מבנים אלגבריים 1 מבוסס על הרצאות פרופ' ענר שלו בקורס "מבנים אלגבריים 1" (80445) האוניברסיטה העברית, סמסטר א' 2014 להערות: נחי

מבנים אלגבריים 1 מבוסס על הרצאות פרופ' ענר שלו בקורס "מבנים אלגבריים 1" (80445) האוניברסיטה העברית, סמסטר א' 2014 להערות: nachi.avraham@gmail.com נחי תודה לכל מי ששלח תיקונים, ובמיוחד לנעמה בויאר, ענבל יפה, דוד רייטבלט, רעות שאבו ואוריאל עצמון. תודה גם לתום חן שנעזרתי בסיכום המומלץ שלו לאותו קורס. 1

תוכן עניינים 5 תורת החבורות I 5 חבורה.................................... 1 6 חבורה אבלית............................ 1.1 6......................... תכונות של חבורות 1.2 8 חזקות בחבורות........................... 1.3 8...................... סדר של חבורה או איבר 1.4 9........................ o (x) G 1.4.1 9................ המשפט הקטן של פרמה 1.4.2 10 תתי חבורות................................. 2 11......................... מחלקות בחבורה (cosets) 3 12....................... אינדקס של תת חבורה 3.1 12 משפט לגראנז'............................ 3.2 13.......................... חבורות נוצרות וציקליות 4 14................................... הצמדה 5 15.............................. חבורות נורמליות 6 16 חבורות פשוטות........................... 6.1 17 חבורות מנה............................. 6.2 17.......................... הומומורפיזם של חבורות 7 18................... גרעין ותמונה של הומומורפיזם 7.1 20 משפטי האיזומורפיזמים של חבורות..................... 8 20..................... משפט האיזומורפיזמים ה- I 8.1 22 ההטלה הקנונית. G G /N.................... 8.2 22 משפט האיזומורפיזמים ה- II..................... 8.3 23.................... משפט האיזומורפיזמים ה- III 8.4 24 משפט ההתאמה (איפיון תתי חבורות של חבורות מנה)....... 8.5 25......................... אוטומורפיזמים של חבורה 9 25....................... אוטומורפיזמים פנימים 9.1 26 מרכז של חבורה........................... 9.2 27........................... מכפלות ישרות 9.3 28................. משפט השאריות הסיני 9.3.1 28 פעולה של חבורה על קבוצה......................... 10 29 פעולה נאמנה (Faithful)................ 10.0.2 30............................. משפט קיילי 10.1 31 מסלולים ומייצבים.......................... 10.2 31.................... תכונות של מייצב 10.2.1 32 תכונות של מסלול.................... 10.2.2 33 משפט מסלול מייצב................... 10.2.3 34 פעולות טרנזיטיביות......................... 10.3 34 ליבה (core)............................. 10.4 37..................... שקילות פעולות 10.4.1 38 נקודות שבת............................. 10.5 38................... הלמה של ברנסייד 10.5.1 39 מחלקות צמידות ורכזים....................... 10.6 2

40................... משוואת המחלקות 10.6.1 41........................ משמר של תת חבורה 10.7 41................................. משפט קושי 11 43.................................. חבורות p 12 44 תורת סילו.............................. 12.1 44..................... משפט סילו ה- I 12.1.1 46 משפט סילו ה- II..................... 12.1.2 47.................... משפט סילו ה- III 12.1.3 48........... נורמליות ויחידות בחבורות p סילו 12.1.4 48.................... משפט סילו ה- IV 12.1.5 49 משפט סילו ה- V..................... 12.1.6 50..... דוגמאות לחבורות p סילו ושימוש בתורת סילו 12.1.7 51..................... תתי חבורות של חבורות p 12.2 52...................... תתי חבורות מקסימליות 12.3 53 סדרות נורמליות וסדרות הרכב....................... 13 53.......................... סדרות נורמליות 13.1 53............................ סדרות הרכב 13.2 54 קיום של סדרות הרכב (לחבורות סופיות).............. 13.3 54....... יחידות של סדרות הרכב (עד כדי סדר ואיזומורפיזם) 13.4 55 למת הפרפר של זסנהאוס................ 13.4.1 55 משפט העידון של שרייר................. 13.4.2 56 משפט ז'ורדן הולדר................... 13.4.3 57................... סדרות הרכב בחבורות שלמים 13.5 58 סדרות הרכב בחבורות תמורות................... 13.6 59............................... חבורות פתירות 14 62 קומוטטורים................................. 15 64 תת חבורה אופיינית......................... 15.1 65 סדרה נגזרת............................. 15.2 66..................... סקירה של כמה נושאים מתקדמים 16 66........... משפט המבנה לחבורות אבליות נוצרות סופית 16.1 67 חבורות פשוטות סופיות....................... 16.2 67 משפט הסדר האי זוגי........................ 16.3 67 השערת אורה (Ore)......................... 16.4 II תורת החוגים 68 17 חוגים.................................... 68 18 אידאלים.................................. 70 18.1 פעולות על אידאלים......................... 71 18.2 אידאל נוצר............................. 71 18.3 חבורת האיברים ההפיכים...................... 72 19 הומומורפיזמים של חוגים.......................... 72 20 חוגי מנה.................................. 73 20.1 ההטלה הקנונית. R R /I.................... 75 21 משפטי האיזומורפיזמים של חוגים...................... 75 21.1 משפט האיזומורפיזמים ה- I..................... 75 3

76 משפט האיזומורפיזמים ה- II..................... 21.2 76.................... משפט האיזומורפיזמים ה- III 21.3 76 משפט ההתאמה לחוגים........................... 22 77 אידאל מקסימלי............................... 23 77 קיום אידאל מקסימלי (הלמה של צורן)............... 23.1 78................................ תחום שלמות 24 79............................ יחס החלוקה 24.1 80 אי פריקות וראשוניות........................ 24.2 81................................. תחום ראשי 25 83................................ חוגים נתריים 26 83 פירוק איבר לא הפיך בתחום ראשי................. 26.1 85................................. החוג [x] F 27 85.......................... שורש של פולינום 27.1 86............................ שדה הרחבה 27.2 88............................. שדה פיצול 27.3 4

חלק I תורת החבורות חבורה היא מושג שמכליל יחסי סימטריה שונים. למשל אוסף כל הסיבובים והשיקופים של משולש, ששומרים על סימטריה, מהווה חבורה. 1 חבורה הגדרה: חבורה היא קבוצה G עם פעולה בינארית : G G G, המקיימת את התנאים הבאים:.1 סגירות: לכל x, y G מתקיים.x y G 1.2 אסוציאטיביות: לכל x, y, z G מתקיים z).(x y) z = x (y.3 קיום איבר יחידה: קיים e G כך שלכל x G מתקיים.x e = e x = x.4 קיום הופכי: לכל x G קים איבר שיסומן x 1 G המקיים.x 1 x = x x 1 = e דוגמאות: 1. החבורה הטריוויאלית: חבורה בת איבר אחד שהינו איבר היחידה {e}. 2. חבורות של שדות: (א) חבורה כפלית: לשדה F נסמן {0} \F F. = החבורה הכפלית שלו היא (1,, F) ביחס לפעולת הכפל המוגדרת בשדה. נשים לב כי (1,,F) איננה חבורה שכן אין הופכי ל- 0. דוגמאות אינסוף ממדיות לחבורות מסוג זה: Q.C, R, דוגמאות סוף ממדיות לחבורות מסוג זה: עבור p ראשוני, 1} p Z p = {1,..., עם פעולת כפל מודולו p, היא חבורה בגודל 1 p. ניתן להגדיר גם חבורה על חלק מהקבוצה Z n עבור n שאיננו ראשוני, בכך שנגדיר: Z n = {1 k n gcd (k, n) = 1} ונקבל כי (1,,n Z) היא חבורה ביחס לפעולת כפל מודולו n. (א) חבורה חיבורית: לשדה F, החבורה החיבורית שלו היא (0,+,F), והיא חבורה ביחס לפעולת החיבור המוגדרת בשדה. (ההופכי של פעולה זו הוא הנגדי). במקרה זה, (0,+, n Z) היא חבורה חיבורית לכל n טבעי ולא רק עבור ראשוניים כמו במקרה הכפלי. 1 נשים לב שתנאי זה גם נובע מהגדרת הפעולה : G G G. 5

1.1 חבורה אבלית הגדרה: חבורה G נקראת קומוטטיבית או אבלית אם לכל x, y G מתקיים.x y = y x כל החבורות שהזכרנו עד כה היו אבליות. דוגמאות לחבורות שאינן אבליות: 1. החבורה הלינארית הכללית ) n :(GL בהנתן שדה F, נגדיר את אוסף המטריצות ההפיכות מגודל n n מעל השדה: 2 GL n (F) = {A M n (F) det (A) 0} האוסף הנ"ל הוא חבורה כאשר פעולת החבורה תהיה פעולת כפל מטריצות ואיבר היחידה הוא I. n n 2. נסמן ב- S n את אוסף התמורות על המספרים {n,...,1}. זוהי חבורה ביחס לפעולת הרכבת פונקציות, ואיבר היחידה הוא תמורת הזהות. גודל החבורה הוא!n, ובפרט לכל n 3 זוהי חבורה לא אבלית. 3. נסמן ב- A n את אוסף התמורות הזוגיות על המספרים {n,...,1}. 3 הסגירות של החבורה נובעת מכך שסימן של תמורה הוא כפלי: sgn (στ) = sgn (σ) sgn (σ). n! 2 איבר היחידה הוא תמורת הזהות והאיבר ההופכי הוא התמורה ההופכית 1 σ. גודל החבורה הוא.4 החבורה הלינארית המיוחדת ) n :(SL SL n (F) = {A M n (F) det (A) = 1} GL n (F) איבר היחידה כאן הוא עדיין I n n וסגירות נובעת מכפליות של הדטרמיננטה: det (AB) = det (A) det (B) לכן אם = 1 (B) det (A) = det נקבל כי = 1 (AB).det 1.2 תכונות של חבורות תהא (e,g), חבורה, אזי: 1. איבר היחידה הוא יחיד. 2. ההופכי של כל איבר מוגדר ביחידות.. ( x 1) 1.3 לכל x G מתקיים = x 2 אוסף המטריצות מגודל n n מעל שדה F מסומן (F).M n - 3 "חילוף" הוא תמורה מהצורה.(xy) כלומר תמורה שמחליפה מיקום של שני איברים. - כל תמורה ניתנת להצגה כמספר סופי של חילופים. - "תמורה זוגית" היא תמורה שניתן להצגה כמספר זוגי של חילופים, אחרת זו "תמורה אי זוגית". כל תמורה היא זוגית או אי זוגית. 6

