פונקציה וקטורית של משתנה אחד, הצגה פרמטרית של עקום.1 נתון עקום.L : x = cos t, y = sin t, z = t (א) מצא וקטור משיק ל L בנקודה (4/π )A.,2/2,2/2 (ב) מצא על העקום L את כל הנקודות בהן וקטור משיק מקביל לוקטור משיק בנקודה A. (ג) מצא את כל הנקודות על העקום L בהן וקטור משיק מאונך לרדיוס וקטור..2 נתונים שני עקומות b]. r(t) = x 1 (t)î + x 2 (t)ĵ + x 3 (t)ˆk, p(t) = y 1 (t)î + y 2 (t)ĵ + y 3 (t)ˆk, t [a, (א) הוכח שאם p(t) s(t) = r(t) + אז (t). s (t) = r (t) + p (ב) הוכח שאם p(t) s(t) = r(t) אז (t).s (t) = r (t) p(t) + r(t) p (ג) הוכח שאם r(t) = c לכל b] t [a, כאשר c מספר חיובי קבוע אז = 0 r(t) r (t) לכל b].t [a, מה המשמעות הגאומטרית של השוויון הנ ל?.3 נתון עקום t). r(t) = (cos t cos t, cos t sin t, sin (א) הוכח שהעקום הנתון שייך לספרה. (ב) נניח שעקום הנתון מייצג את תנועת החלקיק כאשר המשתנה t מייצג את הזמן. תאר תנועת החלקיק מרגע = 0 t לרגע π/2.t = 4. ניקח דף נייר בצורת מלבן שאורכו 3 ורוחבו 1 יחידות אורך. נצייר על הדף הזה אלכסון ואחר כך נקפל את הדף לגליל שגובהו 1 יחידת אורך. האלכון שציירנו הופך לעקום על פני הגליל. כתוב הצגה פרמטרית של העקום הזה וחשב אורך העקום הנתון בשתי דרכים..5 זבוב מתחיל לעוף מנקודה 0) (1, 0, במסלול r(t) = cos(t)î + sin(t)ĵ + tˆk כאשר משתנה t מסמן זמן בשניות. (א) כעבור כמה זמן הזבוב יעלה לגובה 8 מ? (ב) כעבור כמה זמן הזבוב יתרחק מראשית הצירים למרחק 8 מ? (ג) כעבור כמה זמן הזבוב יעבור מרחק 8 מ? 1 א. 2) 2, 2,.( 1 ב. πn) 2/2, π/4 + 2/2,.( 1 ג. 0).(1, 0, 3 ב החלקיק נע לאורך ספירלה על פני ספרה מנקודה (0,1),0 (נקודה על קוו המשווה) לנקודה (1,0),0 (הקוטב הצפוני). 5 א. 8 שניות. 5 ב. 63 שניות. 5 ג. 2 /8 שניות. 2 ג. העקום r(t) נמצא על פני כדור עם רדיוס c ומשיק לעקום הזה מאונך לוקטור רידיוס בנקודת ההשקה. 1
פונקציה סקלרית של מספר משתנים 6. מצא וצייר את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות. בכל סעיף קבע האם תחום ההגדרה הוא קבוצה חסומה או לא, סגורה או לא. (א) p(x, y) = 3 + x + y (ב) f(x, y) = 1 x 2 y 2 (ג) y ) g(x, y) = ln(1 x x 2y + 4 (ד) y) h(x, y) = 1 x 2 y 2 + ln(x (ה) k(x, y) = 1 x 2 (ו) ln(xy) u(x, y) = (ז) 1 xy v(x, y) = 7. צייר קווי גובה של הפונקציות הבאות h(x, y) = xy (ג) g(x, y) = x y (א) f(x, y) = x2 + y 2 (ב) x + y 8. נתונה הפונקציה.f(x, (y = x 2 xy כתוב משוואה של קוו גובה שלה העובר דרך הנקודה (1,2). 9. נתון עקום < 0 t. r(t) = t) cos,t t sin,t,(t מצא פונקציה סקלרית של שני משתנים כך שהגרף שלה יכיל את העקום הנתון..10 נתונים שני משטחים = 1 2.x + y + z = 0, x 2 + y מצא הצגה פרמטרית של עקום החיתוך שלהם. 11. הסבר מדוע קווי גובה של הפונקציה הנתונה לא יכולים לחתוך אחד את השני..z = x 2 + y 2.9.x 2 xy = 6.8 2
