של ברנסייד הגדרה 13.14. אומרים שהפעולה של G על X היא טרנזיטיבית אם לכל שני איברים.g x 1 = x 2 כך ש- g G קיים x 1, x 2 X זה בעצם אומר ש- X orb(x) = (ודאו למה זה שקול!). דוגמה 13.15. א. הצמדה היא בדרך כלל לא טרנזיטיבית (בגלל היחידה, גם להראות ב- S). n ב. הפעולה של S n על n},... 2, {1, היא טרנזיטיבית. ג. (לדלג) הפעולה של S 4 על תת החבורה הנורמלית היא לא טרנזיטיבית. V = {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} 35

ד. הפעולה של S n על ] n F [x 1,..., x היא לא טרנזיטיבית. הפעולה הנ"ל על תת הקבוצה } n {x 1, x 2,..., x היא טרנזיטיבית. ה. תהי Y קבוצת בת לפחות 2 איברים. S n פועלת על Y n על ידי תמורה על האינדקסים. זו פעולה לא טרנזיטיבית כי למשל )... 2, (1, 1),... 1,.(1, טענה 13.16. אם חבורה סופית G פועלת טרנזיטיבית על קבוצה סופית X, אז X מחלק את. G הרי לפי המשפט G. X = orb(x) הגדרה.13.17 יהי.g G נסמן x} X g = {x X g x = עבור קבוצת נקודות השבת של g. למה 13.18 (הלמה שאינה של ברנסייד). תהי G חבורה הפועלת על קבוצה X. נסמן ב- k את מספר המסלולים. אז מתקיים (גם בחשבון עוצמות) k G = g G X g בחבורה סופית אפשר לפרש זאת שמספר המסלולים הוא ממוצע גודל קבוצות השבת: k = 1 G X g g G תרגיל 13.19. תהי G חבורה סופית (לא טריוויאלית) הפועלת טרנזיטיבית על קבוצה X (מגודל לפחות 2). הוכיחו כי קיים g G כך ש- = g X. יש בעצם רק = 1.1 כלומר G פתרון. כיוון שהפעולה טרנזיטיבית, אז orb(x) = X לכל x. X מסלול אחד (דהיינו = 1 k). לפי הלמה של ברנסייד Xg g G. G = g G Xg מפני ש- 1 > X X, e = אז בהכרח אחת מהקבוצות X g האחרות חייבת להיות מגודל אפס. תרגיל 13.20. רוצים לקשט את הרחוב בדגלים. כל דגל הוא מלבן המחולק ל- 6 פסים אותם אפשר לצבוע בצבעים שונים מתוך 4 צבעים. אנחנו נחשיב שני דגלים (צבועים) להיות זהים אם הם צבועים בדיוק אותו דבר או במהופך (כך שאם הופכים את אחד הדגלים זה נראה בדיוק אותו דבר). כמה דגלים שונים אפשר ליצור? פתרון. נתחיל מלחשוב על כל הדגלים בתור איברים של ) 6 4 X = Z) (כאשר המספרים,0,1,2 3 מייצגים את שמות הצבעים). שימו לב שכרגע ב- X יש איברים שונים שמייצגים את אותו דגל, כמו (3,0),1,1,2,2.(3, 2, 2, 1, 1, 0) 36

