פונקציות מרוכבות 25 בינואר מבוסס על הרצאות פרופ' אילון לינדנשטראוס (ואחת של פרופ' בנימין וייס) בקורס "פונקציות מרוכבות" (80519) האוניברסיטה העבר

תמליל

1 פונקציות מרוכבות 25 בינואר 26. מבוסס על הרצאות פרופ' אילון לינדנשטראוס ואחת של פרופ' בנימין וייס) בקורס "פונקציות מרוכבות" 859) האוניברסיטה העברית, סמסטר א' 6 25 להערות: nachi.avraham@gmail.com נחי תודה למי ששלח הערות ותיקונים: נדב ברוקנר, עומר דורון, רון הברמן, ליאורה הלוי, סתיו מדינה, אוריאל סיניקין, יניב פסקל, אור שלום.

2 תוכן עניינים I מבוא: המספרים המרוכבים - שדה ומרחב מטרי 4 II גזירות ואנליטיות של פונקציה מרוכבת 7 משוואות קושי רימן דוגמאות חשובות III אינטגרציה 2 3 מסילות קשירות וקשירות מסילתית אורך של מסילה אינטגרציה לאורך מסילה משפט קושי גורסה אנליטיות והקשר של נגזרת אינטגרל דוגמאות חשובות נוסחת קושי ותוצאות שלה IV 29 נוסחת קושי תוצאה : ממוצע של פונקציה אנליטית ואי קיום מקסימום מקומי תוצאה :2 אנליטית וגזירות מכל סדר; נוסחת קושי לנגזרת תוצאה :3 חסם קושי לנגזרות ומשפט ליוביל תוצאה :4 המשפט היסודי של האלגברה 37 תוצאה :5 משפט מוררה כיוון הפוך למשפט קושי גורסה) תוצאה :6 אנליטיות של טורי חזקות תוצאה :7 פיתוח טור טיילור לפונקציה אנליטית תוצאה :8 סדרות מצטברות של אפסים של פונקציה אנליטית תוצאה :9 עקרון המקסימום תוצאה : הלמה של שוורץ 7 V אינדקס של מסילה 46 8 לוגריתם מרוכב הפיכה מקומית של פונקציית האקספוננט לוגריתם מרוכב רציף לפונקציה כללית אינדקס של מסילה תכונות של האינדקס למת "הכלב המטייל" הומוטופיה ואינדקס

3 58 הכללות לנוסחת קושי VI נוסחת קושי הכללית למסילות נוסחת קושי הכללית לשרשראות של מסילות למת המשושים 2. 7 טורי לורן VII משפט לורן מיון נקודות סינגולריות מבודדות Residues) משפט השאריות VIII 24 שאריות משפט השאריות נגזרת לוגריתמית הקשר בין הנגזרת הלוגריתמית והאפסים משפט רושה הקשר בין הנגזרת הלוגריתמית והקטבים משפט הפונקציה ההפוכה והפונקציה הפתוחה פונקציות הרמוניות IX נוסחת קושי לפונקציות הרמוניות עקרון המקסימום לפונקציות הרמוניות גרעין פואסון ונוסחת פואסון תכונות גרעין פואסון הרחבה של פונקציות רציפות על מעגל היחידה לפונקציות הרמוניות איפיון פונקציות הרמוניות על ידי ממוצע על מעגל פירוש הסתברותי לגרעין פואסון 29.4 נוסחת ינסן Jensen) משפט ההעתקה של רימן X מבוא: הספירה של רימן וטרנספורמציות מוביוס Möbius) הספירה של רימן טרנספורמציות מוביוס משפט ההעתקה של רימן 32 מסקנות ממשפט ההעתקה של רימן, ומשפטים קשורים לקראת הוכחת משפט ההעתקה של רימן למה למה 2 הלמה של פיק שוורץ) מבוא להוכחת משפט ההעתקה של רימן 32.3 מרחבים של פונקציות אנליטיות הוכחת משפט ההעתקה של רימן 32.5 פשטות קשר במישור המרוכב וקשירות בספירה של רימן

4 חלק I מבוא: המספרים המרוכבים - שדה ומרחב מטרי הגדרה: שדה המספרים המרוכבים C מוגדר להיות הקבוצה R},{x + iy x, y עם הפעולות הבאות: x + iy ) + x 2 + iy 2 ) x + x 2 ) + i y + y 2 ) x + iy ) x 2 + iy 2 ) x x 2 y y 2 ) + i x y 2 + x 2 y ) הגדרה: נגדיר העתקת הצמדה על ידי.z : x + iy z : x iy.z z הערה: מתקיים z 2.zz x 2 + y 2 : לכן גם z 2.Im z) : z z 2i y ונגדיר Re z) : z+z 2 הגדרה: לכל z x + iy C נגדיר x ברור כי Re z), Im z) z וכן כי z. z טענה: העתקת ההצמדה מהווה אוטומורפיזם של שדה המרוכבים. הוכחה: לכל,z x + iy, z 2 x 2 + iy 2 לגבי חיבור מתקיים z + z 2 x + x 2 ) + i y + y 2 ) x + x 2 ) i y + y 2 ) x iy + x 2 iy 2 z + z 2 ולגבי כפל מתקיים z z 2 2 z z 2 ) z z 2 ) z z ) z 2 z 2 ) z 2 z 2 2 ועל ידי הוצאת שורש מתקבל השוויון המבוקש. טענה: לכל z, z 2 C מתקיים z + z 2 z + z 2 כלומר, העתקה מהשדה אל עצמו המשמרת חיבור ומשמרת כפל, ומעבירה את אל ואת אל. 4

5 הוכחה: נחשב: z + z 2 2 z + z 2 ) z + z 2 ) z + z 2 ) z + z 2 ) z z + z 2 z 2 + z z 2 + z 2 z z 2 + z z z 2 + z 2 z נשים לב כי z z 2 + z 2 z z z 2 + z z 2 2Re z z 2 ) 2 z z 2 z + z 2 2 z 2 + z z z 2 z 2 + z z z 2 z + z 2 ) 2 ולכן ועל ידי הוצאת שורש מתקבל אי שוויון המשולש. הערה: נתבונן בהעתקה T λ : C C המוגדרת T λ z λz עבור λ : a + ib נתון כלשהו. ניתן לבטא העתקה זו, ) ) a b x T λ z λz ax by, bx + ay) b a y a b T b a נכתוב, ) ) ) a2 + b 2 a b a2 + b 2 a2 + b }{{} 2 b a }{{} :D :O ונשים לב כי D מטריצת ניפוח\כיווץ של המישור פי λ, : a 2 + b 2 וכי המטריצה λ. היא הזווית של arg λ כאשר θ, : arg λ היא מטריצת סיבוב בזווית O במילים אחרות, אם נציג λ λ e iθ כי שניתן להציג כל מספר מרוכב), אז כפל בקבוע λ זה ניפוח\כיווץ בגודל λ, וסיבוב בזווית θ. הגדרה: נתבונן ב C כמרחב מטרי, עם מטריקת ערך מוחלט 2.d z, z 2 ) z z טענה:,z n x n + iy n z x + iy אם ורק אם x n x וגם.y n y מסקנה: מהטענה האחרונה נובע כי היות שהממשיים מהווים מרחב מטרי שלם, גם C מרחב מטרי שלם. כלומר, כל סדרת קושי של מספרים מרוכבים - מתכנסת. הגדרה: כדור פתוח סביב z C ברדיוס r, הוא הקבוצה B z, r) : {y : z y < r} וכדור סגור סביב z C ברדיוס r, הוא הקבוצה B z, r) : {y : z y r} 5

6 z U r >, B z, r) U הגדרה: קבוצה U C נקראת פתוחה, אם קבוצה F C נקראת סגורה, אם C\F פתוחה. טענה: קבוצה F C היא סגורה, אם ורק אם לכל סדרה z} n } F המתכנסת ל C z כלשהו, מתקיים כי z. F רקע: האובייקט העיקרי שנחקור בקורס הוא פונקציות מרוכבות. כלומר פונקציות מהצורה הכללית, f : Ω C C 6

7 חלק II גזירות ואנליטיות של פונקציה מרוכבת תזכורת: תהי f : R n R m פונקציה ממשית, ויהי.x R n נאמר כי f גזירה ב,x אם קיימת העתקה לינארית,Df x : R n R m כך שמתקיים lim f x + h) f x ) h Df x h h עבור k f x k במקרה כזה מובטח קיום של כל הנגזרות החלקיות ) n x),,... x.x : x,..., x n ) כאשר,,..., n ההפך אינו בהכרח נכון, וייתכן אף כי קיום הנגזרות החלקיות אינו גורר רציפות. הגדרה: תהי f : Ω C פונקציה על תחום פתוח,Ω C ויהי.z Ω f z ) : נאמר כי f גזירה ב z, אם קיים הגבול f z + h) f z ) lim C h h כאשר.h C 2 טענה: פונקציה f : Ω C על תחום פתוח Ω C היא גזירה בנקודה,z Ω אם ורק אם f z + h) f z ) + hf z ) + o h) הגדרה: תהי f : Ω C פונקציה על תחום פתוח,Ω C ויהי.z Ω נאמר כי f אנליטית או הולומורפית ב z, אם קיימת סביבה שלמה של z שעליה f גזירה. פונקציה אנליטית בכל המישור המרוכב C, תיקרא שלמה. תכונות יסודיות:. כל פונקציה גזירה היא רציפה. 2. סכום ומכפלה של פונקציות גזירות, הוא פונקציה גזירה, ומתקיים f + g) f + g fg) f g + fg אנליטית ב z. f g.3 אם f, g אנליטיות ב z וגם z),g אז 2 חשוב מאוד לשים לב לכך ש C h. זה ההבדל המהותי בין גזירות ב R 2 לבין גזירות ב C. 7

