5( יח ל, )807

תמליל

1 5( יח ל )807

2 הקדמה מורים ותלמידים יקרים אנו שמחים להגיש לכם חוברת הכנה לקראת הבגרות במתמטיקה לשאלון )5 58 יחידות לימוד( בחוברת תמצאו את 4 מבחני הבגרות שנערכו עד היום בשאלון 58 )מועדי חורף וקיץ( עד וכולל מועד ב' קיץ 0 מה מיוחד בחוברת זו? לכל השאלות בחוברת קיימים סרטוני וידאו הכוללים פתרונות מלאים באתר mgevacoil כיצד צופים בסרטון פתרון? נכנסים לאתר mgevacoil בוחרים את מספר יחידות הלימוד ונכנסים לפתרונות וידאו למבחני בגרות 58 כעת ניתן לראות את פתרונות הווידאו לכל השאלות ממבחני הבגרות הפתרונות לשני המבחנים הראשונים הם בחינם! כיצד אנו ממליצים להיעזר בסרטוני הפתרון שבאתר?mgeva בכל שאלה שבה אתם מתקשים או שהתשובה הסופית שקיבלתם אינה תואמת את התשובות המופיעות בסוף המבחן מומלץ לצפות בסרטון הפתרון המתאים כמו כן אם קיים נושא שבו אתם מרגישים צורך בחיזוק נוסף מומלץ לצפות בכל סרטוני הפתרון באותו נושא )מיון שאלות המבחנים לפי נושאים מופיע בהמשך החוברת( בנוסף ניתן לרכוש באתר mgevacoil מנוי לסרטוני פתרון לשאלות מתוך ספרי הלימוד לשאלון 58 בהוצאת יואל גבע

3 זכות היוצרים על שאלות הלקוחות ממבחני בגרות שמורות למדינת ישראל כל הזכויות על השאלות האחרות שמורות להוצאת הספרים יואל גבע אנו מאחלים לכם הצלחה רבה בבחינת הבגרות יואל גבע הוצאת הספרים צוות האתר mgevacoil

4 המבנה של שאלון 58 תלמידי 5 יחידות לימוד נבחנים בשני שאלונים השאלון הראשון הוא 0558 והשאלון השני הוא 0558 בשאלון 58 שני פרקים משך הבחינה: שעתיים בסך הכול צריך לענות על שאלות מתוך 5 שאלות המבנה של שאלון 0558: פרק ראשון גאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ( 66 נקודות( הפרק כולל שאלות מתוכן יש לענות על שאלות )לכל שאלה נקודות( פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ( נקודות( הפרק כולל שאלות מתוכן יש לענות על שאלה אחת נקודות( )לכל שאלה בעמוד הבא מצורף דף ההוראות לנבחן כפי שמופיע בטופס הבגרות של שאלון 58

5

6 מיון שאלות המבחנים לפי נושאים גאומטריה אנליטית הישר עמוד עמוד שאלה 4 שאלה סעיף א עמוד שאלה עמוד שאלה סעיף ב- עמוד 45 שאלה סעיף א () 8 המעגל עמוד 7 שאלה סעיף א עמוד שאלה עמוד שאלה סעיף א עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה סעיף ב- עמוד שאלה סעיפים ב-ג עמוד שאלה סעיף א עמוד 70 שאלה סעיפים ב - ד עמוד 77 שאלה () עמוד האליפסה 7 4 עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה סעיף א עמוד שאלה סעיפים א ו-ב עמוד שאלה עמוד שאלה שאלה סעיף א הפרבולה 0 4 שאלה שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד עמוד שאלה שאלה עמוד שאלה עמוד עמוד שאלה סעיף ב עמוד שאלה סעיף א עמוד שאלה עמוד סעיף בג עמוד 45 שאלה סעיף ב עמוד 5 שאלה עמוד 58 שאלה סעיפים א ב מקומות גאומטריים 4 עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד 6 שאלה עמוד 40 שאלה עמוד 50 שאלה עמוד 56 שאלה עמוד 60 שאלה עמוד 9 שאלה סעיף א עמוד 96 שאלה עמוד 0 שאלה עמוד שאלה עמוד 8 שאלה 7 0

