שיטות דיפרנציאליות ואינטגרליות הפקולטה להנדסה אוניברסיטת תל אביב גיא סלומון
סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטה הפתוחה, במכללת שנקר ועוד שאלות סטודנטים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את הדרך הנכונה לעומדים בפני קורס חשוב זה הספר עוסק בשיטות דיפרנציאליות ואינטגרליות (שדו"א) והוא מותאם אישית לסטודנטים הלומדים בפקולטה להנדסה באוניברסיטת תל אביב הספר נבדק ואושר על ידי הפקולטה להנדסה באוניברסיטת תל אביב הן מבחינת הרמה האקדמית והן מבחינת התאמתו לתוכנית הלימוד הניסיון מלמד כי לתרגול בקורס זה חשיבות יוצאת דופן, ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים המופיעים בו לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר wwwgoolcoil הפתרונות מוגשים בסרטוני פלאש המלווים בהסבר קולי, כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובנית, שיטתית ופשוטה, ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה תקוותי היא, שספר זה ישמש מורה-דרך לכם הסטודנטים ויוביל אתכם להצלחה גיא סלומון gu@goolcoil
תוכן 5 7 4 7 0 4 7 4 5 46 47 49 54 55 56 57 58 59 6 65 7 7 74 76 79 8 8 85 87 פרק - פונקציה ממשית פרק - גבול של פונקציה פרק - רציפות של פונקציה, משפט ערך הביניים פרק 4 - גזירות של פונקציה, הגדרת הנגזרת פרק - 5 חישוב נגזרת של פונקציה פרק - 6 חישוב נגזרת של פונקציות מיוחדות פרק - 7 בעיות משיקים פרק - 8 כלל לופיטל פרק - 9 חקירת פונקציה פרק - 0 חקירת פונקציה ("שאלות מסביב" והוכחת אי שוויונים) פרק - מינימום ומקסימום מוחלטים לפונקציה פרק - בעיות מקסימום ומינימום פרק - פתרון משוואות (משפט ערך הביניים, משפט רול, משפט ניוטון רפסון) פרק - 4 משפט לגרנג' פרק - 5 טורי טיילור/מקלורן פרק - 6 אינטגרלים מיידיים פרק - 7 אינטגרלים בשיטת "הנגזרת כבר בפנים" פרק - 8 אינטגרלים בשיטת אינטגרציה בחלקים פרק - 9 אינטגרלים בשיטת ההצבה פרק - 0 אינטגרלים של פונקציות רציונליות (פירוק לשברים חלקיים) פרק - אינטגרלים טריגונומטריים והצבות טריגומומטריות פרק - האינטגרל המסויים (כולל אי שוויונים עם אינטגרלים וסכום רימן) פרק - שימושי האינטגרל המסויים (חישוב שטח ואורך קשת) פרק 4 - שימושי האינטגרל המסויים (חישוב נפח ושטח מעטפת) פרק - 5 אינטגרלים לא אמיתיים פרק - 6 פונקציות של מספר משתנים, גבולות ורציפות פרק 7 - נגזרות חלקיות, דיפרנציאביליות פרק - 8 כלל השרשרת בפונקציות של מספר משתנים פרק - 9 פונקציות סתומות, שימושים גיאומטריים פרק - 0 קיצון של פונקציה של שני משתנים (רגיל) פרק - קיצון של פונקציה רבת משתנים (מתקדם), שיטת הריבועים הפחותים פרק - קיצון של פונקציה של שני משתנים תחת אילוץ (כופלי לגרנג')
4 89 9 9 96 98 00 04 07 09 פרק - קיצון של פונקציה של שלושה משתנים תחת אילוצים (כופלי לגרנג') פרק - 4 קיצון של פונקציה בשני משתנים בקבוצה סגורה וחסומה פרק - 5 אינטגרלים כפולים פרק - 6 שימושי האינטגרל הכפול פרק 7 - אינטגרלים משולשים ושימושיהם פרק - 8 אינטגרלים קויים ושימושיהם פרק - 9 שדות משמרים; אי תלות במסלול פרק - 40 משפט גרין נספח - דפי נוסחאות הערה חשובה מאוד את בחינות הגמר של הקורס מעשר השנים האחרונות ניתן למצוא בדף הבית של פרופ' יעקובוב http://wwwmathtauacil/~akubov/shitothtml חשוב מאוד לעיין בבחינות כדי לעמוד על מבנה הבחינה וכדי לדעת מהם הנושאים עליהם שמים דגש בקורס זאת ועוד, מומלץ בתום כל נושא לפתור את השאלות הרלוונטיות בבחינות הגמר למשל, הנושא חקירת פונקציה (פרק 9) מופיע בכל בחינת גמר מייד עם סיום לימוד החומר בכיתה גשו לספר התרגילים ופתרו את הפרק המתאים לידיעתכם, הרוב המוחלט של השאלות המופיעות בבחינות הגמר מופיע בחוברת התרגילים, ייתכן כמובן עם שינויים בניסוח
5 תרגילים פרק פונקציה ממשית () מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות: 4 4 ( ( 4 ( 4 (6 (5 (4 (9 (8 (7 e log ( log ( ln (0 cot 4 (5 tan 0 (4 log ( 4) ( arccos( ) (8 arcsin( 4) (7 arctan( 4) (6 4 () נתונות הפונקציות הבאות: h( ), g( ), f ( ) 4 חשב את הפונקציות המורכבות הבאות: h( h( )) (6 f ( f ( )) (5 h( f ( )) (4 f ( g( )) ( h( g( f (5))) ( f ( g()) ( () בתרגילים הבאים הוכח שהפונקציה הנתונה היא חח"ע בתחום הגדרתה ומצא את הפונקציה ההפוכה לה בנוסף מצא את התמונה של הפונקציה f ( ) 4 ( 0) (4 f ( ) ( f ( ) ( f ( ) ( (4) מצא איזה מבין הפונקציות הבאות הן אי זוגיות ואיזה זוגיות: (4 ( 4 0 ( 4 ( sin cos (8 ln (7 (6 sin (5 (5) מצא את המחזור של כל אחת מהפונקציות הבאות: sin (4 tan ( 5 sin(4 ) ( sin ( * (6) רשום כל אחת מהפונקציות הבאות כפונקציה מפוצלת ושרטט את גרף הפונקציה (4 ( ( ( * יש הקוראים לפונקציה "מפוצלת", פונקציה "מוטלאת" או פונקציית "תפר" או פונקציה "לפי מקרים"
6 פתרונות פרק (), (5 או (0 k (5 4 0,, (4 (9 k (4 0 0 ( כל (8 כל 0 ( 0 (8 ( או (7 ( כל 5 (7 ( כל 4 (6 0 ( (6 כל () 4 4 (6 8 (5 (4 4 ( 4 ( ( (), f ( ) (, f ( ) (, כל f ( ) ( 4, f ( ) 4 (4 (4) זוגיות,,5,8 אי זוגיות,4 כלליות 6,7 (5) (4 ( ( ( (6) ( ( 0 (4 ( 0
7 תרגילים פרק גבול של פונקציה () חשב את הגבולות הבאים (הצבה): lim 0 (4 lim ( lim ( lim ( 00 0 4 () חשב את הגבולות הבאים (צמצום/פירוק לגורמים): n 7 50 6 lim (4 lim ( lim ( lim ( 5 5 9 () חשב את הגבולות הבאים (כפל בצמוד): 6 lim (4 lim ( lim ( lim ( 6 5 lim (7 lim (6 lim (5 4 4 sin (4) חשב את הגבולות הבאים (היעזר בגבול הטריגונומטרי ): lim 0 cos sin( ) sin( ) lim ( lim ( lim ( 0 sin 0 sin(4 ) 0 4 sin cos tan sin cos lim (6 lim (5 lim (4 0 0 0 cos sin sin cos( cos ) lim (9 lim (8 lim (7 0 0 0 4 (5) חשב את הגבולות הבאים (פונקציה השואפת לאינסוף): ( ) 4 lim (4 lim ( lim ( lim ( ( )( 5) ( ) 0 ln lim e (8 lim (ln ) ln (7 lim ln( ) (6 lim (5 0 0 0 lim ln cot ( lim ( lim (0 lim (9 0 0 0 0
8 (6) חשב את הגבולות הבאים ( שואף לאינסוף): 4 lim ( lim arctan e ( lim e ( 000 ln 4 4 5 6 6 6 lim (6 lim (5 lim (4 5 0 0 0 6 9 5 lim (9 lim (8 lim (7 4 6 6 4 6 7 lim ( lim ( lim (0 4 4 4 5 0 4 49 49 6 4 lim (5 lim (4 lim ( 8 8 05 05 4 4 6 4 0 lim e (8 lim ln 5 k 4 (7 lim (6 000 4 a 6 lim 5 ( lim 5 (0 lim sin (9 5 b 0 lim (4 lim ( lim ( lim 4 lim a b (6 ( ) (5 (7) חשב את הגבולות הבאים (העזר בגבול של אוילר :( lim lim e 0 lim ( lim ( lim ( 0 lim sin (6 lim (5 lim (4 0 4 4 lim tan (9 lim (8 lim 4 (7
9 (8) חשב את הגבולות הבאים (בעיקר על ידי שימוש בכלל הסנדוויץ'): sin cos( ) sin lim ( lim ( lim ( 4 cos sin lim cosln (6 lim sin (5 lim (4 0 0 cos arctan( ) lim (9 lim 4 (8 lim (7 4 arctan( ln ) lim (0 0 ( lim f ( של הפונקציות הבאות (גבול של פונקציה מפוצלת): a (9) חשב את הגבול sin 4 0 a f ( ) ( a 0 f ( ) ( 4 e 0 a f ( ) (4 a 0 f ( ) ( a f ( ) (5 הערה חשובה מאוד! במרבית קורסי החדו"א לומדים בהמשך את כלל לופיטל לחישוב גבולות (ראה פרק 8) בעזרת כלל זה ניתן לחשב ללא מאמץ את הגבולות המופיעים בשאלות, ו- 4
0 פתרונות פרק 40 (4 ( ( ( n (4 6 ( ( ( 0 5 85 6 (7 (6 (5 (4 ( 4 ( ( 4 6 8 (9 4 (8 (7 (6 (5 (4 ( ( ( 8 4 4 0 (9 (8 (7 (6 (5 (4 ( ( ( ( ( (0 (9 (8 (7 5 (6 0 (5 (4 4 ( ( 0 ( e (8 ln (7 (6 (5 4 (4 0 ( 05 ( ( 5 (0 ab 9 5 (6 / (5 / (4 / ( k / ( 5 ( (**) (0 0 (9 0 e (9 e (8 e (7 e (6 e (5 e (4 e ( ( e ( (9 4 (8 075 (7 0 (6 0 (5 (4 075 ( 0 ( 0 ( () () () (4) (5) (6) (7) (8) 0 (0 (9) (5 (4 ( ( 4 ( (**) בשאלה 6 תרגיל 0 יש להפריד לשלושה מקרים: a lim 5 b 0 (I b lim a 0, b 0 (II lim a 0, b 0 (III
