מקומות גיאומטריים השתלמות קיץ - 015 הקדמה: נושא המקומות הגיאומטריים הינו מרכזי בתכנית הלימוד ל- 5 יח"ל פרק זה מאגד בתוכו את כל המרכיבים של הגיאומטריה האנליטית: ישר, מעגל, אליפסה ופרבולה בראיה מוכללת נושא זה רלוונטי בעיקר בחט"ע לקראת שאלון 807 אך ניתן לקשרו גם לחט"ב במסמך זה נציג את המתודה הכללית לפתרון בעיות מקומות גיאומטריים הכוללים פרמטרים ונציג דוגמאות רבות לשאלות מסוג זה השאלות יוצגו על-פי הצורה המתקבלת (אם היא מאופיינת ) אלגוריתם ה א יש לשרטט את נתוני הבעיה ובה נקודה המייצגת את נקודות המקום הגיאומטרי כדאי לסמן את שיעורי הנקודה המייצגת ב: המופיעים בשרטוט לבין הנקודה שלנו (, ) כדי לא להתבלבל בין, של הגרפים ב יש לבנות שיוויון המתאר קשר נתון או המצאות נקודה על גרף מסויים,, ג יש לפשט את הביטוי המתקבל ולחזור לסימון נקודה כללית: כיצד ניתן לחבר לחט"ב: כאשר אנו מלמדים משוואה לינארית, ניתן לתת דוגמאות לשקילות התוצאה בגישות פתרון שונות 1
1,3,,5 דוגמה: יש למצוא את משוואת האנך האמצעי לקטע שקצותיו: B(-,5) D C(1,3) פתרון ראשון: 1 35 1 D,,4 D 53 1 m m BC AD 1 1 3 1 3 1 4 4 ולכן משוואת האנך האמצעי היא: פתרון שני: קל להראות כי האנך האמצעי הוא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות הנמצאות במרחקים שווים מקצות הקטע (חפיפה פשוטה) ולכן: 5 1 3 d d AB AC 44 10 5 1 69 1 1 3 3 9 1 4 4 ניתן לבנות דוגמאות נוספות המבוססות על חפיפת משולשים
דוגמאות המתאימות לחט"ע: הדוגמאות ממוינות על-פי סיווג המקום המתקבל ולפי סדר קושי עולה ברור כי השאלה הראשונה בכל אוסף יכולה, כנראה לשמש גם בחט"ב קו ישר: b,a ו- דוגמה ראשונה (מתוך- גיאומטריה אנליטית - חיים אבירי): הוכח כי המקום הגיאומטרי של מרכזי כל המעגלים העוברים דרך שתי הנקודות הוא קו ישר a,b, נסמן את מרכז המעגל ב- A(b,a) O(,) B(a,b) AO BO d d b a a b 3
,, 4b4b 4a4a 4a4a 4b 4b a b a b ab 4 4 4 4 נשים לב כי ניתן לפתור גם בדרך אחרת מהנדסת המישור ידוע כי האנך האמצעי למיתר עובר במרכז המעגל ולכן: A(b,a) O(,) M(a,b) B(a,b) ba ab M,, AB AB M ab ab ba m 1 m 1 AB ab MO ab ab 4
דוגמה שנייה (מתוך גיאומטריה אנליטית בני גורן): C0,0, B0, b, Aa,0 במשולש ישר זווית ABC ל- החותך את ו- נתון: בהתאמה בנקודות D ו- מעבירים ישר מקביל E AC AB BC מצאו את המקום הגיאומטרי של מפגש הישרים CD ו- BE B 0, b M, D C 0,0 E A a,0 M, נסמן את הנקודה המייצגת את המקום הגיאומטרי ב- b b m b AB a a : ישר AB m CD ישר :CD 5
שיעור ה- של נקודה : D b b ab b b D a a ab m BE ab E,0 ab b ab ab ab a ab b a M על הישר ולכן: ab b b b a a,, baab0 6