איור 6 א, 2: לא חסום, פתוח איור 1: לתרגיל 6 איור 6 ב, 3: חסום וסגור איור 6 ג, 4: חסום ופתוח איור 6 ד, 5: חסום, לא סגור ולא פתוח איור 6 ה, 6: לא חסום, סגור איור 6 ו, 7: לא חסום, פתוח איור 6 ז, 8: לא חסום, סגור 3
גבול ורציפות של פונקציה סקלרית. lim lim 12. הוכח שגבולות הבאים לא קיימים sin x + sin y (ג) x lim x 4 + y 4 (ב) הוכח ש = 0 2 x + y2 lim x 2 + y 2 (ב) x + y lim x 2 2y x + 3y (א) lim לא קיים. x 4 + y 4 (ב) הוכח שהגבול x + y sin(xy), x 0 g(x, y) = x 0, x = 0 x + 2y g(x, y) = x y, x y b, x = y lim x 2 + y 3.13 (א) הוכח ש = 0 x2 + y2 x 3 + y 3 14. (א) הוכח ש = 0 x + y 15. נתונה הפונקציה מצא את כל הנקודות בהן הפונקציה הנתונה לא רציפה. 16. עבור איזה ערך של מספר b הפונקציה רציפה בנקודות 3) (3, 1),.?(2,.17 נתונה הפונקציה y).z(x, y) = max (x, (א) הוכח ש y).z(x, y) = 1 ( x y + x + 2 (ב) צייר את הגרף שלה למשל באתר https://www.monroecc.edu/faculty/paulseeburger/calcnsf/calcplot3d/ או ב.https://academo.org/demos/3d-surface-plotter/ (ג) הוכח שהפונקציה הנתונה רציפה לכל (y,x)..15 בנקודות b) (0, כאשר 0.b.16 בנקודה 3) (3, לאף ערך של.b בנקודה 1) (2, עבור = 0.b נגזרת.18 נתונה הפונקציה.z(x, y) = x y (א) הסבר מדוע הפונקציה הנתונה רציפה בכל נקודה (y,x). (ב) חשב את הנגזרות (y z x(x,,(y z y(x, ומצא את כל הנקודות בהן הנגזרות האלה לא קיימות. 4
19. נתונה הפונקציה x 2y, x y f(x, y) = 2x + 3y, x = y. v = (2, 2) כאשר f (א) חשב 1) (1, v. v = (1, 2) לא קיימת כאשר f (ב) הוכח שהנגזרת 1) (1, v f לא קיימת. (ג) הוכח שלכל וקטור b) v = (a, שמקיים את התנאי a b הנגזרת 1) (1, v (ד) חשב 1) x(2, f ו 2) y( 1,.f (ה) מצא את כל הנקודות בהן הנגזרת f x לא קיימת. נמק.. lim y, x > 0.x לא קיימת כאשר 0 z x(x, 0).z x = y, x < 0 18 ב. x, z x(0, 0) = 0.z y = 19 א. 2.5/ 19 ד. 2 = 2) y( 1,.f x(2, 1) = 1, f 19 ה. בנקודות a) (a, כאשר 0.a g(1 + x, y) g(1, 0) = 2 x 3 y + y sin 2 ( x) h(x, y) אז = 0 y x2 + 2 קירוב לינארי 20. נתון שהפונקציה (y g(x, מקיימת את השוויון הוכח ש (y g(x, דיפרנציאבילית בנקודה (0,1)..21 הוכח שהפונקציה z = 4 xy דיפרנציאבילית בנקודה 0).