תרגילים פרק רציפות ומשפט ערך הביניים רציפות * () בדוק את רציפות הפונקציות הבאות ב"נקודת התפר" שלהן: (בסעיפים ו- 4 שרטט את גרף הפונקציה) sin 0 sin 4 0 f ( ) 0 ( f ( ) ( e e 0 4 0 f ( ) (4 f ( ) ( 5 sin 0 0 ( ) f (6 f ( ) (5 * נקודת התפר היא הנקודה בה נוסחת הפונקציה משתנה למשל, נקודת התפר בתרגיל היא 0 : () מה צריך להיות הערך של הקבוע k על מנת שהפונקציות הבאות תהינה רציפות לכל k f ( ) ( f ( ) ( 5k 6 k k 0 5 f ( ) (4 f ( ) ( 0 k הערה: על סעיף 4 תוכל לענות רק אחרי שתלמד את כלל לופיטל (פרק 8)
b על מנת שהפונקציות הבאות תהינה רציפות ( )מה צריך להיות הערך של הקבועים a בתחום הגדרתן: ו- a a b 0 sin f b f a a 4 a cos a( ) ( ) ( ( ) 0 ( e ( ) ln( ) b 0 f ( ) a b (4 f ( ) ( a 0 ( ) 4 הערה: על סעיפים ו- 4 תוכל לענות רק אחרי שתלמד את כלל לופיטל (פרק 8) (4) עבור כל אחת מהפונקציות בשאלה () רשום עבור כל נקודת אי רציפות מאיזה סוג היא (5) הוכח או הפרך: סכוםשתי פונקציות לא רציפות הוא פונקציה לא רציפה הפרש שתי פונקציות לא רציפות הוא פונקציה לא רציפה מכפלת שתי פונקציות לא רציפות היא פונקציה לא רציפה 4 מנתן של שתי פונקציות לא רציפות היא פונקציה לא רציפה רציפה ו- g לא רציפה האם f רציפה? הוכח את טענתך g (6) ידוע ש- f
משפט ערך הביניים (של קושי) (7) צטט את משפט ערך הביניים של קושי והסבר אותו גרפית (8) הוכח שלמשוואות הבאות יש לפחות פתרון אחד: 05sin 7 ( ln ( 4 0 ( b c d (9) הוכח שלמשוואה 0 יש לפחות פתרון אחד (0) הוכח שלמשוואות הבאות יש לפחות שני פתרונות: 4 5 0 ( e 5 0 ( () תהי f פונקציה רציפה לכל המקיימת: f (0), f () הוכח שלמשוואה f ( ) sin 4 יש לפחות פתרון אחד יש פתרון 0 () מצא קטע שאורכו אינו עולה על יחידה אחת בו למשוואה f ( ) () נגדיר א חשב () f f (0), (, ) ב האם ניתן להסיק לפי משפט ערך הביניים שלמשוואה 0 יש פתרון בקטע פתרונות פרק, 0, לא רציפה k 4 ( k ( רציפה (4 רציפה (5 ) לא רציפה ) לא רציפה 6) רציפה בנק' לא רציפה בנק' רציפה בנק': ( () a, b או a, b ) סליקה ) סליקה 5 ) מסוג (4) ( a 0, b ( () a e /, b e / (4 k () בנקודה (4 k a e, b e ( ( f (0), f () 5 ב לא () ראשון 6 ) סליקה 0,() א
4 תרגילים פרק 4 גזירות של פונקציה, הגדרת הנגזרת () א תאר שתי דרכים שונות לבדיקת גזירות של פונקציה מפוצלת בנקודת הפיצול (תפר) שלה השתמש בבפונקציה מסעיף ב שלהלן כדי להדגים שתי שיטות אלה בנוסף, הסבר מתי עליךלהשתמש בכל אחת מהשיטות שתיארת ב בדוק גזירות הפונקציות הבאות בתחום הגדרתן בכל דרך שתבחר בנוסף רשום נוסחה עבור הנגזרת של כלאחת מהפונקציות 5 4 f ( ) ( f ( ) ( 4 4 ln( ) 05 0 8 f ( ) (4 f ( ) ( 0 f f ( ) (6 ( ) 4 (5 sin 0 sin 0 f ( ) (8 f ( ) ( 7 0 0 0 0 () f ( ) a נתונה הפונקציה א עבור איזה ערך של הקבוע a הפונקציה רציפה בנקודה ב עבור ערך ה- a שקיבלת בסעיף א בדוק על פי הגדרת הנגזרת האם הפונקציה הנתונה גזירה בנקודה () 0 f ( ) ( ) 0 נתונה הפונקציה א האם הפונקציה רציפה? ב בדוק על פי הגדרת הנגזרת האם הפונקציה הנתונה גזירה בנקודה
5 (4) עבור איזה ערכים של הקבועיםa ו- b יהיו הפונקציות הבאות גזירות בנקודת התפר עבור ערכים אלה, רשום נוסחה עבור הנגזרת e 0 ln 0 e f ( ) ) f ( ב) א) a b a b e (5) חשב על פי הגדרת הנגזרת את נגזרות הפונקציות הבאות: f f f ( ) sin 4 ( ( ) ( ( ) 4 ( f ( ) 0 (6 f ( ) ln (5 f ( ) e (4 * בתרגיל זה אסור להשתמש בכלל לופיטל f (6) חשב את (0)' עבור כל אחת מהפונקציות הבאות: f ( ) ( )( )( ) ( 44) ( f ( ) ( ) ( 0 4 sin ( 4) ( tan ) cos( sin ) f ( ) ( 0 ( ) ( 0) z(0),lim z( ) 4 : נתון f ( ) z( ) (4 0 f 4 ( ) sin(0 ) (5 (7) בדוק האם הפונקציה משאלה () סעיף 4) גזירה פעמיים בנקודה 0 (8) הוכח או הפרך (אם הטענה נכונה, הוכח אותה אם לא הבא דוגמה נגדית לטענה): 0 f g h אינה גזירה ב- g גזירה ב-, ו- 0 א אם h 0 אינה גזירה ב- אז 0 f g h, ו- g 0 ב אם h אינה גזירה ב- אינה גזירה ב- 0 אז אינה גזירה ב- 0 f g h, ו- g 0 ג אם h אינה גזירה ב- 0 אינה גזירה ב- אז אינה גזירה ב- 0 f g h, ו- g 0 ד אם h גזירה ב- אינה גזירה ב- 0 אז אינה גזירה ב-
6 פתרונות פרק 4 () 5 4 f '( ) ( f '( ) ( 05 0 8 f '( ) (4 f '( ) ( 0 8 0 4 f '( ) (6 f '( ) (5 4 0 4 sin cos 0 sin cos 0 f '( ) (8 f '( ) (7 0 0 0 0 לתשומת לבך! בתחומים בהם קיימת נוסחה לנגזרת, הפונקציה גזירה בנקודות בהן הנגזרת לא קיימת הפונקציה לא גזירה למשל, בסעיף הפונקציה גזירה עבור ) לא גזירה a (() ) רציפה ) לא גזירה () ב) a e, b 0 (4) א) a / e, b (5) f '( ) 4cos 4 ( f '( ) ( f '( ) 4 ( ( ) f '( ) (6 f '( ) (5 f '( ) e (4 0 0 (5 4 (4 04 0 ( ( 44! ( (6) (7) לא גזירה פעמיים
7 תרגילים פרק 5 גזירה של פונקציה () גזור פעמיים את הפונקציות הבאות (בסעיפים 7-9 גזור פעם אחת): 5 6 4 f ( ) ( f ( ) ( f ( ) ( ( ) 0 f ( ) (6 f ( ) (5 f ( ) (4 ( ) 4 ln ln f ( ) ln (9 f ( ) (8 f ( ) (7 f f f ( ) ln ln ( ( ) ln ( ( ) ln (0 f ( ) ( ) e (5 f ( ) e (4 f ( ) ln ( ln ( ) (8 ( ) (7 ( ) (6 f f f e f f f 4 ( ) cos( ) ( ( ) sin( ) (0 ( ) ( ) (9 f f f ( ) ln(cos ) (4 ( ) tan( ) ( ( ) sin ( sin f f f ( ) (7 ( ) arctan( ) (6 ( ) arcsin ( ) (5 f ( ) cos (9 f ( ) sin (8 ln
8 פתרונות פרק 5 ( ( 0 6 448 8 4 f '( ), f ''( ) f '( ), f ''( ) ( 0) ( 0) 4 (4 ( ( ) 4 ( 4) 4 4( ) f '( ), f ''( ) f '( ), f ''( ) 4 ( 4) ( 4) ( ) ( ) (6 (5 6( ) ( )( ) ( ) 6 f '( ), f ''( ) f '( ), f ''( ) 4 5 4 ( ) ( ) ( ) ( ) (8 (7 ln ln 8 ln ln f '( ), f ''( ) f '( ), f ''( ) 5 5 4 (0 (9 f '( ) (ln ), f ''( ) ln f '( ) ln, f ''( ) ( ( ln f '( ) (ln ), f ''( ) f '( ), f ''( ) ( ) (4 ) ( 4 5 4 ln ) (ln ) (ln ) (ln ) f '( ), f ''( ) 4 (ln ) (ln ) (5 5 f '( ) e, f ''( ) e 4 (4 f '( ) e, f ''( ) e 4 (6 f '( ) e ( 4 ), f ''( ) 4 e ( 4 ) (7 f '( ), f ''( ) 4 9 (8 f '( ), f ''( ) 5/ ( ) ( ) (9 5 5 f '( ), f ''( ) 9 4 (0 4 f '( ) cos( ), f ''( ) 9 sin( ) 6cos( )
9 ( 4 6 4 4 f '( ) sin( ) 4, f ''( ) 6 cos( ) sin( ) ( f '( ) sin cos, f ''( ) 6sin cos sin ( cos ( ) 8 cos( )sin( ) f '( ), f ''( ) 4 cos ( ) cos ( ) (4 4 f '( ) tan( ), f ''( ) tan( ) cos ( ) (5 f '( ), f ''( ) / (7 (6 4 sin 6 '( ) sin f cos ln( ) f '( ), f ''( ) 4 4 (9 ln ln(cos ) f '( ) cos tan ln (8 f '( ) sin ln(sin ) cot
0 תרגילים פרק 6 נגזרות של פונקציות מיוחדות נגזרת הפונקציה ההפוכה () הוכח, בעזרת כלל הנגזרת של הפונקציה ההפוכה, את הנוסחאות הבאות: arctan ' ( arcsin ' ( ' ( נגזרות מסדרים גבוהים, נוסחת לייבניץ ( n, f של הפונקציות הבאות: ) ( ) () חשב את הנגזרת ה-, n 4 ( )( ) a (4 ( ( ( (0) () חשב את הנגזרת העשירית,, של הפונקציות הבאות: e sin 5 ( ( נגזרת של פונקציה סתומה (4) גזור את הפונקציות הסתומות הבאות ומצא את ' : 5 sinh ( 4 ln 0 ln ( ( (6 (5 0 (4 מצא את ערך '' בנקודה (5) נתונה פונקציה סתומה 0 נגזרת של פונקציה הנתונה בצורה פרמטרית (6) חשב את הנגזרת הראשונה והשנייה של הפונקציות הבאות הנתונות בצורה פרמטרית ( t) t cos t ( t) t sin t ( ( ( t) t ( t) t cos t g() נגזרת של פונקציה מן הצורה h() (7) גזור את הפונקציות הבאות: sin f ( ) cos ( f ( ) ( f ( ) sin ( ln
פתרונות פרק 6 ( n) n n n n 6 ( n) n n n () ( n) n n ( ) n!( a) ( ( n) n n n ( ) n! 5( ) 7( ) ( ( ) n! ( ) ( ) ( ) ( ' ( ) ( ) '' ( ) ( ) ( ) n! ( ) ( ) n (4 (0) (0) 0 0 9 9 () e e 0 456 0 6 ( sin 5 5 sin 5 65 cos5 54 5 sin 5 45 cos5 ( (4) ( cosh ) 4 ' ( ' ( ' ( 4 ( cosh ) (0 ) 5 ln ( ) ' (6 ' (5 ' (4 ln ln, 8 (5) (6) cost t sin t '( ) cost ( sin t tcos t)( cos t) sin t(cost tsin t) ''( ) ( cos t) t '( ) cos t t sin t (cos t t sin t) t( sin t t cos t) ''( ) (cos t tsin t) ( ( (7) ראה פתרון שאלות 7-9 בפרק 6
