פקולטה: מחלקה: שם הקורס: קוד הקורס: מדעי הטבע מדעי המחשב ומתמטיקה מתמטיקה בדידה 2-7012610-3 תאריך בחינה: _ 07/07/2015 משך הבחינה: 3 שעות סמ' _ב' מועד ב' שם המרצה: ערן עמרי, ענת פסקין-צ'רניאבסקי חומר עזר: סגור שימוש במחשבון: לא הוראות כלליות: תשובה לכל סעיף צריכה להופיע בתוך לכל היותר חצי עמוד )אלא אם צויין אחרת( בכתב קריא. שימו לב: בדיקת המבחן לא בהכרח תביא בחשבון מה שמעבר לחצי עמוד. מומלץ לפתור את המבחן תחילה על גבי טיוטה ולאחר מכן להעתיק את התשובות למקום המיועד. בכדי לקבל את מלוא הנקודות, יש לענות על כל השאלות )ניתן לקבל סה"כ 107 נקודות(. בכל שאלה או סעיף, ניתן לכתוב לא יודע/ת )מבלי להוסיף דבר מעבר לכך( ולקבל 20% מהניקוד על השאלה או הסעיף. מותר להשתמש במשפטים מהכיתה ומהתרגול, אך יש לציין את הניסוח המדויק של המשפט. אם אתם רוצים להסתמך על תוצאות מתרגיל הבית, להסתמך על סעיפים קודמים גם אם לא פתרתם אותם. יש להוכיח אותן. ניתן תשובה חייבת להיות מנומקת גם אם אין מקום מספק להוכחה מלאה כתבו את עיקרי טיעוניכם במסגרת המקום שעומד לרשותכם. נוסחאות ומשפטים מסויימים מוזכרות בסוף טופס המבחן. בשאלות הנוגעות בערכים מספריים אין צורך לבצע חישוב ערך סופי אם חישוב כזה דורש מחשבון )שכן מחשבון אסור לשימוש(, מספיק ביטוי סביר המתאר ערך זה. 1
)המכפלה הקרטזית של A עם שאלה )28 1 נקודות(: סעיף א' 8( נקודות(: תהא {1,2,3,4,5,6,7,8,9} = A ותהא B = A x A עצמה(. מהו מספר הפונקציות? f A B הסבירו את תשובתכם. סעיף ב' )10 נקודות(: בכמה דרכים שונות ניתן לפזר + 1 n כדורים שונים ל n תאים שונים (0 > n) כך שאף תא לא ריק? הסבירו את תשובתכם. סעיף ג' )10 נקודות(: בכמה דרכים שונות ניתן לפזר + 2 n כדורים שונים ל n תאים שונים (0 > n) כך שאף תא לא ריק? הסבירו את תשובתכם. שאלה )26 2 נקודות(: באימון כדורסל ישנם 12 שחקנים כאשר לכל אחד יש מספר סידורי בין 1 ל- 12. סעיף א' )13 נקודות(: נתון שהזוגות הבאים של שחקנים ביצעו יחד אימון בזוג: {1,4},{2,4},{7,12},{3,6},{1,6},{9,10},{2,5},{8,11},{9,11} הוכיחו כי לכל בחירה של 7 שחקנים, ישנם שניים שביצעו יחד אימון בזוג. רמז: הטענה עדיין תהיה נכונה גם אם נשמיט חלק מהזוגות. סעיף ב' )13 נקודות(: השחקנים מצטלמים לפוסטר הקבוצה. הם מתחלקים לשלוש שורות בשורה הראשונה יושבים 2 שחקנים, בשורה השנייה יושבים 4 שחקנים ובשורה השלישית עומדים 6 שחקנים. ישנם 5 כדורים זהים אותם מחלקים לשחקנים בשורה השנייה והשלישית בלבד אף שחקן אינו מחזיק יותר משני כדורים. מהו מספר האפשרויות לסדר את השחקנים עם הכדורים לקראת הצילום? )יש חשיבות לסידור השחקנים בתוך כל שורה(. נמקו את תשובתכם. 2
