חשבון אינפיניטסימלי מתקדם הסיכומים של דינה מבוסס על הרצאות ותרגולים מאת: פרופ' רז קופרמן מר אורי שפירא ירושלים 007
תוכן עניינים מרחבים מטריים 3 נספח א' נספח ב' הגדרות ודוגמאות 3 קבוצות מיוחדות במרחב מטרי 6 מרחבים מטריים קומפקטיים סיכום הגדרות 6 סיכום משפטים, טענות ולמות 7 נספח ג' משפטים מרכזיים ותמציות הוכחות 8 אינדקס 9
י" מרחבים מטריים הגדרות ודוגמאות כאשר d ( קבוצה לא ריקה ו- d : פונקציה כך הגדרה : מרחב מטרי הוא זוג,, yz, מתקיימות התכונות הבאות: שלכל d(, y = d( y, סימטריה : = y ושוויון אמ"מ 0 d(, y חיוביות : ולש, ( +, (, ( d z d y d y z 3 אי שוויון המש : לפונקציה d קוראים מטריקה על המרחב דוגמאות: ההוכחה שאכן מדובר במרחבים מטריים היא פשוטה ומושארת לקורא, d זוהי המטריקה הטבעית y = y הקבוצות, הן מרחבים מטריים אם מגדירים ( על מרחבים אלה וכאשר נאמר " (או ( כמרחב מטרי" ללא לציין מטריקה במפורש הכוונה תהיה למטריקה זו, d אפשרית משום שמדובר במרחבים מטריים (בפרט הם y = נשים לב שההגדרה y מרחבים נורמיים אבל מלכתחילה אין דרישה שמרחב מטרי יהיה מרחב וקטורי F : פונקציה מונוטנית עולה ממש אזי הקבוצה = עם המטריקה תהי F (, = ( d y y זו = ( ( =, ( היא מרחב מטרי d y F F y מרחב מטרי עם המטריקה האוקלידית שמוגדרת ע כמרחב מטרי ללא לציין במפורש מטריקה ומעתה כשנדבר על המטריקה הטבעית על מסויימת הכוונה תהיה למטריקה הטבעית ניתן להגדיר מטריקה באופן הבא : לכל קבוצה 4 0 = y d(, y = = y קל לראות שאכן מדובר במטריקה מטריקה זו נקראת המטריקה הדיסקרטית והמרחב נקרא מרחב דיסקרטי זו אינה מטריקה מעניינת במיוחד אך היא משמשת פעמים רבות לבניית דוגמאות נגדיות { 0,} ניקח = עם המטריקה m { a : b } a b d( a, b = 0 a = b המרחק בין שתי סדרות קטן ככל שיש להן רישות משותפות ארוכות יותר קל להוכיח שזו אכן מטריקה 3 5 3
מ" הגדרה : מרחב נורמי הוא זוג, ( כאשר מרחב וקטורי ו - : פונקצייה שמקיימת :, y את התכונות הבאות לכל ושוויון אמ = 0 t = t + y + y 0 חיוביות: הומוגניות: לכל סקלר t 3 אי שוויון המשולש : הפונקציה נקראת נורמה על המרחב דוגמאות: כל מרחב נורמי (מרחב מכפלה פנימית הוא מרחב מטרי אם מגדירים (, y = y d = = מטריקה זו נקראת המטריקה המושרית ע"י הנורמה כמובן, לא כל מרחב מטרי הוא מרחב נורמי = מרחבים נורמיים עם הנורמה, l = כאשר = ma (, { l כאשר } לכל מגדירים 3 = (, 4 = הוא מרחב נורמי אוסף הסדרות הממשיות האינסופיות שעבורן > = שמסומן l [0, C קבוצת כל הפוקנציות הרציפות מעל הוא מרחב נורמי תחת הנורמה המוגדרת [ 0,] f = ma 0 [ ( ע"י } f { הערה: באופן טריוויאלי ברור שכל תת קבוצה של מרחב מטרי גם היא מרחב מטרי עם מטריקה שהיא המטריקה המקורית מצומצמת לתת הקבוצה q a b ab + q = q אזי אי שוויון יאנג: לכל, ab 0 ולכל < < נגדיר הוכחה א ': נסתכל על גרף הפונקציה y = (כאן מוצג גרף קמור אבל קל להיווכח שההוכחה נכונה גם במקרה שהגרף קעור ברור שמתקיים ab S + S אבל שטחים אלה אנחנו יכולים 5 6 לחשב בקלות: וכן a a a S = d= = 0 0 b q b + b = = + = 0 S d = l a, y = ql b 0 q הוכחה ב ': יהיו (הם מוגדרים היטב משום ש-, ab חיוביים אזי e תחת הגדרות אלה אנו רוצים להוכיח ש- y q = b ובאותו אופן e l a = e =e l a = a 4