תרגילים פרק 7 בעיות משיקים (המשמעות הגיאומטרית של הנגזרת) b ואת נקודת ההשקה b ואת נקודת ההשקה ) f ( מצא את () הישר b משיק לגרף הפונקציה e () הישר 4 b משיק לגרף הפונקציה f ( ) מצא את ( f ( מצא את b ואת נקודת ההשקה () הישר משיק לגרף הפונקציה b c ו- a את מצא בנקודה 0 g( ) (4) הישר a משיק לגרף הפונקציה c (5) מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f ( ) ln בנקודה e (6) מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f ( ) בנקודה 0 בנקודה 4) (, (7) מצא את משוואת המשיק למעגל 5 k ו- k משיקות זו לזו מצא את ואת נקודת ההשקה (8) הפונקציות (9) מצא את נקודת ההשקה ואת משוואת המשיק לגרף העקומה העובר דרך הנקודה הנתונה (,) (, ) א) ב) (0) מצא את משוואת המשיקים המשותפים לפונקציות הבאות: 4 5 ו- g( ) f ( ) () מצא את הזווית בין הפונקציות ו- () מצא את הזווית בין המעגל 8 והפרבולה נחתכות בזוית ישרה () הוכח שהאליפסה 8 וההיפרבולה
פתרונות פרק 7 ומשוואת המשיק היא (0,) () נקודת ההשקה היא 4 9 ומשוואת המשיק היא (,5 ( () נקודת ההשקה היא ו- = 4 b (4,) () נקודת ההשקה היא ) (0, ומשוואת המשיק היא 8 ( 4 )נקודת ההשקה היא (5) משוואת המשיק היא e ( 6 )משוואת המשיק היא 5 4 4 (7) משוואת המשיק היא, נקודת ההשקה (,) k 5 (8) 6 5, (4,9),, (0,) 9) א) ( ב) המשיק: (9,), 6, (0) 757 () 756 ()
4 () חשב את הגבולות הבאים: תרגילים פרק 8 כלל לופיטל n 50 6 lim ( lim ( lim ( 5 5 9 7 4 5 lim (6 lim (5 lim (4 4 4 e lim (9 lim (8 lim (7 0 e e a b lim ( lim ( lim ( a, b 0) (0 0 0 0 ln lim (5 lim (4 lim ( ln ( ) ln 0 sin( a) sin( a ) tan lim (8 lim (7 lim (6 0 0 sin( b) b 0 sin cos tan sin sin lim ( lim (0 lim 0 0 0 (9 sin sin( ) e sin ( ) cos( cos ) lim (4 lim ( lim ( 0 4 0 0 4 arctan( ) ln(cos ) lim tanh (7 lim (6 lim (5 0 0 4 arcsin( 4 ) cosh sin lim (0 lim (9 lim 0 sinh 0 cos (8 lim (ln ) ln ln e ( lim ( lim ( e
5 lim e e ln(sin ) (6 lim (5 lim (4 0 0 ln(tan ) lim 0 tan (9 lim (8 lim ln (7 ln e lim ( 9) ln( ) (4 lim ln (4 lim( cos ) cot (40 0 0 5 lim (45 lim (44 lim ln (4 0 sin lim (48 lim ln( ) ln(sin 5 ) (47 lim (46 0 ln lim ( a) ( a 0) (5 lim (50 lim (49 0 sin lim (54 lim (5 lim ( 0 4) (5 4 tan lim(cos ) (57 lim (56 lim( tan ) (55 0 0 0 cot tan tan lim( ) (60 lim (59 lim (sin ) (58 0 0 0 sin cot tan lim (6 lim ( ) (6 lim ( sin ) (6 0 0 0
6 () כל אחד מהגבולות הבאים הוא מן הסוג לופיטל אינו ישים, לבסוףחשב את הגבול הראה זאת והסבר מדוע למרות כך, כלל sin 6 4 lim ( lim ( lim ( 4 4 cos פתרונות פרק 8 () 5 0 5 (7 (6 (5 4 (4 n ( ( ( 6 6 7 6 a (4 ( ( ( ln (0 (9 (8 6 b a a ( (0 (9 (8 (7 (6 (5 6 b b (8 (7 (6 (5 (4 ( ( 4 8 0 (5 (4 0 ( ( ( (0 (9 0 (4 0 (4 0 (40 0 (9 0 (8 0 (7 ( 6 (49 ln (48 05 (47 0 (46 5 (45 6 (44 0 (4 5 (56 e (55 (54 (5 (5 e (5 (50 / / (6 e (6 (6 (60 e (59 e (58 e (57 e /6 (65 e (64 () 075 ( 05 ( (
7 תרגילים פרק 9 חקירת פונקציה () חקור את הפונקציות הבאות חקירה מלאה לפי הפירוט הבא:תחום הגדרה ורציפות, נקודות ** * חיתוך עם הצירים, זוגיות, אסימפטוטות אנכיות,אופקיות ומשופעות, נקודות קיצון, תחומי *** עליה וירידה, נקודות פיתול, תחומי קמירות וקעירות, גרף f f f ( ) ln ln ( 4 ( ) ( ( ) ( ( ) ( 9) ( f ( ) (6 f ( ) (5 f ( ) (4 ( ) 4 ( ) 4 f ( ) (9 f ( ) (8 f ( ) (7 4 ( )( 5) f ln ln f ( ) ( f ( ) ( f ( ) (0 5 f ( ) ln (4 f ( ) ln ( f ( ) e (8 f ( ) ln (7 f ( ) 4ln 4ln (6 ln f ( ) e ( f ( ) ( ) e (0 f ( ) e (9 f ( ) (4 f ( ) ( ) ( f ( ) ( f ( ) arctan (7 f ( ) (6 f ( ) (5 f f f ( ) 8cos cos (0 ( ) cos sin (9 ( ) arcsin(sin ) (8 0 0 הערות: * בשאלה 7 אין צורך למצוא חיתוך עם ציר בשאלה 8 מצא את החיתוך רק לאחר השרטוט **בתרגילים,,8,9,0 אין צורך למצוא אסימפטוטות (וגם אין) ***בתרגילים 9,7 אין צורך למצוא נקודות פיתול אלא אם כן למדתם ניוטון רפסון בתרגיל 8 אין צורך למצוא נקודות פיתול אלא אם כן למדתם לפתור משוואה ממעלה שלישית
8 פתרונות פרק 9 () ( ( (4 ( (6 (5 (8 (7
9 (0 (9 ( ( (4 ( (6 (5
0 (8 (7 (0 (9 ( ( (4 (
(6 (5 (8 (7 (0 (9
תרגילים פרק 0 חקירת פונקציה "שאלות מסביב" a ידוע שהנקודה f ( ) a () א) נתונה הפונקציה נקודת קיצון מצא את הקבוע ) f ( ידוע שהנקודה ) (, a b ב) נתונה הפונקציה נקודת קיצון a a, b ידוע שהנקודה f ( ) a מצא את הקבועים ג) נתונה הפונקציה נקודת פיתול מצא את הקבוע ) f ( ידוע שהנקודה ) (, נקודת פיתול a b ד) נתונה הפונקציה a, מצא את הקבועים b הוא f ( ) a ה) נתונה הפונקציה שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה מצא את a ( f ( שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה (,9) הוא a b ו) נתונה הפונקציה a, מצא את b 4 f ( ) a 6 ז) נתונה הפונקציה ידוע שהישר אסימפטוטה לגרף הפונקציה מצא את a 05 a f ( ) 4 ח) נתונה הפונקציה הפונקציה מצא את ידוע שהישר אסימפטוטה לגרף a f ( ) 4 a 6 ט) נתונה הפונקציה ידוע שהישר אסימפטוטה לגרף הפונקציה מצא את a
() לפניך גרף הפונקציה f ( ) א ב ג ד ה ו ז ח מהו מספר הפתרונות של המשוואה f ( ) 5 מהו מספר הפתרונות של המשוואה f ( ) מהו מספר הפתרונות של המשוואה f ( ) 05 יש בדיוק פתרון אחד ( f ( k עבור איזה ערך של k למשוואה יש בדיוק שני פתרונות ( f ( k עבור איזה ערך של k למשוואה יש בדיוק שלושה פתרונות ( f ( k עבור איזה ערך של k למשוואה אין פתרון ) f ( k האם קיים ערך של k עבורו למשוואה מצא את התחומים בהם הפונקציה היא חח"ע (-,) (,-) () הוכח את אי השוויונים הבאים לגבי התחום הרשום לידם: 4 0 sin ( 8 6 ( 0 ln( ) (4 0 ( פתרונות פרק 0 a ב) b 6, a 4 ג) a () א) a, b a ד) b, a ה) ו) a 7 a 05 ז) a 8 ח) ט) ג) ב) ( ) א ( k k k ד) k או ה) ו) ח) או או לא ז)
4 תרגילים פרק מקסימום ומינימום מוחלטים של פונקציה () מצא את נקודות המינימום המוחלט והמקסימום המוחלט של הפונקציות הבאות בתחומים הרשומים לידן (אם יש כאלה): 7 f f ( ) 4 5 ( ( ) ( 4 f f ( )( ) / ( ) (4 0 ( ) (0 ) ( 5 f ( ) (6 5 f ( ) 9 (5 f ( ) 9 (7 () הוכח את אי השוויונים שמימין לגבי התחום הרשום בסוגריים משמאל ( ) 0 e ( ( 0 ) e ( (לכל ( e 7 e ( פתרונות פרק () מינימום מוחלט, (,9) מקסימום מוחלט (, 7) ( (,) מינימום מוחלט, (5,0) מינימום מוחלט, מקסימום מוחלט (,0) ( מינימום מוחלט, (48,8) מקסימום מוחלט (0,0) מינימום מוחלט, 0) (0, ( מינימום מוחלט, (,) מקסימום מוחלט (5, 05) (4 מינימום מוחלט, (5,7 ( מקסימום מוחלט (,) (5 (4 (, מקסימום מוחלט אין מינימום מוחלט (6 7) אין מקסימום ואין מינימום הערת סימון: [ a, b) a b, a, b a b, a, b a b
5 תרגילים פרק בעיות מקסימום ומינימום הערה: בפרק זה, סומנו התרגילים הקשים יותר בכוכבית * בעיות בהנדסת המישור () בטרפז שווה-שוקיים (AB CD) ABCD אורך השוק D C הוא 4 ס"מ ואורך הבסיס הקטן הוא 6 ס"מ DEהוא הגובה מקדקוד D (ראהציור) מה צריך להיות אורך הקטע AE כדי ששטח הטרפז A E B יהיה מקסימלי? נתון מלבן ABCD נסמן ב- את אחת מצלעות () המלבן (ראה ציור) A B א) אם היקף המלבן הוא 60 ס"מ בטא באמצעות את שטח המלבן ב) אם היקף המלבן הוא p מצא מה צריכים להיות D אורכי צלעות המלבן כדי ששטחו יהיה מקסימלי C (הבע את אורכי הצלעות באמצעות ) p () נתון מלבן ABCD כך ש- 5 ס"מ = BC, AD = A P B 0 ס"מ = CD AB = על צלעות המלבן מקצים Q S קטעים : AP AQ CS CR (ראה ציור) מה צריך להיות ערכו של כדי ששטח D R C המקבילית PQRSיהיה מקסימלי?
