אוסף שאלות מס. פתרונות שאלה חשבו את ערך האינטגרל e z y dxdydz כאשר {x,y,z y, x, z xy}. e z y dxdydz ye z y xy dxdy z ydy e x dx xy e z y dzdxdy ye x dxdy e e. פתרון: שאלה חשבו את ערך האינטגרל x dxdydz כאשר הוא הארבעון טטרהדר שקדקדיו,,,,,,,,,,,.
פתרון: הוא התחום שבשמינית החיובית של המרחב ומתחת למישור :x+y+z {x,y,z x,y,z, x+y +z }. x x x dxdydz x y x x y dzdydx x xy y x y dx y x x dx x dzdydx x x x ydydx x x x dx x 4 x +x dx 6. שאלה חשבו את ערך האינטגרל zdxdydz כאשר הוא התחום החסום על ידי הפרבולואיד z x +y והמישור 4.z פתרון: חשוב לסרטט סקיצה של התחום כדי להבין איך הוא ניראה. ההיטל של התחום על מישור xy הוא העיגול {x,y x +y 4} {x,y,z x,y, x +y z 4}. נוכל לכתוב את התחום כך: zdxdydz 4 zdz x +y 6 x +y dxdy 4 z zx +y
כדי לחשב את האינטגרל הכפול נעבור לקואורדינטות קוטביות: 6 r 4 rdrdθ π 6r r 5 dr π 8r r 6 r6 64 r π. באופן אלטרנטיבי היינו יכולים לחשב את האינטגרל על ידי מעבר לקואורדינטות גליליות באינטגרל המשולש. שאלה 4 יהא התחום החסום על ידי המישורים,x,x+y,z,y.z x+y xdxdydz. א. חשבו את הנפח של. ב. חשבו את ערך האינטגרל פתרון: ההיטל של התחום על מישור xy זה המשולש {x,y x, y, x+y }. {x,y,z x,y, z x+y}. Vol x+ydxdy y dxdydz x+ydxdy y +y y dy xdxdydz x+y x+y dzdxdy והתחום הוא x y x +yx dy x y dy. xdzdxdy
xx+ydxdy y y + y y xx+ydxdy dy 6 x + x y yx dy x +y y dy 8. x+y +zdxdydz שאלה 5 חשבו את ערך האינטגרל כאשר הוא התחום הנמצא בשמינית החיובית של המרחב וחסום מלמעלה על ידי הפרבולואיד z 4 x y ומלמטה על ידי המישור.z פתרון: התחום הוא צריך לשרטט סקיצה כדי להבין {x,y,z x +y 4, z 4 x y, x, y }. x+y +zdxdydz נעבור לקואורדינטות גליליות, ואז התחום יתואר ע"י θ π, r, z 4 r. r 4 r rcosθ+rsinθ+z rdzdrdθ r rcosθz +rsinθz + z4 r z drdθ z rcosθ+rsinθ4 r + 4 r drdθ cosθ+sinθ4 r r drdθ+ 4 r rdrdθ cosθ + sinθdθ 4 r r dr + π 4 r rdr 4 + π 4 r rdr + π 4 4 6 4 r r r + π. 4 4
שאלה 6 חשבואתהנפחהחסוםביןהפרבולואידים z x +y ו.z 6 x y פתרון: כדאי לשרטט סקיצה של התחום. שני הפרבולואידים נחתכים כאשר z x +y 6 x y x +y 9, z 9. התחום הוא {x,y,z ;x +y 9, x +y z 6 x y }. נעבור לקואורדינטות גליליות, ואז התחום מתואר על ידי: θ π, r, r z 6 r. Vol dxdydz π 6 r r 6 4r rdr π8r r 4 r r rdzdrdθ 6 π. שאלה 7 חשבואתהנפחהחסוםביןהפרבולואידים z x +y ו.z x y פתרון: שני הפרבולואידים נחתכים כאשר z x +y x y x +y. כלומר ההיטל שלו על מישור xy הוא האליפסה {x,y x +y } התחום הוא {x,y,z x,y, x +y z x y }, ו Vol dxdydz x y dzdxdy x +y x y dxdy. 5