.4 לכל x, y G מתקיים 1 x.(xy) 1 = y 1.1 נניח כי a, e הם איברי יחידה בחבורה, מכך נקבל כי.e = a e = a 2. יהי x G ונניח כי 1 x,a הופכיים שלו. נקבל כי: a = e a = ( x 1 x ) a = x 1 (xa) = x 1 e = x 1 הוכחה: 1 1) x,x = ( ומיחידות 3. נשים לב כי x הוא הופכי ל- 1 x לפי ההגדרה, ולכן ההופכי נובע כי x הוא ההופכי של 1 x. 4. נוכיח כי זה ההופכי: (xy) ( y 1 x 1) = x ( y y 1) x 1 = x e x 1 = x x 1 = e חישוב דומה ייתן את אותה תוצאה עבור (xy). ( y 1 x 1) טענה: תהי G חבורה כך שלכל x G מתקיים,x 2 = e אזי G אבלית. הוכחה: מהנתון x 2 = e לכל x G נובע כי 1 x x = לכל.x G יהיו.g, h G מתקיים כי: (gh) 2 = e (gh) (gh) = e (gh) (hg) 1 = e gh = hg והשוויון השמאלי נובע מהנתון. טענה: תהי G חבורה ונקבע g G כלשהו. אזי ההעתקה f : G G המוגדרת על ידי f (x) = g x (כפל משמאל) היא חח"ע ועל (תמורה). הוכחה: גם ההעתקה המקבילה של כפל מימין באיבר קבוע f (x) = x g היא תמורה, וההוכחה כמעט זהה. f (x) = f (y) gx = gy g 1 gx = g 1 gy x = y נראה כי f חח"ע: יהיו,x, y G נחשב: נראה כי f היא על: יהי,h G נמצא x G שעבורו.f (x) = h נבחר x = g 1 h ונקבל: f ( g 1 h ) = g (g 1 h ) = ( gg 1) h = he = h מסקנה: בלוח הכפל של כל חבורה כל שורה וכל עמודה הן פרמוטציות של איברי החבורה. לחילופין, לוח הכפל של כל חבורה (סופית) מהווה ריבוע קסם. ההפך לא נכון. יש הרבה יותר ריבועי קסם מאשר חבורות סופיות. 7

1.3 חזקות בחבורות.x n = } x x {{... x } הגדרה: עבור כל < n 0, פעולת החזקה בחבורה עבור n טבעי מוגדרת n times.x n = ( x 1) n כמו כן נגדיר x 0 = e וכן תכונות: תהי G חבורה ויהי,x G אזי לכל n, m Z מתקיים: x n = ( x 1) n = (x n ) 1.1 x n x m = x n+m.2 (x n ) m = x n m.3 (ההוכחה מושארת כתרגיל). 1.4 סדר של חבורה או איבר הגדרה: תהי G חבורה, נאמר כי הגודל של G שמסומן G הוא הסדר של החבורה. אם G היא סופית יש לה סדר טבעי, ואם G אינסופית נסמן = G. הגדרה: תהי G חבורה ויהי x, G נגדיר את הסדר (order) של x להיות < m 0 הטבעי המינימלי שעבורו x. m = e במקרה ולא קיים m כזה נאמר שהסדר של x אינסופי. דוגמאות: נהוג לסמן את הסדר של איבר ע"י x או (x) o. 1. בכל חבורה מתקיים = 1 (e) o וזהו האיבר היחיד מסדר 1. 2. בחבורה R סדרי איברים אפשריים הם,2,1 בלבד. לדוגמה = (2),o שכן לא קיימת חזקה טבעית של 2 שעבורה = 1 m.2 3. בחבורה C קיימים איברים מסדר m לכל m טבעי (אלו הם שורשי היחידה המתאימים)..4 בחבורה הכפלית 7} {1, 3, 5, = 8 Z כל האיברים הם מסדר 1 או.2 טענה: תהי G חבורה סופית, אזי לכל x G יש סדר סופי. הוכחה: נבחר x G ונתבונן באוסף כל חזקותיו N}.P (x) = {x n n מסגירות החבורה ידוע כי כל האיברים הללו שייכים ל- G ולכן P (x) G ומכך בהכרח קיימות חזרות. בפרט קיימים k < n טבעיים שעבורם x n = x k ולכן,x n k = e ומכאן שהסדר של.n k הוא לכל היותר x n k טענה: תהי G חבורה ויהי x G כך ש- n,o (x) = אזי x m = e אמ"ם.n m תזכורת: לכל n, m טבעיים יש r, q שלמים יחידים, כך ש- r,m = nq + כאשר r < n.0 (ניתן להוכיח באינדוקציה). 8

הוכחה: (כיוון ראשון) נניח כי,n m צ"ל כי x. m = e מהנתון נובע שקיים k שלם שעבורו m, = nk ומכאן: x m = ( x nk) = (x n ) k = e k = e (כיוון שני) נניח כי,x m = e צ"ל כי.n m נחלק את m ב- n עם שארית m = nq + r כאשר r < n.0 מכך נקבל: e = x m = ( x nq+r) = x nq x r = (x n ) q x r = e q x r = x r אם < r 0 נקבל סתירה למינימליות של,n ולכן = 0 r ולכן.m n תכונות: תהי G חבורה, אזי:.x G לכל o (x) = o ( x 1).1.x, g G לכל o (x) = o ( g 1 xg ).2 3. בפרט מתקיים (hg) o (gh) = o (גם אם החבורה לא אבלית). o (x) G 1.4.1 תהי G חבורה אבלית סופית, אזי לכל x G מתקיים.x G = e 4 מסקנה: בתנאים אלה נסיק כי G x לכל x. G הוכחה: נניח כי.G = {x 1,..., x n }, G = n בהינתן x G כלשהו נתבונן באיברים,xx 1,,... xx n ונשים לב כי זו תמורה על איברי החבורה. כלומר קיימת π S n כך ש- π(i) i n,xx i = x.1 מכך שהחבורה אבלית נסיק כי: x n x 1 x 2...x n = (xx 1 ) (xx 2 )... (xx n ) = x π(1) x π(2)...x π(n) = x 1 x 2...x n מכאן ש- e.x n = מסקנה: לכל x Z p מתקיים = 1 p 1,x עבור p ראשוני. זאת מכך ש-{ 1 p Z p = {1,...,. Z ולכן 1 p p = 1.4.2 המשפט הקטן של פרמה יהיו x שלם ו- p ראשוני, אזי.x p xmodp 5 הוכחה: אם p x אז 0modp.0 נניח כי.p x נסמן x = qp + r כאשר r < p.0 מההנחה p x נובע כי < r < p 0 ממש, ולכן.r Z p 4 בהמשך נוכיח זאת לכל חבורה סופית. 5 משמעות הסימון a = bmodp היא כי.p a b כלומר ל- b,a אותה שארית בחלוקה ב- p. 9

מהמשפט הקודם נובע כי = 1 p 1 r ב- p,z כלומר r p 1 = 1 mod p ב- Z. נחשב: x = qp + r x r mod p x p 1 r p 1 mod p = 1 mod p x p x mod p 2 תתי חבורות הגדרה: תהי G חבורה, תת קבוצה H G נקראת תת חבורה של G, אם H עצמה מהווה חבורה ביחס לפעולה המוגדרת ב- G. כלומר אם לכל x, y H מתקיים x y H וכן לכל x H מתקיים.x 1 H 6 נהוג לסמן תת חבורה H. G הגדרה שקולה: תהי G חבורה, תת קבוצה H G נקראת תת חבורה של G אם לכל.xy 1 H מתקיים x, y H הוכחה: (כיוון ראשון) נניח את ההגדרה הראשונה, ונקבל כי מסגירות מתקיים לכל,x y H כי xy 1 H וכן כי.H (כיוון שני) נתון כי H ולכן קיים.x H מהתנאי בהגדרה השנייה נובע כי.e = xx 1 H נראה סגירות להופכי: עבור x H מתקיים גם e H ולכן.ex 1 = x 1 H נראה סגירות תחת הכפל: עבור x, y H נקבל כי ey 1 = y 1 H ולכן.xy = x ( y 1) 1 H טענה: תהי G חבורה אבלית. אם G = p עבור p ראשוני, אזי תתי החבורות היחידות שלה הן.{e}, G 7 הוכחה: תהי.H G אם {e} H = סיימנו, לכן נניח {e},h כלומר יש.e x H נזכור שהראינו כי x G = p וידוע כי x < 1 (כי (x e ומכאן כי. x = p מכאן נובע כי כל האיברים p 1 e, x, x 2,..., x שונים, כי אם x i = x j אז x i j = e בסתירה לכך ש- p x. = אם כך קיבלנו p איברים שונים זה מזה שמוכלים ב- H, ולכן בהכרח H. = G טענה: תהי G חבורה ויהיו,K, H G אזי.K H G הטענה נכונה לחיתוך של כל כמות תתי חבורות. 6 מההנחה כי H אינה ריקה נובע כי יש x, H מקיום ההופכי והסגירות נסיק כי e. = xx 1 H 7 בהמשך נוכיח זאת לכל חבורה. 10

3 מחלקות בחבורה (cosets) הגדרה: תהי G חבורה ותהי H. G נקבע g G ונגדיר מחלקה שמאלית וימנית של H (בהתאמה): gh = {gh h H} Hg = {hg h H} הערה: לכל,h H מסגירות לכפל נובע שמתקיים.hH = Hh = H הערה: מכך שכפל באיבר מהחבורה מגדיר תמורה על איברי החבורה, נסיק שעבור G חבורה ו- G,H 1, H 2 כך ש-,H 1 H 2 לכל g G מתקיים.gH 1 gh 2 ובאופן זהה גם עבור מחלקות ימניות..g 1 טענה: תהי,H G אזי 2 g 1 H g 1 H = g 2 H הוכחה: (כיוון ראשון) אם g 1 H = g 2 H אז בפרט g 1 = g 1 e g 2 H ולכן קיים h H כך ש- h,g 1 = g 2.g 1 ומכאן כי 2 g 1 = h H (כיוון שני) אם g2 1 g 1 H אז g2 1 g 1H = H ולכן קיים h H כך ש- h,g2 1 g 1 = כלומר.g 1 H = (g 2 h) H = g 2 H ומכאן כי g 1 = g 1 2 h טענה: תהי H, G אזי כל זוג מחלקות שמאליות (או ימניות) הן זרות או שוות. הוכחה: נראה כי אם H g 1 H g 2 אז.g 1 H = g 2 H מההנחה שהחיתוך אינו ריק נובע שיש h, 1, h 2 H לא בהכרח שונים, כך שמתקיים.g 1 h 1 = g 2 h 2 g 1 h = g 1 eh = g 1 h 1 h 1 1 h = (g 1h 1 ) ( h 1 1 h) = = (g 2 h 2 ) ( h 1 1 h) = g 2 ( h2 h 1 1 h) g 2 H יהי g 1 h gh כלשהו, נסיק כי: ולכן מתקיים כי g. 1 H g 2 H באופן סימטרי נוכל להסיק גם את ההכלה ההפוכה, ונקבל.g 1 H = g 2 H משפט: תהי H, G אזי קיימת קבוצת אינדקסים I (סופית או לא) כך שמתקיים: G = i I g i H, g i g j [הסימון מתייחס לאיחוד זר.] כלומר, איחוד כל המחלקות השמאליות (או הימניות) הזרות מהווה חלוקה של החבורה. 11