S 6 פועלת על X לפי תמורה על הקואורדינטות. נסתכל ספציפית על התמורה (34)(25)(16) = σ ועל הפעולה של σ על X. נשים לב ששני איברים של X מייצגים את אותו דגל אם ורק אם הם באותו מסלול. בפעולה לכן השאלה כמה דגלים שונים יש שקולה לשאלה כמה מסלולים שונים יש X של החבורה σ על X. כדי להשתמש בלמה של ברנסייד, צריך לחשב את id ו-. X σ ברור ש- = 4 6 X X id =. עבור σ, האיברים ב- X σ הם בעצם נקודות השבת (הוקטורים שלא מושפעים). אלו הם האיברים שמספיק לבחור עבורם את הצביעה של 3 הקואורדינטות הראשונות, ולכן = 4 3 σ. X לפי הלמה של ברנסייד יש = 2080 ) 6 (43 + 4 2 = 1 k דגלים שונים. 14 חבורות מוצגות סופית בהרצאה ראיתם דרך לכתיבה של חבורות שנקראת "יצוג על ידי יוצרים ויחסים". בהנתן יצוג G = X R נאמר ש- G נוצרת על ידי הקבוצה X של היוצרים עם קבוצת היחסים R. כלומר כל איבר בחבורה G ניתן לכתיבה (לאו דווקא יחידה) כמילה סופית ביוצרים והופכיהם, ושכל אחד מן היחסים הוא מילה ששווה לאיבר היחידה. דוגמה 14.1. יצוג של חבורה ציקלית מסדר n הוא Z n = x x n כל איבר הוא חזקה של היוצר x, ושכאשר רואים את תת המילה x n אפשר להחליף אותה ביחידה. לנוחות, בדרך כלל קבוצת היחסים תכתב עם שיוויונות, למשל x. n = e באופן דומה, החבורה הציקלית האינסופית ניתנת ליצוג Z = x ובדרך כלל משמיטים את קבוצת היחסים אם היא ריקה. ודאו שאתם מבינים את ההבדל בין החבורות הלא איזומורפיות Z Z = x, y xy = yx, F 2 = x, y הגדרה 14.2. ראינו שחבורה שיש לה קבוצת יוצרים סופית נקראת חבורה נוצרת סופית. אם לחבורה יש יצוג שבו גם קבוצת היוצרים סופית וגם קבוצת היחסים סופית, נאמר שהחבורה מוצגת סופית presented).(finitely דוגמה 14.3. כל חבורה ציקלית היא מוצגת סופית, וראינו מה הם היצוגים המתאימים. כל חבורה סופית היא מוצגת סופית (זה לא טריוויאלי). נסו למצוא חבורה נוצרת סופית שאינה מוצגת סופית (זה לא כל כך קל). 37

14.1 החבורה הדיהדרלית הגדרה 14.4. עבור מספר טבעי n, הקבוצה D n של סיבובים ושיקופים המעתיקים מצולע משוכלל בן n צלעות על עצמו, יחד עם הרכבת פונקציות נקראת החבורה הדיהדרלית מדרגה n. הפעולה של D n על קודקודי המצולע המשוכלל היא נאמנה וטרנזיטיבית. מיוונית, פירוש השם "די-הדרה" הוא שתי פאות, ומשה ירדן הציע במילונו את השם חבורת ה פּ א ת יִים. אם σ הוא סיבוב ב- 2π ו- τ הוא שיקוף סביב ציר סימטריה כלשהו, אז יצוג סופי n מקובל של D n הוא D n = σ, τ σ n = τ 2 = id, στ = τσ 1 הערה 14.5 (אם יש זמן). פונקציה :α R 2 R 2 שהיא חח"ע ועל ושומרת מרחק (כלומר α(y)) (d(x, (y = d(α(x), נקראת איזומטריה. אוסף האיזומטריות עם הפעולה של הרכבת פונקציות הוא חבורה. תהי L R 2 קבוצה כך שעבור איזומטריה α מתקיים.α(L) = L במקרה זה α נקראת סימטריה של L. אוסף הסימטריות של L הוא תת חבורה של האיזומטריות. החבורה D n היא בדיוק אוסף הסימטריות של מצולע משוכלל בן n צלעות. דוגמה 14.6. החבורה D 3 נוצרת על ידי סיבוב σ של 120 ועל ידי שיקוף τ, כך שמתקיימים היחסים הבאים בין היוצרים:.τστ = σ 1,σ 3 = τ 2 = id כלומר עם משולש מה עושה כל איבר, וכנ"ל עבור.(D 5 (להדגים D 3 = {id, σ, σ 2, τ, τσ, τσ 2 } מה לגבי האיבר?στ D 3 הוא מופיע ברשימת האיברים תחת שם אחר, שכן τστ = σ 1 στ = τ 1 σ 1 = τσ 2 לכן.στ = τσ 2 כך גם הראנו כי D 3 אינה אבלית. { id, σ, σ 2,..., σ n 1, τ, τσ, τσ 2,..., τσ n 1} סיכום 14.7. איברי D n הם בפרט נקבל כי D n = 2n ושעבור > 2 n החבורה אינה אבלית כי.τσ = στ (למי,D 3 אבל עבור > 3 n החבורות שכבר מכיר איזומורפיזמים ודאו שאתם מבינים כי = S3 D n ו- S n אינן איזומורפיות.) 15 הומומורפיזמים הגדרה.15.1 תהינה ),(G, (H, ) חבורות. העתקה f : G H תקרא הומומורפיזם של חבורות אם מתקיים x, y G, f(x y) = f(x) f(y) 38