נבצע החלפת משתנים לקואורדינטות אליפטיות: x rcosθ, y rsinθ, x +y r cos θ+r sin θ r, Tr,θ כך ש ו בקואורדינטות האלה התחום מתואר ע"י r, θ π. rcosθ, rsinθ היעקוביאן של ההעתקה J T r,θ det cosθ sinθ rsinθ rcosθ r. 6 הוא x y dxdy 6 π 5r r 6 4 r4 r 5π 6. r rdrdθ שאלה 8 חשבו את הנפח של הגוף החסום מלמעלה על ידי הספירה x y+ z+ ולמטה על ידי החרוט.z x +y פתרון: אלטרנטיבה א: נעבור לקואורדינטות כדוריות. x ρsinϕcosθ, y ρsinϕsinθ, z ρcosϕ. הספירה מתוארת ע"י ρ. החרוט מתואר ע"י ρcosϕ ρ sin ϕcos θ+sin ϕsin θ ρsinϕ 6
cosϕ sinϕ ϕ π 4. כלומר התחום החסום בינהם מתואר ע"י Vol π cosϕ ρ, θ π, ϕ π 4 ϕπ 4 ϕ dxdydz 4 ρ sinϕdρdϕdθ ו π 4 dθ sinϕdϕ ρ dρ ρ π 4π ρ. ρ אלטרנטיבה ב: נעבור לקואורדינטות גליליות. נבחין שהספירה והחרוט נחתכים כאשר r z r r, z. ההיטל של הגוף על מישור x,y הוא העיגול r. נוכל לתאר את הגוף בקואורדינטות גליליות על ידי Vol π π r, θ π, r z r. r r r r rdr π π r π π rdzdθdr π r r π r r dr π r r r 4π r r dzdr r. r dr 7
B B x +y +z dxdydz x +y +z dxdydz שאלה 9 חשבו כאשר B כדור עם רדיוס שמרכזו בראשית. פתרון: נשתמש בקואורדינטות כדוריות: dθ sinϕdϕ ρ 6 dρ ρ 4 ρ sinϕdρdϕdθ π 8 7 5π 7. x zdxdydz שאלה חשבו את ערך האינטגרל כאשר } z. {x,y,z x +y פתרון: התחום הוא התחום שבתוך החרוט z x +y ומתחת למישור.z נעבור לקואורדינטות גליליות. התחום מתואר ע"י cos θ zdxdydz r, r z. r r cos θz rdzdrdθ z r zdzdrdθ cos θ r z drdθ r zr cos θdθ r r dr π 4. שאלה חשבו 9 x y dxdydz כאשר זה חצי הכדור 9.z,x +y +z 8
9 x y dxdydz 8π π פתרון: נעבור לקואורדינטות כדוריות. התחום מתואר על ידי θ π, ϕ π, ρ. ρ ρ 9 ρ sin ϕρ sinϕdρdϕdθ 9 ρ sin ϕρ sinϕdρdϕdθ 9sinϕ ρ sin ϕdϕdρ sinϕdϕdρ π ρ 4 sin ϕdϕdρ π 8π ρ π dρ sinϕdϕ π ρ 4 dρ sin ϕdϕ 6π ρ ρ 5 π ρ 5 ρ cos ϕsinϕdϕ ρ ρ 6π 486 π 5 π cos ϕsinϕdϕ 6π 486 5 π + ϕ π cos ϕ ϕ 6π 6 π 486 5 5 π. B x a +y b +z c dxdydz. שאלה חשבו כאשר }.B {x,y,z x +y +z 9
פתרון: נכתוב x a +y b +z c x +y +z ax+by+cz+a +b +c. x +y +z dxdydz B ρ ρ sinϕdρdϕdθ נחשב π ρ 4 dρ 4π 5. מאחר והפונקציה fx,y,z x איזוגית ביחס לשיקוף במישור,y,z והתחום B סימטרי ביחס לשיקוף כזה, נקבל xdxdydz, ובאופן דומה לגבי.y,z B ax+by +czdxdydz. B B B לבסוף a +b +c dxdydz a +b +c VolB a +b +c 4π. x a +y b +z c dxdydz 4π 5 + 4π a +b +c. שאלה יהא התחום המוגדר על ידי אי השוויונות x +y +z x y x z חשבו את הנפח של. ρ, פתרון: תיאור התחום בקואורדינטות כדוריות π 4 θ π, ϕ π.