7 9 עמוד שאלה עמוד שאלה סעיף ד עמוד שאלה סעיף א עמוד שאלה סעיף ב עמוד 45 שאלה סעיף ג עמוד 58 שאלה סעיף ג עמוד 64 שאלה עמוד 70 שאלה סעיף א עמוד 77 שאלה סעיף ד 4 9 בעיות המשלבות גאומטריה אנליטית עם וקטורים או מספרים מרוכבים 6 עמוד שאלה עמוד שאלה 44 וקטורים הווקטור הגאומטרי עמוד 7 עמוד עמוד עמוד שאלה שאלה שאלה שאלה עמוד שאלה עמוד 40 סעיף א עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד עמוד שאלה שאלה עמוד שאלה סעיף א שאלה עמוד 75 שאלה הווקטור האלגברי 4 שאלה עמוד שאלה עמוד 0 שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד עמוד 4 שאלה 0 שאלה עמוד שאלה עמוד 40 שאלה עמוד 0 שאלה עמוד עמוד 4 שאלה 9 שאלה עמוד עמוד 7 שאלה בעיות המשלבות וקטור גאומטרי עם וקטור אלגברי שאלה עמוד 7 שאלה עמוד שאלה עמוד 7 שאלה 40 שאלה עמוד 88 שאלה עמוד 96 שאלה עמוד 5 שאלה עמוד עמוד

8 עמוד 46 שאלה עמוד 5 שאלה עמוד 59 שאלה עמוד 65 שאלה עמוד 78 שאלה מספרים מרוכבים 5 סעיף א שאלה 7 סעיף ב עמוד שאלה סעיף א עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד סעיף ב שאלה עמוד סעיף א שאלה עמוד סעיף א שאלה סעיף א עמוד שאלה עמוד שאלה סעיף ב עמוד שאלה עמוד סעיף א שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה סעיף ב עמוד שאלה סעיף א עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד 9 שאלה עמוד שאלה עמוד 08 שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד עמוד 47 שאלה עמוד 5 שאלה עמוד 60 שאלה עמוד 66 שאלה עמוד 7 שאלה עמוד 79 שאלה טריגונומטריה במרחב 8 5 עמוד שאלה סעיף ב עמוד שאלה סעיף א עמוד שאלה סעיף ב 4 עמוד 8 שאלה סעיף ב עמוד שאלה סעיף ב עמוד שאלה סעיף ב עמוד 45 שאלה סעיפים א-ב בעיות גדילה ודעיכה 5 עמוד עמוד שאלה 4 סעיף א עמוד שאלה 4 סעיף א עמוד שאלה 4 סעיף א 9 שאלה 5 עמוד 45 שאלה 4 סעיף ב עמוד 48 שאלה 5 סעיף א 8

9 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי פונקציות מעריכיות 4 4 חקירת פונקציות סעיפים א-ו שאלה עמוד שאלה עמוד סעיפים א-ג שאלה סעיפים א-ד עמוד שאלה עמוד סעיפים א-ב ד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה סעיף א עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד עמוד 48 שאלה 4 עמוד 55 שאלה 4 עמוד שאלה שאלה 5 עמוד 6 שאלה 4 עמוד 67 שאלה 4 עמוד 7 שאלה 4 עמוד 80 שאלה פונקציות לוגריתמיות 5 5 סעיף א שאלה סעיף א עמוד שאלה עמוד סעיפים א-ב שאלה סעיף ב עמוד שאלה עמוד סעיף ב שאלה סעיפים א-ב עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד 6 שאלה עמוד שאלה עמוד 6 שאלה עמוד 0 שאלה עמוד עמוד 49 שאלה 5 עמוד 56 שאלה 5 עמוד 6 שאלה 4 עמוד 4 שאלה 5 עמוד 68 שאלה 5 עמוד 74 שאלה 5 עמוד 8 שאלה פונקציות ללא תבנית אלגברית מפורשת 5 שאלה עמוד סעיף א עמוד שאלה 58 עמוד שאלה 5

