4( יח ל, )804

תמליל

1 4( יח ל, )804

2 הקדמה מורים ותלמידים יקרים, אנו שמחים להגיש לכם חוברת הכנה לקראת הבגרות במתמטיקה לשאלון )4 481 יחידות לימוד( בחוברת תמצאו את 4 מבחני הבגרות שנערכו עד היום בשאלון 481 )מועדי חורף וקיץ(, עד וכולל מועד ב', קיץ 01 מה מיוחד בחוברת זו? לכל השאלות בחוברת קיימים סרטוני וידאו הכוללים פתרונות מלאים באתר mgevacoil כיצד צופים בסרטון פתרון? נכנסים לאתר mgevacoil בוחרים את מספר יחידות הלימוד ונכנסים לפתרונות וידאו למבחני בגרות 481 כעת ניתן לראות את פתרונות הווידאו לכל השאלות ממבחני הבגרות הפתרונות לשני המבחנים הראשונים הם בחינם! כיצד אנו ממליצים להיעזר בסרטוני הפתרון שבאתר?mgeva בכל שאלה שבה אתם מתקשים, או שהתשובה הסופית שקיבלתם אינה תואמת את התשובות המופיעות בסוף המבחן, מומלץ לצפות בסרטון הפתרון המתאים כמו כן, אם קיים נושא שבו אתם מרגישים צורך בחיזוק נוסף, מומלץ לצפות בכל סרטוני הפתרון באותו נושא )מיון שאלות המבחנים לפי נושאים מופיע בהמשך החוברת( בנוסף, ניתן לרכוש באתר mgevacoil מנוי לסרטוני פתרון לשאלות מתוך ספרי הלימוד לשאלון 481, בהוצאת יואל גבע

3 לתשומת ליבכם! החל ממועד קיץ תשע"ד, 014, שאלון 481 כולל 8 שאלות ולא 9 שאלות כפי שהיה בעבר )הפרק השני בשאלון כולל שאלות במקום 3( כמו כן, הנושא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות טריגונומטריות אינו נכלל עוד בתכנית הלימודים כדי להתאים את מבחני הבגרות למבנה הבחינה העדכני ולתכנית הלימודים החלפנו את השאלות בנושא הנ"ל בשאלות אחרות הנכללות בתכנית הלימודים זכות היוצרים על שאלות הלקוחות ממבחני בגרות שמורות למדינת ישראל כל הזכויות על השאלות האחרות שמורות להוצאת הספרים יואל גבע אנו מאחלים לכם הצלחה רבה בבחינת הבגרות יואל גבע הוצאת הספרים, צוות האתר mgevacoil

4 המבנה של שאלון 481 תלמידי 4 יחידות לימוד נבחנים בשני שאלונים השאלון הראשון הוא והשאלון השני הוא בשאלון 481 שלושה פרקים משך הבחינה: שלוש שעות וחצי בסך הכול צריך לענות על 5 שאלות מתוך 8 שאלות המבנה של שאלון : פרק ראשון בעיות מילוליות, גיאומטריה אנליטית, הסתברות )40 נקודות( הפרק כולל 3 שאלות, מתוכן יש לענות על שאלות )לכל שאלה 0 נקודות( פרק שני גיאומטריה וטריגונומטריה במישור )0 נקודות( הפרק כולל שאלות, מתוכן יש לענות על שאלה אחת )לכל שאלה 0 נקודות( פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות עם שורשים ריבועיים )40 נקודות( הפרק כולל 3 שאלות, מתוכן יש לענות על שאלות )לכל שאלה 0 נקודות( בעמוד הבא מצורף דף ההוראות לנבחן כפי שמופיע בטופס הבגרות של שאלון 481

5

6 מיון שאלות המבחנים לפי נושאים בעיות מילוליות בעיות קנייה ומכירה עמוד 13 עמוד עמוד עמוד, 1 עמוד שאלה, 1 עמוד שאלה, 1 עמוד שאלה, עמוד שאלה, 1 עמוד שאלה, 1 עמוד שאלה, 1 עמוד שאלה 1 שאלה, 1 עמוד שאלה, 1 עמוד שאלה, 1 עמוד שאלה שאלה שאלה, 1 שאלה, 1, בעיות תנועה עמוד 1 שאלה, 1 עמוד שאלה, 1 עמוד 33 שאלה, 1 עמוד שאלה, 1 עמוד שאלה, 1 עמוד שאלה, 1 עמוד שאלה עמוד שאלה, 1 עמוד שאלה, 1 עמוד שאלה, 1 עמוד 145 שאלה, 1 עמוד שאלה עמוד שאלה 1, עמוד 171 שאלה 1, עמוד 178 שאלה 1, עמוד 185 שאלה 1, עמוד 191 שאלה 1, עמוד 198 שאלה,1 עמוד 06 שאלה 1 45, , , 1 57 בעיות בהנדסת המישור )כולל בעיות כלכליות( עמוד 5 עמוד שאלה, עמוד 17 שאלה 1, עמוד 49 שאלה, 1 עמוד שאלה, 1 עמוד שאלה, 1 עמוד שאלה 1 שאלה בעיות בהנדסת המרחב )כולל בעיות כלכליות( עמוד 1 שאלה, עמוד 9 שאלה גיאומטריה אנליטית,, עמוד 57 37, משולשים ומרובעים עמוד 9 שאלה 1, עמוד 9 שאלה עמוד שאלה שאלה

7 , עמוד שאלה, עמוד שאלה,, עמוד 19 שאלה, עמוד 199 שאלה, עמוד 07 שאלה עמוד 61 עמוד שאלה 1 שאלה מעגל עמוד 1 שאלה, 1 עמוד, שאלה, עמוד שאלה, 1 עמוד שאלה, שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה עמוד, שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה עמוד, שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה עמוד, שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה עמוד, 140 שאלה, עמוד 18 שאלה, עמוד 134 שאלה, עמוד עמוד 111 שאלה שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה עמוד, עמוד 17 שאלה, עמוד 179 שאלה, עמוד 186 שאלה, עמוד 19 שאלה סעיף ג, עמוד 199 שאלה סעיף ג,ד, עמוד 07 שאלה סעיף ד טבלה דו ממדית עמוד שאלה הסתברות, עמוד 08 שאלה 3 כפל וחיבור הסתברויות, דיאגרמת עץ עמוד שאלה, עמוד 14 שאלה, עמוד שאלה, עמוד עמוד 46 שאלה, עמוד 74 שאלה, עמוד 78 שאלה, עמוד עמוד שאלה, 3 עמוד 117 שאלה, 3 עמוד 1 שאלה, 3 עמוד, עמוד 17 שאלה,3 עמוד 19 שאלה,3 עמוד 00 שאלה 3 שאלה, שאלה, שאלה נוסחת ברנולי )התפלגות בינומית(, עמוד 3, עמוד 54 עמוד 4 שאלה 3 שאלה שאלה בעיות המשלבות דיאגרמת עץ או טבלה דו ממדית עם נוסחת ברנולי עמוד שאלה, 3 עמוד 6 שאלה, 3 עמוד שאלה, 3 עמוד 5 שאלה, 3

8 ,, 3 3 עמוד 34 עמוד, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, שאלה, עמוד, עמוד 11 שאלה שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד 180 שאלה,3 עמוד 186 שאלה,3 תרגיל שאלה שאלה 15 שאלה עמוד 107 עמוד 134, עמוד 3 שאלה, 4 שאלה 4 גיאומטריה בעיות עם משולשים ומרובעים )ללא פרופורציה ודמיון(, 4, עמוד 54 4, עמוד 38 4 עמוד 30 עמוד שאלה 117 שאלה שאלה שאלה בעיות עם משולשים ומרובעים )כולל פרופורציה ודמיון( 34 4, עמוד, עמוד עמוד שאלה 4 עמוד שאלה שאלה 4 שאלה, עמוד שאלה, שאלה, עמוד 187 שאלה 4, עמוד בעיות עם מעגל )ללא פרופורציה ודמיון(, עמוד 6, עמוד 4 עמוד עמוד שאלה שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה בעיות עם מעגל )כולל פרופורציה ודמיון( עמוד 14 שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, 4 עמוד שאלה, 4 עמוד שאלה, 4 עמוד שאלה, 4 עמוד שאלה, 4 עמוד שאלה, 4 עמוד שאלה, 4 עמוד 11 שאלה, 4 עמוד 13 שאלה, עמוד, 19 עמוד 135 עמוד 141 שאלה, עמוד 147 שאלה, עמוד 153 שאלה, עמוד 160 שאלה, עמוד 173 שאלה 4, עמוד 181 שאלה 4, עמוד 196 שאלה,4 עמוד 01 שאלה שאלה שאלה

9 ,, 5 5 בעיות עם משולשים ומרובעים טריגונומטריה שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה עמוד, שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה עמוד, שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה עמוד, עמוד 173 שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה עמוד שאלה 5, עמוד 193 שאלה 5, עמוד 197 שאלה 5, עמוד 01 שאלה ,,, מעגל עמוד עמוד עמוד עמוד עמוד עמוד, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, שאלה שאלה, עמוד שאלה, שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה שאלה, 5 עמוד 181 שאלה,5 עמוד 187 שאלה 5 שאלה שאלה 84 שאלה , עמוד חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי משיק, חקירת פונקציה ,, עמוד 195 שאלה שאלה שאלה 7 פולינומים עמוד 3 שאלה עמוד 85 שאלה סעיפים א ו-ב, עמוד 6 סעיפים א ו-ב, עמוד, 6, 7, 6 פונקציות רציונליות עמוד 3 שאלה, 6 עמוד 7 שאלה, 7 עמוד שאלה, 6 עמוד 3 שאלה עמוד 7 שאלה, 6 עמוד 35 שאלה, 6 עמוד 39 שאלה, 6 עמוד 55 שאלה עמוד 67 שאלה, עמוד 75 שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה עמוד 94 שאלה, 6 עמוד 99 שאלה, 7 עמוד 103 שאלה, 6 עמוד 108 שאלה, 6 עמוד 113 שאלה, 6 עמוד 118 שאלה,

10 עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד 174 שאלה 6, עמוד 18 שאלה 6, עמוד 188 שאלה 6, עמוד 194 שאלה 6, עמוד 197 שאלה 6, עמוד 0 שאלה פונקציות עם שורשים, שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה עמוד, שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה עמוד, שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה עמוד,עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה עמוד 7,, עמוד 175 שאלה 8, עמוד 188 שאלה 7, עמוד שאלה, עמוד שאלה 198 שאלה,7 עמוד 03 שאלה פונקציות ללא תבנית אלגברית מפורשת 6 8 עמוד 3 עמוד שאלה שאלה סעיף א, עמוד שאלה סעיף א )1(, א )(, עמוד סעיף א, שאלה 81 סעיף א בעיות קיצון גאומטריות בעיות קיצון, שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה עמוד, שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה עמוד, 104 שאלה, עמוד שאלה, עמוד 90 שאלה, עמוד שאלה 7 עמוד 16 שאלה 149 שאלה, 8 עמוד 119 שאלה, 8 עמוד 109 שאלה, 8 עמוד עמוד, עמוד 189 שאלה,8 עמוד 198 שאלה , 8 בעיות קיצון בפונקציות וגרפים שאלה, 8 עמוד 4 שאלה, שאלה, עמוד 3 שאלה, עמוד שאלה, 8 עמוד עמוד 68 שאלה, עמוד 76 שאלה, עמוד עמוד 114 שאלה, 8 עמוד 15 שאלה 11, 8 עמוד 131 שאלה

11 עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד 174 שאלה,7 עמוד 183 שאלה,8 עמוד 195 שאלה,8 עמוד 04 שאלה בעיות קיצון עם בעיות תנועה שאלה 40 עמוד 8 בעיות קיצון עם קנייה עמוד ומכירה שאלה 31 6 פולינומים עמוד עמוד עמוד עמוד אינטגרלים ושטחים 15 שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה סעיף ב, שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד 183 שאלה 7, עמוד 193 שאלה 7 סעיפים ד,ה שאלה,, פונקציה מורכבת עם מעריך טבעי שאלה 59 עמוד, עמוד 85 6 שאלה, עמוד שאלה 6 פונקציות רציונליות 8 עמוד 11 שאלה, 7 עמוד 31 שאלה, עמוד 44 שאלה, עמוד 51 שאלה, 7 עמוד 60 שאלה, עמוד שאלה, עמוד 14 שאלה סעיפים ב ו-ג, עמוד 136 שאלה, עמוד 148 שאלה, עמוד 154 שאלה, עמוד 187 שאלה 6 סעיף ה, עמוד 03 שאלה 6 סעיף ו

12 , 7 פונקציות עם שורשים עמוד עמוד עמוד סעיף ו שאלה 7 שאלה שאלה 7, עמוד 67 שאלה שאלה, עמוד שאלה 7 סעיף ה, עמוד סעיף ג, עמוד 55 7 שאלה, עמוד שאלה סעיף ג, סעיף ד, עמוד 198 שאלה פונקציות ללא תבנית אלגברית מפורשת 6 19 הערה: חלק מהסעיפים בשאלות הבאות נרשמו גם תחת הכותרת: חקירת פונקציות פונקציות ללא תבנית אלגברית מפורשת עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, עמוד שאלה, 7 עמוד 81 שאלה, עמוד 114 שאלה 7 סעיף ה, עמוד שאלה 7 סעיף ה, עמוד 161 שאלה סעיף ה, עמוד שאלה סעיף ג

13 תוכן עניינים מבחני בגרות שאלון 804 מבחן בגרות מספר 1 קיץ תשס"ט, 009, מועד א 1 מבחן בגרות מספר קיץ תשס"ט, 009, מועד ב 5 מבחן בגרות מספר 3 חורף תש"ע, 010 מבחן בגרות מספר 4 קיץ תש"ע, 010, מועד א מבחן בגרות מספר 5 קיץ תש"ע, 010, מועד ב 17 מבחן בגרות מספר 6 חורף תשע"א, 011 מבחן בגרות מספר 7 קיץ תשע"א, 011, מועד א מבחן בגרות מספר 8 קיץ תשע"א, 011, מועד ב 9 מבחן בגרות מספר 9 חורף תשע"ב, מבחן בגרות מספר 10 קיץ תשע"ב, 01, מועד א מבחן בגרות מספר 11 קיץ תשע"ב, 01, מועד ב מבחן בגרות מספר 1 חורף תשע"ג, מבחן בגרות מספר 13 קיץ תשע"ג, 013, מועד א מבחן בגרות מספר 14 קיץ תשע"ג, 013, מועד ב מבחן בגרות מספר 15 חורף תשע"ד, מבחן בגרות מספר 16 קיץ תשע"ד, 014, מועד א מבחן בגרות מספר 17 קיץ תשע"ד, 014, מועד ב מבחן בגרות מספר 18 קיץ תשע"ד, 014, מועד ג 69 מבחן בגרות מספר 19 חורף תשע"ה, מבחן בגרות מספר 0 קיץ תשע"ה, 015, מועד א 78 מבחן בגרות מספר 1 קיץ תשע"ה, 015, מועד ב 83 מבחן בגרות מספר חורף תשע"ו, מבחן בגרות מספר 3 קיץ תשע"ו, 016, מועד א 9 מבחן בגרות מספר 4 קיץ תשע"ו, 016, מועד ב 97 מבחן בגרות מספר 5 חורף תשע"ז,

14 מבחן בגרות מספר 6 קיץ תשע"ז, 017, מועד א מבחן בגרות מספר 7 קיץ תשע"ז, 017, מועד ב מבחן בגרות מספר 8 חורף תשע"ח, 018 מבחן בגרות מספר 9 קיץ תשע"ח, 018, מועד א מבחן בגרות מספר 30 קיץ תשע"ח, 018, מועד ב מבחן בגרות מספר 31 חורף תשע"ט, 019 מבחן בגרות מספר 3 קיץ תשע"ט, 019, מועד א מבחן בגרות מספר 33 קיץ תשע"ט, 019, מועד ב מבחן בגרות מספר 34 חורף תש"ף, 00 מבחן בגרות מספר 35 קיץ תש"ף, 00, מועד א מבחן בגרות מספר 36 קיץ תש"ף, 00, מועד ב מבחן בגרות מספר 37 חורף תשפ"א, 01 מבחן בגרות מספר 38 חורף תשפ"א, 01, מועד נבצרים מבחן בגרות מספר 39 חורף תשפ"א, 01, מועד מאוחר מבחן בגרות מספר 40 קיץ תשפ"א, 01, מועד א מבחן בגרות מספר 41 קיץ תשפ"א, 01, מועד מיוחד מבחן בגרות מספר 4 קיץ תשפ"א, 01, מועד ב דף נוסחאות 4 יחידות לימוד

15 מבחן בגרות מספר 1 קיץ תשס"ט, 009, מועד א פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות B ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 ( = 90 ), BC נתון משולש ישר-זווית מקבילה לציר ה- שבו הצלע BC (ראה ציור) = 1 3 משוואת הצלע B היא שיעור ה- של קדקוד B הוא 3 C של קדקוד C גדול ב- 1 שיעור ה- של קדקוד משיעור ה- BC א מצא את שיעורי הקדקודים של המשולש ב חשב את שטח המשולש BC BC ג העבירו מעגל החוסם את המשולש מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה 1 בנו קופסה סגורה בצורת תיבה שבסיסה ריבוע (ראה ציור) גובה התיבה גדול פי 14 מצלע הבסיס שטח הפנים של התיבה (השטח של שש פאות התיבה) הוא 1710 סמ"ר א מצא את צלע הבסיס, ואת גובה התיבה ב רוצים למלא את התיבה בקוביות, 1 5 שאורך הצלע של כל אחת מהן הוא מאורך צלע הבסיס של התיבה בכמה קוביות כאלה אפשר למלא את התיבה? 1

16 3 4 מהתלמידים בכיתה אוהבים שוקולד או גלידה (כולל תלמידים האוהבים שוקולד וגם גלידה) 9 תלמידים לא אוהבים שוקולד וגם לא אוהבים גלידה א (1) בוחרים באקראי תלמיד אחד מהכיתה מהי ההסתברות שהוא לא אוהב שוקולד וגם לא אוהב גלידה? () מצא כמה תלמידים יש בכיתה ב כל תלמיד בכיתה שאוהב שוקולד כתב על פתק: אוהב, וכל תלמיד שלא אוהב שוקולד כתב על פתק: לא אוהב ערבבו את כל הפתקים, ובחרו מביניהם באקראי 5 פתקים עם החזרה נתון כי ההסתברות שעל 3 מהם כתוב "אוהב" שווה להסתברות שעל מהם כתוב "אוהב" מצא כמה תלמידים בכיתה אוהבים שוקולד 3 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 D F B G C C, B, ו- D הן נקודות על מעגל המיתרים B ו- CD נחתכים בנקודה F DC (ראה ציור) נתון: = DBC א הוכח כי DC הוא קוטר CD ב נתון גם כי = BCD הוכח כי B CD ג נקודה G נמצאת על C כך ש- GF = G הוכח כי GF = GC 4 B D E C BC הוא גובה במשולש שווה-צלעות D E נקודה על D (ראה ציור) נתון: BEC = β א הבע באמצעות β את היחס בין שטח המשולש S BC EBC לבין שטח המשולש BC S EBC S BC ב נתון: = 3 S EBC חשב את, β והראה כי ED = DC 5

17 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 a, f() הוא פרמטר שונה מ- 0 a נתונה הפונקציה א (1) מצא את השיעורים של הנקודות שבהן נגזרת הפונקציה שווה ל- 0 במידת הצורך) a (הבע באמצעות () נתון כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת a מצא את ערך הפרמטר = + 4 על הישר שמצאת, וקבע את סוג נקודות הקיצון a ב הצב את ערך הפרמטר של הפונקציה ג מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה 6 O B נתונות הפונקציות 1 f() = 8 g() = הנקודות ו- B נמצאות על הגרפים של הפונקציות כך ש- B מקביל לציר ה-, והנקודות נמצאות בין שתי נקודות החיתוך של הגרפים של הפונקציות (ראה ציור) א מצא את שיעורי הנקודות ו- B שעבורן אורך הקטע B הוא מקסימלי ב עבור האורך המקסימלי של הקטע, B חשב את שטח המשולש - O ) BO ראשית הצירים) 7 f() 5 0 f() בתחום 9 לפניך גרף הפונקציה נתון גם: = 4 '(0) f א שרטט סקיצה של גרף פונקציית 9 0 '() f בתחום הנגזרת ב חשב את השטח המוגבל על ידי גרף ()' f ועל ידי ציר ה- הנגזרת 6 בתחום 8 3

18 תשובות למבחן בגרות מספר 1 קיץ תשס"ט, 009, מועד א: = א 4) (1; C(13;1), B(3;1), ב 15 יח"ר ג א 15 ס"מ, 1 ס"מ ב 175 קוביות 3 א (1) 05 () 36 תלמידים ב 18 תלמידים β=90 מינימום (4;8) מקסימום, (0;0) ב < 0< או, ירידה: < 4 < 15 4 ב '() f ב S S BC EBC () (a; 4a) < או 0 =, (0;0) > 4 B(;05) ב β 3 tan 5 א 6 א (1) ג עלייה: 7 א ) (;, 8 א 4

19 פרק ראשון מבחן בגרות מספר קיץ תשס"ט, 009, מועד ב אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 B C B BC נתון משולש שווה-שוקיים )ראה ציור( שבו B C הם שיעורי הקדקוד הוא שיפוע הישר היא C משוואת הישר א מצא את השיעורים: )1( של הקדקוד )( של הקדקוד בנקודה C ב הישר היא קוטר במעגל הצלע נמצאת על מעגל זה? נמק האם הנקודה C D (1;0) 1 BC BC חותך את ציר ה- D 1 10 מטר בגינה בצורת מלבן רוצים לשתול דשא בשטחים האפורים בציור: שני השטחים בפינות הגינה הם בצורת ריבועים, והשטח האמצעי הוא בצורת מלבן )ראה ציור( רוחב הגינה הוא 10 מטר, ואורכה גדול ב- 0% מרוחבה מחיר מ"ר של הדשא הוא 60 שקלים, והמחיר הכולל של הדשא ששותלים הוא 340 שקלים מצא את סכום השטחים של הדשא שבפינות הגינה 5

20 בבית ספר מסוים מכלל המורים )גברים ונשים( מתנגדים ללעיסת מסטיק בשיעור מספר המורים )גברים( בבית הספר גדול פי ממספר המורות )נשים( מכלל המורים )גברים ונשים( הם גברים המתנגדים ללעיסת מסטיק בוחרים באקראי מורה )גבר או אישה( א חשב את ההסתברות שהמורה שנבחר הוא אישה המתנגדת ללעיסת מסטיק ב )1( ידוע שהמורה שנבחר הוא אישה חשב את ההסתברות שהיא מתנגדת ללעיסת מסטיק )( מבין מורות בבית הספר, מהי ההסתברות שלכל היותר מורות מתנגדות ללעיסת מסטיק? )בתשובתך דייק עד שש ספרות אחרי הנקודה העשרונית( % פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 B E F טרפז BCD הוא שווה-שוקיים BC) (D הוא גובה הטרפז המשכי השוקיים של הטרפז נפגשים B DC בנקודה נתון: 4F, D E א הוכח: המשולש הוא שווה-שוקיים ב נתון: חשב את אורך הצלע נמק ג היכן נמצא מרכז המעגל החוסם את המשולש : על אחת מצלעות משולש זה, בתוך משולש זה או מחוץ למשולש זה? נמק D F E DEC C DF 5 ס"מ E 4 B O H C (B C) BC משולש שווה-שוקיים O חסום במעגל שמרכזו הגבהים של המשולש נפגשים בנקודה H, )ראה ציור( זווית הראש של המשולש היא R ורדיוס המעגל הוא את זוויות המשולש BH א הבע באמצעות את אורך הקטע H ו- R ב הבע באמצעות ו- R את שטח המשולש ג הבע באמצעות OBH 5 6

21 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות נתונה הפונקציה, f () 1 ונתון הישר א חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי הישר ועל ידי הצירים )השטח המקווקו( ב הפונקציה מקיימת מצא את תחומי העליה והירידה של הפונקציה g() 7 7 g'() f () f () g() 6 נתונה הפונקציה a, f () a ( 1) הוא פרמטר א מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה ב גרף הפונקציה חותך את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה בנקודה P של הנקודה )1( הבע באמצעות a של הנקודה הוא מצא את הערך של ג הצב את הערך של a שמצאת בתת-סעיף ב) (, ומצא: )1( את תחום ההגדרה של הפונקציה )( את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים )3( את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגה ד האם הפונקציה עולה בתחום? נמק )( נתון כי שיעור ה- a את שיעור ה- P 35 P 1 7 B נתונה הפונקציה f () 5 )ראה ציור( נקודה היא הקדקוד של הפרבולה שמשוואתה מצא נקודה על גרף הפונקציה (), f שמרחקה מהנקודה B הוא מינימלי 8 7

22 תשובות למבחן בגרות מספר קיץ תשס"ט, 009, מועד ב: DC ( 1 3 ב כן 4 ;3 4 ) )( 015 )( C(6;5) ב )1( 1 א )1( מ"ר ס"מ ג מרכז המעגל נמצא על אמצע הצלע BH 90 R sin (cos 1) R sin cos1 1 cos 1, ג BH HB 90, R cos cos B R cos sin(90 ) ; ירידה: א 4 ב 5 א ב ;6) 1 1 מינימום ד כן 5 ) a 6 )3( ( 6;0) )(, ( 6;0) 1 a, ב עלייה: 6 א (0;6) ב )1( )( א ג )1( 8 (7;3) 8

23 מבחן בגרות מספר 3 חורף תש"ע, 010 פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 D C נתון מעוין BCD (ראה ציור) B שיעורי קדקוד הם ) (1; משוואת האלכסון BD היא = 0 א (1) מצא את משוואת האלכסון C () מצא את השיעורים של קדקוד C ב אורך האלכסון BD הוא 4 5 מצא את האורך של צלע המעוין ג מצא את משוואת הישר, B אם נתון כי קדקוד B נמצא ברביע הראשון 1 ' B B' בונים מכל פתוח מלמעלה המכל הוא בצורת תיבה שבסיסה BCD הוא ריבוע בתוך התיבה בנו מחיצה דקה מאוד 'B' BDD המקווקוות בציור אורך צלע הבסיס BCD הוא a גובה התיבה גדול פי מאורך אלכסון הבסיס א הבע באמצעות a את גובה התיבה ב מחיר החומר ממנו עשויים בסיס התיבה והמחיצה הוא 15 שקלים למ"ר מחיר החומר שממנו עשויות פאות התיבה הוא 8 שקלים למ"ר עלות החומרים לבניית התיבה (כולל המחיצה) הייתה בסך הכול 81 שקלים מצא את הערך של a C' D' C D 9

24 בתוך שק נמצאים 3 קלפים לאחד הקלפים יש שני צדדים לבנים, לאחד הקלפים יש שני צדדים שחורים, ולאחד הקלפים יש צד אחד לבן וצד אחד שחור מערבבים את הקלפים, ובעיניים עצומות מוציאים קלף מהשק ומניחים אותו על השולחן א מהי ההסתברות ששני צידי הקלף יהיו זהים? ב מהי ההסתברות שהצד הגלוי לעין של הקלף יהיה לבן? נמק ג ידוע שהצד הגלוי לעין של הקלף הוא לבן מהי ההסתברות ששני צידי הקלף הם לבנים? 3 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 C D במשולש BC (ראה ציור) CD הוא חוצה זווית CB 3 ס"מ = B ס"מ = C, 0, CB = BC נתון: CB א (1) הוכח: DC D () מצא את האורך של הצלע BC (3) מצא את האורך של הצלע B BC היא אמצע הצלע ב נקודה F הוכח: DF BC 4 D C במקבילית BCD נתון: = 140 BD, B 16 ס"מ = D C = (ראה ציור) א (1) חשב את האורך של הצלע DC () חשב את האורך של האלכסון DB ב E הוא הגובה ל- DB במשולש BD מצא את האורך של E 5 10

25 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 b ו- a a , f() = b נתונה הפונקציה הם פרמטרים 6 4 תחום ההגדרה של הפונקציה הוא b א מצא את הערך של שמצאת בסעיף א', וענה על התת-סעיפים (1) ו-( ) b ב הצב את הערך של את האסימפטוטה של הפונקציה המקבילה a (1) הבע באמצעות לציר ה- וגרף הפונקציה () האסימפטוטה של הפונקציה המקבילה לציר ה- a נחתכים בנקודה שעל ציר ה- מצא את הערך של שמצאת בתת סעיף ב'( ), a ג הצב גם את הערך של וענה על התת-סעיפים (1), () ו-( 3 ) (1) מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה (אם ישנן) () מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה נמק (3) שרטט סקיצה של גרף הפונקציה II I בציור מוצגים בתחום של הפונקציות II ו- I הגרפים < < g() = 1, f() = 1 ( + ) ( ) א קבע איזה גרף הוא של הפונקציה g() נמק ב העבירו משיק לגרף I בנקודה הנמצאת על ציר ה- חשב את השטח המוגבל על-ידי גרף, II המשיק והישר = 1 7 נתונה הפונקציה f() = 1 1 א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ב מצא על גרף הפונקציה f() נקודה שהמכפלה של שיעור ה- שלה בשיעור ה- שלה היא מינימלית ג נתונה הפונקציה g() = 1 היעזר בתשובותיך לסעיף א' ולסעיף ב', ושרטט סקיצה של גרף הפונקציה g() 8 11

26 תשובות למבחן בגרות מספר 3 חורף תש"ע, 010: = ב 5 ג (3; ) () = א (1) 660 ס"מ א a ב = a ב 1 ג 3 א א () 15 ס"מ (3) 31 ס"מ 5 (1) 451 ס"מ () 3818 ס"מ ב (3) a = 1 () = a (1) ב b= 6 א 1 4;0375) ( מינימום ג (1) () עלייה: < 4 4< ; ירידה: > 4 או < א גרף II ב ב (;1) ג 8 א > 1 1

