חוברת הדרכה לפתרון משוואות טריגונומטריות

תמליל

1 חלק א': משוואות בסיסיות: חוברת הדרכה לפתרון משוואות טריגונומטריות X 6. הפתרון הכללי: X 8 6,,, sin. משוואה מהצורה sin כאשר = נקבל את הפתרונות במחזור החיובי הראשון. כאשר = נקבל את הפתרונות במחזור החיובי השני וכך הלאה. כאשר -= נקבל את הפתרונות במחזור השלילי הראשון וכך הלאה. sin 5.8 sin 5. א / : sin sin ב. 6 6 / : / : הערה: אם הפיתרון הכללי יוצא שלילי )לדוגמא X בדוגמא ב'(, אפשר לרשום את הפיתרון הכללי כשמתחילים מהפתרון החיובי הראשון וזאת ע"י כך שמוסיפים לפיתרון השלילי את המחזור של הפתרון. בדוגמא: ל - מוסיפים 8, שזהו המחזור של הפיתרון ומקבלים 7. X 6. X 6. משוואה מהצורה cos cos הפתרון הכללי: / cos 6 cos 6 6 ב / : 5 7 א. cos cos 6 4. הערה: כאשר יש צורך לכפול או לחלק את אגפי המשוואה במספר שלילי הסימן של המחזור של המשוואה יישאר תמיד חיובי.

2 . 8 n n co co. משוואה מהצורה דוגמא: א. הפתרון הכללי: n 6 / : n n n / :.95 9 סיכום המקרים + מקרים פרטיים: sin X sin X פתרון \ תו משוואה sin X 6 X 8 6 sin sin X sin פותרים לפי המשוואה הקודמת עם זווית שלילית. sin X X 8 sin X X 9 6 sin X X 9 6 cos X cos X 6 cos X X 6 cos cos X cos 8 פותרים לפי המשוואה הקודמת עם זווית המשלימה ל- 8. cos X X 9 8 cos X X 6 cos X X 8 6 n X n X 8 n X n n X n co X co X פותרים לפי המשוואה הקודמת עם זווית שלילית. co X 8 co co X co פותרים לפי המשוואה הקודמת עם זווית שלילית.

3 חלק ב: שיטות עבודה לפיתרון משוואות טריגונומטריות מורכבות משוואות מהצורה sin =, cos =. cos cos cos cos cos cos sin sin sin.64 cos.64 cos.8 cos / : 5. 8 משתמשים בנוסחאות: הדרך הנוספת לפתרון היא הוצאת שורש ריבועי לשני אגפי המשוואה ואז לפתור שתי משוואות פשוטות : =.8 Sin ו = sin בדרך זו נקבל 4 פתרונות כלליים.. פתירת משוואות הכוללות אותה פונקציה בשני האגפים: co 4 co co 4 co co 4 n co 4 co ) sin sin sin sin sin sin ( חשוב לזכור כי: -cos = cos (8 - ( ד. -co = co (-) -n = n(-) א. sin(-) -sin = ב. ג.

4 . פתירת משוואות על ידי מעבר לאותה הפונקציה : n co ד. נוסחאות שימושיות למעבר לאותה הפונקציה: co א. = sin +cos ב. n ג. sin cos ה. - cos = cos ו. cos = - sin cos sin sin sin sin sin sin sin sin 8 sin sin 9 8 cos sin sin sin sin ), sin sin sin cos cos sin sin cos cos cos9 9 6 sin sin sin sin sin cos cos sin sin cos sin. sin sin 9 6. sin cos cos sin ( פתירת משוואות על ידי פירוק לגורמים )הבאה למכפלות( ) cos cos 8 cos cos sin sin sin cos sin ) sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin , cos cos cos 5 4 cos 6 6. sin. sin sin פתרון משוואות בעזרת נוסחאות לסכום והפרש שתי פונקציות ).4 4

