אלגברה לינארית פתרון תרגיל להגשה סמסטר א, תשע ו הוראות התרגיל הזה הוא תרגיל רשות, הניתן כתרגול נוסף. אין חובה להגיש אותו, אך כל תרגיל שיוגש ייבדק (וכך תוכלו להתאמן על כתיבת פתרונות והוכחות). ניתן להגיש את התרגיל עד ל- 7..6. מי שיגיש לאחר מכן תרגילו לא ייבדק! הערה חשובה בכל מקום בתרגיל הזה, כאשר יש שאלות האם או הוכיחו או הפריכו, הכוונה היא: הוכיחו את הטענה, או מצאו דוגמה נגדית מפורשת. בהצלחה! הערה. לאורך כל התרגיל, כל המרחבים הווקטוריים הם ממימד סופי. U = {(x,..., x n ) R n x + + x n = 0} W = {(x,..., x n ) R n x = = x n } שאלה. נסתכל על V, = R n ונגדיר בו א. הוכיחו כי,U W V הם תת-מרחבים של V. ב. מצאו בסיס ומימד ל- U ול- W. ג. הוכיחו כי.V = U W פתרון. א. ניעזר בקריטריון המקוצר. עבור U: U 0),...,(0, כי = 0 0 + + 0.0 + יהיו,u, u 2 U ויהיו.α, β R צ ל.αu + βu 2 U נסמן ) n.u 2 = (y,..., y n ),u = (x,..., x כיוון ש- U,u, u 2 מתקיים x + + x n = y + + y n = 0 נשים לב כי ) n αu + βu 2 = (αx + βy,..., αx n + βy מקיים (αx + βy )+ +(αx n + βy n ) = α (x + + x n )+β (y + + y n ) = α 0+β 0 = 0 ומכאן.αu + βu 2 U
לכן, לפי הקריטריון המקוצר, U תת-מרחב של V. עבור W: W 0),... 0,,(0, כי = 0 = 0 =.0 יהיו,w, w 2 W ויהיו.α, β R צ ל.αw + βw 2 W נסמן ) n.w 2 = (y,..., y n ),w = (x,..., x כיוון ש-,w, w 2 W מתקיים x = = x n = x y = = y n = y αw + βw 2 = (αx + βy,..., αx + βy) W (x ו- y הם סימונים). לכן כדרוש. לכן, לפי הקריטריון המקוצר, W תת-מרחב של V. ב. עבור :U יהי.u = (x, x 2,..., x n, x n ) U כיוון ש- 0 = n,x + + x מתקיים n.x n = x x נציב בווקטור,u ונקבל u = (x, x 2,..., x n, x x n ) = x (, 0,..., 0, ) + + x 2 (0,, 0,..., 0, ) + + x n (0,..., 0,, ) B = {(, 0,..., 0, ), (0,, 0,..., 0, ),..., (0,..., 0,, )} U לכן הקבוצה (פורמלי יותר: } n (B = {e e n, e 2 e n,..., e n e פורשת את.U נוכיח ש- B בת ל, וזה יוכיח ש- B בסיס של U. יהי צירוף לינארי מתאפס α (, 0,..., 0, ) + α 2 (0,, 0,..., 0, ) + + α n (0,..., 0,, ) = 0 (α, α 2,..., α n, α α n ) = (0, 0,..., 0) נחבר את הווקטורים ונקבל מהשוואת n הקואורדינטות הראשונות רואים שמתקיים = 0 n,α = = α ולכן B בת ל. בסך הכל, B בסיס של,U ולכן n.dim U = עבור :W יהי.w = (x,..., x n ) W כיוון ש-,x = = x n נקבל w = (x,..., x ) = x (,..., ) לכן הקבוצה B 2 = {(,..., )} W פורשת את.W אנחנו יודעים שכל קבוצה עם וקטור אחד שאינו וקטור האפס היא בת ל, ולכן B 2 בת ל. בסך הכל, B 2 בסיס של,W ולכן = W.dim 2
ג. צריך להוכיח שני דברים:.v = (x,..., x n ) נסמן.v U W יהי :U W = {0}.x = = x n ולכן,v W,v U ולכן n x = x + + x = x + + x n = 0 נחלק ב- n ונקבל = 0.x לכן = 0 n,x = x 2 = = x כלומר = 0.v בסך הכל,.U W = {0} V :dim U + dim W = dim לפי החישובים להלן, n dim U = ו- = W.dim כמו כן, ידוע כי,dim V = dim R n = n ולכן נקבל dim U + dim W = (n ) + = n = dim V לסיכום, נקבל.U W = V שאלה 2. יהי F שדה, יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F, ויהי U V תת-מרחב של V. א. הוכיחו כי קיים תת-מרחב W V של V שעבורו.V = U W ב. האם W הזה יחיד? כלומר, אם W,U W = V = U האם בהכרח W?W = א. יהי B בסיס של.U נשלים את B לבסיס B של.V נגדיר B 2 = B \ B ו-= W ) 2.Span (B נרצה להראות כי.V = U W נשים לב כי: W,V = U + כי V = Span (B) = Span (B (B \ B )) = Span (B )+Span (B \ B ) = U +W W,dim V = dim U + dim כי dim V = B = B (B \ B ) ( ) = B + B \ B = dim U + dim W פתרון. כאשר המעבר ( ) מסתמך על כך שהקבוצות B ו- B \ B זרות. כעת נסיק כי U: W = V לפי משפט המימדים, dim V = dim (U + W ) = dim U + dim W dim (U W ) = dim V dim (U W ) לכן = 0 ) W,dim (U כלומר {0} = W.U לכן הסכום ישר, והוכחנו.V = U W (הערה: אפשר גם להוכיח ישירות שהסכום הוא ישר, כלומר עם החיתוך, וזה יכליל את ההוכחה הזו למרחבים וקטוריים אינסוף מימדיים). ב. הסבר: W הזה אינו יחיד, {( כי )} אפשר להשלים את {( B )}בדרכים רבות {( לבסיס )}B של V. 0.W = Span,W = Span,U = Span,V = R 0 דוגמה: ניקח 2 ודאו כי באמת U W = U W = V 3
