פתרון גליון עבודה מס. 1 במכניקה המחלקה למתמטיקה, אביב תשע ו 1. נתונים שני וקטורים במישור :xy האחד בגודל a בזוית θ 1 ביחס לכוון החיובי של ציר x נגד כוון השעון והשני בגודל b בזוית θ 2 באותה מגמה. השתמש במכפלה סקלרית כדי להוכיח את הנוסחה הטריגונומטרית cos(θ 2 θ 1 ) = cosθ 1 cosθ 2 + sinθ 1 sinθ 2 פרוק לרכיבים של הוקטורים נותן a = {acosθ 1,asinθ 1,0} b = {bcosθ2,bsinθ 2,0} a b = abcosθ 1 cosθ 2 +absinθ 1 sinθ 2 ולכן מאידך,הזויתביניהםהיא θ 2 θ 1 ולכן a b = abcos(θ 2 θ 1 ) השוואה בין שני הביטויים תתן את התוצאה המבוקשת.
2.2 נתון הוקטור ) z. a = (a x,a y,a הזויות α y,α x ו α z הן הזויות שהוא יוצר עם הצירים בהתאמה. cos 2 α x + cos 2 α y + cos 2 α z = 1 הוכח כי a ˆx = a x a ˆx = a ˆx cosα x = a 1 cosα x = acosα x = cosα x = a x a cos 2 α x + cos 2 α y + cos 2 α z = a2 x +a 2 y +a 2 z a 2 = 1 מאידך בדומהגםעבוררכיביy ו z. לכן
3 3. נתון הוקטור a. = a xˆx+a y ŷ+a z ẑ סובבו את מערכת הצירים בזוית θ נגד כוון השעון סביב ציר z כמשורטט להלן: y y 1 y 1 x 1 θ x 1 x (א) הראה כי רכיביו החדשים של הוקטור הם a x = a x cosθ+a y sinθ a y = a x sinθ +a y cosθ a z = a z a 2 x +a2 y +a2 z = a 2 x +a 2 y +a 2 z (ב) הוכח כי (א) ישמספרדרכיםלפתרון. נביאשתיםמהן: קללראותכיוקטוריהיחידההחדשיםמבוטאיםבאמצעותהשנים הישנים בצורה ˆx = cosθˆx+ sinθŷ ŷ = sinθˆx+ cosθŷ
4 והקשרההפוך(שגםאותוקללראות)הוא ˆx = cosθˆx sinθŷ ŷ = sinθˆx + cosθŷ הצבה וכינוס איברים יתנו את התוצאה המבוקשת. דרךאחרתמבוססתעלהעקרוןהבא: a x = a ˆx וגםa ŷ = aודברדומהבמערכתהחדשה. y כמו כן,תוכל ˆx ˆx = cosθ ˆx ŷ = cos(θ+90 ) = sinθ ŷ ˆx = cos(90 θ) = sinθ ŷ ŷ = cosθ לראות בעצמך כי לכן, a x = a ˆx = (a xˆx+a y ŷ) ˆx = a xˆx ˆx +a y ŷ ˆx = a x cosθ +a y sinθ ובאופן דומה גם לגבי ציר y. לסכום,קבלנו את נוסחת הטרנספורמציה a x a y = a x cosθ+a y sinθ = a x sinθ+a y cosθ (ב) a 2 x +a 2 y +a 2 z = (a x cosθ +a y sinθ) 2 +( a x sinθ +a y cosθ) 2 +a 2 z פתיחת סוגריים תפתור את הבעיה כלאחר יד.
