טיפים להצלחה במהלך הבחינה 1. בתחילת הבחינה קראו היטב את כל השאלות וסמנו לעצמכם את השאלות המועדפות על ידכם. קראו כל שאלה לפחות פעמיים, כדי שלא תחמיצו נתון כלשהו.. אין צורך לענות על השאלות לפי סדר הופעתן. מומלץ לענות תחילה על השאלה הקלה יותר. 3. יש לכתוב תשובות מלאות ומנומקות. אין לדלג על שלבים בפתרון. יש לרשום את כל הטיוטות במחברת הבחינה בלבד.. 4 אין לענות על מספר שאלות גדול מהדרוש. הבוחן יבדוק רק את 3 השאלות הראשונות במחברת. אם התחלתם שאלה ואינכם מעוניינים להשאירה זכרו למחוק אותה. 5. עדיף לענות על חלק משאלה מאשר לא לענות כלל. 6. הדגישו במרקר את התשובות הסופית או מסגרו אותן. 7. עם סיום הבחינה אל תמהרו לצאת! בדקו שוב את התשובות לתרגילים. ראו שלא החמצתם סעיף כלשהו. 8. אם אתם לא מצליחים לפתור שאלה אל תאבקו איתה! המשיכו לשאלה אחרת ייתכן שהיא תהיה נוחה יותר. בסוף המבחן חזרו לשאלות שלא הצלחתם ונסו לפתור אותן שוב. 9. מומלץ להעזר בטבלאות ובסרטוטים במידת הצורך. פוקוס במתמטיקה שאלון 35003 שחר יהל 9
10 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.
003 רשימת נוסחאות מורחבת ודרכים לפתרון השאלות 1. בעיות בעיות קנייה ומכירה: א. בונים טבלה הכוללת שלוש עמודות ושני מצבים כמות מחיר יחידה אחת סה"כ כסף מצב I מצב II ב. מציבים בטבלה את הנתונים וממלאים את העמודה החסרה בעזרת הנוסחה: סך כל הכסף = כמות מחיר יחידה אחת מתוך הטבלה בונים משוואה אחת עם נעלם אחד או שתי משוואות עם שני נעלמים. ג. פותרים את המשוואה או המשוואות. ד. רושמים תשובה במילים. ה. מומלץ לבצע בסוף התרגיל בדיקה בעזרת הצבת הפתרון שהתקבל בסיפור הבעיה. * אחוז כמות 100 כמות )אחוז + )100 100 כמות )אחוז )100 100 בעיות אחוזים: הנוסחה לחישוב אחוז מסוים מכמות נתונה היא: א. הנוסחה לחישוב כמות הגדולה באחוז מסוים מכמות נתונה היא: ב. הנוסחה לחישוב כמות הקטנה באחוז מסוים מכמות נתונה היא: ג. 0 דוגמאות: 0% מ הם:. 0 = ( 100 + 0) 100 מוצר עולה ש"ח ומחירו מתייקר ב 0%. מחירו החדש יהיה:. 1 = 100 ( 100 0) = 08. 100 מוצר עולה ש"ח ומחירו מוזל ב 0%. מחירו החדש יהיה: פוקוס במתמטיקה שאלון 35003 שחר יהל 11
בעיות גאומטריות: א. נוסחאות לחישוב שטחים והיקפים: הצורה הסרטוט השטח ההיקף 4 ריבוע + b b b מלבן + b + c h c h b משולש 4 k k מעוין + b + c + d ( + b) h d h b c טרפז הנדסה אנליטית ברוב התרגילים מומלץ לבצע סרטוט )הסרטוט אינו חייב להיות במערכת צירים אפשר לסרטט אותו באופן סכמטי(. א. הקו הישר: )m = m + n שיפוע הישר, n נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה (.. 1 = m ( 1 כדי למצוא משוואת ישר יש צורך בנקודה ( ), ובשיפוע m. נשתמש בנוסחה: ) * דרכים למציאת שיעורי נקודה: נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה : נציב במשוואת הישר = 0 ונקבל את. נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה : נציב במשוואת הישר = 0 ונקבל את. 1 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.