27 מבחן בגרות מספר 4 קיץ תש"ע, 010, מועד א פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 בחנות יש שני סוגי בדים: בד מסוג א' ובד מסוג ב' המחיר של 4 מטרים בד מסוג א' גדול ב- 135 שקלים מהמחיר של 3 מטרים בד מסוג ב' לקוח קנה 3 מטרים בד מסוג א' ו- 4 מטרים בד מסוג ב', ושילם בסך הכול 385 שקלים לפני הקנייה מספר המטרים של הבד מסוג א' שיש בחנות שווה למספר המטרים של הבד מסוג ב' המחיר של כל הבד מסוג א' שיש בחנות גדול ב- 396 שקלים מהמחיר של כל הבד מסוג ב' א מצא את המחיר של מטר אחד של בד מסוג א', ואת המחיר של מטר אחד של בד מסוג ב' ב מצא את מספר המטרים של הבד מכל סוג שיש בחנות (לפני הקנייה) 1 M הוא מיתר במעגל שמרכזו B מקביל לציר ה- MB ו- מקביל לציר ה- M C דרך M העבירו שני ישרים: ישר אחד מאונך ל- B וישר אחד מקביל ל- B B M העבירו משיק למעגל דרך B D D האנך חותך את המשיק בנקודה C והמקביל חותך את המשיק בנקודה B(3;5) (5;7), (ראה ציור) נתון: א מצא את משוואת האנך CM ב (1) מצא את משוואת המעגל () הוכח באמצעות חישוב כי המעגל אינו חותך את ציר ה- CMD ג מצא את שטח המשולש 13

28 במכללה מסוימת הסטודנטים למחשבים נבחנים בסוף השנה במבחן בהסתברות וסטטיסטיקה במבחן יש שני תרגילים בהסתברות ותרגיל אחד בסטטיסטיקה נבחן מקבל ציון עובר או ציון נכשל בכל תרגיל במבחן כדי לקבל ציון עובר במבחן כולו על הנבחן לקבל ציון עובר בשני תרגילים לפחות מבין השלושה הסיכוי שסטודנט יקבל ציון עובר בתרגיל בהסתברות הוא, 60% והסיכוי שסטודנט יקבל ציון עובר בסטטיסטיקה הוא 80% ההסתברויות לקבל ציון עובר או נכשל בתרגילים השונים אינן תלויות זו בזו א (1) מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשלושת התרגילים במבחן? () מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשני תרגילים במבחן וציון נכשל בתרגיל אחד? (3) מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר במבחן כולו ב נבחן קיבל ציון עובר במבחן כולו? מהי ההסתברות שהוא קיבל ציון עובר בשני התרגילים בהסתברות? 3 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 אלכסוני המרובע BCD נחתכים (בפנים המרובע) בנקודה M ציור) נתון: שטח המשולש BM הוא 5 סמ"ר, שטח המשולש DM הוא 10 סמ"ר, B שטח המשולש DCM הוא 0 סמ"ר א מצא את היחסים הבאים: M M () BM MC MD (1) C MB ב (1) הוכח: CMD () הוכח: B DC ג נתון גם כי המרובע BCD הוא בר חסימה במעגל DC הוכח: BCD (ראה D 4 B T D C BC במשולש שווה-שוקיים ( B = BC ) BC זווית הבסיס היא, 7 ואורך הבסיס C הוא 10 ס"מ D חוצה-זווית, BC ו- T תיכון לשוק BC (ראה ציור) א (1) חשב את האורך של השוק במשולש () חשב את אורך התיכון T ב חשב את גודל הזווית TD 5 14

29 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 p p שער מורכב ממלבן ומעליו חצי עיגול רוחבו של המלבן הוא וגובהו p רדיוס חצי המעגל הוא ידוע שהיקף השער הוא 15 מטר א הבע את p באמצעות ב מה צריך להיות כדי ששטח השער יהיה מקסימלי? 6 g() = + b, f () = c נתונות שתי פונקציות: ו- c הם פרמטרים ישר משיק לגרפים של שתי b הפונקציות בנקודה המשותפת לשניהם שבה = 1 (ראה ציור) b א (1) מצא את הערך של c () מצא את הערך של ב מצא את משוואת המשיק המשותף לשני הגרפים ג S 1 הוא השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(), על ידי המשיק המשותף ועל ידי ציר ה- S הוא השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(), על ידי המשיק S1 S המשותף ועל ידי ציר ה- מצא את היחס 7 15

30 נתונה הפונקציה a, f () = a הוא פרמטר = משיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך של גרף א הישר הפונקציה עם ציר ה- מצא את הערך של a הצב את הערך של a שמצאת, וענה על הסעיפים ב' ד' ב (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה () פתור את המשוואה = 0 ()', f ובדוק אם הפתרונות מקיימים את המשוואה (3) מצא את השיעורים של נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה, וקבע את סוגן ג שרטט סקיצה של גרף הפונקציה ד דרך נקודת המינימום המוחלט ודרך נקודת המקסימום המוחלט של הפונקציה העבירו מקבילים לציר ה- מצא את המרחק בין שני המקבילים 8 תשובות למבחן בגרות מספר 4 קיץ תש"ע, 1 א מחיר בד א': 675 שקלים למטר מחיר בד ב': 010, מועד א: 45 שקלים למטר 4 ב סוג א': 176 מטרים סוג ב': 176 מטרים = 4 5) ( ( 5) + ג ב (1) א + 10 = 1 () 1 /5 א (1) ב ס"מ ב (3) π ס"מ () ב () p = 15 π 3 א (1) 5 א (1) 6 א S1 ג = + 1 ב c= 4 () b= 7 א (1) 4 S = 3 8 א 1 ב (1) מקיים את המשוואה, 1 = מינימום מוחלט; נפסל בבדיקה ) ; ( מקסימום מוחלט 1+ = 414 = 1 (1; ) () (3) ג ד 16

31 מבחן בגרות מספר 5 קיץ תש"ע, 010, מועד ב פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 G B שאורך BCD בנו חלון זכוכית בצורת ריבוע מטרים שתיים מפינות הריבוע עוצבו צלעו E F בצורת משולשים חופפים GE ו- BGF כך ש- E = BF = (ראה ציור) המשולשים עשויים מזכוכית צבעונית, ושאר החלון עשוי מזכוכית רגילה D C שקלים, 0 מטר מרובע של זכוכית צבעונית עולה 10 שקלים ושל זכוכית רגילה לזכוכית צבעונית ו- 10% לזכוכית רגילה המוכר נתן הנחה של % 14% סך כל ההנחה על שני סוגי הזכוכית הדרושים לבניית החלון היה E מצא את האורך של 1 B E C D אלכסוני הריבוע BCD נפגשים בנקודה E (ראה ציור) שיעורי הקדקוד הם (7 ;1) משוואת האלכסון BD היא = א (1) מצא את השיפוע של האלכסון C () מצא את שיעורי הנקודה E ב מצא את משוואת המעגל החוסם את הריבוע ג חשב את האורך של צלע הריבוע ד מצא את משוואת המעגל החסום בריבוע כך שצלעות הריבוע משיקות למעגל 17

32 13 5 יוסי משחק שלושה משחקי שש-בש, בזה אחר זה בכל משחק הוא יכול לנצח או להפסיד (אין תיקו) אם יוסי ניצח באחד המשחקים, ההסתברות שהוא ינצח במשחק שאחריו היא, P ואם הוא מפסיד באחד המשחקים, ההסתברות שהוא יפסיד במשחק שאחריו גם היא P נתון כי > 05 P א אם ידוע כי יוסי ניצח במשחק הראשון: (1) הבע באמצעות P את ההסתברות שיוסי יפסיד במשחק השני וינצח במשחק השלישי () חשב את P אם נתון גם כי ההסתברות שיוסי ינצח במשחק השלישי היא ב השתמש בערך של P שחישבת, וחשב את ההסתברות שיוסי ינצח במשחק הראשון, אם נתון כי ההסתברות שיוסי ינצח בשלושת המשחקים היא פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 B C E M D M חסום במעגל שמרכזו BCD מרובע הוא קוטר במעגל B (ראה ציור) E נפגשים בנקודה ו- DM C CD = CB, D = M נתון: ME = DE א הוכח: CB DM ב הוכח: CD BM ג הוכח: 4 מעגל שמרכזו O ורדיוסו r חסום במשולש ישר-זווית, BC = 90 C (ראה ציור) נתון: = 70 CB, 10 ס"מ = BC א (1) מצא את הזוויות B במשולש COB () מצא את r ב מצא את היחס בין r לבין רדיוס המעגל החוסם את המשולש C BC O 5 18

33 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת האסימפטוטה היחידה f '() של הפונקציה f() היא = 0 נתון כי יש פתרון אחד בלבד למשוואה = f() ופתרון אחד בלבד למשוואה = f() א רק על פי נתוני השאלה, סרטט סקיצה של הפונקציה f() נמק b ב נתון גם כי פונקציית הנגזרת ()' f היא a ו- b הם פרמטרים שונים מ- 0 מצא את הפונקציה f() (בלי פרמטרים), f '() 1 f '() = a a 6 3 בציור מוצגת סקיצה של הפונקציה f() = a א מצא את שיעורי ה- של נקודות הקיצון של הפונקציה f(), והוכח שאחת מהן היא מקסימום והאחרת היא מינימום ב נתון כי הישר = עובר דרך נקודת המינימום של הפונקציה f() מצא את הערך של הפרמטר a ג מעבירים משיק לגרף הפונקציה f() בנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-, ומעבירים אנך לציר ה- דרך נקודת המקסימום של הפונקציה הצב את הערך של a שמצאת בסעיף ב', וחשב את השטח המוגבל על ידי המשיק, על ידי האנך, על ידי גרף הפונקציה f() ועל ידי ציר ה- (השטח המקווקו בציור) 7 19

34 3 5 5, הוא נתונה הפונקציה + 5 b b, f () = + הוא פרמטר שיפוע הישר, המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה = 0 א מצא את הערך של b הצב 6 =b, וענה על הסעיפים ב'-ה' ב מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ג מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים ד מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ה שרטט סקיצה של גרף הפונקציה 8 08 תשובות למבחן בגרות מספר 5 קיץ תש"ע, 010, מועד ב: 08 1 מטר 1) (3; ב = 40 1) + ( ( 3) + ג 80 א (1) 3 () ד = 0 1) + ( ( 3) + 3 א (1) P) P = 06 () (1 ב 04 5 א (1) 10 = OBC BOC = 15, OCB = 45, () 15 ס"מ ב 1 ב + f() = 6 א 6 ג 1 מקסימום, = מינימום ב 7 א = 1 או 1 ה < 1 5 (5;0), (1; 0) ; ירידה: 6 b= ב > 5 8 א ג ד עלייה:, (0; 5) 0

35 מבחן בגרות מספר 6 חורף תשע"א, 011 פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 מכונית נסעה מעיר לעיר B על כביש ראשי במהירות קבועה בדרך חזרה מעיר B לעיר נסעה המכונית בדרך עפר, הקצרה ב- 40% מהדרך בכביש הראשי, ונאלצה להקטין את מהירותה ב- 10% אורך הדרך בכביש הראשי מ- ל- B הוא 40 ק"מ מהדרך שבין ל- B ב- שעות 3 נתון כי בכביש הראשי עברה המכונית מצא את זמן הנסיעה של המכונית בדרך חזרה מ- B ל- 1 O D M נתון מעגל שמרכזו (0;0)O דרך הנקודה, M הנמצאת ברביע הראשון, העבירו ישר המשיק למעגל בנקודה (1 ;1)D (ראה ציור) א מצא את משוואת המעגל ב מצא: (1) את משוואת הישר OD () את משוואת המשיק DM ג נתון כי = 18 DM M ) ברביע הראשון) מצא את השיעורים של הנקודה M ד העבירו מעגל דרך הנקודות O, D, M מצא את המשוואה של מעגל זה 1

36 , במלאי של סוחר יש כובעים המיוצרים בשלושה מפעלים: מפעל 1 מהכובעים במלאי מפעל, B מפעל C מלאי הכובעים הוא גדול מאוד 1 מהכובעים במלאי מיוצרים במפעל B 3 מיוצרים במפעל שאר הכובעים במלאי מיוצרים במפעל C הם פגומים 5% מהכובעים המיוצרים במפעל הם פגומים 15% מהכובעים המיוצרים במפעל B 35% מהכובעים במלאי הם פגומים א בוחרים באקראי כובע אחד מבין הכובעים המיוצרים במפעל C מהי ההסתברות שהכובע פגום? כובעים המיוצרים במפעל C 6 ב מהי ההסתברות שבמדגם מקרי של יש לכל היותר כובע אחד פגום? 3 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 B D C E משולש BC חסום במעגל המיתר BE חותך את הצלע C בנקודה המשכי המיתרים E ו- BC נפגשים בנקודה, F כמתואר בציור נתון: BE = EBC = FB 16 ס"מ = EF, 5 ס"מ = F BE א (1) הוכח: FB () מצא את האורך של B (3) מצא את האורך של BF ב הוכח: EC BEF ג מצא את האורך של CF D F 4 B D C BD הוא שווה-צלעות (ראה ציור) BC משולש R רדיוס המעגל החוסם משולש זה הוא : R א הבע באמצעות BC (1) את היקף המשולש BC () את שטח המשולש DC בנו משולש C ב על הצלע (ראה ציור) ו- = 90 DC כך ש- D BC = 4 3 R מצא את האורך של הקטע נתון גם כי 5

37 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 נתונה הפונקציה f() = א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ב מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים ג מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה (אם יש כאלה), וקבע את סוגן ד מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה) ה שרטט סקיצה של גרף הפונקציה ו האם נקודה ששיעור ה- שלה הוא 5 נמצאת על גרף הפונקציה? f() 6 בציור מתואר גרף הפונקציה א ישר המשיק לגרף של f() 3 f () = a מקביל לציר ה-, = 3 בנקודה שבה 3 מצא את הערך של a 7 הצב את הערך של a שמצאת, וענה על סעיפים ב-ג ב (1) מצא את נקודות החיתוך של הגרף של f() עם ציר ה- () על פי הגרף של f(), קבע את התחומים שבהם f() שלילית ואת התחומים שבהם f() חיובית (3) נגזרת של הפונקציה g() מקיימת f() g'() = מצא את שיעורי ה- ) g() היא פונקציית הנגזרת של f() ) של נקודות הקיצון של הפונקציה g(), וקבע את סוגן נמק ג הישר 7 = משיק לגרף הפונקציה g() בנקודת המקסימום שלה מצא את הפונקציה g() 3

38 O B C 1 3 נתונות שתי פונקציות: = ו-, = הנחתכות בנקודות C ו- - O ) O ראשית הצירים) הנקודה ) ( ; נמצאת על הישר = בין O ל- C דרך מעבירים מקביל לציר ה-, החותך את גרף הפונקציה = בנקודה B א הבע באמצעות 1 את שיעורי הנקודה B ב חשב את שיעורי הנקודה, שעבורם אורך הקטע B הוא מקסימלי 8 תשובות למבחן בגרות מספר 6 חורף תשע"א, 011: (4;) 1 שעתיים = ג () = = + ב (1) א = 5 1) ( ( ) + ד ב 3 א 15 ס"מ ס"מ ג ס"מ (3) 4 א () R 3 ב 4 () 3R 3 5 א (1) = 0, ה, = 3 ב 1, מקסימום ד (;0) = 1 6 א ג ו לא 3 (; 6) 7 א 1 ב (1) (0;0), 0) (1;, 0) 1; ( () שלילית: < 1 או < 1 0< 1 = מינימום, = 0 מקסימום, (3) או > 1 1< < חיובית: 0 4 g() = = 1 מינימום ג 7 4 ( 1 1 ב (45;15) 1 8 א ) 1 ; 9 3 4

39 מבחן בגרות מספר 7 קיץ תשע"א, 011, מועד א פרק ראשון אלגברה, גיאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות שעה יצאה מאותו מקום ממקום יצאה מכונית א', וכעבור ובאותו כיוון מכונית ב' המהירות של מכונית ב' גדולה ב- 5% מהמהירות של מכונית א' כעבור כמה שעות מרגע היציאה של מכונית א' ייפגשו שתי המכוניות? (המהירויות של המכוניות אינן משתנות) 1 B K KB עוברים שני ישרים K דרך נקודה ו-, B בנקודות החותכים את ציר ה- כמתואר בציור אורך הקטע B הוא 17 משוואת הישר BK היא 14 4 = א מצא את שיעורי הנקודה 34 הוא KB ב נתון גם כי שטח המשולש K מצא את שיעורי הנקודה הוא קוטר במעגל ג (1) הראה כי הקטע B KB החוסם את המשולש () מצא את משוואת המעגל החוסם את המשולש 6 וקובייה B מטילים שתי קוביות משחק מאוזנות: קובייה 6 או מספר 4 יתקבל מספר א מהי ההסתברות שבקובייה? 6 או מספר 4 יתקבל מספר וגם בקובייה B 4 ב מהי ההסתברות שלפחות באחת מהקוביות יתקבל מספר? 6 או מספר ו- B ג מטילים שש פעמים את שתי הקוביות או מספר 4 מהי ההסתברות שבדיוק בשלוש הטלות יתקבל מספר לפחות באחת מהקוביות? 3 5

40 פרק שני גיאומטריה וטריגונומטריה במישור F C E B D G BCD שווה לאורך הגובה ענה על אחת מבין השאלות 5-4 לשני מעגלים יש משיק משותף, FG המשיק לשניהם בנקודה E נקודות C ו- D נמצאות על מעגל אחד ונקודות ו- B נמצאות על המעגל האחר כך שהקטעים D ו- CB נפגשים בנקודה E (ראה ציור) BE א הוכח כי = GED E = BE ב הוכח כי DE CE ג נמק מדוע אורך הגובה לצלע CD במשולש לצלע CD במשולש CD 4 F G M B D P C 40 BCGF בנו ריבוע BC של משולש BC על הצלע BDE של המשולש בנו ריבוע על הצלע B, M נפגשים בנקודה BCGF אלכסוני הריבוע P נפגשים בנקודה BDE ואלכסוני הריבוע (ראה ציור) = 40 BC, 5 ס"מ = C, נתון: 8 ס"מ = B CB א מצא את גודל הזווית MBP ב מצא את גודל הזווית BMP ג מצא את אורכי הצלעות במשולש E 5 6

41 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 = f() a ו- b הם פרמטרים + 5 נתונה הפונקציה + b a תחום ההגדרה של הפונקציה הוא ±, = ואחת האסימפטוטות של הפונקציה היא א מצא את הערך של a ואת הערך של b נמק 6 הצב = 4 a ו- =b, וענה על הסעיפים ב-ג ב (1) מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים () מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית (3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה = g() בלי חקירה נוספת קבע במה שונות + ג נתונה הפונקציה 5 4 נקודות הקיצון של g() מנקודות הקיצון של f() נמק = נתונה הפונקציה 4 1 א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ב מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה (אם יש כאלה) ג מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים ד חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ושני הצירים 7 H D E G במלבן BCD אורך הצלע D הוא 10 ס"מ, ואורך הצלע B הוא a ס"מ הנקודות H, G, F, E נמצאות על צלעות המלבן כך ש- E = H = CF = CG = (ראה ציור) א (1) הבע באמצעות a ו- את סכום השטחים של המשולש BEF והמשולש EH () הבע באמצעות a את הערך של שעבורו שטח המרובע EFGH הוא מקסימלי ב כאשר שטח המרובע EFGH הוא מקסימלי, אורך הקטע DH הוא 6 ס"מ מצא את הערך של C a B F 8 7

42 תשובות למבחן בגרות מספר 7 1 שעתיים וחצי קיץ תשע"א, 011, מועד א: + ( + 55) = 75 א (0;3) ב ) K(4; ג () 5 ג ב 9 3 א נמצאות במרחק שווה שעל הישר B ו- B, B CD לכן הנקודות 4 ג שווה לאורך האנך CD לישר, CD כלומר אורך האנך מ- מהישר CD לישר מ- B ב 5 א 846 ס"מ = MP 5657 ס"מ = BP, 373 ס"מ = BM, ג b= = 4 a, 6 א ( 15;0) 0) (1;, (0;075), ב (1) מינימום 958;195) ( מקסימום, 04;080) ( () (3) ) (0; ד 1 ג 7 א שיעור ה- נשאר אותו דבר, שיעור ה- קטן ב- > ; ירידה: אין ג < 1 ב עלייה: 1 a = 6, ( 3 ;0) 4 = ב 4 a () 10 a + 10a 8 א (1) 8

43 מבחן בגרות מספר 8 קיץ תשע"א, 011, מועד ב פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 סוחר קנה גופיות לכל גופייה היה אותו מחיר 5 גופיות היו פגומות, והסוחר מכר את חמש הגופיות האלה בסכום כולל של 80 שקל ובהפסד של 0% (לעומת מחיר הקנייה) את שאר הגופיות מכר הסוחר ברווח של 30% הרווח הכולל של הסוחר ממכירת כל הגופיות (פגומות ולא פגומות) היה 190 שקל א כמה שילם הסוחר עבור גופייה אחת? ב כמה גופיות קנה הסוחר? 1 O a הצלעות של המרובע BCO מונחות על ציר ה-, = a ועל הישר = =, על הישר 5 על הישר C (ראה ציור) a הוא פרמטר גדול מ- 5 א איזה מרובע הוא? BCO נמק ב מצא את השיעורים של קדקודי המרובע BCO B (הבע באמצעות a במידת הצורך) ג הישר = a חותך את ציר ה- בנקודה D D (1) הבע באמצעות a את שטח המשולש BD () הבע באמצעות a את שטח המרובע BCO (3) נתון כי שטח המרובע BCO הוא 5 מצא את הערך של 9

44 א מטילים פעם אחת קוביית משחק מאוזנת (1) מהי ההסתברות שיתקבל מספר זוגי גדול מ-? 3 () האם המאורע "יתקבל מספר זוגי" והמאורע "יתקבל מספר גדול מ- " 3 הם מאורעות בלתי תלויים? נמק 3 מטילים קוביית משחק מאוזנת 3 פעמים ב מהי ההסתברות שיתקבל מספר זוגי גדול מ- 3 בדיוק בשתי הטלות? ג מהי ההסתברות שיתקבל מספר זוגי גדול מ- 3 רק בהטלה הראשונה ובהטלה השלישית? ד מהי ההסתברות שיתקבל מספר זוגי גדול מ- 3 בהטלה הראשונה ובהטלה השלישית? פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 B ' E D D' C BC במשולש BC הוא תיכון לצלע E 'B'C' במשולש B'C' הוא תיכון לצלע 'E', B = B'', C = 'C' E = 'E ' נתון: כך ש-, B = D D עד B המשיכו את הצלע 'D עד B'' והמשיכו את הצלע כך ש- 'D' B'' = E DC א נמק מדוע DC ב הוכח כי 'D'C' BC 'B'C' ג הוכח כי 4 B' E' C' B BE במשולש שווה-שוקיים (B = C) BC זווית הבסיס היא, α ואורך השוק C הוא b נקודה D נמצאת על המשך הבסיס BC CD = α 4 כך ש- BE הוא גובה לשוק במשולש BC (ראה ציור) D א הבע באמצעות α את היחס BE sin α S CD = 4 ב הראה כי S sin 3α 4 cosαcos α BE S CD הוא שטח המשולש E C D S BE, CD הוא שטח המשולש 5 30

45 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 אם במסעדה סועדת קבוצה של 40 אנשים, כל אחד מהם משלם 60 שקלים על כל סועד נוסף שמצטרף לקבוצה, משלם כל אחד מהסועדים שקל אחד פחות (לדוגמא אם מספר הסועדים הוא, 41 משלם כל אחד מהם 59 שקלים, ואם מספר הסועדים הוא, 4 משלם כל אחד מהם 58 שקלים וכו') נסמן ב- את מספר הסועדים שהצטרפו לקבוצה בת 40 האנשים א הבע באמצעות את מספר הסועדים הכולל ואת את המחיר ששילם כל סועד ב מצא מה צריך להיות מספר הסועדים במסעדה, כדי שלמסעדה תהיה הכנסה מקסימלית 6 נתונה הפונקציה + f() = + + א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ב מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן ג סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ד מצא את משוואת הישר המחבר את נקודות המינימום של הפונקציה ה מצא עבור אילו ערכים של, k למשוואה f() = k יש שני פתרונות 7 f() = 1 נתונה הפונקציה + a ( ) (ראה ציור) a הוא פרמטר א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה, ואת האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (הבע באמצעות a במידת הצורך) ב העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה- (1) הבע באמצעות a את שיעור ה- של נקודת ההשקה, ואת משוואת המשיק () מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(), על ידי המשיק ועל ידי הישר 1 = (השטח המקווקו בציור) מצא ערך מספרי 8 31

46 תשובות למבחן בגרות מספר 8 קיץ תשע"א, 011, מועד ב: O(0;0), C(a;a) 1 9 ד 7, B(a;a 5) ג 9 a = 7 1 א 0 שקלים ב 40 גופיות א טרפז שווה שוקיים ב (0;5), (3) 10a 5 () a 10a + 5 ג (1) 1 () לא המאורעות תלויים ב 3 3 א (1) 5 א sin α sin 3α sin α 4 60 ב 50 6 א + 40, מינימום, ג 7 א 0 ב 4) 1; ( מקסימום, ;3414) ( (3414;0) מינימום ד = 3414 ה < 4 k = a, () = a 4 4, =, a 8 א ב (1) 3

47 מבחן בגרות מספר 9 חורף תשע"ב, 01 פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 D צפונה B שני הולכי רגל יוצאים בשעה 07 : 00 מנקודה : אחד הולך צפונה ואחד הולך מזרחה (ראה ציור) בשעה 09 : 00 הגיע ההולך מזרחה לנקודה, B וההולך צפונה הגיעה לנקודה D כך שהמרחק ביניהם היה 10 ק"מ ההולך צפונה הלך מיד מנקודה D לנקודה B בדרך הקצרה ביותר, והגיעה לנקודה B בשעה 11:30 המהירויות של הולכי הרגל אינן משתנות מצא את המהירויות של כל אחד מהולכי הרגל מזרחה 1 FMC נקודה נמצאת על ציר ה-, בחלקו השלילי, ומרחקה מראשית הצירים הוא 15 שיעורי נקודה B הם 11) 13; ( D (ראה ציור) E א מצא את משוואת הישר B ב נקודה M נמצאת ברביע השלישי C M על הישר M B היא מרכז של מעגל, F המשיק לציר ה- בנקודה D ולציר ה- B בנקודה C (ראה ציור) מצא את שיעורי הנקודה M ג הישר B חותך את המעגל שמרכזו M בנקודות E ו- F שטח המשולש EMC הוא S הבע באמצעות S את שטח המשולש נמק אין צורך למצוא את השיעורים של E ו- F 33

48 מפעל מייצר מחשבים 6% מהמחשבים המיוצרים במפעל הם לא תקינים 95% מהמחשבים התקינים ו- % מהמחשבים הלא-תקינים מזוהים על ידי היחידה לבקרת איכות כתקינים א מהי ההסתברות שמחשב יזוהה כתקין? 3 היחידה לבקרה איכות בודקת כל מחשב 4 פעמים (הבדיקות אינן תלויות זו בזו) אם המחשב זוהה 4 פעמים כתקין, הוא נמכר עם התווית של המפעל אם המחשב זוהה 3 פעמים כתקין, הוא נמכר במחיר נמוך בלי התווית של המפעל למחזור אם המחשב זוהה לפחות פעמים כלא-תקין, הוא נשלח ב מהי ההסתברות שמחשב יימכר עם התווית של המפעל? ג מהי ההסתברות שמחשב יישלח למחזור? בתשובתך דייק עד ארבע ספרות אחרי הנקודה העשרונית פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 S היא נקודה F (CE B) BCE בטרפז כך ש- CF BE BE על האלכסון CD = ED כך ש- CE היא נקודה על D חותך את B FD (ראה ציור) המשך ס"מ = E, 4 G נתון: בנקודה E EC חוצה-זווית EB 3 ס"מ = ED, EDF BE א הוכח כי הוא מקבילית GDE ב הוכח כי המרובע S הבע באמצעות הוא EDF ג שטח המשולש נמק את שטח המשולש B BGF C G F D 4 B E במשולש שווה-צלעות BC חסום משולש שווה-צלעות DEF (ראה ציור) D נתון: DE = a, DE = α א הבע באמצעות α במידת הצורך את זוויות המשולש BEF ב הבע באמצעות a ו- α את האורך של BC F C ג אם, DE BC ורדיוס המעגל החוסם את המשולש DEF הוא 4 ס"מ, מצא את אורך הצלע BC 5 34

49 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 f() = נתונה הפונקציה א (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה () מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (אם יש כאלה) (3) מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (4) מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן (5) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ב (1) מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של פונקציית הנגזרת '() f () מבין הגרפים IV, III, II, I שלפניך, איזה גרף מתאר את פונקציית הנגזרת '()? f נמק 6 IV III II I במשולש ישר-זווית סכום הניצבים הוא 0 ס"מ א מבין כל המשולשים המקיימים תנאי זה, מצא את אורכי הניצבים במשולש שבו אורך התיכון ליתר הוא מינימלי ב מצא את אורכי התיכונים לניצבים במשולש שאת הניצבים שלו מצאת בסעיף א' 7 35

50 3 א נתונה הפונקציה 4 8 f () = 3 (1) הוכח שהפונקציה f() יורדת לכל ערך של () חשב את 3) ( f (3) על-פי הסעיפים (1) ו-( ), מצא עבור אילו ערכי הפונקציה f() שלילית, ועבור אילו ערכי היא חיובית 4 3 ב נתונה הפונקציה 7 4 g() = 4 4 (1) מצא בעזרת סעיף א' את נקודת הקיצון של הפונקציה g(), וקבע אם היא מינימום או מקסימום () הסבר מדוע אין לפונקציה g() נקודות קיצון נוספות ג מצא עבור אילו ערכים של k למשוואה : g() = k (1) יש פתרון יחיד () יש שני פתרונות (3) אין אף פתרון 8 תשובות למבחן בגרות מספר 9 חורף תשע"ב, 01: = ס"מ ( 5;0) 1 מ- ל- : D 4 קמ"ש מ- ל- : B 3 קמ"ש א = ב 5;5) m( ג S 3 א 0894 ב ג ג S a(sin α+ sin(10 α)) ג sin 60, ( 5;0) α 10 ב, (0; 1 ) (3) = 3 () 3 מינימום, 10) 5; ( מקסימום, α 3 ( 1; ) 5 א, 60 6 א (1) (4) (5) > 3 IV גרף (), = 1, = 3 ב (1) 7 א 10 ס"מ, 10 ס"מ ב 1118 ס"מ 8 א () 0 = 3) ( f (3) חיובית: < 3, שלילית: 3;3575) ( מקסימום ב (1) ג (1) 3575 = k k < 3575 () (3) k >