.g gh מקיים g G מכיוון שכל,G = הוכחה: ברור כי מתקיים gh g G האיחוד שהגדרנו אולי אינו זר, ולכן ניקח את כל המחלקות השונות זו מזו ונסמנן ב- H i I,g i (כלומר נמחק את כל החזרות), ונקבל כי g i H g j H לכל.i j מטענה קודמת נובע כי = H g i H g j ולכן קיבלנו כי האיחוד לא ישתנה, ומתקיים: G = g GgH = i I g i H 3.1 אינדקס של תת חבורה הגדרה: תהי H, G נגדיר את האינדקס של H ב- G להיות מספר המחלקות השמאליות השונות של H ב- G. נסמן זאת [H G]. : טענה: האינדקס של תת חבורה מוגדר היטב ללא תלות במחלקות ימניות או שמאליות. כלומר מספר המחלקות הימניות שווה למספר המחלקות השמאליות. הוכחה: תהי H. G נגדיר העתקה בין אוסף המחלקות הימניות לבין אוסף המחלקות השמאליות על ידי 1 Hg.gH (gh) 1 = נוכיח שהיא חח"ע: נניח כי g, 1 H = g 2 H ראינו שזה תנאי שקול לכך שמתקיים 1 ) g.g1 1 g 2 = ( g2 1 מהפעלת 1 H תת חבורה נקבל כי H מהיות.g 1 2 g 1 H התנאי השקול הנ"ל למחלקות ימניות, נקבל שזה אומר כי.Hg2 1 = Hg1 1 נוכיח שהיא על: כל מחלקה ימנית Hg מתקבלת מהמחלקה השמאלית g. 1 H מכך שזו העתקה חח"ע ועל נובע כי מספר המחלקות השמאליות והימניות שווה. 3.2 משפט לגראנז' משפט: תהי,H G סופית או לא, אזי H. G = [G : H] הוכחה: ראינו כי G = i Ig i H כאיחוד זר ולכן ברור כי [H I, = G] : כי שניהם מייצגים את מספר המחלקות השונות. נסיק מכך: G = i I g i H = i I H = I H = [G : H] H השוויון השני נובע מכך שגודל של מחלקה לא משתנה כתוצאה מכפל בקבוע של כל איבריה. מסקנה: אם G סופית אז.[G : H] = G H משפט לגראנז': תהי G חבורה סופית ותהי H, G אזי G H. הוכחה: נובע מהמשפט האחרון. 12

מסקנה :1 אם G סופית, אז לכל x G מתקיים G. x מכך גם נובע שמתקיים,x G = e לפי טענה קודמת שאם x n אז.x n = e הוכחה: נסמן ב- x את תת החבורה הנוצרת על ידי x. קל לראות שזו זו תת חבורה. ממשפט לגראנז' נובע כי G x, וקל לראות שמתקיים x x, = כי = x. x G ולכן נסיק כי, { e, x, x 2,..., x x 1} מסקנה 2: לחבורה G מסדר p ראשוני יש רק שתי תת חבורות - G {e}., מסקנה 3: כל חבורה G מסדר p ראשוני היא ציקלית (כלומר נוצרת על ידי איבר x), G ולכן גם אבלית. הוכחה: ניקח e g G ונתבונן בתת החבורה שהוא יוצר, ונשים לב שהיא בהכרח לא טריוויאלית. גודל תת חבורה זו חייב לחלק את G = p ולכן g, = p כלומר. g = G מסקנה 4: יש רק "חבורה אחת" מכל סדר p ראשוני. כלומר עד כדי איזומורפיזם. (נראה בהמשך). 4 חבורות נוצרות וציקליות הגדרה: תהי G חבורה ויהי x, G נגדיר את החבורה הנוצרת על ידי x להיות = x } Z { x k k. כלומר אוסף כל החזקות של x ב- G. קל לראות שזו תת חבורה. הגדרה: תהי G חבורה ותהי X G תת קבוצה. נגדיר את תת החבורה של G הנוצרת על. X = ידי X להיות H הערות: H G X H.1 אם } n X = {x 1,..., x נסמן X. x 1,..., x n = 2. מאחר וחיתוך של תת חבורות הוא תת חבורה נקבל כי X היא תת חבורה של G. 3. אם H תת חבורה של G שמכילה את X, אז X. H מכך ניתן לראות כי X היא תת החבורה המינימלית ב- G (ביחס להכלה) שמכילה את X ולכן היא מוגדרת ביחידות. 4. אם X = G נאמר ש- X יוצרת את G או ש- X מהווה קבוצת יוצרים של G..5 אם X = G אבל לכל Y X ממש מתקיים, Y = G נאמר ש- X היא קבוצת יוצרים מינימלית של G (ביחס להכלה). איפיון שקול: תהי G חבורה ותת קבוצה X, G החבורה הנוצרת X היא אוסף כל המכפלות הסופיות של איברי X (ה"מילים"): X = {x ε1 1... xεn n 0 n N, x i X, ε i {±1}} S 13

כאשר מכפלה באורך 0 מוגדרת להיות e ולכן בפרט {e} =. ההגדרה הקודמת שנתנו הייתה הגדרה "מלמעלה" ומאידך זוהי הגדרה על ידי בנייה "מלמטה". הוכחה: ראשית נראה כי S היא תת חבורה של G: סגירות: כל איבר של S הוא מכפלה סופית של איברי X והופכיהם, לכן מכפלה של שני איברים כאלו היא עדיין מכפלה סופית של איברי X והופכיהם. קיום יחידה: e S שכן הגדרנו מכפלה ריקה להיות e. (x ε1 1...xεn x ε1 קל לראות כי: סגירות להופכי: בהנתן...xεn n S 1 n ) 1 = x εn n...x ε1 1 S באופן מיידי ניתן לראות כי X S שכן לכל x X מתקיים x = x 1 S (מכפלה באורך.(1 לכן. X S 1 i n נשים לב כי לכל x ε1 כעת נראה את ההכלה ההפוכה: בהנתן...xεn n S 1 מתקיים X.x i x ε1 1...xεn n וכן,x εi ידוע כי X תת חבורה ולכן לכל {±1} i ε מתקיים X i. X מכך ניתן לראות כי אכן מתקיים שיוויון X, = S כנדרש. הגדרה: חבורה G נקראת ציקלית, אם היא נוצרת על ידי איבר אחד x. G כלומר קיים.G = כך ש- x x G טענה: כל חבורה ציקלית היא אבלית. הוכחה: לכל x g, h קיימים m, n Z כך ש- g = x m ו-,h = x n ומכך: gh = x m x n = x m+n = x n+m = x n x m = hg 5 הצמדה הגדרה: תהי G חבורה, עבור,x g G ההצמדה של x על ידי g מוגדרת ומסומנת := g x.g 1 xg הגדרה: תהי G חבורה ויהי x, G מחלקת הצמידות של x ב- G מוגדרת ומסומנת: x G =: { g 1 xg g G } = { gxg 1 g G } הערה: יחס הצמידות הוא יחס שקילות. כלומר מקיים רפלקסיביות (x צמוד ל- x על ידי ו- y צמוד ל- y x (אם וטרנזיטיביות צמוד ל- x ) y אז צמוד ל- y x סימטריות (אם e), צמוד ל- z, אז x צמוד ל- z ). 14

G G = x כאיחוד זר. 8 1... x G הערה: n תכונות: x g = x.1.2 g,(xy) g = x g y כי: g 1 xyg = g 1 xgg 1 yg = x g y g.3 n,(x n ) g = (x g ) כי: gx n g 1 = gxx...xg 1 = gxgg 1 xgg 1...gg 1 xg 1 = ( gxg 1) n.4 הפונקציה x x g היא חח"ע ועל.G G x g = y g = gxg 1 = gyg 1 = x = y חח"ע: על: כל x G מתקבל על ידי הצמדה של g 1 xg ב- g. 6 חבורות נורמליות תהא G חבורה ותהי N. G נאמר כי N היא תת חבורה נורמלית ב- G ונסמן N, G אם לכל g G מתקיים.gNg 1 N תנאים שקולים לנורמליות תהא N. G התנאים הבאים שקולים: N G.1.2 לכל g G מתקיים.gNg 1 = N.3 לכל g G מתקיים.gN = Ng היא איחוד מחלקות צמידות ב- G. N 4. הוכחה: 1) (2 8 כל זוג מחלקות צמידות הם זהות או זרות, וכל x שייך למחלקת צמידות כלשהי. ניקח רק מחלקות צמידות שונות ונקבל את המבוקש. 15

נתון כי N, G כלומר.gNg 1 N נרצה להראות את ההכלה ההפוכה: gng 1 N g 1 N ( g 1) 1 N gg 1 N ( g 1) 1 g 1 gng 1 N gng 1 2) (1 טריוויאלי. gng 1 = N gn = Ng gn = Ng gng 1 = N (3 2) (2 3) 1) (4 אם gng 1 N אז כל n N מקיים 1 gmg n = ל- N.m כלומר כל איברי N הם צמודים של איבר כלשהו. (4 1) מהנתון ש- N איחוד של מחלקות צמידות נובע כי N, = n N ng כלומר כל gng 1 N ולכן.gNg 1 N טענה: תהי H G תת חבורה כך ש- 2 = H],[G : אזי.H G הוכחה: מכך ש- 2 = [H G] : נובע שיש רק שתי מחלקות שמאליות. כלומר G = H gh עבור g G\H כלשהו. מכך שהאיחוד זר נובע.gH = G\H מספר המחלקות הימניות שווה למספר המחלקות השמאליות, ולכן נקבל מאותו נימוק שמתקיים,G = H Hg וכנ"ל.Hg = G\H משני השוויונים נסיק כי,gH = Hg וקיבלנו את אחד התנאים השקולים לנורמליות. 6.1 חבורות פשוטות החבורות הפשוטות הסופיות נחשבות ל"אטומים" בעולם החבורות. בסוף המאה ה- 20 הוכח "משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות", שמיין את כל סוגי החבורות הפשוטות הסופיות. הגדרה: חבורה {e} G נקראת פשוטה, אם תת החבורות הנורמליות היחידות שלה הן.{e}, G טענה: כל חבורה מסדר ראשוני היא פשוטה. הוכחה: הראינו שלכל חבורה מסדר ראשוני אין תת חבורות לא טריוויאליות, ובפרט אין לה תת חבורות נורמליות לא טריוויאליות. 16

