המחלקה למתמטיקה Departmet of Mathematics פרויקט מסכם לתואר בוגר במדעים )BSc( במתמטיקה שימושית שברים משולבים וקירובי פדה ריאן סלאח אלדין Cotiued fractios ad ade approimatio Raya Salah Alde
פרויקט מסכם לתואר בוגר במדעים )BSc( במתמטיקה שימושית שברים משולבים וקירובי פדה ריאן סלאח אלדין Cotiued fractios ad ade approimatio Raya Salah Alde Advisor: מנחה: rof Eli Mar פרופ'" מרק ילין Karmiel כרמיאל 6
תוכן העניינים מבוא ורקע היסטורי 4 פרק - מה הם שברים משולבים 5 הגדרות ודוגמאות 5 חישוב שברים משולבים של מספרים רציונאלים 6 3 חישוב שברים משולבים של מספרים אי רציונאלים 8 4 שברים משולבים מחזוריים פרק -התכנסות שבר משולב 3 פרק - 3 קירוב פדה 3 3 תיאור השיטה 3 3 טבלת פדה 7 33 יצוג קירוב פדה באמצעות שברים משולבים 3 34 שימוש בקירובי פדה לפתרון משוואות דיפרנציאליות 4 4 סיכום 5 בבליוגרפיה 3 6 נספחים 3 6 נספח תוצאות חישוב 3 6 נספח codes matlab 33 3
רקע היסטורי ומבוא בפרויקט זה נחקור את הנושא של שברים משולבים,את התכונות שלהם,את הייצוג של מספרים רציונאליים ואי-רציונאליים כשברים משולבים,ונוכיח מספר משפטים שקשורים לנושא הזה בהמשך נחקור את קירובי פדה והשימושים שלהם, נציג את הדרך לחישוב קירובי פדה ונראה את הקשר ביניהם לבין שברים משולבים בסוף הפרויקט אנו נדבר ונציג אחד השימושים החשובים של קירובי פדה שהוא פתרון משוואות דיפרנציאליות שאי אפשר לפתור אותן אנליטית שברים משולבים הוא נושא חשוב ושימושי בהרבה ענפים במתמטיקה וישומיה כגון: תורת הכאוס, קירוב של מספרים אי רציונאליים ופתרונות של משוואות מתמטיות שונות מאז שזה התחיל מהאלגוריתם של אוקליד )כשנה 3 לפני הספירה( למציאת המחלק המשותף הכי גדול של שני מספרים ארכימדס )Archimedes( עשה שימוש בשיטת השברים המשולבים, במסגרת עבודתו על שיטה לחישוב של מספר שבמהלכה היה צריך לבצע קירובים רציונליים לשורשים ריבועיים של מספרים שאינם רציונאליים מאוחר יותר, גם פיבונאצ'י חקר את השימוש בשברים משולבים המונח "שבר משולב" נטבע ב 653 על ידי ג'ון ואליס Wallis( )Joh בערך באותה התקופה, המדען ההולנדי המפורסם כריסטיאן הויגנס Huyges( )Christiaa עשה השימוש הפרקטי הראשון בשברים משולבים, כשהשתמש בהם לצורך בניית מכשירים מדעיים המורכבים מגלגלי שיניים את הטיפול השיטתי הראשון בשברים משולבים סיפק לאונרד אוילר Euler( )Leoard בהם ניתח באופן מעמיק את התכונות של שברים משולבים, הוכיח שכל מספר רציונאלי ניתן להצגה כשבר משולב סופי ומצא הצגה של המספר e כשבר משולב אינסופי, ממנה נבע e שהמספר הינו אי רציונאלי ב 83, קרל פרידריך גאוס) Gauss )Karl Friedrich גזר תבנית כללית ביותר של שברים משולבים עם ערכים מרוכבים באמצעות זהות שקישרה בינם לטור ההיפרגאומטרי גאוס גם חקר לפני כן, ב 8, את ההתנהגות של שברים משולבים של מספרים ממשיים אקראים וניסח והוכיח מספר חוקים לגבי ההתנהגות שלהם 4