y q q e e y + y y q e e y e = e e + = + = e + e q q t ידוע ש- f ( t = e פונקציה קמורה ולכן לכל t t ולכל 0,] [ מתקיים (, ( ( ( ( ( e = f t + t f t + f t = e + e t + t t t ( ואז ש- < < מתקבל < 0<, e אבל זה בדיוק מה שרצינו להוכיח t =,t ו- = (מאחר בפרט זה נכון עבור = y + y y e + e אז אי שוויון הולדר: יהיו,,, y,, y 0 אז לכל ו- מתקיים q = < < q q y y = = = הוכחה : נשים לב ששני אגפי אי שוויון הומוגניים ב- וב- y לכן ניתן להניח ש- = y = q, אבל זה נובע מאי שוויון יאנג: = q q y y = = = = צריך להוכיח ש- y y + = + = + = q q q y, TI אכן נורמה טענה: לכל החיוביות וההומוגניות ברורות נראה שמתקיים אי שוויון המשולש יהיו אם > < נשתמש בתוצאות הקודמות: TI + y = + y = + y + y = = Hlder + y + y = + y + y + y = = = Hlder q q q q + y + y + y ( ( = = = = = + y + y + y ונקבל את הדרוש TI + y = + y + y = + y = + y = = = = = נחלק את שני האגפים ב- אם = זה ברור: זה גם כן ברור: { } { } { } { } אם = TI + y = ma + y ma + y ma + ma y = + y 5
קבוצות מיוחדות במרחב מטרי הגדרה: יהי d (, מרחב מטרי נגדיר את הקבוצות הבאות: S(, a = { y : d( y, = a} ספירה ברדיוס a סביב הנקודה - B ( a, = { y : d( y, < a} כדור פתוח ברדיוס a סביב הנקודה - ( a = { y d( y כדור סגור ברדיוס a סביב הנקודה הנקודה {a - B, :, (, דוגמאות: כדורי היחידה תלויים בנורמה!!, ( 0, (, B B ( 0, B ( 0, (, d הגדרה: יהי מרחב מטרי תת קבוצה תיקרא חסומה אם קיימים < r 0 ו- תיקרא פתוחה ב- אם לכל קיים < r 0 כך ש- כך ש-( r B, נסכים ש- קבוצה פתוחה ב- B (, r } { כך ש- r קיימים = משפט: בכל מרחב מטרי מתקיים: כל חיתוך סופי של קבוצות פתוחות הוא קבוצה פתוחה כל איחוד של קבוצות פתוחות הוא קבוצה פתוחה כדור פתוח הוא קבוצה פתוחה 3 קבוצה היא פתוחה אמ"מ היא איחוד של כדורים פתוחים 4 = { r } 0< r = m ברור ש- B( r, כלומר קבוצה (, = קיים < r 0 כך ש- B r β = α יהי - = יהיו } { קבוצות פתוחות ב לכל ניקח לכל ולכן α לכן (, B r (, (, B r B r { α } α I פתוחה יהיו עבור קבוצות פתוחות ב- יהי קבוצה פתוחה ב- β (, y נטען ש- B r α β I כלשהו אבל B ( r, (, (, יהי כדור פתוח ב- תהי, < r d( 0 שהרי לכל y ראשית נציין שברור ש- B yr d y B r כעת, אם, (, (, (, d y מתקיים < r z B y r d y אז (, y B r 3 6