נקודת חיתוך של שני ישרים: משווים בין שני הישרים ופותרים מערכת של שתי משוואות. נקודת אמצע קטע :AB A M B M = A + B A + M = B נעזרים בנוסחה: הערה: בעזרת נוסחה זו ניתן למצוא גם קצה קטע אם נתון הקצה השני ואמצע הקטע. * דרכים למציאת שיפוע מציאת שיפוע על פי שתי נקודות: נציב בנוסחה: m = 1 1 ישרים מקבילים: לישרים מקבילים יש שיפועים שווים: (m ( m1 = ישרים מאונכים: לישרים מאונכים יש שיפוע הפכי ונגדי: ) = m ( m 1 1 מציאת שיפוע על פי ישר נתון: מבודדים את m. = m+ n הוא השיפוע. ( ) + ( ) d = 1 1 * מציאת מרחק בין שתי נקודות / אורך קטע ( 1) + 1 d = ניעזר בנוסחה: ) ( כדי למצוא את המרחק נוציא שורש ונקבל: הוכחות משולש ישר זווית כדי להוכיח שמשולש הוא ישר זווית נחשב את שיפועי הצלעות )על פי נוסחת m( ונראה שקיימות שתי צלעות ששיפועיהן הפכיים ונגדיים )או שמכפלת השיפועים 1 (. משולש שווה שוקיים כדי להוכיח שמשולש הוא שווה שוקיים יש לחשב את אורכי הצלעות )על פי נוסחת d( ולהראות שקיימות צלעות שוות באורכן. דלתון כדי להוכיח שמרובע הוא דלתון נחשב את אורכי הצלעות )על פי נוסחת d( ונראה כי צלעות סמוכות שוות באורכן ו הצלעות האחרות שוות באורכן. מקבילית כדי להוכיח שמרובע הוא מקבילית יש לחשב את שיפועי 4 צלעותיו )על פי נוסחת m( ולהראות ששיפועי כל שתי צלעות נגדיות שווים. )דרך נוספת היא להראות שאלכסוני המרובעים חוצים זה את זה על פי נוסחת אמצע קטע(. פוקוס במתמטיקה שאלון 35003 שחר יהל 13
מעוין כדי להוכיח שמרובע הוא מעוין יש לחשב את אורכי הצלעות )על פי נוסחת d( ולהראות שכל הצלעות שוות באורכן. מלבן כדי להוכיח שמרובע הוא מלבן נחשב את שיפועי כל הצלעות )על פי נוסחת m( ולהראות ששיפועי כל שתי צלעות נגדיות שווים ושמכפלת השיפועים של צלעות סמוכות היא 1 )שיפוע הפכי ונגדי(. ריבוע כדי להוכיח שמרובע הוא ריבוע נראה כי הוא מלבן )ראה ההסבר לגבי הוכחת מלבן( ובנוסף להראות כי שתי צלעות סמוכות של המרובע שוות באורכן )על פי נוסחת d(. טרפז על מנת להוכיח שמרובע הוא טרפז נחשב את השיפועים של כל הצלעות )על פי נוסחת m( ונראה כי שיפועי זוג צלעות נגדיות אחד שווים ושיפועי הזוג השני לא שווים. * כדי להראות שהטרפז שווה שוקיים נשווה את אורך השוקיים )על פי נוסחת d(. * כדי להראות שהטרפז ישר זווית נראה כי שיפוע אחת השוקיים הפכי ונגדי לשיפוע הבסיסים. ב. המעגל ( ) + ( ) = משוואת המעגל היא: b R כאשר שיעורי מרכז המעגל הם (b ), ורדיוס המעגל הוא R. כדי למצוא משוואת מעגל צריך למצוא את שיעורי מרכז המעגל ונקודה על המעגל. נציב את נקודת המרכז והנקודה הנוספת במשוואת המעגל ונמצא את הרדיוס. אם נתונות נקודות המהוות קצות קוטר. נמצא בעזרת הנקודות את מרכז המעגל )על פי הנוסחה למציאת אמצע קטע(. נציב את נקודת המרכז ואחת מהנקודות במשוואת המעגל ונמצא את הרדיוס. חשוב לזכור! היתר של משולש ישר זווית מהווה את קוטר המעגל החוסם את המשולש. המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה )נשתמש בתכונת הישרים המאונכים שיפוע הפכי ונגדי(. * נקודות חיתוך של המעגל עם הצירים: חיתוך עם ציר ה נציב = 0. חיתוך עם ציר ה נציב = 0. 14 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.
