פתרונות לשאלות ממבחנים עוזי וישנה, 1996 השאלות לקוחות ממבחנים של פרופ' א. רואן. הפתרונות מוצגים באופן תמציתי, ויתכן שבמבחן כדאי להרחיב יותר. קובץ זה נ

תמליל

1 פתרונות לשאלות ממבחנים עוזי וישנה, 1996 השאלות לקוחות ממבחנים של פרופ' א. רואן. הפתרונות מוצגים באופן תמציתי, ויתכן שבמבחן כדאי להרחיב יותר. קובץ זה נכתב במקור בתוכנת,Oren ותורגם באופן אוטומטי למחצה ל TEX L. A הודיעו לי על שגיאות שנפלו בתרגום (או בפתרונות עצמם), ע.ו. אנא 1 שדות פיצול 1. מה שדות הפיצול של הפולינומים הבאים מעל Q: א. x 3 3 ב. x ג. x 8 + 5x פתרון. אם [x] f(x) F מתפצל ) n f(x) = (x α 1 ) (x α מעל השדה.F [α 1,..., α n ] אז שדה הפיצול הוא,F E א. נסמן = 3 1/3,α ρ = ρ 3 (השורש ה 3 פרימיטיבי). שדה הפיצול הוא.Q[α, ρα, ρ α] = Q[α, ρ] ב. (x+1+i)(x 1 i)(x+1 i)(x 1+i),(x 4 +4) = (x +i)(x i) = לכן שדה הפיצול הוא.Q[i] x = (x i)(x + i) = (x (1 + i) ג. ראשית, 1) + 4)(y.y + 5y + 4 = (y + )(x + (1 + i) )(x (1 i) )(x + (1 i) ) מתפצל ב ],Q[i, ולכן 1) x 8 + 5x = (x 4 + 4)(x 4 + מתפצל ב.Q[i, ]. Q[x] f(x) מדרגה,4 E שדה הפיצול של.[E : Q] = 4,f הוכיחו או הפריכו: f איפריק וספרבילי. פתרון. דוגמא נגדית: 3).f(x) = (x )(x 1

2 3. תן דוגמא לפולינום איפריק ממעלה 4 מעל Q, כאשר שדה הפיצול גם ממימד 4 מעל Q. פתרון. השדה 3], Q[ הוא שדה פיצול של 3).(x )(x כדי לקבל פולינום איפריק, נבחין ש 3] + Q[, Q[, 3] = ול 3 + יש הפולינום המינימלי.x 4 10x + 1 זו הדוגמא. 4. הוכח: כל הרחבה ריבועית מעל,charF F, היא שורשית. פתרון. תהי E/F הרחבה ריבועית. נבחר a, E F אז a מקיים פולינום מינימלי = 0 β E = F [a] = F [ α 4β].x αx + בגלל ש 0. שימו לב שנוסחת הפתרון למשוואה ריבועית לא עובדת במאפיין..5 מהם שדות הפיצול של הפולינומים הבאים:?x 4 3x +4,x 4 4x +3,x 4 פתרון. שורשי x 4 הם = 1/4,α. iα, α,iα לכן שדה הפיצול הוא α] Q[i, (ממימד.(8 שורשי 1) x 4 4x + 3 = (x 3)(x הם 3,±1,± ושדה הפיצול הוא 3] Q[ (ממימד.(.±α, ±β ב x 4 3x +4 = ( x 3+ ) ( 7 x 3 ) 7 נסמן את שורשי =,α β ולכן =.αβ מכאן ש = 16 4 אפשר לחשב ש = 4 (α + β) = α + αβ + β = כדי לזהות את השדה נחשב:.Q[α, β] = Q[α] 7 3+, לכן 7 ± = β α + ו 1] 7, Q[,Q[α] = = 7 ממימד 4..6 מה שדה הפיצול של x 4 x + 1,x 5 מעל,Q ומה מימדו? פתרון. שדה הפיצול של x 5 הוא ] 5,Q[ 1/5, ρ ומימדו 0 כי הוא מכיל שני תת שדות: ] 1/5 Q[ ממימד,5 ו ρ 5 ממימד.4 Q לכן שדה הפיצול הוא,x 4 x + 1 = (x 1) = (x 1) (x + 1) ומימדו 1 (הקבוצה 1 היא בסיס, ϕ קבוצת יוצרים). חבורות גלואה.1 חשב, עד כדי איזומורפיזם, את חבורות גלואה של הפולינומים,x 4 + 4,x 3 3.x 8 + 5x :τ : { { α α α ρα ρ ρ,σ : ρ ρ פתרון. את שדות הפיצול חישבנו בשאלה 1.1. Gal(Q[α = 3 1/3, ρ 3 ]) = S 3 לפי זיהוי תכונות לכן.σ 3 = τ = (στ) = id.gal(q[i]/q) = Z