(0, lim.22 נתונה הפונקציה.h(x, y) = α(x, y)x + β(x, y)y α(x, y) = 0, lim (א) הוכח שאם = 0 y) β(x, (ב) תן דוגמה שמראה שטענה הפוכה לא נכונה..23 בדוק האם הפנקציה f(x, y) = x + 3 y דיפרנציאבילית בנקודות 0) (0, ו 1).(0, 24. בדוק האם הפונקציה g(x, (y = x 3 y דיפרנציאביתי בנקודה (0,0). האם נגזרות חלקיות שלה קיימות ורציפות בנקודה הזאת?.25 מצא קירוב ליניארי של הפונקציה f(x, y) = arctan x + y בנקודה b) (a, שקרובה לראשית הצירים. 1 + xy 5
26. הוכח שאם הפונקציה (y u(x, מקיימת משוואת לפלס 2 u x 2 + 2 u y 2 = 0 ( ) x v = u מקיימת משוואה הזאת. x 2 + y 2, y אז גם הפנקציה x 2 + y 2 f כאשר.27 המשוואה x + y z = ln z מגדירה פונקציה y) z = f(x, בסביבת הנקודה 1).(1, 0, חשב 0) (1, v. v = (3, 4).28 נתון שמישור = 0 15 4z 2x y + משיק לגרף של פונקציה דיפרנציאבילית y) z = f(x, בנקודה 3).M(2, 1,. v = ( 4, 3) כאשר f (א) מצא 1) (2, v (ב) מצא 1) x(2, f ו 1) y(2,.f f כאשר 3) ( 4, = v ו.29 תהי y) z = f(x, פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה 1).M(2, נתון ש = 4 (M) v f כאשר (5,12) = w. מצא את משוואת מישור המשיק לגרף של הפונקציה הנתונה בנקודה w (M) = 3.(2, 1, 5).30 הראה שהפונקציה ) 2 u = f(x 2 +y כאשר f פונקציה גזירה בתחום + ) (, מקיימת את השוויון = y yu x xu 31. נתונה הפונקציה z. = x y הראה שבנקודה (0,0),0 קיים מישור המשיק לגרף הפונקציה הנתונה ומצא את המשוואה שלו..0 23. לא דיפרנציאבילית ב (0,0) וכן דיפרנציאבילית ב (1,0). 24. כן דיפרנציאבילית. הנגזרות החלקיות כן קיימות. הנגזרת לפי y לא רציפה ונגזרת לפי x כן רציפה..f x(1, 2) = 1/2, f y(1, 2) = 1/4 28 ב...f v (2, 1) = 11/20 28 א..f v (1, 0) = 0.7.27.a + b.25. 217x + 84y 56z + 798 = 0.29 פונקציה סתומה 32. נתונות שתי משוואות x 5 2x + 1 = 0 (1) 1.1x 5 1.9x + 1 = 0 (2) ידוע ש = 1 x אחד מהפתרונות של משוואה (1). (א) הוכח שלמשוואה (2) יש פתרון שנמצא בין המספרים = 1 x x. =,0.8 רמז: הפונקציה + 1 1.9x 1.1x 5 רציפה. 6