6 E במשולש ישר זווית ( C 90 ) ABC סכום (4) A אורכי הניצבים הוא 8 ס"מ על היתר AB בונים ריבוע ABDE מה צריכים להיות אורכי הניצבים, D כדיששטח המחומש AEDBC יהיה מינימלי C B בחצי עיגול שרדיוסו 8 ס"מ חוסמים מלבן (5) D A 8 B C, ABCD כך שהצלע AB של המלבן מונחת על הקוטר, והקדקודים C ו- D מונחים על הקשת(ראה ציור) מה צריך להיות אורך הצלע AB כדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי? A במשולש ישר-זווית ( B 90 ) ABC, סכום (6) אורכי הניצבים הוא 0 ס"מ AD הוא תיכון לניצב BC (ראה ציור) B D C חשב מה צריכים להיות אורכי הניצבים, על מנת שריבוע אורך התיכון יהיה מינימלי 8 בחוברת פרסום, שטח כל עמוד הוא 600 סמ"ר רוחב השוליים בראש העמוד ובתחתיתו הוא 8 ס"מ, ורוחב השוליים בצדדים הוא ס"מ מצא מה צריך להיות האורך והרוחב של כל עמוד, (7) כדי שהשטח המיועד לדפוס יהיה מקסימלי (השטח המקווקו בציור)
7 (8) בריבוע ABCD הנקודות G, F, E נמצאות על הצלעות CF = CG, BE = BF בהתאמה, כך ש- DC, BC, AB (ראה ציור) A E B נתון כי האורך של צלע הריבוע הוא 6 ס"מ F א סמן ב- את BF ואת, BE והבע באמצעות את הסכום של שטחי המשולשים EBF ו- FCG (השטח המקווקו בציור) D G C ב מצא את שעבורו סכום שטחי המשולשים הוא מינימלי ב חשב את הסכום המינימלי של שטחי המשולשים E נתון ריבוע ABCD שאורך צלעו 0 ס"מ E היא נקודה * ( 9) A M N B כלשהי מחוץ לריבוע, כך שהמשולש DEC הוא שו"ש AB שוקי המשולש חותכים את הצלע (ED = EC) בנקודות M ו- N (ראה ציור) מצא מה צריך להיות אורך הקטע AM כדי שהסכום של שטחי המשולשים D C BNC, AMD, EMN יהיה מינימלי נתון מעגל שרדיוסו R במעגל זה חסום טרפז שו"ש, * ( 0) כך שהבסיס הגדול של הטרפז הוא קוטר במעגל (ראה ציור) מבין כל הטרפזים החסומים באופן זה, הבע באמצעות R מקסימלי את אורך הבסיס הקטן בטרפז ששטחו
8 O נתונה גזרה של רבע עיגול שמרכזו O ורדיוסו 0 ס"מ בונים מלבן,ABCD כך שרבע המעגל משיק לצלע DC * ( ) A D C B בנקודת האמצע שלה, והקודקודים A ו- B נמצאים על הרדיוסים התוחמים את הגזרה (ראה ציור) מבין כל האלכסונים של המלבנים ABCD שנוצרים באופן זה, מצא את אורך האלכסון הקצר ביותר A ABCDE הוא מחומש המורכב ממשולש ABE וממלבן EBCD (ראה ציור) * ( ) E B 4 ס"מ = AE AB =, נתון: ס"מ = BC מצא את השטח של המחומש ששטחו מקסימלי D C A מתבוננים בכל המשולשים ישרי הזווית ABC החוסמים חצי מעגל שרדיוסו R כמתואר בציור מהן זוויות המשולש שסכום הניצבים שלו הוא * ( ) B C מינימלי? 7 במעגל שרדיוסו R חסומים משולשים כך שהגודל של אחת הזוויות בכל אחד מהמשולשים הוא 5 מצא את הזוויות במשולש בעל ההיקף המקסימלי * ( 4)
9 בעיות בהנדסת המרחב (5) גובהו של "מגדל" הבנוי שמתי קוביות( לאו דווקא שוות) הוא 8 ס"מ מה צריך להיות אורך המקצוע ש הקובייה התחתונה כדי שנפח המגדל (סכום נפחי הקוביות) יהיה מינימלי? (6) בונים תיבה שגובהה ס"מ, ובסיסה ריבוע, שאורך צלעו ס"מ (ראה ציור), כך שההיקף של כל אחת מהדפנות הצדדיות שווה ל- ס"מ מה צריך להיות אורך צלע הבסיס כדי שנפח התיבה יהיה מקסימלי? (7) יש לבנות תיבה פתוחה מלמעלה, שבסיסה ריבוע ושטח פניה 75 סמ"ר ) במקרה זה שטח הפנים מורכב מבסיס אחד ומארבע פאות צדדיות) מכל התיבות שאפשר לבנות, מצא את ממדי התיבה (צלע הבסיס וגובה) שנפחה מקסימלי (8) יש להכין מחוט תיל "שלד" (מסגרת) של תיבה, שבסיסה ריבוע ונפחה 000 סמ"ק מהו האורך המינימלי של החוט הנחוץ ליצירת התיבה? (9) מחוט שאורכו a ס"מ יש לבנות מנסרה משולשת ישרה, שבסיסה הוא משולש שווה צלעות מצא איזה חלק מאורך החוט יש להקצות לצלע הבסיס ואיזה חלק לגובה כדי שיתקיים: א שטח המעטפת של המנסרה יהיה מקסימלי ב נפח המנסרה יהיה מקסימלי
40 מכל הפירמידות המרובעות, המשוכללות והישרות, * ( 0) שאורך המקצוע הצדדי שלהן הוא, a מצא את נפחה של הפירמידה בעלת הנפח המקסימלי מכל הפירמידות הישרות, שבסיסן ריבוע ושטח * ( ) הפנים שלהן הוא 00 סמ"ר, חשב את נפחה של הפירמידה בעלת הנפח המקסימלי () אלכסון החתך הצירי של גליל ישר הוא ס"מ (ראה ציור) מצא מה צריכים להיות גובה הגליל ורדיוס בסיסו כדי שנפחו יהיה מקסימלי () נתון מיכל גלילי פתוח מלמעלה שקיבולו 64 מ"ק המיכל עשוי כולו מפח הראה כי שטח הפח הוא 4 מינימלי כאשר רדיוס הבסיס הוא מטר (4) מבין כל החרוטים שאורך הקו היוצר שלהם הוא 0 0 ס"מ (ראה ציור), מהו נפח החרוט שנפחו מקסימלי?
4 בעיות בפונקציות וגרפים (5) מנקודה, A הנמצאת על גרף הפונקציה C A 5, מורידים אנכים לצירים כך שנוצר מלבן ABOC (ראה ציור) א מה צריכים להיות שיעורי הנקודה A כדי שהיקף O B המלבן יהיה מקסימלי? ב מה צריכים להיות שיעורי הנקודה A כדי שהיקף המלבן יהיה מינימלי? בפרבולה 9 חוסמים מלבן, ABCD כך שהצלע AB מונחת על ציר ה- (ראה ציור) (6) D A C B מה צריך להיות אורך הצלע CD כדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי? 9 טרפז ABCD חסום בין גרף הפרבולה (7) D A לבין ציר ה- (ראה ציור) א מה צריכים להיות שיעורי הנקודה A כדי ששטח C B הטרפז ABCD יהיה מקסימלי? ב חשב את השטח המקסימלי של טרפז ABCD
נתונה הפרבולה 4 ישר המקביל לציר ה- (8) B A חותך את הפרבולה בנקודות A ו- B (ראה ציור) מחברים את הנקודות A ו- B עם ראשית הצירים, O 0 א מה צריך להיות אורך הקטע AB כדי ששטח המשולש AOB יהיה מקסימלי? ב מהו השטח המקסימלי של המשולש? AOB A לפניך גרף של הפונקציה e וגרף של הישר e ישר המקביל לציר ה- חותך את (9) B הגרפים בנקודות A ו- B (ראה ציור) א מצא לאילו ערכי אורך הקטע AB יהיה מינימלי ב האם יש ערך של שעבורו אורך הקטע AB הוא מקסימלי? P Q נתונים הגרפים של שתי פרבולות :, 7 4 קו מקביל לציר ה- חותך את שתי הפרבולות בנקודות P ו- Q (ראה ציור) (0) מבין כל הקטעים המתקבלים באופן זה, מצא את האורך המינימלי של הקטע PQ
4 M נתון גרף הפונקציה על ציר ה- נתונה הנקודה (0,45)A (ראה ציור) מצא על גרף הפונקציה נקודה M, כך שריבוע המרחק () A(45,0) AM יהיה מינימלי f ( ) מצא על הישר 4 את הנקודה הקרובה () ביותר לנקודה (0,) בציור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות: g( ) 6 6, f ( ) מלבן חסום בין הגרפים של הפונקציות ובין ציר ה-, * ( ) כמתואר בציור מצא את השטח הגדול ביותר האפשרי למלבן שחסום באופן זה דרך איזו נקודה על הפרבולה צריך להעביר משיק, כדי ששטח הטרפז, הנוצר על ידי * ( 4) 0, המשיק והישרים: ו- 0 (השטח המקווקו שבציור) יהיה מינימלי?