51 מבחן בגרות מספר 10 קיץ תשע"ב, 01, מועד א פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 המחיר של טלפון נייד בחנות א' היה 600 שקל מחיר זה הועלה באחוז מסוים המחיר של אותו טלפון נייד בחנות ב' היה 900 שקל מחיר זה הוזל באותו אחוז שהועלה המחיר של הטלפון הנייד בחנות א', ואז המחיר של הטלפון הנייד בשתי החנויות היה זהה מצא את המחיר הסופי של הטלפון הנייד 1 D C נתון טרפז (B DC) BCD, ראה ציור = 3 משוואת הצלע B היא 6 B 4 = 8 משוואת הצלע D היא שיפוע הצלע CB הוא 0 שיעורי הקדקוד C הם (6;4) א מצא את השיעורים של הקדקודים B, ו- D ב (1) מצא את אורך הגובה לצלע BC במשולש CB () מצא את שטח המשולש CB במפעל לייצור נורות נאון יש שלוש מכונות: C, B, מכונה מייצרת 60% מהנורות מכונה B מייצרת 30% מהנורות מכונה C מייצרת 10% מהנורות % מהנורות שמייצרת מכונה הן פגומות 3% מהנורות שמייצרת מכונה B הן פגומות 4% מהנורות שמייצרת מכונה C הן פגומות א (1) מצא את אחוז הנורות הפגומות במפעל () בוחרים באקראי נורה אחת מבין הנורות הפגומות מהי ההסתברות שהנורה שנבחרה יוצרה על ידי מכונה? C ב בוחרים באקראי 5 נורות מבין הנורות המיוצרות במפעל מהי ההסתברות שלכל היותר 3 מהן יהיו תקינות? 3 37

52 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 D G H F C E B במרובע BCD נקודה E היא אמצע הצלע, B ונקודה G היא אמצע הצלע DC נקודה F היא אמצע האלכסון, C ונקודה H היא אמצע האלכסון DB (ראה ציור) הוכח: א EF HG EHG ב EFG 4 B D C α נתון משולש שווה-שוקיים, BC ו- BC = α B = C שבו BC היא נקודה על הבסיס D β ו- α כך ש- BD = β א הבע באמצעות BD את היחס בין שטח המשולש CD לשטח המשולש β= 30 מצא את, BD DC = 1 ב נתון גם: 5 38

53 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 f() = 4 1 נתונה הפונקציה f() א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה המקבילות לצירים f() ב מצא את האסימפטוטות של הפונקציה (אם יש כאלה) עם הצירים f() ג מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ד מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה (אם יש כאלה) f() ה סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ו לפניך סקיצה של גרף פונקציית בתחום הגדרתה ()' f הנגזרת k עבור אילו ערכים של אינו חותך את הגרף = k הישר של פונקציית הנגזרת ()'? f נמק 6 נתונות שתי פונקציות: f () = 1 3 g() = 1 3 א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות ב מצא את תחומי העלייה והירידה של כל אחת מהפונקציות (אם יש כאלה) ג מצא את נקודות החיתוך של כל אחת מהפונקציות עם הצירים ד במערכת צירים אחת סרטט בקו מלא ) ( סקיצה של גרף הפונקציה f() וסרטט בקו מרוסק ( ( סקיצה של גרף הפונקציה g() ה העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה f() בנקודה שבה = 1, והעבירו ישר אחר המשיק לגרף הפונקציה g() בנקודה שבה = 1 (1) מצא את השיעורים של נקודת המפגש בין המשיקים () מצא את שטח המשולש המוגבל על ידי המשיקים ועל ידי הישר =

54 משאית נוסעת 100 ק"מ במהירות קבועה של קמ"ש א הבע באמצעות את מספר שעות הנסיעה של המשאית 8 עלות הנסיעה של המשאית היא פונקציה של המהירות שלה שקלים היא העלות של שעת נסיעה אחת במהירות כדי שעלות הנסיעה של המשאית ב (1) מה צריך להיות הערך של תהיה מינימלית? () חשב את העלות המינימלית של הנסיעה תשובות למבחן בגרות מספר 10 קיץ תשע"ב, 01, מועד א: 70 1 שקל 3) 8; D( ב (1) 18 () 108 א 1) 8; (, B(16; 6), 3 א (1) 5% () 016 ב sinβ ב α=30 5 א sin( α+β) ;0) ( ה 6 א ב = ג (0;4), (;0), ; < ד תחומי עלייה: > או תחומי ירידה: אין ו k f() : 4 7 א תחום ההגדרה של g() : 4 תחום ההגדרה של < f() : תחום עלייה: אין תחום ירידה: 4 ב > תחום ירידה: אין g() : תחום עלייה: 4 (4;0), : g() (0; 1), (4;0) f() : ג ד (0; 1) שקלים () 18 = 80 () (7;0) ב (1) 100 ה (1) 8 א 40

55 מבחן בגרות מספר 11 קיץ תשע"ב, 01, מועד ב פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 בחברת טלפונים המחיר לדקת שיחה בשעות הערב נמוך ב- 40% מן המחיר לדקת שיחה בשעות היום כדי לעודד שיחות בשעות הערב הורידה החברה ב- 18% את המחיר לדקת שיחה בשעות הערב (המחיר לדקת שיחה בשעות היום לא השתנה) אחרי ההוזלה אלעד שוחח 150 דקות בשעות היום ו- 300 דקות בשעות הערב ושילם 4464 שקלים מצא את המחיר באגורות לדקת שיחה ביום, ולדקת שיחה בערב לפני ההוזלה 1 M נתון מעגל שמשוואתו = 5 3) ( ( a) + a הוא פרמטר המעגל עובר דרך ראשית הצירים, ומרכזו M נמצא ברביע השני (ראה ציור) א מצא את הערך של a ב מצא את השיעורים של הנקודות על המעגל, ששיעור ה- שלהן גדול ב- משיעור ה- שלהן ג בכל אחת מהנקודות שמצאת בסעיף ב מעבירים משיק למעגל מצא את המשוואות של משיקים אלה 41

56 גלגל משחק מאוזן מחולק לשש גזרות על גזרות, שכל אחת היא 1 מהעיגול, 10 רשומים המספרים 1 ו-, 3 ועל 4 גזרות, שכל אחת היא מהעיגול, רשומים המספרים,,, 6, כמתואר בציור כאשר מסובבים את הגלגל, הוא נעצר על אחד המספרים (לא על הקו שבין הגזרות) א מסובבים את הגלגל פעם אחת מהי ההסתברות שהגלגל ייעצר על מספר זוגי? 3 פעמים לכל היותר? מסובבים את הגלגל 5 פעמים ב (1) מהי ההסתברות שהגלגל ייעצר על מספר זוגי פעמים לכל היותר () ידוע שהגלגל נעצר על מספר זוגי פעמים? מהי ההסתברות שהגלגל נעצר על מספר זוגי בדיוק ג מהי ההסתברות שרק בפעם הראשונה ובפעם האחרונה ייעצר הגלגל על מספר זוגי? פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 E B D F C ) 90 = BC ( נתון משולש ישר-זווית C הוא גובה המשולש ליתר BD DF BC כך ש- BC היא נקודה על F DE B כך ש- B היא נקודה על E שווים זה ו- BD (ראה ציור) א הוכח כי EF לזה וחוצים זה את זה ED = DF E ב הוכח כי 4 4

57 C B D מנקודה העבירו שני משיקים למעגל, B ו- D נקודה C נמצאת על המעגל מחוץ למשולש BD (ראה ציור) נתון: רדיוס המעגל הוא 10 ס"מ, BD = α א (1) הוכח כי BCD = 90 α () הבע באמצעות α את האורך של B ב אם נתון גם כי 30=α ו- = 70 CBD, חשב את האורך של C α 5 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 נתונה הפונקציה + 5 f() = א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ב מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים ג האם יש ערכים של שעבורם > 0 f()? נמק ד מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של גרף הפונקציה, וקבע את סוגן ה סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ו כמה פתרונות יש למשוואה + 5 = 14? נמק 6 B D נתונה מקבילית DEFB שאורכי צלעותיה הם: 40 ס"מ = BD, 90 ס"מ = DE נקודה נמצאת על המשך הצלע BD ונקודה C נמצאת על המשך הצלע BF E כך שהישר C עובר דרך קדקוד E (ראה ציור) F א נסמן: D = היעזר בדמיון משולשים, C והבע באמצעות את אורך הקטע FC ב מצא את שעבורו סכום הצלעות B ו- BC הוא מינימלי ג מצא את הסכום המינימלי של הצלעות B ו- BC 7 43

58 f() = 4 ( + 1) בציור שלפניך מוצג הגרף של הפונקציה א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ב מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים ג דרך נקודת החיתוך של גרף הפונקציה העבירו ישר המקביל לציר ה- עם ציר ה- הישר חותך את גרף הפונקציה בנקודה נוספת, (ראה ציור) (1) מצא את השיעורים של הנקודה העבירו אנך לציר ה- () דרך הנקודה מצא את השטח המוגבל על ידי האנך, על ידי הישר המקביל, ועל ידי ציר ה- = 1 על ידי גרף הפונקציה, על ידי הישר (השטח המקווקו בציור) 8 תשובות למבחן בגרות מספר 11 קיץ תשע"ב, 01, מועד ב: 16) 4; ( מינימום, 15 אגורות 1 מחיר לדקת שיחה ביום הוא 9 אגורות מחיר לדקת שיחה בערב הוא = ) 4; ( ג = 1 (1;3), 4 = a ב א ג = ב (1) () 3 א ס"מ = α 0cos ב sin α tan α 5 א () מקסימום, (0;0) (0;5 ( ג לא ד (0;0), 5 ב 6 א מקסימום ה (0;5 ( 5 () ( 1; 4) ו שלושה פתרונות ב 60 ס"מ = ג 50 ס"מ ג (1) = א, = 1 ב 1 8 א 44

59 מבחן בגרות מספר 1 חורף תשע"ג, 013 פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 רוכב אופניים יצא מיישוב ליישוב, B ובדיוק באותה שעה יצא הולך רגל מיישוב B ליישוב הולך הרגל הלך במהירות קבועה שקטנה ב- 10 קמ"ש מהמהירות של רוכב האופניים כעבור 4 דקות המרחק בין רוכב האופניים להולך הרגל היה 1 ק"מ כעבור 36 דקות נוספות הם נפגשו א מצא את המהירות של רוכב האופניים ב מצא באיזה מרחק מיישוב נפגשו רוכב האופניים והולך הרגל 1 C B M נתון מעגל, שמרכזו M נמצא על הישר (3;6) משיק למעגל בנקודה = הישר = 7 1 (ראה ציור) M א (1) מצא את השיעורים של המרכז () מצא את משוואת המעגל ו- C בנקודות B ב המעגל חותך את ציר ה- (ראה ציור) נקודה C נמצאת מעל נקודה B מקביל לישר BM (1) הראה כי הישר המשיק למעגל בנקודה BM () מצא את שטח המשולש 45

60 ? B בשלוש קופסאות B, ו- C יש כדורים שחורים ולבנים בקופסה יש כדורים שחורים ו- 3 כדורים לבנים בקופסה B יש 3 כדורים שחורים ו- כדורים לבנים בקופסה C יש 4 כדורים שחורים ו- 1 כדור לבן א בוחרים באקראי קופסה, ומוציאים ממנה באקראי כדור אחד (1) מהי ההסתברות להוציא כדור לבן? () ידוע שהוצא כדור לבן מהי ההסתברות שהכדור הוצא מקופסה ב מקופסה C מוציאים באקראי כדורים זה אחר זה בלי החזרה מהי ההסתברות שאחרי הוצאת הכדורים לא נותר בקופסה C כדור לבן? 3 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 E B D C O יוצא ישר המשיק בנקודה B מנקודה חותך O O הקטע למעגל שמרכזו (ראה ציור) D את המעגל בנקודה BOD = BD א הוכח כי יוצא עוד ישר המשיק מנקודה BD למעגל בנקודה C המשך המיתר (ראה ציור) E בנקודה C חותך את BE C נתון כי BOD = DE ב (1) הוכח כי BD = D () הוכח כי 4 B BDC במשולש BC נתון: 5 ס"מ = B 8 ס"מ = C D 10 ס"מ = BC נקודה D נמצאת על הצלע C כך ש- BD = DC (ראה ציור) C א חשב את זוויות המשולש BDC ב מצא את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את המשולש BD לרדיוס המעגל החוסם את המשולש 5 46

61 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 נתונה הפונקציה f() = 4 א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ב מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה) ג מצא את נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה, וקבע את סוגן ד (1) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה () היעזר בגרף שסרטטת, ומצא את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה בשתי נקודות בדיוק 6 בציור שלפניך מוצגות שתי פרבולות: f() = g() = + c c הוא פרמטר הפרבולות משיקות זו לזו בנקודה העבירו משיק המשותף דרך נקודה לשתי הפרבולות (ראה ציור) א (1) סמן ב- t את שיעור ה- של נקודה, והבע באמצעות t את השיפוע של המשיק המשותף הבע בשני אופנים () מצא את השיעורים של נקודה (3) מצא את ערך הפרמטר c ב המשיק המשותף מחלק את השטח, המוגבל על ידי שתי הפרבולות ועל ידי ציר ה-, לשני שטחים (השטח האפור והשטח המקווקו בציור) שמצאת, והראה כי שני השטחים c הצב את הערך של הפרמטר שווים זה לזה 7 את צלעות k סמ"ר, הבע באמצעות k א מבין כל המלבנים ששטחם המלבן שהיקפו מינימלי ב נתון כי קוטר המעגל החוסם את המלבן שהיקפו מינימלי, k הוא 8 ס"מ מצא את הערך של 8 47

62 תשובות למבחן בגרות מספר 1 חורף תשע"ג, 013: ( 4) + ( 7) = 0 1 ק"מ קמ"ש ב 1 א 7) M(4; () א (1) 10 יח"ר ב () ב () 3 א (1) ב 1 3, א, 969 ד (1) או ( ;0), (;0) 6 א ב 8; 1 ( מקסימום מוחלט, 4 ג ) 8; 1 ( מקסימום מוחלט, 4 ) (0;) מינימום מוחלט, (0; ( מינימום מוחלט 1 ד () = 4 c= 4 (3) ( 1;3) () t, t א (1) k = 3 ס"מ, k ס"מ ב 8 א k 48

63 פרק ראשון מבחן בגרות מספר 13 קיץ תשע"ג, 013, מועד א אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 B D C חלון מורכב מחצי עיגול ומריבוע BCD צלע הריבוע D היא קוטר של חצי העיגול, כמתואר בציור שטח הריבוע גדול ב מ"ר משטח חצי העיגול מצא את ההיקף של המסגרת החיצונית של החלון בחישוביך השתמש ב- 314=π 1 B BD נמק נתונות הנקודות (4 ;10) ו- (8; )B (ראה ציור) נקודה P נמצאת על ציר ה- כך שמרחקה מנקודה שווה למרחקה מנקודה B א מצא את השיעורים של הנקודה P הנקודות B, ו- P הן קדקודים של המרובע DBP נתון: BD P, BP D ב מצא את השיעורים של הקדקוד D ג מצא את אורך הרדיוס של המעגל החוסם את המשולש חקלאי מייצא פרחים לבנים ופרחים אדומים במחסן של החקלאי: מהפרחים הלבנים הם ורדים מהפרחים האדומים הם ורדים % מכלל הפרחים הם ורדים, והשאר הם חבצלות א בוחרים באקראי פרח מבין הפרחים שבמחסן (1) מהי ההסתברות שהפרח הוא אדום? () מהי ההסתברות שהפרח הוא אדום אם ידוע שהוא ורד? ב נתון שמספר הוורדים האדומים במחסן הוא 300 מהו מספר הפרחים במחסן? 3 49

64 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 M I מרובע KLM חסום במעגל I II דרך קדקודים ו- K העבירו מעגל II E נפגשים ו- LK M המשכי הצלעות FE שעל המעגל II הישר E בנקודה (ראה ציור) E בנקודה משיק למעגל II K F LM מקביל למיתר FE א הוכח כי הישר L EK LEM ב הוכח כי ס"מ = KL ס"מ = KE, 7 ס"מ = E, 6 ג נתון: LEM לשטח המשולש EK (1) חשב את היחס בין שטח המשולש KLM לשטח המרובע EK () חשב את היחס בין שטח המשולש 4 α M K E L נתון מעוין MLK נקודה E נמצאת על הצלע ML P האלכסון KM חותך את הקטע E בנקודה P (ראה ציור) נתון: = 10 ML, EK = α, אורך צלע המעוין הוא a K א (1) מצא את גודל הזווית PK נמק () הבע באמצעות a ו- α את אורך הקטע PK ב דרך הנקודה P העבירו אנך לצלע K האנך חותך את בנקודה G נתון גם כי 46=α הבע באמצעות a את אורך הקטע GL 5 50

65 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 נתונה הפונקציה f() = 4 6 א (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה () מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (3) מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן ב סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ג איזה גרף מביו הגרפים, IV, III, II, I עשוי לתאר את פונקציית הנגזרת '() f בתחום 1 10? נמק 6 IV III II I בציור שלפניך מוצגים הגרפים של הפונקציות: g() = 16, f() = ( a) ( a) a הוא פרמטר גדול מ- 0 7 S1 S א מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה g() (הבע באמצעות a במידת הצורך) אחת מנקודות החיתוך בין הגרפים = a+ של הפונקציות היא הנקודה שבה על ידי ציר ה-, f() הוא השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה S 1 +a = (השטח המקווקו בציור) ועל ידי הישר על ידי ציר ה-, g() הוא השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה S a+ = ו- 3 a+ = (השטח האפור בציור) ועל ידי הישרים S1 ב חשב את היחס S 51

66 בציור מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת ()' f בתחום 4 0 הגרף של ()' f חותך את f '() ציר ה- בנקודה שבה = S 1 הוא השטח המוגבל על ידי הגרף S 1 של פונקציית הנגזרת ()' f ועל ידי 4 0 הצירים (השטח המקווקו בציור) S S הוא השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת ()', f על ידי ציר ה- ועל ידי הישר = 4 (השטח האפור בציור) f () חשב את S1 א (1) נתון: = 0 (0) f, 4 = f (4) חשב את S () נתון גם: = 4 ב מצא את השיעורים של נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה f() בתחום הנתון, וקבע את סוגה נמק ג סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() בתחום הנתון 8 תשובות למבחן בגרות מספר 13 קיץ תשע"ג, 013, מועד א: 74 מטר א (;0) ב (6;1) ג = () a ג (1) ב ב 1575 פרחים a sin α ב = a sin α sin(10 α ) sin(60 +α) (9;0) 8) (4; מינימום, (0;0) () 7 () 60 () מקסימום, ב S1 S =1 f (4) = 0 () 0 (0;0) = 0, א (1) א (1) א (1) (3) f () = 4 IV = a ג 7 א 8 א (1) ב (4;) ג מקסימום 5

67 מבחן בגרות מספר 14 קיץ תשע"ג, 013, מועד ב פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 ראובן רוצה לרכוש מינוי למכון כושר המחיר המלא של המינוי הוא 00 שקלים אם ראובן יביא שני חברים שירכשו מינוי במחיר מלא, הוא יקבל על המינוי שלו הנחה של % עבור החבר הראשון, ועבור החבר השני יקבל הנחה של % על המחיר שאחרי ההנחה הראשונה ראובן הביא שני חברים, ושילם עבור המינוי שלו רק 1445 שקלים א מצא את אחוז ההנחה שקיבל ראובן על המינוי שלו עבור החבר הראשון ב מצא את אחוז ההנחה הכולל שקיבל ראובן על המינוי שלו לאחר שהביא את שני החברים 1 B C D נתונה מקבילית BCD (ראה ציור) = הצלע B מונחת על הישר 6 הצלע D מונחת על הישר = אלכסוני המקבילית נפגשים בנקודה א מצא את השיעורים של קדקוד C ב מצא את השיעורים של קדקוד, B ואת השיעורים של קדקוד D ג האם הצלע BC משיקה בנקודה C למעגל שמרכזו והרדיוס שלו הוא? C נמק (;3) 53

68 ידוע שההסתברות להצליח במבחן נהיגה (טסט) גדולה ב- 0 מההסתברות להיכשל בו א מהי ההסתברות להצליח במבחן הנהיגה? אנשים שנבחרו באקראי מבין 4 ב ראובן, שמעון, לוי ויהודה הם הנבחנים במבחן הנהיגה מהם יצליחו במבחן הנהיגה? (1) מהי ההסתברות שבדיוק מהם הצליחו במבחן הנהיגה () ידוע שרק מהי ההסתברות שהיו אלה ראובן ושמעון? (3) האם ההסתברות שלפחות אחד מהארבעה יצליח במבחן הנהיגה גדולה מההסתברות שלפחות אחד מהארבעה ייכשל במבחן הנהיגה? נמק 3 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 M D B N הזווית החדה היא של BCD במעוין נמצאת על הצלע B M נקודה BC נמצאת על הצלע N נקודה (ראה ציור) כך ש- M = BN MDB NDC א הוכח כי DM BDN ב הוכח כי S הוא DMBN ג שטח המרובע S את שטח המעוין הבע באמצעות C 60 BCD 4 D B O α P C R שרדיוסו נתון רבע מעגל OB, P העבירו ישר המשיק לרבע המעגל בנקודה והעבירו ישר המשיק לרבע המעגל בנקודה המשיקים נפגשים בנקודה C חותך את המשך OB P המשיק בנקודה CO = α (ראה ציור) נתון: D בנקודה C OD א הוכח כי את שטח ו- α R ב הבע באמצעות המרובע CDO ג נתון כי שטח המשולש OPD הוא R חשב את α 5 54

69 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 נתונה הפונקציה f() = 9 1 ( + 1) א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ב מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים ג מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים ד מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה (אם יש כאלה) ה סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ו איזה מבין הגרפים IV, III, II, I שלפניך מציג סקיצה של פונקציית הנגזרת '()? f נמק 6 I II III IV הגרפים I ו- II שבציור הם של הפונקציות: g() =, f() = 3 3 I א (1) מצא את תחום ההגדרה של כל אחת מהפונקציות II () מהי האסימפטוטה האנכית של כל אחת מהפונקציות? f(), ב איזה גרף הוא של הפונקציה g()? נמק ואיזה גרף הוא של הפונקציה בנקודה I חותך את הגרף = ג הישר בנקודה B חותך את הגרף II = הישר מצא את השטח המוגבל על ידי הישר, B על ידי הגרפים של שתי = 3 הפונקציות ועל ידי הישר 7 55

70 D E F B נתון מלבן BCD שאורכי צלעותיו הם: B = 9, D = 4 הנקודה E נמצאת על הצלע CD (בין C ל- ( D ההמשך של E חותך את המשך הצלע BC בנקודה F (ראה ציור) DE א הוכח: FCE ב סמן, DE = ומצא מה צריך להיות האורך של DE כדי שסכום השטחים של המשולשים DE ו- FCE יהיה מינימלי בתשובתך תוכל להשאיר שורש C 8 תשובות למבחן בגרות מספר 14 קיץ תשע"ג, 013, מועד ב: 0) D(4; ג לא 1 א 15% ב 775% א C(1;1) ב 6) B(0;, (3) כן ) > ( ה 1 6 () α=5 > 15 = = > 1 06 ב (1) S ( tan ) R 1 ג sin α + α (;0) ; ירידה: : g() : g() גרף II > 15, ( 4;0) = 15 g() = 1 < 1, I 3 א 4 ג 5 ב 6 א 1 ב (0;8), ג 1 =, ד עלייה: ו גרף II f() : 7 א (1) : f() () גרף f() ב ג 98 = ב 56

71 מבחן בגרות מספר 15 חורף תשע"ד, 014 פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות I ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 נתון מעגל I שרדיוסו, r ונתון מעגל II שרדיוסו R הרדיוס R גדול מהרדיוס r ב- 30% א מצא בכמה אחוזים גדול שטח העיגול II משטח העיגול I ב ידוע כי שטח העיגול II גדול ב סמ"ר משטח העיגול חשב את הרדיוס r בחישוביך השתמש ב- 314=π 1 O B במלבן BCD הקדקוד נמצא על ציר ה- שיעורי ה- של הקדקוד B הוא 8 = 1+ משוואת הצלע BC היא 71 (ראה ציור) C D 4 משוואת הישר O ) OC ראשית הצירים) היא = 15 א מצא את השיעורים של הקדקוד B ושל הקדקוד C ב (1) מצא את השיעורים של הקדקוד () מצא את השיעורים של נקודת המפגש של אלכסוני המלבן ג מצא את שטח המשולש OD 57

72 ענת, אבי ודוד מתמודדים על תפקיד יושב-ראש של מועצת התלמידים בבית הספר לפניך תוצאות של סקר שנערך לפני הבחירות בקרב תלמידי בית הספר 3 המתחרה מספר הבנים התומכים מספר הבנות התומכות ענת אבי דוד (כל תלמיד תומך בדיוק באחד המתמודדים) א בוחרים באקראי תלמיד (בן/בת) מבין המשתתפים בסקר מהי ההסתברות שהוא תומך באבי? ב בוחרים באקראי תלמיד (בן/בת) מבין המשתפים בסקר ידוע שהוא תומך בענת מהי ההסתברות שהתומך הוא בת? ג (1) בוחרים באקראי תלמיד (בן/בת) מבין המשתתפים בסקר ידוע שהוא אינו תומך בענת מהי ההסתברות שהוא תומך בדוד? () בוחרים באקראי 5 תלמידים (בנים/בנות) מבין אלה שאינם תומכים בענת מהי ההסתברות שלפחות אחד מהם תומך בדוד? (הניסיונות הם בלתי תלויים) פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 B D C E הם שני משיקים למעגל ו- CD CB הוא קוטר במעגל זה B נפגשים BC והמשך D המשך (ראה ציור) E בנקודה DCB = E א הוכח כי BD = D DE ב הוכח כי הוא תיכון DC ג הוכח כי BDE במשולש 4 58

73 D C B B BC נתון משולש משיק לצלע B CD מעגל שקוטרו (ראה ציור) D בנקודה BC = β, BC = α נתון: R רדיוס המעגל הוא ו- β את אורך הצלע α, R א הבע באמצעות β=α, CB אם ב מצא את 4R הוא BC ושטח המשולש 5 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות נתונה הפונקציה 3 ) ( f () = דרך נקודת המינימום של הפונקציה העבירו ישר המאונך לציר ה-, ודרך נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- העבירו ישר המקביל לציר ה- (ראה ציור) א מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? ב מצא את משוואת האנך ואת משוואת המקביל ג חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי האנך ועל ידי המקביל, השטח המקווקו בציור 6 B D M C נתון משולש שווה-שוקיים (B = C) BC שבו אורך הגובה D לבסיס BC הוא 1 ס"מ, ואורך הבסיס BC הוא 10 ס"מ D היא נקודת כלשהי על הגובה M נסמן: MD = א מצא עבור איזה ערך של סכום הקטעים M + MB + MC הוא מינימלי תוכל להשאיר שורש בתשובתך ב חשב את גודל הזווית, BMC עבור הערך של שמצאת בסעיף א' 7 59

74 0, f '() = 16 3 נתונה הפונקציה f(), של נקודות הקיצון של הפונקציה א (1) מצא את שיעורי ה- וקבע את סוגן f() של כל אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה () שיעור ה- f() 4 מצא את הפונקציה הוא ב (1) מצא את האסימפטוטה האנכית של הפונקציה f(), f() וסרטט סקיצה של גרף הפונקציה אין נקודות קיצון ()' f () ידוע כי לפונקציית הנגזרת ()' f סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת 8 תשובות למבחן בגרות מספר 15 חורף תשע"ד, 014: 45) (5; יח"ר ג א ב- 69% ב 5 ס"מ = r א B(;8) C(6;9), ב (1) (4;0) () () ג (1) 3 90 ג ב = א R + R tan α tanβ 5 א, ב = 1 6 א כל ס"מ 5 3 ס"מ = ב 10 3 = 7 א 887 f() = + 8 = מינימום; = מינימום () 8 א (1) ב (1) אסימפטוטה אנכית: = 0 () 60

75 מבחן בגרות מספר 16 קיץ תשע"ד, 014, מועד א פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 כל אחת משתי חברות תיירות, חברה א' וחברה ב', פרסמה באינטרנט הצעה לטיול בחו"ל לכל הצעה יש אותו מחיר המחיר של כל אחת מההצעות כולל את מחיר הטיסה ואת מחיר האירוח במלון מחיר הטיסה בחברה א' קטן ב- 10% ממחיר הטיסה בחברה ב' ממחיר האירוח במלון מחיר האירוח במלון בחברה א' גדול ב- 0% את מחיר האירוח את מחיר הטיסה בחברה ב', וב- בחברה ב' סמן ב- במלון בחברה ב' = א הראה כי ב יוסי הזמין את הטיסה בחברה א' ואת האירוח במלון בחברה ב', 5040 שקלים ושילם סך הכול מצא את מחיר הטיסה בחברה ב', ואת מחיר האירוח במלון בחברה ב' 1 B E C D BC D הוא מרובע שבו BCD הצלע B מונחת על הישר = 10, + והצלע CD מונחת על ציר ה- נתון: C(;0), D(8;0), שיעור ה- של הנקודה הוא 6 א מצא את שיעור ה- של הנקודה ב מצא את משוואת הישר D ג מצא את שיעורי הנקודה B ד הישר BC חותך את ציר ה- בנקודה E (1) הראה כי הישר E מקביל לציר ה- () מצא את שטח המשולש EB 61