10 בעיות קיצון הערה: חלק מהסעיפים בנושא זה נרשמו גם תחת הכותרת חקירת פונקציות בעיות קיצון עם פונקציות מעריכיות עמוד 8 שאלה סעיף ב עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה בעיות קיצון עם פונקציות לוגריתמיות שאלה עמוד עמוד 6 5 שאלה עמוד 46 שאלה 5 אינטגרלים הערה: חלק מהסעיפים בנושא זה נרשמו גם תחת הכותרת חקירת פונקציות פונקציות מעריכיות עמוד שאלה עמוד עמוד שאלה עמוד עמוד שאלה עמוד סעיף ה שאלה שאלה עמוד שאלה שאלה עמוד שאלה סעיף ד עמוד שאלה עמוד 5 עמוד שאלה 4 48 שאלה שאלה עמוד פונקציות שהפונקציה הקדומה שלהן היא לוגריתמית עמוד עמוד עמוד עמוד 5 4 שאלה סעיף ב עמוד שאלה סעיף ב עמוד שאלה שאלה עמוד 4 4 עמוד שאלה שאלה 4 עמוד 8 שאלה סעיף ה 94 שאלה עמוד שאלה 77 עמוד 55 שאלה 4 6 שאלה פונקציות חזקה עם מעריך רציונלי עמוד 8 שאלה 5

11 5 6 5 אינטגרל הכולל את זיהוי הנגזרת הפנימית של פונקציה מורכבת הערה: חלק זה כולל פונקציות מסוגים שונים שבהן לצורך מציאת האינטגרל יש לזהות את הנגזרת הפנימית של פונקציה מורכבת עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה עמוד שאלה 4 עמוד שאלה סעיף ג) ( נפח גוף סיבוב עמוד עמוד 4 99 שאלה שאלה שאלה סעיף א עמוד שאלה עמוד פונקציות עם ערך מוחלט שאלה 5 עמוד עמוד 76 4 שאלה

12 תוכן עניינים מבחני בגרות שאלון 807 מבחן בגרות מספר קיץ תשס"ט 009 מועד א מבחן בגרות מספר קיץ תשס"ט 009 מועד ב מבחן בגרות מספר חורף תש"ע 00 מבחן בגרות מספר 4 קיץ תש"ע 00 מועד א מבחן בגרות מספר 5 קיץ תש"ע 00 מועד ב מבחן בגרות מספר 6 חורף תשע"א 0 מבחן בגרות מספר 7 קיץ תשע"א 0 מועד א מבחן בגרות מספר 8 קיץ תשע"א 0 מועד ב מבחן בגרות מספר 9 חורף תשע"ב 0 מבחן בגרות מספר 0 קיץ תשע"ב 0 מועד א מבחן בגרות מספר קיץ תשע"ב 0 מועד ב מבחן בגרות מספר חורף תשע"ג 0 7 מבחן בגרות מספר קיץ תשע"ג 0 מועד א מבחן בגרות מספר 4 קיץ תשע"ג 0 מועד ב 44 מבחן בגרות מספר 5 חורף תשע"ד 04 מבחן בגרות מספר 6 קיץ תשע"ד 04 מועד א מבחן בגרות מספר 7 קיץ תשע"ד 04 מועד ב מבחן בגרות מספר 8 קיץ תשע"ד 04 מועד ג 56 5 מבחן בגרות מספר 9 חורף תשע"ה מבחן בגרות מספר 0 קיץ תשע"ה 05 מועד א 6 מבחן בגרות מספר קיץ תשע"ה 05 מועד ב 67 מבחן בגרות מספר חורף תשע"ו 06 7 מבחן בגרות מספר קיץ תשע"ו 06 מועד א 75 מבחן בגרות מספר 4 קיץ תשע"ו 06 מועד ב 79