פרק שברים משולבים בפרק זה נכיר את השברים המשולבים ואת התכונות והשימושים שלהם ונלמד כיצד שברים משולבים קשורים לאלגוריתם של אוקליד למציאת המחלק המשותף הכי גדול הגדרות ודוגמאות a a a b b b3 b4 a3 b a שברים משולבים הם ביטויים מהצורה כאשר,, a והן,, b הם בדרך כלל מספרים טבעיים או כללים יותר, למשל b a מרוכבים, הנקראים המקדמים של השבר המשולב i,, b אם i משולב מוכלל לכל נהוג לסמן שבר משולב פשוט בצורה מקוצרת כ- אזי השבר נקרא שבר משולב פשוט אחרת הוא נקרא שבר ושבר משולב מוכלל a; a,, a b b b 3 a a a a3 בצורה אם השבר בעל מספר סופי של איברים אזי הוא נקרא שבר משולב סופי ( cotiued fiite )ifiite cotiued fractio( אחרת הוא נקרא שבר משולב אינסופי )fractio 45 [;,4,3] 6 9 4;,,3,,,8,,,3,,,8, דוגמאות : 3;7,5,,9,,,,,,3,, ;,,,,,,,,,,, golde mea לפני שנדבר על איך מחשבים שברים משולבים נזכיר את האלגוריתם של אוקליד לחישוב מחלק משותף הגדול ביותר של שני מספרים טבעיים : דוגמא: למצוא את המחלק המשותף הכי גדול של 7 ו- : 46 7 = 46 + 47 46 = 47 3 + 47 = 7 + נקבל שהמחלק המשותף הכי גדול ל 7 ו 46 הוא 6 5
6 חישוב שברים משולבים של מספרים רציונאלים החישוב של שבר משולב של איזשהו מספר רציונאלי מתבוסס על האלגוריתם של אוקליד 7 46 לדוגמא נרצה למצוא את השבר המשולב של המספר לפי האלגוריתם של אוקליד קיבלנו ש : 7 = 46 + 47 46 = 47 3 + 47 = 7 + ;3,7 אזי נקבל ש- 7 46 קיבלנו שבר משולב סופי דוגמא: 875 נחשב שבר משולב של 875 875 = + 875 = 875 + 5 875 = 7 5 + 875 875 ;, 7 אזי נקבל ש- בדוגמאות הנ"ל קבלנו שברים משולבים סופיים מתברר שזה לא מקרי אלא תכונה כללית של שברים משולבים של מספרים רציונאליים, כעת נלמד תכונות של שברים משולבים של מספרים אלה: משפט : שבר משולב של כל מספר ממשי הוא סופי אמ"מ המספר הוא מספר רציונאלי הוכחה: מצאית שבר משולב מתבצעת על סמך האלגוריתם של אוקליד, כלומר אם המספר הוא רציונאלי אזי באיזשהו שלב נגיע לשארית חילוק ששווה לאפס לכן מזה נובע ששבר משולב של מספר רציונאלי הוא סופי נוכיח עכשיו את הכיוון השני נניח שנתון שבר משולב סופי, נוכיח את הנדרש באינדוקציה X נניח ש מייצג את הערך ה -י של השבר המשולב X a נבדוק קודם כל עבור המקרה : אזי כך ש - a N רציונאלי כלומר המספר הוא נוכיח עכשיו שהטענה נכונה עבור )כלומר עבור כל סדר של השבר הסופי( 6
X a ; a, a, a, כלומר נתון ש Y a ; a, a, a, X a Y נכתוב את X כ- כך ש- X pa q p p שבר משולב סופי אזי אפשר לכתוב בצורה Y כלומר q מספרים שלמים אזי נקבל ש X מספר רציונאלי Y pqa,, מאוחר ו- מאוחר ו- משפט 6: אם שבר משולב סופי נגמר במספר שגדול מ, אזי אפשר להציג אותו בשתי a ; b, c, d, e, f, g, a; b, c, d, e, f, g צורות או 7 ; 4, 3, ; 4, 3,, לדוגמה: 3 משפט 3: לכל שבר משולב של מספר רציונאלי אפשר לקבל את ההצגה של ההפוך על ידי הזזת המקדמים )האיברים של השבר( ימינה או שמאלה 3 7 [ 4; 3, ] 7 3 ; 4, 3, דוגמה: 46 ;,3,7 7 7 46 ;3,7 7