3 { τ : i i,σ : { i i Gal(Q[, i]/q) = Z Z לפי היוצרים שמתחלפים זה עם זה.. כמה שדות ביניים קיימים בין Q ו ] 1?Q[ρ פתרון. חבורת גלואה של ההרחבה Q[ρ 1]/Q נוצרת על ידי σ : ρ 1 ρ ρ,τ : ρ 1 ואיזומורפית ל.Z לפי מבנה תת החבורות יש בדיוק 3 ו 1 שדות ביניים לא טריוויאליים, והם Q[i] Q[ρ 1 ] τ =,Q[ρ 1 ] σ = Q[ρ 1 + ρ 5 1 ] =.Q[ρ 1 ] στ = Q[ρ 1 + ρ 7 1 ] = Q[ 3] ו Q[ρ 1 + ρ 1 1 ] = Q[ 3] ; לכן,τ :.3 מהי חבורת גלואה של Q[ + 3]/Q ושל?Q[, 3]/Q ( + 3) 3 9( + 3) פתרון. ראשית, 3], Q[ 3 + ו = השדות שווים. 3 3,σ : 3 3 3]/Q) Gal(Q[, נוצרת על ידי והיא לכן איזומורפית ל.Z Z = ] F: E/F E], הרחבה ספרבילית. הוכח שיש מספר סופי של שדות ביניים בין E ו F. 5. (נוסח אחר:) אם K/Q הרחבה סופית אז K מכיל רק מספר סופי של תת שדות. פתרון. נבחר קבוצת יוצרים ל E מעל F, ונסמן ב E E 1 את שדה הפיצול של כל הפולינומים המינימליים (שהם ספרביליים לפי הנתון). תהי ) F/ G. = Gal(E 1 מכיוון ש!18 G, זו חבורה סופית, ויש לה מספר סופי של תת חבורות (לכל היותר 18!.( לכל הרחבת ביניים F K E 1 מתאימה תת חבורה יחידה, מכאן שמספר ההרחבות סופי (ורק חלקן הרחבות ביניים F). K E.6 נגדיר.f(x) = x 7 1 מה שדה הפיצול E של f מעל?Q מהי?Gal(E/Q) מצא שדה ביניים Q K E כך ש K/Q הרחבת גלואה. פתרון. ) 7,f(x) = (x ρ 7 )(x ρ 7 )... (x ρ7 ולכן ] 7.E = Q[ρ חבורת גלואה σ 3 : ρ 7 ו ρ 6 7 (σ : ρ 7 ש ρ 7 (בודקים σ : ρ 7 נוצרת על ידי ρ 3 7 G אינם הזהות כך ש.σ = 6 o מכאן ש.G = Z 6 תת החבורות של G הן 3 σ, σ, שתיהן נורמליות. השדות המתאימים הם Q[ρ 7 + ρ 7 + ρ4 7 ] = Q[ 7] = E σ ו ] 7,E σ3 = Q[ρ 7 + ρ 6 שניהם נורמליים מעל Q..7 מהי חבורת גלואה של?x 6 8. (שאלה יותר קלה:) מה חבורת גלואה של x 3 5 מעל Q? 3

4 9. (אותו דבר:) מה חבורת גלואה של x 3 10 מעל Q? מצא שדה ביניים K כך ש K/Q הרחבת גלואה. פתרון. נסמן = 1/6,α x 6.ρ = ρ 6 הוא הפולינום המינימלי של α לפי אייזנשטיין. שורשי הפולינום הם,α, ρα,..., ρ 5 α ולכן שדה הפיצול הוא 3 1+ =,ρ ולכן.Q[α] Q[ρ] = Q מכאן.E = Q[α, ρ] [E :Q] = [Q[α] : Q] [Q[ρ] : Q] = 6 = 1. { α ρα לכן גם Gal(E/Q) G = מסדר.1 נתבונן באוטומורפיזמים :,σ ρ ρ { G = σ, τ α α :.τ קל לבדוק ש,σ 6 = τ = (στ) = id ו = ρ ρ 1.D כמה תת שדות קיימים בשדה הפיצול של x 3 מעל Q? פתרון. נסמן = 1/3.