44 נקודה B נמצאת על גרף הפונקציה ברביע * ( 5) הראשון A היא הנקודה (a,0) כאשר ידוע כי a 05 (ראה ציור) A א בטא באמצעות a את שיעורי הנקודה B, שעבורה B המרחק AB הוא מינימלי ב מצא עבור איזה ערך של a המרחק המינימלי הוא, ונתון משיק לפרבולה נתונה הפרבולה * ( 6) 6 בנקודה שמשוואתו היא 9 הפרבולה מעבירים משיק נוסף לפרבולה ) t ( t, שעל המשיקים נחתכים בנקודה M (ראה ציור) (t,t ) M א הבע את משוואת המשיק הנוסף באמצעות ב מצא את t שעבורו אורך הקטע, המחבר את t הנקודה M עם קודקוד הפרבולה יהיה מינימלי A(,) במערכת צירים נתונות הנקודות (,)A ו- (,)B ראשית הצירים היא בנקודה M O היא * ( 7) O M נקודה על ציר ה- בתחום 0< מה צריכים להיות B(,-) שיעורי הנקודה,M כדי שהסכום: OM + MA + MB יהיה מינימלי?
45 פתרונות פרק 75 cm () () א ) (0 ב כל צלע שווה ל- 05 p AE 7 cm () (7) אורך: 40 ס"מ B 6, BC 4 cm cm (6) AB cm (5) AC BC 4 cm (4) ב ב 9 סמ"ר (9) AM 5 / S 6 8 רוחב: 5 ס"מ (8) א 45, 45, 90 סמ"ר () () 4 5 cm () R (0) בסיס קטן = 4 ס"מ (7) צלע הבסיס: 5 ס"מ גובה: 5 4 ס"מ (6) (5),, 0 0 5 (4) 4 (0) 7 a 40 סמ"ק a 9 (4) a, a ב 6 4 48 0 ס"מ (9) ס"מ (8) גובה: א ס"מ רדיוס: ס"מ () סמ"ק 500 () A(,8) ב (7) CD (6) א 6) A(, ב 0) A(0, או A(5,5) א (5) PQ 4 (0) ב אין (9) S AOB א AB 4 ב 6 א (8) (05, 075) (4) 8 () (5, 05) () M (4, ) () t / 7 ב t t (6) א B( (a ) /,(a ב 45 (5) א ) / ) M (0845,0) (7)
46 תרגילים פרק פתרון משוואות (משפט ערך הביניים, מונוטוניות (משפט רול), ניוטון רפסון ( () הוכח שלמשוואות הבאות יש בדיוק פתרון אחד: 4 48 8 0 0 (4 05sin 7 ( ln ( 4 0 ( b ונתון כי ac () נתונה המשוואה a b c d 0 מהו מספר הפתרונות של המשוואה? הוכח את תשובתך () עבור כל אחת מהמשוואות הבאות מצא את מספר הפתרונות ופתור אותה e sin cos (4 ln( 5) 4 ( arctan 0 ( ( (4) תהי f פונקציה גזירה לכל המקיימת: f '( ), f (0), f () הוכח שלמשוואה f ( ) sin 4 יש בדיוק פתרון אחד (5) הוכח שלמשוואות הבאות יש בדיוק שני פתרונות: 4 8 ( 4 5 0 ( e 5 0 ( 4 (6) בכל אחת מהמשוואות הבאות מצא קשר בין הפרמטרים על מנת שלמשוואות יהיה בדיוק פתרון אחד (הנח שכל הפרמטרים שונים מאפס) a b c d a b c 0 ( 0 ( 4 ( 4, ) n n n n odd a b c d 0 (4 a cos( b) ( (7) פתור את המשוואות הבאות (סעיפים, בשיטת ניוטון רפסון): 4 4 48 8 0 ( 4 8 ( 7 6 0 ( פתרונות פרק 0 (4 4 ( 0 ( () פתרון יחיד( ) ( או ab ab ( 4b ac 0 ( b 4ac 0 ((6) b n anc n ( ) 4 ( 4) 0 (4 05576, 967 ((7) פתרון מדויק ) פתרונות מקורבים ( פתרון מקורב 08459
47 תרגילים פרק 4 משפט לגרנג' () הוכח את אי השוויונים הבאים בתחום הרשום לידם: b a b b a 0 a b ln ( b a a b a b a 0 a b b a ( b a b a b a 0 a b tan b tan a ( cos a cos b a b a b a b ( a b) e e e ( a b) e (4 b a b a 0 a b arctan b arctan a (5 b a b a b a 0 a b arcsin b arcsin a (6 a b b a a rcsinh( b) a rcsinh( a) b a 0 a b (7 b b a a b a b a 0 a b a rc tanh( b) a rc tanh( a) (8 a b n b a n n n b a 0 a b b b a a (9 nb n a b( b a) b a( b a) a b ln (0 b a a () הוכח את אי השוויונים הבאים בתחום הרשום לידם: 0 arctan ( 0 tan ( cos 0 a rc sinh( ) (4 0 arcsin ( 0 ln( ) (6 0 a rc tanh( ) (5 0 sin (8 0 e e (7 * 0 arctan ln( ) ( 0 0 tan 4 (9
48 () הוכח את אי השוויונים הבאים: cos cos ( sin sin ( * tan tan 8 sin sin ( 4 arctan arctan ( (4) הוכח את אי השוויונים הבאים: 5 ( ln ( 4 arcsin 06 (4 arctan ( 5 6 8 6 5 4 6 4 f '( ) 5 (5) א תהי ) f ( פונקציה גזירה לכל המקיימת f () 8 ידוע כי f (), f (4) 8 הוכח כי f '( ) 7 ב תהי ) f ( פונקציה גזירה לכל המקיימת 4 f () 0 ידוע כי f (), f (4) 8 הוכח כי * תרגיל סעיף 0 ותרגיל סעיף 4 עוסקים במשפט קושי שהוא הכללה של משפט לגרנג', ולפיכך רלוונטיים רק אם למדת משפט זה
49 תרגילים פרק 5 טור טיילור/מקלורן () מצא את הפיתוח לטור טיילור סביב 0 (טור מקלורן) של הפונקציות הבאות: * תוכל להיעזר בפיתוחים הידועים לטור מקלורן המופיעיםבנספח שבעמוד האחרון f f e f 4 ( ) sinh ( ( ) ( ( ) sin ( f f f ( ) (6 ( ) cos (5 ( ) sin (4 f f f ( ) arcsin (9 ( ) ln( ) (8 ( ) cos(4 ) (7 f ( ) ( f ( ) ( f ( ) (0 4 9 f ( ) (5 f ( ) (4 f ( ) ( f ( ) 9 4 5 7 (8 ( ) (7 ( ) (6 ( ) f f f ( ) ln ( f ( ) ln( ) (0 f ( ) ln( ) (9 f ( ) arctan( / ) (4 f ( ) ( f ( ) ln(5 ) ( ( ) הערות: לפתרון סעיפים 6,7 עליך להכיר את הנושא פירוק לשברים חלקיים לפתרון סעיפים 8,9,,4 עליך להכיר את הנושא גזירה ואינטגרציה של טורי מקלורן 0 () מצא את הפיתוח לטור טיילור סביב של הפונקציות הבאות: 0 f ( ) sin ( 0 f ( ) ( 0 f ( ) ln ( () מצא את ארבעת האיברים הראשונים, השונים מאפס, בפיתוח לטור מקלורן של הפונקציות הבאות (נדרש ידע בכפל וחילוק של פולינומים): sin f ( ) ( f ( ) tan ( f ( ) e cos ( e
50 (4) חשב את סכום הטורים הבאים: n n ( ) ( ( ( n! n! n! n n0 n0 n0 n n ( ) ( ) n (6 (5 (4 (n )! n n! n0 n0 n0 n n n ( ) ( ) ( ) (9 (8 (7 ( n ) n ( n)! n n0 n0 n0 (5) חשב את ערך הגבול בתרגילים הבאים: e sin ( ) arctan sin 6 lim ( lim ( lim ( 0 0 0 5 (6) חשב בשגיאה הקטנה מ- : 000 arctan 05 ( sin ( ( e (7) חשב בעזרת n איברים ראשונים (שונים מאפס) בפיתוח לטור מקלורן והערך את השגיאה בחישוב: n n n 4 ln5 ( cos 4 ( ( e א מהי השגיאה המקסימלית בקירוב sin עבור 6! עבור 00 ln( ) ב מהי השגיאה המקסימליתבקירוב 0 4 cos עבור! 4! (8) ג מהי השגיאה המקסימליתבקירוב sin! 5 7 arctan 5 7 בשגיאה הקטנה מ- 000 (9) א עבור אילו ערכי, ב עבור אילו ערכי, בשגיאה הקטנה מ- 00
5 (0) חשב בקירוב את האינטגרלים הבאים בשגיאה הקטנה מ- 0 0 ln( ) sin 000 ( 0000 d( d 0 0 05 cos 0000 ( d 0 נוסחת השארית של לגרנג', 0 0 f ( ) 64 () רשום את נוסחת טיילור מסדר שני לפונקציה סביב והערך את השגיאה בקירוב כולל שארית לגרנז' חשב בעזרת הנוסחה שקיבלת את 66 () רשום את נוסחת טיילור מסדר ראשון לפונקציה f ( ) tan סביב, 0 0 כולל שארית לגרנז' חשב בעזרת הנוסחה שקיבלת את tan 0 והערך את השגיאה בקירוב, 0 0 () רשום את נוסחת טיילור מסדר שני לפונקציה f ( ) 4 סביב כולל שארית לגרנז' חשב בעזרת הנוסחה שקיבלת את 5 והערך את השגיאה בקירוב, 0 6 f ( ) 4 (4) רשום את נוסחת טיילור מסדר שני לפונקציה סביב 4 והערך את השגיאה בקירוב כולל שארית לגרנז' חשב בעזרת הנוסחה שקיבלת את 5 הערה לגבי קירובים: אם מבקשים קירוב שהוא מדויק ל- n ספרות אחרי הנקודה, אז עלינו לדרוש, שהערך המוחלט של השגיאה יהיה קטן מ- 050 n למשל דיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה משמעותו שהערך המוחלט של השגיאה יהיה קטן מ- 050 00005 אני בספר לא השתמשתי בניסוח זה, אך יש המשתמשים בו
5 n ( n n0 (n )! n n (ln ) n! n0 (6 (9 n (n ) 4 n n פתרונות פרק 5 ( n0 n0 n n 4 ( ) n! n n ( ) ( n)! (5 n n (8 n ln 0 n n n n0 ( ) n n () ( (n )! n n ( ) n0 n ( n)! (4 n n ( ) n 4 ( n)! (7 n 4n 4 n n0 ( ( ) n n n0 (0 5 n n0 5 n ( ( ) 9 n0 n n n ( ( ) n0 n 9 n n (5 4 ( ) n 4 n n n0 (4 ( ) n0 n n n (7 n ( ) n n0 n (6 n0 n ( ) n n (9 ( ) n n n n (8 n0 n n ( n (0 n n0 n ( n ) n0 n ( 5 5 ln 5 n ( n n0 5 ( n ) (4 n ( ) n n ( ) n0 n
5 n0 n ( ) ( ) n! n ln 60 (9 5 0 ln (8 ( ( cos (7 / ( 47/9 ( 77 9 ( sin (6 4050 n0 n ( ) ( ) n 0 4 5 7 7 5 5 / 4 (5 n ( ( e (4 / ( / 60 ( n0 n ( ) ( ) n 0 n () ( () 4 6 5 ( 4 70 e 48 ( e ( בשגיאה הקטנה מ- ) בשגיאה הקטנה מ- בשגיאה הקטנה מ- 6 (0) / 6! ( (00) / ( (4) e ( (5) /0 ( (6) 5/44 ( 5 8 5 ( / 6) / 5! (7) ( (8) ( (9) 4 / 576 9 9 /00 ( ( 9 / 400 ( 5 / 5 449 / 50 5 9 66 בשגיאה הקטנה מ- 6655 04 ( (0) ( () tan 0 בשגיאה הקטנה מ- 970 0 () בשגיאה הקטנה מ- 5 4 5 64 () 4 806 (4) 5 בשגיאה הקטנה מ- 0 4096
54 תרגילים פרק 6 האינטגרל הלא מסויים (אינטגרל מיידי) חשב את האינטגרלים הבאים: 4 d ( d ( 4 d ( 0 4 d (6 d (5 d (4 4 ( ( ( )( ) (0 0 0 d (5 ( ) d (4 (4 ) d ( 5 4 ( ) 4 ( ) d (9 ( ) d (8 ( ) d (7 4 d d d 4 ( ) 0 d (8 d (7 4 0 d (6 d d d ( (0 (9 4 d d d 4 (4 ( ) ( ( 4 4 ( e e ) d (7 d (6 d (5 4 0 e 5 4 e d (0 d (9 e d (8 4 d ( d ( d 4 4 ( sin 4 cos d (6 sin d (5 cos 4 d (4 * בדוק תשובתך על ידי גזירה!
