עבודת קיץ לתלמידי כיתה ט' העולים לכיתה י )רמה - יחידות( את העבודה יש להגיש למורה למתמטיקה תחילת שנה הבאה. בשבועיים הראשונים של שנת הלימודים יתקיים מבחן לפי העבודה. התייחסות רצינית להכנת העבודה היא תנאי הכרחי להצלחה בהמשך לימודי מתמטיקה ברמה מוגברת. פרק א טכניקה.אלגברית. נושא I.נוסחאות כפל מקוצר. (A + B) (A B) = A B השתמש בנוסחה ופתח סוגריים:. (d )( + d ). (6 0.)(0. + 6). (7 0.)( 7 + 0.) ). ( + )( ). ( + )( ) 6. ( ) ( + ) ( פתח את הסוגריים. העזר בנוסחת הכפל המקוצר.. ( )( + ). ( + )( + )( ). ( + )( ). (m )(m + )(m + ). ( )( + ) 6. ( )( + 6)( + ) ( פתח את הסוגריים, וכנס את האיברים הדומים. העזר בנוסחת הכפל המקוצר.. ( c)( + c) (7c )(7c + ). ( + )( ) ( + )( ). ( + 0c)(0c ) + ( c)(c + ). 80 ( )( + )( + ) (A + B) = A + AB + B (A - B) = A - AB + B ( השתמש בנוסחאות אלה ופתח סוגריים:. ( + ). ( + ). ( 0. ). ( ) ( פתח סוגריים וכנס את האיברים הדומים. העזר בנוסחאות הכפל המקוצר.. ( 7). ( ) ( )( + ) ) 6 פשט: 6). ( 7). ( + 6)( 6) ( +. (m + ) + (m ) (m + )(m ). ( + ) + ( ) ( )( + ). [(m + m) + (m m) ] m. ( )( + )( + ) ( ) 7( פשט את הביטויים הבאים ולאחר מכן הצב את ערכי ה- הנתונים וחשב.. ( - )( + ) + ( ) - = -.. 0. ( ) ( + ) 0. ( ) = -. (0. 8) + (0. + 8) = - 0
ףסוי תמר טרוא ב"טח אשונ םירבש םוצמצ :II :םצמצו הנכמו הנומ םימרוגל קרפ. א) ) ( ב) 6 7 ג) c c 0 ד). א( ) ( ) ( ב) c d d c 6 ג) 6 ד) mn n n m m. א) 0 ב) ג( 6 ד( 6. א) 6 ב ( 6 ג) 0 ד) 0 אשונ. III. םיירבגלא םירבש רוסיחו רוביח. :רשפאה תדימב םצמצ,םיאבה םירבשה תא רסחו רבח,הבצהה םוחת תא ןייצ. 8. 6... 8 6. 7. c c c 8. ) ( אשונ.םיירבגלא םירבש קוליחו לפכ.IV. ; : 6. :. ; : 7. 6. 8 m m m m m 8. ; :.. ;. : 7 7 7 7 0.
ףסוי תמר טרוא ב"טח.הנושאר הלעממ האוושמ.V אשונ תואוושמה תא רותפ :.. ) )( ( 7. 8.. 6. 0.הנושאר הלעממ תואוושמ תכרעמ. VI אשונ :תואוושמה לש תוכרעמ תא רותפ 8 7 6. 7 6 0 7. 8. 7 8.. 0 6. 6.תיעוביר האוושמ.VII אשונ תא ןייצ,תואוושמה תא רותפ :הבצהה םוחת. 0.. 7. 0 8 ) (. 6. 7. 8. 0 6 8.
ףסוי תמר טרוא ב"טח אשונ IVVV.הינש הלעממ תואוושמ תכרעמ. 0 7 8 6
פרק ב' פונקציה..
