דינמיקה של מסה נקודתית: יש לנתח את התנועה של המערכת המתוארת בתרשים. המסות של הגלגלת ושל החוט זניחות. החוט בילתי מתיח. נתונות מסות, של הגופים. השולחן חלק. מצא את התאוצות הגופים. ) a 4 a ( בין העגלה M לבין המסה שבשרטוט יש מקדם חיכוך סטטי. מה צריכה להיות תאוצת העגלה M על מנת שהמסה לא תחליק? a ) A truc starts fro rest at tie t = and accelerates uniforly, achiein a speed of eters per second in seconds. A sall pacae of ass 5. iloras is initially located. eters fro the bac of the truc. The pacae starts to slide at tie t =, and the coefficient of inetic friction between the pacae and the truc floor is.5. See Fiure. (a) On a diara of the pacae, show and label each force (in the reference frae of the round) actin on the slidin pacae. (b) Find the horizontal acceleration of the pacae relatie to the reference frae of the round. (c) Deterine the tie after t = when the pacae reaches the bac ede of the truc. (d) Deterine the horizontal coponent of the elocity of the pacae as it stries the round. (Acceleration of raity /s )... /s s תשובות: ב..5/s ג. ד.
במעלית נמצא מישור משופע חלק שזווית נטיתו. על פני השיפוע במקרים הבאים: המעלית נמצאת במנוחה. המעלית עולה במהירות קבועה. המעלית יורדת במהירות קבועה. המעלית עולה בתאוצה a. המעלית יורדת בתאוצה a )רק כבל המעלית נקרע. תשובות: ד. ה. ו. בול מחליק על המישור המשופע. חשב את תאוצת הגוף בתנאי ש-.)a a a asin asin a sin )4 א. ב. ג. ד. ה. ו. 5( באיזה כוח חייב האיש שבשרטוט למשוך בחבל, על מנת לעלות בתאוצה a )ולהישאר באותו מרחק מעל הלוח(? נתון שמסת האדם והלוח יחד היא, והחבל והגליליות חסרי מסה. T a 6( שלוש משקולות,,, קשורות זו לזו על ידי חוט בלתי מתיח ונטול מסה )ראה תרשים(. מקדם חיכוך בין המשקולת לבין המישור שווה ל-. אין חיכוך בין ושולחן. מצא את המתיחות T בין ו-. T ; [ ( )] ;
7) Calculate the acceleration of the bodies and and the tension in the ropes (Fiures a,b,c). All pulleys are weihtless and frictionless, and the bodies slide without friction. Write the ector for of Newton s Second Law for each body. Then, resole the ector laws into their coponents (usin a Cartesian syste). Which deice ay accelerate faster than in free fall? Sole first alebraically; then apply to the case = 4, = 6. (a) (b) (c) תשובות: a (a) (b) (c) T a 4 a 4 T 4 4 a 4 T 4 8( כדי למצוא את מקדם החיכוך הסטטי s שבין עץ ועץ ביצעו ניסוי הבא הניחו על קרש עץ את בול העץ והתחילו להרים קצה אחד כך שהקצה השני )נק' A( נשארת במנוחה. בזווית התחיל 4 הבול לנוע. למה שווה מקדם החיכוך? 5.5 545 ו- 9( שני גופים בעלי הסות נמצאים על מורד בעל זווית. ושל השני הגופים יורדים. מקדם החיכוך של הגוף הראשן עם המורד הוא ובמגע ביניהם... מצאו: א ) ב( את התאוצה של הגופים; את הכוחות שכל גוף מפעיל על השני;