נגזרות שיטות גזירה השיטה נגזרת של פולינום נגזרת של מכפלה נגזרת של פונקציה רציונלית הכלל דוגמאות ( ) = + + 5 4 + 3 + + 7 ' 5 6 ( )' = 1 ( 0)' = 0 ( ) ( ) ( ) 3 + 5 7 ' = ( 6)( 7) + 3 + 5 ' 5 5 4 = 4 ' 1 1 = ' 7 = 7 ( ) n ( )' = n ( )' = 1 ( )' מספר = n 1 0 ( u v)' = u' v+ u v' ' f'( ) f ( ) = ( f ( )) ' 1 = 1 ' = משוואת משיק שיפוע המשיק לפונקציה הנקודה = הנגזרת בנקודה מציאת משוואת משיק על פי פונקציה ו נתונים. א. גוזרים את הפונקציה ומציבים ב ' את ה מקבלים את השיפוע (m). מציבים את ה הנתון בפונקציה המקורית מקבלים את. מציבים את ) (, ואת m בנוסחה: ) 1. 1 = m ( מציאת משוואת משיק על פי פונקציה ושיפוע (m) נתונים. ב. גוזרים את הפונקציה ומשווים את ' לשיפוע הנתון מקבלים את. מציבים את בפונקציה המקורית מקבלים את. ( ) מציבים את ) (, ואת m בנוסחה:. 1 = m 1 פוקוס במתמטיקה שאלון 35003 שחר יהל 15
חקירת פונקציה מציאת תחום ההגדרה: א. אם יש מכנה אז הוא שונה מ 0. אם יש שורש ריבועי אז הביטוי לא שלילי, כלומר הביטוי גדול או שווה ל 0. 0 4 תחום ההגדרה: 3 = 4 דוגמאות: 4 ב. מציאת נקודות קיצון 0 תחום ההגדרה: =. מקבלים את ' גוזרים את הפונקציה ומשווים = 0 מציבים את שיעורי ה בפונקציה המקורית מקבלים את. כדי למצוא את סוג הקיצון יש שתי אפשרויות: אפשרות א על פי נגזרת שנייה. גוזרים את הנגזרת השנייה (") ומציבים בה את שיעורי ה שהתקבלו. אם מתקבלת תוצאה חיובית מדובר בנקודת מינימום. אם מתקבלת תוצאה שלילית מדובר בנקודת מקסימום דרך זו עדיפה בפתרון בעיות קיצון ובשאלות שאינן דורשות תחומי עלייה ותחומי ירידה. אפשרות ב על פי טבלה. בונים טבלה הכוללת שלוש שורות: מציבים בטבלה את ערכי ה שקיבלנו בנקודות הקיצון ואת ערכי ה שקיבלנו בתחום ההגדרה. 16 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.