55 תרגילים פרק 7 האינטגרל הלא מסויים (הנגזרת כבר בפנים) חשב את האינטגרלים הבאים: d ( cot d ( d ( e d (6 d (5 tan d (4 e ln tan e e d (9 d (8 e d (7 cos cos(ln ) d d d sin ( cos(sin ) cos ( cos( ) 4 (0 d d d 4 (5 sin( ) (4 cos(0 ) ( ln(tan ) arctan ln d (8 d (7 d (6 cos cos ( (0 (9 sin d d d arctan ln d d ( 4 d ( * הערה: את האינטגרלים בפרק זה ניתן לפתור גם בעזרת שיטת ההצבה * בדוק תשובתך על ידי גזירה!
56 תרגילים פרק 8 האינטגרל הלא מסויים (אינטגרציה בחלקים) () חשב את האינטגרלים הבאים: d d e d 4 sin ( ln ( ( d d d sin 4 (5 cos (4 ( ) ln (4 4 ln d (8 ln d (7 e d (6 5 ln ( arcsin (0 arctan (9 ln arctan (4 d ( d ( cos ln d d (7 ln d (6 ln( ) d (5 d (0 e sin 4 d (9 e cos d (8 e ( ) 4 ( ) d tan d ( d ( 4 4 e d n א מצא נוסחת נסיגה עבור e d א מצא נוסחת נסיגה עבור א מצא נוסחת נסיגה עבור א מצא נוסחת נסיגה עבור באשר n טבעי ב חשב 4 cos d טבעי ב חשב n באשר cosn d 4 sin d טבעי ב חשב n באשר sin n d d טבעי ב חשב n באשר n d () () (4) (5) * בדוק תשובתך על ידי גזירה!
57 תרגילים פרק 9 האינטגרל הלא מסויים (שיטת ההצבה) () חשב את האינטגרלים הבאים (הצבות רגילות): 5 cos (ln ) d ( 4 d ( d ( e d (6 d (5 d (4 4 ln ln e d e d e d ( ) (9 (8 (7 d d d 4 4 ( ( ) ( cos( ) 4 (0 d d 8 (5 ln (4 d ( 4 d arctan ln (8 d (7 d (6 ln ln(ln ) d d ( d (0 arctan d (9 ( ) 7 4 e (4 ( cos(ln ) ( ( ) 5 d d d הערה:בחלק מהתרגילים, לאחר ההצבה, תידרש לאינטגרציה בחלקים * בדוק תשובתך על ידי גזירה!
58 תרגילים פרק 0 האינטגרל הלא מסויים (פונקציות רציונליות) () חשב את האינטגרלים הבאים: d 5 ( ( d ( d 4 4 4 5 6 5 d (5 d (4 d (4 8 0 6 4 6 ( ) ( ) 4 6 7 6 d (8 d (7 d (6 d 9 6 5 ( d (0 d (9 ( )( 4 4) 6 9 d (4 d ( d ( ( )( ) d (7 d (6 d (5 ( ) ( )( 4) ( )( ) 4 0 8 5 4 5 d (0 d (9 d (8 4 ( )( 4) 4 4 4 6 d ( ( ( 4 d d ( ) 4 () חשב את האינטגרלים הבאים: d d d ( ( ( 4 e d (6 d (5 d (4 e * בדוק תשובתך על ידי גזירה!
59 תרגילים פרק האינטגרל הלא מסויים (אינטגרלים טריגונומטריים והצבות טריגונומטריות) אינטגרלים טריגונומטריים (בעזרת זהויות בלבד) () חשב את האינטגרלים הבאים: ( d ( (sin 4cos ) d ( sin 0 cos 4 4 4 (sin cos ) d (6 cos sin d (5 cos sin d (4 (sin cos ) d (9 tan d (8 sin cos cos d (7 4 4 (sin cos ) d ( (cos cos sin sin ) d ( sin 7 cos 5 d (0 cos d (5 sin 4 d (4 cos d ( 4 4 sin d (8 cos d (7 sin 4 d (6 sin cos sin 5 sin cos d ( d (0 d (9 sin cos sin 4 sin cos cos sin 4 sin cos d (4 d ( d ( cos cos
60 אינטגרלים טריגונומטריים (בעזרת הצבה טריגונומטרית) זכור: sin t f ( sin ) cos d f ( t) dt ( arcsin t) cos t f ( cos ) sin d f ( t) ( arccost) dt () חשב את האינטגרלים הבאים: cos d ( (cos cos )sin d ( (sin sin )cos d ( 5 4 4 5 sin cos d (6 sin cos d (5 sin d (4 d d d cos 5 5 (9 tan (8 cos (7 sin d ( sin ( (0 cos 4cos 7 sin cos d e d אינטגרלים טריגונומטריים (בעזרת הצבה טריגונומטרית) זכור: t tan t t f sin, cos d f, dt t t t ( arctan t) () חשב את האינטגרלים הבאים: cos d d ( ( ( cos sin cos sin
6 אינטגרלים עם שורשים (בעזרת הצבה טריגונומטרית) f f f asint a d f acost acostdt a ( t arcsin ) a tant a a d f dt ( t arctan ) a cost cos t a asint a d cost f a tant a dt a cos t ( t arccos ) (4) חשב את האינטגרלים הבאים : 4 d ( d ( ( d d / ( 5) 4 4 4 d (6 (5 (4 4 d d (9 (8 6 d (7 d * בדוק תשובתך על ידי גזירה!