5 sin sin sin cos cos cos cos cos sin sin sin cos cos cos sin sin הנוסחאות: sin sin cos cos sin cos cos cos cos sin cos. cos 9 8. sin cos sin sin 9 sin 45 cos 45 sin ) ) ) sin sin sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin sin sin 4 sin sin sin 4. sin 8. sin 4 9 sin sin cos 4 sin sin 4 cos 4 sin sin 4 cos sin cos 4 cos 4 sin sin 4 cos sin cos 4 sin 4 sin 5 sin 5 6 / : b, cos sin.6 פתירת משוואות מהצורה m b m c כאשר - מקדמים מספריים. דרך הפיתרון: sin m bcos m c / : על מנת לפתור משוואה מסוג זה ישנם מספר שלבים: b c sin m cosm. חילוק המשוואה כולה ב- או ב- b b b 5 rcn n c

6 )נדגים כאשר אנו מתייחסים לחלוקה ) sin b המרת לפונקציית, n ואותה להמיר ל-. cos לבצע מכנה משותף של ה-.cos על פי הנוסחא sin sin cos cos sin להפוך את כל האגף השמאלי לפונקציה אחת, ולהשוותה לאגף הימני )להפוכו למספרי(....4 sin cos n 6.4 ) ) sin n 6.4 cos / : cos 6.4 sin cos 6.4 sin 6.4 cos cos 6.4 sin sin 6.4 sin sin cos / : sin cos n sin n cos sin sin cos / cos cos cos sin sin cos cos sin ) 4sin cos 4 4sin cos 4 / : 4 4 sin cos 4 n 5. 4 n 5. sin cos / cos5. 4 sin 5. sin cos 5. cos cos 5. cos 5..8 cos : b sin m bcos m פתירת משוואה מהצורה c ) sin m cos m )מהצורה c עם מקדמים 6

7 sin cos. sin sin 9. sin 45 cos 45. / : sin 45 cos sin 45 cos 45 cos משוואות הומוגניות ממעלה ראשונה ושנייה משוואות טריגונומטריות הינן הומוגניות לגבי פונקציות סינוס וקוסינוס אם הן מופיעות באותה החזקה ובאותו המחזור. 7 sin למשל:,-,5, sin ו-,cos ו-.cos

8 באם הביטויים הללו יופיעו במשוואה, רק הם, או חלק מהם, אזי המשוואה תהיה הומוגנית מדרגה שניה. cos בחזקה הגבוהה ביותר. 9. 5=5sin +5cos =, sin +cos אם המשוואה היא הומוגנית, מחלקים לצורך הפיתרון את כל המשוואה ב- חובה לבדוק אם הפיתרון של cos מהווה פתרון של המשוואה המקורית וזאת ע"י הצבה במשוואה המקורית. רק אם 9 לא מהווה פתרון של המשוואה המקורית מותר לחלק ב- cos מקיים את המשוואה המקורית יש לפתור בדרך אחרת. בחזקה הגבוהה ביותר כפי שצויין מעלה. אם 9 cos 9 45? sin 9 cos 9 מותר לחלק א. בדיקה: האם מותר לחלק?: sin cos sin cos / : cos n ב. ג. cos sin cos / : cos נבדוק: האם מותר לחלק cos 9? cos 9 sin 9cos9 cos n n n, מותר לחלק n. n n sin sin cos cos / : cos ז"א s oc נבדוק לגבי 9? sin 9 sin 9cos9 cos 9 מותר לחלק sin sin cos cos cos cos cos n n n, 4. n. n הזהויות בטריגונומטריה 8

9 sin n cos co cos co sin n nco sin 9 cos cos 9 sin n 9 co co 9 n sin cos n cos co sin sin cos n co sin cos n co sec sin cosec cos sin 8 cos 8 n 8 co 8 sin cos n co sin sin cos sin cos sin sin cos sin cos cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin n n n n n n n n n n coco co( ) co co co co co( ) co co sin sin sin cos sin sin sin cos cos cos cos cos cos cos sin sin sin sin cos sin =sin cos cos cos sin = cos = sin - cos cos sin = cos = sin - sin cos sin cos cos cos cos cos cos cos cos sin - cos - cos sin n cos sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos Sin Cos Tn Co o 45 o 6 o 9