בוחרים נקודות ביניהן ומציבים אותן בנגזרת אם התוצאה חיובית הפונקציה עולה ואם התוצאה ' _ שלילית הפונקציה יורדת. תחום הגדרה קיצון 1 0 + 0 Min M ג. מציאת תחומי עלייה וירידה את תחומי העלייה והירידה נמצא בעזרת הטבלה מהסעיף הקודם. ד. מציאת נקודות חיתוך עם הצירים: עם ציר ה : נציב = 0 בפונקציה המקורית ונפתור את המשוואה. עם ציר ה : נציב = 0 בפונקציה המקורית ונפתור את המשוואה. ה. מציאת אסימפטוטות המקבילות לציר ה האסימפטוטות מתקבלות כאשר לפונקציה יש מכנה והוא שווה ל 0. 3 לדוגמה: לפונקציה = יש אסימפטוטות =. = 4 n+1 n d = c n + 1 + d= + c 6 5 d= + c 6 4 3 3 5 7 ( + 5 + 7+ 4) d = + + + 4+ c 4 3 אינטגרלים * מציאת אינטגרל הנוסחות: דוגמאות: פוקוס במתמטיקה שאלון 35003 שחר יהל 17
חישוב שטחים כאשר מחפשים שטח צריך למצוא את ערכי ה שבתוכם השטח נמצא. נבדוק איזה פונקציות נמצאות בתחום הנתון ונעשה פונקציית הפרש )נחסר את הפונקציה הנמוכה מהפונקציה שמעליה(. נעשה אינטגרל לפונקציית ההפרש ונציב את ערכי ה של קצות התחום. נחסר את התוצאה שהתקבלה על ידי הצבת ה הגבוה מהתוצאה שהתקבלה על ידי הצבת ה הנמוך. הנוסחה לחישוב השטח על ידי אינטגרל 1 נציב השטח S= f( ) g( ) d 1 ( ) = [ ] = 1 נציב ( ) ( )= * הערה: כאשר יש שטחים מורכבים נפצל את השטח למספר חלקם על פי הפונקציות הנמצאות בכל תחום. דוגמאות: א. שטח לא מורכב f() b S= f( ) g( ) d ( ) = g() b f() g() S S 1 c = f( ) d = b = g( ) d = c ב. שטח מורכב C b S 1 S 18 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.
מבחן מתכונת מס' 1 משך המבחן: שעה ושלושה רבעים ענה על 3 מהשאלות 1 5 )לכל שאלה 1 33 נקודות(. 3 שים לב! אם תענה על יותר מ 3 שאלות, ייבדקו רק 3 התשובות הראשונות. פרק ראשון: אלגברה בעיות מילוליות, גיאומטריה אנליטית שאלה 1 מחיר חולצה היה קטן ב 60 ש"ח ממחיר מכנסיים. עקב מחסור בפריטים התייקר מחיר המכנסיים ב 0% ומחיר החולצה התייקר ב 10%. לאחר שינוי המחירים שילם דני עבור חולצה ומכנסיים בסך הכל 486 ש"ח. מה היו מחיר המכנסיים ומחיר החולצה לפני השינוי? D שאלה הנקודה M נמצאת על ישר שמשוואתו + 5 -, = וגם על ישר שמשוואתו 10- =. א. מצא את שיעורי הנקודה M. הנקודה M היא מרכז של מעגל. הנקודה (10-, 5) A נמצאת על מעגל זה. C A M מצא את רדיוס המעגל ורשום את משוואת המעגל. ב. הישר 10- = חותך את ציר ה בנקודה C ג. והישר + 5 = חותך את ציר ה בנקודה D. מצא את שטח המשולש.CDM פוקוס במתמטיקה שאלון 35003 שחר יהל 19
פרק שני: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי שאלה 3 ( f ( )= 8 הוא פרמטר(. נתונות שתי פונקציות: g ( )= 16 א. שיפוע המשיק לפונקציה f() בנקודה בה = שווה לשיפוע המשיק לפונקציה g() באותה נקודה. חשב את הפרמטר. ב. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?g() ג. מהי משוואת המשיק לפונקציה g() בנקודה שבה = 1? שאלה 4 נתון מלבן ABCD שהיקפו 60 ס"מ. הנקודה E A B היא אמצע הצלע EFGD.BC הוא מלבן שאורכו שווה לאורך המלבן הנתון GD).(DC = F E א. סמן ב את אורך המלבן הנתון (CD) והבע באמצעות את שטח המצולע.ABCGFE G D C ב. מה צריך להיות אורך הצלע,CD כדי ששטח המצולע ABCGFE יהיה מקסימלי? 0 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.