(ב) מצא קירוב לינארי של אחד מהפתרונות המשוואה (2). הדרכה: נדון במשוואה = 0 1 + bx.f (a, b, x) = ax 5 + הסבר מדוע בסביבת הנקודה 1) 2, (1, היא מגדירה פונקציה דיפרנציאבילית (b x. = x(a, השתמש בעובדה הזאת על מנת למצוא קירוב לינארי של.x(1, 2) בעזרת = 1 x(1.1, 1.9).14/15.32 מינימום/מקסימום 33. מצא פולינום טיילור מדרגה שתיים בנקודה (0,0) של פונקציות הבאות (א) f(x, y) = e x cos y (ב) g(x, y) = e y sin x (ג) y) e x ln(1 +.34 נתון שפולינום טיילןר מדרגה 2 של הפונקציה y) f(x, שווה xy 1 ושל הפונקציה y) g(x, שווה.x + y 2 הוכח שפולינום טיילור של הפונקציה y) h(x, y) = f(x, y)g(x, שווה.x + y 2 35. הוכח שאם נקודה (b,a) היא נקודת קיצון של הפונקציה (y f(x, אז x = a נקודת קיצון של הפונקציה.h(y) = f(a, y) נקודת קיצון של הפונקציה y = b ו g(x) = f(x, b) f(2 + x, 3 + y) f(2, 3) = x 2 + y 4 36. מצא נקודות קיצון של הפונקציות הבאות (א) + 5 2 x f(x, y) = (ב) h(x, y) = x 3 + y 2 (ג) ) 2 k(x, y) = ln(1 + x 2 + y 37. תהי (y z = f(x, פונקציה של שני משתנים. נתון ש הסבר מדוע הנקודה (3,2)M נקודת קיצון של הפונקציה הנתונה. האם נקודה M נקודת מקסימום מקומי או נקודת מינימום מקומי? 38. נתונה הפונקציה y.f(x, (y = x הוכח שלפונקציה הנתונה אין נקודות קיצון..39 נתונה הפונקציה.f(x, y) = x 2 + y 2 + x 2y מצא את הערך הגדול ביותר והקטן ביותר של הפונקציה הנתונה בתחום סגור שחסום ע י המעגל = 16 2 x 2 + y והישר = 0 y.x + (התחום נמצא מעל הישר הנתון). 7
40. נתונה הפונקציה f(x, y) = x 2 y 2 + 2x y ונתון האילוץ (תנאי) xy = 1, 0.5 x 2 הראה שהנקודה (1,1) אינה נקודת מינימום או מקסימום של הפונקציה הנתונה עם האילוץ הנ ל..41 על המשטח z = x 2 y 2 מצא נקודה הקרובה ביותר לנקודה 1).(0, 0, 42. (א) יהיו,x,y z שלושה מספרים ממשיים חיוביים כך ש x + y + z = a כאשר a מספר קבוע. מצא אותם כך שהמכפלה xyz תקבל ערך מקסימלי. (ב) יהיו x 1, x 2,..., x n מספרים ממשיים חיוביים כך ש x 1 +... + x n = a כאשר a מספר קבוע. מצא אותם כך שהמכפלה x 1 x 2... x n תקבל ערך מקסימלי. 33 א. ) 2 + x + 1/2(x 2 y.1 33 ב..x + xy 33 ג..y + xy 1/2y 2 36 א. (y,2). 36 ב. אין נקודות קיצון. 36 ג. (0,0)..39 ערך מקסימלי: 8 3 = 16 + ) 8 8, (.f ערך מינימלי: 1.25 = 1) ( 0.5,.f.41 1/2) 2, 0,.(±1/ אינטגרל קווי של פונקציה סקלרית ופונקציה וקטורית 43. לפניך שרטוט של קווי גובה של הפונקציה (y f(x, ושל עקום L. מצא בעזרת סכום רימן ערך מקורב של האינטגרל f(x, y)dl. L.44 חשב את האינטגרל L F d r כאשר 0) F = (0, y 2, ו L מסלול כלשהו מנקודה 3) A(1, 5, לנקודה 7).B( 5, 2,.45 חשב עבודה שמבצע כוח ) 2 F = (x 2 + x, y 2 y, z לאורך המסלול שמורכב משני קטעים ישרים: מנקודה.C( 3, 4, 1) לנקודה B ואז מנקודה B(1, 4, 1) לנקודה A(1, 2, 1) 8