? ג( מה יקרה עם ; a ; F sin cos תשובות: א( 5.8 /s cos. 8 F ב( N 5( יורים טיל בעל מסה M על פני כדור הארץ במהירות בזווית. α נוסף לכוח הכבידה פועל על הטיל התנגדות האוויר F b כאשר b הוא המקדם ההתנגדות. והשווה 45 א( ב( ג( ד( רשום את חוקי ניוטון וכתוב אותם לפי הרכיבים (x,y) מצא את שני הרכיבים של המהירות כפונקציה של הזמן y(.)x, מצא את הקואורדינאטות כפונקציה של הזמן ) )x,y( b. ושהמסה M K צייר את המסלול עבור בהנחה ש Ns / למסלול הבליסטי ומהירות התחלתית /s, t x () e y () e t x () () t y t e, ( e ) / t כאשר b / M. ( שרשרת מונחת על שולחן אופקי כך שחלקה תלויה מעבר לקצה של השולחן. כאשר החלק התלוי )האנכי( הוא 5..5 לנוע ונופלת מהשולחן. מצאו: מהאורך הכולל השרשרת מתחילה את מקדם החיכוך בין השרשרת והשולחן; א( את המהירות הסופית ברגע ההתנתקות מהשולחן; האורך של החוט ב( מניחים כי ו-. = /s s. ( ).69 /s ב( ;.8 ( ) תשובות: א( 4
( חבל )בעל צפיפות אחידה( שאורכו L מונח על שולחן השולחן. מקצה משתלשל b באורך מהחבל שחלק כך גבוה מקדם החיכוך הסטטי בין החבל לשולחן הוא, s ומקדם החיכוך החבל משוחרר ממנוחה. הקינטי הוא. K של המשתלשל הקצה של המינימלי b אורכו מהו a. החבל על מנת שהחבל יתחיל לנוע? בהנחה שהחבל אכן נע מ-, b הוכח שהוא עוזב את b. במהירות השולחן L b LL b L תשובה : א. b s L s L (כבל גמיש שאורכו L ומסתו M מונח על המשטח שבציור, כך שקצהו C נמצא במרחק a מקצה המדרון A. הכבל משוחרר ממנוחה. הוכח שכאשר הקצה B מגיע לנקודה A תהיה מהירות הכבל. L a sin )המדרון והמישור חסרי חיכוך!(. רמז: העזר בקשר adx d B L-a A a C 4( חבל )בעל צפיפות אחידה( שאורכו L נמצא בשווי משקל כך שאורך x ממנו תלוי אנכית בקצה מדרון חסר חיכוך, ואילו יתרת החבל (L-x) נמצאת על המדרון. א. חשב את x עבור מצב שיווי משקל. ב. הבע את תאוצת החבל כפונקציה של x. ג. מהי מהירות החבל כאשר x? = L תשובות: x א sin L sin ג ב a L x L x sin L sin 5( שתי משקולות, קשורות זו לזו על ידי חוט בלתי מתיח ונטול מסה )ראה תרשים(. הגלגלת נטולת. מסה. מקדם חיכוך )סטטי שווה לקינטי( בין המשקולות לבין המישור המשופע )בעל זווית ( שווה ל- א. מצא את התאוצה של הגופים. ב. שרטט את התרשים עבור מקרים. 9 ו- 5