76 ערכו סקר בקרב מספר גדול של תלמידים הסקר בדק כמה תלמידים רוצים להמשיך ללימודים אקדמיים על פי ממצאי הסקר, 60% מהמשתתפים בסקר (בנים/בנות) רוצים להמשיך ללימודים אקדמיים מספר הבנים שהשתתפו בסקר קטן פי 3 ממספר הבנות שהשתתפו בסקר ידוע כי 80% מן הבנים שהשתתפו בסקר רוצים להמשיך ללימודים אקדמיים א בוחרים באקראי תלמיד (בן/בת) שהשתתף בסקר (1) מהי ההסתברות שנבחרה בת הרוצה להמשיך ללימודיים אקדמיים? () ידוע שנבחרה בת מהי ההסתברות שהיא רוצה להמשיך ללימודים אקדמיים? ב בוחרים באקראי 5 תלמידים (בנים/בנות) מבין המשתתפים בסקר מהי ההסתברות שלפחות 4 מהם רוצים להמשיך ללימודים אקדמיים? 3 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 D F BCD G E היא נקודת החיתוך של האלכסונים במרובע F, FC נמצאת על E הנקודה B, FB G נמצאת על והנקודה BCEG באופן שהמרובע הוא בר-חסימה במעגל (ראה ציור) FEG FBC א הוכח: F = DF FG FE ב נתון: C FD FEG הוכח: ג הוכח: D BC 4 C D O B, (C = B) הוא משולש שווה-שוקיים BC החסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R (ראה ציור) נתון: = 80 BC א הבע באמצעות R את אורך הצלע B ב מצא את COB נמק ג המשך OB חותך את השוק C בנקודה D (ראה ציור) נתון: 5 ס"מ = BD (1) מצא את BD () מצא את R 5 6

77 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 נתונה הפונקציה f() = א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f() ב מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם הצירים ג מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f() ד סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() = חותך את גרף הפונקציה f()? נמק ה האם הישר 6 היא פונקציה שמוגדרת לכל f() בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת '() f הגרף של פונקציית הנגזרת '() f '() f עובר דרך הנקודות ;0) (, 0) (1; א (1) על פי הגרף של פונקציית הנגזרת ()' f מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f() () מהו שיעור ה- של נקודת הקיצון של הפונקציה f(), ומהו סוג הקיצון? נמק 3 (3) נתון כי פונקציית הנגזרת היא f '() = 4 שיעור ה- של נקודת הקיצון של הפונקציה f() הוא 10 מצא את הפונקציה f() ב מצא את השיעורים של הנקודות שבהן שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f() הוא

78 16 מטר, האורך של קיר בצורת מלבן הוא 10 מטר והגובה של הקיר הוא רוצים לצפות בקרמיקה חלק מהקיר החלק שרוצים לצפות כולל: שני ריבועים זהים בפינות המלבן משולש שווה-שוקיים שבסיסו מקביל לצלע המלבן (השטחים האפורים בציור) את האורך של צלע הריבוע, וענה על הסעיפים א-ג סמן ב- את הגובה לבסיס במשולש שווה-השוקיים א הבע באמצעות, כדי שסכום השטחים שרוצים לצפות בקרמיקה ב מה צריך להיות יהיה מינימלי? שמצאת בסעיף ב, חשב כמה אחוזים משטח הקיר מהווה ג עבור ה- החלק שרוצים לצפות בקרמיקה 8 תשובות למבחן בגרות מספר 16 1 ב מחיר הטיסה בחברה ב' הוא 3600 שקלים מחיר האירוח במלון בחברה ב' הוא קיץ תשע"ד, 014, מועד א: 1800 שקלים 36 ג 6;16) ( ד () = + 16 ב א = 4 ב יח"ר 87 ס"מ = R () () 04 3 א (1) 5 א 153R ב 160 ג (1) 1 א 3 או ד 6 (0; 3), (3;0) ב 0) (1;, ; ירידה: < 1 ג עלייה: > 3 ה לא = מינימום () ; ירידה: < > 4 f () = ג 3315% ( ; 10) = 3 7 א (1) עלייה: (3), (1;17) 10 ב ב 8 א 64

79 מבחן בגרות מספר 17 קיץ תשע"ד, 014, מועד ב פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1, ורכב במהירות קבועה ליישוב B רוכב אופניים יצא מיישוב הרוכב הגיע ליישוב, B וחזר מיד ליישוב 30 ק"מ הוא ליישוב B המרחק בין יישוב הייתה קטנה ב- 3 קמ"ש מהירות הרוכב בדרכו חזרה ליישוב מהמהירות שלו בדרכו ליישוב B היה ארוך ב- 50 דקות מזמן הרכיבה זמן הרכיבה בחזרה ליישוב ליישוב B א מצא את המהירות של רוכב האופניים בדרכו ליישוב B 3 1 שעות מרגע ב מצא באיזה מרחק מיישוב B היה הרוכב כעבור היציאה מיישוב 1 O B M הישר 3 = חותך מעגל בנקודות ו- B (ראה ציור) הנקודה נמצאת גם = + על הישר א מצא את השיעורים של הנקודה ב נתון כי מרכז המעגל הוא (6 ;3)M מצא את משוואת המעגל ג מצא את שטח המרובע OMB ) O ראשית הצירים) 65

80 1 5 בעיר גדולה ערכה מחלקת החינוך סקר שהשתתפו בו כל המורים המלמדים במוסדות החינוך בעיר המורים נשאלו באיזו שעה הם מעדיפים להתחיל את יום הלימודים: בשעה 8: 00 או בשעה 9 : 00 מן המשתתפים בסקר הן נשים שמעדיפות להתחיל את הלימודים בשעה 1 4 8: 00 את הלימודים בשעה 1 מן הנשים שהשתתפו בסקר מעדיפות להתחיל 8: 00 מן הגברים שהשתתפו בסקר מעדיפים להתחיל את הלימודים בשעה :8 00 א מבין המשתתפים בסקר בוחרים באקראי מורה (גבר/אישה) מהי ההסתברות שהוא מעדיף להתחיל את הלימודים בשעה? :8 00 ב מבין המשתתפים בסקר בוחרים באקראי מורה (גבר/אישה), שמעדיף להתחיל את הלימודים בשעה 9 : 00 מהי ההסתברות שנבחרה אישה? ג מבין המשתתפים בסקר בוחרים באקראי 5 מורים (גברים/נשים) מהי ההסתברות שבדיוק אחד מהם מעדיף להתחיל את הלימודים בשעה? 9 : 00 3 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 B K C D BC משולש שווה-שוקיים (קהה-זווית) חסום במעגל BC) (B = משיק למעגל בנקודה C CD הישר (ראה ציור) נתון כי D BC הוא משולש CD א הוכח כי משולש שווה-שוקיים K חותך את המעגל בנקודה D הוכח: CKD ב = BC BC ג CKD 4 66

81 D BCD הוא טרפז שווה-שוקיים DC) (B < DC, B (ראה ציור) נתון: BD = α, D = B = BC = m א נתון כי שטח המשולש הוא DB מצא את α ב נתון כי שטח הטרפז BCD הוא m B C m מצא את 5 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 נתונה הפונקציה f() = 1 1 ( 5) f() א (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה המקבילות לצירים f() () מצא את האסימפטוטות של הפונקציה עם הצירים f() (3) מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה < 5, בתחום ()' f (4) מצא את הסימן של פונקציית הנגזרת בתחום > 5 ()' f ומצא את הסימן של פונקציית הנגזרת f() ב סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בנקודה שבה = 4 f() ג העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה מצא את השיעורים של נקודות החיתוך של המשיק עם האסימפטוטות f() של הפונקציה 6 > 0, f '() = 4 בציור שלפניך מוצג גרף של פונקציית הנגזרת: 1 א מצא את שיעור ה- של נקודת החיתוך f '() של ()' f עם ציר ה- ב מצא את שיעור ה- של נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה f(), וקבע את סוגה נמק ג ידוע כי שיעור ה- של נקודת הקיצון הפנימית של f() הוא 0 מצא את f() ד חשב את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת ()', f על ידי הישר = 4, על ידי הישר = 5 ועל ידי ציר ה- 7 67

82 בציור שלפניך מוצגים הגרפים של הפונקציות g() = ( 3) ו- f() = + 9 נקודה נמצאת ברביע הראשון על גרף הפונקציה f() C מנקודה העבירו שני ישרים: ישר אחד, המקביל לציר ה- וחותך B את גרף הפונקציה g() בנקודה, B וישר אחר, המקביל לציר ה- וחותך את גרף הפונקציה f() בנקודה C (ראה ציור) נסמן את שיעור ה- של הנקודה ב- t א הבע באמצעות t את השיעורים של הנקודות B, ו- C ב מצא את הערך של t שעבורו שטח המשולש BC הוא מקסימלי 8 תשובות למבחן בגרות מספר 17 קיץ תשע"ד, 014, מועד ב: 5 1 יח"ר 1 א 1 קמ"ש ב 9 ק"מ א 3) (5; ב = 13 6) + ( ( 3) + ג 6 ג א 03 ב m= 5 א α=30 ב 6 ב 6 א (1) 5 = 1, = 5 () (6;0), (4;0), (0; 4 5 ) (3) (4) הסימן של '() f בתחום < 5 > 5 הוא שלילי הסימן של ()' f בתחום הוא חיובי מקסימום ג 16 f () = 8 3) t;(t C( t; t + 9), B ב ד t = (35;1) = 16 ( ) ג ) (5;, 7 א = 16 ב 8 א 9) + t, (t; 68

83 מבחן בגרות מספר 18 קיץ תשע"ד, 014, מועד ג פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 רמי ויוסי קנו מחברות זהות באותה החנות רמי קנה מספר מסוים של המחברות אילו רמי היה קונה מחברת אחת יותר משקנה, היה משלם סך 80 שקלים יוסי קנה 5 מחברות יותר ממספר המחברות שקנה רמי, וקיבל הנחה של 15% על כל מחברת יוסי שילם סך הכול המחברות שקנה מצא את הסכום ששילם רמי עבור המחברות שקנה 10 שקלים יותר מהסכום ששילם רמי עבור הכול 1 C M נתון מעגל המשיק לצירים היא נקודת ההשקה עם ציר ה- נקודה C מונח על ישר M מרכז המעגל בנקודה שמשוואתו 1 1 = הישר חותך את ציר ה- (ראה ציור) M א (1) מצא את השיעורים של מרכז המעגל () רשום את משוואת המעגל M העבירו מקביל לישר ב דרך הנקודה C E בנקודה המקביל חותך את ציר ה- MCE מצא את שטח המרובע 69

84 משחקים 6 יוסי ואורי מתמודדים ביניהם בתחרות שש-בש בתחרות יש מי שמנצח ביותר משחקים הוא המנצח בתחרות בכל משחק בודד מנצח אחד מהם (אין תיקו במשחק בודד) ההסתברות שיוסי ינצח במשחק בודד היא 05 (בכל משחק יש ליוסי אותה הסתברות לנצח) א מהי ההסתברות שיוסי ינצח בתחרות? ב מהי ההסתברות שאחד מהם ינצח בתחרות? ג מהי ההסתברות שהתחרות תסתיים בתיקו? 3 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 B D O C מרובע BCD חסום במעגל שמרכזו O BD הוא קוטר במעגל (ראה ציור) OB = COB נתון: = α א הוכח כי BD חוצה זווית DC ב (1) הבע באמצעות α את BC () האם אפשר לחסום במעגל את המרובע? BCO נמק ג נתון: = 10 OC הוכח כי המרובע BCO הוא מעוין 4 B E C D מרובע BCD חסום במעגל (ראה ציור) נתון: = 90 BC 8 ס"מ = B רדיוס המעגל הוא 5 ס"מ א חשב את גודל הזווית BDC ב נתון גם: 7 ס"מ = DC אלכסוני המרובע נפגשים בנקודה E (1) חשב את גודל הזווית DBC () חשב את E 5 70

85 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 C נתונה הפונקציה = f() הן נקודות על גרף הפונקציה ו- C B מקביל לציר ה- כך ש- BC נמצאת ברביע הרביעי הנקודה B העבירו משיק לגרף דרך הנקודה B הפונקציה (ראה ציור) המשיק מקביל לישר + 1 = א מצא את משוואת המשיק (ראה ציור) העבירו אנך ל- BC ב דרך הנקודה C f() הוא השטח המוגבל על ידי הגרף של S 1 ועל ידי הישר BC (השטח המקווקו בציור), f() הוא השטח המוגבל על ידי הגרף של S על ידי המשיק ועל ידי האנך (השטח המנוקד בציור) S1 S מצא את היחס B 6 הפונקציה f() מוגדרת לכל נתון כי פונקציית הנגזרת של שונה מ- 1 f() היא: f '() = 1 1 ( 1) = משיק לגרף הפונקציה f() בנקודת המינימום שלה הישר 3 א מצא את השיעורים של נקודת המינימום של הפונקציה f() ב מצא את הפונקציה f(), ואת השיעורים של נקודת המקסימום שלה ג סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() = ד העבירו משיק לגרף הפונקציה f() המקביל למשיק 3 שני המשיקים יוצרים מלבן עם ציר ה- ועם האסימפטוטה האנכית של הפונקציה f() מצא את שטח המלבן 7 71

86 30 ס"מ נתון משולש שווה-שוקיים שהיקפו את בסיס המשולש, א סמן ב- את גובה המשולש לבסיס והבע באמצעות כדי ששטח המשולש ב מה צריך להיות יהיה מקסימלי? ג הראה כי המשולש שיש לו שטח מקסימלי הוא משולש שווה-צלעות 8 תשובות למבחן בגרות מספר 18 שקלים קיץ תשע"ד, 014, מועד יח"ר ג: = 5 5) ( ( 5) + ב 5 () M(5;5) 75 1 א (1) 5 = ג = ב ס"מ ג 11 3 = α 180 () לא () 4443 (1) ב (1) 3687 ב 3 א 4 5 א S1 6 א 1 = ב 1 S = 7 א (;3) (0; 1), f() = ב יח"ר ד ב = 5 א 5 30 ג במשולש בעל השטח המקסימלי כל הצלעות שוות ל- 10 ס"מ 8 7

87 מבחן בגרות מספר 19 חורף תשע"ה, 015 פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 בתחילת השנה מחיר ספה היה גדול ב שקל ממחיר כורסה בסוף השנה עלה מחיר הספה ב-, 8% ומחיר הכורסה ירד ב- 10% מחיר הספה עלה באותו הסכום שהמחיר של כורסאות ירד א מצא את מחיר הספה, ואת מחיר הכורסה לפני שינוי המחירים ב משה קנה בסוף השנה 3 כורסאות וספה אחת בכמה אחוזים קטן הסכום ששילם עבור הקנייה שלו מהסכום שהיה משלם לפני שינוי המחירים? 1 E D B C במרובע BCD הקדקוד C נמצא על ציר ה- (ראה ציור) נתון: (4;1), B(10;3), BCD = 90, B DC א מצא את השיעורים של הקדקוד C? EDC נמק הישר D עובר דרך הנקודה (0;6)E ב האם הנקודה E היא אמצע הצלע? D נמק ג האם EC הוא קוטר במעגל החוסם את המשולש 73

88 בשקית א' יש 7 מטפחות צהובות ו- 5 מטפחות אדומות בשקית ב' יש 10 מטפחות: חלקן צהובות והשאר אדומות הוציאו באקראי מטפחת אחת משקית א' ומטפחת אחת משקית ב' ההסתברות ששתי המטפחות צהובות היא 7 40 א כמה מטפחות צהובות היו בשקית ב'? ב מחזירים כל מטפחת לשקית שממנה הוציאו אותה, ומוציאים באקראי מטפחת משקית א' ומטפחת משקית ב' ידוע כי המטפחות שהוצאו הן בצבעים שונים מהי ההסתברות שהמטפחת שהוצאה משקית ב' היא צהובה? ג מחזירים שוב כל מטפחת לשקית שממנה הוציאו אותה בוחרים באקראי שקית, ומוציאים ממנה באקראי בלי החזרה שתי מטפחות מהי ההסתברות ששתי המטפחות הן אדומות? 3 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 B E D C המרובע BCD חסום במעגל בנקודה העבירו משיק למעגל המשיק נפגש עם המשך CD בנקודה E (ראה ציור) נתון: D חוצה-זווית EDB ED א הוכח כי BD 4 ED נתון גם כי שטח המשולש BD גדול פי 4 משטח המשולש ED ב חשב פי כמה גדול היקף המשולש BD מהיקף המשולש ג נתון גם כי D = a (1) הבע באמצעות a את האורך של BD () מצא את היחס BD DE 74

89 D במשולש שווה-שוקיים (B = C) BC נקודה D נמצאת על השוק B (ראה ציור) נתון: BC = α שטח המשולש BC הוא 15 סמ"ר א הבע באמצעות α את אורך השוק של המשולש BC 5 B C נתון גם: α=44, ס"מ = BD ב מצא את האורך של DC ג מצא את גודל הזווית BCD פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 f() = נתונה הפונקציה f() א (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה המאונכות לצירים f() () מצא את האסימפטוטות של הפונקציה f() (3) מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה (אם יש כאלה), וקבע את סוגן f() (4) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() g() = g() המקיימת: ב נתונה הפונקציה הסתמך על סעיף א, וענה על התת-סעיפים שלפניך g()? (1) מה הן האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה g() () מה הם השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה (אם יש כאלה)? g() (3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה 6 75

90 f() = 3 נתונה הפונקציה + א (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה () האם גרף הפונקציה חותך את הצירים? נמק (3) על פי התת-סעיפים הקודמים סרטט סקיצה של גרף הפונקציה, אם נתון כי הפונקציה יורדת בכל תחום ההגדרה שלה ב (1) הוסף לסקיצה שסרטטת את הישר + 3, = ואת הישר = 4 () חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(), על ידי שני הישרים שהוספת, על ידי ציר ה- ועל ידי ציר ה- 7 = f() ברביע הראשון 4 בציור שלפניך מוצג הגרף של הפונקציה דרך הנקודה שעל גרף הפונקציה העבירו משיק לגרף הפונקציה, והעבירו אנך לציר ה- בנקודה, C המשיק חותך את ציר ה- בנקודה B והאנך חותך את ציר ה- (ראה ציור) ב- t של הנקודה נסמן את שיעור ה- B C את שיפוע המשיק t א (1) הבע באמצעות את משוואת המשיק t () הבע באמצעות BC את האורך של הקטע t (3) הבע באמצעות הוא מינימלי B + BC שעבורו סכום הקטעים t ב מצא את הערך של 8 76

91 תשובות למבחן בגרות מספר 19 חורף תשע"ה, 015: 1 א מחיר הספה 500 שקלים, מחיר הכורסה 1000 שקלים ב ב- 1818% א (0;11)C ב כן ג לא, כדי ש- EC יהיה קוטר, EDC צריכה להיות זווית ישרה הישרים D ו- DC אינם מאונכים, לכן EC אינו קוטר במעגל 3 א 3 ב ג 634 (4) ב פי ג (1) a () 4 5 א 5 ב 418 ס"מ ג sin α 6 א (1) 0 1, = 0, = 1, = 0 () 1 מקסימום ; 8 (3) ( ) (3) =, = 1, = 0 ב (1) 1 מקסימום ( ; 10) () () לא (3) > 0 7 א (1) 155 יח"ר () ב (1) ב = t BC = t (3) = t t () 4 t 8 א (1) 77

92 מבחן בגרות מספר 0 קיץ תשע"ה, 015, מועד א פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 נתון מלבן שרוחבו ס"מ, ואורכו גדול פי 1 מרוחבו הגדילו את אורך המלבן ב- 10%, והקטינו את רוחב המלבן ב- 10% התקבל מלבן חדש א (1) הבע באמצעות את שטח המלבן החדש () בכמה אחוזים השתנה השטח של המלבן הנתון? ב R הוא הרדיוס של המעגל החוסם את המלבן הנתון נתון כי 61 ס"מ = R מצא את שטח המלבן החדש 1 נתון כי מעגל, שמשוואתו = 5 k) ( 3) + ( +, עובר דרך ראשית הצירים k הוא פרמטר א (1) מצא את שני הערכים של k () רשום את המשוואות של שני המעגלים המתאימים לערכים של k שמצאת ב מצא את נקודות החיתוך עם הצירים של כל אחד משני המעגלים ג סרטט את שני המעגלים במערכת צירים אחת ד הישר = a משיק לשני המעגלים, > 0 a (1) מצא את a () מהם השיעורים של נקודות ההשקה? כדורים ירוקים יש 3 כדורים אדומים ו- 6 I בקופסה כדורים ירוקים 1 כדורים אדומים ו- 4 יש בקופסה II כדורים זה אחר זה (בלי החזרה) בוחרים באקראי קופסה, ומוציאים ממנה הכדורים יהיו באותו צבע? א מהי ההסתברות ש- הכדורים יהיו בצבעים שונים? ב מהי ההסתברות ש- הכדורים היו באותו צבע ג ידוע כי? I מה ההסתברות שהם הוצאו מקופסה 3 78

93 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 B F C E D מרובע BCD חסום במעגל אלכסוני המרובע נפגשים בנקודה E העבירו משיק למעגל בנקודה B ומשיק למעגל בנקודה C המשיקים נפגשים בנקודה F (ראה ציור) נתון: = 90 BC א (1) הוכח: = 90 FBC DB + () הוכח: BFC = DB BEC ב (1) הוכח: ED () נתון גם: = 1 DE E = 7, BE מצא את קוטר המעגל 4 הערה: הפתרון של סעיף ב אינו תלוי בפתרון של סעיף א B a C D (ראה ציור) a שצלעו BCD במעוין BD < 90, BD = α נתון: a ו- α באמצעות BD ואת C א (1) הבע את C BD = a () נתון גם: α מצא את ב נתון גם כי רדיוס המעגל החוסם 10 ס"מ הוא BD את המשולש (ערך מספרי) BCD מצא את שטח המעוין 5 79

94 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 f() = נתונה הפונקציה א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ב מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים ג מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים ד מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגה ה סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ו נתון כי הפונקציה g() מקיימת: f() g'() = ) ()' g ו- g() מוגדרות באותו תחום) העבירו משיקים לגרף הפונקציה g() המקבילים לציר ה- מה הם שיעורי ה- של נקודות ההשקה של המשיקים האלה? נמק 6 נתונה הפונקציה f () = + a + b a ו- b הם פרמטרים הישר 1 = משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה = (ראה ציור) א מצא את הערך של a ואת הערך של b 7 הצב: = a ו- 3 =b, וענה על סעיף ב ב מצא את השטח, המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(), על ידי המשיק, = + על ידי הישר 3 ועל ידי ציר ה- 1 (השטח המקווקו בציור) 80

95 1< < 10 בציור שלפניך מוצג גרף של הפונקציה f() בתחום 8 45 k f '() ועל הערכים הרשומים על הצירים, f() הסתמך על הגרף של השונים מ- 7 מתקיים: וענה על הסעיפים א, ב, ג, ד א מצא עבור אילו ערכים של (1) 0 < '() f נמק () 0 > '() f נמק (3) 0 = '() f נמק k, 9 7 ב נתון: = 8 d k מצא את הערך של הפונקציה הוא הפרמטר המסומן על ציר ה- בנקודה שבה בציור = 9 f() ג סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת ()' f בתחום ד מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת ועל ידי ציר ה-, בתחום 4 (ערך מספרי) 6 81

96 תשובות למבחן בגרות מספר 0 קיץ תשע"ה, 015, מועד א: סמ"ר ג (6;0), (0; 8) 1% ב 1188,, (0;0) (8; 4) 5 11 () 1188 k = ± 4 ( 3) + ( 4) = 5 ( 3) + ( + 4) = 5 ; (6;0), (8;4) = ג 0, (0;8) () a = 8 1 א (1) א (1) () ב (0;0), ד (1) 11 ב 0 3 א = ב () ב סמ"ר 15 () BD = a sin α, C = a cosα 5 א (1) ה = 1, ב = 0 6 א 0 ( 1; 0) ג (3;0), ( ) 3; ד ו מינימום = 3, = b= 3 א = a, ב 7 6< < 7 < < 4 () 4< < או 6 או 1< < 8 א (1) 7 < < 10, = 6, = 4, = (3) ב 4 ג ד 35 8

97 מבחן בגרות מספר 1 קיץ תשע"ה, 015, מועד ב פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 בסוף העונה קנתה דנה שלושה פריטי לבוש: חולצה, חצאית ומכנסיים שקלים, לפני סוף העונה היה המחיר של החולצה שקל מהמחיר של החולצה, המחיר של החצאית היה גבוה ב- 40 ממחיר החולצה והמחיר של המכנסיים היה פי נתון כי המחיר של המכנסיים היה הגבוה ביותר מבין שלושת המחירים 30% עבור פריט הלבוש הזול ביותר, א בסוף העונה קיבלה דנה הנחה של עבור פריט הלבוש היקר ביותר 0% הנחה של עבור פריט הלבוש השלישי 5% והנחה של שקלים 74 דנה שילמה עבור שלושת הפריטים מה היה מחיר המכנסיים לפני סוף העונה? ב בכמה אחוזים היה המחיר הכולל של שלושת הפריטים בסוף העונה נמוך ממחירם הכולל לפני סוף העונה? 1 D B (BF C נתון משולש ישר-זווית שבו = 90 BC הצלע B מונחת על הישר = הישר חותך את ציר ה- בנקודה B ואת ציר ה- בנקודה D הצלע C מקבילה לציר ה- הנקודה D היא אמצע הצלע B (ראה ציור) א מצא את משוואת הצלע C ב מצא את השיעורים של הנקודה C ג נתון כי המרובע BCF הוא מקבילית CF) מצא את השיעורים של הנקודה F ד מצא את השטח של המקבילית BCF, C B 83

98 שניים מהלומדים (בנים/בנות) באוניברסיטה גדולה מועמדים לתפקיד של יושב ראש אגודת הסטודנטים באוניברסיטה 40% מהלומדים הם בנים, והשאר בנות מהבנים תומכים במועמד א', והשאר תומכים במועמד ב' מהבנות תומכות במועמד ב', והשאר תומכות במועמד א' א מצא את אחוז התומכים במועמד א' ב מבין הלומדים נבחר באקראי תומך במועמד א' (בן/בת) מהי ההסתברות שנבחרה בת? ג בחרו באקראי 4 לומדים באוניברסיטה (בנים/בנות) מהי ההסתברות שיותר ממחציתם תומכים במועמד א'? פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 II B I E C D נקודה B היא אחת מנקודות החיתוך של שני מעגלים, I ו- II נקודה C היא מרכז המעגל, II והיא נמצאת על המעגל I הנקודות ו- E נמצאות על המעגל, I כך ש- EB = E המיתר C חותך את המעגל II בנקודה D (ראה ציור) EBC א הוכח: EDC ב המיתר EC חותך את המיתר B בנקודה F EBF הוכח: ECD 4 D O C B (B DC) חסום במעגל BCD טרפז (ראה ציור) R O ורדיוסו שמרכזו OB = 135 = 45 DOC, נתון: BOC א (1) מצא את BD () מצא את ב נתון כי גובה הטרפז הוא ס"מ R מצא את OB ג הראה כי שטח המשולש DOC שווה לשטח המשולש BCD ד מצא את שטח הטרפז 5 84

99 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 ( ) נתונה הפונקציה 1) 8( f () = המוגדרת לכל א (1) מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם הצירים () מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f() (אם יש כאלה) ב סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() ג הגרף של הפונקציה g() הוא קו ישר ישר זה עובר דרך נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם הצירים (1) מצא את משוואת הישר () מצא את הערך של g ואת הערך של f 1 ( 4 ) (3) מצא את השטח ברביע הרביעי, המוגבל על ידי הישר ועל ידי גרף הפונקציה f() f() = a בציור שלפניך מוצג הגרף של הפונקציה a הוא פרמטר א מצא את הערך של a 7 הצב = 1 a, וענה על הסעיפים ב, ג, ד ב מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f() ג מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f() ד (1) מה הן האסימפטוטות המאונכות לצירים של פונקציית הנגזרת ()'? f () סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת ()' f בתחום < 0< 85

100 נמצא BCD של המלבן הקדקוד B f() = 4 על גרף הפונקציה F B C D (ראה ציור) א מה צריכים להיות שיעורי הנקודה B כדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי? הצלע D מונחת על הישר = 10 והצלע DC מונחת על ציר ה- (ראה ציור) בנקודה F חותך את ציר ה- f() ב גרף הפונקציה הוא מקסימלי BCD כאשר שטח המלבן BFC מצא את שטח המשולש 8 הערה: תוכל להשאיר שורש בתשובותיך תשובות למבחן בגרות מספר 1 קיץ תשע"ה, 015, מועד ב: יח"ר ב (165;0) ד 75 1 א 160 שקלים ב 389% א 6 = ב 6) (85; ג 4 ג א 70% ב א הוכחה ב הוכחה א (1) 675 () 90 ב 10 ס"מ ד סמ"ר 8) (0; () עלייה: כל ; ירידה: אין ( ) 1 4, 1 ( ;0) = 16 8 ( ) א (1) ג (1) g = 4, f = 1 () (3) 1 יח"ר < 1 1 < < > 0 < 1< ; ירידה: או 0, 0< < א = 1 a ב ג עלייה: או או () = 0, = 0, 1 = ד (1) 7 ב 308 יח"ר ( 4 ;31) 3 8 א 86

101 מבחן בגרות מספר חורף תשע"ו, 016 פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 יוסי תכנן טיול למספר מסוים של ימים בהוצאה כוללת של 1400 שקל הוא תכנן להוציא בכל יום את אותו סכום כסף ב- 5 הימים הראשונים הייתה ההוצאה ליום כפי שתכנן, אבל אחר כך גדלה ההוצאה ליום ב- 100 שקל, והטיול התארך ביום אחד לבסוף הוציא יוסי עבור הטיול 1900 שקל סך הכול א מצא לכמה ימים תוכנן הטיול, ומה הייתה ההוצאה המתוכננת ליום ב בכמה אחוזים גדלה ההוצאה ליום (לאחר 5 הימים הראשונים) לעומת ההוצאה המתוכננת ליום? 1 C BC נתון משולש BC (ראה ציור) שניים מקדקודי המשולש הם C( ; ), B(6; ) א מצא את משוואת האנך האמצעי לצלע? B נמק B משוואת האנך האמצעי לצלע C היא = ב מצא את משוואת המעגל החוסם את המשולש BC ג (1) האם האנך האמצעי לצלע C () האם? B = BC נמק עובר דרך הקדקוד 87