.. לפניכם שלוש הצגות של הפונקציה :f() הצגה מוזזת הצגה כמכפלה הצגה סטנדרטית f() = 6 f() = ( + )( ) f() = ( ) 8 הראו כי שלוש ההצגות מתארות אותה הפונקציה. א. הסתמכו על המידע הנתון בשלוש ההצגות, ומצאו את: ב. שיעורי נקודות החיתוך עם הצירים - משוואת ציר הסימטריה - שיעורי נקודת הקדקוד. - שרטטו סקיצה של הגרף של,f() וסמנו בה את הנקודות שמצאתם בסעיף הקודם. 6
. אורך החיים של כלבים הוא בסביבות שנים. לכן כלב בן, למשל, נחשב לזקן. הקשר בין הגיל של כלב לבין הגיל המקביל של האדם תלוי בגודל הכלב. אצל כלבים קטנים )במשקל 0 ק"ג(, ההתאמה בין גיל הכלב לגיל האדם מתאים לאותו שלב התפתחות מתנהגת, בערך, לפי הפונקציה + f() = כאשר מייצג את גיל הכלב )בשנים רגילות(, ו-( f( מייצג את גיל האדם המתאים לאותו שלב. אצל כלבים גדולים )במשקל מעל ק"ג(, ההתאמה בין גיל הכלב לגיל המקביל של אדם מתנהגת, בערך, לפי הפונקציה g() 6 דוגמה: כלב קטן בן נמצא בשלב התפתחותי בחייו המתאים לאדם בן כי += =. f() א. השלימו את הטבלה עבור גילים המתאימים לכלבים קטנים. גיל כלב קטן 0 6 גיל אדם 7 ב. השלימו את הטבלה עבור גילים המתאימים לכלבים גדולים. גיל כלב גדול 0 6 גיל אדם 6 ג. לפניכם סקיצה של הגרפים המתאימים ל- f() ול-( g(. התאימו גרף לכל פונקציה. א גיל ד. מהם שיעורי נקודת החיתוך בין שני הגרפים? מה מתארת נקודה זו? ה. מצאו (0)f, (0)g. מה משמעות המספרים שקיבלתם? ו. מצאו עבור אילו ערכים של מתקיים:( f( g() > מה משמעות התוצאה שקיבלתם? הגיל בשנים רגילות ז. מצאו עבור איזה ערך של מתקיימים השוויונות הבאים: = f() (i) מה משמעות התוצאות שקיבלתם? (ii) g() 6 ח. הוסיפו סימן סדר מתאים )<, < או =(. f(0) g(0) )ii( f() g() )i( 7
ג. ד. ב.. נתונות הפונקציות: = ( + ) ) = ( ) ) = ) א. ב. ג. ד. ה. סרטטו את הגרפים של שלוש הפונקציות באותה מערכת צירים. מהם צירי הסימטריה של כל אחת מהפונקציות? מהם שיעורי הקדקוד של כל אחת מהפונקציות? כיצד אפשר לקבל על ידי הזזה אחת את גרף פונקציה )( מגרף פונקציה )(? כיצד אפשר לקבל על ידי הזזה אחת את גרף פונקציה )( מגרף פונקציה )(? 6. בכל סעיף נתון מידע על פרבולה ונתונים ייצוגים אלגבריים של פונקציות ריבועיות. אילו מהייצוגים מתאימים למידע הנתון? שיעור ה- של הקדקוד הוא שיעורי הקדקוד )0, (.א = = = ( ) = ( + ) = ( + ) = ( ) ציר הסימטריה = = = ( ) = ( ) ציר הסימטריה עובר בנקודה ), ( = = ( + ) + = +.7 8
.8..0
.. 0
פרק ג' גיאומטריה. נושא I.חפיפת משולשים.
נושא II.משולש שווה שוקיים.
נושא III.משולש ישר זווית שבו זווית בת 0. נושא IV.תיכון ליתר במשולש ישר זווית.
המשולשים שלפניך הם ישרי זווית והקטע שעובר בתוכם הוא התיכון ליתר.מצא את הזויות המסומנות במספרים:. נושא V.מקבילית,מלבן,מעוין,ריבוע. 6
7
נושא. VI טרפז. קטע אמצעים בטרפז ובמשולש. 8
תרגול מסכם בכל הנושאים א. פונקציות. נתונות שתי פונקציות ריבועיות: f() = ( ) + g() = ( + ) כתבו את הביטוי האלגברי של הקו הישר העובר בין נקודות הקדקוד של שתי הפונקציות. נתונות הפונקציות הריבועיות: f() = ( + ) g() = f() + ומשורטט הגרף של.f(). א. חשבו את ( )g ב. מהם השיעורים של נקודת הקדקוד של הפונקציה g? f()
נתונה הפונקציה ) f() = ( )( א. מהו שיעור ה- של נקודת הקדקוד של הפונקציה? ב. כתבו פונקציה אחרת,,g() שנקודות החיתוך שלה עם ציר ה- זהות לאילו של הפונקציה f ונקודת הקדקוד שלה היא נקודת מינימום.. נתונה הפונקציה: ) + ( f() = א. תנו דוגמה של פונקציה קבועה שחותכת את גרף הפונקציה f בשתי נקודות. ב. רשמו את שתי נקודות החיתוך של הפונקציה הריבועית f והפונקציה הקבועה.. א. חשבו את נקודות החיתוך של שתי הפונקציות: g() = ( + ) + ו- f() = ( + ) ב. קבעו באיזה תחום g() f() <. 0
א. חשבו את נקודות החיתוך של שתי הפונקציות: g() = + ו- f() = + ב. קבעו באיזה תחום g() f() >.6 נתונה הפונקציה + f() = א. חשבו את שיעור ה- של נקודת הקדקוד. 7 : f( ) מצאו את f( ב. נתון ) 8 נמקו. f( ).7 ג. נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר נמצאות: )סמנו את התשובה הנכונה( בחלק החיובי של ציר i..ii נקודה אחת בראשית הצירים והשנייה בחלק החיובי של הציר.iii נקודת אחת בחלק החיובי של ציר ונקודה אחת בחלק השלילי של הציר בחלק השלילי של ציר.iv א. לפונקציות: = 6 ו- = + 6 נכון / לא נכון )סמנו את התשובה הנכונה( ונמקו. אותן נקודות חיתוך עם ציר..8 ב. לפונקציות: + 8 6 = ו- ) + 8 ( = אותה נקודת חיתוך עם ציר. נכון / לא נכון )סמנו את התשובה הנכונה( ונמקו.
