עב 001 ינואר 12 מועד חורף פתרונות עפר

תמליל

1 ק( נסמן ב- את מהירות המשאית שיצאה מעיר A (קמ"ש, קבועה) בגרות עב ינואר מועד חורף שאלון 35 נסמן ב- y את מהירות המכונית שיצאה מעיר B (קמ"ש, קבועה) B A נסמן ב- s את המרחק מעיר לעיר "מ) s v עד מפגש ראשון משאית זמן - t שעות מהירות - קמ"ש דרך-מרחק - ק"מ y 3 y 3 ממפגש ראשון מונית משאית 3 y y עד מפגש שני מונית B s 4 עד 4 ק"מ מעיר s + 4 הלוך ושוב, ועוד 4 y 3 s 4 s + 4 y מיציאה עד מפגש שלישי משאית מונית ק"מ. + y עד המפגש הראשון עברו שני כלי הרכב את כל הדרך: s. y s 4 s+ 4 y מהמפגש הראשון עד המפגש השני עברה המכונית את) (עד עיר A המרחק שעברה המשאית מתחילת התנועה עד המפגש הראשון, וגם את המרחק (מעיר ( A שעברה המשאית מהתחלה עד המפגש השני : הזמנים שעברו שני כלי הרכב מיציאה עד למפגש שלישי, 4 ק"מ מעיר, B שווים () + y s () y + y s 4 s+ 4 (3) y (),(3) s 4 s+ 4.5 /.5.5s s+ 4.5s 4 s (),() y תשובה: מהירות המשאית 4 קמ"ש.

2 א בגרות עב ינואר מועד חורף שאלון 35 א.. נבדוק את נכונות הטענה עבור n a אגף ימין: ) + )( ( + אגף שמאל: אגף שמאל שווה לאגף ימין ולכן הטענה נכונה עבור n n טבעי כלשהו (הנחת האינדוקציה),. נניח את נכונות הטענה עבור k, k kk ( + )(k+ כלומר: ( k + ( k+ )[ + ( k+ )] ( k+ ) ( k+ )[ + ( k+ )] k + כאשר :. n k+ 3. נוכיח שהטענה נכונה עבור נתון כי d a, ולכן צ"ל : k+ k+ ( k+ )( k+ )(( k+ ) + ) kk ( + )(k+ ) + ( k+ ) ( k+ )( k+ )(k+ 3) ( k+ ) [ k(k+ ) + ( k+ ) ] ( k+ )( k+ )(k+ 3) ( k+ )(k + k+ k+ ) ( k+ )( k+ )(k+ 3) ( k+ )(k + 7k+ ) ( k+ )( k+ )(k+3) ( k+ )( k+ )(k+ 3) ( k+ )( k+ )(k+ 3) מתקבל שאגף שמאל שווה לאגף ימין n טבעי כלשהו, 4. בדקנו את נכונות הטענה עבור n, הראינו שאם הטענה נכונה עבור k +k n לכן, על-פי אקסיומת האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי. אז היא נכונה עבור k + 7k+ פרוק הביטוי ע"י משוואה ריבועית: k + 7k+ 7± 3 k, k, 4 3 ( k+ )( k+ ) ( k+ )(k+ 3)

3 ב הסדרה מקיימת לכל n טבעי את כלל הנסיגה: בגרות עב ינואר מועד חורף שאלון 35. b b n n+ bn. b 9 כאשר נתון כי 4.5 b +. b b9 b 9 על פי כלל הנסיגה b9 נסמן: t b, b הרי שגם.5 n+ b n t t t tt ( ) + t 4.5( t ) t t t t t t ±.5 t, t 3 b 3 b.5 9 t.5 b.5 b9 > 9 b קבלנו ש-.5 ומכיוון ונתון כי (למעשה, סדרת האיברים במקומות הזוגיים, או האי זוגיים, בסדרה הנתונה היא קבועה) b תשובה:.5