6.2 חבורות מנה הגדרה: נניח כי,N G נגדיר את הקבוצה G}. G /N = {gn g 9 נגדיר כפל על הקבוצה הזו bn}.an bn = {xy x an, y anbn = a (Nb) N = a (bn) N = abn טענה: anbn = abn הוכחה: כאשר השוויון השני נובע מנורמליות N ב- G. (ניתן להגדיר כך מראש את פעולת הכפל). טענה: הקבוצה G N/ היא חבורה ביחס לכפל שהגדרנו. הוכחה: איבר היחידה הוא,eN = N כי.(gN) N = Ng (N) = gn נחשב אסוציאטיביות: an (bncn) = an (bcn) = a (bc) N = (ab) cn = (abn) cn = (anbn) cn (gn) ( g 1 N ) = ( gg 1) N = N קיום הופכי:,(gN) 1 = g 1 N שכן: דוגמאות:.1 {e} G /G = {G} = כי G משמשת פה כתת החבורה הנורמלית, והראינו שאיבר היחידה בחבורת המנה הוא תת החבורה הנורמלית. G/{e} = {g {e} g G} = G.2. G /N = G N טענה: בחבורה G סופית מתקיים G.[G : N] = כמו כן /N G הוא גודל אוסף המחלקות השמאליות N הוכחה: ראינו כי השונות, שזה בדיוק האינדקס של N ב- G. 7 הומומורפיזם של חבורות הגדרה: יהיו,G H חבורות. העתקה מהצורה f : G H נקראת הומומורפיזם אם לכל x, y G מתקיים: f (x y) = f (x) f (y) נשים לב כי הכפל על,x y הוא הפעולה המוגדרת ב- G, והכפל על (y) f (x), f הוא הפעולה המוגדרת ב- H. 9 קל לראות שמתקיים N]. G/N = [G : 17

הומומורפיזם חח"ע נקרא מונומורפיזם הומומורפיזם על נקרא אפימורפיזם הומומורפיזם חח"ע ועל נקרא איזומורפיזם אם קיים איזומורפיזם,f : G H מסמנים.G = H טענה: תהי f : G H הומומורפיזם, אזי: f (e G ) = e H.1 f ( x 1) = f 1 (x).2.3 (x) f ( x k) = f k לכל k שלם. הוכחה: 1. נחשב: f (e G ) = f (e G e G ) = f (e G ) f (e G ) f (e G ) = e H f (x) f ( x 1) = f ( xx 1) = f (e) = e f ( x 1) f (x) = f ( x 1 x ) = f (e) = e 2. נחשב: f (x 1 x 2...x n ) = f (x 1 ) f (x 2 )...f (x n ) 3. מהכפליות נובע באינדוקציה שמתקיים: עבור x 1 = x 2 =... = x n נקבל את השוויון הנדרש עבור < n.0 בשילוב טענה 2 נקבל את הטענה עבור < 0 n. 7.1 גרעין ותמונה של הומומורפיזם הגדרה: יהי f : G H הומומורפיזם. מגדירים: ker (f) = {x G f (x) = e H } G image (f) = {f (x) H x G} H טענה: 18

G. הוא תת חבורה נורמלית של ker (f) 1. H. הוא תת חבורה (לאו דווקא נורמלית) של image (f) 2. הוכחה:.1 איבר יחידה: f (e) = e ולכן (f).e ker סגירות לכפל: x, y ker (f) f (x) = f (y) = e f (xy) = f (x) f (y) = e xy ker (f) x ker (f) f (x) = e f ( x 1) = f 1 (x) = e 1 = e x 1 ker (f) סגירות להופכי: נראה שזו תת חבורה נורמלית. כלומר יש להראות כי אם (f) x, ker אז לכל g G מתקיים (f).gxg 1 ker נחשב: f ( gxg 1) = f (g) f (x) f ( g 1) = f (g) f ( g 1) = f ( gg 1) = e.2 איבר יחידה: (e) e = f ולכן (f).e image סגירות לכפל: x, y image (f) t1,t 2 G x = f (t 1 ), y = f (t 2 ) xy = f (t 1 ) f (t 2 ) = f (t 1 t 2 ) xy image (f) f (x) image (f) f ( x 1) image (f) f 1 (x) image (f) סגירות להופכי: 19

נראה דוגמה לתת חבורה (f) image שאינה נורמלית. ניקח את ההומומורפיזם f : S 2 S 3 המוגדר להיות: { e x = e f (x) = (12) x = (12) נשים לב כי (12)} {e,,ker (f) = {e}, image (f) = אבל S 2 אינה נורמלית ב-.S 3 טענה: הומומורפיזם f הוא חח"ע אמ"מ {e}.ker (f) = הוכחה: (כיוון ראשון) אם (f) x ker אז.f (x) = e אבל ידוע כי f (e) = e ולכן (e).f (x) = f מכך ש- f חח" ע נובע x. = e (כיוון שני) נניח כי {e}.ker (f) = נניח כי (y),f (x) = f ונחשב: f (x) = f (y) f (x) f 1 (y) = e f ( xy 1) = e xy 1 = e x = y טענה: יהי f : G 1 G 2 הומומורפיזם ותהי,H G 2 אזי המקור של,H כלומר הקבוצה היא תת חבורה של.G 1,A =: {g G 1 h H f (g) = h} G 1 הוכחה: מתקיים כי e H וכן f (e) = e ולכן.e A סגירות לכפל מתקיימת כי לכל g 1, g 2 A קיימים,f (g 1 ), f (g 2 ) H ולכן מתקיים: f (g 1 g 2 ) = f (g 1 ) f (g 2 ) H ומכאן כי.g 1 g 2 A סגירות להופכי מתקיימת כי לכל g A קיים f. (g) H אבל H תת חבורה ולכן.g 1 A כלומר,f ( g 1) H ומכאן כי f 1 (g) H 8 משפטי האיזומורפיזמים של חבורות 8.1 משפט האיזומורפיזמים ה- I יהי f : G H הומומורפיזם של חבורות, אזי /ker(f).image (f) = G 20

הוכחה: יהי f : G H הומומורפיזם. נסמן.K = ker (f) G.1 נגדיר פונקציה מהצורה (f) Ψ : G /K image להיות (x),ψ (xk) = f ונוכיח כי היא איזומורפיזם. ראשית נראה כי Ψ מוגדרת היטב (כלומר אינה תלויה בנציגים): כלומר יש להוכיח כי אם xk = yk אז (yk),ψ (xk) = Ψ כלומר (y).f (x) = f נשים לב שמצד אחד מתקיים: xk = yk x 1 y K f ( x 1 y ) = e f (x) = f (y) כאשר הגרירה האחרונה נובעת מתכונות ההומומורפיזם. 2. נוכיח כי Ψ הומומורפיזם: Ψ (xkyk) = Ψ (xyk) = f (xy) = f (x) f (y) = Ψ (xk) Ψ (yk) Ψ (xk) = Ψ (yk) f (x) = f (y) f ( x 1 y ) = e x 1 y K x 1 yk = K xk = yk 3. נוכיח כי Ψ חח"ע:.4 נוכיח כי Ψ על: צ"ל שלכל (f) y image קיים x G כך ש- y.ψ (xk) = אבל כל איבר ב-( f ) image הוא מהצורה (x) f, ולכן (x) xk f וקיים x כנדרש..5 נסיק כי Ψ הומומורפיזם חח"ע ועל בין G /K לבין (f),image ולכן = G/K.image (f).1 ההעתקה {±1} n sgn : S היא הומומורפיזם בגלל כפליות הסימן. כמו כן מתקיים,ker (sgn) = A n, image (sgn) = {±1} = Z 2 ולכן נסיק. Sn /A n = Z2 מכך גם נובע כי = 2 ] n [S n : A ולכן.A n S n דוגמאות: 21

.2 ההעתקה F det : GL n (F) היא הומומורפיזם בגלל כפליות הדטרמיננטה. GL n /SL n כמו כן מתקיים F,ker (det) = SLn (F), image (det) = ולכן נסיק =.F 8.2 ההטלה הקנונית G G /N הגדרה: תהי G חבורה ותהי.N G נגדיר העתקה מהצורה π : G G /N באופן הבא: π (g) = gn = Ng G /N טענה: π היא הומומורפיזם של חבורות, והיא העתקה על. π (gh) = ghn = gnhn = π (g) π (h) הוכחה: נראה כי זה הומומורפיזם: נראה כי זו העתקה על: לכל gn G /N מתקיים כי (g).gn = π 8.3 משפט האיזומורפיזמים ה- II טענה: תהי G חבורה ויהיו תתי החבורות K, G H, G אזי מתקיים: H K H.1 HK G.2 K HK.3 H: K H הוא חיתוך של תת חבורות ולכן הוא תת חבורה. נראה כי H K 1. h (H K) h 1 = ( hhh 1) ( hkh 1) = H K הוכחה: כאשר השוויון הראשון נובע מכך ש- H hhh 1 = והשני נובע מכך ש- H h ומכך ש- K נורמלית ב- G..2 למה: יהיו,H, K G אזי HK = {hk h H, k K} G היא תת חבורה של G אמ"מ.HK = KH (ההוכחה מושארת כתרגיל) אם כך מספיק להראות כי :HK = KH HK = hk = Kh = KH h H h H כאשר השוויון השני נובע מנורמליות K ב- G. 3. נראה כי K. HK ראשית ברור כי K. HK נורמליות מתקיימת כי אם.gKg 1 = K כי נובע ב- G K ומנורמליות,g G אז גם g HK 22

משפט האיזומורפיזם השני: תהי G חבורה ויהיו תתי חבורות K, G H, G אזי מתקיים. H /H K = HK /K הוכחה: נתבונן בהטלה הקנונית הכללית π : G G /N המוגדרת.π (g) = gn נצמצם את π ל- H, כך ש- K / π H : H G עם אותה ההגדרה - hk.π (h) = מכיוון ש- π היא הומומורפיזם, גם הצמצום שלה ל- H נשאר הומומורפיזם. נחשב את ) H ker (π H ), image (π כדי להשתמש במשפט האיזומורפיזם הראשון: ker (π H ) = h H π (h) = eg /K = {h H hk = K} = {h H h K} = H K }{{} =K image (π H ) = {π (h) h H} = {hk h H} = {hkk h H, k K} = HK /K כעת לפי משפט האיזומורפיזם הראשון נקבל. H /H K = HK /K 8.4 משפט האיזומורפיזמים ה- III תהי G חבורה ויהיו H, K G כך ש- H,K אזי. G /K / H/K = G /H הערה: נשים לב שמתקיים H K/ G K/ ולכן הביטוי במשפט מוגדר. את ההוכחה לכך נסיק במהלך הוכחת המשפט. הוכחה: נתבונן בהעתקה f : G /K G /H המוגדרת.f (gk) = gh ראשית נראה שההעתקה מוגדרת היטב (לא תלויה בנציגים): g 1 K = g 2 K g 1 1 g 2 K H g 1 H = g 2 H f (g 1 K) = f (g 2 K) נראה כי f הומומורפיזם: f (g 1 Kg 2 K) = f (g 1 g 2 K) = g 1 g 2 H = g 1 Hg 2 H = f (g 1 K) f (g 2 K) נחשב את (f) ker (f), image כדי להשתמש במשפט האיזומורפיזם הראשון: ker (f) = { gk f (gk) = eg/h} = {gk gh = H} = {gk g H} = H/K מכאן ש- K /, H K/ G כי כל גרעין של הומומורפיזם הוא תת חבורה נורמלית. image (f) = G /H כעת לפי משפט האיזומורפיזם הראשון נקבל. G /K / H/K = G /H 23