, (, ואז (, (, = לכן z B r B r ( < ( אבל אז d z, y r d, y y,, d z, d z, y + d y, < r d, y + d כלומר כך ש- B r B r ( r, = r ( נניח פתוחה ב- אזי לכל קיים { } (,r אבל ברור ש- = B כלומר היא איחוד של כדורים פתוחים לפי סעיף ( איחוד כלשהו של כדורים פתוחים הוא קבוצה פתוחה לכם אם היא איחוד של כדורים פתוחים אז פתוחה 4 הגדרה: יהי d (, - פתוחה ב תיקרא סגורה אם מרחב מטרי קבוצה טענה: בכל מרחב מטרי מתקיים: כל חיתוך סופי של קבוצות פתוחות הוא קבוצה פתוחה כל איחוד של קבוצות פתוחות הוא קבוצה פתוחה כדור פתוח הוא קבוצה פתוחה 3 נובע מהמשפט הקודם ומשימוש בכללי דה מורגן כנ"ל, ( קבוצה פתוחה יהי, r B ( כדור סגור ב- נראה ש-{ >, ( : { =, y { y : d( אז, (, (, ( y נטען שאם {r > r < d( y, מתקיים y B(, r שהרי לכל 0 < d( y, ברור ש- r y, d( z, y < d( אבל אז r אזי z B ( y, d( y, r z B(, r כלומר d(, z d(, y d( y, z > r B r y d y r B yd y r B r ראשית, כעת, יהי הערות: הקבוצות, הן גם פתוחות וגם סגורות פתוחה לפי ההגדרה ולכן, d לכל = סגורה מצד שני גם עצמו תמיד קבוצה פתוחה ולכן = סגורה קיימות קבוצות שאינן פתוחות ואינן סגורות, למשל קטעים חצי פתוחים חצי סגורים ב- a, B ( כך ש- נסתכל על, ab ] הקטע אינו פתוח כי עבור a לא קיים כדור פתוח ε (b B,a ε,a אבל הקטע גם אינו סגור משום שמסיבה דומה הקבוצה אינה פתוחה [ [ ab, = { : < a b} = (, a [ b, חיתוך אינסופי של קבוצות פתוחות אינו בהכרח קבוצה פתוחה למשל נסתכל על הסדרה =, וזוהי כמובן קבוצה סגורה ברור ש- {} 0, = 3 3 I = Iγ כך ש- Γ של קבוצות וקבוצ אינדקסים { α : α I} משפחה לא ריקה, γ Γ כללי דה מורגן: בהינתן קבוצה α α = = α α אזי: 7
באותו אופן איחוד אינסופי של קבוצות סגורות אינו בהכרח קבוצה סגורה למשל נסתכל על זוהי סדרה של קבוצות סגורות ב- אבל ] 0, ( =, וזאת לא הסדרה, = קבוצה סגורה 4 (, r = d y אז { } טענה: יהי d (, נסתכל על מרחב מטרי כל יחידון y אז y ולכן הוא קבוצה סגורה ב-, < d 0 ניקח y {} {} אם (, { } B yr מסקנה: יהי d (, מרחב מטרי אזי כל קבוצה סופית היא סגורה ב- היא סופית ולכן היא איחוד סופי של יחידונים, כלומר היא איחדו סופי של קבוצות סגורות אבל איחוד סופי של קבוצות סגורות הוא קבוצה סגורה טענה: יהי d (, היא גם פתוחה וגם סגורה מרחב מטרי בדיד אזי כל ראינו שכל יחידון הוא סגור אבל ברור גם שכל יחידון הוא פתוח, כי לכל מתקיים B, = {} {} כל קבוצה היא איחוד של יחידונים פתוחים ולכן היא פתוחה אבל גם היא איחוד של יחידונים פתוחים ולכן פתוחה ולכן סגורה ( מרחב מטרי סדרה (, d = lm במקרה זה נסמן d( הגדרה: יהי או נקראת מתכנסת אם קיימת נקודה נקרא הגבול של הסדרה כך ש- ו- lm, = 0 ( טענה: יהי d (, מרחב מטרי תהי סדרה מתכנסת אזי הגבול הוא יחיד ( ', d נניח בשלילה ש-' ניקח = ε < 0 קיים ' וגם נניח ש- d( ', N כך שלכל ' אבל גם קיים d(, < מתקיים N < כך שלכל N (, ' d( ', N = ma { N אזי לכל N < מתקיים גם, N ' N' מתקיים < d יהי } > d( ', d( ',, d( וגם < ' d(, אבל זה לא יכול להיות יהי N < כלשהו אז < d(, ' d(, ' ' d(, ' d(, + d(, ' < + = d(, וזו סתירה, (, d ( משפט: יהי מתכנסת תת קבוצה אזי סגורה ב - אמ"מ לכל סדרה מרחב מטרי תהי סדרה מתכנסת כך ש- lm מתקיים נניח בשלילה ש- (, כך ש- B ε ( סגורה תהי ( נניח ש- אבל כלומר קבוצה פתוחה לכן קיים < ε 0 אבל עבור ε זה 8