4 א. נגדיר את המאורעות: בגרות עב ינואר מועד חורף שאלון מבוגרים - צעירים A - הנסקרים A - הצהירו שלא יקנו טלפון חדשני P(B A) P(B/A) P(A)..5 P(A) P(A). B הצהירו שיקנו טלפון חדשני - B נתונים ומשמעויות P(B/A).5 P(B/A).5 P(A/B) P(A/B) 3 3 P(A B). פיתוח נוסחאות הסתברות מותנית P(A B) P(A/B) P(B). 3 P(B) P(B).3 נציב בטבלה ונשלים נתונים A A צעירים מבוגרים B יקנו לא יקנו B.. בסקר השתתפו, איש, כלומר N(), N(A)P(A) N() N(A).,, תשובה:, צעירים השתתפו בסקר. ב. נמצא כמה צעירים, מבין הצעירים שהשתתפו בסקר, הצהירו שיקנו את הטלפון החדשני. P(B A). P(B/A).75 P(A). N(B/A)P(B/A) N(A).75,,, צעירים, מבין הצעירים שהשתתפו בסקר, הצהירו שיקנו את הטלפון החדשני. תשובה:

5 עב ינואר מועד חורף שאלון 35 נתונים DEP BC. 4 BN DM EM BN CN CN צ"ל: ב. א. EM DM BN CN ג., DM EM הסבר מס' טענה נימוק נתון DEP BC משפט תאלס הרחבה DM AM BN AN 3 משפט תאלס הרחבה AM AN EM CN 4 כלל המעבר DM EM BN CN 5 4,3 מ.ש.ל. א משפט תאלס הרחבה משפט תאלס הרחבה EM MF BN FN MF DM FN CN 7 כלל המעבר EM DM BN CN 7, מ.ש.ל. ב חישוב לפי כללי פרופורציה יחס המונים הוא כיחס המכנים DM BN EM CN 9 5 חישוב לפי כללי פרופורציה יחס המונים הוא כיחס המכנים DM CN EM BN כלל מעבר חישוב הצבה וחישוב מ.ש.ל. ג BN CN CN BN BN CN EM DM 3,9,

6 נתונים קוטר במעגל שמרכזו עב ינואר מועד חורף שאלון 35 O O 9. O. P 5. רדיוס המעגל 3 ס"מ משיק למעגל בנקודה BP AF 4.4 AB LF..3 עבור ב: צ"ל: ס"מ א. KLLM ב. 5 מס' טענה נימוק נתון O O O 9 קוטר במעגל שמרכזו נתון זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה P APB 9 משיק למעגל בנקודה נתון זוויות צמודות משלימות ל AKO סימון סכום זוויות סכום זוויות KPM זווית בין משיק למיתר שווה לזווית היקפית הנשענת LPM KLP מ.ש.ל. א על המיתר מצידו השני וכלל המעבר כלל המעבר מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות הפרש זוויות כלל המעבר מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות כלל המעבר KPM 9 PAB α K 9 α KMP α LPM α KMP LPM LP LM KPL 9 α KPL K LP LK KLLM AB LF הסבר 7 3,,,9 4,3 5 4, 7, 9,

7 ונעבור לטריגונומטריה לסעיף ב ס"מ BP (נתון) רדיוס המעגל 3 ס"מ (נתון) ולכן אורך הקוטר ס"מ BA 4 ס"מ AP (משפט פיתגורס BAP ( מציאת ערך α ב - BAP 4 tanα α α FPA 9 (זווית שטוחה משלימה ל ( ) α זווית חיצונית למשולש FAP שווה לסכום שתי זוויות פנימיות שלא צמודות לה) F 44.7 משפט סינוסים FPA AF AP sinfpa sinf AF sin. sin44.7 AF 5.4 תשובה: 5.4 ס"מ AF

8 בגרות עב ינואר מועד חורף שאלון 35 א. () שני המשולשים AKB ו - AFC ישרי זווית., AB (קוטר נשען על זווית היקפית ישרה) r - ו AC לכן R AZ cos α AK : AKZ AZ cos( α+β ) AF : AFZ cosα AF cos( α+β) AK וע"י חילוק המשוואות נקבל AF cos α AK cos( α+β) תשובה: R cos ( α+β) r cos α AK cos α r : AKB () AF cos( α+β ) R : AFC cos( α+β ) AF R cosα AK r וע"י חילוק המשוואות נקבל cos( α+β) cosα R נציב על פי () cosα cos( α+β) r t R cos ( α+β) r cos α תשובה: ב. משפט סינוסים AKF, כאשר רדיוס המעגל החוסם משולש זה. AK t sin(9 α+β ( )) rcos α t cos( α+β) R r t r t R r r > תשובה: רדיוס המעגל החוסם את R יחידות. r הוא AKF