102 בקופסה יש כדורים בשלושה צבעים: כדורים אדומים, כדורים כחולים, 1 כדור לבן מוציאים מהקופסה שני כדורים בלי החזרה א מהי ההסתברות להוציא שני כדורים בשני צבעים שונים? ב ידוע שהוצאו שני כדורים בשני צבעים שונים מהי ההסתברות שאחד הכדורים הוא לבן והאחר הוא אדום? ג מהי ההסתברות שאחרי הוצאת שני הכדורים יישארו בקופסה כדורים בשלושת הצבעים? 3 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 E D F C B (B = C) BC משולש שווה-שוקיים חסום במעגל נמצאת על המשך הצלע B D נקודה כך ש- D = B BC נמצאת על המשך הצלע נקודה F העבירו משיק למעגל דרך הנקודה (ראה ציור) E בנקודה FD החותך את הוא קטע אמצעים E א הוכח כי במשולש BDF DC BC ב הוכח כי 4 C F D E B נתון משולש ישר-זווית ( CB = 90 ) BC CE הוא גובה ליתר, ו- D הוא חוצה-זווית CB CE ו- D נפגשים בנקודה F (ראה ציור) נתון: 10 ס"מ = C CB = 50, א מצא את שטח המשולש CFD ב (1) מצא את האורך של הקטע FB () היעזר בתת-סעיף ב( 1 ), ומצא את האורך של רדיוס המעגל החוסם את המשולש FEB 5 88

103 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 ( 1;0) ( 1;0), f () = 3 a 1 נתונה הפונקציה a הוא פרמטר תחום ההגדרה של הפונקציה 1 0, 1 הוא (ראה ציור) א על פי הערכים שבגרף, a מצא את הערך של 6 הצב = 1 a, וענה על הסעיפים ב, ג, ד ב מצא את השיעורים של נקודת המקסימום של הפונקציה f() ג מצא עבור אילו ערכים של k יש רק פתרון אחד למשוואה f() = k ד (1) מה הן האסימפטוטות המאונכות לציר ה- של פונקציית הנגזרת ()'? f () איזה מן הגרפים IV I שלפניך הוא הגרף של פונקציית הנגזרת ()'? f נמק I II III IV 89

104 g() + 16 f () = נתונות שתי פונקציות: a הוא פרמטר, g() = a f() משיק לגרף הפונקציה א (1) ישר המקביל לציר ה- מצא את משוואת הישר () הישר, שאת משוואתו מצאת, משיק גם לגרף הפונקציה a 4 = מצא את הערך של בנקודה שבה 7 B הצב = 8 a, וענה על הסעיפים ב ו-ג ב (1) מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() ושל גרף הפונקציה g() עם הצירים () סרטט באותה מערכת צירים סקיצה של גרף הפונקציה f() וסקיצה של גרף הפונקציה g() ג גרף הפונקציה f() חותך את החלק השלילי של ציר ה- בנקודה גרף הפונקציה g() חותך את החלק השלילי של ציר ה- בנקודה מצא את השטח (ברביע השני) המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות ועל ידי הקטע B נתון משולש שווה-צלעות שאורך צלעו ס"מ, ונתון ריבוע סכום ההיקפים של הריבוע ושל המשולש שווה-הצלעות הוא 9 ס"מ א הבע באמצעות את האורך של צלע הריבוע ב (1) הבע באמצעות את שטח המשולש ואת שטח הריבוע () מצא מה צריך להיות הערך של, כדי שסכום השטחים של הריבוע ושל המשולש יהיה מינימלי ג כאשר סכום השטחים הוא מינימלי, לאיזו צורה היקף גדול יותר: לריבוע או למשולש נמק בתשובותיך תוכל להשאיר שלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית 8 90

105 תשובות למבחן בגרות מספר 1 א 7 ימים, 00 שקלים ב חורף תשע"ו, 016: 50% = 5 ) ( ( 3) + ג (1) לא () לא g() (5 075) f () ס"מ () 5 ב ג = ב א א סמ"ר ב (1) מקסימום ג ס"מ II k > 4 () גרף () (0;16) = 1, ( 4;0) ( 8;0), a = 8, (4;0), (0;0) ( ;4) = 1 (), : f() : g() = 1 a ב = 0 = א 6 א ד (1) 7 א (1) ב (1) עבור ג עבור 58 3 א 5 075, שטח הריבוע: 3 ב (1) שטח המשולש: = () 1695 ס"מ ג למשולש היקף גדול יותר 8 91

106 מבחן בגרות מספר 3 קיץ תשע"ו, 016 פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 יבואן קנה מחשבים זהים, במחיר של שקלים למחשב הוא מכר את המחשבים לחנות במחיר זהה לכל מחשב, והרוויח על כל מחשב אחוז מסוים בחנות מכרו כל מחשב במחיר של שקלים, והרוויחו על כל מחשב אותו אחוז שהרוויח היבואן א מצא את אחוז הרווח של היבואן ממחיר הקנייה של היבואן האם שילם יוסי עבור המחשב פחות ממי שקנה מחשב זהה בחנות? נמק ב יוסי קנה מחשב ישירות מן היבואן, במחיר הגדול ב- 4% 1 נתונים שני מעגלים, : ו- II I 36 II ( 75) 05 I המעגלים נחתכים בנקודות ו- B נמצאת ברביע הראשון )ראה ציור( א מצא את השיעורים של הנקודות ו- B ב דרך הנקודה העבירו משיק למעגל II מצא את משוואת המשיק ג המשיק שמצאת בסעיף ב חותך את מעגל I מצא את שטח המשולש CM M מרכז מעגל בנקודה נוספת, I C B M II II 9

107 כדי להתקבל למדעי המחשב באוניברסיטה צריך לעבור מבחן כניסה למבחן ניגשו בוגרי תיכון רבים: בוגרים שלמדו מחשבים בתיכון, ובוגרים שלא למדו מחשבים בתיכון אחוז הנבחנים שלמדו מחשבים בתיכון היה גדול פי מאחוז הנבחנים שלא למדו מחשבים אחוז הנבחנים שעברו את המבחן היה גדול פי מאחוז הנבחנים שנכשלו בו אחוז הנבחנים שעברו את המבחן וגם למדו מחשבים היה א מהי ההסתברות לבחור באקראי מבין הנבחנים בוגר תיכון שלא למד מחשבים ועבר את המבחן? ב ידוע כי נבחן עבר את המבחן מהי ההסתברות שהוא לא למד מחשבים בתיכון? ג בוחרים באקראי שני נבחנים מהי ההסתברות שלכל היותר אחד מהם עבר את המבחן? 65% פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 C E D O B הוא קוטר במעגל שמרכזו המיתר CD חותך את הרדיוס O היא אמצע הנקודה בנקודה )ראה ציור( הקשת B CD נסמן CO א )1( הוכח כי OD C DO )( הוכח כי את גודל הזווית ב )1( הבע באמצעות, )( מצא מה צריך להיות הערך של COD יהיה מקבילית נמק כדי שהמרובע DO O D E BC 4 93

108 E D N נתון משולש שווה-שוקיים C) (B על השוק בנו ריבוע שאלכסוניו נחתכים בנקודה על הבסיס בנו ריבוע שאלכסוניו נחתכים בנקודה )ראה ציור( נתון: ס"מ, א מצא את אורך האלכסון של הריבוע, ואת אורך האלכסון של הריבוע ב מצא את הגודל של זווית הבסיס במשולש שווה לשטח המשולש ד מצא את אורך הקטע BC CFG BCDE BC CFG M BCDE N 4 ס"מ BC B C C BC 6 ג הראה כי שטח המשולש BCM C B BN F M G N 5 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 נתונה הפונקציה m, f () m 4 ( 1) הוא פרמטר לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה שבה א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ב מצא את ערך הפרמטר 3 f () m f () 6, וענה על הסעיפים ג, ד ו-ה הצב המקבילות לצירים ג )1( מצא את האסימפטוטות של הפונקציה עם הצירים )( מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה () f )3( מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה )אם יש כאלה(, וקבע את סוגן () f )4( מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה () f ד סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ה היעזר בגרף שסרטטת, ומצא עבור אילו ערכים של f () 0 וגם f '() 0 מתקיים f () f () m 8 94

109 הנגזרת של הפונקציה () f היא f '() של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן משיק לגרף הפונקציה () f בנקודת המקסימום )( הישר 4 של הפונקציה מצא את הפונקציה ב )1( מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים )( סרטט סקיצה של גרף הפונקציה () f ג דרך נקודת המינימום של הפונקציה מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ועל ידי האנך על ידי המשיק א )1( מצא את שיעורי ה- f () f () f () f () העבירו אנך לציר ה- f () 4, על ידי ציר ה- 7 O 1 בחצי מעגל, שמרכזו ורדיוסו ס"מ, חסומים שני מעגלים שמרכזיהם המעגלים משיקים זה לזה, כמתואר בציור )שלושת המרכזים נמצאים על ישר אחד( א מצא מה צריך להיות האורך של רדיוס המעגל שמרכזו ושל רדיוס המעגל שמרכזו, כדי שסכום השטחים של העיגולים O ו- O 3 יהיה מינימלי ב כאשר סכום השטחים של העיגולים הוא מינימלי, מצא את סכום ההיקפים של מעגלים אלה O 3 O 1 O 10 O O 3 ו- O O 3 O 3 ו- O 8 R R נתון: שטח עיגול היקף מעגל 95

110 S BCM תשובות למבחן בגרות מספר 3 קיץ תשע"ו, 016: S BN יח"ר סמ"ר ד ג 3 4 ג ב כן, ב ג ב )( ס"מ ב ס"מ, ס"מ ב, )(, מינימום או תחומי עלייה: תחומי ירידה: 1 3 (;0) f () 6 9 )( (0;8) B(48; 36), 3 30 ma )( m 8 1 0, (3;0) 1 א א 3 א 4 ב )1( 5 א ד 6 א ג )1( )3( )4( 0% (48;36) 90 min 1 (3; 1) 3, (0;0) ה 1 7 א )1( ב )1( ג 55 יח"ר ס"מ ב 10 ס"מ 8 א 5 96

111 מבחן בגרות מספר 4 קיץ תשע"ו, 016, מועד ב פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 יואב רכב על אופניים הוא יצא מהעיר, עבר דרך העיר, B והגיע לעיר C המרחק מ- B ל- C גדול ב- 40 ק"מ מן המרחק מ- ל- B יואב רכב מ- B ל- C במהירות קבועה הגדולה ב- 0% מן המהירות הקבועה שבה רכב מ- ל- B זמן הרכיבה של יואב מ- B ל- C ארוך פי 15 מזמן הרכיבה שלו מ- ל- B אילו רכב יואב מ- B ל- C במהירות שבה רכב מ- ל-, B הוא היה עובר את הדרך מ- B ל- C ב- 6 שעות א מצא את מהירות הרכיבה של יואב בדרך מ- ל- B ב מצא את המרחק B B C 1 B M אלכסוני הריבוע BCD נפגשים בנקודה M (ראה ציור) שיעורי הקדקוד הם (5;5) משוואת האלכסון BD היא = 1 3 C D א מצא את משוואת האלכסון C ב מצא את משוואת המעגל החוסם את הריבוע ג חשב את האורך של צלע הריבוע ד חשב את אורך הרדיוס של המעגל החסום בריבוע (ראה ציור) 97

112 שחר קנה קופסה שיש בה כדורי טניס בשני צבעים: 4 כדורים צהובים ו- 6 כדורים ירוקים שחר הוציא מן הקופסה באקראי 3 כדורים זה אחר זה (ללא החזרה) א (1) מהי ההסתברות ששחר הוציא 3 כדורים צהובים? () מהי ההסתברות ששחר הוציא 3 כדורים באותו צבע? ב דנה קנתה 3 קופסאות של כדורי טניס כל אחת מן הקופסאות שקנתה זהה לקופסה שקנה שחר דנה הוציאה באקראי כדור אחד מכל אחת מן הקופסאות (1) מהי ההסתברות שדנה הוציאה 3 כדורים צהובים? () מהי ההסתברות שדנה הוציאה לפחות כדור אחד ירוק? 3 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 D B E C טרפז שווה-שוקיים BCD חסום במעגל המשיק למעגל בנקודה C נפגש בנקודה E עם המשך האלכסון DB CD הוא קוטר במעגל (ראה ציור) DC א הוכח: ECD ב נתון: 5 ס"מ = C, 36 ס"מ = DE חשב את רדיוס המעגל ג חשב את שטח המשולש DC 4 E B M D C BC הם תיכונים במשולש CE ו- D (ראה ציור) M הנפגשים בנקודה 9 ס"מ = CE, 1 ס"מ = D, נתון: MD, MC CMD = 40 א חשב את אורכי הקטעים: BC ב חשב את אורך הצלע MCD ג חשב את גודל הזווית DB ד חשב את שטח המשולש 5 98

113 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 נתונה הפונקציה f() = + א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ב מצא את נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה, וקבע את סוגן ג סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g() = ד נתונה הפונקציה g() המקיימת 1 f() (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה g() () מבין הגרפים III, II, I שלפניך, איזה גרף מייצג סקיצה של גרף הפונקציה g()? נמק 6 ΙΙΙ ΙΙ Ι נתונה הפונקציה f() = ( 1) א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ב מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים ג מצא את האסימפטוטות של גרף הפונקציה המאונכות לצירים ד מצא את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה ה סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ו לפניך שלושה גרפים III, II, I איזה מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת '()? f נמק 7 ΙII ΙI Ι 99

114 בציור שלפניך מתוארים גרפים של שתי פונקציות: f() = g() = 10 + a a הוא פרמטר הגרפים נחתכים בנקודה C (ראה ציור) שיעור ה- של הנקודה C שווה ל- 4 C א מצא את הערך של a ב דרך נקודת החיתוך של אחד הגרפים עם ציר ה- העבירו ישר המקביל לציר ה-, כמתואר בציור מצא את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות ועל ידי הישר המקביל לציר ה- (השטח המקווקו בציור) 8 תשובות למבחן בגרות מספר 4 קיץ תשע"ו, 016, מועד ב: 1 א 0 קמ"ש ב 80 ק"מ א 10 3 = ב = 40 1) + ( ( 3) + ג = ד = () 1 ב (1) 8 () א (1) ב 15 ס"מ ג 079 סמ"ר 5 א 6 ס"מ = MC, 4 ס"מ = MD ב 781 ס"מ ג 411 ד 314 סמ"ר 6 א 1 7 ב (3;4) מקסימום מוחלט, 0) 1; ( מינימום מוחלט, (0;7) מינימום מוחלט ג () גרף ΙΙΙ 1< < 7 ד (1) ה (0;) ; < 1 7 א 1 ב (;0), = 1, = ג 0 ד עלייה: > 3 או 1< < ירידה: 3 ו גרף II א = 1 a ב 100

115 מבחן בגרות מספר 5 חורף תשע"ז, 017 פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 המרחק בין תל אביב לאשקלון הוא 70 ק"מ אהוד יצא מתל אביב לכיוון אשקלון בשעה 7 : 00 הוא צעד שעתיים במהירות קבועה, עצר למנוחה של חצי שעה, ואחריה המשיך במהירות קבועה הגבוהה ב- 0% ממהירותו הקודמת תמר יצאה מאשקלון לכיוון תל אביב בשעה 9 : 30 היא צעדה במהירות קבועה הגבוהה ב- 3 קמ"ש מן המהירות שצעד אהוד לפני המנוחה תמר ואהוד נפגשו בנקודה המרוחקת 30 ק"מ מתל אביב א מה הייתה מהירותו של אהוד כשיצא מתל אביב (לפני המנוחה)? ב באיזו שעה נפגשו אהוד ותמר? 1 עובר דרך ראשית M מעגל שמרכזו O המעגל חותך את ציר הצירים (0;8 ), ואת ציר בנקודה נוספת (ראה ציור) בנקודה נוספת (4 ;0)B הוא קוטר במעגל? א האם B נמק את תשובתך ב מצא את משוואת המעגל ג נקודה C נמצאת על המעגל ברביע השלישי (אך לא על הצירים), כך ששטח משולש של נקודה C (1) מצא את שיעור ה- של נקודה C () מצא את שיעור ה- BMC ד חשב את שטח המשולש הוא O B 16 BOC 101

116 בבית ספר גדול הממוקם בעיר, חלק מן התלמידים הם תושבי העיר, והשאר גרים מחוץ לעיר בוחרים באקראי 3 תלמידים מבית הספר הזה ההסתברות שכל השלושה הם תושבי עיר זו היא 051 א בוחרים באקראי תלמיד אחד מבין תלמידי בית הספר מהי ההסתברות שהוא תושב העיר? ב בוחרים באקראי 4 תלמידים מבין תלמידי בית הספר מהי ההסתברות שבדיוק 3 מהם הם תושבי העיר? ג ידוע של- 018 מתלמידי בית הספר אין טלפון נייד 1 מן התלמידים תושבי העיר אין טלפון נייד 8 ל- בחרו באקראי תלמיד מבין תלמידי בית הספר, והתברר שאין לו טלפון נייד מהי ההסתברות שהוא תושב העיר? 3 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 B D O C נתון דלתון ( BC = DC, B = D ) BCD החסום במעגל שמרכזו, O כמתואר בציור נתון: = 60 BCD א (1) הוכח: = 90 DC BC = () הוכח: BO הוא משולש שווה צלעות ב הוכח המרובע BOD הוא מעוין ג נתון: 5 ס"מ = B מצא את BC ד הראה ש- BO BCD 4 D E F 6 BCD נתון מלבן נמצאת על הצלע B הנקודה F F = 06a כך ש-, FB = a BC G נמצאת על הצלע הנקודה מאונך ל- DF כך ש- G E נחתכים בנקודה DF ו- G = 6 FE (ראה ציור) נתון: באמצעות א (1) הבע את אורך הקטע EF באמצעות BE () הבע את אורך הקטע ב נתון: 5 ס"מ = a EB (1) מצא את הזווית EBG () חשב את שטח המשולש B G C a a 5 10

117 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 f() = נתונה הפונקציה א (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה () מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (3) מצא את האסימפטוטות של הפונקציה f() המקבילות לצירים (4) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה (אם יש כאלה), ואת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה (אם יש כאלה) נמק (5) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ב בנקודת החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה נוספת,, P שעל גרף הפונקציה, גם מעבירים משיק שני המשיקים מקבילים זה לזה מצא את שיעורי הנקודה P ג הפונקציה g() מקיימת g() = f() + C האסימפטוטה האופקית של g() מתלכדת עם ציר ה- מצא את C הסבר את תשובתך f '() 3 בסרטוט שלפניך מתואר גרף פונקציית הנגזרת f () = + b של הפונקציה + 16 f '() b פרמטר ענה על הסעיפים שלפניך (אפשר להיעזר בגרף הנגזרת במידת הצורך): א (1) מהו שיעור ה- של נקודת הקיצון הפנימית של f()? נמק () מצא את b ב מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f() ג מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f() וקבע את סוגן ד סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() ה חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הנגזרת ()', f על ידי ציר ה-, ועל ידי ציר ה- (השטח האפור) 7 103

118 B K F E C D BCD נתון מלבן היא אמצע הצלע BC הנקודה F, D היא נקודה על הצלע E מאונך ל- D כך ש- EF נמצאת על EF K הנקודה FC = (ראה ציור) כך ש- 10 ס"מ = KC EK = באמצעות FK א הבע את שעבורו BC חשב את אורך צלע המלבן ב יהיה מקסימלי BCD היקף המלבן (תוכל להשאיר שורש בתשובתך) 8 104

119 תשובות למבחן בגרות מספר 5 חורף תשע"ז, 017:, זווית היקפית השווה ל- 90 נשענת על קוטר 8 (3) C = 4 () C = 8 1 א 3 קמ"ש ב 16 :10 BOC = 90 = 0 ) + ( ( + 4) + ג (1) א כן, ב ב יח"ר 104 סמ"ר () a ב (1) ג ס"מ () 0817a = א 4 ג 5 א (1) (5) (;0), ( 0; 1 ) (1) () 6 א ; < = 1, = (3) (4) אין נקודת קיצון,, עלייה: > ירידה: אין c = 1 b= 6 () 6;1) ( ג = 3 ב ד 8 7 א (1) ב ( ;0) ג (5;3) מקסימום, מינימום, (0;8) מינימום ה 1 יח"ר = S ב = ס"מ 8 א

120 מבחן בגרות מספר 6 קיץ תשע"ז, 017, מועד א פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות C ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 אלונה ואריאל יצאו, כל אחד במכוניתו, אריאל אלונה באותה השעה מעיר B לעיר, B אלונה נסעה מעיר לעיר C ואילו אריאל נסע מעיר ק"מ 60 הוא לעיר B המרחק בין עיר מהירות הנסיעה של אלונה הייתה גבוהה פי 15 ממהירות הנסיעה של אריאל שניהם נסעו כל הדרך במהירות קבועה מן המרחק בין עיר כאשר הגיעה אלונה לעיר, B עבר אריאל 40% לעיר C לעיר? C א מהו המרחק בין עיר שעה לאחר שהגיעה אלונה לעיר B ב אריאל הגיע לעיר C מה הייתה מהירות הנסיעה של אריאל? 1 B M C ו- 5) C(10; נמצאות הנקודות ;1) B( (4 ;3)M על מעגל שמרכזו, שמחוץ למעגל, מן הנקודה יוצאים שני קטעים המשיקים למעגל ו-, C כמתואר בציור בנקודות B ו- C א (1) מצא את משוואות הישרים B () מצא את שיעורי הנקודה M ב (1) מצא את אורך הקטע () מצא את משוואת המעגל החוסם BM את המשולש נמצאת על המעגל (3) האם הנקודה C שאת משוואתו מצאת? נמק את קביעתך 106

121 במשחק מזל כל משתתף מטיל קובייה פעמיים הקובייה היא קוביית משחק הוגנת בכל אחת מן ההטלות, אם המספר שעל הקובייה הוא, 3 המשתתף מקבל 5 נקודות, אם המספר גדול מ- 3 המשתתף מקבל 10 נקודות, ואם המספר קטן מ- 3 המשתתף אינו מקבל נקודות א מהי ההסתברות שמשתתף במשחק יצבור 15 נקודות לפחות? ב ידוע שאחד המשתתפים צבר 15 נקודות לפחות מהי ההסתברות שבשתי ההטלות שלו היה המספר על הקובייה גדול מ-? 3 ג ארבעה משתתפים משחקים במשחק מהי ההסתברות שבדיוק שניים מהם יצברו כל אחד 15 נקודות לפחות? 3 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 D F G ( BCD = 90 B C E, B DC ) הוא טרפז ישר-זווית BCD BC היא נקודה על המשך הצלע E כך שהקטע E מאונך לאלכסון BD וחותך אותו בנקודה F, G בנקודה DC חותך את הקטע E כמתואר בציור EB א הוכח: = BDC נתון כי DC = BE DCB ב הוכח: EB 4 נתון כי CB = 4CE ג (1) הוכח: BE () מצא את היחס GCE GC B 107

122 M P B במשולש BC הנקודה P נמצאת על הצלע, B והנקודה M נמצאת על הצלע C (ראה ציור) נסמן: P = נתון כי:, PM = 06, MP = 100, BC = 10 4 ס"מ = M, 1 ס"מ = MC C א (1) חשב את הזווית PM () חשב את אורך הצלע BC ב חשב את אורך הקטע BM S MB ג מצא את יחס שטחי המשולשים S BMC נמק את תשובתך 5 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 0< a f() = + 4 a נתונה הפונקציה הוא פרמטר 6 ענה על סעיף א הבע את תשובותיך באמצעות a במידת הצורך א (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f() () מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם הצירים (אם יש כאלה) (3) מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה f() = 1 לפונקציה f() ב מצא את a יש אסימפטוטה אנכית הצב את a שמצאת בסעיף ב וענה על הסעיפים ג-ה ג (1) האם לפונקציה f() יש אסימפטוטה אנכית נוספת? אם כן מהי? אם לא נמק () מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f() וקבע את סוגה (3) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f() ד סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() ה עבור אילו ערכים של k אין פתרון למשוואה? f() = k נמק 108

123 f() = נתונה הפונקציה א (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f() () מצא את שיעורי נקודות החיתוך שך גרף הפונקציה f() עם הצירים (אם יש כאלה) (3) מצא את האסימפטוטה האנכית של הפונקציה f() (4) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f() (אם יש כאלה) (5) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() בתחום 0 f() g() = נתונה הפונקציה g() ב (1) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה 0 בתחום g() עם הצירים () סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g() ובין הצירים ג מצא את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה C ( BC = 90 ) הוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים BC על הצלע B בנו משולש ישר זווית EB כך ש- B הוא היתר של המשולש, EB כמתואר בציור נתון כי סכום אורכי הניצבים E של המשולש EB הוא 6 ס"מ נסמן את אורך הצלע E ב- א הבע באמצעות את שטח המשולש B BC ב עבור איזה ערך של שטח המרובע EBC הוא מינימלי? 8 109

124 ב תשובות למבחן בגרות קיץ תשע"ז, 017, מועד א: (13;16) (3) כן () קמ"ש C : = ( 8) + ( 6) = 15 ; B : = א 100 ק"מ () 10 5 א (1) ב (1) 1 3 = 1 = 1 a ג (1) 0< < 1 3 א 5 ב 3 ג = () 4 5 א (1) 36 () ס"מ ב 484 ס"מ ג ב = (3) ( 0; 4 ) a () מקסימום או ; ירידה: > 1 או < 1 1< < 0 ± (0; 4) a 6 א (1) () (3) עלייה: ד 4< ה k (5) () > 16 (0;1) = 16 7 א (1) () (3) (4) עלייה: אין; > 16 ( 1;0) ירידה:, (0; 1) ב (1) () יח"ר ג א ב 110

125 מבחן בגרות מספר 7 קיץ תשע"ז, 017, מועד ב פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 משפחת דותן החליטה לרצף את הגינה שלה, שצורתה מלבנית מטרים ו- אורכי צלעות הגינה הם מלבנים זהים את הגינה חילקו ל- 6 בתוך כל אחד מן המלבנים הפינתיים חסמו משולש ישר זווית, שניצביו הם צלעות המלבן שטח כל משולש רוצף באבן אפורה, כמתואר בציור את שטח הגינה הנותר ריצפו באבן לבנה את שטח הגינה שרוצף באבן אפורה ו- א (1) הבע באמצעות את שטח הגינה שרוצף באבן לבנה ו- () הבע באמצעות 1 המחיר למ"ר ריצוף באבן האפורה הוא 75 שקלים המחיר למ"ר ריצוף באבן הלבנה הוא 60 שקלים נתון שצלע אחת של הגינה ארוכה ב- 3 מטרים מן הצלע האחרת שלה עלות הריצוף לכל הגינה היא 1,170 שקלים ב מצא את אורכי צלעות הגינה B C M בציור שלפניך מתואר מעגל נתון: רדיוס המעגל הוא 0 מרכז המעגל,, M נמצא על החלק החיובי של ציר ה- הנקודה (1;13) נמצאת על המעגל א מצא את שיעורי הנקודה M 111

126 B דרך הנקודה העבירו משיק למעגל, החותך את ציר ה- ב מצא את שיעורי הנקודה B ג מצא את משוואת המעגל החוסם את המשולש BM בנקודה C היא נקודת החיתוך של המעגל הנתון עם ציר ה-, כמתואר בציור ד (1) מצא את שיעור ה- של הנקודה C () מצא לאילו ערכים של k הישר = k חותך את שני המעגלים (ואינו משיק אף לא לאחד מהם) בעיר מסוימת ערכו סקר הבודק אם נערים ונערות עוסקים בפעילות גופנית ממספר הנערות מספר הנערים שהשתתפו בסקר היה גדול פי שהשתתפו בסקר מן הסקר עולה כי 3 מן הנערות שהשתתפו בסקר עוסקות בפעילות 4 4 מן הנערים שהשתתפו בסקר עוסקים בפעילות גופנית 5 גופנית וכי א בחרו באקראי משתתף מבין כל משתתפי הסקר (נערים ונערות) מהי ההסתברות שהמשתתף שנבחר עוסק בפעילות גופנית? ב בחרו באקראי משתתף מבין משתתפי הסקר והתברר שהוא עוסק בפעילות גופנית מהי ההסתברות שנבחרה נערה? מן המשתתפים בסקר 4 ג נבחרו באקראי מן המשתתפים שנבחרו יהיו נערות מהי ההסתברות שלפחות שעוסקות בפעילות גופנית? 3 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 D F E הוא מעוין BCD B DC נמצאת על הצלע E הנקודה DB נמצאת על האלכסון והנקודה F (ראה ציור) BCEF נתון כי המרובע C הוא בר-חסימה במעגל FED א (1) הוכח = CBD הוא שווה שוקיים DFE () הוכח שהמשולש DFE DCB ב הוכח: סמ"ר הוא DFE, DB = 3DE שטח המשולש ג נתון: BCD חשב את שטח המעוין 4 11

127 D B C F, DC E נתון ריבוע BCD הנקודה E נמצאת על המשך הצלע כמתואר בציור המשולש CE הוא שווה שוקיים CE) (C = הישר E חותך את הצלע BC בנקודה F א מצא את זוויות המשולש CE 5 DFE שטח המשולש CE הוא 8 סמ"ר ב חשב את אורך צלע הריבוע ג חשב את אורך הקטע DF ד מצא את אורך רדיוס המעגל החוסם את המשולש פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 נתונה הפונקציה f() = 5 ( 4) א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f() ב מצא את האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה ג מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f() ד סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() ה (1) מצא את האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה () סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() f() f() 6 113