דוגמה שלישית (מתוך ארכימדס 807): מהנקודה P יוצאים שני משיקים: R 10R 5R 0 6R R9R 0 משיק אחד למעגל: ומשיק שני למעגל: הביעו באמצעות R שווה את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות P עבורן אורכם של שני המשיקים M 3 R, R r R, M R, 5R r R 1 1 מעגל ראשון: מעגל שני: P, M M 3 R, R M R, 5R 1 7
נעבור,, ונשווה את המרחקים בריבוע: 5 3 R R R R R R אחרי פתיחת סוגריים וכינוס איברים דומים נקבל: 34R נשים לב כי גם במקרה זה ניתן לפתור בדרך נוספת: היות והמרחקים שווים, הרי הנקודה P נמצאת על האנך האמצעי של קטע המרכזים ולכן: R3R 5RR M, M R, R m MP 1 1 R5R 3 3RR ומכאן שמשוואת האנך האמצעי היא: R 1 R 36RR 34R 3 8
מעגל: שאלות הכוללות מקום גיאומטרי שתוצאתו מעגל מגוונות מאד נציג מספר דוגמאות המייצגות גיוון זה וכוללות נתונים התחלתיים כללים דוגמה ראשונה (מתוך מיקוד רכס 007): מצאו את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות אשר סכום ריבועי מרחקיהן מצלעות משולש שווה צלעות ששניים מקודקודיו הם של ציר ה-, והקודקוד השלישי נמצא על הציר החיובי a,0, a,0, הוא גודל קבוע A 0, 3 a, B(-a,0) O C(a,0) היות ומדובר במרחקי נקודה ממספר ישרים, נמצא תחילה את משוואות הישרים על-פי משפט פיתגורס ב: AOC נקבל: OA 4a a 3a ומכאן: A 0, 3 a 3a m 3 3 3a AC a : משוואת הישר AC 9
3a m 3 3 3a AB a 0 : AB : BC משוואת הישר משוואת הישר d A B c 0 0 A B נשתמש בנוסחת המרחק: הגיאומטריה ב- ונסמן את הנקודה המייצגת את המקום על-פי הנתון: k0 k, היות והמרחק קבוע, אך לא ידוע, נסמנו ב- 3 3a 3 3a 4 4 3 3 3 3 4 a a k k 4 6 6 4 3 6 4 אחרי פישוט נקבל: a a k 3 3 3 aa כלומר: k נשים לב כי לא בכל תנאי מדובר במעגל! מהמקום שקיבלנו עולה כי: M 0, a R k a 3 3 3 3 k a 10 k a אם k a זהו מעגל, אם זוהי נקודה ואם זוהי קבוצה ריקה
C גדול פי, a,0, a,0 בהתאמה דוגמה שנייה (מתוך יואל גבע כרך ג'): הם מעגלים שמרכזיהם בנקודות P הנקודה r C, C 1 לשני המעגלים אותו רדיוס נעה, כך שאורך המשיק ממנה למעגל C 1 שניים מאורך המשיק ממנה למעגל הוכח: המקום הגיאומטרי של כל הנקודות P נסמן הוא מעגל P, d d C r E(-a,0) r D(a,0) B PB PD r a r PC PE r a r PCPB a r a r aa r 4 8 a4a 4 4r a r a 1 3 3 נעבור:,, ונפשט, מתקבל הביטוי: 11
M 1 a,0 R r a 16 3 9 נראה כי בכל מצב מתקבל מעגל: דוגמה שלישית (מתוך בני גורן גאנליטית): זוהי דוגמה טובה לשאלה שנראית בעייתית ופתרונה מהיר וקל נתונים שני מעגלים מרכזיים: r R Rr מנקודה A שמחוץ למעגל הגדול יוצאים שני משיקים למעגל הגדול כך שהמיתר (במעגל הגדול) העובר דרך נקודות ההשקה, משיק למעגל הקטן מצאו את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות A A, בשלב ראשון התלמידים נדרשים ליצור את השרטוט המתאים נסמן: B A(,) O C 1