8 טענה: כלל השרשרת) תהי f : Ω C פונקציה על תחום פתוח Ω, C גזירה בנקודה.f z ) פונקציה גזירה בנקודה g : f Ω) C תהי גם.z Ω f g) z ) g f z )) f z ) אזי g f גזירה בנקודה,z ומתקיים הוכחה: מגזירות,f g בנקודות המתאימות נובע שניתן לכתוב f z) f z ) f z ) z z ) + o z z ) g f z)) g f z )) g f z )) f z) f z )) + o f z) f z )) נציב בשוויון השני את השוויון הראשון, ולאחר חישוב נקבל כי g f z)) g f z )) g f z )) f z ) z z ) + o z z ) משוואות קושי רימן מבוא: תהי f : Ω C פונקציה על תחום פתוח Ω. C ניתן לכתוב אותה כסכום של שתי פונקציות,f u + iv כאשר u, v : R 2 R פונקציות ממשיות המוגדרות.v x, y) Im f x + iy)) וכן u x, y) Re f x + iy)) משפט: פונקציה f u + iv : Ω C על תחום פתוח Ω C גזירה בנקודה,z C אם ורק אם היא גזירה במובן של פונקציה ממשית וגם מתקיימות משוואות קושי רימן, u x v y u y v x הוכחה: כיוון ראשון) נניח כי f גזירה במובן המרוכב בנקודה.z x + iy מצד אחד, נתבונן במספרים z x + iy כאשר,x x ואז,z z x x ולכן f z) f z ) z z u x, y ) + iv x, y ) u x, y ) + iv x, y )) x x u x, y ) u x, y ) x x + i v x, y ) v x, y ) x x 8

9 נשאיף z z ומההנחה כי f גזירה במובן המרוכב נובע כי f z ) u x, y ) x + i v x, y ) x מצד שני, נתבונן במספרים z x + iy כאשר,y y ואז ),z z i y y ולכן f z) f z ) u x, y) + iv x, y) u x, y ) + iv x, y )) z z i y y ) v x, y) v x, y ) y y i u x, y) u x, y ) y y השתמשנו בכך ש i i). נשאיף z z ומההנחה כי f גזירה במובן המרוכב נובע כי f z ) v x, y ) y i u x, y ) y ומהשוואת שתי המשוואות נובעות משוואות קושי רימן. כיוון שני) נניח כי f u + iv גזירה במובן הממשי וכי מתקיימות משוואות קושי רימן. נשים לב שמהגזירות במובן הממשי נובע שניתן לכתוב ) + y y ) u x, y) u x, y ) + x x ) ux,y ) x + ϵ x, y) ux,y ) y + ϵ 2 x, y) ) ) v x, y) v x, y ) + x x ) vx,y ) x + ϵ 3 x, y) + y y ) vx,y ) y + ϵ 4 x, y) כאשר,j,..., 4,ϵ j פונקציות ממשיות של שני משתנים, רציפות ב x, y ומקיימות ).ϵ j x, y ϵ z) אבל f, u + iv ולכן באמצעות משוואות קושי רימן נובע שניתן לכתוב u x, y ) f z) f z ) + z z ) + i v x ), y ) + ϵ z) x x עבור x x z z ϵ x, y) + iϵ 3 x, y)) + y y z z ϵ 2 x, y) + iϵ 4 x, y)) z z z z כלומר, f גזירה במובן המרוכב ב z. ) 9

10 2 דוגמאות חשובות פולינומים נתבונן בפולינומים במשתנה מרוכב. קל לראות מהגדרת הנגזרת כי עבור הפונקציה z, z. באינדוקציה ניתן להסיק את הנוסחה, מתקיים z n ) nz n ומתוך אדיטיביות הנגזרת לקבל נוסחה לפולינומים מרוכבים הזהה לזו של פולינומים ממשיים. exp z) exp x + iy) : e x cos y + i sin y) exp iy) + iy + iy)2 2! אקספוננט הגדרה: נגדיר פונקציה exp : C C על ידי כאשר e x היא פונקציית האקספוננט הממשי המוכרת. מוטיבציה: ידוע כי פיתוח של אקספוננט ממשי לטור חזקות הוא e x x n n! n לפיכך אם נציב מספר מרוכב בטור חזקות זה נקבל, + iy)3 3! + iy)4 4! + iy)5 5! + iy)6 6! iy y2 2! iy3 + y4 3! 4! + iy5 y6 5! 6!... ) ) y2 2! + y4 4! y6 6! i y y3 3! + y5 5!... ) ) n ) ) n 2n!) y2n + i 2n + )! y2n+ n cos y + i sin y n טענה: פונקציית האקספוננט המרוכב היא כפלית. הוכחה: עבור z x + iy, z 2 x 2 + iy 2 מתקיים, exp z ) exp z 2 ) exp x + iy ) exp x 2 + iy 2 ) e x e x2 cos y + i sin y ) cos y 2 + i sin y 2 ) e x +x 2 cos y cos y 2 sin y sin y 2 ) + i cos y sin y 2 + sin y cos y 2 )) e x +x 2 cos y + y 2 ) + i sin y + y 2 )) exp x + x 2 ) + i y + y 2 )) exp z + z 2 ) כאשר השוויון הרביעי נובע מזהות טריגונומטרית מוכרת.

11 טענה: פונקציית האקספוננט המרוכב היא גזירה. הוכחה: ברור כי היא גזירה כפונקציה R, 2 R 2 לכן נותר לבדוק את משוואות קושי רימן. נכתוב exp u + iv עם u x, y) e x cos y וכן.v x, y) e x sin y נשים לב, u x ex cos y v y u y ex sin y v x כנדרש. נוסחת אוילר: נציב את המספר iπ בפונקציית האקספוננט ונקבל, exp iπ) e cos π + i sin π) exp z) exp x + iy) e x cos y + i sin y e x cos 2 y + sin 2 y e x exp Re z)) תכונות:. נורמה של אקספוננט: 2. מחזוריות לאורך הציר המרוכב: exp z + i) exp x + i y + )) e x cos y + ) + i sin y + )) e x cos y + i sin y) exp z)

12 חלק III אינטגרציה 3 מסילות הגדרה: במרחב מטרי d,x), מסילה היא העתקה רציפה מהצורה, :,a] [b X עבור a, b R כלשהם. את תמונת המסילה ב X מסמנים. כלומר b]). : [a, הגדרה: מסילה במרחב מטרי נקראת פשוטה אם היא חח"ע; סגורה אם b) ; a) ופשוטה וסגורה אם היא חח"ע בכל מקום למעט,a, b עליהן b). a) הגדרה: מסילה במרחב מטרי נקראת גזירה ברציפות למקוטעין או בקיצור גזירה למקוטעין), אם יש חלוקה של b] [a, מהצורה,a t < t <... < t n < t n b כך שעבור n,i,..., על ) i+ t i, t המסילה גזירה וגם קיימים הגבולות.lim t ti t), lim t ti t) דוגמה: מקרה פרטי של מסילה פשוטה, סגורה וגזירה למקוטעין, היא מסילה פוליגונלית. כלומר, מסילה שהיא לינארית למקוטעין. 4 קשירות וקשירות מסילתית הגדרה: קבוצה A R n נקראת קשירה, אם היא לא ניתנת להצגה כאיחוד זר של שתי קבוצות פתוחות ולא ריקות. כלומר, לא קיימות,U V R n לא ריקות, פתוחות וזרות, כך שמתקיים A A U) A V ) בצורה לא טריוויאלית כלומר V.A U, A הערה: ניתן להגדיר קשירות גם על ידי כך שלא קיימות,U V R n פתוחות, זרות ולא ריקות, כך שמתקיים A U V בכיוון אחד, אם ) V A A U) A באופן הנ"ל, אז ניקח U : U\V וכן V, : V U\ ואלו בבירור קבוצות פתוחות, ונקבל A U V A A U V ) A U) A V ) בכיוון שני, ברור כי אם A U V אז הגדרה: קבוצה A R n נקראת קשירה מסילתית, אם לכל,x y A קיימת מסילה. A וכן, b) y וגם a) x המקיימת : [a, b] R n 2

13 טענה: קבוצה קשירה מסילתית היא קבוצה קשירה. הוכחה: תהי A R n קבוצה שאינה קשירה, ונניח בשלילה כי היא קשירה מסילתית.,U V R n פתוחות, זרות ולא ריקות, כך A U V מהיות A לא קשירה נובע כי קיימות שמתקיים תהי x U ותהי.y V מהיות A קשירה מסילתית נובע שיש מסילה b] : [a,. b) y וכן a) x המקיימת, A עם R n U) {t [a, b] : t) U} [a, b] נסמן V ) {t [a, b] : t) V } [a, b] אלו קבוצות לא ריקות כי U) a וכן ) V,b וכן אלו קבוצות פתוחות ביחס למרחב [b,a], היות שהם תמונות הפוכות של קבוצות פתוחות תחת הפונקציה הרציפה. [a, b] A) U V ) U) V ) נשים לב כי זוהי הצגה של הקטע [b,a] כאיחוד זר של קבוצות פתוחות ולא ריקות, בסתירה לכך שכל קטע ממשי הוא קשיר. דוגמה: נראה קבוצה קשירה שאינה קשירה מסילתית. נגדיר A {x, sin /x)) : x, )} כפי שניכר מהאיור, הקבוצה A היא הגרף של x/ sin יחד עם הקטע [, ] בציר ה- y : A קשירה: בשתי הקואורדינטות זו תמונה של קבוצה קשירה תחת פונקציה רציפה,sin ובאופן כללי x) - בקואורדינטה הראשונה זו הזהות ובקואורדינטה השניה זו מכפלת מרחבים קשירים היא קשירה. באופן כללי סגור של קבוצה קשירה הוא קבוצה קשירה, ולכן A קשירה. 3