3 חישוב שברים משולבים של מספרים אי רציונאלים u נניח נגדיר כאת ש- הוא מספר אי רציונאלי החלק השלם של המספר ונגדיר גם החלק השברי u u כך ש- של המספר לייצג את ברור שאם כסכום u אזי מספר שלם, מכאן ניתן u, u u, u, u u נמשיך בתהליך הזה אזי נקבל, ונקבל ש- u u מספר שלם ו- u u באותה הדרך נמשיך את התהליך ונקבל ש- כך ש 3 u, אז רואים כי u הפיתוח הנ"ל מוכיח שכל מספר ממשי אפשר להציג כשבר משולב, וראינו קודם שכל מספר הוא רציונאלי אם ורק אם אפשר להציג כשבר משולב סופי, ז"א בשלב מסוים נגיע ל מסוים כך ש- u מה קורא אם המספר הוא אי רציונאלי? נתבונן בכמה דוגמאות לחישוב שברים משולבים למספרים אי רציונאלים לפי האלגוריתם שהזכרנו לעיל דוגמא: נחשב את השבר המשולב של π לפי האלגוריתם לעיל u 4 [ ] 3 3 π4 34 u 4 [ ] 7 u u 74 u 4 [ u ] 7 u 74 8
π 3 7 5 9 אם נמשיך בתהליך הזה נקבל: 3;7,5,,9 או בקיצור ראינו שקיבלנו שבר משולב אינסופי נשווה את הקירוב הזה עם האלגוריתם של אוקליד כלומר אם אנחנו רוצים לקחת את עם דיוק של שלושה ספרות אחרי הנקודה העשרונית )אפשר גם יותר תלוי במידת הדיוק 34 שאנחנו רוצים אותה אבל מה שחשוב שיהיה מספר סופי של ספרות( לכתוב כשבר רציונאלי רגיל: היינו יכול ואז לפי האלגוריתם של אוקליד נקבל: 34 34 34 = 3 + 4 = 4 7 + 3 4 = 3 + 3 = + = 5 + = + 3 7 5 ונקבל 3;7,,,5, או בקיצור כעת נוכל לנסח מסקנה על הצגת מספרים אי רציונאלים ע"י שברים משולבים שנובעת מהמשפטים הקודמים: מסקנה: שבר משולב של כל מספר אי-רציונאלי הוא אינסופי
שברים משולבים מחזוריים שבר משולב מחזורי הוא שבר משולב שבו אחד או כמה מספרים חוזרים על עצמם באופן קבוע דוגמא: נרצה למצוא שבר משולב של 44 אפשר לכתוב את נכפיל את המונה והמכנה ב נקבל : : אם נציב באגף שמאלי של המשוואה את הערך של ;,,,,, אזי נקבל : קיבלנו שבר משולב מחזורי עם מחזור באופן דומה נתן לקבל גם 5 [ ;4,4,4,4,4,4 ] 5 7; 7,4, 7,4, 7,4, 7,4, אם כך, נשאלת שאלה אלה מספרים מיוצגים ע"י שברים מחזוריים? משפט : שבר משולב של מספר אי רציונאלי הוא מחזורי אם ורק אם המספר הוא פתרון של משוואה ריבועית 4 למשל בדוגמה שלנו הוא פתרון של המשוואה הריבועית בפרט אנו מסיקים את נטענה הבאה: מסקנה: שברים משולבים של כל השורשים של מספרים טבעיים שהם לא ריבוע שלם הם מחזוריים
י- פרק התכנסות שבר משולב מתברר שתכונות של שברים משולבים שראינו בפרק הקודם קשורות לקשר בין השברים האלה להעתקות שבר לינאריות יותר מזה הקשר המוזכר מאפשר לחקור התכנסות של שברים משולבים נציג את השבר המשולב כהעתקה שבר לינארי : w t t t אזי רואים ששבר משולב הוא הרכבה של העתקות t : u a u כאשר w נקרא הקירוב ה - י לשבר המשולב w p q, ז"א q ו- נסמן ב p את המונה והמכנה )בהתאמה( של הקירוב ה )מסדר ) מתקיימים תנאי,, X a ; a, a, a,, q a q q עבור, p a p p משפט 5: לכל שבר משולב רקורסיה הבאים: התחלה עם תנאי q, q, p, p C p q הוכחה: נוכיח באינדוקציה,נסמן את הסדר ה- -י של השבר נבדוק את שני המקרים הראשונים כלומר עבור ו- : C p a a a q a C p a p p a a a a q a q q a a שני המקרים מתקיימים נניח עכשיו שהטענה מתקיימת עבור ונוכיח שהיא מתקיימת עבור המקרה p a p p C [ a; a,, a] q a q q הנחה: C p q נכתוב את כשבר משולב מסדר במקום סדר בצורה הבאה: C a a a a a C a a a a כלומר נכתוב את כ-