.46 תהי z) u = f(x, y, פונקציה סקלרית דיפרנציאבילית לכל z).(x, y, הוכח ש f(a) L fd r = f(b) כאשר A נקודה התחלתית של מסלול L ו B נקודה סופית שלו..47 חשב את האינטגרל L x2 dx + xydy כאשר עקום L הוא שפת הריבוע 1) D(0, A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), בכיוון נגד שעון. 48. לפניך שרטוט של שדה קבוע F ועקום L. הסבר מדוע > 0 d r L F כאשר L מסלול שמתחיל בנקודה A ומסתיים בנקודה.B.1/2.47.22/3.45. 39.44 אינטגרל כפול.D = { (x, y) : x 2 + y 2 1, y 0 } x, x 0 49. נתונה הפונקציה = (y f(x, ונתון התחום y, x < 0 חשב את האינטגרל f(x, y) dxdy. D.50 חשב מסה של לוחית דקה בצורת משולש עם קודקודים 2) (0, 0), (1, 0), (0, בעלת צפיפות.f(x, y) = x 2.51 חשב בשתי דרכים נפח של גוף שחסום ע י משטחים.z = 1, z = 3, y = 1, y = x 2 dxdy כאשר תחום D חסום ע י קווים = 4 y x = 0, y = 0, x + y = 1, x + בשתי דרכים. 52. חשב את האינטגרל D x + y (א) ע י חלוקה של התחום הנתון x = s st (ב) ע י הצבה y = st.53 חשב מסה של לוחית דקה עגולה = 16 2 x 2 + y בעלת צפיפות xy עם חור = 0 1 + 2y.x 2 2x + y 2 54. נתון תחום חסום D במישור כאשר שפה שלו היא עקום שמוגדר ע י הצגה קוטבית r = f(θ), a θ b 9
b a (f(θ)) 2 dθ 2 הוכח ששטח של תחום D שווה. ( ) D sin x y.55 נתון תחום 0} y.d = {(x, y) : 1 x + y 2, x 0, חשב את האינטגרל dxdy x+y. 3 cos 1 2.55.128 π.53.3.52.8/3.51.1/6.50.2/3.49 שטף של שדה דו מימדי, משפט גרין, שדה דו מימדי משמר 56. חשב שטף של שדה F דרך עקום L כאשר (א) π/2]} F = (x y)î + 2yĵ, L : {(x, y) : x = cos t, y = 2 sin t, t [0, (ב) 4} = y F = (x y)î + 2yĵ, L : {(x, y) : x +.57 נתון שדה וקטורי F = (y 2x)î + (x + 5y)ĵ ועקום = 1 2.L : x 2 + 4y חשב את האינטגרל F nˆ dl כאשר n וקטור נורמל לעקום הנתון. L.58 חשב את האינטגרל L + (x 2 y)dx + (x + y 2 )dy כאשר (א) עקום L שפת המשולש עם הקודקודים 3) C(0,.A(1, 2), B( 1, 3), (ב) עקום L שפת הטבעת 9 2 x 2 + y.1.59 הוכח בעזרת משפט גרין ששטח של תחום שחסום ע י עקום סגור 2π]} L : {(x, y) : x = x(t), y = y(t), t [0,. 1 2π 2 ניתן לחשב ע י נוסחה (x(t)y (t) x (t)y(t)) dt 0.60 נתון שדה וקטורי F = î + ĵ x + y (א) מצא באיזה תחום השדה הנתון משמר. (ב) חשב את העבודה של השדה הנתון לאורך שפת הריבוע ABCD בכיוון נגד כיוון השעון כאשר 1) D(0,.A(1, 0), B(0, 1), C( 1, 0), (ג) חשב את העבודה של השדה הנתון לאורך המסלול. r(t) = î cos t + ĵ sin t, t : 0 2π 56 א..3π/2 2 56 ב..3π/2.57.24 58 א. 58 ב..11 60 א..16π 0} < xy.{(x, y) : xy > 0}, {(x, y) : 60 ב..0 60 ג. 0. 10