14 π, sin π) אינה קשירה מסילתית: נראה שלא קיימת מסילה המחברת בין,) ל- A. נניח בשלילה כי : [, ] A מסילה המקיימת ) ), ), π, ). נסמן את הקואורדינטות שלה t)). t) α t), β π, ) n,t n ) כך שעליה α תקבל מרציפות נובע ממשפט ערך הביניים שקיימת סדרה. 2 כלומר n t n ) סדרה חיובית יורדת, כך 3π, 2 5π,..., 2 2n+)π את ערכי הביניים..., 2 β יורדת וחסומה ולכן מתכנסת, ומרציפות t n הסדרה.α t n ) ) שמתקיים 2n+)π β t n ) sin 2n+)π 2 גם הסדרה ) n β t) צריכה להתכנס. אולם נשים לב כי.β בסתירה לרציפות, ) n משפט: קבוצה לא ריקה U R n שהיא פתוחה וקשירה, היא קשירה מסילתית. יתר על כן, היא קשירה מסילתית על ידי מסילות פוליגונליות. הוכחה: תהי p, U נגדיר V : {x U There exists some polygonal path between p and x} ברור כי p V על ידי המסילה הקבועה ) t) p ולכן V לא ריקה. נראה כי V פתוחה: תהי q. V נתון כי U פתוחה, ולכן קיים > r כך שמתקיים B.,q) r U מהגדרת V קיימת מסילה פוליגונלית שמחברת את,p, q והיות שאנחנו בתוך כדור, ברור כיצד להגדיר המשך פוליגונלי של אותה מסילה פוליגונלית כדי לחבר אל q כל נקודה בתוך הכדור, כלומר B.,q) r V נראה כי U\V פתוחה: לשם כך נראה כי V סגורה. תהי q V נקודת גבול של,V צריך להראות כי.q V אבל קיים > r כך שמתקיים,B q, r) U ומהיות q נקודת גבול של V נובע שקיימת s. B,q) r V אם כך נחבר את,p s על ידי מסילה פוליגונלית, והיות שאנחנו בתוך כדור, ברור כיצד להגדיר המשך פוליגונלי של אותה מסילה פוליגונלית כדי לחבר את,s, q כלומר q. V היות שמתקיים U U\V V כאיחוד זר של פתוחות, מקשירות U ינבע כי U\V ריקה. מהגדרת V נובע כי U קשירה מסילתית. 5 אורך של מסילה תזכורת: תהי f : [a, b] R n רציפה. ניתן לסמן ) n f f,..., f כאשר,f j : [a, b] R וניתן להגדיר אינטגרל רימן שלה, על ידי b b b f t) dt f t) dt,..., f n t) dt R n a b a a f t) dt a ומתקיים אי שוויון המשולש האינטגרלי, b a f t) dt 4

15 הגדרה: תהי : [a, b] R n מסילה. האורך של הוא n L ) : sup t j+ ) t j ) P a,b) j הערות: כאשר b P,a) היא משפחת כל החלוקות של הקטע [b,a].. הערך ) L תמיד קיים, אולי הוא אינסופי. 2. מאי שוויון המשולש נובע כי תוספת נקודות לחלוקה מגדילה את הביטוי שעליו לוקחים סופרימום. משפט: תהי : [a, b] R n מסילה גזירה למקוטעין. אזי < ),L ומתקיים L ) b a t) dt במקרה כזה אומרים כי היא בעלת אורך. ) L, ובשלב השני נראה כי חסם זה הוא b a הוכחה: בשלב ראשון נראה כי t) dt הסופרימום.. תהי b} τ {a t < t <... < t n חלוקה כלשהי של b].[a, אזי לכל n i,,... מתקיים על ידי המשפט היסודי של החדו"א, t i+ t i+ t i+ ) t i ) n t i+ ) t i ) i.l ) b a t i n i t) dt t i+ t i t i t) dt t) dt ועל ידי סכימה על i, נקבל b a t) dt היות שזה נכון לכל חלוקה, נובע כי t) dt 2. יהי > ϵ. מגזירות למקוטעין, נובע כי קיימת חלוקה τ {a t < t <... < t n b} במידה כך ש גזירה ברציפות על כל תת קטע ] +i t], i, t ולכן היא רציפה שם t t אז שווה. כלומר קיים > δ כך שלכל ] i+,t, t [t i, t אם < δ. t) t ) < ϵ 5

16 היות וקיים מספר סופי של קטעים, קיים > δ כללי המקיים את תנאי הרציפות במידה שווה על כל b].[a, תהי אם כך b} σ {a s < s <... < s N חלוקה המהווה עידון של τ כלומר τ), σ שהוא מספיק עדין כך שלכל. s j+ s j < δ מתקיים j,..., N מכאן נובע על ידי המשפט היסודי של החדו"א, s j+ ) s j ) N j s j+ ) s j ) s j+ s) ds s j s j+ ) s j ) + s) s j ) ds s j s j+ s j ) s j+ s j ) s j s j ) s j+ s j ) ϵ s j+ s j ) N j N j s j ) s j+ s j ) ϵ s) s j ) נסכום על j ונקבל, N j s j ) s j+ s j ) ϵ b a) ) ds s j+ s j ), N הוא סכום רימן כלשהו של j אבל נשים לב כי ) j s j ) s j+ s b a ומאינטגרביליות רימן של נובע כי סכום זה קרוב לאינטגרל t) dt כרצוננו, עד כדי ϵ, כתלות בעדינות החלוקה σ. מכאן כי N j s j+ ) s j ) הוא הסופרימום. b a b a t) dt ϵ ϵ b a) אבל > ϵ קטן כרצוננו, ולכן החסם t) dt 6 אינטגרציה לאורך מסילה הגדרה: תהי f : Ω C פונקציה על תחום פתוח.Ω C תהי גם : [a, b] Ω מסילה גזירה למקוטעין. נגדיר b f z) dz : f t)) t) dt a 6

17 נשים לב כי באינטגרל מימין הכפל הוא כפל מרוכב, והאינטגרציה היא כפונקציה.R 2 כפונקציה R 2 היא הנגזרת של כאשר,[a, b] R 2 הערה: בתנאי ההגדרה לעיל, אם נסמן f u + iv וכן, x + iy כאשר : y u, v, x, Ω R פונקציות גזירות, ניתן לראות כי, ) f t)) t) u t)) + iv t))) x t) + iy t) ) ) u t)), v t)) t) + i, t) v t)) u t)) ולכן, f z) dz b a b a ) u t))) + iv t))) x t) + iy t) dt ) ) u t)) x t), dt + i v t)) y t) b a v ) ) t)) x t), dt u t)) y t) צורת ביטוי זו לאינטגרל מתאימה לצורת הביטוי, ) ) f t)) u t)) v t)) x t) t) v t)) u t)) y t) f z) dz L ) sup z f z) טענה: בתנאי ההגדרה לעיל, מתקיים הגדרה: תהי f : Ω C פונקציה על תחום פתוח.Ω C אומרים כי פונקציה F : Ω C היא פונקציה קדומה של f, אם מתקיימים שני התנאים הבאים, Ω אנליטית על F..2 F f במובן של גזירות מרוכבת. טענה: אם F : Ω C פונקציה קדומה של,f : Ω C אז f z) dz F b)) F a)) עבור,a b קצוות תחום המסילה. 7

18 הוכחה: נסמן t) G. t) F ) נשים לב כי מכלל השרשרת G גזירה ונגזרתה היא t).g t) F t)) t) f t)) נחשב, b f z) dz f t)) t) dt a b a b a F t)) t) dt G t) dt G b) G a) F b)) F a)) כנדרש. מסקנה: אם מסילה סגורה, כלומר b), a) אז לכל f : Ω C בעלת פונקציה קדומה למשל פולינום ואקספוננט), מתקיים f z) dz 6. משפט קושי גורסה הגדרה: מסילה משולשת },T {z, z 2, z 3, z היא מסילה,T : [a, b] C שהיא לינארית בקטעים ),z, z 2 ), z 2, z 3 ), z 3, z ובעלת כיוון.z z 2 z 3 z T : t z 2 + t 2 z 2 + t 3 z 3 עבור מסילה משולשת כנ"ל, נגדיר 3 t j, t j במקרה זה, הקמור הוא פשוט המשולש j כלומר, T היא הקמור של הגרף של T. 3 "המלא". 3 תזכורת: קבוצה E C נקראת קמורה, אם לכל,z, z 2 E גם λz + λ) z 2 E לכל λ. הגדרה: תהי A C קבוצה כלשהי. הקמור בחולם) של A, המסומן A),Conv הוא הקבוצה הקמורה הקטנה ביותר שמכילה את A. באופן שקול, זהו חיתוך כל הקבוצות הקמורות שמכילות את A. באופן שקול, זהו האוסף { n } n λ i z i : n N, z i A, λ i, λ i i i קל לראות כי קמור של שלוש נקודות הוא משולש. 8

19 פרמטריזציה של מסילה כזאת היא למשל, t) z + tz 2 t T t) 2 t) z 2 + t ) z 3 < t 2 3 t) z 3 + t 2) z 2 < t 3 בנייה חשובה: לצורך הוכחת המשפט הבא, נתבונן בבנייה פשוטה של תחום מסילה משולשת. בהינתן מסילה משולשת כנ"ל, ניתן לחלק את המשולש שהיא יוצרת ל 4 תתי משולשים היוצרים 4 מסילות משולשות מתאימות, 4 T { z, z +z 2 2, z +z 3 } 2, z T 2 { z +z 2 } 2, z 2, z2+z3 2, z+z2 2 T 3 { } z +z 3 2, z 2+z 3 2, z 3, z +z 3 2 T { z 2 +z 3 2, z +z 3 2, z +z 2 2, z 2+z 3 } 2 T 3 f z) dz k T k f z) dz ולכן עבור, 2, 3,,k כל משולש T, k גם ניתן לחלוקה ל 4 תתי משולשים היוצרים 4 מסילות משולשות,.T k,, T k,2, T k,3, T k, T f z) dz 3 3 k k 2 T k,k 2 ולכן שוב עבור, 2, 3, 2,k f z) dz ניתן להמשיך בבנייה זו כמה שרוצים, ובאופן כללי נסמן את 4 תתי המשולשים הנוצרים.j,..., l לכל k j כאשר, 2, 3, T k,k 2,...,k l לאחר l צעדים, על ידי משפט קושי גורסה גרסה חלשה): תהי f : Ω C פונקציה ואנליטית על תחום פתוח,Ω C ותהי } T {z, z 2, z 3, z מסילה משולשת המקיימת T Ω, אזי f z) dz T T גם אם לא יודעים כי f בעלת פונקציה קדומה). f z) dz A > הוכחה: נניח בשלילה כי 4 רצוי לצייר את המשולש וכך להבין את המשך הבנייה. זה מפשט את הביטויים והאינדקסים. 9

20 . מאי שוויון המשולש, יש } {, 2, 3, k שעבורו, f z) dz A 4 > T k ושוב, מאי שוויון המשולש יש } {, 2, 3, 2 k שעבורו, f z) dz A 4 2 > T k,k 2 ובאופן כללי, מאי שוויון המשולש יש } {, 2, 3, l k שעבורו, f z) dz A 4 l > T k,k 2,...,k l היות שכל תת משולש הוא קבוצה קומפקטית וכי תתי המשולשים קבוצות יורדות ביחס להכלה, 5 נובע שקיימת z l T k,...,k l,z l T k,...,k l ולכן ניתן 2. נזכור כי f אנליטית על Ω, ובפרט על Ω לכתוב f z) f z ) + f z ) z z ) + e z) z z ) A 4 l T k,...,k l T k,...,k l T k,...,k l T k,...,k l f z) dz.e z) z z עבור e פונקציה רציפה המקיימת כעת נוכל להסיק כי, ) f z ) + f z ) z z ) + e z) z z ) dz ) f z ) + f z ) z z ) dz + e z) dz T k,...,k l e z) z z ) dz 5 ניתן גם לזהות כי החיתוך הבא אינו ריק על ידי לקיחת מרכזי המשולשית ויצירת סדרת קושי. 2