שאלה 27( 3 נקודות(: יהי E) G = (V 1 V 2, גרף דו צדדי עם. V 1 = V 2 = n נזכר במשפט perfect ( דף נוסחאות מצורף(. להלן נתאר שני אלגוריתמים הבודקים האם קיים זיווג מושלם )ראו Hall )matching בגרף נתון. סעיף א' )9 נקודות(: האלגוריתם הנאיבי: נגדיר אפשרות לזיווג המושלם להיות קבוצה )של זוגות קדקודים( }} 2,n M = {{v 1,1, v 2,1 }, {v 1,2, v 2,2 },, {v 1,n, v כך שלכל i n 1 מתקיים. v 1,i v 1,j, v 2,i v 2,j מתקיים 1 i < j n וגם לכל v 1,i V 1, v 2,i V 2 האלגוריתם הנאיבי עובר על כל האפשרויות לזיווג המושלם, כלומר על כל הקבוצות M מהצורה המוגדרת מעלה ובודק האם כל זוג ב М הוא אכן צלע בגרף )כלומר שייך ל Е(. אם לא, עובר לקבוצה הבאה בתור. אם כן, מחזיר.true אם עבר על כל האפשרויות לזיווג מושלם ולא מצא, מחזיר.false נסמן ב - (n) Т 1 את מספר אפשרויות הזיווג המקסימלי שבודק האלגוריתם הנאיבי )מספר הקבוצות M). מצאו מהו (n) Т 1 עבור.n N הסבירו את תשובתכם. סעיף ב' )9 נקודות(: אלגוריתם H: עובר על תתי הקבוצות של V. 1 לכל קבוצה S V 1 נבדוק האם Γ(S) S. אם התנאי מתקיים עבור כל הקבוצות S, מחזיר.true אחרת מחזיר.false נסמן ב (n) Т 2 את מספר הקבוצות S עליהן עובר אלגוריתם 2. לכל קבוצה S כזו, אלגוריתם H עובר על מספר כלשהו של צלעות. מהן הצלעות עליהן עובר H עבור קבוצה S? הסבירו מדוע הוא עובר על צלעות אלו. תנו חסם עליון (n) Т 3 על סה"כ המספר המקסימלי של צלעות שעליהן H עובר במהלך הריצה, במקרה הגרוע ביותר )אם הוא עובר על צלע e עבור t קבוצות S, אז יש למנות זאת כ- t צלעות ויש לחסום את מספר המעברים הכללי על כל הצלעות(. תזכורת: O(g) f = אם קיימים c > 0,n 0 N כך שלכל n n 0 מתקיים g(n).f(n) c 3
סעיף ג' )9 נקודות(: הראו שמשפט Hall עוזר לשפר יעילות בדיקת קיום זיווג מושלם בגרף יחסית לאלגוריתם הנאיבי, ע"י כך שתוכיחו:.T 1 (n) = O(T 3 (n)) מתקיים (n)),t 3 (n) = O(T 1 אבל לא מתקיים שאלה )27 4 נקודות(: בשאלה זו ניתן להשתמש בעמוד שלם לכל סעיף. תזכורת: גרף לא מכוון (E G =,V) נקרא k -צביע, אם קיימת פונקציה {k :f V,1}, כך שלכל.f(v) f(u) מתקיים {v, u} E n קדקודים( הינו K n סעיף א' )7 נקודות(: הוכיחו ש: לכל, n N )הגרף המלא על n -צביע, אך אינו 1) n )-צביע. סעיף ב' )10 נקודות(: יהא (E G =,V) גרף לא מכוון כך ש - n V. = צובעים את צלעות הגרף G בעזרת n צבעים, כך שכל צבע מופיע לפחות פעם אחת. הוכיחו כי קיים ב G מעגל פשוט שבו לכל שתי צלעות שונות יש צבע שונה. סעיף ג' )10 נקודות(: צובעים את צלעות הגרף K n בעזרת n צבעים, כך שכל צבע מופיע לפחות פעם אחת. הוכיחו כי קיים ב n K משולש )מעגל פשוט באורך 3( שבו לכל שתי צלעות שונות יש צבע שונה. שימו לב: בסעיף א' דנו בצביעות של קדקודים ואילו בסעיפים ב' ו-ג' דנו בצביעות של צלעות. בהצלחה! 4
G = (V 1 V 2, E) בגרף יש זיווג מושלם 5