OBC נשתמש בדמיון: OAB (על-פי זז) מיחס הדמיון נובע: R r R נציב ונקבל: BO OC AO OB נעבור,, ונפשט, נקבל משוואת מעגל קנוני: R r 4 דוגמה רביעית (מתוך אבירי גאנליטית): הוכח כי המקום הגיאומטרי של עקבי האנכים, היוצאים מראשית הצירים לכל ישר העובר דרך a,0 הנקודה הוא מעגל A, שרטוט הבעיה פשוט וכך גם פתרונה נסמן: A, O B a,0 m OA m 1 1 AB a ונפשט, נקבל משוואת מעגל קנוני: 13 נעבור,,
a 1 a 0 דוגמה חמישית (מתוך יואל גבע כרך ג'): P דרך נקודה A המוקד שעל הפרבולה מעבירים משיק לפרבולה וישר העובר דרך AF מצא את המקום הגיאומטרי של נקודות החיתוך של הישר F דרך ראשית הצירים ומקביל למשיק הנ"ל עם הישר, העובר M, נסמן: A M, F המשימה הראשונה היא לשרטט את נתוני הבעיה שנית, בבעיה זאת נגזור פונקציה סתומה לקבלת שיפוע המשיק m mom ומכאן ששיפוע המשיק הוא: p 14 p נגזור את הפרבולה:
m l : 0 MF p MF p p p p A p : A A נציב ונקבל את p p p A, p אחרי פישוט נקבל: הנקודה A נמצאת על הפרבולה ולכן: p p p p p נעבור,, ונפשט, נקבל משוואת מעגל: p 0 15
דוגמה שישית (מתוך בני גורן 807): R המעגל המעגל, שדרכה עובר ישר, חותך את ציר ה- A המקביל לציר ה- שמימין לראשית הצירים B היא נקודה על l הוכח דרך A ואמצע BO עובר ישר l 1 l הוא מעגל l 1 ו- כי המקום הגיאומטרי של מפגש הישרים בשלב ראשון על התלמיד לשרטט את נתוני הבעיה C, נסמן: l l 1 C, M B O A היות ונקודה B B מהנתון נובע כי: נמצאת על המעגל, ניתן להסיק כי: R B M R, מהנתון נובע גם כי: 16
CM MA MBC קל להוכיח כי: MOA ונקבל: (על-פי זצז) ולכן מתקיים: נעבור,, R R R לאחר פישוט נקבל: 0 R R,0 התקבל מעגל שמרכזו בנקודה: ורדיוסו: 17
מנקודה כלשהי P דוגמה שביעית (מתוך כהן רוזנפלד 807): 1 3 נתון ישר l הישר בנקודה A שמשוואתו ואנך לציר ה- מעבירים אנך לישר l החותך את החותך אותו בנקודה B הוכח כי המקום הגיאומטרי של AB K קבוצת כל הנקודות P המתקבל כאשר נתון כי הוא מעגל B P(,) P, נסמן: K O A 1 3 m 3 3 3 3 PA משוואת ישר : PA PA היא נקודת החיתוך בין הישר l לישר ולכן: הנקודה A 3 3 1 9 3 3 1 3 A A A 10 10 A 10 10 18 d AB על-פי הנתון: K
: נציב בנוסחת המרחק בין שתי נקודות ונעבור,, 9 3 3 1 10 10 10 10 K 10 K 9 נפשט ונקבל מעגל קנוני: אליפסה: דוגמה ראשונה (מתוך יואל גבע כרך ג'): b a a b דרך נקודה A שעל האליפסה מעבירים ישר l 1 המקביל לציר ה- l l 1 ו- דרך ראשית הצירים מעבירים ישר l המקביל לנורמל לאליפסה, בנקודה A הישרים נחתכים בנקודה P מצא את המקום הגיאומטרי של הנקודות, P שהוגדרו באופן זה ראשית נשרטט את נתוני הבעיה l 1 P(,) A P, נסמן: l 19