6 תרגילים פרק האינטגרל המסויים () חשב את האינטגרלים הבאים: 4 4 e d ( d ( ( 4 ) d ( 5 0 ln 4 e 4 cos 0 d (6 d (5 d (4 0 4 4 4 d (8 0 f ( ) כאשר 4 0 f ( ) d (7 () חשב את האינטגרלים הבאים: / 4 sin sin d ( d ( sin cos cos 4 4 0 0 () נתונה פונקציה רציפה f הוכח: a a f ( ) d f ( ) d a 0 א אם f זוגית אזי a a ב אם f אי-זוגית אזי f ( ) d 0 (4) חשב את האינטגרלים הבאים: 4 sin cos ( d ( 5 4
6 (5) הוכח את אי השוויונים הבאים: 4 d e d e ( 6 d 6 7 ( 4 ( 4 4 0 4 / 4 0 0 0 ln 0 d d e d (6 09 (5 e d (4 4 4sin 6 0 sin ln d d d 4 6 9 8 7 0 0 arctan (9 sin (8 (7 (6) חשב את הגבולות הבאים: 4 4 4 4 n lim n n ( n sin sin sin lim n n n n n ( lim ( n n n n n n n n lim (4 n n n n n lim (5 n n n n n n n n lim (6 n / n
64 (7) חשב את האינטגרלים הבאים על פי ההגדרה (של רימן): sin d ( d ( d ( d ( 0 0 0 0 * תוכל להיעזר בזהויות הבאות: n 05 n( n ) 6 n n ( n ) 4 sin sin sin sin sin n n n( n )(n ) n n sin
65 פרק שימושי אינטגרל המסוים (שטח ואורך קשת) חישוב שטחים נתונות שתי פונקציות: f ( ) 4 6 g ( ) 4 4 א מצא את נקודת החיתוך בין שתי הפונקציות () - ב מצא את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות, על ידי ציר ה- ועל ידי הישרים = ו- - = (השטח המקווקו בציור) 6 (ראה ציור) נתונה הפונקציה 5 א מצא את השיעורים של נקודת המקסימום של הפונקציה ב מהי משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה () בנקודת המקסימום שלה? ג מצא את השטח המוגבל על ידי המשיק בנקודת המקסימום, על ידי הצירים ועל ידי גרףהפונקציה (השטח המקווקו בציור) f ( ) ( ) נתונה הפונקציה ונתון הישר () 05 (ראה ציור) מצא את השטח 05 המוגבל על ידי גרף הפונקציה, הישר וציר ה- (השטח המקווקו בציור)
66 נתונות הפונקציות: f ( ) g( ) 8 הגרפים של הפונקציות נחתכים בנקודות A ו- B (4) B A (ראה ציור) 4 א מצא את שיעורי ה- של הנקודות A ו- B ב חשב את השטח ברביע הראשון המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות, על ידי ציר ה- ועל ידי הישר = 4 (5) נתונות שתי פונקציות: א מצא את שיעורי ה- של נקודות החיתוך בין הגרפים של שתי הפונקציות ב מצא את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות, השטח המקווקו בציור f ( ) (6) נתונה הפונקציה a A הפונקציה עוברת דרך הנקודה (,8)A ציור) (ראה א מצא את ערך הפרמטר a ב הפונקציה חותכת את ציר O(0,0) בנקודה O B ובנקודה B מצא את שיעורי הנקודה B ג חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה,על ידי המיתר AB ועל ידי ציר ה-
67 בציור שלפניך נתונות שתי הפונקציות : f ( ) e g( ) e (7) S א מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות עם ציר S ב מצא את נקודת החיתוך בין הפונקציות S ג חשב את היחס (ראה ציור) S נתונה הפונקציה f ( ) e העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה (ראה ציור) א מצא את משוואת המשיק (8) ב חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי המשיק ועל ידי הצירים (השטח המקווקו בציור) נתונה הפונקציה cos בתחום 0 4 (ראה ציור) ישר משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה 4 א מצא את משוואת המשיק (9) ב מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי המשיק ועל ידי ציר ה-
68 (0) חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ועל ידי הישרים ו- (השטח המקווקו בציור) f ( ) () נתונה הפונקציה e e לפונקציה יש מינימום כמתואר בציור א מצא את שיעור ה- של נקודת המינימום של הפונקציה ב מנקודת המינימום של הפונקציה העבירו אנך לציר ה- נתון כי השטח, המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי ציר ה-, על ידי האנך ועל ידי הישר, כאשר e a e a שווה ל-, =a a מצא את הערך של a ln 05 f ( ) e נתונה הפונקציה (ראה ציור) () שיפוע הישר, המשיק לגרף הפונקציה בנקודה A, e הוא א מצא את שיעורי הנקודה A ב מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה A ג חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי המשיק ועל ידי ציר ה-
69 0 8 נתונה הפונקציה f ( ) בתחום () A מעבירים ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה A(, ) (ראה ציור) א מצא את משוואת המשיק בחשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי המשיק ועל ידי ציר ה- בציור) (השטח מקווקו (4) נתונות הפונקציות : f ( ) sin ; 0 g( ) cos ; 0 א תאר במערכת צירים את הגרפים של שתי הפונקציות הנתונות ב קווקוו את השטח המוגבל בין הגרפים של שתי הפונקציות הנתונות וחשב את גודלו f ( ) נתונה הפונקציה tg בתחום 0 (5) א מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה 4 ב הראה כי tg d tg c המשיק ועל ידי ציר ה- ומצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי 0 5 דרך הנקודה (8,0)A העבירו משיקים לפרבולה (6) א מצא את משוואות המשיקים ב חשב את השטח הכלוא בין שני המשיקים והפרבולה
70 נתונה הפונקציה f ( ) 4 בתחום 0 (7) (ראה ציור) א מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (0,0) ומשיק לגרף הפונקציה הנתונה ב חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה הנתונה, על ידי המשיק ועל ידי ציר ה- (8) א חשב את הנגזרת של הפונקציה f ( ) cos ב חשב את השטח המוגבל על ידי ציר ה- ועל ידי גרף הפונקציה cos sin בתחום * לסטודנטים במקצועות ריאליים, ענו על סעיף ב ללא סעיף א חשב את השטח הכלוא בין הפרבולה והישר 6 (9) 8 חשב את השטח הכלוא בין הפרבולה והישר (0) a a a d ב a 0 a d () חשב את האינטגרלים הבאים: א חישוב אורך עקום (קשת) () חשב את אורך העקום הנתון בסעיפים הבאים: 5 4 ( 8 ( ( 5 4 8 4 / / / / 8 4 (6 0 ( ) (5 0 ( ) (4 / (7 ln (8 0 4 (7
7 פרק 4 שימושי אינטגרל המסוים (חישובנפח גוף סיבוב, שטח מעטפת של גוף סיבוב ונפח של גוף) נפח של גוף סיבוב, בשיטת הדיסקות () רשום את הנוסחאות לחישוב נפח גוף סיבוב, סביב ציר וסביב ציר ( cavalieri )ובשיטת הקליפות הגליליות () השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ו- מסתובב סביב ציר חשב את נפח הגוף המתקבל בשתי דרכים: א שיטת הדיסקות (cavalieri) ב שיטת הקליפות הגליליות () השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ו- מסתובב סביב ציר חשב את נפח הגוף המתקבל בשתי דרכים: א שיטת הדיסקות (cavalieri) ב שיטת הקליפות הגליליות (4) השטח הכלוא בין גרף הפונקציה והציריםמסתובב סביב: א ציר ד ציר f ( ) ג הישר ב הישר ו הישר ה הישר מהו נפח הגוף המתקבל? = - = = = - (5) נסח והוכח את הנוסחה לחישוב נפח גליל (6) נסח והוכח את הנוסחה לחישוב נפח חרוט (7) נסח והוכח את הנוסחה לחישוב נפח כדור (8) השטח הכלוא בין והישרים: sin גרף הפונקציה 0,, 6 מסתובב סביבציר מהו נפח הגוף המתקבל
(9) השטח הכלוא בין גרף הפונקציה והישרים: 7 e 0,, 6 מסתובב סביבציר מהו נפח הגוף המתקבל (0) השטח הכלוא בין גרףהפונקציה, f ( ) ln המשיק לגרף בנקודה (e (,e וציר מסתובב סביב ציר מהו נפח הגוף המתקבל? שטח מעטפת של גוף סיבוב () רשום את הנוסחאות לחישוב שטח מעטפת של גוף סיבוב סביב ציר וסביב ציר ( )הפונקציה 4 עבור מסתובבת סביב ציר מהו שטח המעטפת של הגוף שנוצר? () נסח והוכח את הנוסחא לחישוב שטח מעטפת של חרוט (4) נסח והוכח את הנוסחא לחישוב שטח מעטפת של כדור מסתובבת סביב ציר עבור, 9 (5) הפונקציה מהו שטח המעטפת של הגוף שנוצר? חישוב נפח a (6) מצא נוסחה לחישוב נפח פירמידה ישרה, אשר גובהה h ובסיסה הוא ריבוע שאורך צלעו c וגובהה b (7) מצא נוסחה לחישוב נפח פירמידה שבסיסה משולש ישר זוית שניצביו a ו-
7 פרק 5 אינטגרלים לא אמיתיים (מוכללים) () חשב את האינטגרלים הבאים: d d d d (4 sin ( ( ( ( ) 0 0 ( ) (8 (7 (6 e d e (5 5 () בדוק את התכנסות או התבדרות האינטגרלים הבאים: 8 8 sin ln arctan d (4 d ( d ( d ( 4 5 4 5 4 4 4 8 e d (8 d (7 d (6 d (5 4 0 הישר, e () חשב את השטח בין גרף הפונקציה וציר עבור 5 ציר ה-, (4) חשב את השטח בין גרף הפונקציה, ציר ה- והישר
74 תרגילים פרק 6 פונקציות של מספר משתנים, גבולות ורציפות () עבור כל אחת מהפונקציות הבאות, מצא תחום הגדרה, שרטט אותו ושרטט את מפת קווי הגובה/רמה של הפונקציה (בסעיפים 7 ו- 8 תאר את משטחי הרמה) f (, ) ln ln ( f (, ) ( f f (, ) (4 (, ) ( f f (, ) (6 (, ) ln( ) (5 f z z f z z (,, ) (8 (,, ) (7 () חשב את הגבולות הבאים: sin( 6) sin( ) lim ( lim ( 6 (, ) (,) (, ) (0,0) lim ( ) ln( ) (4 lim ( (, ) (0,0 ) (, ) (,) (, ) (,) (, ) (, ) (,, z) (0,,) (, ) (,) arctan( ) ln( ) sin( ) lim (6 lim (5 4 lim sin ( ) z (8 lim (7 ( )חשב את הגבולות הבאים: ( ) lim ( lim ( 4 0 0 0 0 lim (4 lim ( 0 0 0 0 lim (6 lim (5 0 6 0 4 0 0 z sin( ) lim (8 lim (7 z 0 4 4 0 0 0 z0