טענה: כל תת חבורה נורמלית של G היא גרעין של הומומורפיזם מ- G לחבורה כלשהי. הוכחה: תהי N G ונתבונן בהטלה π : G G /N המוגדרת להיות:.π (g) = gn ראינו שזה הומומורפיזם, וכן מתקיים: ker π = { g G π (g) = eg/n} = {g G gn = N} = {g G g N} = N 8.5 משפט ההתאמה (איפיון תתי חבורות של חבורות מנה) { } משפט: תהי N. G קיימת התאמה חח"ע ועל בין קבוצת תתי החבורות H H G/N לבין קבוצת תתי החבורות G}.{H N H הערה: המשפט לא מגדיר הומומורפיזם של חבורות, כי קבוצות אלה אינן בהכרח חבורות. הוכחה: התאמה זו ניתנת על ידי ההטלה הקנונית π. : G G N/ כלומר ההתאמה מהצורה.H H /N G /N ניתנת על ידי {H N H G} { } H H G /N נראה שזו התאמה על: תהי,H G /N נגדיר ) H.H = π 1 ( הראינו שהמקור תחת הומומורפיזם של כל תת חבורה הוא תת חבורה, ולכן H שהגדרנו היא תת חבורה. לכן H היא המקור של H, כלומר ההתאמה היא על. נראה שזו התאמה חח"ע: יהיו H 1, H 2 G שמכילות את N ומקיימות. H1 /N = H2 /N כלומר,π (H 1 ) = π (H 2 ) יהי.h 1 H 1 מההנחה נובע שקיים h 2 H 2 כך שמתקיים,h 1 N = h 2 N ולכן יש n N המקיים h 1 = h 2 n (כי.(e N אבל N H 2 ולכן h 1 H 2 ומכאן כי.H 1 H 2 באופן סימטרי נובע כי,H 2 H 1 ולכן,H 1 = H 2 כלומר π חח"ע. טענה: ההתאמות הללו שומרות על הכלות ועל נורמליות. כלומר: N H 1 H 2 H1 /N H2 /N N H G H /N G /N הוכחה: שמירת ההכלה ברורה. נראה שהנורמליות גם משתמרת. בכיוון ראשון: נניח כי.H G משמע לכל g G ולכל h H מתקיים.ghg 1 H לכן לכל hn H /N ולכל gn G /N מתקיים: (gn) hn (gn) 1 = ghg 1 N H /N וזו ההגדרה של. H /N G /N בכיוון שני: נניח כי. H /N G /N אז לכל g G ולכל h H מתקיים: ghg 1 N = (gn) hn (gn) 1 H /N ולכן,ghg 1 H וזו ההגדרה של.H G 24

9 אוטומורפיזמים של חבורה הגדרה: אוטומורפיזם של חבורה G הוא איזומורפיזם מהצורה f. : G G 1. בחבורה (0,+,Z) האוטומורפיזמים היחידים הם ± הזהות..2 לכל חבורה אבלית,G ההעתקה 1 g f (g) = היא אוטומורפיזם. דוגמאות: הגדרה: נגדיר את (G) Aut להיות אוסף כל האוטומורפיזמים של G, ונגדיר פעולה = 2 f 1 f f. 1 f 2 כלומר כפל של אוטומורפיזמים הוא ההרכבה שלהם. טענה: תחת פעולת ההרכבה, (G) Aut היא חבורה. הוכחה: סגירות תחת פעולת ההרכבה: הרכבה של העתקות חח"ע ועל היא העתקה חח"ע ועל, ומכיוון שהתחום והטווח הם G, נקבל כי ההרכבה גם היא ב-( G ).Aut איבר היחידה הוא האוטומורפיזם.Id אסוציאטיביות נובעת מאסוציאטיביות של הרכבת פונקציות. סגירות להופכי נובעת מכך שהאוטומורפיזמים הם העתקות חח"ע ועל. 9.1 אוטומורפיזמים פנימים הגדרה: נקבע g G ונגדיר העתקה ψ g : G G להיות הצמדה ב- g. כלומר לכל x G מגדירים 1 gxg ψ. g (x) = להעתקות מהצורה הזו קוראים אוטומורפיזם פנימי. טענה: (G).ψ g Aut הוכחה: ראינו כי ψ g היא חח"ע ועל. נותר להוכיח כפליות: ψ g (xy) = g (xy) g 1 = g ( x ( g 1 g ) y ) g 1 = g (( xg 1) (gy) ) g 1 = = ( gxg 1) ( gyg 1) = ψ g (x) ψ g (y) מכאן ש- ψ g איזומורפיזם, ומהגדרתו נובע כי הוא גם אוטומורפיזם. הערה: נשים לב כי G חבורה אבלית אמ"מ ψ g = Id לכל g. G הגדרה: (G) Inn הוא כל האוטומורפיזמים הפנימיים של G. טענה: (G) Inn (G) Aut הוכחה: ראשית נראה כי (G) Inn תת חבורה של (G),.Aut איבר היחידה קיים כי ברור שמתקיים (G),Id Inn מכיוון ש- Id ψ. e = נראה סגירות להרכבה. יש להראות כי (G) ψ g ψ h Inn לכל.g, h G לשם כך מספיק להוכיח כי.ψ g ψ h = ψ gh נחשב עבור כל :x G (ψ g ψ h ) (x) = ψ g (ψ h (x)) = ψ g ( hxh 1 ) = g ( hxh 1) g 1 = = (gh) x ( h 1 g 1) = (gh) x (gh) 1 = ψ gh (x) 25

נראה קיום הופכי. יש להראות כי (G) ψ) g ) 1 Inn לכל g. G לשם כך מספיק להוכיח כי 1 g.(ψ g ) 1 = ψ נחשב עבור כל :x G ( ψg ψ g 1) (x) = ψg ( ψg 1 (x) ) = ψ g ( g 1 x ( g 1) 1 ) = = ψ g ( g 1 xg ) = g ( g 1 xg ) g 1 = x ומחישוב דומה נקבל.ψ g 1 ψ g = Id מכאן שמתקיים (G).Inn (G) Aut נותר להראות כי (G).Inn (G) Aut כדי להראות נורמליות מספיק להראות ψ g ו-( G ).ϕ Aut יהיו (G) Inn שמתקיים: ϕ ψ g ϕ 1 = ψ ϕ(g) Inn (G) נחשב עבור כל x: G ( ϕ ψg ϕ 1) (x) = ϕ ( ψ g ( ϕ 1 (x) )) = ϕ ( gϕ 1 (x) g 1) = = ϕ (g) ϕ ( ϕ 1 (x) ) ϕ ( g 1) = ϕ (g) xϕ ( g 1) = ϕ (g) xϕ 1 (g) = ψ ϕ(g) (x) הגדרה: /Inn(G) Out (G) = Aut(G) 9.2 מרכז של חבורה הגדרה: המרכז של חבורה G מוגדר ומסומן: Z (G) = {g G x G gx = xg} Z (G) = G אבלית G.1 הערות: 2. ((F) Z (GL n הוא כל המטריצות הסקלאריות, כלומר המטריצות שהן מכפלה של מטריצת היחידה בסקלר..3 {Id} Z (S n ) = לכל n.3 (ההוכחה מושארת כתרגיל. יש להראות שכל תמורה שאינה הזהות, אינה במרכז). טענה: Z (G) G הוכחה: ראשית נראה כי Z. (G) G ברור כי (G).e Z נראה סגירות לכפל. יהיו (G).g, h Z לכל x G מתקיים: x (gh) = (xg) h = (gx) h = g (xh) = g (hx) = (gh) x 26

נראה קיום הופכי. נניח כי (G) g, Z אז מתקיים לכל x: g 1 x = ( x 1 g ) 1 = ( gx 1 ) 1 = xg 1 מכאן שמתקיים.Z (G) G נותר להראות כי.Z (G) G אבל נשים לב שלכל (G) g Z מתקיים כי = 1 xgx.z (G) G כלומר,xZ (G) z 1 = Z (G) ולכן,x G לכל g טענה: (G) G/Z(G) = Inn הוכחה: נשתמש במשפט האיזומורפיזמים הראשון. נגדיר העתקה (G) f : G Inn להיות f (g) = ψ g (נזכור כי 1 gxg.(ψ g (x) = הראינו כי,ψ gh = ψ g ψ h ולכן מתקיים (h),f (gh) = f (g) f כלומר f הומומורפיזם של חבורות. נחשב את (f) ker (f), image כדי להשתמש במשפט האיזומורפיזם הראשון: ker (f) = { g G f (g) = e Inn(G) = Id } = {g G ψ g = Id} = Z (G) כאשר השוויון האחרון נובע מכך שאוסף ה- G g המקיימים ψ g (x) = gxg 1 = x הוא בדיוק אוסף ה- G g המקיימים.gx = xg כמו כן ברור שמתקיים (G).image (f) = Inn מכאן נקבל לפי משפט האיזומורפיזמים הראשון (G). G /Z(G) = Inn.1 (F)), GLn(F) /Z(GL n(f)) = Inn (GL n כאשר (F)) Z (GL n הוא אוסף המטריצות הסקלאריות. מסמנים n(f)).p GL n (F) =: GLn(F) /Z(GL.Z (SL 2 (F)) = { ( 1 ± 1 דוגמאות: )}.2 (F)), SL2(F) /Z(SL 2(F)) = Inn (SL 2 ונשים לב כי.P SL 2 (F) =: SL2(F) / ± 1 0 0 1 מסמנים 9.3 מכפלות ישרות הגדרה: יהיו,H G חבורות. מגדירים ומסמנים את המכפלה הישרה שלהן: G H =: {(g, h) g G, h H} מגדירים על קבוצה זו כפל באמצעות כפל של הנציגים המתאימים: (g, h) (g, h ) = (g g, h h ) קל לראות שתחת פעולה זו, G H היא חבורה. הכללה: יהיו G 1,,... G n חבורות. מגדירים ומסמנים את המכפלה הישרה של כולן: G 1... G n =: {g 1... g n g i G i, i = 1,..., n} הערה: ניתן גם להגדיר גם מכפלה ישרה על מספר כלשהו של חבורות, לאו דווקא סופי. 27

