תרגול 6 88-112 אלגברה לינארית 1 סמסטר א תשע ו נובמבר 2015 1 מרחבים וקטוריים הגדרה 1.1. יהי F שדה. מרחב וקטורי מעל F הוא קבוצה V עם שתי פעולות, חיבור וכפל בסקלר, המקיימות את האקסיומות הבאות: 1. אקסיומות הקשורות לחיבור: א סגירות: לכל.v 1 + v 2 V,v 1, v 2 V ב אסוציאטיביות: לכל.v 1 + v 2 + v 3 = v 1 + v 2 + v 3,v 1, v 2, v 3 V ג קומוטטיביות: לכל.v 1 + v 2 = v 2 + v 1,v 1, v 2 V ד איבר ניטרלי לחיבור: קיים 0 V V כך שלכל.0 V + v = v + 0 V = v,v V ה איבר נגדי: לכל v V קיים v V שעבורו.v + v = v + v = 0 V 2. אקסיומות הקשורות לכפל בסקלר: א סגירות: לכל α F ולכל.αv V,v V ב פילוג בווקטורים: לכל α F ולכל.α v + w = αv + αw,v, w V ג פילוג בסקלרים: לכל α, β F ולכל.α + β v = αv + βv,v V ד לכל α, β F ולכל.αβ v = α βv,v V ה איבר היחידה: לכל.1v = v,v V דוגמה 1.2. יהי F שדה. הדוגמאות הבאות הן מרחבים וקטוריים מעל F 1. F מרחב וקטורי מעל עצמו, כשפעולת הכפל בסקלר היא פעולת הכפל הרגילה בשדה..F מרחב וקטורי מעל F n.2 F. הוא מרחב וקטורי מעל F m n 3. 4. אוסף הפתרונות של מערכת משוואות הומוגנית, {0 = Ax x}, F n הוא מרחב וקטורי עם אותן פעולות כמו של F. n 1
5. אוסף הפולינומים עם דרגה לכל היותר F. n [x] n, דוגמה 1.3. C מרחב וקטורי מעל R. באופן כללי: אם F תת-שדה של F, אזי F מרחב וקטורי מעל F. טענה 1.4. יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F. אזי:.1 לכל.α 0 V = 0 V,α F.2 לכל.0 F v = 0 V,v V.3 לכל. v = 1 v,v V.4 לכל v + w = v + w,v, w V. תרגיל 1.5. נסתכל על R, 2 ונגדיר עליו פעולה חדשה: α x, y = α 2 x, α 2 y האם +,, 2 R הוא מרחב וקטורי? פתרון. כדי לבדוק האם זה מרחב וקטורי, צריך לבדוק את כל האקסיומות. אנחנו יודעים יהיו נבדוק את הפילוג בסקלרים: שהחיבור מתנהג בסדר, ולכן נבדוק את הכפל בסקלר. α, β R ויהי.x, y R 2 אזי α + β x, y = α x, y + β x, y = α + β 2 x, α + β 2 y = α 2 x + 2αβx + β 2 x, α 2 y + 2αβy + β 2 y α 2 x, α 2 y + β 2 x, β 2 y = α 2 x + β 2 x, α 2 y + β 2 y רואים שהביטויים האלו אינם שווים, ולכן זה לא מרחב וקטורי. דוגמה מפורשת: ניקח = 1 β.x, y = 1, 0,α = אזי 1 + 1 1, 0 = 2 1, 0 = 4, 0 1 1, 0 + 1 1, 0 = 1, 0 + 1, 0 = 2, 0 תתי-מרחבים הגדרה 1.6. יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F. תת-קבוצה U V שהיא גם מרחב וקטורי מעל V. נקראת תת-מרחב של V עם אותן פעולות כמו של F דוגמה 1.7..1 לכל מרחב וקטורי יש שני תתי-מרחבים טריוויאליים: V V ו-.{0 V } V.2 הקבוצה y} {x, y R 2 x = היא תת-מרחב ב-.R 2 גיאומטרית, זהו ישר העובר בראשית הצירים. באופן כללי יותר: כל ישר העובר דרך ראשית הצירים הוא תת-מרחב של R. 2 אבל הישר 0} = 7 + 3y {x, y 5x אינו תת-מרחב של.R 2 3. ב- R, 3 כל ישר וכל מישור העוברים דרך ראשית הצירים הם תתי-מרחבים. למשל, = U.xy הוא תת-מרחב המייצג את המישור {x, y, 0 x, y R} 2