5 4. נתונים הוקטורים a = 2ˆx+3ŷ 2ẑ b = 2ˆx 3ŷ +2ẑ (א) מצא את הזוית בין כל וקטור לבין כל אחד משלשת הצירים. חשב את סכום רבועי קוסינוסי הכוון. (ב) סובבו אתהמערכתסביב ציר z בזויתשל 45 נגדכווןהשעון. מצא, תוךשמושבטרנספורמציה שבשאלה השניה, את רכיבי הוקטורים במערכת החדשה. (ג) חשב את המכפלה הסקלרית של שני הוקטורים לפני הטרנספורמציה ולאחריה. 2 2 +3 2 +( 2) 2 = 4.1 (א)הערךהמוחלטשלהוקטורהוא קוסינוסי הכוון של הוקטור הראשון הם,לכן, cosα x = 2 4.1 = 0.487 cosα y = 3 4.1 = 0.73 cosα x = 2 4.1 = 0.487 וכךניתןלמצואגםאתאלושלהשני. במה שנוגע לרכיבים לאחר הטרנספורמציה: 2 2 a x = a xcos45 +a y sin45 = 2 2 +3 2 = 3.53 2 2 a y = a xsin45 +a y cos45 = 2 2 +3 2 = 0.71 a z = a z = 2 2 2 b x = b x cos45 +b y sin45 = 2 2 3 2 = 0.71 2 2 b y = b x sin45 +b y cos45 = 2 2 3 2 = 3.53 b z = b z = 2 וכמו כן,
6 המכפלה הסקלרית לפני הטרנספורמציה: 2 2+3 ( 3)+( 2) 2 = 9 ולאחריה כצפוי,ערך המכפלה הסקלרית נשמר. 3.53 ( 0.71)+0.71 ( 3.53)+( 2) 2 = 9
7 5. מקום על כדור הארץ מתואר ע י קו רוחב δ וקו אורך α. קו רוחב צפוני הוא חיובי וקו רוחב דרומי הוא שלילי. קו אורך מזרחי הוא חיובי וקו אורך מערבי הוא שלילי. δ (א) בחר מערכת קרטזית שציר כדור הארץ הוא ציר z. מישור xy הוא מישור קו המשוה. הראה כי קואורדינטת z נתונה ע י z = Rsinδ R הוא רדיוס כדור הארץ. (ב) נבחר את ציר x במישור קו המשוה כך שהוא פונה לקו אורך 0. הראה כי קואורדינטות x ו y הן בהתאמה x = Rcosδcosα y = Rcosδsinα (ג) שני מקומות על פני כדור הארץ נמצאים בקוי רוחב δ 1 ו δ 2 בהתאמה ובקוי אורך α 1 ו α 2 בהתאמה. השתמש במכפלה סקלרית כדי להראות כי הזוית θ של הקשת המחברת את שני המקומות מקיימת cosθ = sinδ 1 sinδ 2 + cosδ 1 cosδ 2 cos(α 2 α 1 )
8 (ד) כרמיאל נמצאת בקו רוחב 33 צפון וקו אורך 10 35 מזרח. לונדון נמצאת בקו רוחב 51 צפון וקו אורך 0. רדיוס כדור הארץ הוא 6300 ק מ. מהו המרחק בין כרמיאל ולונדון בקו אוירי? א. הדברנראהבשרטוטהבא: δ רואיםכיהטלהרדיוס וקטורעלצירכדורהארץ,שהואצירz,הואמקוםעלכדורהארץמתוארע יקורוחבδ וקו אורךα. קורוחבצפוניהוא z = Rsinδ ב. הטלהרדיוס וקטורעלמישורקוהמשוההואלכן.Rcosδ נוכללשרטטקואורדינטותקטביותעלמישורקו המשוהכאשרקוהאורךהואהזוית. בהתאםנקבלכיקואורדינטותx ו y נתונותבהתאמהע י x = Rcosδcosα y = Rcosδsinα