13 מבחן בגרות מספר 5 חורף תשע"ז 07 מבחן בגרות מספר 6 קיץ תשע"ז 07 מועד א מבחן בגרות מספר 7 קיץ תשע"ז 07 מועד ב מבחן בגרות מספר 8 חורף תשע"ח 08 מבחן בגרות מספר 9 קיץ תשע"ח 08 מועד א מבחן בגרות מספר 0 קיץ תשע"ח 08 מועד ב מבחן בגרות מספר חורף תשע"ט 09 מבחן בגרות מספר קיץ תשע"ט 09 מועד א מבחן בגרות מספר קיץ תשע"ט 09 מועד ב מבחן בגרות מספר 4 חורף תש"ף 00 מבחן בגרות מספר 5 קיץ תש"ף 00 מועד א מבחן בגרות מספר 6 קיץ תש"ף 00 מועד ב מבחן בגרות מספר 7 חורף תשפ"א 0 מבחן בגרות מספר 8 חורף תשפ"א 0 מועד נבצרים מבחן בגרות מספר 9 חורף תשפ"א 0 מועד מאוחר מבחן בגרות מספר 40 קיץ תשפ"א 0 מועד א מבחן בגרות מספר 4 קיץ תשפ"א 0 מועד מיוחד מבחן בגרות מספר 4 קיץ תשפ"א 0 מועד ב דף נוסחאות 5 יחידות לימוד

14 מבחן בגרות מספר קיץ תשס"ט 009 מועד א פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - נתון מעגל שמשוואתו = שעל המעגל העבירו משיק למעגל ( ;0)A בנקודה נמצאת על קוטר המעגל AB נקודה C AC = כך ש- AB P נמצאת על המשיק ונקודה E נקודה כך ש- CE = 5CP EC נמצאת על הקטע (ראה ציור) באמצעות השיעורים של הנקודה E א מצא את שיעורי הנקודה C ב הבע את השיעורים של הנקודה הנוצרות P ומצא את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות באופן שתואר P B E P C A D v A u B C נתון טרפז שווה-שוקיים ABCD (ראה ציור) נתון כי = 0 DAB נסמן: AB = tu AD = v DC = u u א () הבע את t באמצעות () הבע את הווקטור BC באמצעות u v u ו- v (AB DC) ו- v ב נתון: 0) 6 (8 = u v = ( 0) () מצא את שיעור ה- של הווקטור v (מצא את שתי האפשרויות) () מבין שני הערכים של שמצאת בתת-סעיף ב'( ) מצא עבור איזה ערך של הבסיס DC הוא קוטר במעגל שהטרפז חסום בו הערה: אפשר לפתור את סעיף ב' בלי להסתמך על הפתרון של סעיף א'

15 a = i 7 a = 8 + 8i 4 a a א בסדרה הנדסית a מצא את נתון: a B' B C C' A' A ב במנסרה ישרה 'B'C' ABCA הבסיס ABC הוא משולש ישר-זווית ) 90 = ACB ( שבו BAC = α AB = c הזווית בין המישור A'BC לבין המישור ABC היא β () הבע באמצעות α c ו- β את נפח המנסרה () שטח הפאה ' ACC'A שווה לשטח הפאה c ונפח המנסרה הוא BCC'B' חשב את הזווית β הערה: אין קשר בין סעיף א ל-ב פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ענה על אחת מהשאלות 5-4 א () בעיירה מסוימת נמצא כי אצל כל הגברים בעיירה שיער הראש נושר בדעיכה מעריכית מגיל עשרים ואחת הלאה משיער ראשם 0% כל שנה הגברים מאבדים 0997% מצא כעבור כמה שנים מגיל עשרים ואחת יאבדו הגברים משיער ראשם () נמצא כי אצל כל הילדות בעיירה מספר השערות גדל מאז הלידה שערות בצורה מעריכית ביום מסוים היו לילדה מהעיירה שערות שנים נוספו לה m כעבור בכמה אחוזים גדל כל שנה מספר השערות m הבע באמצעות של הילדה 4 ב פונקציית הנגזרת השנייה של פונקציה לפונקציה היא f() f "() = + e ( ) f() f() יש נקודת קיצון ב- (;0) הערה: אין קשר בין סעיף א' לסעיף ב' מצא את הפונקציה