VolB B dxdydz π 4 π π sinϕdϕ 4 ρ sinϕdρdϕdθ ρ dρ π 6. שאלה 4 ההיפרבולואיד הדו יריעתי + x +y z מחלק את הכדור 49 x y+ + z לשלושה תחומים ששניים מהם בעלי אותו נפח. חשבו את הנפח של התחומים עם הנפח הזהה. פתרון: התחומים בעלי הנפח הזהה הם + {x,y,z x +y +z 49, z x +y +, z > }, {x,y,z x +y +z 49, z x +y +, z < }. נחשב את הנפח של +. נעבור לקואורדינטות גליליות. חיתוך בין היריעה העליונה של ההיפרבולואיד לבין הספירה מתקבל כאשר 49 x y x +y +, x +y 4 z 5. בקואורדינטות גליליות התחום יתואר ע"י θ π, r 4, r + z 49 r. Vol + dxdydz + π 4 4 49 r r + r 49 r r + dr π 49 r r + π 5 5 + 49 + r 4 r 88π. rdzdrdθ
, R שאלה 5 נפרוסכדורברדיוסR סביבהראשיתלשלושפרוסותבעלותעובישווה בעזרת מישורים z R ו.z R איזה אחוז מנפח הכדור יהיה בכל אחת מהפרוסות? פתרון: נחשב את נפח הפרוסה העליונה {x,y,z, x +y +z R, z R }. נעבור לקואורדינטות כדוריות, כך שהכדור מיוצג ע"י ρ R, ρ cosϕ, ϕ ϕ, R cosϕ R cosϕ ρ R, והמישור z R מיוצג ע"י מתואר,ϕ arccos כלומר, אם נגדיר. R הנפח של הוא R. cosϕ ρ Vol ϕ R R cosϕ ϕ π sinϕ ρ π R ϕ sinϕ [ ϕ π R sinϕdϕ 7 [ π R cosϕ ϕϕ ϕ 54 ρ sinϕdρdϕdθ ρr dϕ ρ R cosϕ 7cos ϕ ϕ dϕ sinϕ cos ϕ dϕ cos ϕ ] ] ϕϕ ϕ
[ π R cosϕ ] 54 cos ϕ [ π R ] 8 54 8 π R. היחס בין נפח הפרוסה לבין נפח הכדור הוא 8 8 4 π R 7 π R 7.59 כלומר נפח הפרוסה העליונה כ %6 אחוז מנפח הכדור. הפרוסה התחתונה זהה, ו נפח הפרוסה האמצעית %48..48 מנפח הכדור. 7 באופן אלטרנטיבי, נוכל להשתמש בקואורדינטות גליליות. ההיטל על מישור xy של החיתוך בין המישור z R לספירה ברדיוס R הוא מעגל עם רדיוס r המקיים R r + R, r R. vol θ π, r r, r R r r π R r rdr π R r π R R 89 R R r rdzdrdθ π R z R r. rdr π R r התחום מתואר ע"י R r R rdr rr r π R 8 9 R 8 8 π R. π R rr r r שאלה 6 א. לכל > p ולכל < r <, חשבו את ערך האינטגרל Ir,p r x +y +z pdxdydz
כאשר הואהתחוםשביןהספירהשמרכזהבראשיתורדיוסה r לביןספירהשמרכזה בראשית ורדיוסה : }. r {x,y,z r x +y +z ב. עבור אילו ערכים של p הגבול Ir,p lim + r קיים וסופי? Ir,p r x +y +z pdxdydz פתרון: נעבור לקואורדינטות כדוריות r ρ p ρ sinϕdρdϕdθ π sinϕdϕ ρ p dρ 4π r p r p.p במקרה p נקבל השלב האחרון של החישוב תקף בהנחה ש I r, 4π ρ dρ 4π ln. r r lim r + r p < p אז ב. אם 4π lim Ir,p lim r p 4π r + r + p p lim r + r p +, אם > p אז <, p ו 4π lim Ir,p lim r p +. r + r + p ו אם p אז lim I r, 4π lim r + ln r + +. r.p < הגבול קיים וסופי אם ורק אם 4
שאלה 7 חשבו xe x +y +z dxdydz כאשר זההחלקשלהכדור x +y +z שנמצא בשמינית החיוביתשלהמרחב. פתרון: נעבור לקואורדינטות כדוריות. שמינית הכדור מתוארת ע"י xe x +y +z dxdydz θ π, ϕ π. ρsinϕcosθe ρ ρ sinϕdρdϕdθ sin ϕdϕ cosθdθ ρ e ρ dρ π4 ρ e ρ dρ באינטגרל האחרון נבצע החלפת משתנה du ρdρ,u ρ π 8 ue u u u π 8 ue u du e u du π e e u 8 u u ועכשיו נבצע אינטגרציה בחלקים π 8 e e π 8. שאלה 8 חשבו אתהנפח של החלק של הגליל y+ x שנמצא בתוך הכדור 4 x +y +z כדאי להשתמש בקואורדינטות גליליות. פתרון: התיאור של הגליל y+ x בקואורדינטות גליליות הוא rcosθ +rsinθ r rsinθ+ r sinθ. 5