9 sinδ α ג. לאורזאת,וקטורהיחידהשלנקודהבקורוחבδ וקואורךα הוא ˆr = cosδcosαˆx+ cosδsinαŷ + sinδẑ הזוית בין שני רדיוס וקטורים היא המכפלה הסקלרית של שני וקטורי היחידה המתאימים,דהיינו cosθ = cosδ 1 cosα 1 cosδ 2 cosα 2 + cosδ 1 sinα 1 cosδ 2 sinα 2 + sinδ 1 sinδ 2 = cosδ 1 cosδ 2 (cosα 1 cosα 2 + sinα 1 sinα 2 )+ sinδ 1 sinδ 2 שימוש בנוסחה טריגונומטרית סטנדרטית נותן cosθ = sinδ 1 sinδ 2 + cosδ 1 cosδ 2 cos(α 2 α 1 ) ד. לאורזאת cosθ = sin33 sin51 + cos33 cos51 cos35 10 = 0.5446 0.7771+0.8387 0.6293 0.8175 = 0.4233+0.4315 = 0.8548 θ = 31 16 = 0.5456rad לכן לכןאורךהקשתהוא 3400 ק מ= 0.5456 6300
10 6. בהרצאה בכימיה: המרצההתיחסה לאתנול, שרותח בטמפרטורה שלC 63. אחת הסטודנטיותתקנה אותה: אתנול רותח ב C 78 והמרצה הגיבה: סליחה, את צודקת, C 63 זו טמפרטורת הרתיחה של מתנול. לקראת ההרצאה הבאה איש כבר לא זכר את המקרה. בהרצאהבפיסיקה: המרצההזכיררתיחהשלמיםואמרשזהקורהבטמפרטורהשלC 90. סטודנטית הגיבה: C 100. המרצה אמר: סליחה את צודקת 90 זה זוית ישרה. הסטודנטים הבינו שהפעם זו היתה בדיחה. מה ההבדל בין שני המקרים? טמפרטורה וזוית נמדדות ביחידות שונות לגמרי לכן ההשוואה במקרה השני היא אבסורד. במקרה הראשון זו סתם טעות בנאלית.
11 7. הסבר מהי הומוגניות במרחב ומהי הומוגניות בזמן. הומוגניות במרחב: תוצאות של ניסוי (כמובן,כשכל התנאים זהים)אינן תלויות במקום במרחב שבו הוא בוצע. הומוגניות בזמן: תוצאותשלניסוי(כמובן,כשכלהתנאיםזהים)אינןתלויותבזמןשבוהואבוצע.
12 8. (א) האם המספר 3.14159265358 שוה π? i. כאשר זוהי שאלה במתמטיקה..ii כאשר זו שאלה בפיסיקה, כימיה או בכל מדע אחר. (ב) אורך המרצפת הוא 20 ס מ. מאחר שהיא ריבועית אורך האלכסון הוא 2 20 דהיינו 28.284271247461900976 ס מ. זהו דיוק שהוא בחמישה סדרי גודל פחות מגודל גרעין האטום. ברור שאי אפשר להגיע לדיוק כזה. מהיכן הופיעו ספרות שהן לא נכונות אף על פי שהנתונים והנוסחאות היו נכונים? (א) המספר 3.14159265358: i. כאשרזוהישאלהבמתמטיקהאינושוהπ. התשובההיאלא. המספרπאינוניתןלהצגהעשרוניתמדויקת..ii כאשרזושאלהבפיסיקה,כימיהאובכלמדעאחרהתשובהלרובכן,כיהנתוניםבבעיותבמדעיםהשונים הםתוצאהשלמדידותולרובלאמגיעיםלדרגהכזושלדיוק. (ב) ההנחה שאורך המרצפת היא 20 ס מ היא בדיוק מוגבל. איש אינו טוען שהוא בדיוק 20.000000000000000000 ס מ. לא ברור שכל הצלעות שוות זו לזו בדיוק כזה וגם לא שהזוית היא 90.000000000000000000. שינויקלבנתוניםאלו,בגבולותדיוקהמדידה,ישנהאתכלזנבהספרותבתוצאהולכןספרותאלההןחסרות משמעות.
13 9. הסבר מהו חלקיק ומה ההבדל בינו לבין גוף שאינו חלקיק. חלקיקהואגוףשגדלוהואפחותמןהדיוקשבומקומוידועוניתןלכןלהתיחסאליוכאלנקודה.
