הרחבה מתמטית מספרים מרוכבים מצגת הוראה עיוני 1
מספרים מרוכבים מה במצגת חישוב שורשים של משוואה ריבועית בעלת דיסקרימיננטה קטנה מאפס סימול מספרים מרוכבים ומעבר בין ייצוג קוטבי לייצוג קרטזי ולהפך הצגת מספרים מרוכבים במערכת צירים נוסחת אוילר ונוסחת אוילר ההפוכה. אלגברה בסיסית במספרים מרוכבים גאומטריה של פעולות במספרים מרוכבים חזקות ושורשים
מבוא מספרים מרוכבים מערכת של מספרים מרוכבים היא למעשה הרחבה של מערכת המספרים הממשיים. מספרים מרוכבים נדרשים לפתרון משוואות כגון 1 הסימן i או הסימן j מסמן את הערך של מתמטיקאים ופיסיקאים משתמשים ב- עבור i מהנדסי חשמל ואלקטרוניקה משתמשים ב- למשוואה יש שני פתרונות 1 1 j z 1 z j עבור 3
שורשי משוואה ריבועית השימוש במספרים מרוכבים מאפשר מציאת שני השורשים של המשוואה הריבועית. az bz c שני הפתרונות של משוואה ריבועית זו הם: 0 z 1, b b 4ac a b 4ac בכל פעם שהדיסקרימיננטה שלילית, 0 הפתרון חייב להיות מבוטא במספרים מרוכבים. 4
שורשי משוואה ריבועית - דוגמאות z 4z 9 0 דוגמה 1 z 1, b b 4ac 4 4 419 4 100 j5 a z 4z 5 0 דוגמה z 1, b b 4ac 4 4 415 4 4 a j 5
שורשי משוואה ריבועית - תרגילים חשבו את שורשי המשוואות האלה: 1) z z 0 ) z 5 0 3) z 6z 5 0 4) z z1 0 5) z 8z17 0 6
ייצוג קוטבי וייצוג קרטזי כל מספר ממשי ניתן להצגה גאומטרית כנקודה על ציר המספרים כל מספר מרוכב z = x+jy מייצג את הנקודה (y,x) במישור. בייצוג קרטזי כל הסימולים המצוינים כאן מייצגים את אותו מספר מרוכב. z ( x, y) x jy e z jm z בייצוג הקרטזי, הציר האופקי נקרא הציר הממשי, הציר המדומה. והציר האנכי נקרא אפשר גם לייצג מספר מרוכב כווקטור היוצא מראשית הצירים שראשו בנקודה,(x,y) כאשר x הוא הערך בציר האופקי ו- y הערך בציר האנכי. בשיטת הייצוג הקוטבי, הווקטור מוגדר על ידי אורכו וכיוונו, לכן, אנו משתמשים בסימון התיאורי: z r 7
המישור המרוכב מספרים מרוכבים במישור המרוכב ייצוג קרטזי -6+j0 y +j4 0+j3 x -4-j 3-j3 8
המישור המרוכב מספרים מרוכבים במישור המרוכב ייצוג קוטבי 417 y 645 x 5-150 9
הכפלה של מספר ממשי ב- j: המישור המרוכב כפל של מספר ממשי, כמו המספר 5, ב- j הופך אותו מווקטור אופקי המכוון ימינה לווקטור אנכי המכוון מעלה. y j5 90 j 5 x 10
המרה מייצוג קרטזי לפולארי ולהפך z x jy r y x המרה מפולארי לקרטזי נתון: המרה מקרטזי לפולארי z x jy נתון: zr r x y arctan y x המרה: x המרה : rcos y rsin 11
נוסחת אויילר j 1 e cos jsin z re z e j j arg z j0 (0 ) : e cos(0) j sin(0) 1 j0 10 (30 ) : e cos( / 6) j sin( / 6) j 1 / 6 j /6 3 1 (45 ) : e cos( / 4) j sin( / 4) j 1 / 4 j /4 1 1 (60 ) : e cos( / 3) j sin( / 3) j 1 / 3 j /3 1 3 j / (90 ) : e cos( / ) j sin( / ) 0 j1 j 1 דוגמאות / j (180 ) : e cos( ) j sin( ) 1 j0 1 1 1
נוסחת אויילר ההפוכה j j j j e e e e cos ; sin j הוכחות: פונקציית הקוסינוס היא פונקציה זוגית )סימטרית( : cos cos( ) sin( ) sin פונקציית הסינוס היא פונקציה אי-זוגית )אסימטרית( : j j e cos j sin ; e cos( ) j sin( ) cos j sin j j e e j sin e sin j e j j e j e j e cos cos j e j 13
אלגברה בסיסית במספרים מרוכבים z x jy ; z x jy כאשר נתונים שני מספרים מרוכבים: 1 1 1 ביצוע פעולות חיבור וחיסור z z ( x jy ) ( x jy ) ( x x ) j( y y ) 1 1 1 1 1 z z ( x jy ) ( x jy ) 1 1 1 z z x x j y y jx y jx y 1 1 1 1 1 ( x x y y ) j( x y x y ) 1 1 1 1 ביצוע פעולת כפל 14