128 ? f '() f() = 4 נתונה הפונקציה א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f() ב (1) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם הצירים () מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f() וקבע את סוגן ג סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() ד איזה מן הגרפים בסוף השאלה (I (IV הוא הגרף של הפונקציה נמק ה חשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של הפונקציה ()', f על ידי ציר ה-, על ידי ציר ה- ועל ידי הישר = 1 7 IV III II I f() לפניך סרטוט של גרף הפונקציה 3 f() = ו-, B א מצא את שיעורי הנקודות נקודות החיתוך של גרף עם ציר ה- f() הפונקציה 8 B? f() הנקודה C נמצאת על גרף הפונקציה f() נתון: < C < B (שיעור ה- של הנקודה C נמצא בין שיעור ה- של הנקודה לשיעור ה- של הנקודה ) B ב מצא את שיעורי הנקודה C שעבורה שטח המשולש BC הוא מקסימלי ג האם הנקודה C היא נקודת קיצון של הפונקציה הסבר 114

129 תשובות למבחן בגרות מספר 7 קיץ תשע"ז, 017, מועד ב מטרים, מטרים ב: 3 ( 165) + = ג 3 B(4;0) 9 < k < 9 () 1 3 M(9;0) ב () C(9;0) 1 א (1) א ד (1) ג ב ב 4 ג 36 סמ"ר ג ס"מ 4635 ד ס"מ ס"מ ; ירידה: > < 4 = 0 5, =, 5 ב ג עלייה: 47 60,135 3 א 5 א 6 א ד = 0, = ה (1) () ג ( ;0), (0;0) 7 א, (;0) ב (1) מינימום, ;) ( מינימום, מקסימום מקסימום, (;0) ( ; ) ( ;0) IV () ד גרף ה 3 ב 4) (1; (0;0) ג כן 8 א (3;0), 115

130 מבחן בגרות מספר 8 חורף תשע"ח, 018 פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 שקלים סך 6,000 סוחר קנה כמה מוצרים במחיר זהה ושילם בעבורם שקלים 40 הכול 10% מכל המוצרים שקנה הוא מכר במחיר מבצע של מוצרים הוא השאיר במחסן, ואת השאר הוא מכר לכל מוצר, 0 60% למוצר ברווח של שקלים 7,50 הכנסתו ממכירת המוצרים האלה הייתה א כמה מוצרים קנה הסוחר? 1 בשלב מאוחר יותר מכר הסוחר את 0 המוצרים שהשאיר במחסן, ברווח של 00% למוצר ב מה הייתה הכנסתו של הסוחר ממכירת 0 המוצרים האלה? B ( B = D, CB = CD) נתון דלתון BCD הקודקוד B מונח על ציר ה- והקודקודים C ו- D מונחים על ציר ה-, כמתואר בציור = 1 + משוואת הישר BD היא: 3 3 א מצא את שיעורי הקודקודים D, B ו- C שיעורי הקודקוד הם (7,9) ב חשב את שטח הדלתון BCD הישר = 54 חותך את הישרים B ו- D בנקודות E ו- F בהתאמה אורך הקטע EF הוא 5 ג (1) חשב את שטח המשולש EF () חשב את שטח המחומש EFDCB C D 116

131 שירה משחקת בקוביית משחק הוגנת ובמטבע מאוזן שירה משחקת על פי הכללים האלה: היא זורקת את הקובייה פעם אחת ומטילה את המטבע פעמיים אם המספר שיתקבל על הקובייה יהיה גדול מ- ובשתי ההטלות ייפול המטבע על "פלי", תזכה שירה בפרס א (1) מהי ההסתברות ששירה תזכה בפרס? () שירה משחקת במשחק שלה 4 פעמים מהי ההסתברות שתזכה ב- פרסים בדיוק? 3 אביגיל משחקת גם היא בקוביית משחק הוגנת ובמטבע מאוזן אביגיל משחקת לפי כללים אחרים: היא זורקת את הקובייה פעמיים ואז מטילה את המטבע פעם אחת אם סכום המספרים שיתקבלו על הקובייה בשתי הזריקות יהיה קטן מ- 10 והמטבע ייפול על "עץ", תזכה אביגיל בפרס ב (1) מהי ההסתברות שבזריקת הקובייה פעמיים סכום המספרים שיתקבלו יהיה קטן מ-? 10 () אביגיל משחקת במשחק שלה פעם אחת מהי ההסתברות שאביגיל תזכה בפרס? פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 משולש BC חסום במעגל מרכז המעגל O B נמצאת על הצלע E הנקודה C כך ש- OE B (ראה ציור) א הוכח ש- OE הוא קטע אמצעים במשולש BC נמצא על הצלע 4 F E B O C OE חותך את המעגל המשך הקטע בנקודה, F כמתואר בציור הוא משולש FB ב הוכח שהמשולש שווה-שוקיים נתון: = 60 CB ג הוכח שהמרובע FOCB הוא מעוין 117

132 B C R (B = C) הוא משולש חד-זוויות ושווה-שוקיים BC הוא BC אורכו של רדיוס המעגל החוסם את המשולש נתון: BC = 1R BC א (1) חשב את זוויות המשולש R באמצעות () הבע את אורך הצלע B ה משיכו את הצלע BC עד הנקודה כמתואר בציור, כך ש- CD = 38R ב הבע את אורך הקטע D באמצעות R ג E הוא גובה במשולש CD אורך הגובה E הוא 9 חשב את R, D D 5 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 = f() a פרמטר 4 נתונה הפונקציה + a ( 1) ענה על סעיף א הבע באמצעות a במידת הצורך א (1) מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f()? () מה הן משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f() המאונכות לצירים? (3) מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(), וקבע את סוגה (4) מה הם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f()? 6 נתון: לפונקציה יש אסימפטוטה שמשוואתה היא 3 = ב מהו ערך הפרמטר? a שמצאת וענה על הסעיפים ג-ד a הצב את הערך של עם f() ג (1) מצא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה ציר ה- f() () סרטט סקיצה של גרף הפונקציה חותך את גרף הפונקציה = k הישר k ד עבור אילו ערכים של בנקודה אחת בדיוק? f() 118

133 נתונה הפונקציה f () = 49 א (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f() () מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה (3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() ב (1) מצא את משוואות האסימפטוטות של פונקציית הנגזרת, המאונכות לציר ה- () מה הם תחומי החיוביות והשליליות של פונקציית הנגזרת, (3) סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת, ()' f תוכל להיעזר בסעיפים קודמים ג חשב את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת החלק השלילי של ציר ה- ועל ידי הישר 6 = בתשובתך השאר שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית f(), וקבע את סוגן, f '()? f '() '(), f על ידי 7 G F D C B E BCD ו- BEFG הם שני ריבועים הצלע BC מונחת על הצלע BG >0 הוא פרמטר נתון: a DB + BF = a א מצא את אורך האלכסון DB שעבורו אורך הקטע DF הוא מינימלי הבע באמצעות a ב עבור אורך DB שמצאת בסעיף א, מהו היחס? B BE 8 119

134 תשובות למבחן בגרות מספר 8 חורף תשע"ח, 018: 1 א הסוחר קנה 10 מוצרים ב 3,000 שקלים S = ב 45 יח"ר D(9, 0), C(4, 0), B(0, 3) (1) 9 יח"ר = S () 36 יח"ר = S א ג 5 1 () 5 6 ב (1) () 3 א (1) 1897R () 36869, , R 5 א (1) ב ג (3) מינימום: 1) a 1, ( < 1, 1< = a ירידה:, = 1 (), 1< < 1 () (0, 3) ג (1) 1 (4) עלייה: a = 3 6 א (1) ב k = 3 ד 4 = k, 7 () מקסימום: (0,7), מינימום: 7,0) (, מינימום: (7,0) 7 7 א (1) = 7, = 7 ב (1) (3) () חיובי: < 0 7<, שלילי: < 7 0< (3) ג יח"ר B 1 BE = ב a 8 א 10

135 מבחן בגרות מספר 9 קיץ תשע"ח, 018, מועד א פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 המרחק בין עיר א ובין עיר ב הוא 16 ק"מ בשעה 08 : 00 יצאה מכונית מעיר א לעיר ב בשעה 08 : 30 יצא רוכב אופניים מעיר ב לעיר א המכונית ורוכב האופניים נפגשו בשעה, 09 : 30 והמשיכו בדרכם 15 דקות לאחר הפגישה הגיעה המכונית לעיר ב המכונית ורוכב האופניים לא שינו את מהירויותיהם בזמן הנסיעה א מצא את מהירות הנסיעה של המכונית ואת מהירות הנסיעה של רוכב האופניים 1 יום לאחר מכן, יצאו המכונית ורוכב האופניים זה לקראת זה באותו זמן המכונית יצאה מעיר ב לעיר א, ואילו רוכב האופניים יצא מעיר א לעיר ב המכונית נסעה במהירות קבועה הגדולה ב- a קמ"ש מן המהירות שבה נסעה ביום שלפני כן, ואילו רוכב האופניים נסע במהירות קבועה הקטנה ב- a קמ"ש מן המהירות שבה נסע ביום שלפני כן המכונית ורוכב האופניים נפגשו לאחר t שעות ב מצא את t 11

136 E B C C BC הוא תיכון במשולש CE נתון: 0) 1, (, B(7, 4), הקודקוד נמצא על ציר ה- (ראה ציור) א מצא את שיעורי הנקודה E נתון:, EB = BC שיעורי ה- של הקודקוד C גדול משיעור ה- של הקודקוד B ב מצא את שיעורי הקודקוד C הורידו אנך לציר ה- מן הנקודה B ואת ציר ה- K בנקודה CE האנך שהורידו חותך את הקטע בנקודה F KF ואת אורך הקטע K ג (1) מצא את שיעורי הנקודה EKF () חשב את שטח המשולש בסל יש תפוחים ומספר מסוים של אפרסקים טל הוציאה באקראי מן הסל שני פירות זה אחר זה ללא החזרה ההסתברות שהיא הוציאה שני תפוחים היא 1 36 א מצא כמה אפרסקים היו בסל לפני שטל הוציא ממנו פירות ב מהי ההסתברות שהפרי השני שהוציאה טל היה תפוח? ג (1) חשב את ההסתברות שטל הוציאה מן הסל שני פירות מאותו סוג () ידוע שטל הוציאה מן הסל שני פירות מאותו סוג מהי ההסתברות שהיא הוציאה שני אפרסקים? 3 1

137 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 B M D בציור שלפניך מתואר מעגל שמרכזו M ורדיוסו R BC הוא קוטר במעגל הנקודה D נמצאת מחוץ למעגל הקטע DC חותך את המעגל בנקודה BD נתון: = 1 MC א הוכח ש- B הוא חוצה זווית במשולש DBC CBD ב הוכח: CM ג הוכח כי M הוא קטע אמצעים C במשולש DBC ד נתון: המשולש BM הוא משולש שווה צלעות הבע את שטח המשולש CBD באמצעות רדיוס המעגל 4 E D C היא מקבילית BCD = 15 B BC = 10, נתון: ( α< 90 ) DB = α נסמן: את שטח α א הבע באמצעות BD המשולש 5 B נתון: שטח המקבילית הוא ב חשב את גודל הזווית α ג חשב את אורך האלכסון 75 3 BD BE הנקודה E נמצאת על המשך האלכסון, BD כמתואר בציור, כך ש- ED = DB ד (1) מצא את גודל הזווית BE () מצא את רדיוס המעגל החוסם את המשולש 13

138 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 נתונה הפונקציה f() = ( 3) א (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f() () מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f() המאונכות לצירים (3) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f() (4) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() ב חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(), על ידי ציר ה-, ועל ידי הישרים 4 = ו- 5 = 6 נתונה הפונקציה 4 f() g() = ג מהו השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ועל ידי הישרים = 4 ו- 5 =? נמק על ידי ציר ה-, g() f() 3 נתונה הפונקציה a f() = + a הוא פרמטר א הבע באמצעות a את תחום ההגדרה של הפונקציה 7 f() הנקודה 4) (, ב מצא את a נמצאת על גרף הפונקציה הצב = 7 a וענה על הסעיפים ג-ד ג (1) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם הצירים () מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(), וקבע את סוגן (3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() (4) מהם תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה f()? c הוא פרמטר שעבורו גרף הפונקציה g() g() = f() + c c נתונה הפונקציה ד מהו הערך של משיק לציר ה-? נמק 14

139 3 f() = בציור שלפניך מתוארים גרף הפונקציה = והישר f() נמצאת על גרף הפונקציה הנקודה 0< נתון: < ( של הנקודה הוא שיעור ה- ) העבירו ישר המקביל לציר ה- מהנקודה B בנקודה = (הישר המקווקו בציור) הישר שהעבירו חותך את הישר (ראה ציור) O היא ראשית הצירים הנקודה שבעבורה שטח א מה הם שיעורי הנקודה הוא מקסימלי? נמק BO המשולש בעבור הנקודה BO ב חשב את שטח המשולש שמצאת בסעיף א 8 9 תשובות למבחן בגרות מספר קיץ תשע"ח, 018, מועד א: > () 18 קמ"ש KF = 3, 3R () < 3, ירידה: K(7, ) 3 (3) עליה: 1 א מכונית: 7 ב קמ"ש, אופניים: 1 t = 14 א ) E(3, ב 0) C(9, ג (1) () ג (1) 9 3 א 7 ב 4 א הוכחה ב הוכחה ג הוכחה ד 75sin α ב 60 ג 5 7 ד (1) = 4, = 3 () 3 5 א 6 א (1) (4) 15

140 1 ב 45 ג מינימום, 7,0) ( מקסימום (4) חיוביות: > 0, שליליות: < 0 7< ( 6, 16) () a = 7 ( 7,0) a ב, (0,0) 7 א ג (1) (3) ד = 16 c א 3375) (15, ב 16

141 מבחן בגרות מספר 30 קיץ תשע"ח, 018, מועד ב פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 5a ס"מ והכין ממנו בשיעור אומנות קיבל תלמיד חוט ברזל שאורכו שתי מסגרות לתמונות: מסגרת אחת בצורת ריבוע ומסגרת אחת בצורת מלבן צלע אחת של המלבן שווה באורכה לצלע הריבוע והצלע האחרת של מצלע הריבוע 4 3 המלבן גדולה פי החוט הספיק בדיוק להכנת שתי המסגרות את אורכי צלעות המלבן a א הבע באמצעות ב מחוט ברזל נוסף (באורך אחר) הכין תלמיד עוד שתי מסגרות: מסגרת מלבנית זהה למסגרת המלבנית הראשונה, ומסגרת בצורת מצלע הריבוע הראשון ריבוע שצלעו ארוכה ב- 65% מצא בכמה אחוזים החוט הנוסף ארוך מן החוט הראשון ס"מ 45 ג האורך של אלכסון המלבן הוא חשב את אורכי צלעות המלבן 1 17

142 , C חותך את ציר ה- (4,1) M מעגל שמרכזו בנקודה כמתואר בציור מן הנקודה, B הנמצאת ברביע השני, העבירו שני ישרים המשיקים למעגל ו- C בנקודות = 6 היא משוואת הישר B א מהי משוואת המעגל? ב מצא את משוואת הישר BC BCM ג חשב את שטח המרובע ד חשב את אורך רדיוס המעגל BCM החוסם את המשולש בתשובתך השאר שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית בנקודה בבית ספר מסוים יש תלמידים שגרים בעיר ויש תלמידים שגרים מחוץ לעיר מספר הבנות הלומדות בבית הספר גדול פי 15 ממספר הבנים הלומדים בבית הספר 75% מן הבנים גרים בעיר ו- 40% מן הבנות גרות מחוץ לעיר בחרו באקראי תלמיד מבין תלמידי בית הספר (בן או בת) א מהי ההסתברות שבחרו בבן שגר בעיר? ב ידוע שהתלמיד שנבחר (בן או בת) גר בעיר מהי ההסתברות שנבחרה בת? ג בבית הספר יש 900 תלמידים (בנים ובנות) כמה תלמידים (בנים ובנות) גרים בעיר? ד בכל יום בוחרים באקראי תלמיד מבית הספר שיהיה תורן ניקיון (אותו תלמיד יכול להיבחר ברצף יום אחר יום) מהי ההסתברות שבמשך 3 ימים רצופים נבחרו לפחות תורנים שגרים מחוץ לעיר? (תורן יכול להיות בן או בת) 3 18

143 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 חסום במעגל EB המשולש E משיק למעגל בנקודה הקטע GF נמצאות על הצלעות ו- D הנקודות C בהתאמה, ו- E BE מקביל למשיק CD כך שהקטע BE = CDE א הוכח: CDE BE ב הוכח: ג הוכח כי אפשר לחסום את במעגל BCD המרובע 1 ס"מ = BE, ס"מ = CD, 4 ד נתון: ED = 1 3 B חשב את אורך הקטע ED 4 ( BD = 90 ) הוא משולש ישר-זווית BD נסמן: BD = a נתון: B = 3a א חשב את גודל הזווית DB 5 30 C היא נקודה מחוץ למשולש נתון: = 10 DC CD = BD, ב הבע באמצעות a את אורך הקטע BC ג הבע באמצעות a את אורך הקטע C ד נתון: שטח המשולש BDC הוא חשב את שטח המרובע BDC סמ"ר 19

144 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 4) (, f() = המוגדרת לכל נתונה הפונקציה ענה על סעיפים א-ג פתח סוגריים אם יש צורך f() א (1) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים () מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(), וקבע את סוגן f() (3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() (4) מצא את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה ועל ידי ציר ה- f() (אם יש כאלה) ב חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ()' f ג סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת, 6 f '() f() נתונה הפונקציה 13 f () = א (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f() () מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה הצירים (אם יש כאלה) (3) הראה כי הפונקציה f() עולה בכל תחום הגדרתה (4) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() לפניך גרף פונקציית הנגזרת, ()' f ב (1) מהו תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת, '()? f () מהי משוואת האסימפטוטה האנכית של פונקציית הנגזרת, עם? f '() 7 הגרפים של הפונקציות ג חשב את שיעורי הנקודה f() ו- '() f חותכים זה את זה בנקודה '(), f על ידי מן הנקודה הורידו אנך לציר ה- ד חשב את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת האנך, על ידי ציר ה- ועל ידי הישר =

145 f() לפניך ציור של גרף הפונקציה = f() 1 ברביע הראשון מנקודה, הנמצאת על גרף הפונקציה f() ברביע הראשון, העבירו אנכים לאסימפטוטות של הפונקציה f(), כך שנוצר מלבן א מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f() המאונכות לצירים ב מצא את שיעורי הנקודה שבעבורה היקף המלבן מינימלי ג חשב את שטח המלבן שהיקפו מינימלי 8 018, מועד 30 תשובות למבחן בגרות מספר קיץ תשע"ח, ב: S BDC = ס"מ, 7 ס"מ = 4 3 8a ב 30% ג 36, 6a = 5 1) ( ( 4) + ב 15 = ד = 50 S ד BCM 1 ג 1 3 ב 1 א א ג 3 א 4 א הוכחה ב הוכחה ג הוכחה ד 4 ס"מ 5 א ב 1306a ג 185a ד ס"מ מינימום, מינימום, (,16) מקסימום (4,0) (0,0) () (4,0), (0,0) 6 א (1) (3) 131

146 < 0 שליליות: אין, 0< < 4, 4< (4) חיוביות: 51 ג 15 ב 65 () 0) (65, (3) הוכחה (4) = 65 () 65 < (7,1) ד 7 א (1) ב (1) ג = 3 ב (3,5) ג 4 8 א = 1, 13

147 מבחן בגרות מספר 31 חורף תשע"ט, 019 פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות בפיצרייה "נפולי" המחיר של פיצה משפחתית גבוה פי 3 מן המחיר של פיצה אישית בפיצרייה הכריזו על מבצע: 10% הנחה על קניית פיצה אישית, הנחה על קניית פיצה משפחתית תלמידי שכבה י"א קנו פיצות במבצע, חלקן אישיות וחלקן משפחתיות נתון כי מספר הפיצות המשפחתיות היה גדול פי ממספר הפיצות האישיות תלמידי שכבה י"א שילמו על הפיצות, שקלים סך הכול א חשב את המחיר המקורי של פיצה אישית, ואת המחיר המקורי של פיצה משפחתית )המחירים שלפני ההנחה( ב לאחר שבוע הכריזו על מבצע אחר: מי שישלם את המחיר המקורי בעבור שתי פיצות אישיות, יקבל פיצה אישית שלישית חינם כמה פיצות אישיות אפשר לקנות במבצע הזה תמורת 1,3 שקלים )כולל הפיצות שהתקבלו בחינם(? 5 0% 1 133

148 בציור שלפניך נתון מעגל שמרכזו M ישר העובר בראשית הצירים משיק למעגל בנקודה B חיברו את מרכז המעגל,, M עם ראשית הצירים, O (3,4) נתון: משוואת הישר OM היא א מצא את משוואת הישר BM ב מצא את משוואת המעגל 1 7 המשך הקטע BM חותך את המעגל בנקודה C ג מצא את שטח המשולש OBC העבירו מעגל נוסף כך ש - OM הוא קוטר שלו ד האם המרכז של המעגל הנוסף נמצא בתוך המעגל שמרכזו M, עליו או מחוצה לו? נמק ופרט את חישוביך ל - 6 8% בדיוק מחברי מועדון ג'ודו ארצי יש חגורה שחורה א בוחרים באקראי מן החברים במועדון )1( מהי ההסתברות שבדיוק ל מהם יש חגורה שחורה? )( מהי ההסתברות שאין חגורה שחורה לאף לא אחד מן ה א א מן החברים במועדון הם מדריכים, והשאר הם חניכים מחברי המועדון שיש להם חגורה שחורה הם מדריכים ב בחרו באקראי חבר מהמועדון מהי ההסתברות שהחבר שנבחר הוא חניך שיש לו חגורה שחורה? ג בחרו באקראי חניך חבר במועדון מהי ההסתברות שיש לו חגורה שחורה? 75% שנבחרו? 134

149 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 נתון מעגל שמרכזו O משיק למעגל בנקודה C היא נקודה מחוץ למעגל, כך שהישר C מן הנקודה C העבירו ישר החותך את המעגל בנקודות F ו - B, כמתואר בציור, כך ש - B הוא קוטר במעגל א הוכח: FB CB 4 9 נתון: =,FB FC = 16 ב חשב את קוטר המעגל, B ג חשב את שטח המשולש, CF ד האם? CF CB הוכח את תשובתך נתון משולש BC הנקודה D נמצאת על הצלע B כך ש BD D )ראה ציור( - 5 BC=1 נתון:, DC=10, DCB 65 א חשב את אורך הקטע BD ב חשב את שטח המשולש DC הנקודה M היא אמצע הקטע BC ג האם הנקודה M היא מרכז המעגל החוסם את המשולש?BDC נמק 135

150 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות נתונה הפונקציה f () 5 f () א מצא את תחום הגדרה של הפונקציה ב מה הם שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה () f עם ציר ה -? ג מצא את השיעורים של כל נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן ד מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ()? f ה סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f () f () נתונה הפונקציה, g() f () c שתחום ההגדרה שלה הוא תחום ההגדרה של () c f הוא פרמטר ו מה הם על ערכי c שבעבורם הפונקציה חיובית בכל תחום הגדרתה? g() 0 f () הפונקציה מוגדרת לכל בציור שלפניך מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת לכל, וחותכת את ציר ה - בנקודות א מצא את שיעורי ה של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן על פי הגרף f '() (,0) f () 0 נתון: a 1 פרמטר ב מצא את a f '() לכל a 0 0 הוא ענה על סעיף ג בעבור 0 שיעור ה - של נקודת המינימום של הפונקציה () f הוא 10 ג )1( כתוב ביטוי אלגברי לפונקציה () f )( סרטט סקיצה של גרף הפונקציה () f עבור 0, המוגדרת גם היא (,0), 7 ג 136

151 המלבן DFGE חסום בין גרף הפרבולה 6 ובין ציר ה -, כמתואר בציור הנקודות ו - B הן נקודות החיתוך של גרף הפרבולה עם ציר ה -, כמתואר בציור k הוא פרמטר נתון: נתון: D = EB = k 0 k 3 א הבע באמצעות k את אורכי הצלעות של המלבן DFGE ב מצא את k שבעבורו שטח המלבן DFGE הוא מקסימלי תוכל להשאיר שורש בתשובתך 8 :019 תשובות למבחן 31 בגרות מספר חורף תשע"ט, S 1 40 CF שקלים 1 א מחיר פיצה אישית: שקלים מחיר פיצה משפחתית: פיצות ב 84 8 ב ( 7) ( 1) SOBC 5 יח"ר א ג ד בתוך המעגל ב 00 ג )( 15 יח' B ב ג יח"ש ד כן (5, ) SDC 7193 BD 3 א )1( 4 א הוכחה יח' ב יח"ש ג לא ) (0,, מינימום: 5 5 1,0, מינימום: 4,0 (5, 05), 0 5 תחום ירידה: 5 א 1194 ב 0 6 א 5 גג מקסימום: ד תחום עליה: 137

152 ה ו C, מינימום 7 א מקסימום )( 1 f() a 4 ב ג )1( GE 6k k, DE 6 k k א ב 138

153 מבחן בגרות מספר 3 קיץ תשע"ט, 019, מועד א פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 המרחק בין עיר א' ובין עיר ב' הוא 10 ק"מ מכונית נסעה בבוקר מעיר א' לעיר ב' במהירות קבועה בערב חזרה המכונית מעיר ב' לעיר א' באותה הדרך המכונית נסעה במשך שעה באותה המהירות שבה נסעה בבוקר היא עצרה בצד הדרך למשך דקות, ולאחר מכן המשיכה בנסיעתה עד עיר א' במהירות הגבוהה ב- 10 קמ"ש ממהירות נסיעתה בבוקר זמן הנסיעה של המכונית בערב (כולל משך זמן העצירה) היה שווה לזמן הנסיעה שלה בבוקר א מצא את מהירות המכונית בבוקר ב השעה שבה יצאה המכונית מעיר ב' בדרכה חזרה לעיר א' הייתה שמונה בערב מה היה המרחק שלה מעיר א' בשעה תשע ו- 8 דקות בערב? 1 139

154 C נתון מעגל שמרכזו 7,6) ( M הישר MB (ראה ציור) נתון: 1,14) ( B, MC = CB א מצא את משוואת המעגל חותך את המעגל בנקודה העבירו משיק למעגל בנקודה C ב מצא את משוואת המשיק מן הנקודה B הורידו אנך לציר ה- המשיק והאנך נחתכים בנקודה D ג חשב את שטח המשולש BCD BME הנקודה E נמצאת על האנך שהורידו מנקודה B לציר ה- נתון: ME CD ד מצא את שיעורי הנקודה E ה הראה כי הנקודה D היא מרכז המעגל החוסם את המשולש במשחק יש שני סיבובים בכל סיבוב יש שתי אפשרויות בלבד: לזכות או להפסיד משתתף שזוכה בשני הסיבובים מנצח במשחק כולו ההסתברות לזכות בסיבוב הראשון גדולה פי 3 מן ההסתברות להפסיד בו א מהי ההסתברות לזכות בסיבוב הראשון? נמק 3 אם משתתף במשחק זכה בסיבוב הראשון, ההסתברות שהוא יזכה בסיבוב השני היא 08 אם משתתף הפסיד בסיבוב הראשון, ההסתברות שהוא יזכה בסיבוב השני היא 06 ב (1) מהי ההסתברות לזכות בדיוק בסיבוב אחד מבין שני הסיבובים? () ידוע שמשתתף זכה בדיוק בסיבוב אחד מבין שני הסיבובים מהי ההסתברות שהוא זכה בסיבוב הראשון? ג (1) מהי ההסתברות לנצח במשחק כולו? () 4 משתתפים משחקים במשחק מהי ההסתברות שכל המשתתפים ינצחו במשחק כולו? 140

155 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 O נתון מעגל שמרכזו שמחוץ למעגל העבירו שני הוא קוטר במעגל מן הנקודה BC והאחר חותך את המעגל E ישרים: האחד משיק למעגל בנקודה בנקודה, C כמתואר בציור שלפניך נתון כי = 90 EC א הוכח: EO C OCE = CE ב הוכח: EBC EC ג הוכח: = 64 C BC נתון: EC ד (1) חשב את = 6 EB () נתון: EO חשב את 4 במעגל שהרדיוס שלו הוא 10, חסום משולש שווה שוקיים BC = 130 כמתואר בציור שלפניך נתון כי:, ( B = BC) א חשב את אורך הצלע C ב חשב את שטח המשולש BC BC 5 G היא נקודה על המעגל כך ש- GC הוא קוטר במעגל הישר GB חותך את הצלע C בנקודה E ג חשב את אורך הקטע EB 141

156 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 נתונה הפונקציה f() = 3 + א (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ( )f () מצא את האסימפטוטות של הפונקציה ( )f המקבילות לצירים (3) מצא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה ( )f עם הצירים (4) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה (, )f וקבע את סוגן (5) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f( ) ( )f ב סרטט סקיצה של גרף הפונקציה חותך את האסימפטוטה האופקית של ( )f ג האם גרף הפונקציה (? )f אם הוא חותך את האסימפטוטה, מצא את הפונקציה הוא פרמטר) יש אסימפטוטה ) c שיעורי נקודת החיתוך g( ) = f( ) ד נתון: לפונקציה + c c נמק אופקית = 5 מצא את 1 3 נתונה הפונקציה f() = a המוגדרת לכל a הוא פרמטר 3 א מצא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה ( )f עם ציר ה- (אם יש צורך, הבע באמצעות ) a ב מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה ( )f (אם יש צורך, הבע באמצעות ), a וקבע את סוגן ג מצא את הערך של a שבעבורו נקודת המינימום של הפונקציה ( )f נמצאת על ציר ה- נמק הצב = 18 a במשוואת הפונקציה (, )f וענה על הסעיפים ד-ו ד רשום את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה ה סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ( )f ו (1) חשב את השטח ברביע השני המוגבל על ידי גרף הפונקציה (, )f ציר ה- וציר ה- B ו-, עם ציר ה- )f ( היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה () היא נקודת המינימום של הפונקציה ( )f הראה שגרף הפונקציה ( )f מחלק את המשולש BO לשני שטחים שהיחס ביניהם הוא ) 1:3 O - ראשית הצירים)