14 10. שני חלקיקים נעים לאורך הכוונים החיוביים של צירי x וy במהירויות של 2 מ ש ו 3 מ ש בהתאמה. ברגע x 1 = 3 y 1 = 0 z 1 = 0 x 2 = 0 y 2 = 3 z 2 = 0 = 0 t הם בנקודות (א) מצא את הרדיוס וקטור של כל אחד מהם כתלות בזמן. (ב) מצא את הרדיוס וקטור של החלקיק השני יחסית לראשון כתלות בזמן. (ג) מתי יהיה המרחק ביניהם מינימלי? (א) הקואורדינטות של החלקיק הראשון הן x 1 (t) = 3+2t y 1 (t) = 0 z 1 (t) = 0 ושל השני x 2 (t) = 0 y 1 (t) = 3+3t z 1 (t) = 0 r 21 = r 21 = (3 2t, 3+3t, 0) (ב) לכן,מקומושלהחלקיקהשנייחסיתלראשוןהוא (3 2t) 2 +( 3+3t) 2 +0 2 = 13t 2 30t+18 והמרחק ביניהם הוא (ג) ערכוהמינימלייהיהכאשרנגזרתהפונקציהלפיהזמןהיאאפס. אלאשכאשרהמרחקהואמינימלי,גםרבוע המרחקהואמינימליוישלומרזאת,כירבועהמרחקהואפונקציהשקליותרלגזורוכךמקבלים 1.15 ש= 26t 30 = 0 = t
15 11. חלקיק A נע לאורך הקו הישר 30 מ = y במהירות קבועה xˆ3 מ ש = A v ; חלקיק אחר B מתחיל לנוע ממנוחה בראשית, בתאוצה קבועה, שגודלה 0.4 מ ש 2 = B a. החלקיק B מתחיל לנוע באותו הרגע ש A עובר דרך הציר y. מה צריכה להיות הזווית בין a B והציר y כדי ששני החלקיקים יתנגשו? ערכיx שלשניהחלקיקיםהיושויםבהתחלה. החלקיקA עברעדלהתנגשותמרחק 3t v. A t = החלקיקB עבר מרחקשל 1 2 a xt 2 אוsinθ 1 2 0.4t2 טבעיששניהמרחקיםשויםולכן 3t = 0.2t 2 sinθ מאידך,בכווןצירy עברהחלקיקB מרחקשל 30 מטרולכן 1 2 a yt 2 = 0.2t 2 cosθ = 30 לסיכום,קבלנו שתי משוואות בשני נעלמים: 0.2t 2 sinθ = 3t 0.2t 2 cosθ = 30 0.04t 4 = 9t 2 +900 כדי לפתרן,נעלה אותן ברבוע ונחבר: זו משוואה דו רבועית: 0.04t 4 9t 2 900 = 0 = t 2 = 112.5+ 112.5 2 +22500 = 300 (מאחרשזהורבוע, מובןשרקלשורשהחיוביישמשמעות). הצבהבאחתהמשוואותתתן 30 =.60cosθ לכן,.θ = 60
16 B 12. מסתכלים על להקת ציפורים רחוקה הנמצאת באותו רגע בנקודה A ונראית כגוש קטן. יש שיטה למדוד את מהירות התרחקותה או התקרבותה אלינו (שהיא הרכיב הרדיאלי של המהירות רכיב המהירות בכיוון וקטור המקום) והיא מעידה שהקבוצה מתרחקת מאתנו ברגע זה במהירות v. r לאור התרחקותה, הלהקה נראית לנו קטנה יותר ויותר עם הזמן ולכן אפשר להניח שהנקודה שאליה עפות הצפורים נמצאת במרחק אינסופי. יש למהירות גם רכיב ניצב לרדיוס וקטור שלה יחסית אלינו. אנו רואים שכל הציפורים נעות לאורך קוים ישרים שנחתכים בנקודה אחת (בשרטוט B ). θ2 A θ1 צופה (א) אותה נקודת התכנסות, נקודה B, נראית לנו במרחק זוויתי θ 1 מלהקת הציפורים כפי שהיא בנקודה A. זווית θ 2 היא הזווית בין כיוון תנועת הציפורים ווקטור המקום של נקודה A (ראו שרטוט) ההנחה היא שהזוית θ 2 שווה בקרוב ל θ. 1 על מה הנחה זו מבוססת? (ב) הזוית θ 1 נמדדה. לאור ההנחה ב א, ולאור המדידה של מהירות ההתרחקות v, r מה רכיב המהירות שניצב לרדיוס וקטור (כלומר, ניצב לוקטור המקום)? (ג) הכוון שבו הלהקה נמצאת יחסית אלינו נראה לנו משתנה בקצב של ω רדיאנים בשניה. לאור התוצאה של ב, מה מרחקה מאתנו? (התיחס בכל חישוביך ללהקה כולה כגוף נקודתי(. (ד) בפועל, המדובר לא בלהקת צפורים, אלא בקבוצת כוכבים רחוקה. הערכים הם: מהירות ההתרחקות v r היא 14.5 קילומטר בשניה ) 4 1.45 10 ש מ,( הזוית θ 1 היא 45 והמהירות הזויתית ω היא 10 3 6 מעלות בשנה (להזכירך, בשנה 365 ימים, ביום 24 שעות, ובשעה 3600 שניות). מה מרחק הקבוצה מאתנו במטרים וכמה שנים נדרשות לקרן אור לעבור אותו אם היא עושה את הדרך במהירות של 10 3 8 ש מ מטרים בשניה?