9.3.1 משפט השאריות הסיני יהיו m 1,..., m n מספרים טבעיים זרים בזוגות. כלומר לכל i j מתקיים = ) j gcd (m i, m.1 ויהיו a 1,..., a n שלמים כלשהם. נתבונן במערכת השקילויות הבאה: x a 1 mod (m 1 ). x = a n mod (m n ) אזי קיים פתרון למערכת, ופתרון זה הוא יחיד מודולו m. 1... m n מסקנה: אם m 1,,... m n טבעיים זרים בזוגות, אזי: Z m1... Z mn = Zm1... m n הוכחה: (של המסקנה) יהי ) mn.(a 1,..., a n ) (Z m1... Z נתאים לו איבר ב- Z, m1... m n שייבחר כפתרון היחיד של מערכת השקילויות: x a 1 mod (m 1 ). x = a n mod (m n ).(a 1,..., a n ) x Z m1... m n קיבלנו התאמה מהצורה ניתן להראות שזו התאמה שמייצרת איזומורפיזם. G 1... G n = G 1... G n נוסחה: 10 פעולה של חבורה על קבוצה הגדרה: תהי G חבורה ותהי X קבוצה. פעולה של G על X היא העתקה מהצורה G X X, המסומנת,(gx) g.x שמקיימת שני תנאים: e.x = x.1 x X לכל (gh).x = g. (h.x).2 הערה: נשים לב שבתנאי 2, הפעולות שב- x. (gh) הן פעולת הכפל בחבורה ופעולת החבורה על הקבוצה. לעומת זאת הפעולות שב-( h.x ).g שתי הפעולות הן של החבורה על הקבוצה. טענה: כל פעולה של חבורה על קבוצה מגדירה תמורה של איברי הקבוצה. 28

הוכחה: בהינתן פעולה g.x של חבורה G על קבוצה X, נראה שלכל g G ההעתקה x g.x היא חח"ע ועל. חח"ע: אם g.x = g.y אזי מהתכונות של הפעולה נובע: y = e.y = g 1 g.y = g 1. (g.x) = g 1. (g.y) = g 1 g.x = e.x = x על: כל x X מתקבל על ידי.g 1.x g. ( g 1.x ) = gg 1.x = x הגדרה: לכל קבוצה X מסמנים bijection}.sym (X) = {f : X X f is נשים לב שזו חבורה ביחס לפעולת ההרכבה. טענה: תהי G חבורה ו- X קבוצה. אזי כל פעולה של G על X מגדירה הומומורפיזם מהצורה X. על G וכל הומומורפיזם כנ"ל מגדיר פעולה של G, Sym (X) הוכחה: תהי G חבורה ו- X קבוצה. נוכיח את שני הכיוונים. 1. נניח כי נתונה פעולה של G על X שנסמן.g.x נראה כי ההעתקה (g) ϕ המוגדרת בהינתן g G לכל x X להיות,ϕ (g) (x) = g.x היא העתקה מהצורה (X) ϕ : G Sym והיא הומומורפיזם. (א) מהטענה שהוכחנו לעיל נובע שאכן (X) ϕ. (g) Sym (ב) נראה כי (g) ϕ הומומורפיזם. לכל x X מתקיים: ϕ (gh) (x) = (gh). (x) = g. (hx) = ϕ (g) (hx) = = ϕ (g) (ϕ (h) (x)) = (ϕ (g) ϕ (h)) (x).2 נניח כי נתון הומומורפיזם (X).ϕ : G Sym נראה כי הפעולה G X X המוגדרת להיות (x) g.x = ϕ (g) היא פעולה של G על X. נראה ששתי האקסיומות מתקיימות: e.x = ϕ (e) (x) = Id (x) = x (gh).x = ϕ (gh) (x) = (ϕ (g) ϕ (h)) (x) = = ϕ (g) (ϕ (h) (x)) = g. (ϕ (h) (x)) = g. (h.x) 10.0.2 פעולה נאמנה (Faithful) הגדרה: פעולה של חבורה על קבוצה תיקרא נאמנה אם ההומומורפיזם (X) ϕ : G Sym המתאים לה הוא חח"ע. הגדרה שקולה: פעולה של חבורה על קבוצה תיקרא נאמנה אמ"מ מתקיים כי לכל g e G קיים x X כך ש- x.g.x כלומר כל g e צריך לשנות לפחות איבר אחד בקבוצה. 29

הוכחת השקילות: נניח כי ϕ הומומורפיזם חח"ע ול- G g כלשהו מתקיים g.x = x לכל x. X מכאן שמתקיים ϕ (g) (x) = x ומכיוון ש- ϕ הומומורפיזם חח"ע נובע כי.g = e נניח שמתקיימת ההגדרה השקולה. כדי להראות חח"ע מספיק להראות כי הגרעין של,g = e ולכן x לכל ϕ (g) (x) = x אז ϕ (g) = e Sym(X) = Id טריוויאלי. אם ϕ כלומר הגרעין טריוויאלי. דוגמה: נניח כי G פועלת על G באמצעות הצמדה. כלומר 1 gxg g.x = עבור.x, g G זו לא בהכרח פעולה נאמנה, כי אם g אבלית מתקיים gxg 1 = x עבור כל g, ולכן הגרעין לא טריוויאלי. ניתן לראות כי בדוגמה זו הפעולה נאמנה אמ"מ {e} Z. (G) = מסקנה: אם הפעולה של G על X נאמנה, אז (X) ϕ : G Sym היא מונומורפיזם (הומומורפיזם חח"ע, כי הגרעין טריוויאלי) ולכן אפשר לייצר איזומורפיזם מהצורה.ϕ : G image (ϕ) 10.1 משפט קיילי כל חבורה G ניתנת לשיכון ב-( G ),Sym ואם G מסדר סופי אז היא ניתנת לשיכון ב- G S. כלומר כל G איזומורפית לתת חבורה של (G),Sym ואם זוהי חבורה מסדר סופי אז G איזומורפית לתת חבורה של G S. הוכחה 1: נגדיר X = G ונגדיר פעולה של G על עצמה כפעולה של חבורה על קבוצה, באמצעות פעולת הכפל בחבורה. זוהי פעולה נאמנה ולכן G איזומורפית לתת חבורה של (G) Sym כפי שראינו כמסקנה לעיל. כך גם במקרה בו G = n סופי מתקיים כי: Sym {(g 1,..., g n )} = Sym ({1,..., n}) = S n הוכחה :2 (מפורשת יותר) לכל g G נגדיר העתקה τ g : G G להיות.τ g (x) = gx זו העתקה חח"ע ועל, ולכן לכל g G מתקיים כי (G).τ g Sym נגדיר שיכון (G) ϕ : G Sym על ידי.ϕ (g) = τ g נראה כי זה חח"ע: g ker (ϕ) ϕ (g) = Id τ g = Id x G gx = x g = e ראינו כי זה הומומורפיזם. 30

מכאן ש- e,ker (ϕ) = לכן היא חח"ע והיא מהווה שיכון של G ב-( G ).Sym ככלל, תמונה של הומומורפיזם היא תת חבורה, ולכן G איזומורפית לתת החבורה שמוגדרת על ידי התמונה של ϕ. הערה: אם G = n אז.Sym (G) = S n נזכור שמתקיים n!, S n = ולכן G משוכנת ב- S n כתת חבורה בגודל n. מכאן כי G = S n אמ"מ n! n = כלומר = 2.n 10.2 מסלולים ומייצבים הגדרה: תהי G חבורה שפועלת על קבוצה X ויהי x. X O (x) =: {g.x X g G} המסלול של x מוגדר להיות: הגדרה: תהי G חבורה שפועלת על קבוצה X ויהי x. X G x =: Stab (x) =: {g G g.x = x} המייצב של x מוגדר להיות: 10.2.1 תכונות של מייצב טענה: מייצב של איבר הוא תת חבורה. הוכחה: e G x מכיוון שלכל x X מתקיים.e.x = x עבור כל g, h G x מתקיים,g.x = h.x = x ולכן עבור המכפלה מתקיים: (gh).x = g. (h.x) = g.x = x עבור כל g G x מתקיים,g.x = x ולכן עבור ההופכי מתקיים: g 1.x = g 1. (g.x) = ( g 1 g ).x = e.x = x טענה: תהי G חבורה שפועלת על קבוצה X, אזי לכל h G מתקיים: G h.x = hg x h 1 כלומר תתי החבורות G h.x, G x צמודות ב- G. הוכחה: נוכיח הכלה בשני הכיוונים. יהי 1 h.y hg x כלומר 1 hgh y = עבור g המקיים.g.x = x נחשב: ( hgh 1 ). (h.x) = ( hgh 1 h ).x = (hg).x = h. (g.x) = h.x 31

ולכן y G h.x ונסיק כי.hG x h 1 G h.x יהי.y G h.x כלומר מתקיים.y. (h.x) = h.x נסיק כי: ( h 1 yh ).x = h 1. ((yh).x) = h 1. (y. (h.x)) = h 1. (h.x) = x לכן קיבלנו כי h 1 yh G x ומכאן כי 1 h y hg x ונסיק כי 1 h.g h.x hg x נסיק כי 1 h.g h.x = hg x מסקנות: אם G חבורה שפועלת על קבוצה X, לכל x X מתקיים:.1 אם (x) y O אז G x, G y תתי חבורות צמודות.. G x = G y ולכן מתקיים,G y.2 אם (x) y O אז = Gx.3 אם (x) y O וגם,G x G אז.G x = G y הוכחה: 1. מכך ש-( x ) y O נובע שיש h G כך ש- h.x y. = נסיק לפי הטענה הקודמת: G y = G h.x = hg x h 1.2 בהינתן,h G נגדיר העתקה מהצורה ψ h : G G להיות ההצמדה: ψ h (g) = hgh 1 מכאן. זהו אוטומורפיזם פנימי ל- G ולכן בפרט גם לתת חבורות של G. שמתקיים: G x = ψh (G x ) = hg x h 1 = G h.x = G y G y = G h.x = hg x h 1 = G x 3. מנורמליות נובע שמתקיים: הערה: אם (x) y / O לא ידוע דבר על הקשר בין G x לבין G. y 10.2.2 תכונות של מסלול טענה: תהי G חבורה שפועלת על קבוצה X באמצעות,g.x אזי לכל,x y X מתקיים כי.O (x) O (y) = או O (x) = O (y) 32