75 (4) חשב את הגבולות הבאים: lim ( lim ( (, ) (, ) 4 (, ) (0,0) (, ) (0,0) (, ) (0,0) (, ) (0,0) (, ) (0,0) (,, z) (0,0,0) 4 4 sin( ) lim (4 lim ( sin( ) lim (6 lim (5 lim z z (8 lim ln( ) (7 (, ) (0,0) (5) בדוק את רציפות הפונקציות הבאות בנקודה (0,0) במידה והפונקציה אינה רציפה בנקודה, האם ניתן להגדיר אותה כך שתהייה רציפה בנקודה? f (, ) (0,0) sin( ) (, ) (0,0) (, ) ( (, ) (0,0) f 0 (, ) (0,0) (, ) ( פתרונות - פרק 6 () ( 0, המישור ללא ציר, 0, 0 ( הרביע הראשון ללא הצירים 8) תה - כל המרחב 0 (8 0 (7 ( כל המישור (4, עיגול היחידה (5 (6 0, חצי המישור העליון (7 תה - כל המרחב ( (4 (05 אינסוף (6 (7 (8 5 ( ( () בכל הסעיפים אין לפונקציה גבול (4) ( (0 (0 (04 (05 (6 0 ) הפונקציה לא רציפה אם נגדיר f,0) (0 הפונקציה תהיה רציפה ) הפונקציה רציפה () (5)
76 תרגילים פרק 7 נגזרות חלקיות, דיפרנציאבליות () חשב את הנגזרות החלקיות מסדר ראשון של הפונקציות הבאות: (, ) 4 ( 5 (, ) ln ( 4 5ln onl f f (, ) ( f f 5 f (, ) (4 f (, ) (5 f (, ) sin (6 f (, ) arctan( ) (7 f ( r, ) r cos (8 f z (,, ) z (9 uv f ( u, v, t) e sin ut (0 () חשב את הנגזרות החלקיות מסדר שני של הפונקציות הבאות: f (, ) 4 4 0 ( 4 (, ) ln ( f (, ) sin 0 4 ( f (,, z) z (4 f
77 () ) חשב את הנגזרות החלקיות של הפונקציה הבאה בנקודה (0,0) ) האם הפונקציה רציפה בנקודה (0,0)? ) האם פונקציה גזירה חלקית היא בהכרח רציפה? f (, ) (, ) (0,0) 0 (, ) (0,0) (4) בדוק את דיפרנציאביליות הפונקציה משאלה () בנקודה (0,0) (5) בדוק את דיפרנציאביליות הפונקציות הבאות בנקודה (0,0) : (, ) (0,0) f 0 (, ) (0,0) (, ) ( sin (, ) (0,0) ( f (, ) 0 (, ) (0,0) (6) בדוק את דיפרנציאביליות הפונקציה הבאה בתחום הגדרתה f (, ) e (, ) (0,0) 0 (, ) (0,0) הערת סימון: f f f f f f f f f f (, ) f f f f f f f f f f
78 פתרונות -פרק 7 6 6 ( () 4 5 ln ( 4 5ln ( 5 6 6 6 (4 f f f cos( ) f cos( ) (6 5 f f f f f f f f ( ) ( ) f f r fr fz z f z f z uv uv uv t v u (5 (7 sin cos (8 (9 f u e cosut f u e sin ut f e v sin ut t cos ut (0 f f 8 8 4 ( () f f 0 f 4 f 4 ln 4 ln ( f f f f 4 4 4 f f 4 f 00sin 0 4 f 0cos 0 4 ( f 6sin 0 4 f 4cos 0 4 f 40sin 0 4 f 40sin 0 4 f f z f 0 f z (4 z f f 0 f z f z z f 0 f f f zz z z z ()) הנגזרות החלקיות בנקודה (0,0) שוות אפס ) הפונקציה לא רציפה בנקודה (0,0) ) פונקציה גזירה חלקית אינה בהכרח רציפה (4) לא דיפרנציאבילית (5) ) לא דיפרנציאבילית ) דיפרנציאבילית (6) דיפרנציאבילית
79 תרגילים פרק 8 כלל השרשרת לפונקציה של מספר משתנים * בתרגילים בפרק זה, הנח שכל הנגזרות הרשומות קיימות z, u z v חשב u v, u v, () נתון ) z ln( z z z,, t m k u v () נתון v 4 t k, u t 4 m, z e חשב () נתון ) z f ( הוכח z z 0 z z הוכח 0 z (4) נתון ) f ( z z 0 הוכח z f (5) נתון z z (6) נתון ) z f (, הוכח 0 הוכח w w w 0 z (7) נתון ) w f (, z, z u cos u cos cos cos (8) נתון ) u sin f (sin sin הוכח z z z z f הוכח (9) נתון ) ( הוכח z z z z f (0) נתון z u u zuz () נתון u(,, z) f, הוכח u h () נתון a) h(, ) f ( a) g( הוכח a h () נתון ) u(, ) f ( e sin ) g( e sin u u u u u u sin א הוכח: ב f '(0), g '(0) אם ידוע ש- u(, ) ג חשב :
80 (4) נתון ) r sin, r cos, u f (, r u u ur u u f cos f cos sin f sin rr f f u u u r r rr r א הוכח ב הוכח ג הוכח ונתון כי ) u f (, ), v g(, מקיימות את מישוואת (5) נתון v) z h( u, u v, u v קושי-רימן, כלומר מקיימות הוכח כי: u u 0, v v 0 א u, v מקיימות את משוואת לפלס כלומר h h u v huu hvv ב (6) נתון ) r sinh s, r cosh s, u f (, r u u ur us הוכח כי פתרונות -פרק 8 () ג e
8 תרגילים - פרק 9 פונקציות סתומות, מערכת של פונקציות סתומות, שימושים גיאומטריים פונקציות סתומות, מערכת של פונקציות סתומות '(0) 5 () מצא את ' כאשר חשב את e 5 4 () מצא את '() כאשר () מצא את e) ''( e), '( כאשר ln ln z z(, ) 0 (4) נתון z e ( )sin z 0 z z חשב את: (0,0),(0,0) (, z) 0 4 z e ( )sin (5) נתון z e (0,0), (0,0) חשב את z מצא (,) z z z(, ) 0 (6) נתון z z 0 (,, ) z z ונקודה (7) נתונה משוואה 4 מצא: ) z(,) z(,) ( z (,) (, u v (8) אם u v ו- u, v, u, מצא את v w, w מצא את, u v, u v, w u v (9) אם
8 שימושים גיאומטריים (מישור משיק וישר נורמלי למשטח) z 0 z 4 9 (0) נתון משטח המוגדר ע"י הפונקציה מהי משוואת מישור משיק למשטח בנקודה P בה, (,, ) () מצא משוואה של מישור משיק למשטח z 8 בנקודה וכן משוואה של הישר הפרמטרי הניצב למשטח הנתון בנקודה זו 8 7z () מצא מישור המשיק למשטח המקביל למישור 8 8z 0 () למשטח z a מעבירים מישור המשיק בנקודה כלשהי A,B,C בנקודות,, מישור זה חותך את הצירים z בהתאמה נסמן OA + OB + OC = a הוכח O (0,0,0) ) למעשה מוכיחים שסכום הקטעיםאינו תלוי בנקודת ההשקה ) פתרונות- פרק 9 '(0) 5 () '() 5 () 6 '( e), ''( e) e e sin z (0,0) z (0,0) () (4) (0,0) 0, z (0,0) 4 e (5) z (,) 6 (6) z (,) z (,), z (,) 4 (7) v 4v u 4u u, u, v, v (8) 8uv 8uv 8uv 8uv w uv, w 5( u v) (9) 6 z 8 0 (0) z 6 0, (,, ) t(,,) () 8 8z, 8 8z ()
8 תרגילים - פרק 0 קיצון של פונקציה בשני משתנים (רמה רגילה) עבור כל אחת מהפונקציות הבאות מצא נקודות קריטיות וסווג אותן למקסימום, מינימום או אוכף f (, ) 8 8 () f (, ) 0 () f (, ) 4 () f 4 (, ) (4) 0 4 f (, ) e (5) f (, ) 6 (6) 8 f (, ) (7) f (, ) e cos (8) z (9) נתון משטח 4 מצא את משוואות המישורים המשיקים האופקיים למשטח (0) מבין כל התיבות הפתוחות שנפחן סמ"ק, חשב את ממדי התיבה ששטח הפנים שלה הוא מינימלי () מצא את המרחק הקצר ביותר מהנקודה(,, ) z 0 למישור וכן את הנקודה על המישור הקרובה ביותר לנקודה הנ"ל
84 () יצרן מוכר מחשבונים, בארץ ובסין עלות הייצור של מחשבון בארץ היא 6$ ועלות ייצור מחשבון בסין היא 8$ מנהל השיווק עומד את הביקוש Q למחשבון בארץ ואת הביקוש Q למחשבון בסין על ידי: Q 6 0P 0P Q 44 6P 4P, P על מנת למקסם P ו- כיצד צריכה החנות לקבוע את מחירי המחשבונים, אתהרווח? מהו רווח זה? פתרונות - פרק 0 0) (-,, (,), -), )אוכף ( 05, -)אוכף ; ( 5,- )מינימום ), )מינימום ; (,- -)מקסימום ; ) (-,, (,- )אוכף (0,0) אוכף ; (, )מינימום -) )(-, (-,,מינימום ; 0), )מקסימום ; ), 0 )מקסימום (6) 4) (4, מקסימום (4,05-) מקסימום (8) אין נקודות קריטיות (0) רוחב 4 ס"מ, אורך 4 ס"מ, גובה ס"מ (/,4/,0/) z =, z = 4 () מרחק מינימלי הוא יחידות אורך נקודה קרובה ביותר =$, P =0$, P רווח מקסימלי 88$ () () () (4) (5) (7) (9) ()
85 תרגילים - פרק קיצון של פונקציה של שניים/שלושה משתנים (רמה מתקדמת) שיטת מינימום הריבועים הפחותים מצא את נקודות הקיצון של הפונקציות הבאות: f (, ) () f (, ) 4 () ( z f (, )) z z 0 () f (, ) 6 8 (4) z (,, z 0) f (,, z) (5) 4 z (6) מצא מרחק מינימלי בין הפרבולה לפרבולה * לפתרון תרגיל זה נדרש יידע בפתרון נומרי (מקורב) של משוואה כגון שיטת ניוטון רפסון שיטת הריבועים הפחותים (7) נתונות n נקודות: ) (, ),(, ),,(, בכל אחד מהסעיפים הבאים, מצא קו עקום מהצורה ( )h כך שסכום ריבועי המרחקים האנכיים בין העקום והנקודות יהיה מינימלי: n n ), h( הדגם עבור הנק' (,08),(,),(4,5) 5), (, a b ) (,הדגם עבור הנק' ) (, ),(, 0), (0, b ), h( הדגם עבור הנק' (05,4) 0),(6,9),(4,85), (0, a b ), h( הדגם עבור הנק' 90) 45),(0, (, ), ),(,85),(05, (4, a (, 45),(05, ),(0, 08),(, 0),( 05, ), h( הדגם עבור הנק' 0) a b c h a b א) ב) ג) ד) ה)
86 (8) נתונות n נקודות: n) (, ),(, ),,( n, מצא ישר a b כך שסכום ריבועי המרחקים האנכיים בין הישר והנקודות יהיה מינימלי עליך להגיע לנוסחה מפורשת עבור a ו- b הערה: בשאלות (7) ו- ( 8 )ניתן להניח ש- a ו- b המתקבליםמפתרון המשוואות f נותנים את המינימום המוחלט של פונקציית ריבועי המרחקים האנכיים a 0, f 0 b n i f ( a, b) h( ) i i פתרונות - פרק () ( t,t )לכלtממשי, מקסימום () ( 0,0 )מקסימום () אין קיצון (, )אוכף (4) אין קיצון (, )אוכף (5) ( 05,, )מינימום (6) 075 4 ( 7 ב) 088 ( 7 א) 0 09 509 06 ( 7 ד) 0 ( 7 ג) 48 96 ( 7 ה) 084 n n n n n n n i i i i i i i i i i i i i i i i, b n n n n n n i i i i i i i i n a (8)
87 תרגילים - פרק קיצון תחת אילוץ של פונקציה של שני משתנים(כופלי לגרנג') פונקציות של שני משתנים מצא את המקסימום והמינימום של הפונקציות הבאות בכפוף לאילוץ הנתון: f (, ) ; () f (, ) ; () f (, ) 4 6 ; () f (, ) ; 6 (4) (5) נתונה בעיית הקיצון Ma s t א פתור את הבעיה ב הבא פתרון גרפי לבעייה (6) נתונה בעיית הקיצון min s t 9 א פתור את הבעיה ב הבא פתרון גרפי לבעייה (7) מבין כל הנקודות הנמצאות על הישר שיעוריה מקסימלי, מצא את זו שמכפלת (8) מבין כל הנקודות שעל העקומה מצא את הנקודות שמרחקיהן מראשית הצירים הוא מינימלי ואת הנקודות שמרחקן מראשית הצירים הוא מקסימלי לפרבולה 6 (9) מצא את המרחק הקצר ביותר מהישר 4 0 4 0 a0 b0 c a b רמז: מרחק הנקודה ) (, מהישר a b c 0 הוא 0 0