17 (ב) (א) בשלמרחקההאינסופישלB הקויםמקביליםוהזויות θ 1 ו θ 2 מתאימותולכןשוות. v r = v r tgθ v r = ωr (ג) r = v r ω = v r ω tgθ 1 ולכן ω = 3 10 6 365 24 3600 (ד) מאחרשמדוברבמספריםגדוליםמאד,לאנעשהאתהחישובעדשהביטוייורכבבמלואו. π לכן 180 r = 1.45 104 365 24 3600 180 3 10 6 π tg45 r = הזמן(בשנים)שנדרשלקרןאורלעבוראתזההוא 1.45 10 4 365 24 3600 3 10 6 3 10 8 365 24 3600 180 π 1 r = 1.45 10 4 3 10 6 3 10 180 8 π = 920 וצמצום לפני החישוב יקצר את הדרך: קרןהאורתעשהאתהמרחקב 920 שנה.
18 13. (א) גוף מרוחק מכדור הארץ מרחק של מיליארד קילומטר. הוא נע בחלל במהירות שרכיבה הניצב לרדיוס וקטור שלו היא 15 קילומטר בשניה. כמה שניות קשת אנחנו רואים אותו עושה בשניה על כיפת השמים? (ב) כמה זמן נדרש עד שרואים אותו זז על פני כיפת השמים במעלה אחת (לערך כפליים הרדיוס הנראה של הירח או השמש)? בטא את הזמן בימים, חדשים או שנים כדי לקבל את המספר הנוח ביותר. (ג) כמה זמן נדרש לקרן אור (מהירות: שלש מאות אלף קילומטר בשניה) לעבור את המרחק ממנו אלינו? (ד) גוף אחר מרוחק מאתנו מרחק שלקרן אור נדרשות 50 שנה כדי לעבור אותו. הוא נע באותה מהירות כמו הגוף הקודם. כמה זמן ידרש עד שנראה אותו זז במעלה אחת? (ה) מדוע מכונית הנוסעת בכביש שהוא רחוק מאתנו נראית זוחלת באיטיות וקטנה כמו נמלה, בניגוד למכונית הנוסעת בכביש קרוב? (א) המהירות הזויתית ברדיאנים לשניה היא לכן המהירות בשניות קשת לשניה היא ω = v R = 15 1.5 10 ש 8 = 1 9 10 1.5 10 8 180 π 3600 3 10 3 (ב) הזמןהנדרשלעבורמעלה( 3600 שניותקשת)הוא 3600 לערךשבועיים. 1.2 106 ש= 10 3 3 T = 109 קרובלשעה. 3300 ש= 300000 (ג)
19 (ד) איןצורךלחזורעלהחישוב. יחסהמרחקיםהואיחסהזמניםשלמעברהאור,דהיינו 4.3 10 5 = 50 365 24 ישלכפולאתהתוצאהשלסעיףא במספרזה. התוצאההיאלערךשמונהעשראלףשנה. (ה) מאותה הסיבה בדיוק. מרחק גדול ומהירות דומה פרושם מהירות זויתית נמוכה.