הערה 1.8. נניח U V תת-מרחב. אזי האפס. 0. U = 0 V לכן, כל תת-מרחב חייב להכיל את וקטור טענה 1.9 קריטריון מקוצר לתת-מרחב. U V הוא תת-מרחב של V אם ורק אם הוא מקיים את התנאים הבאים:.0 V U.1.2 לכל α, β F ולכל.αu + βw U,u, w U U = {p x R 3 [x] p 0 = 0, p 1 = p 1} תרגיל 1.10. נסתכל ב-[ x ] R 3 על הקבוצה האם U תת-מרחב וקטורי של [x] R? 3 פתרון. נוכיח ש- U תת-מרחב של [x] R 3 לפי הקריטריון המקוצר:.1 ראשית, U 0 באופן ברור..2 כעת, נניח α, β R ו- U.p x, q x לכן, p 0 = q 0 = 0, p 1 = p 1, q 1 = q 1 נבדוק האם x αp x + βq מקיים את הדרישות: αp x + βq x 0 = αp x 0 + βq x 0 = αp 0 + βq 0 = 0 αp x + βq x 1 = αp 1 + βq 1 = αp 1 + βq 1 = αp x + βq x 0 קיבלנו ש- x αp x + βq אכן מקיים את הדרישות, ולכן.αp x + βq x U U = {p x R 3 [x] p 0 = 1, p 1 = p 1} לכן U תת-מרחב של [x].r 3 תרגיל 1.11. נסתכל ב-[ x ] R 3 על הקבוצה האם U תת-מרחב וקטורי של [x] R? 3 פתרון. לא! כי / U 0, שהרי הצבת = 0 x בפולינום האפס נותנת 0. חיתוך ואיחוד תתי-מרחבים משפט.1.12 יהיו U, W V תתי-מרחבים של.V אזי U W תת-מרחב של.V משפט.1.13 יהיו U, W V תתי-מרחבים של.V הוכיחו: U W תת-מרחב של V אם ורק אם U W או.W U 3
הוכחה. אם,U W אזי ;U W = W אם,W U אזי.U W = U בכל אחד מהמקרים קיבלנו את אחד מתתי-המרחבים המקוריים, ולכן זה תת-מרחב. נניח בשלילה ש- U W וגם.W U לכן קיימים { { u U w W u / W and w / U בכל מקרה,.u, w U W לפי הנתון, U W תת-מרחב, ולכן.v = u + w U W לפי הגדרת האיחוד, יש שתי אפשרויות:.1 U v ואז גם,v u U כי U תת-מרחב. אבל אז,w = v u U בסתירה לבחירת.w.2 W v ואז גם,v w W כי W תת-מרחב. אבל אז,u = v w W בסתירה לבחירת u. בשני המקרים קיבלנו סתירה, ולכן U W או W. U תרגיל 1.14. נתונים שני תתי-מרחבים של R: 3 U = { x, y, z R 3 2x y + 3z = 0 } W = { x, y, z R 3 5x + 2y 6z = 0 }.1 חשבו במפורש את.U W פתרון. 2. האם U W תת-מרחב של R? 3 אם לא, הראו אקסיומה של מרחב וקטורי שאינה נכונה ב-.U W 2 1 3 0 5 2 6 0.1 נניח.x, y, z U W לכן z x, y, מקיים את מערכת המשוואות { 2x y + 3z = 0 5x + 2y 6z = 0 R 2 2R 1 R 2 2 1 3 0 1 0 0 0 נפתור את המערכת: R 1 R 2 1 0 0 0 2 1 3 0 לכן, = 0 x ו- 0 = 3z z = t. y + הוא משתנה חופשי, ונקבל שמתקיים U W = {0, 3t, t t R} 2. צריך לבדוק האם U W אם W. U זה לא מתקיים: { { 1, 1, 1 U 2, 1, 2 W 1, 1, 1 / W and 2, 1, 2 / U כדי להראות במפורש איזו אקסיומה אינה מתקיימת, ניעזר בהוכחה שלהלן. שהסתירה נוצרה עקב שימוש בסגירות לחיבור; לכן, נסתכל על הווקטור ראינו 1, 1, 1 + 2, 1, 2 = 3, 0, 3 על ידי בדיקה ישירה, / U 3 3, 0, וגם / W 3,3, 0, ולכן / U W 3.3, 0, זה מוכיח ש- U W אינו סגור לחיבור, כלומר זהו אינו תת-מרחב. 4 R 2 2R 1 1 0 0 0 0 1 3 0
סכום של תתי-מרחבים ראינו שאיחוד שני תתי-מרחבים אינו תת-מרחב בהכרח. היינו רוצים, בהינתן שני תתי-מרחבים U ו- W של V, למצוא את תת-המרחב הכי קטן שמכיל את שניהם. אנחנו יודעים שאם יש כזה תת-מרחב, נקרא לו,Y אז לכל u U ולכל.u + w Y,w W זה הבסיס להגדרה הבאה: הגדרה 1.15. יהיו,U W V שני תתי-מרחבים. נגדיר את הסכום שלהם להיות U + W = {u + w u U, w W } משפט 1.16 אפיון הסכום..V הוא תת-מרחב של U + W.1.2 אם Y תת-מרחב אחר של V המקיים,U, W Y אזי.U + W Y תרגיל.1.17 עבור תתי-המרחבים,U, W R n n קבעו מהו :U + W.1 U = המטריצות הסימטריות; = W המטריצות האלכסוניות. 2. U = המטריצות הסימטריות; = W המטריצות המשולשיות עליונות..3 U = המטריצות האנטי-סימטריות; = W מטריצות עם עקבה.0 להוסיף הגדרות בהתאם לצורך.U + W = U ולכן,W U.1 :n n דוגמה לפירוק עבור 2 2 אפשר להכליל לכל.U + W = R n n.2 a b 0 c a b c = + c d c 0 0 d.u + W = W ולכן,U W.3 פתרון. 5