α שדה הפיצול הוא ] 3,Q[α, ρ עם חבורת גלואה S 3 (לפי זיהוי תכונות של יוצרים). ל τ S 3 = σ, יש תת החבורות, σ, στ, τ Q). ולכן יש בדיוק ארבעה תת שדות (פרט לש"פ ו, σ τ השדות הם α] Q[α], Q[ρα], Q[ρ ממימד,3 Q[ρ] ממימד. 11. הוכח: אם f איפריק ממעלה 7 מעל שדה F ו E שדה הפיצול של f מעל F, אז יש ב ) Gal(E/F איבר מסדר (נוסח דומה:) אם f פולינום איפריק ספרבילי ממעלה n אז n מחלק את סדר חבורת גלואה של הפולינום. פתרון. יהי a שורש של ; f אז = 7 ] F,[F [a] : ו.F [a] E לכן = ] :F 7 [E (. Gal(E/F לפי משפט קושי, קיים ב ) Gal(E/F איבר מסדר 7. 3 גאומטריה 1. לבנות שרשרת הרחבות ריבועיות של שדות מ עד ] 5 Q[ρ ועד ] 10.Q[ρ.Q מעל ρ 5 + ρ 1. (באותו נושא:) מצא את דרגת הפולינום המינימלי של 5 פתרון. ϕ(n),[q[ρ n ] : Q] = וכך = 4 Q].[Q[ρ 5 ] : Q] = [Q[ρ 10 ] : מכיוון ש ] 10,Q[ρ 5 ] Q[ρ השדות שווים. חבורת גלואה של Q[ρ 5]/Q היא ציקלית (מסדר (4 הנוצרת על ידי.σ : ρ 5 ρ 5 לכן,ρ 5 + σ (ρ 5 ) Q[ρ 5 ] σ וזהו תת שדה ממימד. השרשרת היא Q 5].Q[ρ 5 + ρ 4 5 ] Q[ρ מידע נוסף: x = ρ 5 + ρ 4 5 מקיים = 0 1 x,x + ולכן.Q[ρ 5 + ρ 4 5 ] = Q[ 5] 4

5 חבורת גלואה של Q[ρ 10 ]/Q היא ציקלית (מסדר (4 הנוצרת על ידי 10 σ : ρ.ρ 3 10 לכן,ρ 10 + σ (ρ 10 ) Q[ρ 10 ] σ וזהו תת שדה ממימד. השרשרת היא x + x 1 מקיים = 0 x = ρ 10 + ρ 9 10 מידע נוסף:. Q[ρ 10 + ρ 9 10 ] Q[ρ 10] (לפי הפולינום הציקלוטומי,(Φ 10 ולכן 5] Q[.Q[ρ 10 + ρ 4 10 ] = 3. הוכח או הפרך: המצולע בן 17 צלעות הוא בר בניה פתרון. כדי לבנות את המצולע צריך לבנות את ρ, 17 ולשם כך צריך להיות מגדל של הרחבות ריבועיות מ ל ] 17,Gal(Q[ρ 17 ]/Q) = Z 16.Q[ρ ושם יש שרשרת תת חבורות 8Z 16 4Z 16 Z 16 Z 16 0 מאינדקס. תת השדות הקבועים נותנים את השרשרת הדרושה. ( ) 17 cos( π 17 ) = (3+ 17) מידע שימושי: (חישבתי בעזרת Trace ביחס לחבורות השונות). 4. יהי a שורש של פולינום איפריק ממעלה 4 מעל, E שדה הפיצול של הפולינום. מה האפשרויות ל [Q E]? : מתי a אינו ניתן לבניה? פתרון. G E] : [Q = כאשר G חבורת גלואה של ההרחבה. החבורה היא תת חבורה טרנזיטיבית (כלומר ( x, y σ : σ(x) = y של,S 4 דהיינו = G.Z, D 4, A 4, S 4 המימדים הם 4, 8, 1, 4 בהתאמה. האיבר a נמצא בהרחבה ממימד,4 אבל אם אין לחבורת גלואה ת"ח מאינדקס (כלומר,(G = A 4, S 4 אז אין תת שדה ריבועי והאיבר לא ניתן לבניה. 5. הוכח או הפרך: המצולע בן 15 צלעות ניתן לבניה. פתרון. המצולע ניתן לבניה אם ורק אם ρ 15 ניתן לבניה. a C ניתן לבניה אם ורק אם יש שרשרת של הרחבות ריבועיות מ עד ;Q[a] אם Q[a]/Q היא הרחבת גלואה, אז וזה קורה אם ורק אם [Q [Q[a] : חזקת ρ 3. ניתן לבניה בגלל Q Q[ 5] (אכן, [Q[ρ 5 :Q] ניתן לבניה בגלל = 4 ו ρ 5,[Q[ρ 3 ] : Q] = 5] Q[ρ היא השרשרת המבוקשת). כעת, ρ 15 = ρ 5 ρ 3 ניתן לבניה. 