a (sin cos ) 6( איש נמצא על פלטפורמה התלויה בחבל העובר דרך גלגלת. האיש מחזיק את הקצה השני של החבל. ומסת האיש 5 באיזה כוח מינימאלי עליו למשוך כדי לעלות אם המסה של הפלטפורמה היא.44 N? 75.( שני גופים A ו- B קשורים ע"י חוטים כמו באיור. חוט שלישי קשור לקיר קבוע וזוויתו עם האופק. 4 משקלו של גוף B הוא. N. מה צריך להיות משקלו של גוף A כדי לגרום לתנועה של גוף B אם מקדם החיכוך הסטטי הוא 5.5?.55 N 8( קובייה מחליקה במסילה. מקדם החיכוך הקינטי הוא 5.. מהי התאוצה של הקובייה אם?.. /s 9( משקולת בעלת מסה M נמצאת על השולחן חלק )חיכוך עם השולחן זניח(. מעל המשקולת M מתמקמת משקולת )ראה שרטוט(. מקדם החיכוך בין המשקולות שווה ל-. איזה כוח אופקי מינימלי צרכים להפעיל על המשקולת M כדי שהמשקולת העליונה תתחיל לחליק על פני המשטח של המשקולת M? F in ( M) 6
גוף בעל מסה נמצא על משור משופע בעל זווית. הגוף קשור למסמר האנכי הנעוץ לקודרוד של המישור )ראה תרשים(. המישור המשופע זז בכיוון אופקי בתאוצה a. מצא את כוח המתיחות של החוט ( החוט נטול מסה ובלתי נמתח(. ) T ( a cos sin ), a T a, a tan tan V. פתאום הנהג רואה מכשול על הפסים ומפעיל את מערכת הבלמים. המנוע של מערכת ( רכבת בעלת מסה זזה במהירות קבועה הבלמים יוצר כוח מתואר לפי.F=-t )הסימן מינוס מתאר את העובדה שכוח מכוון כנגד כיוון התנועה(. יש להניח שכוח החיכוך זניח. יש למצוא כעבור כמה זמן הרכבת תעצור. מהי תלות של המהירות בזמן לאחר הפעלת הבלמים..I.II II..I x t t. F מצא את ( ג ףו נקודתי בעל מסה נופל משוחרר ממנוחה. כוח החיכוך שמופעל על הגוף על ידי האוויר מתואר לפי מהירות הגוף ברגע אין סופי. x 7
( מערכת מתוארת בתרשים כוללת שני גופים, M, גלגלת וחוט נטולים מסה. )החוט בלתי נמתח(. מקדם החיכוך )סטטי שווה לקינטי( בין הגופים שווה ל-. השולחן חלק. מהו הכוח האופקי שיספיק לגוף M תאוצה a? F a( M) ( שלוש משקולות,,, קשורות זו לזו על ידי חוט בלתי נמתח ונטול מסה )ראה תרשים(. מקדם חיכוך בין המשקולות לבין המישור המשופע )בעל זווית ) שווה ל-. מצא את התאוצה של הגופים. יורד; תאוצת הגופים שווה ל: a ( )(sin cos ) א. ב. עולה; תאוצת הגופים שווה ל: ( a )(sin cos ) ג. לא זז; תאוצת הגופים שווה ל:. a זה קורה כאשר שני הביטויים עבור A וגם עבור B הם שליליים. 8
מסה. על החבל מפעילים כוח F משתנה. 5( המשקלות בעלת מסה קשורות לחבל. )ראה תרשים(. הגלגלת והחבל נתולים בזמן לפי F( t) 4t t ( N) מצא את המהירות המקסימלית של המשקולת. ax 8 6( צנחן קופץ ממטוס מגובה H ואחרי ניסיונות שונים מצליח לפתוח אותו כאשר הוא נמצא בגובה /H מעל הקרקע. הנח שעד פתיחת המצנח הנפילה היתה חופשית ולאחר פתיחתו התנגדות האוויר היא מתכונתית למהירות:. f C תשובות : tt e ; H, t H H t t e ln ג. א. מצא את מהירות כפונקציה של הזמן )עבור החלק השני של הנפילה(. ב. מצא את גובה כפונקציה של הזמן )עבור החלק השני של הנפילה(. ג. מצא את מהירות בה הצנחן יתנגש עם הקרקע )פתרון לא מפורש(. tt H א. ב. 9