C כלומר עכשיו מסדר C a p p a a q q a נשתמש בהנחה של האינדוקציה עבור סדר של השבר, C a p p a p p p p p a q q a q q q q q a a a a a a אזי a נכפיל את המונה והמכנה ב- אזי נקבל: C אזי קיבלנו שהטענה נכונה עבור המקרה a p p p a q q q, ( מתקיים תנאי p )מסדר X a ; a, a, a,,, p q p q ( ) משפט : לכל שבר משולב רקורסיה הבא: עבור עם תנאי התחלה q, q, p הוכחה: נבדוק עבור המקרים ו- : p q p q () () ( ) p q p q ( a p p ) () ( a q q ) ( ) שני המקרים מתקיימים p q p,נוכיח q ( ) כלומר נניח עכשיו שהטענה מתקיימת עבור שהטענה מתקיימת עבור p q p q ( a p p ) q p ( a q p ) a p q p q a p q p q p q p q ( p q p q ) ( ) ( ) אזי הטענה מתקיימת עבור S a a; a,, a משפט 7: שבר משולב מתבדר מתכנס למספר סופי אם ורק אם הטור
פרק 3 קירוב פדה בפרק זה נציג ונדבר על שיטת קירוב הנקראת קירוב פדה approimatio( )adè והקשר של הקירובים האלה עם שברים משולבים 3 תאור השיטה: שיטת פדה היא דרך לקירוב פונקציה נתונה שרירותית באמצעות פונקציה רציונאלית התיאוריה פותחה בסביבות שנת 8 ע"י המתמטיקאי הצרפתי הנרי פדה adé) (Heri קירוב פדה מתקבל מפיתוח הפונקציה לנוסחת טיילור,אבל היתרון של קירוב פדה שהוא נותן קירוב לפונקציה יותר טוב מקירוב טיילור גם מעבר לרדיוס ההתכנסות של טור טיילור, כלומר בנקודות שבהן טור טיילור מתבדר A ( ) ( ) N N M M BM ( ) N a b נסמן את הקירוב ב- והמכנה פולינום ממעלה M וגם במקרה המיוחד שבו כאשר המונה הוא פולינום ממעלה N נקבל שקירוב פדה ( M ) M,b זהה לנוסחת טיילור מסדר N פדה כלומר נוסחת טיילור היא מקרה מיוחד עבור קירוב, ז"א שהפונקציה גזירה לפחות MN משפט :8 נניח שנתונה הפונקציה ) f C ( פעמים סביב נקודה M N N AN ( ) M כאשר ( ) B ( ) מסוימת, אזי ניתן לקרב אותה ע"י פונקציה רציונאלית M ו- N M ו-( ( B הם פולינומים ממעלה A ( ) N בהתאמה, לשם הנוחות וכדי שלא נגיע לנוסחאות בלתי קריאות ניקח את,ואז נרשום ) קוראים קירוב פדה M N A f () M ( ) B N M N M ( ) ( ) ( ) לקירוב זה ( לפני שנכיר דרך כללית לבניית הקירובים הנ"ל, נציג שתי דוגמאות לחישוב קירוב פדה: דוגמא: סביב הנקודה ( ) f e ( ) נחשב את לפונקציה A ( ) a a a f A ( ) B ( ) 5 ( ) O( ) נפתור את המשוואה כאשר B ( ) b b f O 6 4 3 4 5 נפתח את הפונקציה לנוסחת טיילור מסדר רביעי ) ( ) ( 3
f B A O 5 ( ) ( ) אזי מתקיים ) ( ) ( אם עכשיו נאסוף איברים עד לחזקה 4, נקבל: b b b 6 4 6 3 4 a a b a b b b a a b a b b b b 6 b b 4 6 a a a b b b 6 6 ( ) אזי מתקיים: )ראה קוד בנספח 6( 5 e 5-5 -4-3 - - 3 4 5 graph מהגרף אנו יכולים לראות שבסביבת הנקודה השגיאה שואפת לאפס ומאיזה שהיא lime נקודה השגאיה מתחילה לגדול מאוחר ש- ו- lim 4