נתונה הפונקציה ) + )( = ( א. מהן נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר? ב. כתבו את התחום בו הפונקציה עולה. ג. כתבו את משוואת הפונקציה הקווית העוברת דרך קדקוד הפונקציה הריבועית הנתונה ואחת מנקודת החיתוך שלה עם ציר ה-.. ב. טכניקה אלגברית. נמקו מדוע למשוואה שלפניכם אין פתרון. 6 6 6 נתונה המשוואה: 6 א. הסבירו מדוע הפתרונות של המשוואה המקורית זהים לפתרונות של המשוואה הבאה: 6 ( )( ) 6. ב. פתרו את המשוואה. נתונה המשוואה = 0 ( + הוא פרמטר(. מה צריך להיות הערך של כך שלמשוואה יהיה פתרון ממשי יחיד? נמקו.. ( ) ( ) נתון האי-שוויון א. סמנו את האי-שוויון השקול לאי שוויון הנתון ( ).ii.iv ( ) ( ).i.iii. ב. פתרו את האי-שוויון.
נתונה מערכת המשוואות: 6 8 הסבירו מדוע יש למערכת המשוואות רק פתרון יחיד.. נתונה מערכת המשוואות: 0 עמית התחיל לפתור כך: = 8 + + ( + ) = 8 המשיכו את דרך הפתרון של עמית, או בחרו בדרך אחרת לפתור..6 7 6 8 6 6 6 פשטו את הביטוי, רשמו את תחום ההצבה..7 א. פתרו את התרגילים, כתבו את התוצאה בכתיב מדעי: ב. = 000000. 0 0 00 6.8 במשולש ישר זווית ניצב אחד ארוך ב- ס"מ מניצב שני. אורך היתר הוא 6 ס"מ. חשבו את היקף המשולש.. 0.א. פתרו את המשוואה = 0 ) ( ( ) ב. כתבו משוואה שיש לה שני פתרונות שהם נגדיים זה לזה. ( ).פתרו את המשוואה:
ג. שאלות מילוליות. רכבת עוברת בכל יום מרחק של 00 ק"מ במהירות קבועה. באחד הימים הגדילה את מהירותה ב- 0 קמ"ש ובאותו היום עברה את המרחק בחצי שעה פחות מהזמן ביום רגיל. מצאו את מהירותה של הרכבת ביום רגיל. שטחו של משולש 0 סמ"ר. אם נגדיל צלע של המשולש ב- % ואת הגובה לצלע זו נאריך ב- ס"מ, יהיה שטח המשולש סמ"ר. מצאו את אורך הצלע ואת אורך הגובה אליה.. X מ' 0 מ' X מ' על חלקת אדמה אשר ממדיה הם 0 מ' 0X מ' רוצים לנטוע בוסתן עם עצי פרי שצורתו מלבנית וצמודה לפינה, כמתואר באיור. שטח הבוסתן צריך להיות משטח החלקה כולה. רוחב השבילים הצדדיים צריך להיות שווה. מהם ממדי הבוסתן?. 0 מ' ד. הסתברות. בקופסה מונחים מפתחות, ורק אחד מהם מתאים לדלת. מוציאים מהקופסה מפתח באקראי. אם הוא אינו מתאים לדלת, מוציאים מפתח אחר מבלי להחזיר את המפתח הראשון. א. מה ההסתברות שהמפתח הראשון שמוציאים יהיה המפתח המתאים לדלת? ב. מה ההסתברות שהמפתח השני יתאים אם ידוע שהמפתח הראשון אינו מתאים? בארגז אשר במחסן יש נורות. מחצית הנורות הן מתוצרת הארץ ומחצית הנורות הן מתוצרת חוץ. מבין הנורות מתוצאת הארץ יש הסתברות של % שהנורה פגומה. מבין הנורות מתוצרת חוץ יש הסתברות של % שהנורה פגומה. בוחרים באקראי נורה אחת מתוך הארגז.. א. מה ההסתברות שהנורה שנבחרה היא פגומה מתוצרת הארץ? ב. מה ההסתברות לבחור נורה תקינה?