6 התיאור של הכדור 4 x +y +z בקואורדינטות גליליות הוא r +z 4, 4 r z 4 r. התיאור של הגוף הוא θ π, r sinθ, 4 r z 4 r, sinθ sinθ 4 r ו הנפח הוא rdzdrdθ 4 r 4 r rdrdθ 4 r rsinθ dθ r sin 6 π θ dθ π sin θ cosθ dθ 6 π π sin θcosθdθ 6 π π cosθdθ+ sin θcosθdθ θ π 6 π + sin θ θ 6 π 4. שאלה 9 חשבו את נפח התחום החסום ע"י האליפסואיד x a + y b + z c Vol dxdydz {x,y,z x a + y b + z c }. פתרון: צריך לחשב כאשר 6
נבצע החלפת משתנים שתעביר את האליפסואיד לכדור. u x a, v y b, w z c. u +v +w Tu,v,w au,bv,cw, Ẽ {u,v,w u +v +w } בקואורדינטות הללו ההעתקה מ u,v,w ל x,y,z היא והיא מעבירה את התחום לתחום.TẼ : היעקוביאן של ההעתקה הוא a J T u,v,w det b c abc. dxdydz abc Ẽ Ẽ מנוסחת החלפת המשתנים נקבל J T u,v,wdudvdw dudvdw abcvolẽ. אבל מאחר ו Ẽ הוא כדור עם רדיוס R אנחנו יודעים שנפחו 4π אם איננו יודעים זאת נחשב את האינטגרל על ידי מעבר לקואורדינטות כדוריות. Vol abcvolẽ abc 4π. שאלה חשבו את נפח הגוף {x,y,z x+y +z +x+y +z 4, x+y +z }. 7
פתרון: נגדיר החלפת משתנים u x+y +z, v x+y +z, w x+y +z. במונחי המשתנים החדשים התחום מתואר ע"י {u,v,w u +v 4, w }. Vol dxdydz J T u,v,wdudvdw כאשר T ההעתקה ממרחב u,v,w למרחב.x,y,z מאחר ו T x,y,z x+y +z,x+y +z,x+y +z Vol J T x,y,z det J T u,v,w 4 J T x,y,z 4. 4 dudvdw dudvdw 4 4 Vol מתקיים אבל התחום הוא חלק של הגליל u + v שבין המישורים 4,w,w ו הנפח שלו הוא שטח הבסיס, π כפול הגובה, 4, כלומר Vol 4π כמובן ניתן למצוא את הנפח הזה גם על ידי חישוב ישיר של האינטגרל האחרון, ו Vol 4 4π π. שאלה חשבו את נפח התחום שנחסם על ידי המשטחים z x y+ ו +z.x+y 8
פתרון: נמצא את ההיטל של עקום החיתוך בין המישור והפרבולואיד על מישור.x,y { x +y x y x +x+y +y x+ 9 4 +y + x,y,z x+ +y + 4 התחום במדובר הוא x+ } +y + 4, x +y z x y. נשתמש בקואורדינטות גליליות מוזזות: x rcosθ, y rsinθ, z z r, θ π, כך שתיאור התחום יהיה rcosθ +rsinθ z rcosθ r sinθ. נפשט את אי השוויון האחרון ונקבל r rcosθ rsinθ+ 4 z 7 rcosθ rsinθ. היעקוביאן של החלפת המשתנים זהה לזה של קואורדינטות גליליות רגילות: Vol dxdydz 7 rcosθ rsinθ r rcosθ rsinθ+ 4 4 r rdrdθ π π 8 r 4 r4 r 44π..J T r,θ,z r 4 r r rdzdrdθ dr 9
שאלה נסמן ב את הגליל {x,y,z x +y, z }. חלקיק שנמצא בנקודה z,,, כאשר > z, מושפע מכוח הכבידה של הגליל. בהנחה שצפיפות המסה ρ של הגליל אחידה, ושהמסה של החלקיק היא m, נובע מחוק הגרביטציה של ניוטון שהכח F שיפעל על החלקיק יהיה בכיוון ציר, F Fˆk z, כאשר z z F Gρm dxdydz. x +y +z z כאשר G קבוע הגרביטציה. חשבו את ערך האינטגרל הזה. π π פתרון: נעבור לקוארדינטות הגליליות, כך שהגליל יתואר ע"י θ π, r, z. z z dxdydz x +y +z z אז z z rdzdrdθ r +z z z z r +z z rdzdr π rr +z z z z r[r + z r +z ]dr π[r + z r +z ] r π[+ z +z +]. dr r שאלה חשבו את נפח התחום שנחסם על ידי הגלילים x +y ו y +z ראו איור. פתרון: בשאלה זו קשה לדמיין או לשרטט את גוף החיתוך של שני הגלילים, וקל יותר לעבוד בעזרת הביטויים האלגבריים. נוכל לתאר את התחום על ידי {x,y,z x +y, y +z }
איור : איור לשאלה {x,y,z y, y x y, y z y } Vol y y y y y 4 dzdxdy y y y y dxdy dxdy y y y dy y dy 4 6.