שאלה 3. יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F, ויהיו,U W V תת-מרחבים שלו המקיימים.dim U + dim W > dim V הוכיחו: א..V U W ב. אם,V = U + W אזי קיים תת-מרחב W W שעבורו W.V = U א. הבעיה היא ש-{ 0 } W U. כמו בתרגול, נוכיח כי מהנתון dim U + dim W > dim V נובע {0} W :U לפי משפט המימדים, dim (U + W ) = dim U + dim W dim (U W ) > dim V dim (U W ) אבל,U + W V לכן dim (U + W ) dim V dim V dim (U W ) < dim V dim (U W ) > 0 לכן {0} W U, כלומר הסכום אינו ישר. ב. נתון כי,V = U + W אבל.dim U + dim W > dim V נתחיל כמו בהוכחת משפט המימדים: יהי } k B = {v,..., v בסיס של B.U W בת ל ב- U, ולכן אפשר להשלים אותו לבסיס } l B 2 = {v,..., v k, u,..., u של B ;U בת ל גם ב-,W ולכן אפשר להשלים אותו לבסיס } m B 3 = {v,..., v k, w,..., w של.W לפי הוכחת משפט המימדים, } m {v,..., v k, u,..., u l, w,..., w בסיס של.U + W = V נגדיר W = Span {w,..., w m } לפי ההגדרה,.W W נבדוק כי U W = V כמו בשאלה :2 הוכחה. W,V = U + כי U + W = Span {v,..., v k, u,..., u l } + Span {w,..., w m } = = Span {v,..., v k, u,..., u l, w,..., w m } = V.dim U + dim W = k + l + m = dim V כמו בשאלה,2 מכאן נובע ש- W.V = U שאלה 4. יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F, יהי B בסיס סדור של V, ותהי A F n n מטריצה הפיכה. הראו כי קיים בסיס סדור B של V יחיד שעבורו [I]. B B = A הוכחה. בתרגול ראינו שאלה מאוד דומה, ולא סתם נשתמש במה שעשינו בתרגול כדי להוכיח את השאלה הזו. 4
.[I] B קיום. A מטריצה הפיכה; לפי התרגיל מהתרגול, קיים בסיס B של V שעבורו A B = לכן ) [I] B ( B = ([I] ) B B = A = A כלומר הבסיס B הזה מקיים את הדרוש. יחידות. נניח כי B ו- B 2 שני בסיסים כאלו. אזי [I] B B = [I] B B 2 [I] B 2 B = [I] B B [I] B 2 B = [I]B B 2 [I] B 2 B = I [I] B 2 מימין, ונקבל B נכפול ב- המשוואה האחרונה אומרת שלכל.B 2 = {w,..., w n },B נסמן } n = {v,..., v, i n [w i ] B = e i w i = v i (לפי הגדרת מטריצת מעבר ווקטור קואורדינטות). לכן B, = B 2 כדרוש. הערה. היו הרבה שבנו את הבסיס הזה ישירות. הנה הבנייה: נסמן } n B. = v},..., v רוצים למצוא בסיס } n B = {w,..., w שעבורו [I] B B = A [I] B B = A לכן A.A = ( a [w ] B [w n ] B = [I] B B = A = a a n..... a n a nn ij) נסמן [w i ] B = C i ( A ) = נשווה עמודות, ונקבל שלכל i n, a i. a ni w i = a iv + + a niv n ומכאן שאלה 5. א. תהיינה,A B F m n מטריצות. הוכיחו או הפריכו:.rank (A + B) rank (A) + rank (B).rank (A + B) rank (A) + rank (B) 5
פתרון. ב. תהיינה A F m n ו- B F n m מטריצות, ונניח.m > n האם ייתכן ש- AB הפיכה? האם ייתכן ש- BA הפיכה? ג. הוכיחו: כל מטריצה הפיכה היא בהכרח ריבועית. אכן, נשים לב כי לכל הוכחה: ראשית, נוכיח (B).C (A + B) C (A) + C א., j n C j (A + B) = C j (A)+C j (B) Span {C (A),..., C n (A), C (B),..., C n (B)} C (A + B) = Span {C (A + B),..., C n (A + B)} Span {C (A),..., C n (A), C (B),..., C n (B)} = = Span {C (A),..., C n (A)} + Span {C (B),..., C n (B)} = C (A) + C (B) rank (A + B) = dim C (A + B) dim (C (A) + C (B)) = ולכן מכאן נקבל = dim C (A) + dim C (B) dim (C (A) C (B)) dim C (A) + dim C (B) = rank (A) + rank (B) ( ) 0 הפרכה: ניקח =,A.B = A אזי = 2 (B),rank (A) = rank כלומר 0.rank (A + B) ומכאן = 0,A + B אבל = 0,rank (A) + rank (B) = 2 שאלה.6 תהי A F n n מטריצה, כך שלכל b F n קיים פתרון למערכת.Ax = b הוכיחו כי לכל b F n קיים פתרון יחיד למערכת.Ax = b הוכחה. ניעזר במשפט הבא: למערכת Ax = b יש פתרון אם ורק אם (A) b. C לכל b F n יש פתרון למערכת,Ax = b ולכן.F n C (A) F n לכן.C (A) = F n לפי משפט מההרצאה, זה אומר ש- A הפיכה. לכן לכל b F n יש פתרון יחיד למערכת.Ax = b 6