ו. אוריינות מאותו מקום על גדת הנהר יצאו רפסודה וסירה עם מנוע ליעד שמרחקו 0 ק"מ בשעה 8:00. הם שטו עם הזרם שמהירותו הקבועה הייתה 0 קמ"ש. בשעה :0 יצא אופנוע ים גם הוא מאותו המקום ולאותו יעד. היעזרו בגרף המצורף כדי לענות על השאלות הבאות: מרחק בק"מ. סירה עם מנוע אופנוע ים רפסודה זמן בשעות א. ב. המהירות של הסירה עם המנוע )ללא מהירות הזרם( הייתה קמ"ש. התייחסו לטענות הבאות: טענה ברגע שעקף האופנוע את הרפסודה המרחק מהרפסודה לסירה היה כמו המרחק בין הרפסודה לאופנוע שעה וחצי לאחר העקיפה שעה לאחר שעקף האופנוע את הסירה הגיע האופנוע ליעד חצי שעה לאחר שעקף האופנוע את הרפסודה מרחק האופנוע מהרפסודה היה גדול ממרחק האופנוע מהסירה חשבו באיזו שעה תגיע הרפסודה אל היעד. נכון / לא נכון נכון / לא נכון נכון / לא נכון נכון / לא נכון.i.ii.iii ג.
מרצפים אולם אירועים במרצפות גדולות הצבועות באפור ולבן. )האיור הוא של מרצפת אחת ראו איור (. כל מרצפת היא ריבועית וגודלה מ"ר, החלוקה של המרצפת יוצרת צורות ריבועיות.. א. איזה חלק מכל מרצפת צבוע באפור? איור ב. מצמידים מרצפות זו לזו כך שהחלקים הלבנים ביחד יוצרים מלבנים וריבוע. )ראו איור ( מה השטח של הריבוע הלבן הפנימי )המסומן באיור בקו עבה יותר(? איור ג. המידות של אולם האירועים הן 6 מ' 7. X מ'. לכל היותר, בכמה מרצפות שלמות יכולים להשתמש? )ידוע שיזדקקו גם לחתוך מרצפות להשלמת הריצוף(. 6
ה. גאומטריה. לפניכם סעיפים. על כל אחד מהם ענו נכון/לא נכון ונמקו בקצרה )משפט( א( קיים משולש שווה שוקיים שזווית הראש שלו גדולה פי 6 מזווית הבסיס. נכון / לא נכון נמקו בקצרה ב( תיכון במשולש שווה שוקיים הוא גם חוצה זווית. נכון תמיד / לא נכון תמיד נמקו בקצרה כתבו תכנית בנייה לבניית משולש שווה שוקיים על פי הגובה לבסיס וזווית הראש. הצדיקו מדוע הבנייה תהיה נכונה.. A B. בטרפז שווה שוקיים (AB CD) ABCD EF קטע אמצעים. E F ס"מ = EF היקף משולש ACD גדול ב- 8 ס"מ מהיקף D C משולש.ABC חשבו את אורכי הבסיסים של הטרפז. נמקו. A B הקטע ABCD במלבן B הוא חוצה זווית BE. ס"מ =,BE ס"מ = DE D E C חשבו את היקף המלבן. נמקו. A E F B המרובע ABCD הוא ריבוע.. נתון: G T FT EC,EC AH הנקודות G F, E, הן אמצעי הצלעות AH,EB,AB בהתאמה. הוכיחו: DG = FT D H C 7
A D F E B G המרובע ABCD הוא טרפז ישר זווית ( AB ) A = 0,CD E ו- F הן נקודות על הצלעות DC ו- AB בהתאמה. נתון: DF EB C EB BC הנקודה G היא אמצע הקטע EC הוכיחו: א. AFD BEC ב. BE חוצה זווית ABG.6 E A F משולש ABC הוא משולש שווה צלעות. נתון: A חוצה זווית AD EF קטע אמצעים במשולש הוכיחו: BF ED.7 B D C B O C המרובע ABCD הוא מעוין. משולש ABD הוא משולש שווה שצלעות הנקודה E על המשך האלכסון DB כך ש DE = DB א. הוכיחו BC CE ב. נתון ס"מ =.BO חשבו את האורך של.CE.8 A D A E במשולש BG AC,ABC BGC במשולש BC תיכון לצלע GE. D G DGB = EGB כך שמתקיים AB נקודה על D הוכיחו: א. DG BC ב. ADG ABC B E C 8