9 א. נתונה הפונקציה בגרות עב ינואר מועד חורף שאלון 35. f( ) () נמצא את תחום ההגדרה, כאשר הביטוי בתוך השורש הוא אי-שלילי והמכנה שונה מ - 7., לכן 4 וגם ובהתאם., 4 תשובה: תחום ההגדרה: () נמצא אסימפטוטות המקבילות לצירים: f ( ) > lim + + lim +,lim + תשובה: אסימפטוטה אנכית: ואין אסימפטוטה אופקית..(,) y ב) נקודת חיתוך עם ציר מתקיים, כי ונקודת החיתוך היא 3) זו גם נקודת החיתוך היחידה עם ציר ה- תשובה: (,). (,) היא נקודת קצה, ולכן תהיה גם נקודת קיצון. (4) f '( ) ( ).5 f '( ) > ( ).5 f '( ) > ( ) ok.. f() 4 (,4)

10 נבנה טבלה לזיהוי תחומי עלייה וירידה, בעזרת ערכי הפונקציה 7 9 f (), f(7) 4., f() f( ) f '( ) Ma מסקנה Min (,4) תשובה: (,) מקסימום, מינימום. (5) הסקיצה המתאימה (כולל סימונים עבור סעיף ב):. f( ), < < ) ( g מוגדרת בתחום ההגדרה של f ( ), f '( ) כלומר כאשר, g'( ) < ב. נתון כי ), g'( ) f( ) f '( כאשר יורדת כאשר שוני סימן. (, )f זה מתקיים עבור g ( ) על פי טבלת עלייה וירידה, וגם הסקיצה של.( f '( ) < כאשר ) f( חיובית, אולם יורדת (כלומר. < < תשובה:

11 a cos א. נתונה הפונקציה sin+ 9 בתחום בגרות עב ינואר מועד חורף שאלון 35 π 7π π 7π. f( ) חיובי לכל sin ולכן הפונקציה מוגדרת בכל התחום כי cos < sin + 9 מכנה הפונקציה חיובי, לכן סימן הפונקציה נקבע על ידי המונה. cos > a < לכן עבור ומכאן שכאשר הפונקציה שלילית, וכאשר הפונקציה חיובית. 7π π a cos d sin + 9 π 7π. < < π π. < < עבור f( ) > f( ) < a > () () ב. נחשב את האינטגרל המסוים נשים לב כי (sin+ 9)' cos 7π π a cos d sin + 9 7π a sin+ 9 π 7π π a sin + 9 sin( ) + 9 a( ) תשובה: ערך האינטגרל המסוים הוא.

12 ג. נצייר את הסקיצה המתאימה של (, )f על פי תחומי החיוביות והשליליות הנתונים,. π π, כולל סימון הישרים:., הרי ש -. 7π π a cos d sin כיוון שהראינו כי גודל השטח הכולל הוא, לכן 7π π a cos d sin + 9 7π a sin+ 9 π 7π π a sin + 9 sin( ) + 9 a( 5) a. a.5 לכן, 4 a ו - תשובה:.5 a

13 עב ינואר מועד חורף שאלון 35 9 הפונקציה שיש להביא למקסימום היא שטח המשולש. ABC הוא קוטר, שאורכו נתון, R המאונך למיתר, AB ולכן חוצה את הקשת»AB. (אם ישר עובר דרך מרכז המעגל ומאונך למיתר אז הוא חוצה את הקשת שהמיתר נשען עליה) BCD α ולכן α ACD ב - CD נסמן את ב: נקבל : (על קשתות שוות נשענות זוויות היקפיות שוות). AC R cosα (Rcos α) sin ( α) R cos αsin α ( α) ACD α [ ] ולכן: '( α) R (cos α( sin α)sinα + cos αcos α) '( α) R (cosα sinαsinα + cosαcos α ) '( ) 4R cos cos3 α α α cosα cos3α 3α 9 + k α 3 + k < α < 9 α 3 < α < 9 π π π '( ) 4R cos cos3.r > ma π π π '( ) 4R cos cos3 R < קבלנו ש ABC הוא בעל שטח מקסימלי כאשר הוא שווה צלעות. R cos 3 sin 3 3 R ( ) R תשובה: השטח המקסימלי של הוא 3 3 יח"ר. 4 R ABC