21 כאשר השוויון בשורה האחרונה נובע מהמשפט שהראינו לעיל, היות והאינטגרנד הוא פולינום ב z אז הוא בעל פונקציה קדומה, ולכן האינטגרל המסילתי על מסילה סגורה הוא..3 יהי >.ϵ מרציפות e נובע שקיים > δ כך שאם z z < δ אז. e z) < ϵ ) L L : האורך של המסילה יהי גם l גדול מספיק כך שעבור T k k,..., l T k,...,k l יתקיים, המשולשת δ > 2 l L A 4 l T k,...,k l e z) z z ) dz sup { e t) z z } L t T k,...,k l < ϵ L L ונקבל אבל > ϵ שרירותי, ולכן בהכרח,A בסתירה להנחה >.A משפט קושי גורסה גרסה מחוזקת): תהי f : Ω C פונקציה על תחום פתוח וקשיר f נניח כי. T Ω מסילה משולשת המקיימת T {z, z 2, z 3, z } ותהי,Ω C רציפה על כל Ω וכי היא אנליטית על } T \ {z לאיזו,z T אזי f z) dz T הוכחה: נוכיח בשלבים. ) נראה את המשפט עבור z. z כלומר, הנקודה בה לא נתון כי f אנליטית היא קודקוד של המשולש,T 2) נרחיב עבור z tz i + t) z j לאיזה 3} {, 2, j t,i,. כלומר z נקודה על שפת המשולש T, 3) נרחיב עבור כל.z T. נניח.z z לכל,n עבור חלוקה של המשולש T ל 4 n תתי משולשים דומים בעלי אורך n 2 כפי שהצגנו בבנייה לעיל), נסדר את המשולשים שהתקבלו 4n,T,..., T 6 ומתקבלת הזהות T f z) dz 4 n i T i f z) dz נזהה את המשולש T כמשולש היחיד ש z z הוא קודקוד שלו, ואז ממשפט קושי גורסה הקודם נובע כי לכל i,4 n T i f z) dz T, k k,..., l אבל כעת הסדר לא משנה. 6 לעיל סימנו אותם לפי סדר 2

22 f z) dz f z) dz ולכן T T T f z) dz f z) dz T f z) dz וכעת נחסום כרגיל, T L T ) sup z T f z) 2 n sup z T f z) נתון כי f רציפה על T ולכן בפרט חסומה על T המהווה קבוצה קומפקטית), ולכן ביטוי זה הוא אפס כאשר n, כנדרש..2 נניח ללא הגבלת הכלליות כי z tz + t) z 2 עבור t. נוכל לחלק את המשולש T לשני משולשים T, T 2, עבור T : {z, z, z 3, z } T 2 : {z, z 2, z 3, z } ולקבל בקלות את המשפט מתוך המקרה הראשון. 3. נניח באופן כללי z. T נחלק את T ל 4 תתי משולשים, כך ש z היא קודקוד של כל ה 4, ושוב נקבל את המשפט בקלות מהמקרה הקודם. 6.2 אנליטיות והקשר של נגזרת אינטגרל הגדרה: קבוצה E C נקראת כוכבית ביחס ל E z כלשהי, אם לכל z E מתקיים מוכל ב E ). z, z הישר המחבר את הנקודות כלומר {z + tw : t [, ]} E דוגמאות: כל קבוצה קמורה היא כוכבית ביחס לבחירת כל z בקבוצה. קבוצה במישור בצורת לב היא כוכבית, למשל ביחס לנקודה התחתונה. משפט: תהי f : Ω C אנליטית על תחום פתוח וקשיר Ω C שהוא כוכבי. אזי f בעלת פונקציה קדומה F על Ω. בפרט, לכל מסילה סגורה וגזירה למקוטעין, :,a] [b Ω f z) dz F a)) F b)) 22

23 סימון: עבור,z, z 2 C נסמן את המסילה הלינארית ביניהן,ϕ [z, z 2 ] : [, ] C ϕ [z, z 2 ] t) tz + t) z 2 הוכחה: תהי z Ω נקודה המתאימה להגדרת Ω כקבוצה כוכבית. לכל z, Ω מהיות Ω כוכבית נובע כי.ϕ [z, z] Ω לפיכך נגדיר,F : Ω C F z) : f ω) dω ϕ[z,z] ונראה כי לכל z Ω מתקיים כי F גזירה ב z, וכי z).f z) f תהי.z Ω מפתיחות Ω יש > r שעבורו.B z, r) Ω מהיות Ω כוכבית נובע שלכל r) z B z, מתקיים.ϕ [z, z] Ω שוב מהיות Ω כוכבית, נובע כי עבור } T : {z, z, z, z מתקיים T Ω, 7 ולכן ממשפט קושי גורסה, f ω) dω T כעת נשים לב שניתן לפרק את האינטגרל ולקבל f ω) dω T f ω) dω + f ω) dω f ω) dω ϕ[z,z] ϕ[z, z] ϕ[ z,z ] ומהגדרת F ועל ידי העברת אגפים נקבל כי F z) F z) f ω) dω ϕ[z, z] נותר להראות כי F גזירה. יהי > ϵ. מרציפות f ב z, נובע שקיים > δ כך שלכל. f z) f ω) < ϵ אז z ω z z < δ אם,ω ϕ [z, z] F z) F z) f z) z z) ϕ[z, z] ϕ[z, z] f ω) dω < L ϕ [z, z]) ϵ z z ϵ ϕ[z, z] f ω) f z) dω כעת נחשב f z) dω 7 כשמשרטטים מבינים מיד מדוע זה נכון. משולש זה מורכב ממניפה של ישרים שכולם חייבים להיות בתוך Ω. 23

24 אבל > ϵ שרירותי, ולכן, F F z) F z) z) : lim f z) z z z z כנדרש. מסקנה: תהי :,] [ C המסילה המוגדרת על ידי t) z + R e it עבור > R ועבור פונקציית האקספוננט,.e it cos t+i sin t זוהי מסילה שתמונתה היא עיגול ברדיוס R סביב z. אזי לכל f אנליטית על הדיסק R B, z), מתקיים f z) dz הוכחה: מהגדרת f כאנליטית על קבוצה סגורה R B, z), נובע שקיימת קבוצה פתוחה Ω המכילה את R B, z), כך ש f אנליטית על Ω. נשים לב שקיים >,r כל שלכל R) z B z, מתקיים d z, Ω c ) r כאשר Ω c היא הקבוצה המשלימה של Ω ביחס ל C ). 8 מכאן כי.B z, R + r) Ω אבל זוהי קבוצה כוכבית ביחס ל z המכילה את, ולכן מהמשפט שהראינו נובעת המסקנה. 6.3 דוגמאות חשובות אינטגרל f z) /z לאורך מסילה ריבועית דוגמה: נתבונן במסילה מרובעת R, המוגדרת על ידי הנקודות, R : {a ib, a + ib, a + ib, a ib} כלומר R הוא ריבוע במרחב שקצותיו הן הנקודות הנ"ל. R dz i z נראה כי לשם כך נתבונן במסילה : [, ] C המוגדרת, t) : a ib) e it 8 הוכחה: אם בשלילה הייתה סדרה R) {z n } n B z, שעבורה ) c,d z n, Ω ניקח תת סדרה מתכנסת λ : lim k z nk יש כזאת כי R) B z, קומפקטית), ונקבל כי ) c,d λ, Ω היות שהפונקציה ) c ψ ω) : d ω, Ω היא רציפה. כלומר,λ Ω c אבל Ω פתוחה, ולכן z N Ω c עבור N מספיק גדול, בסתירה להנחה. 24

25 זוהי מסילה שתמונתה היא עיגול שכולא את המרובע R. R 2) dz z ) dz i z נראה כי כלומר, האינטגרל של z) f לאורך המרובע R, שווה לאינטגרל שלה לאורך המעגל שכולא את R, וכן ערך האינטגרל לאורך המעגל הנ"ל הוא.i t) a ib) sin t + i cos t) a ib) ie it. מתקיים 9 ולכן מהגדרת אינטגרל לאורך מסילה, נקבל z dz i t) t) dt t) t) dt i a ib) e it dt a ib) eit idt 2. ברור שניתן לפרק את האינטגרל לסכום ארבעת האינטגרלים על צלעות R. כעת, נשים לב שלמשל עבור הצלע ib] a] ib, a + מתקיים z dz z dz ϕ[a ib,a+ib] [a ib,a+ib] כאשר ib] ϕ [a ib, a + היא הקשת המחברת את a ib, a+ib במעגל שכולא את.R וזאת כי מהמשפט שהראינו יש פונקציה קדומה, ולכן ערכם המשותף של האינטגרלים הללו הוא הפרש ערכי הפונקציה הקדומה בקצוות. בדיוק אותו שיקול נכון לגבי כל ארבעת הצלעות והקשתות המתאימות להן, ולכן ברור שמתקיים השוויון בין האינטגרלים. 9 נשים לב לזהות. sin t + i cos t i cos t i sin t)) i cos t + i sin t) ie it 25

26 ,L 2 מגדירים e x2 /2 טרנספורם פורייה של הגדרה: תהי f : R R אינטגרבילית ובעלת אינטגרל מתכנס בנורמת טרנספורם פורייה שלה להיות f ξ) : f x) e iξx dx e x2 2 e iξx dx e ξ2 2 משפט: הערה: בהוכחת המשפט נשתמש בעובדה הידועה כי e x2 2 dx.f x) e x2 זו פונקציה הוכחה: נתבונן בביטוי זה כטרנספורם פורייה של הפונקציה 2 אנליטית ושלמה כהרכבה של כאלה). e ξ2 2 f z + iξ) e x+iξ)2 2 e x2 2 iξx+ ξ2 2 e ξ 2 2 e x2 2 iξx e x2 2 iξx dx ) lim נשים לב שמתקיים ובהתאם, צורת ההוכחה תהיה להראות כי R,R 2 ), ) 2) lim 3) e ξ2 2 R,R 2 ), ) R 4) e x2 2 dx R 2 R 2 R e x 2 2 dx e x 2 2 iξx dx ובהעברת אגפים נוכל לקבל השוויון הנדרש. שוויון ) הוא מהגדרה, שוויון 2) נוכיח מיד, שוויון 3) הוא מהגדרה, ושוויון 4) הוא עובדה ידועה. 26