מאוחר והקירוב במקרה שלנו הוא סביב הנקודה אבל בתחום ו- y ולשם הבהרה, נסתכל על אותו גרף 5 7 9 8 7 e 6 5 4 3-4 - 4 6 graph מהגרף אנו יכולים לראות כיצד מתכנס לפונקציה בנקודה ובתחום אנו רואים lim e כיצד השגיאה הולכת וגדלה כי ו- lim דוגמא 6: f ( ) cos( ) 4 ( ) 4 נחשב את לפונקציה סביב 4 7 43 4 6 8 9 ( ) O( ) f נפתח את הפונקציה לטור טיילור מסדר שמיני : f B A O 9 ( ) ( ) אזי מתקיים ) ( ) ( אם עכשיו נאסוף איברים עד לחזקה, נקבל b 3 3 b 4 a4 b4 4 3 a a b a b a b 5
a 3 4 a a a a 5 5 33 5 b 3 4 b b b b 5 3 5 5 69 33 5 66 3 4 4 4 ( ) 4 8 cos() 4 4 6 4 - -4-6 -8 - -5-4 -3 - - 3 4 5 graph 3 מהגרף אנו יכולים לראות את ההתכנסות סביב 6
N M ( ) 36 טבלת פדה: טבלת פדה היא טבלה אשר בתוכה נמצאים הערכים הנומריים של N M לפני שנדבר על מבנה הטבלה נציג את הדרך הכללית לחישוב הקירוב של פדה ( ( M N f MN נתונה הפונקציה אותה ע"י פונקציה רציונאלית, נניח שהפונקציה גזירה לפחות כאשר פעמים, רוצים לקרב M B ( ) b M N N ) A ( ו- a N A f ( ) M ( ) B N M ( ) ( ) N M A ( ) B N M ( ) ( ) הם פולינומים ממעלה N ו- M בהתאמה, ז"א, כלומר M N נשים לב שבהינתן אום הנתונים, אפשר לפתח את הפונקציה ( )f למצוא פולינום טיילור לנוסחת טיילור מסדר c נפתור את המשוואה ( f ) ( ) כך ש-! AN ( ), TM אזי נקבל N ( ) O B ( ) M MN T ( ) c M N MN או יותר מדויק T MN b b A ( ) B N M ( ) ( ) a a a MN c c c O( ),,,,i מאוחר i במערכת המשוואות N נבצע השוואת מקדמים,נקבל את מערכת המשוואות: a c a c c b a c c b c b a3 c3 cb cb cb3, a, b i ונקבל את המקדמים i והפולינום הוא ממעלה עד סדר כלשהו נדרש, כלומר עבור a לכל i נקבל ש- N A ( ) N 7
הצורה הכללית של הטבלה היא: M N 6 3 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 3 ( ) 3 8
דוגמא: נתבונן בטבלת פ'דה חלקית לפונקציה מערכית e M N 6 3 3 3 6 6 3 4 3 4 4 4 3 6 3 6 3 5 3 3 5 6 3 3 6 4 3 4 3 4 4 4 4 3 3 3 5 6 5 3 3 3
נשים לב שכל אחת מהפונקציות רציונאליות בטבלה שנמצאות באלכסון מאונך לאלכסון הראשי בנויות על סמך אותם הנתונים נשאלת השאלה איזה פונקציה מהן נותנת קירוב הכי טוב לפונקציה המקורית? : נסתכל על הגרפים של הקירובים ביחס לפונקציה סביב הנקודה )ראה קוד 6 בנספח 6( 6 5 4 e 3 3 3 4 5 6 graph 4
6 5 4 e 3 3 3 4 5 6 graph 5 6 5 4 e 3 3 3 4 5 6 graph 6
6 5 4 e 3 3 3 3 3 3 3 4 5 6 graph 7 נתבונן בטבלת השגיאות בנספח )ראה קוד 3 בנספח 6( של כל אחד מהקירובים במספר נקודות שנמצאת בנספח )ראה נספח 6( בתנאי שפונקציית הקירוב מוגדרת בסביבת הנ"ק הנוכחית מהגרפים והטבלאות אנו יכולים להסיק את המסקנות הבאות: ככל שלוקחים קירוב מסדר יותר גבוה אנו מקבלים קירוב יותר טוב ז"א שגיאה יותר קטנה ואז מקבלים התכנסות יותר מהירה לערך של הפונקציה בדרך כלל הקירובים הטובים ביותר הם הקירובים אשר נמצאים באלכסון הראשי ובאלכסון שמתחתיו כלומר האיברים הקירובים של פ'דה N N ו N N לכל N,, בטבלת