י",, B בסתירה לכך קיים N כך שלכל N < מתקיים, d < ε כלומר ε, ( לכל ש- מתקיים נראה ש- פתוחה נניח שהיא כך שלכל < ε 0 נניח שלכל סדרה מתכנסת y אינה פתוחה אזי קיים מתקיים B נבנה סדרה באופן ( y, ε y אבל y, כלומר 0 d( y, y < 0 y אזי B y, הבא: לכל נבחר y ואילו y בסתירה להנחה (, הגדרה: יהי d מרחב מטרי תהי תת קבוצה הפנים של מוגדר ע י" = B B Bs e = B B s lsed = \ = B הסגור של השפה של מוגדר ע"י מוגדרת ע הפנים הוא איחוד של קבוצות פתוחות ולכן הוא קבוצה פתוחה ברור לפי ההגדרה שזו הקבוצה הפתוחה המקסימלית שמוכלת ב- הסגור הוא חיתוך של קבוצות סגורות ולכן הוא קבוצה סגורה ברור לפי ההגדרה שהסגור הוא הקבוצה הסדורה המינימלית שמכילה את השפה היא חיתוך של שתי קבוצות סגורות ולכן היא קבוצה סגורה הערות: 3 לכן דוגמה: נסתכל על כמרחב מטרי ועל תת הקבוצה לא קיימת קבוצה פתוחה על הישר אשר מוכלת ברציונליים ולכן = מצד שני הקבוצה הסגורה היחידה שמכילה את כל הממשיים היא עצמה = \ = מכאן השפה של הרציונליים היא = טענה: יהי d (, מרחב מטרי ותהי תת קבוצה אזי פתוחה וסגורה ב- אמ"מ = = = \ = \ ( נניח ש- פתוחה וסגורה אזי = = לכן = ( נניח ש- = אם = אזי כמובן = ולכן היא פתוחה וסגורה אחרת, = = ומכאן ש- פתוחה וסגורה אבל ולכן טענה: יהי d (, מרחב מטרי ותהי שהן גבול של סדרה המוכלת ב- נגדיר B = תת קבוצה אזי הסגור של הוא אוסף כל הנקודות ונראה ש- B = נניח שלא קיים < ε 0 { : ( } B ( נראה ש- B קבוצה סגורה יהי, B אזי כך ש- = B ε y אבל B סגורה ולכן לא יכול להיות ברור ש- y B, לכל ניקח B שהגבול של B הוא B מכאן ש- B סגורה מצד שני, ברור ש- B כי לכל נובע ש- B y ניתן לקחת כעת מהמינימליות של 9
אבל, ברור שגם ( כך ש- שהרי ( ( יהי B ותהי סגורה ולכן כלומר B ( בפרט B B טענה: יהי d (, יהי מרחב מטרי ויהיו B, אזי כך ש- ולכן B אזי קיימת סדרה B מכאן ש- B B ולכן B וכן הערה: ההכלה בכיוון השני לא תמיד מתקיימת למשל, נסתכל על כמרחב מטרי ועל B = 0,, אבל = B ברור ש- = = B= [ ] [ ] { } [ 0,, (, ] (, ( (, B r B r מרחב מטרי אזי לכל ( d B ( r, B( r, B ( r, B(, r, r B ( r, B( ו-(, (, ( 0 < r ולכל טענה: יהי, וכדור פתוח הוא קבוצה פתוחה לכן לפי ההגדרה ו- B r B r הערה: מה שחשוב בטענה הקודמת הוא להבין שאין שוויונים (בניגוד לאינטואיציה האוקלידית שלנו, B אבל B, = ולכן למשל, במרחב דיסקרטי, d מתקיים = { } ו-{} =, ( B ( B (, (, d תת מרחב מטרי של ( Yd, = טענה: יהי אזי תת קבוצה Y פתוחה ב- Y אמ"מ היא חיתוך של Y עם קבוצה פתוחה ב- - Y היא איחוד של כדורים פתוחים ב- Y אזי לפי משפט קודם Y פתוחה ב- ( נניח ש- Y Y = B אבל ( yα, rα Y ( α, α { : ( α, α} { : ( α, α} ( α, α B y r = y Y d y y < r = y d y y < r Y = B y r Y B היא קבוצה ( yα, rα rα = ( B( yα, והרי Y = B( yα, rα כלומר Y פתוחה ב- ( נניח ש- = B Y כאשר B קבוצה פתוחה ב- יהי אזי B ולכן קיים < r 0 כך ש- B B r, אזי B r, Y B Y אבל Y (, = { :, < } = B r Y y Y d y r B r ומכאן ש-, B r, B Y= כלומר Y, Y פתוחה ב- 0