27 e ξ2 2 R 2 e x 2 2 iξx dx נותר להוכיח את שוויון 2), כלומר כי R 2 f x) dx R R עבור,f z) e z2 2 לכל > 2 R, R שרירותיים. יהיו R, R 2 כנ"ל. נתבונן בריבוע } 2,{R, R + iξ, R 2 + iξ, R ונגדיר מסילה : [ R 2, R ] C לאורך הריבוע הנ"ל, עם פרמטריזציה x) x + iξ כך ש x). f z) dz R f x)) x) dx נשים לב כי [ R 2 +iξ,r +iξ] R 2 R f x + iξ) dx R R 2 f x) dx R 2 e ξ2 2 R R 2 [ R 2+iξ,R +iξ] e x 2 2 iξx dx f z) dz ולכן מספיק להראות כי f z) dz נשים לב שמתקיים R R 2 f x) dx + [R,R +iξ] f z) dz + [R +iξ, R 2 +iξ] f z) dz + [ R 2 +iξ, R 2 ] ולכן מספיק להראות כי שני המחוברים האמצעיים הם אפס. f z) dz 27

28 [R,R +iξ] f z) dz נתבונן במחובר השני, sup f z) L [R, R + iξ]) t R 2 sup +it) e 2 ξ t sup e R 2 2 e Rit e t2 2 ξ t וקל לראות כי הביטוי האחרון שואף לאפס כאשר R. באותו אופן ניתן לראות כי המחובר השלישי שואף לאפס כאשר, ) ) 2 R),, R כנדרש. 28

29 חלק IV נוסחת קושי ותוצאות שלה 7 נוסחת קושי משפט נוסחת קושי): תהי f : Ω C אנליטית על תחום פתוח וקשיר Ω, C ונניח.B z, r) Ω תהי : [, ] Ω המסילה שתמונתה מקיפה את r) B z, נגד כיוון השעון. f z) i f ω) ω z dω אזי לכל r),z B z, הוכחה: ראינו כמסקנה ממשפט קודם פרק 6.2), כי בדיוק בתנאי המשפט מתקיים f ω) dω תהי r),z B z, נגדיר g ω) : { fω) fz) ω z f ω) ω z ω z נשים לב שנתון כי f אנליטית ולכן גזירה ב z, משמע g רציפה ב z ואנליטית עבור כל ω. z לכן ממשפט קושי גורסה הגרסה החזקה), g ω) dω f ω) f z) dω ω z f ω) dω f z) ω z ω z dω dω i ω z כדי לסיים את ההוכחה נראה כי ובהעברת אגפים נקבל את נוסחת קושי..g ω) z ω)f ω) fω) fω)) ואף יש לה נוסחה סגורה שם שקל לחשב, z ω) 2 29

30 יהי > s רדיוס קטן מספיק כך שמתקיים B z, s) B z, r) ותהי η : [, ] Ω המסילה שתמונתה מקיפה את s) B z, נגד כיוון השעון. ניתן להראות כי ω z dω η ω z dω שוויון זה מושאר כתרגיל: ניתן לבטא את האינטגרל לאורך, כאינטגרל לאורך η ועוד אינטגרל לאורך מסילה סגורה בתחום שבו f אנליטית, ולכן ערך המחובר השני הוא אפס). נבחר פרמטריזציה η t) z + s e it כך שמתקיים,η t) s ie it ואז η ω z dω i η t) z η t) dt s ie it z + s e it z dt idt הערה: נוסח כללי יותר של נוסחת קושי דורש כי תהיה מסילה סגורה, פשוטה וגזירה ברציפות למקוטעין, w שייכת ל"פנים" המסילה וכן f אנליטית על וב"פנים" של. במקרה זה, השוויון של נוסחת קושי מתקיים עד כדי סימן חיובי או שלילי בהתאם לכיוון המסילה). הבעיה היא שלמרבה ההפתעה, למרות הפשטות הגאומטרית של מסילה סגורה ופשוטה וגזירה ברציפות למקוטעין, יש קושי להגדיר את ה"פנים" שלה. משפט העקום של ז'ורדן קובע במילים כלליות שעבור כל מסילה כנ"ל ניתן לחלק את המישור לשתי קבוצות, אחת חסומה ואחת לא חסומה, כאשר זו החסומה נחשבת כ"פנים" של המסילה. אולם הגדרה זו לא פשוטה ולכן לא נדון בה כאן. 3

31 8 תוצאה : ממוצע של פונקציה אנליטית ואי קיום מקסימום מקומי ניישם את נוסחת קושי עבור f : Ω C אנליטית ועבור.B z, r) Ω בפרט עבור הנקודה,z z f z) f z ) dz i z z i z +r e it f z + r e it) z + r e it z r ie it dt f z + r e it) dt כלומר, ערך הפונקציה במרכז הדיסק, שווה לממוצע הערכים שלה על שפת הדיסק. הגדרה: נאמר כי f : Ω C היא בעלת מקסימום מקומי בנקודה,z Ω אם קיים >,r כך שלכל. f z ) > f z), < z z < r מסקנה: לפונקציה אנליטית f : Ω C על תחום Ω, לא קיים מקסימום מקומי. f z ) < הוכחה: לו היה מקסימום מקומי z ברדיוס > r, f z + r e it) dt f z ) dt f z ) f z ) וקיבלנו סתירה. 9 תוצאה 2: אנליטית וגזירות מכל סדר; נוסחת קושי לנגזרת משפט: תהי f : Ω C אנליטית על תחום פתוח וקשיר,Ω C אזי לכל z Ω מתקיימת הנוסחה f z) f ω) i ω z) 2 dω עבור כל : [, ] Ω המקיימת B z, r) Ω לאיזה >.r 3

32 הוכחה: נשתמש בנוסחת קושי כדי לחשב את הביטוי שגבולו היא הנגזרת, h f z + h) f z)) f ω) h i ω z + h) f ω) ) dw ω z h i f ω) ω z h ω z ) dω ) ω z ω z h) f ω) dω h i ω z h) ω z) h i i h i f ω) h ω z h) ω z) f ω) ω z h) ω z) dω f ω) ω z) 2 dω ) dω כאשר הגבול האחרון נובע מהחלפת סדר של גבול ואינטגרל, היות שהפונקציה G ω) fω) fω) G מתכנסת במידה שווה ב ω לפונקציה ω z) 2 h ω) ω z h)ω z) כאשר h, היות שניתן לחסום f ω) sup G h ω) G ω) sup ω ω ω z h) ω z) f ω) ω z) 2 sup f ω) ω ω z h) ω z) ω z) 2 ω z) 2 ω z h) ω z) sup f ω) ω ω z h) ω z) sup f ω) sup h ω ω ω z h) h sup ω ω z h) אבל f חסומה על מקומפקטיות), וברור כי כאשר h הביטוי קטן כרצוננו. משפט: תהי f : Ω C אנליטית על תחום פתוח וקשיר Ω, C אזי f גזירה מכל סדר, וגם לכל z, Ω לכל סדר גזירה n י מתקיימת הנוסחה f n) z) n! f ω) i n+ dω ω z) עבור כל : [, ] Ω המקיימת B z, r) Ω לאיזה >.r 32

33 הוכחה: באינדוקציה על n. נעיר כי מתוך קיום הגבולות שנראה, ינבע גם קיומן של נגזרות מכל סדר. עבור n הטענה היא המשפט הקודם. נניח שהטענה נכונה עבור n כלשהו. מתקיים מנוסחת קושי, ) f n) z + h) f n) z) ) f n) ω) h h ω z + h)) n+ f n) ω) z ω) n+ dω Induction) ) n! f ω) h i ω z + h)) n+ f ω) z ω) n+ dω n! ) f ω) i h ω z h) n+ z ω) n+ dω נשים לב כי באופן כללי ניתן לבטא כסכום טלסקופי, A n+ B n+ A B) [ A n + A n B + A n 2 B AB n + B n] n A B) A n k B k k h ) h ω z h) n+ z ω) n+ z ω) n+ z ω h) n+ h z ω h) n+ z ω) n+ z ω) z ω h)) n k z ω)n k z ω) k h z ω h) n+ z ω) n+ n k z ω)n k z ω h) k z ω h) n+ z ω) n+ n k z ω)n k z ω) k z ω) n+ z ω) n+ n + ) z ω)n z ω) 2n+2 n + ) z ω) n+2 ולכן 33

34 ) f n) z + h) f n) z) h n! i n! h i n + )! i f ω) h n + ) f ω) z ω) f ω) ω z) וכעת נוכל להסיק עבור + n, ω z h) n+ z ω) n+ n+2 dω n+2 dω גם כאן החלפנו סדר של גזירה ואינטגרציה בגלל התכנסות במידה שווה). מסקנה: לכל f : Ω C על תחום פתוח וקשיר Ω, C אם יש לה פונקציה קדומה F, אז היא אנליטית. ) dω הוכחה: נתון כי f מכל סדר. F, כלומר F גזירה פעם אחת ולכן גזירה מכל סדר, כלומר f גזירה הערה: אם Ω הוא תחום כוכבי, גם ההפך נכון. כלומר, פונקציה היא אנליטית אם ורק אם יש לה פונקציה קדומה כאשר את הכיוון השני הוכחנו לעיל). עם זאת, זה נכון רק לתחום כוכבי. נתבונן למשל בפונקציה z/ על התחום הלא כוכבי {} \,) B Ω. : היא אנליטית שם, אבל אין לה פונקציה קדומה., אז לכל מסילה יפה,F z) z היות שאם הייתה z dz F z) dz F )) F )) אבל מצד שני, אם נתבונן במסילה : [, ] C המוגדרת, t) e it z dz i e it ieit dt idt 34