הוכחה: נניח כי (y) O (x) O ונראה כי (y).o (x) = O יהי (y).z O (x) O בפרט (y) z O (x), O ולכן קיימים g, h G כך ש- h.y.z = g.x = מכאן שמתקיים ( g 1 h ).y = x ולכן (y).x O ככלל, נקודה ב-( x ) O היא מהצורה u.x עבור u G כלשהו, ולכן נסיק כי: u.x = u. ( g 1 h ).y = ( ug 1 h ).y O (y) ומכאן ש-( y ).O (x) O באופן דומה נקבל את ההכלה ההפוכה, ולכן נקבל (y) O. (x) = O טענה: תהי G חבורה שפועלת על קבוצה X באמצעות,g.x אזי i),x = i I O (x כאשר מסמן איחוד זר. הוכחה: ניתן לראות כי השתייכות למסלול היא יחס שקילות על X. השקילות של יחס זה מהוות חלוקה של X. מכאן שמחלקות באופן מפורש, נבחר נציגים,i I,x i X כך ש-( O (x i ) O (x j לכל.i j מטענה קודמת נובע כי = ) j.o (x i ) O (x כמו כן ידוע כי עבור כל x X מתקיים (x).x O מכאן שקיבלנו איחוד זר שמכסה את הקבוצה, ולכן זו חלוקה. 10.2.3 משפט מסלול מייצב משפט: תהי G חבורה שפועלת על קבוצה.X לכל x X מתקיים ] x. O (x) = [G : G כלומר גודל המסלול הוא האינדקס של המייצב ב- G. G,[G : G x ] = ולכן נסיק כי במקרה G x הערה: בחבורות סופיות, לפי משפט לגראנז' מתקיים זה: O (x) G x = G כלומר הגודל של כל מסלול מחלק את גודל החבורה. הוכחה: G /G x הוא אוסף המחלקות השמאליות של G x ב- G. מסמנים x.[g : G x ] = G /G נראה כי הגודל שווה באמצעות הגדרה של העתקה חח"ע ועל ביניהם. G x ולכן נגדיר העתקה מהצורה (x) ϕ : G /G x O להיות.ϕ (gg x ) = g.x = g1 1 2G x,g 1 G x אז = g 2 G x ההעתקה ϕ מוגדרת היטב, כי אם.g1 1 2 G x נסיק מכך: ϕ (g 1 G x ) = g 1.x = g 1. ( g 1 1 g 2.x ) = g 2.x = ϕ (g 2 G x ) 33

נראה כי ϕ חח"ע:,gG x G /G x ϕ (g 1 G x ) = ϕ (g 2 G x ) g 1.x = g 2.x ( g 1 1 g 2).x = x g 1 1 g 2 G x g 1 1 g 2G x = G x g 1 G x = g 2 G x נראה כי ϕ על: בהינתן (x) g.x O מוגדרת המחלקה השמאלית ולכן היא מתקבלת על ידי.ϕ (gg x ) = g.x אם כך קיימת העתקה חח"ע ועל (x), G /G x O ולכן (x). G /G x = O 10.3 פעולות טרנזיטיביות הגדרה: תהי G חבורה שפועלת על X. נאמר שהפעולה טרנזיטיבית אם יש מסלול יחיד. כלומר, לכל x, y X קיים g G כך ש- y.g.x =.1 פעולת ההצמדה 1 gxg g.x = עבור G = X אינה טרנזיטיבית עבור כל G.(O (e) = {e} (ובפרט O (h) = {h} מתקיים h Z (G) כי עבור כל,{e} 2. הפעולה הטבעית של החבורה S n על הקבוצה {n,...,2,1} טרנזיטיבית, כי עבור כל n} x, y {1, 2,..., יש σ S n כך ש- y.σ.x = σ (x) = דוגמאות: הגדרה: חבורת תמורות היא תת חבורה של S, n שפועלת על הקבוצה {n,...,2,1}. הגדרה: חבורת תמורות G נקראת טרנזיטיבית אם היא טרנזיטיבית על {n,...,2,1}. כלומר אם המסלול שלה ב-{ n,...,2,1} הוא יחיד. כלומר אם לכל {n,i j,1},2,... יש.g.i = כך ש- j g G הערה: חבורה G פועלת טרנזיטיבית על קבוצה X אמ"מ עבור ההומומורפיזם G ϕ : (X) Sym הנובע מהפעולה מתקיים כי (ϕ) ϕ (G) = Im היא תת חבורה טרנזיטיבית של (X).Sym 10.4 ליבה (core) נניח כי G חבורה ו- G H תת חבורה. ניתן ל- G לפעול על הקבוצה = H/ X = G {G {gh g (לא דרשנו ש- H תהיה נורמלית ולכן X אינה בהכרח חבורה) על ידי להיות.a G עבור כל a.gh = agh קל לראות שזו פעולה של חבורה על קבוצה, כמו כן זו פעולה טרנזיטיבית כי עבור כל. ( yx 1).xH = yx 1 xh = yh מתקיים כי xh, yh X 34

נשים לב שהמייצב של H ביחס לפעולה זו הוא: G H = {a G a.h = ah = H} = {a G a H} = H טענה: 1 ghg G gh = הוכחה: ראינו שבאופן כללי מתקיים 1 h,g h.x = hg x ולכן במקרה זה = g.h G gh = G.gG H g 1 = ghg 1 טענה: אם ϕ הוא ההומומורפיזם המתאים לפעולה של G על הקבוצה, G H/ אזי מתקיים.ker (ϕ) = ghg 1 למה: תהי G הפועלת על,X ויהי ההומומורפיזם (X) ϕ : G Sym הנובע מהפעולה. אזי.ker (ϕ) = x X G x g ker (ϕ) ϕ (g) = Id ϕ (g) (x) = x x X g.x = x x X g G x x X g x X G x g G הוכחה: הוכחה: מהלמה ומטענה קודמת נובע כי עבור (H/ ϕ : G Sym ( G מתקיים: ker (ϕ) = G x = G gh = ghg 1 x X g G הגדרה: נניח כי G חבורה ו- G H תת חבורה, ומגדירים פעולה של G על G H/ באמצעות.a G לכל a.gh = agh, ונהוג לקרוא לו הליבה (core) של H כפי שראינו גרעין פעולה זו הוא 1 ghg g G H G =: ghg 1 g G g G ב- G. מסמנים: 35

תכונות: 1. G H. G כי הראינו ש- H G גרעין של הומומורפיזם, וכל גרעין כזה הוא תת חבורה נורמלית..2 H.H G כי בחיתוך שמגדיר את H G מופיע האיבר,eHe 1 = H ולכן כל איבר בחיתוך מוכל בפרט ב- H..3 אם H N G אז.N H G כי מנורמליות מתקיים 1 gng N =.N ghg 1 = H G ולכן,g G לכל ghg 1 g G 4. מסעיף 3 נובע כי H G היא התת חבורה הנורמלית המקסימלית של G המוכלת ב- H..H = S n 1 דוגמה: ניקח את G = S n וכן n} {σ Sn σ (n) = = נשים לב כי S 1 n = G n (המייצב של n). נוכיח כי הליבה של 1 n S ב- S n היא {e}. יהי n}).ϕ : G Sym ({1, 2,..., נראה שזו פעולה נאמנה ולכן {e},ker (ϕ) = }{{} =S n ולפי למה קודמת נסיק שמתקיים {e}.h G = G x = ker (ϕ) = x {1,2,...,n} ראינו כי המייצב של n הוא 1 n S, ומטרנזיטיביות הפעולה נסיק כי כל מייצב אחר i < n G, i 1 הוא צמוד של H. (כי מייצבי נקודות באותו מסלול הם צמודים, ובפעולה טרנזיטיבית יש מסלול יחיד). כל צמודי H הם מייצבי נקודות כלשהן, לפי הנוסחה 1 h G, hx = hg x ולכן אם ניקח x = n נקבל: G hn = hg n h 1 = hs n 1 h 1 מכאן שקבוצת צמודי 1 n H = S היא קבוצת מייצבי הנקודות ב- G, = S n מכאן שחיתוך קבוצת צמודי H הוא בדיוק הליבה של H ב- G, שכפי שראינו שווה ל-.ker (ϕ) = {e} טענה: (הכללה של הדוגמה האחרונה) נניח כי G פועלת טרנזיטיבית על X ויהי x. X אזי:.1 קבוצת המייצבים X} {G y y היא קבוצת הצמודים } G { gg x g 1 g..2 אם (X) ϕ : G Sym הומומורפיזם הנובע מהפעולה, אז: ker (ϕ) = G y = ghg 1 = H G y X g G הוכחה: 36

.1 יהיו g G,y X כך ש- g.x y = (מטרנזיטיביות פעולת G על X נובע שקיים g כנ"ל). נקבל: G y = G g.x = gg x g 1 מכאן שכל מייצב הוא צמוד. מצד שני נקבל שכל צמוד 1 g gg x הוא המייצב של.g.x לכן נקבל את השוויון. 2. נובע מטענה קודמת. 10.4.1 שקילות פעולות הגדרה: תהי G חבורה הפועלת על קבוצות,X. Y נאמר שפעולת G על X שקולה לפעולת G על Y, אם קיימת העתקה חח"ע ועל 10.x X ולכל g G לכל f (g.x) = g.f (x) המקיימת f : X Y משפט: כל פעולה טרנזיטיבית של G על X, שקולה לפעולה של G על, G G/ x לכל x. X הוכחה: יהי.x X נסמן G} Y = G /G x = {gg x g ונגדיר העתקה f : Y X להיות.f (gg x ) = g.x G/G x ראינו כי f מוגדרת היטב וכי היא חח" ע ועל (הראינו שיש התאמה חח"ע.(O (x) במקרה שלנו O (x) = X מטרנזיטיביות, ולכן f חח"ע וגם על. נראה כי f משמרת את הפעולה. צ"ל כי (y) f (g.y) = g.f עבור כל y ag x = : G /G x f (g.ag x ) = f (gag x ) = (ga).x = g (a.x) = g.f (ag x ) מכאן כי הפעולה של G על X שקולה לפעולה של G על. G G/ x טענה: נניח כי G חבורה ו- G H כך שמתקיים < n, G : H = אזי n!. G : H G ובפרט קיימת תת חבורה N G כך ש-! n G : N (כי ניתן לבחור את.(N = H G הוכחה: נתבונן בפעולת G על G /H ובהומומורפיזם /H) ϕ : G Sym ( G המתקבל ממנה. ידוע כי G /H = G : H = n ולכן.Sym ( G /H) = S n מכאן שנוכל להתבונן בה"כ בהומומורפיזם.ϕ : G S n ממשפט האיזומורפיזם הראשון נובע שלכל הומומורפיזם מתקיים (ϕ), G /ker(ϕ) = Im ולכן בפרט במקרה הנוכחי מתקיים: G/H G = Im (ϕ) Sn ממשפט לגראנז' נובע כי n! Im (ϕ) S n = ולכן n!. G /H G = G : H G.1 אם G חבורה סופית כך ש-! n, G וכן H G תת חבורה מאינדקס < n,1 אזי G אינה פשוטה. מסקנות: 10 נשים לב שבצד שמאל זו הפעולה על X ובצד ימין זו הפעולה על Y. 37