מרחבים מטריים קומפקטיים ( הגדרה: מרחב מטרי d (, נקרא קומפקטי אם לכל סדרה קבוצה K נקראת קומפקטית אם היא קומפקטית כמרחב מטרי מושרה קיימת תת סדרה מתכנסת תת ( Kd, K [ ab, ] דוגמאות: כל קטע סגור הוא קבוצה קומפקטית לפי משפט בולצאנו ויירשטראס לכל סדרה [ ab, ] יש תת סדרה מתכנסת ב- (שהרי הקטע חסום מאחר שהקטע סגור לא קיימת תת סדרה לכן כל תתסדרה של ( תוח, ( ( [ ab, ] הגבול הוא בעצמו בקטע כל קטע ( ab, אינו קבוצה קומפקטית למשל לסדרה a+ = מתכנסת ב-(, ab ( ב- הסדרה מתכנסת ומתקיים a ab לכן בתוך הקטע הפ, a a מתכנסת גם היא לאותו גבול אבל (b, ( לא קיימת תת סדרה מתכנסת כל קבוצה סופית היא קומפקטית, שהרי בסדרה שקבוצת האיברים שלה סופית לפחות אחד מהאיברים חייב לחזור על עצמו אינסוף פעמים וזאת תהיה תת סדרה מתכנסת (, d 3 טענה: יהי קומפקטית אמ"מ סופית מרחב דיסקרטי אזי כלשהו נמשיך אינסופית יהי קומפקטית ונניח בשלילה ש- ( תהי,, כך שלכל j אינסופית ולכן יש בה אינסוף j באינדוקציה נניח שבחרנו כך ש- לכל באופן הזה בנינו סדרה + + איברים שונים לכן קיים d(, לכן לא יכולה j מתקיים = j מאחר שכל איברי הסדרה הם שונים לכל להיות קיימת תת סדרה מתכנסת של, בסתירה להנחת הקומפקטיות כבר אמרנו זאת בדוגמה (3 = } { קבוצות קומפקטיות טענה: יהי d (, מרחב מטרי ותהיינה K אזי K קבוצה קומפקטית K j = j ( K = תהי כלומר קיימת תת סדרה סדרה קיים כך שאינסוף מאיברי הסדרה נמצאים ב- K j קבוצה קומפקטית ולכן קיימת תת סדרה מתכנסת אבל ( K K אבל תת סדרה של כלומר מצאנו תת סדרה של ( שמתכנסת ל- אבל בגלל j ( l l j = K K טענה: יהי d (, תהי K מרחב מטרי ותהי K תת קבוצה קומפקטית אזי K סגורה וחסומה סדרה מתכנסת כל תת הסדרות שלה מתכנסת לאותו גבול, נניח K לכן K סגורה K ( הקומפקטיות של מתקיים j
, K B( נניח כדי להראות ש- K חסומה יש להראות שקיים וקיים < r 0 כך ש- (r כלשהו כך שלכל a K יהי K / B(, בשלילה שלכל K ולכל < r 0 מתקיים r K ולכן קיימת נקודה K / B( a, (, + d(, (, מתקיים כך ש- d a לכל ולכל, d a d a לכן אין תת סדרה של מתקיים חסומה המתכנסת ל- בניגוד להנחת הקומפקטיות לכן K הערה: אם קבוצה היא סגורה וחסומה זה לא בהכרח אומר שהיא קומפקטית למשל, במרחב דיסקרטי כל היא סגורה וחסומה (למשל ע"י, B עבור כלשהו אבל ראינו שקבוצה קבוצה במרחב דיסקרטי היא קומפקטית אמ"מ היא סופית וזה לא בהכרח נכון טענה: יהי d (, מרחב קומפקטי אזי תת קבוצה K היא קומפקטית אמ"מ היא סגורה ( ( ראינו בטענה הקומת שכל קבוצה קומפקטית היא סגורה ( נניח ש- K סגורה תהי K בפרט, אבל קומפקטי ולכן קיימת תת סדרה מכאן ש- K קומפקטית K סגורה לכן היא קומפקטית אמ"מ היא סגורה וחסומה K ו- ( m כך ש- אבל K m ( משפט: נסתכל על כמרחב מטרי כל ( את הכיוון הזה כבר ראינו בטענה קודמת נניח ש- סגורה וחסומה אזי קיים כך שלכל = מתקיים ע"י הפעלה חוזרת m פעמים פעם j j ( m,, 0 < M (( m,, ( (, ma j d 0 m j m תהי = לכל j m j < M לכל קואורדינטה של משפט בולאנו ויירשטראס ניתן לבחור תת סדרה כך ש- לכל ב- לכן קומפקטית ( m,, נגדיר = אזי j m כלומר, אבל בגלל הסגירות m נגדיר את המרחק בין a ל- B,, a הגדרה: יהי d (, המרחק בין מרחב מטרי ויהיו ואת (, = f d( a, z d a z ( d, B = f d, y y B ל- B ע"י : B, טענה: יהי d (, מרחב מטרי ויהיו תת קבוצות זרות, סגורות ולפחות אחת מהן 0 < d(, קומפקטית אזי (B, d( 0 נניח בשלילה ש- 0 = B d(, אזי בה"כ קומפקטית ברור ש- (B כך ש- 0 y d, אבל כי זו תת סדרה ( y d y אבל B סגורה ולכן, y B ( y y B לכן קיימות סדרות f d, = 0 קומפקטית ולכן קיימת לה תת סדרה מתכנסת אבל 0, של סדרה מתכנסת ולכן לפי אריתמטיקה של גבולות חייב להיות גם B בסתירה לכך ש- = B
{( = ו- B=, :0< ברור,0 : } דוגמה: נסתכל על הקבוצות זה לא בא בסתירה לטענה הקודמת משום שאף ש- = B אבל בכל זאת מתקיים α { } d(, B = 0 אחת מהקבוצות אינה קומפקטית, שהרי הן אינן חסומות הגדרה: יהי d (, מרחב מטרי אוסף F של תת קבוצות של נקרא כיסוי של אם α כיסוי נקרא סופי אם יש בו מספר סופי של קבוצות כסוי נקרא פתוח אם לכל α I α = פתוחה ב- תת כיסוי הוא אוסף חלקי של F שמכסה את F הוא כיסוי פתוח של, אבל כל {(, : } = +, שהרי כל הקבוצות בכיסוי חסומות ואילו אינו חסום דוגמה: נסתכל כמרחה מטרי אזי תת אוסף סופי של F אינו כיסוי של 0 < ε קיים { α } α I למה: יהי d (, מרחב מטרי קומפקטי ויהי מוכל באחת מהקבוצות המכסות כיסוי פתוח כך שכל כדור α B (, ε נניח בשלילה שלכל קיים כדור קומפקטי, אז תהי תת סדרה כך ש-, B שאינו מוכל באף קבוצה כיסוי לכן קיים α I כך ש- וגם < r { } α ( r, ( B קיים כך ש- α כך ש- 0 < r פתוחה אז קיים α α אבל בסתירה להנחה B, B(, r α r, d( לכן < למה: יהי d (, פתוחים ברדיוס ε יהי מרחב מטרי קומפקטי אזי לכל < ε 0 קיים כיסוי סופי של בעזרת כדורים ( B ε, B ε = סיימנו אחרת, קיימת נקודה כלשהו אם, (, ε (, ε ( B B אם = אחרת נקבל סדרה סיימנו אחרת נמשיך באותו אופן אם התהליך נגמר אז סיימנו (, j כך שלכל d ε j ואז לא ייתכן שיש לה תת סדרה מתכנסת בסתירה להיות קומפקטי לכן התהליך חייב להיות סופי הערה: הכיוון השני אינו בהכרח נכון למשל את הקטע (0, ( באורך ε אבל הוא אינו קומפקטי ניתן לכסות ע"י מספר סופי של קטעים משפט היינה בורל: יהי d (, מרחב מטרי אזי שלוש התכונות הבאות שקולות: קיים תת כיסוי סופי { F α } α I { α } α I קומפקטי לכל כיסוי פתוח לכל אוסף של קבוצות סגורות מתקיים ש- כך שכל חיתוך סופי של איברים מהאוסף אינו ריק, F אינו ריק α 3 3