35 תוצאה 3: חסם קושי לנגזרות ומשפט ליוביל z עם טענה: תהי f : Ω C אנליטית על תחום פתוח וקשיר,Ω C ותהי Ω.B z, r) Ω f n) z ) n! r n sup f z + re iθ) θ אזי לכל n, הוכחה: נחשב עבור, θ) z + re iθ f n) z ) n! f ω) i n+ dω ω z ) n! f ω) ω z ) n+ dω n! sup f z + re iθ) θ re iθ n+ dω n! sup θ f z + re iθ) rn+ r re iθ n+ dω L ) rn+ rn+ r n נשים לב כי, ונקבל את הנדרש. משפט ליוביל: כל f : C C אנליטית וחסומה בכל C, היא קבועה. הוכחה: יהי > M חסם f ω) M לכל.ω C תהי : [, ] C המסילה,z C מהטענה הקודמת נובע כי לכל. θ) r e iθ f z) M r אבל זה נכון לכל >,r ולכן בהכרח z) f לכל,z C כלומר f קבועה. משפט הכללה): כל f : C C אנליטית החסומה על ידי f z) C z n לכל,z C היא פולינום ממעלה לכל היותר n. הוכחה: נראה כי הנגזרת ה + n ית של f היא אפס, וכל פונקציה שלמה שהנגזרת ה n. שלה מתאפסת היא פולינום ממעלה לכל היותר n ית + נשתמש בזה כעובדה. 35

36 מהטענה הקודמת נובע כי לכל. θ) r e iθ תהי : [, ] C המסילה,z C f n+) n + )! z) r n C z n אבל זה נכון לכל >,r ולכן בהכרח z) f n+) לכל,z C כלומר f פולינום ממעלה.n תוצאה 4: המשפט היסודי של האלגברה משפט: לכל פולינום מעל המרוכבים שאינו קבוע, יש לפחות שורש אחד במרוכבים. הוכחה: יהי פולינום p : C C לא קבוע, נניח ללא הגבלת הכלליות כי הוא מתוקן, כלומר מהצורה p z) z n + a n z n a z + a ונניח בשלילה כי אין לו שורשים כלל. p z) z n + a n z n : a z + a z n + q z) q z) a n z n a z + a n q z) a j z j z n C lim z j לכן ניתן להגדיר עבור אנליטית שלמה. pz) ברור כי נשים לב כי מאי שוויון המשולש, עבור < C קבוע שנגדיר בצורה מתאימה, ולכן נובע כי p z) lim z lim z lim z z n + q z) z n q z) z n z n C מכאן כי לכל > ϵ, עבור > R מספיק גדול, ניתן לחלק את המישור המרוכב לתוך חסומה מקומפקטיות), ומחוץ למעגל pz) המעגל ומחוץ למעגל, כך שבתוך המעגל היא חסומה כי היא שואפת ל עבור z. חסומה ואנליטית על כל המישור המרוכב, וממשפט ליוביל נובע כי היא pz) לכן קבועה, ולכן בהכרח גם z) p קבועה, בסתירה להנחה. 36

37 2 תוצאה 5: משפט מוררה כיוון הפוך למשפט קושי גורסה) משפט: תהי f : Ω C רציפה על תחום פתוח וקשיר Ω. C אם לכל משולש T המקיים T Ω כאשר ) T T Conv מתקיים dz, T f z) אזי ל f קיימת פונקציה קדומה ב Ω, ולכן f אנליטית ב Ω. הוכחה: מהתוצאה הקודמת, כדי להראות כי f אנליטית בכל נקודה די להראות שיש לה פונקציה קדומה בכל נקודה. תהי.z Ω יהי > r מספיק קטן, שעבורו.B z, r) Ω לכל r),z B z, תהי r) z,z : [, ] B z, המסילה z,z t) z + tz כלומר, המסילה הלינארית שמתחילה ב z ומסתיימת ב z ). נגדיר F : B z, r) C על ידי F z) f ω) dω z,z מההנחה במשפט נובע כי על r),b z, עבור המשולש },T {z, z, z + h, z f ω) dω T z,z F z + h) F z) h f ω) dω + f ω) dω z,z+h z+h,z f ω) dω ומהגדרת F ועל ידי העברת אגפים נקבל כי F z + h) F z) f ω) dω z,z+h מכאן כי f z) F z + h) F z) hf z) h f ω) f z)) dω h z,z+h f ω) f z) dω h z,z+h h h sup f ω) f z) ω z,z+h) sup f ω) f z) ω z,z+h) ומרציפות f על הקבוצה קומפקטית T, נובע כי ביטוי זה שואף לאפס כאשר h. מכאן כי F z) f z) 37

38 כלומר f בעלת פונקציה קדומה, ולכן לפי תוצאה קודמת f אנליטית. f} n : Ω {C n סדרה של פונקציות אנליטיות על תחום פתוח וקשיר Ω. נניח מסקנה: תהי f} n {z) n היא סדרת קושי, ונניח עוד שעל כל תת קבוצה קומפקטית שלכל,z Ω f} n } n סדרת קושי במידה שווה.,C Ω אזי הפונקציה הגבולית z) f z) : lim n f n שקיימת היות וזו סדרת קושי) היא אנליטית, ומתקיים גם f z) lim n f n z) וברור כי ניתן להכליל לנגזרת מכל סדר). הוכחה: נראה שמתקיים התנאי שבמשפט מוררה. יהי T משולש המקיים T Ω. זו קבוצה קומפקטית, ולכן ההתכנסות f n f עליו היא במידה שווה. מכאן שאפשר להחליף סדר של גבול ואינטגרל, ולקבל f ω) dω lim f n ω) dω n T T lim n T lim n f n ω) dω ומכאן כי f אנליטית. כדי להראות את הנוסחה לנגזרת, נשתמש בנוסחת קושי לנגזרות עבור תת קבוצה קומפקטית כלשהי ששם מתקיימת התכנסות במידה שווה, ונקבל f f ω) z) i ω z) 2 dω limn f n ω) i ω z) 2 dω f n ω) lim n i ω z) 2 dω lim n f n z) כנדרש. 3 תוצאה 6: אנליטיות של טורי חזקות { n } an M : lim sup וכן נסמן a} n } n סדרת מספרים מרוכבים. נסמן משפט: תהי R : /M אולי.R אזי לכל,z C הטור a n z z ) n n 38

39 מתכנס בהחלט על הדיסק הפתוח R B, z), ובמידה שווה על כל תת קבוצה קומפקטית שלו. מסקנה: ממסקנה של משפט מוררה נובע שבפרט הפונקציה f z) a n z z ) n n,f N z) N היא גבול של סדרת הפונקציות האנליטיות n a n z z ) n המתכנסת בהחלט במידה שווה על כל תת קבוצה קומפקטית, ולכן f אנליטית על R).B z, הוכחה: לכל R) z B z, מתקיים, z z < R /M וכמו כן לכל n מתקיים.a n < M n מכאן כי, a n z z ) n < M n M n ולכן הטור מתכנס לפי השוואה עם טור גאומטרי. כדי להראות התכנסות לכל תת קבוצה קומפקטית, נראה זאת באופן שקול על כל תת כדור קומפקטי. יהי < r < R /M, אזי לכל R) z B z, r) B z, מתקיים, z z < r ומכאן כי, n a n z z ) n < M n r n < a n z z ) n < M n r n n ולכן אבל < r M, ולכן הטור החוסם הוא טור גאומטרי המתכנס במידה שווה. 4 תוצאה 7: פיתוח טור טיילור לפונקציה אנליטית משפט: תהי f : Ω C אנליטית על תחום פתוח וקשיר,Ω C ונניח.B z, r) Ω אזי קיימים קבועים..., 2 a, a, a כך שלכל r),z B z, f z z ) a n z z ) n n a n i f ω) ω z ) n+ dω קבועים אלה הם מהצורה, 39

40 הוכחה: נניח ללא הגבלת הכלליות כי B, ) Ω וגם כי.z תחילה נשים לב באופן כללי, כי מהנוסחה לסכום של טור הנדסי, z /ω lim z /ω) n n z /ω n z ) n lim ω n k z ) n ω n תהי : [, ] R המסילה, θ) e iθ ומנוסחת קושי נסיק f ω) f z) i ω z dω i i n i f ω) ω z /ω) dω f ω) ω z ) n dω ω n f ω) ω n+ dω z n כאשר השוויון האחרון הוא החלפת סדר של גבול באינטגרל, היות שהטור z) g מתכנס במידה שווה ברדיוס קטן מ, שכן z ) n n ω fω) ω z ) n f ω) ω ω z ) n f ω) ω ω z /ω n z /ω sup f ω) ω < nk nm a n i f ω) dω ωn+ a f ) a f ). a n n! f n) ). לכן אם נגדיר לכל n, נקבל את הזהות המבוקשת. הערה: נשים לב כי מנוסחת קושי לנגזרת, 4

41 כלומר, הטור שהתקבל הוא הכללה להגדרה המוכרת לטור טיילור. מסקנה: עבור y) f z) e z : e x cos y + i sin כאשר,z x + iy אז f u + iv עבור u x, y) e x cos y וכן,v x, y) e x sin y ולכן f z) e z ) u x + i v x e x cos x + ie x sin y e x cos y + i sin y) e z ולכן גם לכל 2,n,f n) z) f z) כלומר ) f,a n ונקבל פיתור לטור טיילור סביב,z e z n z n n! 5 תוצאה 8: סדרות מצטברות של אפסים של פונקציה אנליטית משפט: תהי f : Ω C אנליטית על תחום פתוח וקשיר Ω. f z n ) כך שמתקיים,z n z Ω מתכנסת {z n } n אם קיימת סדרה Ω לכל,n אזי f קבועה. הערה: המשפט משקף שני עקרונות חשובים: האחד הוא שלגבול של סדרת אפסים יש סביבה מקומית שעליה הפונקציה מתאפסת, והשני הוא שפונקציה אנליטית בעלת סביבה שלמה מתאפסת, היא זהותית אפס. דוגמה: אם f : B, ) C אנליטית המקיימת /n) f לכל,n אז.f ) דוגמה: תהי f : B, ) C הפונקציה האנליטית בסביבת, sin.f z) z n z היא סדרת אפסים של,f אבל היא nπ מתקיים כי ), B / n אינה מתכנסת לתוך,) B, ולכן המשפט אינו תקף לגביה. הוכחה: תהי f אנליטית על תחום Ω, נניח כי f ונראה כי אין סדרה כנ"ל. תהי F אוסף הגבולות של סדרות אפסים של f שהם בתוך Ω, כלומר, F : {z Ω z n z Ω, n f z n ) } באופן כללי קבוצה שמכילה את כל הגבולות של נקודות מתוכה, היא קבוצה סגורה בתוך Ω. לכן F קבוצה סגורה. למה: F היא גם קבוצה פתוחה בתוך Ω. הוכחת הלמה: תהי.z F נראה כי B z, r) F לאיזה >.r נבחן שתי אפשרויות, 4