33 יצוג קירוב פדה באמצעות שברים משולבים f ( ) c נתונה הפונקציה ( )f נניח שנוסחת טיילור שלה מסדר אפשר להציג אותה כשבר משולב בצורה הבאה: ה אי אזי f( ) a ( ) a b ( ) b ( ) b3 ( ) ( ) b4 ( ) a3( ) b ( ) a ( ) ננסח כמה נוסחאות שהזכרנו בפרק )מספרים( שהן תקיפות גם במקרה של קירובי פונקציות, deg( A ), deg( A ) A B נסמן ב את הקירוב ה -י של הפונקציה כאשר,, deg( B ) אזי מתקיים: deg( B ) A A B B עבור,3,,, עם תנאי התחלה A b A a A B b B a B יש מספר שיטות לייצוג פונקציה רציונאלית כשבר משולב, נציג אחת השיטות: f( ) 3 דוגמא: נחשב את השבר המשולב של הפונקציה 3 4 נבצע חלוקת פולינומים רגילה נקבל 4 4 רואים ש- 4 לכן נכתוב את השבר בצורה הבאה: 5 6 4 4 6 4 ושוב 3 f( ) 5 4 6 64 6 באותה דרך נמשיך ונקבל 3
3 שימוש בקירובי פדה לפתרון משוואות דיפרנציאליות בפרק קודם הכרנו את קירובי פדה וראינו שהם נותנים קירוב טוב לפונקציות, בפרק זה נציג את השימוש של קירובים אלה בפתירת משוואות דיפרנציאליות נציג את הדרך בעזרת הדוגמא הבאה: דוגמא: y ' y 8 3 y ( ) ( ) נתבונן בבעית ההתחלה הכוללת המשוואה הדיפרנציאלית ו-תנאי ההתחלה y() מהתבוננות במשוואה אנו רואים ש- :,, y ולכן 5, המשוואה לא פתירה בצורה אנליטית,ולכן צריך לפתור אותה נומרית ממבנה המשוואה ברור שלמשוואה יש סינגולאריות כאשר y, צריך לחפש פתרונות בתחום 5 y ''() נמצא קודם כל את ()' y ו- 8 y'' yy' y ' y y 8 3 y() ( ) ( ) '() y() 8 3 נגזור את המשוואה: 6 3 () ( ) 8 y ''() y() y ' () y '() 6 4 6 y () () () נציב:,, עכשיו נבנה את קירובי פדה T ( ) 3 3 הינו פולינום טיילור כי המכנה מדרגה 3 b 3 3 a a O נפתור את המשוואה a a b 4
3 3b b b 3 a a a a נבצע השוואת מקדמים נקבל את מערכת המשוואות: מזה נובע b 3 b 3 3 a O 3b 3b b 3 3 b b 3 a a, נפתור את המשוואה a b b נבצע השוואת מקדמים נקבל את מערכת המשוואות: נקבל 3 3 כעת בידיעת הקירובים האלה, נחזור למשוואה המקורית ונרשום את הפתרון שלה בצורה y() כך ש- y i y j y y y ( 3 3 ) y y 3 3 y 3 y y y i j y ( ) i j נניח ש- הוא פתרון מקורב למשוואה הדיפרנציאלית אזי ככל ש קירוב טוב יותר לפתרון האמיתי קרוב ל נקבל ש- נותן נתחיל מ- y y ( 3 3 ) y נציב במשוואה: 8 3 ( ( ( y ' 3 3 ) y 6 3) 3 3 ) y ( 3 3 ) y ( ) ( ) 6 3 8 3 y ' y y 3 3 3 3 3 3 ( ) y ( ) ( )( 3 3 ) נפתור את המשוואה ע"י גרפיקה ממוחשבת, נצייר שדה שיפועים של קבוצת הפתרנות של המשוואה: )ראה קוד בנספח 6( 5
קיבלנו שהפתרון קרוב ל - בתחום 4 אבל רואים שלפני ואחרי התחום הזה הפתרון מתחיל להתרחק מ- ז"א קירוב פחות טוב מחוץ לתחום הנ"ל y y 3 3 נציב y במשוואה: 6 3 8 33 3 y ' y y 3 3 3 3 33 y ( ) ( ) 3 3 3 3 6 3 8 3 y' y y 3 3 3 3 y ( ) ( ) נצייר שדה שיפועים של קבוצת הפתרנות של המשוואה: 6
קיבלנו שהפתרון קרוב ל - בתחום אבל רואים שלפני ואחרי התחום הזה הפתרון מתחיל להתרחק מ- ז"א קירוב פחות טוב מחוץ לתחום הנ"ל והפתרון הזה הוא פחות טוב מהפרון הקודם כי הפתרון הקודם היה קרוב ל- באינטרוול גדול יותר y y y 3 נציב במשוואה: 3 8 3 y ' y y ( ) ( ) y 3 8 3 y ' y y y ( )( ) משוואה זו גם לא פתירה אנליטית,אבל אם מציירים שדה שיפועים של קבוצת הפתרנות של המשוואה נקבל: 7
y y y 3 קיבלנו שהפתרון ) ( המדויק של המשוואה המיקורית y שווה זיהותית ל - ולכן הפתרון הוא הפתרון 8