A היות ונקודה A, a על-פי הנתונים נובע כי: נמצאת על האליפסה נובע: A a b a b 1 A, A a b b b m m l נמצא שיפוע: ומכאן ששיפוע המשיק הוא: היות ושיפוע המשיק שווה לנגזרת הגרף בנקודה, נקבל: 0 b a b a נציב את שיעורי הנקודה A בנגזרת ונקבל את השיפוע בנקודה:, נקבל: b m a b,, b b b b a a נשווה בין שני הביטויים שקיבלנו ונעבור לאחר העלאה בריבוע והעברת אגפים נקבל: a b b 4 0
b a a b דוגמה שנייה (מתוך בני גורן 007): מורידים אנך לציר ה- שחותך אותו P l 1 מנקודה P שעל האליפסה דרך N בנקודה N מעבירים ישר שמקביל ל- O ) PO ראשית הצירים) דרך l ו- l 1 מעבירים ישר l שמקביל לציר ה- מצא את המקום הגיאומטרי השל מפגש הישרים Q, נסמן: l 1 Q, l O N P מהנתון נובע כי: היות ונקודה P על האליפסה, היא מקיימת את משוואתה לאחר הצבה והעברת אגפים נקבל: P a b b התקבלו הביטויים הבאים: a a,,0 OP NQ b b P b N b m m 1
, נקבל: נציב בנוסחת השיפוע ונעביר,, a b a b b b a b b 4a 4a b b נשווה מכנים: B ונקודה דוגמה שלישית (מתוך מיקוד רכס 007): קטע AB שאורכו נמצאת תמיד על ציר ה- A נע במישור כך שהנקודה k, ומרחקן מ- B כפליים ממרחקן מ- A נמצאת תמיד על ציר ה- מצא את המקום הגיאומטרי של הנקודות C הנמצאות על הקטע AB 3 k C, 1 3 k A,0 A C, נסמן: על-פי נוסחת חלוקת קטע ביחס נתון נקבל:
A B 1 1 1 A 1,0 3 B 0,3 נציב את כל הנתונים בנוסחת המרחק הנתון ונקבל: 1 1 3 k 1 9 4 k נעבור,, ונפשט: דוגמה רביעית (מתוך בני גורן גאנליטית): R שעל המעגל C היא אמצע מעבירים ישר המאונך לציר ה- שחותך את הציר B דרך AB D בנקודה OC מנקודה A בנקודה B הנקודה הצירים) שחותך את הישר נסמן מעבירים ישר המקביל ל- O ) AO ראשית מצא את המקום הגיאומטרי של הנקודות D A D, D, O B 3
ולכן ישר : AO ישר :OD משוואת הישר : BD : A,,, : A נקודה B 0 B נקודה : B הנקודה על המעגל ולכן מקיימת את משוואתו, נעבור בשלב זה 4 4R R R 1 4
הנקודה A היא נקודה כלשהי על הפרבולה הנקודה F פרבולה: דוגמה ראשונה (מתוך רוזנפםלד כהן 807): נתונה הפרבולה p מוקד הפרבולה והנקודה היא הנקודה בה חותך מדריך הפרבולה את ציר ה- היא הראה כי המקום הגיאומטרי של הנקודות שהן מרכזי הכובד של המשולש AEF הוא פרבולה A E D, נסמן: D p p E,0 F,0 O p p E,0 F,0 EO OF מהנתונים נובע: AD DO 1 מרכז הכובד של המשולש הוא נקודת מפגש התיכונים ולכן: A 3,3 על-פי נוסחת חלוקת קטע ביחס נתון מתקבל: נמצאת על האליפסה ולכן מקיימת את משוואתה,,, הנקודה A נעבור ונקבל: 5
9 6P P 3 k0 k דוגמה שנייה (מתוך בני גורן 007): l 1 עובר דרך ראשית הצירים וחותך את הישר ישר A עובר דרך l 3 l 1 l עובר דרך ראשית הצירים ומאונך לישר ישר ומקביל בנקודה A ישר l ו- l 3 לציר ה- מצא את המקום הגיאומטרי של מפגש הישרים A k, B, l 3 B, נסמן: l l 1 m AO m 1 1 OB k k על-פי תנאי ניצבות: נעבור,, ונקבל: 6