16 f '() e f '() t 0 a m f() d נתון הגרף של פונקציית הנגזרת ()' f (ראה ציור) כמו כן נתון: f (a) = d f (o) = s f (b) = p f (c) = k א הבע באמצעות פרמטרים מתאימים: () את השיעורים של נקודות הקיצון b c של f() וקבע את סוגן נמק () את השיעורים של נקודת הפיתול של f() נמק ב נסמן: שיעור ה- של נקודת הפיתול של f() שיעור ה- של נקודת המינימום של f() הבע באמצעות פרמטרים מתאימים את ערך האינטגרל 5 תשובות למבחן בגרות מספר קיץ תשס"ט 009 מועד א: = 7 () או 7 = = 7 = + 6 E(5P ; 5P 0) 4 v u v = t BC = u + v () ב () u u c sin αcos αtanβ 7998 () 00 m5 00 ב () (8;5) ב i א א () א 4 א () כעבור שנים (בערך) () ב (התשובה היא באחוזים) p k e e (b;p) ב f () = 05ln + 05e א () (c;k) מינימום (0;s) מקסימום ()

17 מבחן בגרות מספר קיץ תשס"ט 009 מועד ב P פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - נתונות הנקודות (0;0)A ו- (6;)E נקודה B נמצאת על המשך C B AE כך AB = AC ושטח המשולש CAE E גדול פי משטח המשולש CEB א מצא את שיעורי הקדקוד B A ב נקודה P נמצאת על המשך BC כך ש- PC = BC מצא את משוואת המקום הגאומטרי של הנקודות P הנוצרות באופן זה ג הנקודה (40 ;4) נמצאת על המקום הגיאומטרי שאת משוואתו מצאת בסעיף ב' מצא עבור נקודה זו את משוואת האנך ל- BC העובר דרך C שמשוואתו נתון מישור π נמצאות במישור זה הישר ו- (k )A ; ; הנקודות BG מאונך למישור B(; ; m) π + z + = 0 = BG ושיעור ה- 96 אם גם נתון כי G א מצא את שיעורי הנקודה הוא חיובי G של הנקודה שאת שיעוריה מצאת בסעיף א' ודרך הנקודה G ב דרך הנקודה F בנקודה π החותך את המישור עובר ישר ;6;)E (7 נמצאות על ישר אחד ו- F B A הוכח כי הנקודות לציר ה- ג מצא את המצב ההדדי בין הישר AF 4

18 A F D E S O G B H C א נתונה פירמידה ישרה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע G F E ו- H הן נקודות האמצע של צלעות הבסיס (ראה ציור) נתון כי גובה הפירמידה שווה לצלע הבסיס חשב את גודל הזווית שבין המישור SHG למישור SFE ב קדקודי מתומן משוכלל ABCDEFGH (מצולע בעל שמונה צלעות) נמצאות במישור גאוס ומרכז המתומן נמצא בראשית הצירים H ו- B מצא את הקדקודים z= + נתון כי קדקוד A הוא i הצג אותם באמצעות מספרים מרוכבים הערה: אין קשר בין סעיף א' לסעיף ב' פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ענה על אחת מהשאלות 5-4 א הכמויות של שני סוגי דגים סוג א' וסוג ב' ג דלות בצורה מעריכית כמות הדגים מסוג א' ג דלה כל חודש פי q וכמות הדגים מסוג ב' ג ד לה כל חודש פי q כעבור מספר חודשים כמות הדגים מסוג א' גדלה פי וכמות הדגים מסוג ב' גדלה פי q 4 גדול ב- 87% מ- q מצא את מספר החודשים שבהם כמות הדגים מסוג א' גדלה פי וכמות הדגים מסוג ב' גדלה פי 4 4 ב נתונה הפונקציה f() = e e העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה = 4 (ראה ציור) ברביע הרביעי שמשוואתו 8 e חשב את השטח המוגבל על ידי המשיק על ידי גרף הפונקציה ועל ידי הישר = e הערה: אין קשר בין סעיף א' לסעיף ב' 5