סיכום נושא הקירובים עניין אותי במיוחד, מאז שהתחלתי את התואר למדנו הרבה קורסים,שנוגעים בנושא הקירובים כמו טורי פורייה וטורי חזקות טיילור ולורן,לכן בחרתי בנושא הזה כי הוא מאוד מוחשי ושימושי וקל להבנה, אי לכך חיפשתי הרבה חומר בכל מיני ספרות, מאמרים ואתרי אינטרנט כדי שאוכל לנסח ולכתוב את הפרוייקט בצורה ברורה ושיטתית כך שכל אחד שיש לו רקע מתמטי יוכל להבין אותו התחלתי את הפרויקט בנושא השברים המשולבים שמהווה חומר בסיס לפרקים האחרים, בהתחלה הזכרתי אלגוריתם אוקליד למציאת המחלק הכי קטן וראיתי איך ממנו אפשר לייצג כל מספר רציונלי ואי רציונאלי כשבר משולב בפרק השני חקרתי את הנושא התכנסות שבר משולב, היצגתי את השבר המשולב כהעתקה שבר ליניארית והוכחתי מספר תכונות ומשפטים שקשורים להתכנסות של השבר המשולב הפרוייקט התחיל לקבל צורה ולהיות יותר מעניין בפרק השלישי, שבו חקרתי את הנושא קירובי פדה שבו הסקנו מסקנה מאוד מעניינת וחשובה שטור טיילור הוא מקרה מיוחד של קירוב פדה שבו המכנה ממעלה אפס, הצגתי את השיטה לחישוב קירובי פדה והראיתי בעזרת גרפים ב- matlab כמה קירובי פדה משמשים "כקירוב טוב" לפונקציה הפרויקט היה אמור להסתיים בתת פרק 33 שבו קישרנו בין שברים משולבים וקירובי פדה, אך רציתי שהפרוייקט יהיה יותר מעניין ומתאים לסטודנט תואר ראשון,וגם רציתי להשתמש וליישם את מה שלמדתי בתקופת התואר, לכן החלטנו להוסיף נושא חדש "שימוש בקירובי פדה לפתרון משוואות דיפרנציאליות", שבו היצגנו שיטה לפתרון משוואות דיפרנציאליות שאינן פתירות אנליטית בעזרת קירובי פדה, וראינו שקירוב פדה הוא אכן פתרון "טוב" ואף יותר מדויק למשוואה הדיפרנציאלית
בבליוגרפיה D C Collis, Cotiued Fractios Herici, Applied ad Computatioal Comple Aalysis, Volume, Wiley-Itersciece, 99 ספרות: 3 Baer, George A,Essetials of ade approimats,new Yor :Academic ress,975 מאמרים: 4 Elsevier-L Loretze - Applied umerical mathematics, 5 https://ewiipediaorg/wii/cotiued_fractio אתרי אינטרנט: 6 http://wwwmathssurreyacu/hostedsites/rkott/fiboacci/cfintrohtml 7 https://ewiipediaorg/wii/ad%c3%a9_approimat 8 https://ewiipediaorg/wii/ad%c3%a9_table 9 http://mathworldwolframcom/adeapproimathtml http://jfrabajateweeblycom/uploads///5/5/55779/_pade_approim atiopdf http://mathfacultyfullertoedu/mathews//3/pade/adeapproimatio roofpdf 3
= = f ()=e 738956989365 נספח בנספח זה מופיעים תוצאות החישוב שבעמוד ade approimat Table: - -3 3 Eroor 4999999999999999 8999999999999998 5 8999999999999998 7 7499999999999998 7 7666666666666667 7333333333333335 74 Errors Table (f()-): 638956989365 838956989365 638956989365 38956989365 438956989365 Eroor 38956989365-6943969348 38956989365-6943969348 38956989365-943969348 38956989365-7765677367 55776559736-943969349 = 5 f() =e = 6487778 ade approimat Table: 6 6557437934 5 666666666666667 6475883594 64885496836 65 65 648648648648649 64875464589 6484375 64889538954 6487794877949 6487399738 Errors Table (f()-): 6487778-3578799987 487778-645439975 487778-7945395966539 66447777-33693933 37778-78799987 76548-39476446 837778-88539396 339879-93693 3