2. אם G חבורה סופית כך ש- G!n < ויש לה תת חבורה H G מאינדקס < n,1 אזי G אינה פשוטה. הוכחות:.1 ראינו כי n! G : H G ולפי הנתון n!, G לכן בהכרח {e},h G שכן אחרת היינו מקבלים G G : H G = בסתירה לנתונים. לכן הליבה שהיא תת חבורה נורמלית, אינה טריוויאלית. כמו כן נשים לב גם שמתקיים H G G כי לפי הנתון H G : < 1 ולכן H G H < G ממש. מכאן שיש תת חבורה נורמלית שאינה טריוויאלית ואינה G כולה, ולכן G אינה פשוטה. 2. בגלל ש- G!n < אז!n G, ומהמסקנה הקודמת נובע כי G לא פשוטה. 10.5 נקודות שבת הגדרה: בהינתן פעולה של חבורה G על קבוצה X, לכל g G נגדיר: x (g) = {x X g.x = x} 10.5.1 הלמה של ברנסייד תהי G חבורה סופית שפועלת על קבוצה סופית X, ונניח שמספר המסלולים הוא k. אזי מתקיים: 1 G x (g) = k g G הוכחה: נגדיר את הקבוצה: A = {(g, x) g G, x X, g.x = x} G X נחשב את הגודל של A בשתי צורות שונות, לפי איברי G ולפי איברי X. A = {x X g.x = x} = x (g) g G g G נניח כי יש k מסלולים שונים שנסמן.X 1,..., X k הראינו שמתקיים X = X 1... Xk כאיחוד זר. A = {g G g.x = x} = ( ) k G x = G x x X x X i=1 x X i G. G x = מכאן X i G X i = G : G x = ולכן G x משפט מסלול מייצב קובע כי נובע: G G x = X i = G 1 X i = G 1 X i X i = G x X i x X i x X i 38

A = נסיק אם כך מהשוויון האחרון: ( ) k k G x = G = k G x X i i=1 i=1 משתי הצורות הללו יחד נקבל כי: k G = x (g) g G נחלק ב- G ונקבל את הלמה. מסקנות: 1 G g G 1. אם G פועלת טרנזיטיבית על X אז יש לה מסלול אחד בלבד, ולכן = (g) x.1 1 n! σ S n בפרט למשל ראינו כי S n פועלת טרנזיטיבית על n} X = {1,..., ולכן = (σ) x.1 מתקיים כי A n פועלת טרנזיטיבית על n} X = {1,..., כמו כן עבור n 3 1. ( n! 2 ) σ A n ולכן = 1 (g) x 2. נראה שלכל n 3, קיים איבר ללא נקודת שבת בתת חבורת התמורות הזוגיות.A n נשים לב כי n) (1...n) = (12) (23)... (n 1, הוא איבר ללא נקודת שבת ב- S. n אם n אי זוגי אז (n...1) A n וסיימנו, ואם n זוגי נבחר את התמורה. ( ) ( 1... n n 2 2...n) טענה: תהי G חבורה סופית הפועלת טרנזיטיבית על קבוצה סופית X, כך ש- X < 1, אזי קיימת g G ללא נקודת שבת..1 הוכחה: נניח שלכל g G יש נקודת שבת, ולכן לכל g G מתקיים (g) x מתקיים כי > 1 X x (e) = ולכן נקבל מהלמה של ברנסייד כי עבור e G 1, בסתירה לכך ש- G טרנזיטיבית על X. G g G x (g) > 1 10.6 מחלקות צמידות ורכזים תזכורת: תהי G חבורה ויהי x, G מחלקת הצמידות של x מוגדרת להיות: x G = { gxg 1 g G } נשים לב ש- x G הוא המסלול של x G בפעולת G על עצמה באמצעות הצמדה. הגדרה: נניח כי G פועלת על עצמה באמצעות הצמדה. נגדיר את הרכז של x G ב- G להיות המייצב של x ביחס לפעולת הצמדה: G x = { g G gxg 1 = x } = {g G gx = xg} =: C G (x) 39

הערות: 1. (x) C G הוא תת חבורה לכל x, G כי הראינו שכל מייצב נקודה הוא תת חבורה. Z (G) = x G C G (x).2 טענה: (x) x G = G : C G לכל.x G הוכחה: משפט מסלול מייצב קובע כי באופן כללי x. O (x) = G : G במקרה הנוכחי מתקיים,G x = C G (x),o (x) = x G ולכן נציב ונקבל את הטענה. מסקנה: G x G לכל.x G הוכחה: באופן כללי גדלי מסלולים מחלקים את גודל החבורה. 10.6.1 משוואת המחלקות x G 1,..., x G k הן k מחלקות הצמידות השונות שגודלן גדול מ- 1, תהי G חבורה סופית. נניח כי, אזי: x G כלומר } G i = { gx i g 1 g G = Z (G) + k k x G i = Z (G) + G : C G (x i ) i=1 i=1.( x (השוויון השני נובע מטענה קודמת (x) G = G : CG הוכחה: נשים לב כי מכיוון ש- G מתחלקת לאיחוד זר של מחלקות צמידות, אז G שווה לסכום הגדלים שלהן. נסמן ב- z 1,..., z l את איברי (G).Z נשים לב שמתקיים = 1 G x אמ"מ (G),x Z ולכן מחלקות הצמידות בגודל 1 הן איברי המרכז: } l.{z 1 },..., {z מכאן נקבל כי G היא סכום איברי המרכז עם שאר מחלקות הצמידות בגודל גדול מ- 1 : l k G = {z j } + x G i j=1 i=1 דוגמה: נניח כי G = S 3 כך ש-{ e } Z. (G) = נחשב את גדלי המסלולים: (12) G = {(12), (13), (23)} (12) G = 3 (123) G = {(123), (132)} (123) G = 2 לכן נקבל ממשוואת המחלקות: 6 = 3! = S 3 = Z (S 3 ) + (12) G + (123) G = 1 + 3 + 2 = 6 40

10.7 משמר של תת חבורה תהי G חבורה ונגדיר {G X. = {H H נגדיר פעולה של G על X באמצעות הצמדה: (g, H) H g = ghg 1 G את המייצב של תת חבורה H ביחס לפעולה זו מגדירים להיות המשמר של H ב- G. כלומר, מתקיים כי המשמר הוא: N G (H) = {g G (g, H) = H} = { g G ghg 1 = H } N G (H) G.1 (H N G (H) כך (ומכלל H N G (H).2 G : N G (H) = {H g g G}.3 תכונות המשמר: הוכחה: 1. הוכחנו באופן כללי שהמייצב של איבר בקבוצה שפועלת עליה חבורה, הוא תת חבורה. בפרט מתקיים.H g.2 מהגדרת המשמר נובע כי (H) g N G אמ"מ = H.H N G (H) ולכן,h H לכל H h = H הנורמליות של H נובעת מהגדרת המשמר, שכן לכל (H) g N G מתקיים.gHg 1 = H.3 משפט מסלול מייצב קובע באופן כללי כי x, O (x) = G : G ולכן: {H g g G} = O (H) = G : G H = G : N G (H) 1. המשמר (H) N G הוא התת חבורה המקסימלית ב- G ביחס לתכונה H.N G (H) G = N G (H) אמ"מ H G.2 הערות: 3. מספר צמודי H ב- G סופית מחלק את G, כי מספר זה הוא גודל המסלול של H, וככלל גודל מסלול מחלק את גודל החבורה. 11 משפט קושי תהי G חבורה סופית ויהי p ראשוני המחלק את G, אזי יש ב- G איבר מסדר p. הערה: סדר של איבר מחלק את גודל החבורה, ולכן בהכרח הטענה נכונה רק ל- G p. 41

הוכחה: תהי G חבורה סופית ויהי p ראשוני המחלק את G. 1. נגדיר את הקבוצה: X = {(g 1, g 2,..., g p ) g i G, g 1 g 2... g p = e} G G... G }{{} p times נשים לב שלאחר שקובעים 1 p איברים, האיבר ה- p נקבע ביחידות כדי לקיים את התנאי.g 1 g 2... g p = e מכאן שמספר האפשרויות להרכיב איברים ב- X הוא p 1, G כלומר p 1. X = G נשים לב גם שאיברי X סגורים להזזה ציקלית. כלומר אם ) p (g 1, g 2,..., g 1 g נקבל X אז גם,(g 2,..., g p, g 1 ) X שכן באמצעות הצמדה ב- 1.g 2... g p g 1 = e לכן נקבל באופן אינדוקטיבי שלכל k מתקיים כי אם (g 1, g 2,..., g p ) X אז גם.(g k+1, g k+2,..., g p, g 1,..., g k ) X 2. נגדיר פעולה של החבורה Z p על הקבוצה X להיות: (q, (g 1,..., g p )) (g q+1,..., g p, g 1,..., g q ) X עבור q. Z p קל לוודא שזו פעולה של חבורה על קבוצה. כמו בכל פעולה של חבורה על קבוצה, גודל כל מסלול מחלק את גודל החבורה Z, p = p ומכך ש- p ראשוני נסיק כי גדלי המסלולים האפשריים הם.1, p נניח שיש n מסלולים בגודל 1 ו- m מסלולים בגודל p. ידוע כי הקבוצה היא איחוד זר של המסלולים של איברים בה, ולכן מתקיים X. = n 1+m p מכיוון ש- G p וכן 1 p X, = G נסיק מכך ש- X mp n = שמתקיים כלומר מספר המסלולים בגודל 1 מתחלק ב- p..p n.3 נשים לב שלאיבר (g 1, g 2,..., g p ) X יש מסלול בגודל 1 אמ"מ = ) p (g 1, g 2,..., g ) 1,(g 2,..., g p, g וזה אמ"מ ) 2,(g 2,..., g p, g 1 ) = (g 3,..., g 1, g וכן הלאה. כלומר מסלול בגודל 1 הוא רק לאיברים מהצורה,g),,g,... (g G כלומר.g g... g }{{} p times איברים המקיימים = g p = e מכך ש- p ראשוני נובע שאם g p = e ל- G g כלשהו, אז אין < k < p 1 שמקיים,g k = e שכן בהכרח.k p לכן נקבל: n = {g G g p = e} = {e} {g G g = p} = 1+ {g G g = p} מכאן שמספר האיברים מסדר p ב- G הוא 1 n. מכך ש- p n נובע.n 1 1 mod p ברור כי 1 mod p 0 ולכן בהכרח 0 1 n. כלומר מספר האיברים מסדר p הוא טבעי ששונה מ- 0, משמע קיים איבר מסדר p. דוגמאות: נשים לב שהוכחת המשפט לא מספקת דרך למצוא את האיבר שסדרו p. איבר מסדר p ב- S n הוא תמורה מהצורה (p...1). 42