.( מחזיקים במנוחה גוף נקודתי בעל מסה נקודתי נוסף, בעל מסה תלוי בחוט בסטייה של 6 של הגוף ברגע שבו משחררים את הגוף הראשון. יחסית לכיוון אנכי. גוף, תלוי מהראשון. החוטים בלתי נמתח ונטולי מסה. חשב את התאוצה השני 6 a sin sin 8( שני גופים )ארון גדול ותיבה( בעלי מסות 5 ו-. ו-.5 s נמצאים במגע על מישטח בהתאמה. מהו הכוח מחוספס. )ראה תרשים(. מקדם החיכוך הסטטי והקינטי הם מופעל על התיבה על ידי הארון במקרים הבאים? )ברגע הפעלת הכוחות הגופים לא נמצאים במהירות עם כיוון שמאלה(.. F c א( ב( ג( ג אבא מפעיל כוח 6N F a בכיוון אופקי על הארון.. F b הילד בא לעפיל כוח נוסף N אמא "מדברת" לאבא והוא מגדיל את הכוח ל- 8N הילד מפעיל אותו כוח. ב, N, 7N/ N א,N, N 9( כדור ותיבה, עם מסה שווה, קשורות לחבל. )ראה תרשים(. הגלגלת והחבל נתולים מסה. אין חיכוך עם השולחן האופקי. הכדור נע בתוך מים )צמיגות המיי units ). צפיפות הגוף היא פי- גדולה מצפיפות המים וצפיפות א( ב( ג( מהם היחידות של הצמיגות? מהי התאוצה של הגופים? מהי המהירות המקסימלית של הגופים לאחר שיחרור הכדור במיים? תשובות:
ax 4 9 HO ג: א: ב: 6 r a F STOKES 6 r s a 4 H O 5( כדור בעל רדיוס וצפיפות משוחרר כאשר נקודה התחתונה נמצאת על מפלס המים. מהי תאוצת הכדור בתהליך הכנסתו למים בהנחה שכוח Stoes הוא זניח )עבור מהירויות קטנות(. R x ax R H O x R ( חבל גמיש הומוגני )בעל צפיפות אחידה( שאורכו L נמצא בשווי משקל כך שאורך x ממנו תלוי אנכית בקצה מדרון חסר חיכוך, ואילו יתרת החבל (L-x) נמצאת על המדרון. x א.חשב את עבור מצב שיווי משקל. ב. הבע את תאוצת החבל כפונקציה של x. ג. מהי מהירות החבל כאשר x = L a L L x x sin L sin L x sin x sin x x א ב תשובות ג
( L) L sin (. מסובבים דלי מלא מים במישור אנכי. אורך החבל שווה ל-. )ראה תרשים(. מהו התדר המינימלי שיאפשר את הסיבובים בלי שפיכת המים? f in l ( כדור קטן נמצא בתוך כדור חלול בעל רדיוס R )ראה תרשים(. הכדור החלול מסתובב בתדר, f מסביב לציר אנכי העובר דרך המרכז. החיכוך זניח. לאיזה גובה h יעלה הכדור הקטן? f h R R h 4 f R f R h 4( השרטוט מתאר מצב המערכת ברגע מסוים. נתונים:.,F,, מצא את התאוצה באותו הרגע. תאר את התנועה בעזרת המושגים: מואץ/מואט, ימינה/שמאלה. a F (cos ) sin
. יש להזניח את מסתם של, 6 במערכת גופים )ראה שרטטות( נתון:,.)5 הגלגלות ושל החוטים. המסה נמצאת במצב שיווי משקל. א( ב( מצא את הגודל המינימלי של מקדם החיכוך הסטטי בין מסה נניח שהחיכוך בין למישור. למישור נעלם. מצא במקרה הזה תאוצתן של כל המסות. a / q a / q a 4 / q q 4 in 4 ( ) תשובה א. ב. / s 6(. סירת מנוע מתחילה לנוע ממנוחה ואחרי זמן מה מגיעה למהירות המקסימלית. הכוח המניע הפועל על הסירה. F 4N מסת הסירה. בהנחה שכוח ההתנגדות של המים ניתן על ידי:, f מצא:?8/ s א( מהו המקדם ההתנגדות? ב( כמה זמן דרוש כדי להגיע ממהירות אפס למהירות ג( מהו נכון: ג. ( תאוצת הסירה קבועה. ג. ( התאוצה הולכת וקטנה. ג. ( התאוצה הולכת וגדלה. ג. 4 ( כל הזמן התאוצה אפס F N s ax א. תשובה t F / x ln 4. 7s F F / x ב. קודם תקן את הביטוי מהציור הניצב.