42 אם לכל n מתקיים ),f n) z אז מפיתוח טיילור של f סביב,z Ω לכל,z f z) f n) z ) z z ) n n! z z ) n n n כלומר,f בסתירה להנחה כי.f אם לא, יהי n המספר הטבעי המינימלי שעבורו ).f n ) z נגדיר פונקציה אנליטית,g : Ω C f n) z ) g z) : z z ) n n n! nn g אנליטית ובפרט רציפה, ולכן עבור > ) ϵ : 2 g z קיים >,δ כך שאם z z < δ אז g z) g z ) < 2 g z ) כלומר z) g לכל z z < δ <. לכן מפיתוח טיילור של f סביב,B z, δ) \ {z } בתחום z f z) f n) z ) z z ) n n! nn z z ) n g z) אם כך מצאנו כי δ B z), היא סביבה שלמה של z שלא מכילה אף אפסים של f, בסתירה לכך ש z היא גבול של אפסים של f. Ω Ω\F F כעת, נשים לב כי ניתן להציג ולכן מקשירות Ω נובע כי F או.F Ω אם F Ω אז מהגדרת f z),f לכל,z Ω כלומר f בסתירה להנחה כי.f לכן בהכרח F, כלומר ל f אין סדרות אפסים מתכנסות, כנדרש. 42

43 6 תוצאה 9: עקרון המקסימום הגדרה: תהי f : Ω C אנליטית על תחום פתוח וקשיר Ω. אומרים כי z Ω היא מקסימום מקומי חלש של f, אם קיים > r כך שלכל,z B z, r) f z ) f z) משפט: תהי f : Ω C אנליטית על תחום פתוח וקשיר Ω. אם f בעלת מקסימום מקומי חלש על Ω, אז f קבועה. מסקנה: תהי f : Ω C אנליטית על תחום פתוח וקשיר Ω. נניח עוד כי Ω תחום חסום ב C, וכי f ניתנת להרחבה רציפה על Ω. אזי f מקבלת מקסימום על השפה Ω. הוכחת המסקנה: הקבוצה Ω קומפקטית, ולכן f מקבלת מקסימום עבור z Ω כלשהי. אם z Ω אז מהמשפט נובע כי f קבועה בסתירה להנחה, ולכן בהכרח.z Ω תזכורת: באופן כללי אם g :,a] [b R פונקציה ממשית רציפה החסומה על ידי t) g M לכל b],t [a, אם מתקיים b g t) dt M b a a אז בהכרח לכל b],t [a, g t) M הוכחת המשפט: תהי z Ω מקסימום מקומי חלש עבור B z, r) Ω לאיזה > r מספיק קטן. תהי : [, ] C המסילה, θ) z + re iθ ומנוסחת קושי, f z ) f ω) dω i ω z f z + re iθ) i re iθ ire iθ d f z + re iθ) dθ f z + re iθ) dθ 43

44 אבל z מקסימום מקומי חלש, ולכן לכל θ, f z ) f z + re iθ) משני האי שוויונים הללו, לפי התזכורת לעיל עבור f z) בתפקיד M) נובע כי לכל, θ f z ) f z + re iθ) נשים לב כי טיעון זה נכון לכל < s < r, כלומר על הסביבה r B z), מתקיים.f f z ) h z) f z ) f z) נתבונן בפונקציה האנליטית,h : Ω C נשים לב כי h מתאפסת על כל r B, z), כלומר יש לה סדרה מצטברת של אפסים ולכן,h כלומר ) f f z קבועה, כנדרש. משפט: תהי f : Ω C אנליטית על תחום פתוח וקשיר Ω. אם f) Re או f) Im בעלות מקסימום מקומי חלש על Ω, אז f קבועה. הוכחה: מספיק להראות עבור f),re כי f).im f) Re i באותו אופן שהראינו בהוכחה של המשפט הקודם, נובע שאם f) Re בעלת מקסימום מקומי חלש r) z B z, לאיזה >,r אז לכל ],θ [, Re f z + re iθ)) Re f z )) ולכן f) Re קבועה על r).b z, כלומר אם נסמן,f u + iv u u x v y אבל ממשוואות קושי רימן, u y v x ולכן גם,v כלומר iv,f u + ולכן f קבועה. g z) : e fz) הוכחה נוספת: נגדיר g : Ω C על ידי זו פונקציה אנליטית, וברור כי f קבועה אם ורק אם g קבועה, כלומר f בעלת מקסימום מקומי חלש אם ורק אם g בעלת מקסימום מקומי חלש. באופן כללי Reω), e ω e ולכן Ref). g z) e מכאן כי z Ω מקסימום מקומי חלש של f) Re אמ"מ הוא מקסימום מקומי חלש של g, אמ"מ הוא מקסימום מקומי חלש של f. 44

45 7 תוצאה : הלמה של שוורץ משפט: תהי ), B f : B, ) אנליטית. נניח כי f ניתנת להרחבה רציפה על ),,B וכן כי ).f אזי, f ). f אם ורק אם קיים θ <, כך שמתקיים ).2 f z) e iθ z g z) הוכחה: נגדיר ), B g : B, ) על ידי { fz) z z f ) z נשים לב כי g אנליטית ב { } \,) B ורציפה ב,) B כולו, ולכן g אנליטית על כל ),.B 2. מעיקרון המקסימום נובע כי g מקבלת מקסימום בשפה,) B z. אבל, z וכן נתון כי תמונת f היא בתוך ), B ולכן z), f ולכן g z) f z) z f z ) z f ) g ) לכל ), B,z ובפרט f, אז מעיקרון המקסימום g קבועה כי.2 כעת, אם ) g ) המקסימום מתקבל לא על השפה. כלומר, g z) f ) iθ f ) e לאיזה ],θ [, ולכן f, כלומר אבל אז ) f z) e iθ z 2 על ידי משפט קושי גורסה האינטגרל שלה על משולשים מתאפס, וממשפט מוררה היא אנליטית. 45

46 חלק V אינדקס של מסילה 8 לוגריתם מרוכב,Ω רציפה על f נניח כי.g f פונקציות כך שמתקיים Ω f g תזכורת: יהיו Ω Ω ונניח כי g אנליטית על Ω וכי z) g לכל.z Ω f z) g f z)) אזי f אנליטית, ומתקיים 3 8. הפיכה מקומית של פונקציית האקספוננט נרצה להבין כיצד להגדיר פונקציה הפוכה לפונקציית האקספוננט. נראה כי משימה זו בלתי אפשרית באופן כללי, אולם על תחומים מסוימים נוכל למצוא הופכית. טענה: לפונקציית האקספוננט {[, )} \C exp : C אין פונקציה הפוכה כללית.exp g z)) e gz) z המקיימת g : C\ {, ]} C g z) הוכחה: אילו הייתה g כנ"ל, אז מהמשפט שהזכרנו נובע כי, exp g z))) exp g z)) z אבל לפונקציה z/ לא קיימת פונקציה קדומה על {} \C, כי חישבנו שמתקיים dz i z B,) כלומר האינטגרל לא מתאפס. כלומר, לא קיימת g העונה למבוקש. 3 הוכחה: צריך להראות כי אם z, n z ללא הגבלת הכלליות z n z לכל n, אז f z n ) f z) z n z f z n) f z) g f z)) מרציפות f, וכן נשים לב כי z) f z n) f לכל n אחרת.z n g f z n)) g f z)) z כעת, מאנליטיות g בנקודה,f z) Ω f z n ) f z) z n z n f z n ) f z) g f z n )) g f z)) g f z)) 46

47 טענה: לפונקציית האקספוננט ]} {, C\ exp : Ω עבור {} C\ Ω תחום כוכבי, קיימת פונקציה הפוכה כללית g : C\ {, ]} C המקיימת z)) exp g.e gz) z הוכחה: היות שהתחום Ω כוכבי ואינו מכיל את, לפונקציה z/ קיימת פונקציה קדומה שנסמן g. : Ω C נראה כי g זו היא פונקציה המקיימת את המבוקש. תהי z Ω כלשהי שעבורה מתקיים.exp g z )) z נראה כי exp g z)) z לכל.z Ω h z) : z exp g z)) נגדיר פונקציה אנליטית נחשב את נגזרתה, ) h z) exp g z)) + z exp g z)) g z) exp g z)) z exp g z)) g z) exp g z)) z exp g z)) z h z ) z exp g z )) z exp g z )) z z h z) z exp g z)) z exp g z)) מכאן כי h פונקציה קבועה. נשים לב כי כלומר לכל,z Ω ולכן כנדרש. מסקנה: נתבונן בפונקציה,exp Ω C כאשר Ω היא תחום כוכבי מהצורה Ω C\e iθ R כאשר הקבוצה R e iθ היא קרן אינסופית בזווית θ היוצאת מהראשית וכוללת את הראשית). זהו תחום כוכבי, למשל ביחס לראשית. לכן כפי שהראינו, בתחום זה קיימת פונקציה הפוכה של.exp נראה כיצד לבחור במפורש פונקציה כזאת. 47

48 נגדיר פונקציה חדשה, ln θ : Ω C על ידי ln θ z : ln z + i arg θ z 4.e i arg θ z z כלומר, < arg θ z < היא הזווית היחידה המקיימת z ln θ exp z)) ln exp z) exp iθ) z z z z נקבל כי, 8.2 לוגריתם מרוכב רציף לפונקציה כללית הגדרה: יהי X מרחב מטרי ותהי {} \C φ : X פונקציה רציפה. נאמר כי פונקציה רציפה ψ : X C היא לוגריתם רציף של φ, אם לכל x, X φ x) e ψx) נאמר כי פונקציה רציפה θ : X C היא ארגומנט רציף של φ, אם לכל x, X φ x) φ x) e iθx) טענה: לפונקציה רציפה {} \C φ : X יש לוגריתם רציף אם ורק אם יש לה ארגומנט רציף. הוכחה: כיוון ראשון) אם ψ לוגריתם רציף של φ, נגדיר x) θ x) : Imψ ונראה כי זה ארגומנט רציף. נשים לב כי Reψx), φ x) e ψx) e ולכן נובע כי, φ x) φ x) e ψx) e Reψx) ereψx)+iimψx) e Reψx) e iimψx) ) x 4 ניתן להשתמש בזהות sin arccos t)) t 2 לכל,t R ולקבל כי arccos.arg θ z x 2 +y 2 נשים לב כי arg θ אינה רציפה על הקרן R e iθ עצמה, שכן עבור R,z e iθ אם מתקרבים z n z בכיוון השעון אז,arg θ z n ואילו אם z n z נגד כיוון השעון אז n.arg θ z 48