157 המוגדרת בתחום = ) f ( 5 בציור שלפניך מתואר גרף הפונקציה ברביע הראשון ( )f נמצאת על גרף הפונקציה 5 הנקודה 5 העבירו ישר המקביל לציר ה- הישר חותך את גרף דרך הנקודה היא ראשית O שברביע השני הנקודה בנקודה B ( )f הפונקציה הצירים t ב- של הנקודה נסמן את שיעור ה- את שיעורי הנקודה B t א (1) הבע באמצעות את שטח t () הבע באמצעות BO המשולש BO שבעבורו שטח המשולש t ב מצא את הוא מקסימלי תוכל להשאיר שורש בתשובתך 8 143

158 3 תשובות למבחן בגרות מספר קיץ תשע"ט, 019, מועד א: S BCD = EO = 5 75 ג 8 3 ב 7 + = 4 1 א 90 קמ"ש ב 0 ק"מ יח"ר () EB = 394 ( 7) + ( 6) = 5 E(1, 3) א ד ה הסבר א ב (1) () ג (1) () א הוכחה ב הוכחה ג הוכחה ד (1) 8 = CE S BC ג 5 א = 153 C ב 7364 יח"ר = < (0,0) או < 0 < או או < 1 0< (3) = 3, =, = 1 > 4 1< < 4 (4, 8 min (5) עליה: 3 ) ירידה: () 1,, ma (0,0) 6 א (1) (4) ב c= ג כן, (,3) ד min ( 3, a 18) 0) 3, ( min ה, ma (3, a + 18), ma (3,36) (0,a) ב = 18 a ד 7 א ג 05 יח"ר () הוכחה ו (1) ב = 15 t S t 5 t BO = () B( t, 5 t ) 8 א (1) 144

159 מבחן בגרות מספר 33 קיץ תשע"ט, 019, מועד ב פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 שני רוכבי אופניים יצאו בשעה 08 : 00 מנקודה רוכב א' רכב צפונה, ורוכב ב' רכב מזרחה (ראה ציור) בשעה 09 : 00 הגיע רוכב א' לנקודה, B ורוכב ב' הגיע לנקודה C כך שהמרחק ביניהם,, BC היה 30 ק"מ מהירות הנסיעה של רוכב א' הייתה גבוהה ב- 6 קמ"ש ממהירות הנסיעה של רוכב ב' א מצא את מהירות הנסיעה של כל אחד משני הרוכבים 1 לאחר מנוחה של 10 דקות יצאו הרוכבים זה לכיוונו של זה: רוכב א' רכב לכיוון הנקודה C באותה המהירות שבה נסע קודם, ורוכב ב' רכב לכיוון הנקודה B במהירות הגבוהה ב- 3 קמ"ש מן המהירות שבה נסע קודם הם נפגשו בנקודה D (ראה ציור) ב באיזו שעה נפגשו הרוכבים? 145

160 נתון משולש BC הקודקודים B ו- C מונחים על ציר ה-, כמתואר בציור שלפניך הקודקוד נמצא ברביע הראשון 1 משוואת הצלע C היא: + 36 = 4 נתון כי אורך הצלע BC הוא 5 א מצא את שיעורי הנקודות C ו- B 1 נתון כי שטח המשולש הוא BC ב מצא את שיעורי הנקודה B מאונך ל- DB היא נקודה ברביע השני כך ש- D ג מצא את משוואת הישר BD DC נתון כי שיעור ה- של הנקודה D הוא 1 ד (1) הוכח כי = 90 DC () מצא את מרכז המעגל החוסם את המשולש בשק יש 80 כדורים מקצתם עשויים מזכוכית והשאר עשויים מפלסטיק 0 מן הכדורים שבשק הם כחולים והשאר צהובים 70% מן הכדורים שבשק הם כדורים צהובים מפלסטיק 5% מן הכדורים העשויים זכוכית הם צהובים א כמה כדורים מפלסטיק יש בשק? ב הוציאו באקראי כדור מן השק והחזירו אותו לשק (1) מהי ההסתברות שהכדור שהוציאו הוא כדור כחול מזכוכית? () ידוע שהכדור שהוציאו מן השק הוא כחול מהי ההסתברות שהוא מזכוכית? ג הוציאו באקראי כדור מן השק והחזירו אותו לשק את הפעולה הזאת (הוצאה והחזרה) עשו 4 פעמים מהי ההסתברות שבדיוק 3 מן הכדורים שהוציאו הם צהובים? 3 146

161 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4, D הוא קוטר במעגל חסום במעגל כך ש- BC BC המשולש BC העבירו אנך לצלע מקודקוד ואת המעגל בנקודה N בנקודה BC האנך חותך את הצלע כמתואר בציור שלפניך BC NDC א הוכח: הוא משולש שווה שוקיים CD ב הוכח: C = NC BC ג הוכח: = 4 CD, וכי רדיוס המעגל שווה ל- 5 ד נתון כי NC חשב את אורך הקטע 4 בטרפז ( B DC) BC = 4 BCD, DC = 7, BD = 6 א חשב את גודל הזווית שבציור שלפניך נתון: BDC 5 D נתון: B = D ב מצא את אורך הצלע DF הנקודה F נמצאת על הצלע DC נתון כי שטח המשולש DF הוא 8 ג (1) מצא את אורך הצלע DF () מצא את אורך רדיוס המעגל החוסם את המשולש 147

162 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 f() f() = נתונה הפונקציה + 3 א (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f() () מצא את האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה ב מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(), וקבע את סוגן ג סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() ד (1) סרטט סקיצה של גרף הנגזרת '() f בתחום < 1 3< () הסתמך על הסרטוט בתת-סעיף ד( 1 ) וחשב את השטח המוגבל על ידי גרף הנגזרת ()', f על ידי ציר ה- ועל ידי הישר = 6 לפניך סרטוט של גרף הפונקציה 3) 4 16, f () = ( המוגדרת לכל א מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f() ב מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- העבירו משיק לגרף הפונקציה f() בנקודה שבה = 4 ג (1) מצא את משוואת המשיק () חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי המשיק, על ידי ציר ה- ועל ידי ציר ה- (השטח המסומן בסרטוט) 7 148

163 במלבן BCD סכום האורכים של שתי צלעות סמוכות הוא 0 בתוך המלבן בנו משולש ED כך שהקודקוד E נמצא באמצע הצלע BC (ראה ציור) נסמן ב- את אורך הקטע BE א (1) הבע באמצעות את אורך הקטע E () מצא את אורכי צלעות המלבן שבעבורן אורך הקטע E הוא מינימלי ענה על סעיף ב עבור אורכי צלעות המלבן שמצאת בסעיף א ב חשב את שטח המשולש ED 8 019, מועד 33 תשובות למבחן בגרות מספר קיץ תשע"ט, ב: 1 א מהירות רוכב א': ב 4 ב 09 : 50 א C(8,0) B(3,0), קמ"ש, מהירות רוכב ב': 18 קמ"ש (6, 9) (, 5) ד (1) הוכחה () ג 1 = = 06 () 3 0 = א 64 כדורים ב (1) 4 א הוכחה ב הוכחה ג הוכחה ד 5 א 3477 ב 365 ג (1) 4676 () ג

164 = 1, = 3, = 1 () 3, 1 6 א (1) 3 (0,0) ma, (3, ) min 4 ב ג 4 3 () ד (1) 506 () ג 31(1) 4 = יח"ר 7 א 16) min (3, ב (5,0), (1,0) ב ס"מ 3 יח"ש 4 16 ס"מ, () 8 א (1)

165 מבחן בגרות מספר 34 חורף תש"ף, 00 פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 המחיר של כרטיס כניסה של מבוגר למוזאון הוא שקלים מחיר כרטיס של מבוגר גדול פי ממחיר כרטיס של ילד ממחיר כרטיס של מבוגר א הבע באמצעות את מחיר הכרטיס של ילד ואת מחיר הכרטיס של סטודנט ביום ראשון ביקרו במוזאון מבוגרים בלבד סך כל ההכנסות של המוזאון ממכירת כרטיסים ביום ראשון היה 1,560 שקלים ביום שני ביקרו במוזאון רק ילדים וסטודנטים מספר הילדים שביקרו ממספר המבוגרים שביקרו בו ביום ראשון ממספר הילדים שביקרו בו באותו יום סך כל ההכנסות של המוזאון ממכירת כרטיסים ביום שני היה,91 שקלים ב )1( מצא את מחיר הכרטיס של מבוגר למוזאון )( בכמה אחוזים גדול מספר המבקרים ביום שני ממספר המבקרים ביום ראשון? מחיר כרטיס של סטודנט נמוך ב- 5% במוזאון ביום שני היה גדול ב- 16 מספר הסטודנטים שביקרו במוזאון ביום שני היה קטן ב

166 קודקודי המשולש במשולש בציור ומשוואת הישר היא משוואת הישר, א מצא את שיעורי הנקודות נמצאת ברביע השני נתון כי הנקודה שלה הוא הוא אורך הקטע של הנקודה היא מרכז המעגל החוסם את הנקודה המשולש ג מצא את משוואת המעגל החוסם את המשולש נמצאת על המעגל ד האם הנקודה, בתוך המעגל החוסם החוסם את המשולש או מחוצה לו? נמק ופרט את חישוביך C ו- B BC וכי שיעור ה- מונחים על ציר ה-, כמתואר B 5 C היא 3 ו- B C 1 5 E CE ב מצא את שיעור ה- E BC E BC BC D 80% מתלמידי שכבה י"א בבית ספר גדול יצאו לטיול בשכבה י"א יש בנים ובנות 3 ידוע כי 075 מן הבנים בשכבה ו- 5 6 בחרו באקראי תלמיד משכבה י"א )בן או בת( א )1( מהי ההסתברות שנבחרה בת? )( מהי ההסתברות שנבחרה בת שיצאה לטיול? מן הבנות בשכבה יצאו לטיול ב ידוע כי נבחר תלמיד שיצא לטיול )בן או בת( מהי ההסתברות שנבחרה בת? ג בחרו באקראי 5 תלמידים מן הבנים והבנות של שכבה י"א מהי ההסתברות שבדיוק 3 מהם הם בנים שיצאו לטיול? 15

167 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 ומעגל קטן שמרכזו, ועובר דרך הנקודה המעגל הקטן משיק מבפנים למעגל הגדול בנקודה )ראה ציור(, והמשכו חותך את המעגל הגדול בנקודה עובר דרך הנקודה הקטע ו- העבירו ישר נוסף, החותך את המעגלים בנקודות דרך הנקודה, כמתואר בציור BC א )1( הוכח: MDC BC )( הוכח: MDC ב )1( הוכח כי DM הוא קטע אמצעים במשולש )( מהו היחס בין שטח המשולש ובין שטח המשולש? MDC נמק ג נתון: DM 4, CO חשב את אורך הקטע בציור שלפניך שני מעגלים: מעגל גדול שמרכזו M O D C BC O BC C BC CM M B 4 BD C במשולש BD הנקודה נמצאת על הצלע )ראה ציור( 5 D 10, CD 4 נתון:, C 7 א חשב את גודל הזווית CD נתון: B BC ב חשב את שטח המשולש BD B הנקודה E נמצאת על המשך הצלע 4 כך ששטח המשולש EBD קטן פי משטח המשולש BD ג מהו אורך הצלע? EB נמק 153

168 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 נתונה הפונקציה 3 f () 6 א )1( מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f () )( מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f () )3( מצא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה, וקבע את סוגה f () בתשובתך השאר שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית )4( סרטט סקיצה של גרף הפונקציה נתונה הפונקציה עם ציר ה- f () c g() f c נתון כי נקודת הקיצון של הפונקציה ב )1( מצא את הוא פרמטר g() נמצאת על ציר ה- c )( סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g() ג חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ועל ידי ציר ה- g(), על ידי הישר 3 6 ו-, שהן פונקציות הנגזרת של לפניך הגרפים של הפונקציות הפונקציות g ו- h בהתאמה מוגדרות בתחום 5 פונקציות הנגזרת h ' g ' h ' ו- g ' 7 154

169 א קבע על פי הגרפים כמה נקודות קיצון פנימיות יש לפונקציות ו- בתחום נמק את תשובתך )התייחס בתשובתך לחלק של הגרף המתואר בציור( 5 h f 3 5 g מוגדרת בתחום הפונקציה ב מצא את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן ג סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ד אחד מן הגרפים הנתונים בתחילת השאלה הוא הגרף של פונקציית הנגזרת קבע מי מהם הוא הגרף של נמק ה חשב את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת ועל ידי ציר ה- ברביע הראשון f ' f ' 5 f f f ', O f עובר בראשית הצירים, 4 גרף הפונקציה )ראה ציור( א מצא את שיעורי הנקודה נמצאות על גרף הפונקציה הנקודות ברביע הראשון, כמתואר בציור של הנקודה 4 שווה ל- של הנקודה ב הסבר מדוע הישר של הנקודה שבעבורו שטח הטרפז OBC הוא מקסימלי וחותך את ציר ה- בנקודה נוספת, C C ו- B f נסמן את שיעור ה- נתון כי שיעור ה- ג מצא את שיעור ה- ב- B B מקביל לציר ה- 8 :00 תשובות למבחן 34 בגרות מספר חורף תש"ף, 1 א מחיר כרטיס כניסה של ילד: 05 מחיר כרטיס כניסה של סטודנט: 075 ב )1( 5 )( 00% E ג 3 ב (4, 5), B(0, 3) א C(0,5), ד מחוץ למעגל ( ) ( 1) 0 155

170 ג ב )( 06 3 א )1( 64 ב )1( הוכחה )( 4:1 ג ס"מ 4 א )1( הוכחה )( הוכחה ב ס"מ ג סמ"ר 5 א 1868 (079, 0) 1,9) ( מינימום )3( )( 0 6 א )1( )4( 8 )( 9 ב )1( יח"ר ג שתי נקודות קיצון פנימיות נקודת קיצון פנימית אחת g() h() 7 א לפונקציה לפונקציה ב (0,3) min, (,7) ma, (5,3) min ג ד גרף ה 4 יח"ר 4 3 א (4,0) ב הוכחה ג 8 156

171 מבחן בגרות מספר 35 קיץ תש"ף, 00, מועד א פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 3-1 קבוצת ספורטאים צועדת בכל יום 40 ק"מ במסלול קבוע ביום ראשון יצאה הקבוצה לצעידה אחרי 3 שעות של צעידה במהירות קבועה, עצרה הקבוצה למנוחה של 15 דקות, ולאחר מכן המשיכה לצעוד עד סוף המסלול במהירות הגדולה ב- 3 קמ"ש מן המהירות שבה החלה לצעוד ביום שני צעדה הקבוצה בלי לעצור היא צעדה במהירות קבועה הגדולה ב- 60% מן המהירות שבה החלה לצעוד ביום ראשון בשני הימים יצאה הקבוצה לצעידה באותה השעה, אך ביום שני היא הגיעה לסוף המסלול שעה אחת מוקדם יותר מן השעה שבה היא הגיעה ביום ראשון א מצא את המהירות שבה החלה לצעוד קבוצת הספורטאים ביום ראשון ב מצא כמה זמן צעדה קבוצת הספורטאים במסלול כולו ביום שני 1 157

172 M נמצאת על הנקודה כמתואר, ציר ה- בציור שלפניך הנקודה נמצאת על מעגל שמרכזו בנקודה M נתון: משוואת הישר היא היא )הנקודה ראשית הצירים(, הוא פרמטר היא את שיעורי הנקודות הבע באמצעות א 3 O O משוואת הישר M ו- M a 0 a a נתון: רדיוס המעגל הוא ב מצא את הצב את הנקודה ג 3 a a B שמצאת, וענה נמצאת על המעגל כך ש- B מצא את שיעורי הנקודה העבירו משיק למעגל בנקודה בנקודה ד על הסעיפים ג-ד הוא קוטר במעגל B המשיק חותך את ציר ה- C )1( חשב את שטח המשולש )( חשב את שטח המרובע BOC BC 158

173 בבית ספר תיכון גדול לחלק מן התלמידים יש מחשבים ניידים, ולשאר התלמידים אין מחשבים ניידים אם בוחרים באקראי 3 תלמידים מבית הספר, ההסתברות שלשלושתם יהיה מחשב נייד היא 051 א מהי ההסתברות שלתלמיד אחד )בן או בת( מבית הספר יהיה מחשב נייד? 3 נתון: מספר הבנות בבית הספר גדול פי ב ג ד 1 1 ממספר הבנים מחצית מן התלמידים שאין להם מחשב נייד הם בנים נבחר באקראי תלמיד מבית הספר )בן או בת( מהי ההסתברות שהתלמיד שנבחר הוא בן שיש לו מחשב נייד? ידוע שנבחרה בת מהי ההסתברות שיש לה מחשב נייד? נבחרו באקראי תלמידים מבית הספר )מהבנים ומהבנות( מהי ההסתברות שלפחות לאחד מהם )בן או בת( יש מחשב נייד? 159

174 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מן השאלות 5-4 M מן הנקודה נתון מעגל שמרכזו שמחוץ למעגל העבירו ישר המשיק למעגל בנקודה, C וישר נוסף העובר וחותך את המעגל דרך הנקודה, כמתואר בציור בנקודות DC הוכח: CE א CD הוכח: MCE ב MC הוכח: ECD ג נתון: MD D ד הוכח כי המשולש MCD הוא שווה צלעות M E ו- D 4 BDC הוא 3 הנקודה במשולש B נמצאת על הצלע )ראה ציור( נתון:, D 4, שטח DB 110 הוא 5 המשולש חשב את אורך הקטע א מצא את גודל הזווית ב BD DB DC DB C ג נתון: האורך של רדיוס המעגל החוסם את המשולש חשב את אורך הצלע DC 5 160

175 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מן השאלות 8-6 )לכל שאלה- 0 נקודות( f () 1 f () הוא פרמטר נתונה הפונקציה 4 a נתון כי אחת מן האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה א מצא את a a 1 הצב ב ג ד ה a 5 וענה על הסעיפים ב-ה f () )1( מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )( כתוב את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים )3( מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )אם יש כאלה( )4( מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים )5( סרטט סקיצה של גרף הפונקציה מצא את משוואות האסימפטוטות של פונקציית הנגזרת, המאונכות לצירים קבע איזה מארבעת הגרפים הנתונים בסוף השאלה הגרף של פונקציית הנגזרת, ()' f נמק חשב את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת ועל ידי הישרים f () f () f () ידי ציר ה- היא f '(), (IV I) f '() הוא, על 0 ו

176 נתונה הפונקציה 4 f () שתחום הגדרתה הוא, )1( מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה א וקבע את סוגן תוכל להשאיר שורש בתשובתך )( מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ב עם גרף הפונקציה ()? f נמק כמה נקודות חיתוך יש לישר ג סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ד f () f () f () f () BC B נתון משולש ישר זווית ) מן 90 ( DC העבירו ישר החותך הנקודה בנקודה את הצלע כך ש- DB BC נתון: שטח המשולש הוא 9 נסמן: BC במשולש את אורך הגובה לצלע הבע האמצעות א B הוא מינימלי נמק שעבורו מצא את הערך של ב BC BC DC DC 8 תשובות למבחן בגרות מספר 35 קיץ תש"ף, 00, מועד א: א 4 קמ"ש ב 65 שעות 1 4) B( 4, ד )1( 96 יח"ר a 4 א ב ג (a,3a) M(0, a), )( 18 יח"ר ג ד א 08 ב 03 א הוכחה ב הוכחה ג הוכחה ד הוכחה 4 16

177 ג א 66 ב , 1, 5 5 )( 1 א ב )1(, )3( תחומי עליה: אף, תחומי ירידה: או או 5 1 (0, ) 5, a 5 (1,0) )4( )5( ד גרף IV 0, 1, ג 5 ה min( 3, 0), ma(, 5 ), min(0, 3 ), ma(, 5 ) 7 א) 1 ( min(3,0),, 3 )( תחומי עלייה: 0 תחומי ירידה: או או 0 3 ב ג 4 נקודות חיתוך 163

178 ד ב א 164

179 מבחן בגרות מספר 36 קיץ תש"ף, 00, מועד ב פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ענה על שתיים מבין השאלות 1-3 יעל ואלון השתתפו במ רוץ שליחים במסלול שאורכו 15 קילומטרים סך הכול בתחילת המרוץ עמדה יעל בנקודת ההתחלה של המסלול ואילו אלון עמד על המסלול, במרחק של 5 קילומטרים ממנה יעל רצה במהירות קבועה של קמ"ש עד שהיא הגיעה לאלון מייד אחרי שהגיעה יעל לאלון, אלון התחיל לרוץ עד שהגיע לסוף המסלול ויעל חזרה לנקודת ההתחלה אלון רץ במהירות קבועה הגדולה ב- קמ"ש מן המהירות ההתחלתית של יעל יעל חזרה לנקודת ההתחלה במהירות קבועה של V 5 V 6 קמ"ש V V אלון הגיע לסוף המסלול 15 דקות אחרי שיעל הגיעה בחזרה לנקודת ההתחלה א )1( הבע באמצעות את זמן הריצה של יעל מנקודת ההתחלה ועד שהיא הגיעה לאלון )( הבע באמצעות את הזמן שנדרש ליעל כדי לחזור )הזמן שעבר מן הרגע שהיא פגשה את אלון ועד שחזרה לנקודת ההתחלה( )3( מצא את V )מצא את שתי האפשרויות( ידוע שהמרוץ כולו )מן הרגע שיעל החלה לרוץ ועד שאלון הגיע לסוף המסלול( נמשך פחות משעתיים ב איזו משתי האפשרויות שמצאת בתת- סעיף א) 3 ( היא? V נמק 1 165

180 בציור שלפניך מתואר מעגל שמרכזו,, נמצא ברביע השניהמעגל עובר, ורדיוסו הוא 5 נתון: מרכז המעגל,, נמצא על הישר א מצא את משוואת המעגל M M בראשית הצירים, O 3 המעגל חותך את ציר ה- נוספת, ב ג מצא את שיעורי הנקודה בנקודה דרך הנקודה העבירו משיק למעגל המשיק הזה חותך את ציר ה- בנקודה מצא את שיעורי הנקודה הישר ישר המקביל לציר ה- ד B B 3 חותך את ציר ה- חשב את שטח הטרפז בנקודה וחותך את הישר C מן הנקודה בנקודה M העבירו D B MCBD 1 3 ג בשדה פרחים גדול יש פרחים בשלושה צבעים מן הפרחים לבנים, 1 4 מן הפרחים צהובים וכל שאר הפרחים סגולים יוסי וורד קטפו פרחים מן השדה יוסי קטף שני פרחים באקראי א מהי ההסתברות ששני הפרחים שקטף יוסי היו באותו הצבע? ב ידוע שיוסי קטף שני פרחים באותו הצבע מהי ההסתברות ששני הפרחים צהובים? ורד מכינה זרים מפרחים שהיא קוטפת באקראי מן השדה בכל זר יש 5 פרחים בדיוק )1( מהי ההסתברות שבזר אחד שו רד מכינה יהיה לפחות פרח אחד סגול? )( ורד הכינה 3 זרים מהי ההסתברות שבכל אחד מן הזרים שהכינה יש לפחות פרח אחד סגול? 3 166

181 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור ענה על אחת מבין השאלות 5-4 בציור שלפניך מתוארת המקבילית היא נקודה על במקבילית היא נקודה על הצלע נתון: FG BC FG א )1( הוכח: BC F DC )( הוכח: FG C BCD G האלכסון C D ו- F 4 FG נתון כי שטח המשולש BC הוא 0, וכי שטח המשולש הוא 5 ב חשב את היחס F C H נתון:, FG DB אלכסוני המקבילית נחתכים בנקודה BC ג הוכח: BHC המשולש חסום במעגל )ראה ציור( נתון:, C 7 B 5, BC 3 א )1( מצא את גודל הזווית CB )( מצא את רדיוס המעגל החוסם את המשולש BC BC בנקודה העבירו משיק למעגל הנקודה ששטח המשולש DB הוא 1 ב ג D נמצאת על המשיק כך מצא את אורך הצלע D מצא את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את המשולש DB ובין רדיוס המעגל החוסם את המשולש BC 5 167

182 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש ענה על שתיים מבין השאלות 8-6 נתונה הפונקציה א f () f () f () 3 f () 1 )1( מהו תחום ההגדרה של הפונקציה ()? f )( מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים )3( מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה הצירים )4( מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )אם יש כאלה( )5( סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בסוף השאלה מסורטטים ארבעה גרפים פונקציית הנגזרת, ב ג f () עם (I (IV אחד מהם הוא גרף f '() ()'? f נמק איזה מן הגרפים IV I הוא גרף פונקציית הנגזרת, a הוא פרמטר השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת 3 ועל ידי ציר ה- ו-, על ידי הישרים שווה ל- 05 מצא את a 3 a f '() 6 168

183 f () 8 נתונה הפונקציה )1( מהו תחום ההגדרה של הפונקציה ()? f א עם )( מצא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה, וקבע את )3( מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה סוגן סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ב חותך את גרף הפונקציה הישר עבור אילו ערכי ג בדיוק בשתי נקודות? סרטט סקיצה של גרף הפונקציה () - f ד f () f () f () f () k k ציר ה- 7, 4 f () לפניך גרף הפונקציה המוגדרת לכל הנקודה נמצאת על גרף הפונקציה f () 0 ברביע הראשון מן הנקודה הורידו אנכים לציר ה- ולישר 1 כך שנוצר מלבן עם ציר ה- ועם הישר, 1 כמתואר בציור א מה הם שיעורי הנקודה שבעבורה שטח המלבן הוא מינימלי? ב האם קיימת נקודה שבעבורה שטח המלבן הוא 3? נמק 8 תשובות למבחן 36 בגרות מספר תש"ף, קיץ 00, מועד ב: ד 44 ב 8 קמ"ש B(0, 10 ) 3 )3( 8 קמ"ש או 6 קמ"ש ( 8, 0) 6 v )( 5 v ( 4) ( 3) 5 א )1( א ב א ב ג )( 1 ג )1( 0934 )( הוכחה א )1( הוכחה ב ג הוכחה 4041 ב 776 ג 0984 )( 381 א )1(

184 1 או 1 או 1, 1 1 א )1(, )(,,, )3( )4( תחומי עלייה:אין, תחומי ירידה: 1 (0, ) 1 (,0) 1 (05, 0) )5( 6 a 5 ג בגרף I, (, 8) min, ( 8,0) ma )3( (0,0) )( 8 8 ( 8,0) min, א )1( (,8) ma ב 7 8 k 0 0 ג k 8 או ד א (,1) בלא 8 170

185 מבחן בגרות מספר 37 חורף תשפ"א, 01, מועד א פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות המרחק בין עיר א לעיר ב הוא ק"מ 54 שתי רוכבות אופניים, דנה והילה, יצאו זו לקראת זו באותו הזמן דנה יצאה מעיר א ורכבה לכיוון עיר ב, והילה יצאה מעיר ב ורכבה לכיוון עיר א כל אחת מהן רכבה במהירות קבועה שעה לאחר שדנה והילה יצאו לדרך, הן נפגשו לאחר הפגישה המשיכה הילה ברכיבתה לכיוון עיר א באותה המהירות שבה רכבה קודם, ודנה עצרה למשך שעה וחצי ואז המשיכה ברכיבתה לכיוון עיר ב באותה המהירות שבה רכבה קודם דנה הגיעה לעיר ב בדיוק באותו הזמן שהילה הגיעה לעיר א א מצא את מהירות הרכיבה של דנה ואת מהירות הרכיבה של הילה ב מהו היחס בין המרחק שעברה דנה מרגע הפגישה ועד שהגיעה לעיר ב ובין המרחק שעברה הילה מרגע הפגישה ועד שהגיעה לעיר א? 1 171

186 M (3,5) הנקודה (1,8) נמצאת על מעגל שמרכזו א מצא את משוואת המעגל דרך הנקודה ב מצא את משוואת המשיק B הנקודה שיעור ה- שלה גדול מ- 3 העבירו משיק למעגל )ראה ציור( נמצאת על המעגל שלה הוא ושיעור ה- ג )1( מצא את שיעור ה- של הנקודה B )( האם B הוא קוטר במעגל? נמק מן הנקודה העבירו ישר המקביל לציר ה- B וחותך את המשיק בנקודה C CB הנקודה E היא מרכז המעגל החוסם את המשולש EC ד חשב את שטח המשולש מנחם ניגש למבחן נהיגה כדי לקבל רישיון נהיגה ההסתברות שמנחם לא יעבור מבחן נהיגה אחד היא קבועה, 4 וגדולה פי מן ההסתברות שהוא יעבור אותו א מהי ההסתברות שמנחם יעבור מבחן נהיגה אחד? 3 בכל פעם שמנחם לא עובר את המבחן, הוא ניגש למבחן נוסף, עד שהוא מצליח לעבור את מבחן הנהיגהידוע שמנחם קיבל רישיון נהיגה ב )1( מהי ההסתברות שמנחם ניגש לשני מבחנים לכל היותר? )( מהי ההסתברות שמנחם ניגש למבחן שני, אם ידוע שהוא ניגש לשני מבחנים לכל היותר? 17

187 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור BC הוא קוטר במעגל שמרכזו דרך הנקודה O E העבירו משיק למעגל הנקודה ש- B EO א ב ג הוכח: הוכח: הוכח:, הנמצאת על המעגל, היא נקודה על המשיק כך )ראה ציור( EB EB 90 CEB EB = B CB 4 EBO נתון: CB 3 EB ד חשב את היחס בין שטח המשולש S EBO המשולש ( ) S ובין שטח EB EB הנקודה D נמצאת על הצלע B במשולש BC 1 כך ש- D = C )ראה ציור( 3 נתון:, CD 15 הזווית א חשב את גודל הזווית DC DC היא זווית חדה 5 נתון כי CDB הוא משולש שווה שוקיים (CD DB) ושטחו שווה ל- 40 D ב חשב את אורך הקטע CD הנקודה P היא אמצע הקטע PB ג חשב את אורך הקטע 173