יש חיכוך. מכונית נוסעת בכביש מעגלי. במקום שהמכונית נוסעת רדיוס של התנועת המעגלית שווה ל-, R שיפוע tan שווה ל- ומקדם החיכוך הסטטי s על מנת שהמכונית לא תמחליק על הכביש. )הזווי מפשט את החישובים(. חשב את טווח ערכי המהירות ). tan R tan תשובה 8( שלוש משקולות,,, קשורות זו לזו על ידי חוט בלתי מתיח ונטול מסה )ראה תרשים(. מקדם חיכוך בין המשקולת לבין המישור שווה ל-. אין חיכוך בין ושולחן. מצא את המתיחות T בין ו-. תשובה T ; [ ( )] ; 4
תרגילים לתרגול נוסף ללא פתרונות ב( 9( במערכת שמתאורת בתרשים מקדם החיכוך ביו למישור וביו גלגלת וחבל אידיאליים )חסרי מסה וחיכוך(. מצא את הקשר בין הגדלים א( עומד להחליק במורד מישור. למישור הם,α,,, α μ μ ו ו μ μ בהתאמה, כאשר: עומד להחליק במורד מישור. α α 45( מצא את התאוצות של הגופים ו במערכת שבתרשים ואת המתיחות בחבל. גלגלת וחבל אידיאליים. פתור את הבעיה באופן אלגברי ואחר כך הציב =, = 8, 4( הרכב עובר סיבוב שרדיוסו =R 4 דרך כביש משופע )ראה ציור(. ספת הכביש מוגבהת בזווית = θ. 5 מקדם החיכוך הסטטי בין צמיגי הרכב והכביש שווה ל-.5, ומקדם החיכוך הקינטי הוא.5. א( נמק באיזה מקדם החיכוך יש להשתמש בפתרון ב( ו-ג(. ב( מה היא המהירות המקסימלית עבורה הרכב לא יחליק במעלה ההגבה? ג( מה היא המהירות המינימלית עבורה הרכב לא יחליק במורד ההגבה? R F = F e-t /T t מתחיל לפעול עליו כוח הכוח מוסר.בזמן זה t = T בדיוק. )4 גוף שמסתו נמצא במנוחה בנקודה = x. בזמן = )כאשר F ו- T קבועים( בכיוון החיובי של ציר ה- x. כאשר t = T א( מה היא מהירות הגוף, ב( מה הוא המיקום? 4( את/ה נוסע באוטובוס ותולה מתקרתו משקולת של.5 בחוט שאורכו..6 כאשר האוטובוס נע במעקם אופקי של הכביש אתה מוצא כי המשקולת נמצאת במצב שיוויו-משקל אשר החוט מהווה זווית בת 7 עם האנך. במצב זה מרוחקת המשקולת 5.4 ממרכז העיקום של המעקם. מה היא מהירות האוטובוס? 5
44( מצא תאוצות של כל המסות וכוחות מתיחות בכל החוטים. חוטים אידיאליים, גלגלות נטולי מסה. כל המסות נתונות:.,, 45( בן אדם בעל מסה = 5 מתנדנד בנדנדה l. = 4 איזה כוח הוא מפעיל על המשען של הנדנדה כאשר הוא עובר מצב אמצעי במהירות. = 6 /s 46( המטבע קשור למשקולת על ידי חוט אידיאלי מסתובב עם מהירות קבועה על פני השטח של שולחן אופקי חלק. רדיוס הסיבוב R נתון. מהי מהירות המטבע? ),R, נתונים(. R.4( סירת מנוע זזה במהירות. אחרי שמכבים את המנוע על הסירה מופעל כוח חיכוך שווה ל-. = const, F = מצא את החוק שמתאר את המהירות של הסירה כפונקצית זמן אחרי כיבוי המנוע. 6
48( מוט בעל עורך l מסתובב עם מהירות זווייתית קבועה במישור אנכי. לקצה של החוט קשור כדור קטן בעל מסה. איזה כוח F הכדור מפעיל על המוט כאשר מוט עובר מצב אופקי? מה היא הזווית בין הכוח הזה לכוח הכובד? תדר של תנועה סיבובית של המוט נתון:. f = const f 49( צנחן מתחיל את תנועתו באוויר במהירות התחלתית שווה ל- 5. כוח התנגדות האוויר משתנה על פי החוק. F = מצא את חוק שמתאר את המהירות של הצנחן כפונקצית זמן.מה תהייה מהירות הצנחן אחרי זמן רב? F 55( כבל גמיש הומוגני )בעל צפיפות אחידה( שאורכו L ומסתו M מונח על המשטח שבציור, כך שקצהו C נמצא במרחק a מקצה המדרון A. הכבל משוחרר ממנוחה. הוכח שכאשר הקצה B מגיע לנקודה A תהיה מהירות הכבל. V )המדרון והמישור חסרי חיכוך!(. רמז: העזר בקשר / LL a sin. adx d 7
. 5( בלונה פרק קיים מתקן חלל בצורה מעגלית שהקירות מסתובבות בתדר f הילד נמצא צמוד לדפנות והרצפה יורדת והילד נשאר "דבוק" לקירות. המקדם חיכוך בין הילד לדפנות הוא מהו התדר המינימאלי K.4 ומסתו הוא K f כדי שהילד לא ייפול. 8