=5 f() =e =57963764 ade approimat values Table: 563578947368 5483574444 57383679 5 58585 573877639 579774936 55 578644678 579599675 579637835 579375 57974644 579637376 57963763 Errors Table (f()-): 57963764-364857344 73895583-8495768 7963764-954967 9498385-6989 963764-964654 456349-3 664-6739 6-8 3
clc =-5::5; f=ep(); p=(+6*+^)/(-6*+^); figure plot(,f,,p,'r') leged('e^','_^') grid label('graph ') נספח קוד : figure f=cos(); p44=(5-69*^+33*^4)/(5+66*^+3*^4); plot(,f,,p44,'r') leged('cos()','_4^4') grid label('graph ') קוד 6: clc =::3; f=ep(); %pm---- m-omeatur degree -doimiator degree p=; p=(+); p=++5*(^); p3=++5*(^)+(/6)*(^3)+(/4)*(^4); p=/(-); p=(+5*)/(-5*); p=(+(/3)*+(/6)*(^))/(-(/3)*); p3=(+75*+5*(^)+(/4)*(^3))/(-5*); p=/(-+5*(^)); p=(+(/3)*)/(-(/3)*+(/6)*(^)); p=(+5*+(/)*(^))/(-5*+(/)*(^)); p3=(+(3/5)*+(3/)*(^)+(/6)*(^3))/ (-(/5)*+(/)*(^)); p3=/(-+5*(^)-(/6)*(^3)); p3=(+5*)/(-75*+5*(^)-(/4)*(^3)); p3=(+4*+5*(^))/(-6*+5*(^)-(/6)*(^3)); p33=(+5*+*(^)+(/)*(^3))/ (-5*+*(^)(/)*(^3)); figure plot(,f,,p,,p,'--b',,p,'or',,p3) leged('e^','_^','_^','_^','_3^') ais([ 6 6]) 33
label('graph 3') figure plot(,f,,p,,p,'--',,p,'o',,p3) leged('e^','_^','_^','_^','_3^') ais([ 6 6]) grid label('graph 4') figure plot(,f,,p,,p,,p,'--',,p3,'o') leged('e^','_^','_^','_^','_3^') ais([ 6 6]) grid label('graph 5') figure plot(,f,,p3,,p3,,p3,,p33) leged('e^','_^3','_^3','_^3','_3^3') ais([ 6 6]) grid label('graph 6') קוד 3: clc =5; f=ep(); %m == m-omeatur degree -doimiator degree %err error p=; p=(+); p=++5*(^); p3=++5*(^)+(/6)*(^3)+(/4)*(^4); p=/(-); p=(+5*)/(-5*); p=(+(/3)*+(/6)*(^))/(-(/3)*); p3=(+75*+5*(^)+(/4)*(^3))/(-5*); p=/(-+5*(^)); p=(+(/3)*)/(-(/3)*+(/6)*(^)); p=(+5*+(/)*(^))/(-5*+(/)*(^)); p3=(+(3/5)*+(3/)*(^)+(/6)*(^3))/ (-(/5)*+(/)*(^)); er3=f-p3; er=f-p; er=f-p; er=f-p; er3=f-p3; er=f-p; er=f-p; er=f-p; er3=f-p3; er=f-p; er=f-p; er=f-p; p3=/(-+5*(^)-(/6)*(^3)); er3=f-p3; p3=(+5*)/(-75*+5*(^)-(/4)*(^3)); er3=f-p3; p3=(+4*+5*(^))/(-6*+5*(^)-(/6)*(^3)); er3=f-p3; p33=(+5*+*(^)+(/)*(^3))/(-5*+*(^) 34
-(/)*(^3)); er33=f-p33; res=[p p p p3 ; p p p p3 ; p p p p3 ; p3 p3 p3 p33]; err=[er er er er3;er er er er3;er er er er3;er3 er3 er3 er33]; disp('ade approimat Table:') disp(res) disp('errors Table (f()-):') disp(err) > > > > קוד : קוד בתוכנת maple לשרטוט שדה שיפועים של פתרונות של משוואה דיפרנציאלית > > > 35
36 >
37