6. האם אפשר לבנות את המצולעים בני,16 9 צלעות? פתרון. ל ρ 9 יש הפולינום המינימלי x, 6 x ולכן אין שרשרת הרחבות ריבועיות מ ל ρ, 9 והוא לא ניתן לבניה. חבורת גלואה של K = Q[ρ 16 Q/[.τ : ρ 16 ρ 1 איזומורפית ל,U 16 = Z 4 Z ונוצרת על ידי σ : ρ 16 ρ 3 16 ו 16 השרשרת המבוקשת היא, למשל,.Q K σ K σ K (יש חמש שרשראות אפשריות; ל ] 16 Q[ρ יש 6 תת שדות לא טריוויאליים, ביניהם כמובן ] 8 Q[ρ ו ρ 4 (שמציעים שרשרת חלופית)). 4 שדות סופיים.1 לפרק את x 1 1 מעל Q ומעל.Z 3 5

6 פתרון. מעל x 1 1 = (x 6 1)(x 6 + 1) = (x 1)(x + x + 1)(x +,Q +1).1)(x x+1)(x +1)(x 4 x ל x 4 x +1 אין שורשים והוא איפריק לפי נסיון d) x 4 x + 1 = (x + ax + b)(x + cx + עבור.a, b, c, d Z מעל x + 1.x 1 1 = (x 4 1) 3 = (x 1) 3 (x ) 3 (x + 1) 3,Z 3 איפריק כי אין לו שורשים.. ניקח [x],f(x) = x 3 x + 1 Z 3 ו E שדה פיצול של.f יהי a שורש של.f הוכח: כל שורשי f הם מהצורה αa + β עבור.α, β Z 3 פתרון. ) 3 Gal(E/Z ציקלית מסדר 3, הנוצרת על ידי אוטומורפיזם פרובניוס a 9 = (a 3 ) 3 = (a 1) 3 =,a 3 = a 1,a הם f לכן השורשים של.u u 3.a 3 1 = a 3. לפרק את x 3 5 מעל Z. 11 Z, 7 מה שדה הפיצול של הפולינום מעל שדות אלה? פתרון. אם 7),a 3 5 (mod אז 7) a (mod.1 לכן x 3 5 איפריק מעל Z. 7 שדה הפיצול הוא השדה (היחיד) מסדר 7 3 (כי ההרחבה,Z 7 [α]/z 7 עבור שורש,α היא נורמלית). אם 11),a 3 5 (mod אז a ו a.a a 10 כעת, 9) + 3x.x 3 5 = x = (x 3)(x + הפולינום + 9 3x x + איפריק (כי ל x 3 5 יש שורש יחיד), ושדה הפיצול הוא השדה מסדר לפרק את p 1 1 x מעל Z p עבור p ראשוני. הסק (משפט :(Wilson.(p 1)! 1 (mod p) פתרון. החבורה הכפלית של Z p היא ציקלית (מסדר 1 p), ולכן לכל k Z p 0 מתקיים 1 1 p k. אלו 1 p שורשים שונים של הפולינום, ולכן הפירוק הוא.x p 1 1 = (x 1)(x ) (x (p 1)) מחישוב המקדם החופשי בביטוי האחרון מתקבל השוויון 1 =!(1 p) ב Z. p 5. מספר הפולינומים האיפריקים ממעלה 4 מעל Z אינו עולה על 3. פתרון. השורשים של פולינום איפריק כזה נמצאים ב ) 4 ),GF המכיל תת שדה ) (.GF לכן יש רק = 1 4 אברים שלהם פולינום מינימלי ממעלה.4 לכל פולינום יש ארבעה שורשים שונים (ספרביליות מעל שדה סופי), ומכאן המספר.3 = האם קיימת הרחבה איספרבילית סופית מעל Z? 7 7. (כללי יותר:) הוכח: כל פולינום איפריק מעל שדה סופי הוא ספרבילי. פתרון. משפט: אם [x] f(x) F איפריק ולא ספרבילי, אז ) p f(x) = g(x כאשר.p = charf 6