אלגברה בסיסית במספרים מרוכבים - דוגמה z 3 j5 ; z 4 j 1 נתונים שני מספרים מרוכבים: חיבור z1 z (3 j5) (4 j) (3 4) j(5 ) 7 j7 z z j j j j j j חיסור z1 z (3 j5) (4 j) (3 4) j(5 ) 1 j3 כפל 1 (3 5) (4 ) 1 6 0 10 6 15
אלגברה בסיסית במספרים מרוכבים z x jy ; z x jy 1 1 1 z ( x jy ) x jy * * 1 1 1 1 1 נתונים שני מספרים מרוכבים: צמוד קומפלקסי כפל של מספר בצמוד שלו z z z ( x jy ) ( x jy ) x y * 1 1 1 1 1 1 1 1 1 חילוק z x jy z z ( x jy )( x jy ) ( x x y y ) j( x y x y ) z x jy z z x y x y * 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 * 16
אלגברה בסיסית במספרים מרוכבים - דוגמה z 3 j5 ; z 4 j 1 z j j * * 1 (3 5) 3 5 נתונים שני מספרים מרוכבים: צמוד קומפלקסי כפל של מספר בצמוד שלו z z z (3 j5) (3 j5) 3 5 34 * 1 1 1 חילוק z1 3 j5 (3 j5)(4 j) (1 10) j(0 6) j14 1.1 j 0.7 z 4 j 4 0 0 17
כפל וחילוק בייצוג קוטבי z r e ; z r e j 1 1 1 נתונים שני מספרים מרוכבים המיוצגים בייצוג קוטבי: j * * j 1 1 1 z r e r e j 1 1 z z r e r e ( r r ) e j 1 j j( 1 ) 1 1 1 צמוד קומפלקסי: כפל j1 j1 z z r e r e r * 1 1 1 1 1 j1 z1 re 1 r1 j e z r e r j( ) 1 כפל של מספר בצמוד שלו חילוק 18
חיבור שיטת המקבילית ייצוגים גרפים שיטת ראש לזנב y y 4+j4 z 4+j4 z 1 ẑ z 1 ẑ 8+j1 8+j1 x x z z ẑ 1 4-j3 4-j3 19
ייצוגים גרפים חיסור z1 z (4 j4) ( 3 j) 7 j y 4+j4 z -3+j 1 7+j z z1z z z1 z ẑ 1 ẑ -z x z 1 0
ייצוגים גרפים כפל y z z r r( ) 1 1 1 z r z r 1 1 1 1 x 1
ייצוגים גרפים הופכי z r y r r 1 1 1 באיור נתון כי: z1 r1 1 1 1 x z 1 r 1 ( ) 1 1 ( ) z 1 r 1 1
ייצוגים גרפים צמוד קומפלקסי z z 1 1 x 1 * z z * 1 3
ייצוגים גרפים שורשי יחידה 9 z 1 e j 3 9 Im e j 9 e j 1 9 360 360 N 9 N 9 e j 4 9 e j 0 9 Re e j 5 9 e j 6 9 j 7 9 e e j 8 9 4
חזקות במספרים מרוכבים N - העלאת מספר קומפלקסי בחזקת מספר שלם מוגדרת כך: במלים אחרות, חוקי החזקות מתקיימים, ולכן הזווית מוכפלת ב והעצמה מועלית בחזקת N. אם אם אם j N N jn, הנקודות היו הולכות וגדלות בצורה ספיראלית;, הנקודות היו הולכות וקטנות בצורה ספיראלית;, כל החזקות של z N היו מונחות על מעגל היחידה נוסחת דה-מואבר :)DeMoivre( z N ( re ) r e z 1 z 1 z 1 (cos jsin ) N cosn jsin N 5
תרגילים )1( הפכו את המספרים שלפניכם לייצוג פולארי. (1) z 0 j ; () z 3 j4 (3) z 11 ; (4) z j1 הפכו את המספרים שלפניכם לייצוג קרטזי. j(3 /4) (1) z e ; (3) z 1.6 ( / 6) j( /) (3) z 3 e ; (4) z 7 (5 ) חשבו את הביטויים שלפניכם והציגו את התוצאה בייצוג קרטזי. (1) j ; () e ; (3) j 3 j n (4) j ; (5) j ; (6) e 1/ 0 j 6
תרגילים )( פשטו את הביטויים הקומפלקסים שלפניכם, פולארי וגם בייצוג קרטזי. בטאו את התוצאה בייצוג (1) 3e 4 e ; () ( j) ; (3) ( j) j /3 j/6 8 1 : חשבו את הביטויים הקומפלקסים שלפניכם ורשמו את התוצאה בייצוג פולארי וקרטזי. נתון: z 1 j ; z 1 j 1 (1) z () z (3) z z * * 1 1 z * (4) (5) (6) e z z z z 1 1 1 (7) jz (8) z (9) 1 1 1 z z 7
תרגילים )3( שאלה 1 נתונים שני מספרים מרוכבים: z = -1+j, z 1 = +j א. סמנו את z 1 ואת z במישור המרוכב. ב. חברו z 1 z+ בצורה וקטורית. ג. חסרו z 1 z בצורה וקטורית. בדקואת התוצאות על ידי חישוב. שאלה במערכת צירים של המישור המרוכב, נתונה מקבילית ששלושה מקודקודיה מיוצגים על ידי המספרים: (3+j) (0+0j)., (4+4j-), היעזרו בחיבור ובחיסור וקטורים ומצאו את המספר המייצג את הקודקוד הרביעי של המקבילית. כמה אפשרויות יש? מצאו את כולן. 8