19 f '() = ln נתונה פונקציית הנגזרת מוגדרת בתחום > 0 ויש לה נקודת פיתול f() נתון כי הפונקציה ( b באמצעות (הבע f() בנקודה שבה f() = b א מצא את הפונקציה (אם יש כאלה) f() ב () מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של במידת הצורך) b וקבע את סוגן (הבע באמצעות f() של () מצא תחומי קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה חותך את ציר ה- f() הגרף של b ג () מצא עבור אילו ערכים של בשתי נקודות b f() עבור הערכים של () שרטט סקיצה של גרף הפונקציה b> 0 שמצא בתת-סעיף ג( ) אם נתון כי ציין בסקיצה את נקודת הפיתול 5 תשובות למבחן בגרות מספר קיץ תשס"ט 009 מועד ב: = 8 H = cis0 = () b< (4;8) ב = 70 6) + ( ( + 8) + ג ) ; (9; ג מצטלבים B = cis90 = i חודשים ב ) ( 894 ב e ln = f () = ln ln + b 075 ג () מינימום ; 0< < e e > e e ( e; b ) : : א א א 4 א 5 א ב () () 6

20 מבחן בגרות מספר חורף תש"ע 00 פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - D A M C B נתון מעגל שמרכזו M נמצא ברביע הרביעי המעגל משיק לציר ה- במקבילית ABCD הצלע DC משיקה למעגל זה בנקודה D כמתואר בציור נתון: B(7;8) A(;5) רדיוס המעגל הוא 5 שטח המקבילית ABCD הוא א מצא את משוואת הישר DC ב מצא את השיעורים של הנקודה שבה המעגל משיק לציר ה- D A E C B בפירמידה ABCDE שבסיסה ABCD הוא מקבילית נתון כי EA EC א הוכח: אם הבסיס ABCD הוא מלבן אז ED EB ב נסח את הטענה ההפוכה לטענה שבסעיף א' והוכח אותה א נתון מקום גיאומטרי המקיים: z i z z+ i = z+ מצא את משוואת הישר המשיק לגרף של המקום הגיאומטרי הנתון בנקודה שבה = 0 z = + i 7

21 D A S C a ב בפירמידה ישרה SABCD הבסיס הוא ריבוע שאורך צלעו a והזווית בין שני מקצועות צדדיים סמוכים היא β (ראה ציור) הזווית בין שתי פאות צדדיות סמוכות היא α β () הראה כי = cos sin α B () נתון כי α=00 הבע את שטח הפנים של הפירמידה באמצעות הערה: אין קשר בין סעיף א' לסעיף ב' פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ענה על אחת מהשאלות 5-4 א בשעה :8 00 היו 00 גרם של חומר רדיואקטיבי I ו- 00 גרם של חומר רדיואקטיבי II הכמות של כל אחד מהחומרים קטנה עם הזמן בצורה מעריכית כעבור חצי שעה נותרו 80 גרם של חומר I ו- 64 גרם של חומר II כעבור כמה שעות (מהשעה ( :8 00 יהיה ההפרש בין הכמויות של שני החומרים שווה ל- 5 גרם? 4 ב מצא על גרף הפונקציה = f() לישר = ln 4 את הנקודה הקרובה ביותר הערה: אין קשר בין סעיף א' לסעיף ב' f() ln(a) בציור מוצגת סקיצה של גרף הפונקציה = f() ln(a) ונתונה הפונקציה = g() a > מעבירים ישר דרך נקודות הקיצון של שתי הפונקציות f() ו- g() השטח המוגבל על ידי הישר על ידי הגרפים של שתי הפונקציות ועל ידי הישר = e שווה ל- (e) ln מצא את משוואת הישר העובר דרך נקודת הפיתול של ודרך נקודת הפיתול של g() 5 8