אינטגרל משטחי של פונקציה סקלרית ופונקציה וקטורית 61. (הצגה פרמטרית של משטח סיבוב). משטח S מוגדר כך: S : r(u, v) = f(v) cos uî + f(v) sin uĵ + vˆk, u [0, 2π], v [a, b] 2π b (א) הוכח ששטח של משטח S ניתן לחשב ע י הנוסחה a f(v) 1 + f (v) 2 dv (ב) חשב בעזרת נוסחה הנ ל שטח פנים של ספרה עם רדיוס R. F = zî + x 2ˆk S = { z = x 2 + y 2, 1 x 1, 1 y 1 } 62. חשב שטף של שדה וקטורי דרך משטח.63 חשב את האינטגרל S F d σ כאשר 4) x, F = (y, ו S הוא צד עליון של המשטח { z = 1 x 2 y 2, x 0, y 0 }.64 חשב שטף של שדה וקטורי 1) (0, 0, = F דרך משטח S כאשר S הוא חלק מהגרף z = 1 x 2 y 2 הנמצא מעל המישור + 1 2x..z =.π.64.π.63.4/3.62 משפט סטוקס. שדה משמר תלת מימדי.65 חשב את האינטגרל L F d r כאשר 3) F = ( y 3, x 3, z ומסלול L מוגדר כחיתוך של גליל = 1 2 x 2 + y ומישור = 1 z x + y + בכיוון תנועה על מסלול L נגד שעון (במבט מנקודה 5).((5, 5, 66. חשב את האינטגרל S rot F d σ בכיוון נורמל למשטח S כלפי מטה כאשר rot F = (x + y, x + z, y + z) { S = (x, y, z) : z = } x 2 + y 2, z 1 ומשטח S מוגדר כך: 11
.67 חשב את האינטגרל F d r כאשר L F = 2xyzî + x 2 zĵ + x 2 yˆk ומסלול L מוגדר כך r(t) = cos tî + sin tĵ + tˆk, t : 0 π/2 68. חשב עבודה של כוח F = 1 r (x, y, z), r = x 2 + y 2 + z 2 לאורך המסלול מנקודה 0) A(0, 1, לנקודה 3).B(1, 2, רמז: הראה ש u = F כאשר.u = r. 14 1.68.0.67. π.66.3π/2.65 אינטגרל משולש. משפט גאוס.69 חשב נפח של גוף שחסום ע י המשטחים = 1 y.x 2 y 2 + z 2 = 1, y = 1, 70. חשב את האינטגרל S F d s בכיוון נורמל למשטח S כלפי חוץ כאשר (א) 3) F = ( x 3, y 3, z ומשטח סגור S מוגדר ע י משוואות = 3 z.x 2 + y 2 = 4, z = 0, (ב) ) y F = ( x 2 + y, xy, 2xz ומשטח סגור S מוגדר ע י משוואות = 0 z.x + y + z = 1, x = 0, y = 0, (ג) 2) F = ( x 2, y 2, z ומשטח סגור S מוגדר ע י משוואות = 1 z.z = x 2 + y 2, 71. חשב את האינטגרל S F d s בכיוון נורמל למשטח S כלפי מעלה כאשר (א) 2z) F = (x, y, ומשטח S מוגדר ע י משוואה.z 0,z = 1 x 2 y 2 (ב) 2) F = ( 0, 0, z ומשטח S מוגדר ע י משוואה.z = 1 x 2 y 2 (ג) 2z) F = (x, y, ומשטח S חלק מחרוט z = x 2 + y 2 שנמצא בין המישורים = 2 z.z = 1,.14π/3 71 ג..π/2 71 ב..2π 71 א..π/2 70 ב. 70 ג..1/24.108π 70 א..8π/3.69 12