188 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש = נתונה הפונקציה b b f() = 4+3 הוא פרמטר לפונקציה f() יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה היא א )1( מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )( מהו ערכו של הפרמטר f()? b 6 הצב את הערך של b שמצאת, וענה על הסעיפים ב-ג ב )1( מצא את משוואות האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה f() )( מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים )אם יש כאלה( )3( מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן f(), f() ג סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() 6 f() = 7 בסרטוט שלפניך מתואר גרף הפונקציה, המוגדרת לכל הנקודות 0 ו- B כמתואר בציור שלפניך נמצאות על גרף הפונקציה, f() = t א ב ו- = t B הבע באמצעות את t )1( בעבור איזה ערך B הגודל t B הוא מינימלי? )( הסתמך על תת סעיף ב) 1 ( וקבע בעבור איזה t ערך של אורך הקטע B הוא מינימלי נמק 174

189 לפניך סרטוטים של שני גרפים, II ו- I גרף נגזרת של פונקציה אחרת גרף נקודת החיתוך היחידה של גרף II I כל אחד מן הגרפים מתאר אינו חותך את הצירים כלל; עם הצירים היא הנקודה (0,0) לכל אחד משני הגרפים יש אסימפטוטות אנכיות שמשוואותיהן הן 8 א הסתמך על הגרפים II ו- I ובעבור כל אחד מהם מצא מה הם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה שאת הנגזרת שלה הוא מתאר g() = 4, f() = 4 נתונות שתי פונקציות: כל אחד מן הגרפים II ו- I הפונקציות האלה ב מתאר את פונקציית הנגזרת של אחת מן )1( מצא את תחום ההגדרה של כל אחת מן הפונקציות ו- )( התאם בין פונקציות הנגזרת ו- ובין הגרפים f() I g () f () g() נמק ו- II ענה על סעיף ג בעבור כל אחת מן הפונקציות f() ו- g() ג )1( מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים )( סרטט סקיצה של גרף הפונקציה 175

190 תשובות למבחן בגרות מספר 37 חורף תשפ"א, 01, מועד א: 1 36 א הילה: 18 קמ"ש, דנה: קמ"ש ב 1 )( כן B = 5 ג )1( 1 = א = 13 ( 5) ( 3) + ב ד )( א 0 ב )1( 4 א הוכחה ב הוכחה ג הוכחה ד 45 (0,0) )( 1, 3 ב )1( א ב ג b = )( 1, 3 א )1( 5 6 6) (15, מקסימום (0,0) מינימום, )3( ג 6 )( 6 ב )1( 144 B = 4 t + t 7 א, ירידה: < עלייה: > עליה: < 0, < ירידה: < < 0 I II 8 א 176

191 או : g() : f() ב )1( - גרף I g () - גרף II f () )( (0,), (,0), (,0) : f() ג )1( (,0), (,0) : g() : g() : f() )( 177

192 מבחן בגרות מספר 38 חורף תשפ"א, 01, מועד נבצרים פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות המרחק בין יישוב ליישוב רוכב אופניים יצא מיישוב הרוכב הגיע ליישוב 30 הוא B ק"מ, ורכב במהירות קבועה ליישוב B וחזר מייד ליישוב, B מהירות הרוכב בדרכו חזרה ליישוב המהירות שלו בדרכו ליישוב זמן הרכיבה בחזרה ליישוב ליישוב א B B הייתה קטנה ב- 5 קמ"ש מן היה ארוך בחצי שעה מזמן הרכיבה מצא את המהירות של רוכב האופניים בדרכו ליישוב B 1 9:00 רוכב האופניים יצא מיישוב בשעה ב באיזו שעה הגיע הרוכב לאמצע הדרך כאשר רכב מ- ל- B, ובאיזו שעה הגיע הרוכב לאמצע הדרך כאשר רכב מ- B ל-? 178

193 C הישר MB נתון מעגל שמרכזו (7,6) M חותך את המעגל בנקודה )ראה ציור(, נתון: (1,14) B MC=CB א מצא את משוואת המעגל העבירו משיק למעגל בנקודה C ב מצא את משוואת המשיק מן הנקודה הורידו אנך לציר ה- המשיק B והאנך נחתכים בנקודה D BCD ג חשב את שטח המשולש הנקודה נמצאת על האנך שהורידו מנקודה לציר ה- B E ME נתון: CD ד מצא את שיעורי הנקודה E ה הראה כי הנקודה המשולש D BME היא מרכז המעגל החוסם את 179

194 בסקר ארצי שנערך בקרב תלמידי כיתה י"א וכיתה י"ב, בדקו כמה תלמידים רוצים ללמוד מדעי המחשב על פי ממצאי הסקר, 40% מן המשתתפים רוצים ללמוד מדעי המחשב, והשאר אינם רוצים מספר התלמידים מכיתה י"א שהשתתפו בסקר היה גדול פי התלמידים מכיתה י"ב שהשתתפו בסקר ידוע כי 3 60% ממספר מתלמידי כיתה י"ב שהשתתפו בסקר רוצים ללמוד מדעי המחשב א בוחרים באקראי תלמיד שהשתתף בסקר )1( מהי ההסתברות שנבחר תלמיד כיתה י"א שרוצה ללמוד מדעי המחשב? )( ידוע שנבחר תלמיד מכיתה י"א מהי ההסתברות שהוא רוצה ללמוד מדעי המחשב? ב בוחרים באקראי 4 תלמידים שהשתתפו בסקר מהי ההסתברות שבדיוק מן התלמידים שנבחרו הם תלמידי כיתה י"א שרוצים ללמוד מדעי המחשב? 3 180

195 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור משולש המיתר BC BE המשכי המיתרים כמתואר בציור נתון: חסום במעגל חותך את הצלע בנקודה C, F D ו- BC נפגשים בנקודה, E BE= EBC= FB, EF=16 F=5 BE א )1( הוכח כי FB )( מצא את האורך של )3( מצא את האורך של ב הוכח כי B BF EC BEF ג מצא את האורך של CF 4 במשולש BC, B=5, C=7 BC=100 הנקודה א ב D נתון: נמצאת על הצלע חשב את גודל הזווית כך ש C BD=DC BC )ראה ציור( מצא את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את המשולש BD לרדיוס המעגל החוסם את המשולש BDC 5 181

196 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש נתונה הפונקציה א ב ג ד ה ו +8 f() = מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה מצא את האסימפטוטות של הפונקציה f() f() מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים )אם יש כאלה( מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה סרטט סקיצה של גרף הפונקציה נתון כי הפונקציה המאונכות לצירים f(), f() f() g() מקיימת g'() = f() g() ו- f() מוגדרות באותו תחום העבירו משיקים לגרף הפונקציה מה הם שיעורי ה- נמק g() המקבילים לציר ה- של נקודות ההשקה של המשיקים האלה? 6 18

197 , f() = g() = 3+ c 7 נתונות שתי פונקציות: c הוא פרמטר ישר משיק לגרפים של שתי הפונקציות בנקודה המשותפת לשניהם )ראה ציור( א ב ג )1( מצא את שיעורי נקודת ההשקה של שני הגרפים )( מצא את הערך של c S 1 מצא את משוואת המשיק המשותף לשני הגרפים הוא השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה על ידי המשיק המשותף ועל ידי ציר ה-, f() S הוא השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה על ידי המשיק המשותף ועל ידי ציר ה-, g() S S 1 מצא את היחס נתונה הפונקציה א ב 4 f() = 3 מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה מצא על גרף הפונקציה בשיעור ה- f() f() נקודה שהמכפלה של שיעור ה- שלה היא מינימלית, וכתוב את שיעוריה שלה 8 ג נתונה הפונקציה 4 g() = 3 היעזר בתשובותיך על סעיף א ועל סעיף ב, וסרטט סקיצה של גרף הפונקציה g() 183

198 תשובות למבחן בגרות מספר 38 חורף תשפ"א, 01, מועד נבצרים: 11:30, 9:45 א 0 קמ"ש ב בדרך הלוך בדרך חזור = א = 5 ( 6) ( 7) + ד ב ה הוכחה ג E (1,15) 7 18 ב 1 3 )( 05 3 א )1( ב הוכחה 15 ג 6 3 )3( 15 4 א )1( הוכחה )( 0539 א 304 ב 5 א ב ג ד 115) (8, מינימום ( 4,0), (,0) = 1, ה 3 = 4, ו = ב +3 = ג c = 4 )( (1,) 7 א )1( 4 (6, ) 3 א 3 ב 8 ג 184

199 מבחן בגרות מספר 39 חורף תשפ"א, 01, מועד מאוחר פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות אורי ודני יצאו באותו הזמן משתי נקודות שונות, והלכו זה לקראת זה לאורך אותו מסלול ישר מהירות ההליכה של אורי הייתה גדולה ב- 40% ממהירות ההליכה של דני אורי ודני נפגשו שעה ורבע אחרי שיצאו לדרך נסמן ב- דני א הבע באמצעות את אורך המסלול את מהירות ההליכה של 1 40 דקות אחרי שיצאו לדרך, היה המרחק בין אורי לדני 49 ב מצא את מהירות ההליכה של דני ואת מהירות ההליכה של אורי ג מה היה המרחק בין אורי לדני שעה אחרי שיצאו לדרך? ק"מ 185

200 הישר = משיק למעגל שמרכזו M בנקודה )ראה סרטוט( מרכז המעגל נמצא ברביע הראשון רדיוס המעגל הוא א 5 מצא את שיעור ה- של מרכז המעגל נתון כי המעגל עובר דרך נקודה (0,)C ב מצא את משוואת המעגל בנקודה B המשיק למעגל בנקודה C )ראה סרטוט( חותך את הישר = MBC ג מצא את שטח המרובע היא נקודה על המעגל כך ש- D הוא קוטר במעגל D D ד מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה במדינת עוץ מספר התושבים בעלי רישיון נהיגה גדול פי התושבים שאין להם רישיון נהיגה ממספר 3 א מהי ההסתברות שתושב ממדינת עוץ הוא בעל רישיון נהיגה? 3 60% נתון: מן התושבים במדינת עוץ הם מבוגרים, והשאר הם צעירים מבין התושבים המבוגרים במדינת עוץ, רישיון נהיגה 80% הם בעלי ב ג ד מהי ההסתברות שתושב מדינת עוץ הוא צעיר שאין לו רישיון נהיגה? בחרו באקראי תושב ממדינת עוץ, וידוע שהתושב הוא צעיר מהי ההסתברות שיש לו רישיון נהיגה? בחרו באקראי שבדיוק 4 תושבים ממדינת עוץ מהי ההסתברות מהם הם צעירים שיש להם רישיון נהיגה? 186

201 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור EBF בסרטוט שלפניך מתואר מעוין הנקודות BCD, E הן F אמצעי הצלעות א הוכח כי ב )1( הוכח:, B בהתאמה EBF BC EF C BC )( מצא את היחס בין שטח המשולש ג הוכח כי ובין שטח המעוין BCD BD EF 4 EF = 7, נתון: היקף המעוין הוא 3 EF ו- BD היא נקודת החיתוך של M ד )1( מצא את BM )( מצא את MD בסרטוט שלפניך מתואר משולש חד-זוויות BC BD נתון: א הוא התיכון לצלע C BD = 8, B = 15a, DB = a הבע באמצעות a את אורך הקטע D 5 5 נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש BD הוא ב a מצא את BC ג חשב את שטח המשולש 187

202 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש נתונה הפונקציה א 16 f() = )1( מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f() )( מצא את האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f() )אם יש כאלה( 6 f() ב מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f() ג מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- ד סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(), f() ה מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ציר ה- והאנך =1 נתונה הפונקציה > 0 a הוא פרמטר, f() = a 1 7 f() א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ב מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- f() ג מצא את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן )אם צריך, הבע באמצעות, f() ( a ד סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() הפונקציה משיקה לציר ה- g() = f() 3 g() ה )1( סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )( מצא את a 188

203 EFGCD 5 G בסרטוט שלפניך BCD הנקודה נמצאת על הצלע B הוא מלבן ששטחו, והנקודה CB E נמצאת על המשך הצלע המרובע הוא ריבוע, כמתואר בסרטוט EFGB, D < DC צלע הריבוע גדולה ב- 5% E DC D נתון: מ- D נסמן: א ב הבע באמצעות מצא את הערך של את ואת שעבורו היקף המצולע שנוצר הוא מינימלי 8 תשובות למבחן בגרות מספר 39 חורף תשפ"א, 01, מועד מאוחר: MD = 9 )( 1 א 3 א ב דני: 35 קמ"ש, אורי: 49 ב = 5 ( 3) ( 6) + קמ"ש ג ג יח"ר ד ק"מ = 8 BM = m = 3 ג ב א 075 א הוכחה ב) 1 ( הוכחה ד ג הוכחה ד) 1 ( a = 6058 )( א 0775a יחידות אורך ב ג יחידות שטח, אופקית: אין = 0 > 0 )( אנכית:, ירידה: < 0 (,0) 0, א) 1 ( ב עליה: ג (,0) ד ה 189

204 (8,16 a) (0,0), (1, 0) א 1 ג ב קצה מקסימום, מקסימום (1, 0) ד 7 ה )1( a = )( 5 E = 15, 5 DC = 8 א 1 = 3 3 ב 190

205 מבחן בגרות מספר 40 קיץ תשפ"א, 01, מועד א פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות 36 הדרך בין ביתו של ארז ובין ביתה של קרן היא מסלול ישר שאורכו ק"מ ביום א' בשעה, יצא כל אחד מהם מביתו ורכב על 7 : 00 אופניים במהירות קבועה לכיוון ביתו של האחר הם נפגשו בשעה 1 :8 0 ביום ב' שוב יצאו ארז וקרן מביתם ורכבו על אופניים זה לכיוונו של זה ארז יצא מביתו בשעה מביתה בשעה 7 : 00 7 : 45 ביום א' בזמן שנפגשו היה ארז במרחק ואילו קרן יצאה כל אחד מהם רכב באותה מהירות שבה רכב 1 ק"מ מביתו מצא את מהירות הרכיבה של ארז ואת מהירות הרכיבה קרן א באיזו שעה הם נפגשו ביום ב'? נמק ב ג באיזו שעה ביום ב' היה המרחק בין ארז לבין קרן לפני שהם נפגשו? נמק 135 ק"מ 191

206 המרובע הנקודה BCD B נפגשים בנקודה E המתואר בציור שלפניך הוא מעוין נמצאת ברביע הראשון אלכסוני המעוין הנמצאת על ציר ה- BD שיפוע הישר ; C נתון (4,0) הוא א )1( מצא את שיעורי הנקודה )( מצא את משוואת הישר E BD 15 נתון: שטח המשולש BEC הוא EB ב )1( מצא את אורך הקטע BE )( מצא את שיעורי הנקודה B ג מצא את משוואת המעגל החוסם את המשולש בקופסה יש נתון: 0 40% כדורים בשלושה צבעים בלבד: אדום, לבן ושחור מן הכדורים שבקופסה אדומים מספר הכדורים השחורים בקופסה גדול פי 3 ממספר הכדורים הלבנים בקופסה א מהי ההסתברות להוציא מן הקופסה באקראי כדור לבן? ב הוציאו באקראי כדור מן הקופסה, החזירו אותו והוציאו שוב באקראי כדור מן הקופסה מהי ההסתברות ששני הכדורים שהוציאו הם באותו צבע? ג מתוך הקופסה שבה 0 הכדורים הוציאו באקראי בזה אחר זה שני כדורים ללא החזרה )1( מהי ההסתברות ששני הכדורים שהוציאו הם באותו צבע? )( אם ידוע ששני הכדורים שהוציאו הם בצבעים שונים, מהי ההסתברות שהכדור הראשון שהוציאו הוא לבן? 3 19

207 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור E המרובע BCD נמצאות על הצלע הוא מלבן הנקודות, כמתואר בציור ו- F נחתכים בנקודה M MD BC הקטעים E ו- DF א הוכח: EMF 4 נתון: E = DF ב הוכח: BF = EC D = 10, נתון: = 3 FB DF DM ג חשב את היחס:, BCD כמתואר בציור BD = 8, D = 3a DBC, B = a, נתונה מקבילית נתון: 68 BC = א a ב מצא את חשב את זוויות המשולש 5, DC הנקודה E כמתואר בציור נמצאת על המשך הצלע 356 נתון: שטח המשולש BED הוא ג מצא את אורך הקטע CE 193

208 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש k 1 k נתונה הפונקציה + = f() נתון כי לפונקציה א f() מצא את הפרמטר הוא פרמטר יש נקודת קיצון בנקודה שבה = 3 k 6 f() הצב = 9 k בפונקציה וענה על הסעיפים ב-ג ב )1( מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )( מצא את האסימפטוטות של הפונקציה לצירים f() f() )3( מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן )4( סרטט סקיצה של גרף הפונקציה המאונכות, f() f() נתונה הפונקציה: () g() = f g() ג אחד מן הגרפים IV-I שלפניך מתאר את גרף הפונקציה קבע איזה, ונמק את קביעתך 194

209 נתונה הפונקציה: א ב ג ד f() = ( + +1) ( 1) המוגדרת לכל מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה הצירים מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(), f() f() חשב את השטח הנמצא ברביע השלישי מוגבל על ידי גרף הפונקציה f(), על ידי ציר ה- ועל ידי ציר ה- עם 7 נתונה הפונקציה נסמן ב- S הפונקציה לציר ה- ה g() = f() 4 את השטח הנמצא ברביע השלישי ומוגבל על ידי גרף g(), על ידי ציר ה-, על ידי ציר ה- העובר דרך נקודת המקסימום של הפונקציה בכמה גדול השטח S ועל ידי האנך מן השטח שחישבת בסעיף ד? נמק f() f() = נתונה הפונקציה 9 3 א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה 8 גרף הפונקציה בנקודה f() ואת ציר ה- חותך את ציר ה- בנקודה C הנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון )ראה ציור( הנקודה נסמן ב- ב ג O t את שיעור ה- היא ראשית הצירים של הנקודה C t הבע באמצעות את שטח המשולש OC ואת שטח המשולש BOC )1( מצא בעבור איזה ערך של סכום שטחי המשולשים הוא מקסימלי )( מצא את הסכום המקסימלי של שטחי המשולשים t 195

210 תשובות למבחן בגרות מספר 40 קיץ תשפ"א, 01, מועד א: 8 :15 א ארז - 1 קמ"ש, קרן - 15 קמ"ש ב 8: 45 ג B(3, 8) )( = ב )1( )( E(0, ) א )1( )( 1 (+ ) + ( 6) = ג ב א ג) 1 ( 3 = 0, 6, 4 564, 7 5 א הוכחה ב הוכחה ג 1536, 11 א = 8 a א ב ב) 1 ( ג )( 6, k = (0,1) מקסימום 3,4) ( מינימום, )3( )4( ג IV 1,0) ( מקסימום 1) (0, מינימום, (0, 1), ( 1,0) 1, (,0) א ג ב 7 196

211 S = 3 9 3t BOC, S 1 ד א ה OC )( 3 = 3t 5 ב ג) 1 ( 8 197

212 מבחן בגרות מספר 41 קיץ תשפ"א, 01, מועד מיוחד פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות 80 ביום ראשון יצאו שתי רכבות מאותו מקום, בשעה 14, : 00 ונסעו באותו המסלול רכבת א נסעה ללא עצירות במהירות קבועה של קמ"ש רכבת ב נסעה במהירות קבועה של 10 קמ"ש ועצרה בדרכה בתחנה אחת למשך 1 דקות זמן-מה לאחר שיצאה רכבת ב מן התחנה שעצרה בה בדרכה, היא חלפה על פני רכבת א א באיזו שעה חלפה רכבת ב על פני רכבת א? 1 גם ביום שני יצאו שתי הרכבות מאותו המקום ובאותה השעה ביום זה, רכבת א הגבירה את מהירותה ב- קמ"ש לעומת יום ראשון ונסעה ללא עצירות, ואילו רכבת ב הפחיתה את מהירותה ב- קמ"ש לעומת יום ראשון ביום שני, רכבת ב עצרה בדרכה בתחנה אחת למשך 6 חלפה על פני רכבת א, במרחק של שתי הרכבות ב מצא את דקות, וזמן-מה לאחר שהמשיכה בדרכה 90 ק"מ ממקום היציאה של 198

213 בסרטוט שלפניך מתואר משולש נתון: הקודקוד והקודקוד BD B משוואת הצלע א נמצא על ציר ה- נמצא על ציר ה- היא B מצא את אורך הצלע 1 = + 4 B נתון: B = D הקודקוד D נמצא ברביע הראשון, ושיעור ה- שלו הוא D ב )1( מצא את שיעור ה- )( הוכח כי D מאונך ל- B של הקודקוד דרך נקודה העבירו ישר המקביל לצלע B D E הישר חותך את ציר ה- בנקודה ג מצא את משוואת המעגל החוסם את המשולש ED הנקודה F נתון כי נמצאת על המעגל שאת משוואתו מצאת בסעיף ג DF הוא קוטר במעגל F ד מצא את שיעורי הנקודה 199

214 בשקית סוכריות יש סוכריות בטעם לימון, וכל שאר הסוכריות בשקית הן בטעם תות הוציאו באקראי מן השקית שתי סוכריות בזו אחר זו ללא החזרה ההסתברות ששתי הסוכריות שהוציאו מן 3 השקית הן בטעם לימון היא א ב ג כמה סוכריות יש בשקית סך הכול? מהי ההסתברות ששתי הסוכריות שהוציאו מן השקית הן בטעמים שונים? )1( מהי ההסתברות שהוציאו לפחות סוכרייה אחת בטעם תות? )( אם ידוע שהוציאו לפחות סוכרייה אחת בטעם תות, מהי ההסתברות ששתי הסוכריות שהוציאו הן בטעמים שונים? החזירו את כל הסוכריות לשקית והוציאו מן השקית באקראי שלוש סוכריות בזו אחר זו ללא החזרה ד מהי ההסתברות שכל שלוש הסוכריות שהוציאו הן באותו הטעם? 00

215 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור בציור שלפניך מתואר מעגל הנקודות הנקודה הקטעים הקטעים נתון: א ב, B, D, F E נמצאת על המיתר, נמצאות על המעגל DF BF ו- E נחתכים בנקודה C BF ו- D נחתכים בנקודה G B = C הוכח: הוכח: BG = GB ECF FEC 4 נתון: G הוא חוצה זווית BC ג הוכח CEF = 90 EF = 8, CE = 6, נתון: = 5 BG C ד מצא את אורך הקטע המשולש שוקיים נתון: א BC, C = CB = 8 מצא את גודל הזווית בציור שלפניך הוא שווה B =1 BC 5 C הנקודה F היא אמצע הצלע דרך הנקודה F העבירו ישר החותך את הצלע E בנקודה B נתון: שטח המשולש EF שווה ל- 10 E ב מצא את אורך הצלע ECB ג חשב את גודל הזווית EBCF ד חשב את שטח המרובע 01

216 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש נתונה הפונקציה א ב ג ד a 3 f() = + a 4+3 מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה הוא פרמטר f() מצא את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f() )אם יש צורך, הבע באמצעות מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן )אם יש צורך, הבע באמצעות, ) f() a ) a מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f() 6 נתון: האסימפטוטה האופקית של הפונקציה f() נמצאת מתחת a לציר ה- ה בחר ערך מסוים של שמתאים לנתון נמק את בחירתך a הצב בפונקציה f() את שבחרת וענה על סעיפים ו-ז ו סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() ז מצא את משוואת הישר המקביל לציר ה- הפונקציה f() בנקודה אחת בלבד )מצא את וחותך את גרף 3 האפשרויות( 0

217 נתונה הפונקציה א ב ג ד ה ו f() = מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f() מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f() מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים )בתשובותיך תוכל להשאיר הנקודה העשרונית( סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() f() ספרות אחרי אחד מבין הגרפים IV-I שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת f () קבע איזה מהם, ונמק את קביעתך מצא את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת על ידי הישר, f () = 4 ועל ידי הצירים תוכל להשאיר שורש בתשובתך 7 03

218 3 בציור שלפניך ריבוע ומלבן נתון: אורך המלבן גדול פי מרוחב המלבן סכום ההיקפים של הריבוע והמלבן הוא a נסמן את רוחב המלבן ב- ו- a א ב הבע באמצעות מצא את הערך של את אורך צלע הריבוע שבעבורו סכום השטחים של הריבוע ) a ג והמלבן הוא מינימלי )הבע באמצעות נתון כי סכום השטחים של הריבוע והמלבן הוא מינימלי כאשר אורך צלע הריבוע הוא 3 מצא את a 8 תשובות למבחן בגרות מספר 41 קיץ תשפ"א, 01, מועד מיוחד: 10 קמ"ש א 14 : 36 ב 1 F(, 5) 89 + ( 65) = א 68 ב) 1 ( )( הוכחה ג ד )( א 18 סוכריות ב ג) 1 ( ד א הוכחה ב הוכחה ג הוכחה ד א 4141 ג ב ד 5 = 3+ a, 1, 3 1, א 3 ב 6 (0,a) (15, a מקסימום, ג (9 מינימום < 0 3 < ד עליה: < 15 < 1 או <1 < 0 ירידה: או < 3 < 15 או a 3 ה למשל a = 4 או עבור כל: ו = 1, = 4, ז = 13 04

219 , ירידה: < > 8 8 א ג או ב עליה: ( 0831, 0), (10831, 0), (0, 1) ד ה גרף III ו 8 a 14 a א 4 ג ב 8 05

220 מבחן בגרות מספר 4 קיץ תשפ"א, 01, מועד ב פרק ראשון אלגברה, גאומטריה אנליטית, הסתברות ביום רגיל רכבת נוסעת במסלול באורך 300 ק"מ במהירות קבועה יום אחד הרכבת נסעה לאורך המסלול כולו במהירות הגדולה ב- 5% ממהירותה ביום רגיל, ולכן זמן הנסיעה שלה התקצר בחצי שעה בהשוואה לזמן נסיעתה ביום רגיל א מצא את מהירות הרכבת ביום רגיל ואת זמן הנסיעה שלה ביום רגיל 1 ביום אחר, לאחר שהרכבת נסעה במשך t דקות במהירות שלה ביום רגיל, היא נאלצה להוריד את מהירותה ב- 10 קמ"ש, והמשיכה לנסוע במהירות הנמוכה עד שהגיעה לסוף המסלול ביום זה זמן הנסיעה של הרכבת התארך ב- 10 לזמן נסיעתה ביום רגיל דקות בהשוואה ב t מצא את 06

221 נתון מרובע הקודקוד והקודקוד BCD B מונח על החלק החיובי של ציר ה- מונח על ציר ה- הנקודה M כך שהישר DM נתון: שיעור ה- משוואת א נמצאת על הצלע הצלע BC מקביל לציר ה- של הנקודה M )ראה סרטוט( הוא 6 היא: BC מצא את שיעורי הנקודות 1 = M ו- B נתון: B = BM ב מצא את שיעורי הנקודה D D נתון כי מאונך ל- B ג מצא את שיעורי הנקודה MDC BC נתון כי מאונך ל- CD ד מצא את משוואת המעגל החוסם את המשולש 07

222 בעיר מסוימת נערך סקר כדי לבדוק את מספר התושבים בעיר שרוכבים על אופניים המשתתפים בסקר חולקו לשתי קבוצות: מבוגרים וצעירים נסמן ב- הסקר בסקר נמצא: את ההסתברות לבחור באקראי צעיר מבין משתתפי 80% מן הצעירים רוכבים על אופניים מספר הצעירים הרוכבים על אופניים גדול פי המבוגרים שאינם רוכבים על אופניים ממספר 4 נתון כי ההסתברות לבחור באקראי משתתף בסקר שאיננו רוכב על אופניים א מצא את 01 3 בחרו באקראי משתתף בסקר ב ג ד אם ידוע שנבחר מבוגר, מהי ההסתברות שהוא רוכב על אופניים? מהי ההסתברות שהמשתתף שנבחר הוא צעיר או שהוא רוכב על אופניים? נתון כי בסקר השתתפו 3,850 כמה אנשים סך הכול השתתפו בסקר? מבוגרים שרוכבים על אופניים 08

223 פרק שני גאומטריה וטריגונומטריה במישור נתון מעגל המיתרים נחתכים בנקודה BD ו- C )ראה סרטוט( FB F א הוכח: DFC 4 נתון: DB = DCB ב הוכח: BD הוא קוטר במעגל, F = 3, נתון: FC 18 BF DF BF רדיוס המעגל שווה ל- 5 ג מצא את אורך הקטע G נתון: נקודה E היא אמצע הקטע, ונקודה היא אמצע F EG הקטע ד DC 10 FB מצא את אורך הקטע נתון משולש BC )ראה סרטוט( C נתון: =, 10 BC = BC 3 א חשב את גודל הזווית BC 5 BC נתון: ב D BC =1 חשב את אורך הקטע הוא התיכון לצלע במשולש D G D הנקודה F נמצאת באמצע הקטע והנקודה נמצאת על הצלע B נתון: שטח המשולש GF ג חשב את אורך הקטע שווה ל- G 09

224 פרק שלישי חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש נתונה הפונקציה א ב ג = f() a > 0 הוא פרמטר 6 a 3 )1( מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f() )( רשום את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים מצא את שיעור ה- וקבע את סוגה של נקודת הקיצון של הפונקציה מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה, f() f() f() 6 נתון: שיעור ה- ד ה ו מצא את של נקודת הקיצון של הפונקציה הוא 1 4 a )1( סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() )( סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת, f () חשב את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת על ידי ציר ה- ועל ידי הישר, f () 10

225 f() היא פונקציה שגרף פונקציית הנגזרת שלה בסרטוט שלפניך הגרף חותך את ציר ה- ובנקודה שבה בראשית הצירים f () = a a א הוא פרמטר חיובי בלבד מצא את שיעורי ה- של הפונקציה f() )אם יש צורך, הבע באמצעות a של נקודות הקיצון הפנימיות, וקבע את סוגן על פי הגרף ( נמק את תשובתך מתואר 7 נתון: f() = 5 f() ב ג ד ה מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה מצא את a מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() g() = נתונה הפונקציה 3f() g() ו מצא את המשוואות של המשיקים לגרף הפונקציה שהשיפוע שלהם הוא 0 11