7 נניח ש f(x) Z 7 לא ספרבילי, אז יש לו גורם איפריק לא ספרבילי (נניח שזה (a לכל Z 7 a 7 = a (כי f(x) = ( a i x i אז ) 7,f(x) = a i x 7i נכתוב.(f בסתירה להנחה ש f איפריק. 8. הוכח: כל שדה סגור אלגברי הוא אין סופי. פתרון. נניח ש F מסדר = p n סגור אלגברית. אז הפולינום x pn+1 x אינו מתפצל ב F (כי הוא ספרבילי ואין לו מספיק שורשים ב F)..9 אם α K אלגברי מעל,Z p אז קיים > 0 n כך ש α pn = α בתוך [α].z p פתרון. נסמן ] p σ : a a p.n = [Z p [α] : Z הוא אוטומורפיזם של [α],z p ולפי ספירת שורשים אפשריים למשוואה = 0 x x, pm הסדר של σ אינו קטן מ n. לפי הציקליות של החבורה הכפלית של [α],σ n = Id,Z p ובפרט.α pn = σ n (α) = α.10 בנה שרשרת אינסופית של שדות סופיים.... F 0 = Z 3 F 1 F מהו הסדר של F? i פתרון. תזכורת: כל ההרחבות הסופיות של Z 3 הן שדות פיצול של x; 3n x שדה הפיצול של x pn x מוכל בזה של x pm x אם ורק אם.n m אפשר לבחור F i. F i = 3 i להיות שדה הפיצול של x; 3i x 11. הוכח: כל הרחבה סופית של Z 3 היא ציקלית (כלומר, חבורת גלואה של ההרחבה היא ציקלית) פתרון. תהי F/Z 3 הרחבה ממימד σ : F F.n המוגדר לפי σ(a) = a p הוא אוטומורפיזם, וסדרו n לפי מספר השורשים האפשרי ל = x σ n (x) x = x pn.0 ההרחבה היא הרחבת פיצול של,x pn x ולכן,n = σ Gal(F/Z 3 ) = n מכאן σ.gal(f/z 3 ) = 1. בנה, במפורט, שדה בן 8 אברים, ורשום את תת השדות שלו. פתרון. ראשית, תת השדה היחיד הוא Z כי אם F תת שדה אז 8 חזקה שלמה של. F השדה הוא שדה הפיצול של 1) + x x 8 x = x(x + 1)(x 3 + x + 1)(x 3 + מעל,Z שהוא גם שדה הפיצול של + 1 x x 3 + (או של.(x 3 + x + 1 לכן = K 1 + x Z [x]/ x 3 + הוא השדה. נסמן 1 + x,α = x + x 3 + אז רשימת.α 3 = α וכלל הכפל הוא + 1, { a + bα + cα : a, b, c Z } האברים היא.13 מצא את חבורת גלואה של λ 16 1 ושל λ 16 λ מעל.Z פתרון. שדה הפיצול של λ 16 λ הוא השדה מסדר 16, וחבורת גלואה נוצרת על ידי σ : a a ואיזומורפית ל.Z 4 אפשר גם לפרק: + λ(λ λ 16 λ = 1) + λ,1)(λ + λ + 1)(λ 4 + λ 3 + 1)(λ 4 + λ + 1)(λ 4 + λ 3 + λ + הגורמים הם כל הפולינומים האיפריקים ממעלה המחלקת את 4. 7

8 את λ 16 1 קל יותר לפרק: = 8 1) λ 16 1 = (λ 8 1) = (λ 4 1) 4 = (λ.{id} וחבורת גלואה היא,(λ 1) 16 5 פתירות על ידי רדיקלים 1. הוכח ש S 4 חבורה פתירה. הוכח שכל פולינום ממעלה 4 פתיר על ידי רדיקלים. פתרון. (14)(3)} (13)(4), (1)(34), {id, V = היא תת חבורה נורמלית של,A 4 וכך קיימת שרשרת V A 4 S 4 1 של הרחבות נורמליות שכולן עם מנה אבלית. יהי f פולינום ממעלה 4. אם f אי פריק, אז חבורת גלואה שלו היא תת חבורה של S 4 ולכן פתירה. אותו שיקול נכון גם למעלות,, 3 ולכן אם f פריק גם אז הוא פתיר על ידי רדיקלים.. הפולינום + 1 x x 4 פתיר בעזרת רדיקלים מעל.Q חבורת גלואה שלו היא מסדר 4 לכל היותר (תת חבורה של S 4 אם הפולינום איפריק), וכל החבורות האלה פתירות..3 הגדר G עבור חבורה.G מהם?A 5,A 4 פתרון. G היא החבורה הנוצרת על ידי כל האברים 1 y.