פתרון מבחן סיווג במתמטיקה 8..9 a בעזרת הפרמטר כיתבו ביטוי עבור log.log שאלה מס' נתון ש a log a נשתמש בחוקי לוגריתמים. log log log + log + log + log a cos x cos x + cos x cos x +... < x < π כך שמתקיים: שאלה מס' מצאו מספר ממשי x π זהו סכום של סדרה הנדסית אינסופית שבה a cos x ו.q cos x S בתחום הנתון מתקיים < q <. נתון. כלומר, x π cos x +cos x לכן: שאלה מס' מצאו פונקציה רציפה f(x) שקבוצת הנקודות x המקיימות f(x) היא ] [, ] [, (כאן A B מציין איחוד של A ו B ). (x )(x 9) + נבצע הזזה לאפס. במקרה זה קצוות הקטעים הם נקודות ההתאפסות לכן קל לבנות פולינום. עכשיו נבצע הזזה חזרה. הערה: יתכנו פתרונות נוספים.
שאלה מס' חשבו את ) cos(arcsin נשתמש בזהות x sin x + cos ונקבל. cos x sin x cos(arcsin ) (sin(arcsin )) ( ) sin(arcsin(x)) x שאלה מס' נתון ששורשי הפולינום + 8 x p(x) x + x + הם r, s, t מצאו פולינום ששורשיו הם. r, s, t p(x) p(x) x + x + x + אפשר להשתמש בנוסחאות וייטה. נראה כאן השוואת מקדמים. נתון: r, s, t הם ששורשי הפולינום + 8 x p(x) x + x + לכן: t) p(x) (x r)(x s)(x לכן ע"י השוואת מקדמים (מוויטה היינו מקבלים בדיוק אותו דבר): rst 8 (rs + rt + st) (r + s + t) הפולינום הנדרש מקיים: ) t p(x) a(x r )(x s)(x ולכן: a a 8 rst a a (rs + rt + st) a a (r + s + t) a a
שאלה מס' n מצאו את המספר הטבעי הקטן ביותר המקיים: <. n n. > n n n + n < n n + לכן, > n שאלה מס' 7 מצאו את סכום המספרים הדו ספרתיים שאינם מתחלקים ב. S S S נסמן: S סכום כל המספרים הדו ספרתיים. S סכום כל המספרים הדו ספרתיים שמתחלקים ב. התשובה תהיה S S ( + 99)9 9 ( + 99) n 99 + (n ) S S (7 ).f(e ) ו f (x) x ln x שאלה מס' 8 מצאו פונקציה f(x) המקיימת: ln(ln x) + ln x ln x dx dt ln t + c ln ln x + c t נציב את הנתון: f(e ) ln ln e + c ונקבל.c ln
שאלה מס' 9 תנו דוגמה לפונקציה f(x) שמקבלת מקסימום מקומי ב x ומינימום מקומי ב x, ואינה קבועה בשום קטע. כתבו את הפונקציה בנוסחה אחת. x + x שאלה מס' חשבו את הגבול ln ( + h) lim h h f (x ) lim h ln(x + h) ln x h + h) lim ln( h h x f () נגדיר.f (x) ln x מתקיים ש כיוון ש h lim h מתקיים שאלה מס' מצאו נקודת מקסימום מקומי של הפונקציה ) + x. cos(x (, ) מתקיים (x) f אם x או ) + x,sin (x כלומר x x + (x ) πk לכן נקודות מועמדות לקיצון הן + πk ±., נבדוק את סימן הנגזרת משני צידי x. הביטוי x חיובי עבור > x ושלילי עבור <.x מצד שני, > ) (x x x + לכל x ולכן ) + x sin (x חיובי בסביבה של.x סך הכל > (x) f עבור < x ו < (x) f עבור >,x כלומר עבור x מתקבל מקסימום. מתקיים f () cos ולכן ) (, היא נקודת מקסימום.
שאלה מס' נתונה הפונקציה + x x + חשבו את () ).(f (f ) () מתקיים () f ו.f (x) x +.(f ) () לכן () f שאלה מס' מצאו זווית α בתחום ] π [ π, המקיימת α cos α sin (כתבו ברדיאנים) α π נתון ש α,cos α sin כלומר α. sin לכן α,sin כלומר α π + πk ו πk.α π +.α π [ π, ] π עבור k נקבל שאלה מס' חשבו את: e (+h) e lim h h e.f e () lim +h e נגדיר.f (x) e x מתקיים ש h h e.lim +h e h f () e e מתקיים lim h כיוון ש h h שאלה מס' מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה + x x x כדי שהפונקציה תהיה מוגדרת צריך לדרוש + x x. נפריד למקרים: אם x אז x x) (, לכן אי השוויון לא מתקיים לכל.x אם < x < אז x x (x + ), כלומר,x לכן אי השוויון מתקיים כאשר. < x אם x אז + x x + ולכן אי השוויון מתקיים לכל.x
z 9 חשבו את z + z שאלה מס' יהא z מספר מרוכב המקיים z 9 z 9 z 9 ±.z z + כלומר z + z ±,.z מתקיים נמצא את הפתרונות: i ± 9 ( ) i + 9 9 שאלה מס' 7 יהיו הוקטורים v, u כך שמתקיים u v וגם u. v מצאו את הזווית (ברדיאנים) α בין הוקטורים,u. v α מתקיים cos α u v u v u v u v לכן נותר לחשב u. v u v ( u v) ( u v) u u u v + v v u u v + v u v +.cos α ולכן v. u נציב בנוסחה ונקבל ש a ( ) ( ) ( ) שאלה מס' 8 מהו המקדם של x בפולינום ) 8 + x?(x מתקיים ) (x.(x x + ) 8. ( ) ( ) ( ) על פי נוסחת הבינום של ניוטון המקדם של x בפיתוח הוא
שאלה מס' 9 חשבו: x + x + x + dx x + + ln ( x + x + ) dx x + +x+ x +x לכן x+ x + x + x+ על פי חילוק פולינומים מתקיים ( ) x + x + ln (x + ) + + ln + ln l : (,, ) + t(,, ) שאלה מס' נתונים הישרים: l : (,, ) + s(,, k) מיצאו עבור אילו ערכים של הפרמטר k הישרים נמצאים באותו מישור. k כדי שהישרים יהיו על אותו מישור, צריך שלא יהיו מצטלבים. כלומר, צריך שיהיו או מקבילים או מתלכדים או נחתכים. וקטורי הכיוון שלהם: a (,, ) a (,, k) הם אינם פרופורציונליים בלי קשר לערכו של k. לכן הישרים אינם מקבילים ובודאי אינם מתלכדים. אם כך, יש למצוא k עבורו הם נחתכים. נחשב את נקודת החיתוך על ידי פתרון שלוש משוואות: + t + s t + s t ks t + s t s נעביר אגפים בשתי המשוואות הראשונות ונקבל: קיבלנו t).t t t + 8t t + ( + נציב במשואה השניה לקבלת s + כלומר.s מהמשוואה השלישית, t ks ולכן k כלומר.k עבור ערך זה של k הישרים נחתכים ובפרט נמצאים על אותו המישור. 7