מסמל קבוצה סגורה ו- J מסמל קבוצה סופית F : F = J I st F = { } α α α α J { Fα} : F J I st F α = α = α J F : F = J I st F = { } α α α { } F : J I F F α α α,} = {, ברור שלכל סדרה כלשהי נתבונן בתת הקבוצות + באותו אופן קל לראות שכל חיתוך = m m > אז m לכן אם F α ( בשלב זה 3 ( + תהי 3 מתקיים סופי אינו ריק אבל ולכן גם כל חיתוך סופי של הסגורים אינו ריק מהנתון נובע ש- כך ש- לכן לכל לכל כלומר קיים קיימת נקודה = כלומר מצאנו תת סדרה מתכנסת לכן קומפקטי ולכן d(, < ( ( נניח ש- קומפקטי ו- כיסוי פתוח מלמה קודמת קיים < ε 0 כך שלכל כדור,, a כך ש - a מלמה אחרת קיימות נקודות B { α } α I (, ε α α I כך ש- (, ε קיים, = = B (, ε = B a α = הגדרה: יהי d (, נקראת צפופה אם מרחב מטרי תת קבוצה טענה: יהי d (, מרחב מטרי ותהי אזי צפופה אמ"מ כל קבוצה פתוחה ב- חותכת את ( נניח שקיימת B פתוחה כך ש- = B ב- B קיימת נקודה פנימית כלשהי מאחר שזו נקודה פנימית לא יכולה להיות סדרה ב- שמתכנסת ל- אבל = וזאת סתירה ( נראה שלכל קיימת כך ש- לכל נסתכל על הכדור הפתוח וברור ש- לפי ההנחה בכל אחת מאלה יש נקודה B, הגדרה: מרחב מטרי d (, נקרא ספרבילי אם הוא מכיל קבוצה צפופה בת מניה טענה: יהי d (, לכל מרחב מטרי קומפקטי אזי נבחר מספר סופי של נקודות ספרבילי = B אזי כך ש-, = נראה שלכל {,, } = {,, } הקבוצה = בת מניה נטען שקבוצה זו צפופה ב - יהי קיים y כך ש- d, y < ε ומכאן ינבע שקיימת סדרה כך ש-, y y 0 < ε 4
B y, B כך ש - y, כלומר = ואכן, יהי כך ש- < ε קיים כדור פתוח d( y, לכן < ε < y, לכל, ρ אזי ρ ρ ( y, סדרה של מרחבים מטריים קומפקטיים כך ש- ρ (, y ρ(, y = (,( y = ((, = = טענה: תהי נגדיר ולכל (, מגדירה מטריקה על ρ : מרחב מטרי, כלומר ש- ρ מרחב מטרי קומפקטי ראשית יש להראות ש- ρ סימטריה: ברור מהסימטריה של חיוביות: ברור מההגדרה ש- y ρ ((,( 0 כמו כן ברור שאם y ( = ( אז ρ(, y לכל ולכן = 0 y ρ ((,( וכן מאחר שהמחוברים אי שליליים = 0 y ρ, אז כל אחד מהמחוברים חייב להתאפס מה שבתורו מעיד על כך כולם אם = 0 ( = ( y או לכל ש- y = אי שוויון המשולש: יהיו (,( y,( z אזי ((,( = ρ(, ( ρ(, + ρ(, d z z y y z = = ρ,,,, = = ( y ρ ( y z d( ( ( y d( ( y ( z = + = + = כעת נראה שהמרחב קומפקטי ( ( = תהי סדרה לכל ( = נשים לב,, נסמן את הקואורדינטות, מתכנסת ל- y ( ( = מתקיים ש- m m = שלכל תהי ( סדרה עולה של טבעיים כך ש- סדרה במרחב קומפקטי נמשיך באינדוקציה + ( תת m ( m m= ( m,,( m m= m= נניח שמצאנו סדרה של ולכל < סדרות עולות ממש של טבעיים כך שלכל מרחב קומפקטי ולכן לסדרה + את התהליך הזה ניתן לעשות כל מספר m m y + m + y + m יש תת סדרה מתכנסת ( m ( m + + גדול ככל שיהיה (אך סופי פעמים 5
נספח א' סיכום הגדרות 6
נספח ב' סיכום משפטים, טענות ולמות 7
נספח ג' משפטים מרכזיים ותמציות הוכחות 8
אינדקס 9