[x, y] = xyx 1 אבלית (כזכור A 5 G אם"ם G ו = 1,G תמיד נורמלית ב G כי A 5 = A 5 פשוטה). A 4 = V כי המנה A 4 /V אבלית ו V תת חבורה מקסימלית. (היזכרו בתכונות של.(G/G.4 האם הפולינום x x 5 פתיר בעזרת רדיקלים? פתרון. כדי לאתר את השורשים נגזור. f, (x) = 5x והנגזרת מתאפסת בנקודות הממשיות.±0 1/4 בקטע ] 1/4 [ 0 1/4, 0 הפונקציה יורדת, ו = ) 1/4 f(0 < 0 1/ לפי ההתנהגות ב ± יש בדיוק שלושה שורשים ממשיים, ושניים מרוכבים. לכן חבורת גלואה של הפולינום כוללת חילוף (של השורשים המרוכבים) ואיבר מסדר 5 (לפי,(Sylow והיא שווה ל S, 5 שאינה פתירה (כי A 5 פשוטה). לכן הפולינום אינו פתיר..5 נניח ] 3 E/F,[E :F ] = 3,F = Q[ρ הרחבת גלואה. הוכח שקיים a E כך ש.a 3 F זהו המשפט על הרחבות שורשיות למקרה = 3 p. (במבחן צריך להוכיח). 8

9 6 שונות 1. תן דוגמא של הרחבה איספרבילית ממימד סופי. פתרון. הפולינום x p t הוא איספרבילי מעל שדה הפונקציות הרציונליות (t) Z. p ההרחבה (t) Z p (t 1/p )/Z p לא ספרבילית ממימד.p. מצא את כל הפולינומים הציקלוטומיים פולינומים מינימליים של שורשי יחידה ממעלה 4 מעל Q. ϕ(n) = ϕ(p α 1 1 pα t פתרון. המעלה של הפולינום הציקלוטומי ה n י היא = ) t p i 1 4.ϕ(n) = 4,n = p α pα t t נניח.(p 1 1)p α (p t 1)p α t 1 t לכל,i ולכן.n = α 3 β 5 γ אם 1 γ אז = 1,γ β = 0 ו 1.α לכן 10} {5,.n אם = 0,γ β 1 (כי 3 לא מחלק את,(4 ואז 3 α n = או.n 8, 1 מבדיקה,.n = α Φ 10 =,Φ 5 = x5 1 x 1 Φ 1 ו = Φ 8 = x8 1 Φ 1 Φ Φ 4 הפולינומים הציקלוטומיים הם: + 1 x = x4 + x 3 + x + = x 4 + 1, x 10 1 Φ 1 Φ Φ 5 = x 4 x 3 + x x + 1. x 1 1 Φ 1 Φ Φ 3 Φ 4 Φ 6 = x 4 x + 1 שדה הפיצול המשותף הוא ] 10 Q[ρ ממימד 3 מעל Q..3 אם K הרחבה אלגברית של,R אז K = R או.K = C.4 (ניסוח אחר:) הוכח הפולינום + 3 3x x 7 + 3x + מתפרק מעל R לגורמים שכולם ממעלה 1 או. פתרון. אם x + 1 מתפצל ב K, אז יש ל K תת שדה ([1 ]R) איזומורפי ל C. אחרת, [1 ]K הוא הרחבה של R. כעת משתמשים ב"משפט היסודי של האלגברה" שאין ל C הרחבות אלגבריות לא טריוויאליות ממימד סופי..5 מה הפולינום המינימלי של ρ 8, ρ 1 מעל?Q,Φ = x 1 Φ 1 פתרון. נחשב לפי הנוסחה האינדוקטיבית. = 1 1 = x 1,Φ,Φ 6 = x6 1 Φ 1 Φ Φ 3 = x x+1,φ 4 = x4 1 Φ 1 Φ = x +1,Φ 3 = x3 1 Φ 1 = x +x+1.φ 1 = x1 1 Φ 1 Φ Φ 3 Φ 6 = x 4 x + 1,Φ 8 = x8 1 Φ 1 Φ Φ 4 ולכן = x