49 ובהעברת אגפים נקבל את הנדרש. כיוון שני) אם θ ארגומנט רציף של,φ נגדיר x) ψ x) : ln φ x) + iθ ונראה כי זה לוגריתם רציף. e ψx) e ln φx) e iθx) φ x) e iθx) φ x) כנדרש. טענה: אם X מרחב מטרי קשיר, אז כל זוג לוגריתמים רציפים של פונקציה X φ : {} \C זהים עד כדי in לאיזה n שלם. כמו כן, כל זוג ארגומנטים רציפים של פונקציה {} \C φ : X זהים עד כדי l ללא i) לאיזה l שלם. הוכחה: יהיו g, g 2 לוגריתמים רציפים עבור {} C\ φ : X על.X נתבונן בפונקציה.g : g g 2 זו פונקציה רציפה, ולכל,x X e gx) e g x) g 2 x) e gx) φ x) g x) in x) e g2x) φ x) לכן לכל x קיים x) n שלם, שעבורו מרציפות g נובע כי x) n פונקציה רציפה. אבל x) n מקבלת רק ערכים שלמים, ולכן היא בהכרח קבועה,.n x) n כלומר,g x) g 2 x) g x) in כנדרש. הוכחה דומה תעבוד לטענה אודות הארגומנטים הרציפים. טענה: לכל פונקציה רציפה R φ : X C\e iθ כלומר, שתמונתה לא כוללת את הקרן בזווית θ היוצאת מהראשית וכוללת את אפס, לאיזה θ ), קיים ארגומנט רציף ולכן גם לוגריתם רציף). הוכחה: נגדיר x)),θ x) : arg θ φ כאשר באופן כללי θ arg θ z) < θ + היא. z נקבל כי, הזווית היחידה המקיימת z) z ei arg θ φ x) e iθx) φ x) e i arg θ φx)) φ x) φ x) φ x) φ x) כנדרש. 49

50 משפט: לכל מסילה רציפה {} C\ : [a, b] כלומר, /, יש לוגריתם רציף. הוכחה: תהי : [a, b] C מסילה רציפה המקיימת /. נראה באופן שקול שיש לה ארגומנט רציף. הקבוצה [b,a] קומפקטית ולכן קבוצה קומפקטית. מכאן כי.ϵ : min t [a,b] { t) } > מרציפות במידה שווה, קיימת חלוקה של הקטע b] [a, מהצורה < a t < t,t [t j, t j+ ] לכל, j n כך שלכל,... < t n b t) B t j ), ϵ) נתבונן בפונקציה ], [t,t ונשים לב כי תמונתה לא כוללת את R e iθ כאשר θ היא הזווית של ), t) ולכן יש לה ארגומנט רציף t) θ. מאותה הסיבה גם לפונקציה ] 2 [t,t יש ארגומנט רציף t).θ 2 נניח ללא הגבלת הכלליות כי,θ : θ θ 2 שכן שני ארגומנטים של אותה הפונקציה מזדהים עד כדי.l כלומר, θ הוא ארגומנט רציף המגדיר לוגריתם רציף על ] 2.[t, t ] [t, t ניתן להמשיך בבנייה זו עד שנכסה את כל הקטע [b,a], ונקבל ארגומנט רציף כללי θ המגדיר לוגריתם רציף של על כל [b,a]. 9 אינדקס של מסילה הגדרה: תהי {} \C : [a.b] מסילה סגורה. יהי g לוגריתם רציף כלשהו של. נגדיר את האינדקס של ביחס ל, n, ) : g b) g a) i הערה: נשים לב כי האינדקס מוגדר היטב ולא תלוי בבחירת הלוגריתם הרציף, היות שעבור g לוגריתם רציף אחר של, מתקיים כפי שהראינו כי g g + im לאיזה m שלם, ולכן g b) g a) g b) + im g a) + im) g b) g a) הערה: אינדקס של מסילה ביחס לאפס, סופר את הסיבובים שלה סביב נגד כיוון השעון). טענה: תהי {} \C :,a] [b מסילה סגורה וגזירה למקוטעין, אזי n, ) i z dz הערה: הטענה הזו מפרשת את האינדקס כמודד עד כמה המסילה "מפרה" את הכלל שאינטגרל של פונקציה אנליטית על מסילה סגורה הוא אפס. 5

51 ,g : [a, b] C נגדיר a t b לכל.ω C לאיזה a) b) e ω הוכחה: נסמן g t) : ω + z dz [a,t] t ω + a s) s) ds נראה כי g היא לוגריתם רציף של. תחילה נחשב, t e gt) e ω exp s) s) ds a a) exp t a h t) t) e gt) s) s) ds וכעת נגדיר ) h t) t) e gt) + t) e gt) g t) נשים לב כי t) e gt) t) e gt) g t) t) e gt) t) e gt) t) t) h a) a) e ga) e ω e ω t) e gt) t) e gt) ולכן h פונקציה קבועה. בפרט, ולכן כלומר 5

52 אם כך מצאנו g לוגריתם רציף כלשהו של, ונוכל להסיק כי, b g b) g a) ω + b a a s) s) ds z dz s) s) ds ω + a a s) s) ds } {{ } ואם נחלק ב i נקבל את השוויון המבוקש. מסקנה: עבור מסילה, : [a, b] C לכל,z C אם z / אז ניתן להרחיב את הגדרת האינדקס של מסילה על ידי, n, z) : i ω z dω דוגמה: נתבונן במסילה t) e it עבור t, אז n, ) i z dz i i i ie it dt eit ובאופן כללי, עבור כל ω C\S כלשהו, ω < n, ω) not defined ω ω > דוגמה: אם r) e imt עבור t, אז נקבל באותו אופן, n, ) m 52

53 9. תכונות של האינדקס משפט: יהיו {} C\, 2 : [a, b] זוג מסילות, אזי. n 2, ) n, ) + n 2, ) ) n, n, ) n 2, ) 2.2 הוכחה: נניח כי g, g 2 לוגריתמים רציפים עבור, 2 בהתאמה.. קל לראות כי g + g 2 לוגריתם רציף של, 2 ולכן n 2, ) g b) + g 2 b) g a) + g 2 a)) i g b) g a) + g 2 b) g 2 a) i i n, ) + n 2, ) ) n, 2.2 קל לראות כי g g 2 לוגריתם רציף של, / 2 ולכן g b) g 2 b) g a) g 2 a)) i g b) g a) g 2 b) g 2 a) i i n, ) n 2, ) משפט: תהי : [a, b] Ω מסילה סגורה על Ω C תחום כוכבי, ותהי,ω / Ω אזי n, ω) בפרט אם r) B z, וכן, ω z > r אז ω).n, הוכחה: נניח ללא הגבלת הכלליות כי ω אחרת נגדיר,η ω ואז ) η, n.n, ω) z אנליטית ולכן יש לה פונקציה על תחום כוכבי Ω שלא מכיל את אפס, הפונקציה קדומה אנליטית z) L כך שמתקיים exp L z)) z לכל.z Ω 53

54 נגדיר t)) g t) L ונקבל כי g לוגריתם רציף של. מכאן, n, ω) g b) g a) i L b)) L a)) i כאשר השוויון האחרון הוא כי b). a) 9.. למת "הכלב המטייל" משפט: יהיו, 2 : [a.b] Ω מסילות סגורות על Ω C תחום כוכבי. אם < t) t) 2,t [a, b] לכל t) n, ) n 2, ) מסקנה שימושית: נניח שאנחנו מטיילים עם כלב קשור ברצועה, ונניח שיש עמוד חשמל שאנחנו מעוניינים להימנע ממצב בו המוליך עובר מצד אחד של העמוד והכלב מהצד השני. נניח כי העמוד הוא הראשית, כי המסלול של האדם הוא וכי המסלול של הכלב הוא. 2 אנחנו לא רוצים שיקרה מצב בו העמוד חשמל נתקל ברצועה. מלמת הכלב המטייל נובע שכדי שזה לא יקרה, די לדאוג כי, 2 < כלומר שהמרחק בין האדם לבין הכלב לא יעלה על המרחק שבין האדם לבין העמוד. הוכחה: תחילה נשים לב כי מהתנאי נובע כי 2 / כי > וגם 2 > 2. נגדיר מסילה, 3 : 2 / ונשים לב כי, 3 2 < 3 B, ) n 2, ) n 3, ) n 3, ) + n, ) + n, ) n, ) ולכן וכעת נסיק כי כאשר השוויון השלישי הוא מהמשפט הקודם. משפט: תהי :,a] [b C מסילה סגורה. אזי לכל רכיב קשירות U של,C\ 5 ערך האינדקס ω) n, קבוע לכל.ω U 5 תזכורת: כל קבוצה פתוחה U C ניתנת להצגה על ידי,U j U j כאשר לכל U j,j פתוחה וקשירה, וכל U} j } j זרות בזוגות. כל U j נקראת רכיב קשירות של U. 54

55 נוסח שקול: תהי : [a, b] C מסילה סגורה. לכל ω / קיימת סביבה r),b ω, כך שלכל r),z B ω, n, z) n, ω) הוכחה: נסמן > t) },r inf t [a,b] { ω ונראה כי r) B ω, היא סביבה שעליה.z B ω, r) קבועה. תהי n, z) נשים לב שעבור המסילות, + ω z מתקיימים תנאי למת הכלב המטייל, שכן t) t) + ω z) ω z < r t) ω n, ω) n + ω z, ω) n z, ) n, z) ולכן כנדרש. מסקנה: עבור מסילה סגורה, לכל n שלם נגדיר, Ω n : {z Ω n, z) n} נשים לב כי Ω n פתוחה כי הראינו כרגע שלכל z Ω n יש סביבה שלמה שמוכלת בתוך Ω), n וכן ברור שכולן קבוצות זרות בזוגות, וכן הן רכיבי קשירות של,C\ Ω n C\ n Z 9.2 הומוטופיה ואינדקס הגדרה: יהיו, : [a, b] C זוג מסילות. נניח כי Ω עבור Ω פתוחה. נאמר כי הומוטופית ל על Ω, אם קיימת העתקה רציפה H : [, ] [a, b] Ω כך שמתקיים H, t) t) H, t) t) וכן לכל s, H s, a) H s, b) כלומר, עבור s נתון, H s, ) : [, ] Ω היא מסילה סגורה). 55