שאלה 5 נתונה הפונקציה: 9). = ( א. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה. A B ב. חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה והצירים )השטח המודגש(. שאלה נוספת לתלמידים שאושר להם מבחן מותאם שאלה 6 3 g ( ) = 6 + 7 1, f( ) = 3 5+ 3 נתונות הפונקציות: באילו ערכי שיפוע המשיק לפונקציה f() שווה לשיפוע המשיק לפונקציה.g() א. מצא את משוואת המשיק לפונקציה f() ששיפועו 7. ב. המשיק שמצאת בסעיף ב חותך את ציר ה בנקודה A ואת ציר ה בנקודה B. מצא את שיעורי ג. הנקודות A ו B. פוקוס במתמטיקה שאלון 35003 שחר יהל 1
מבחן מתכונת מס' משך המבחן: שעה ושלושה רבעים ענה על 3 מהשאלות 1 5 )לכל שאלה 1 33 נקודות(. 3 שים לב! אם תענה על יותר מ 3 שאלות, ייבדקו רק 3 התשובות הראשונות. פרק ראשון: אלגברה בעיות מילוליות, גיאומטריה אנליטית שאלה 1 רוכבת אופניים יצאה מעיר A, עברה דרך העיר B והגיעה לעיר C. המרחק מ A ל B הוא 180 ק"מ והמרחק מ B ל C הוא 160 ק"מ. מהירות הרוכבת מ A ל B הייתה גדולה ב 5% ממהירותה מ B ל C. הרוכבת עברה את הדרך מ A ל B ב 48 דקות פחות משעברה את הדרך מ B ל C. מה הייתה מהירות הרוכבת מ B ל C? שאלה נתון מעוין.ABCD הצלע AD נמצאת על הישר - 4 = והאלכסון AC נמצא על הישר + 8 4,M. = נקודת מפגש אלכסוני המעוין נמצאת על הישר - -. = מצא את שיעורי הקדקוד A. א. מצא את M, נקודת מפגש אלכסוני המעוין. ב. מצא את משוואת האלכסון השני של המעוין. ג. מצא את שיעורי הקדקוד D. ד. העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.
פרק שני: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי שאלה 3 B A הציור שלפניך מתאר את גרף הפונקציה 1) + (. = לפונקציה מקסימום מקומי בנקודה B ומינימום מקומי בנקודה A. א. מצא את שיעורי הנקודות A ו B. ב. באילו ערכי k הישר = k חותך את גרף הפונקציה בשלוש נקודות? שאלה 4 נתונה הפונקציה. = על ציר נתונה הנקודה 0) (10,.A K A (10, 0) k נקודה כלשהי על גרף הפונקציה. א. סמן ב את שיעור ה של הנקודה K והבע באמצעות את אורך הקטע.AK ב. מה צריך להיות שיעור ה של הנקודה K כדי שאורך הקטע AK יהיה מינימלי? פוקוס במתמטיקה שאלון 35003 שחר יהל 3
שאלה 5 ישר משיק לגרף הפונקציה + 5 b = + בנקודה = 1. שיפוע הישר הוא. א. חשב את ערך הפרמטר b. ב. חשב את משוואת המשיק. ג. חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה, המשיק וציר ה. שאלה נוספת לתלמידים שאושר להם מבחן מותאם שאלה 6 מבין כל המספרים ו המקיימים = 30, + מצא את שני המספרים שסכום ריבועיהם הוא מינימלי. 4 העתקה ו/או צילום מספר זה הם מעשה לא חינוכי, המהווה עברה פלילית.