22 :00 תשובות למבחן בגרות מספר חורף תש"ע א = 0 4 ב ) (0; 4a ב () = א 0 4 א 55 שעות ב ) (; = 05e e 5 9

23 מבחן בגרות מספר 4 קיץ תש"ע 00 מועד א פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - נמצאת על אליפסה שמשוואתה = E נקודה ו- B A בנקודה האליפסה חותכת את ציר ה- א מצא את משוואת העקום שעליו נמצא המקום הגיאומטרי ABE של מפגשי התיכונים במשולש (; ( נמצאות על המקום הגיאומטרי שאת משוואתו ב הנקודות ו- B ונוצר מצולע A מצאת בסעיף א' חיברו נקודות אלה עם הנקודות מצא את שטח המצולע של כל ג האליפסה הנתונה התקבלה ממעגל על ידי הכפלת שיעורי ה- שלהן אחת מהנקודות על המעגל בקבוע בלי לשנות את שיעורי ה- () מהי משוואת המעגל? () האם למעגל ולמקום הגיאומטרי שמצאת בסעיף א' יש נקודות חיתוך? נמק נתון משולש ABC שווה-שוקיים וישר-זווית = 90 C A( ) שניים מקדקודי המשולש הם: ( 6)C המישור = 0 5 z π : + + מקביל למישור ABC א () מצא את שתי האפשרויות לשיעורי הקדקוד B () נסמן את שתי האפשרויות לקדקוד B ב- B ו- B האם הקדקוד C נמצא על הישר? BB נמק ב נקודה D נמצאת במישור π מצא את נפח הפירמידה DAB B 0

24 z i א () נתונות נקודות המקיימות = i z = + z + i רשום באמצעות ו- את משוואת המקום הגיאומטרי של נקודות אלה () באיזה רביע/רביעים נמצא המקום הגיאומטרי שאת משוואתו רשמת בתת סעיף א ()? נמק ב () מצא את שיעורי הנקודות הנמצאות על המקום הגיאומטרי שאת משוואתו רשמת ומקיימות = 5 z () איזה מרובע נוצר כאשר מחברים את הנקודות שבתת-סעיף ב ()? נמק פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ענה על אחת מהשאלות 5-4 = f() a הוא פרמטר נתונה הפונקציה e ae e + ae א מצא עבור > 0 a ועבור < 0 a (הבע באמצעות a במידת הצורך): () את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת האסימפטוטות שלה המקבילות לצירים () תחומי עלייה וירידה של הפונקציה (אם יש כאלה) () נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים השאר ln בתשובותיך במידת הצורך ב ידוע כי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- נמצאת בחלק השלילי של הציר שרטט סקיצה של גרף הפונקציה: () עבור > 0 a () עבור < 0 a 4

25 f () = log ( 6 + 8) π π ( ) ( ) g() = sin cos 6 0 5π g() נתונות הפונקציות: המוגדרות לכל בתחום בציור מוצג הגרף של הפונקציה בתחום הנתון ענה על הסעיפים א-ב עבור התחום הנתון א () מצא את השיעורים של נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה f() וקבע את סוגן בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית = משיק לגרף של f() ולגרף של g() באותה () נתון כי הישר k נקודה ) ()' g שווה לאפס רק בנקודה אחת) העתק למחברתך את הגרף של g() ובאותה מערכת צירים שרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() נמק π π ( ) ( ) log ( 6 + 8) = sin cos 6 () פתור את המשוואה ב () באיזה תחום > 0 '() f ובאיזה תחום < 0 '()? f () מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של ()' f על ידי ציר ה- ועל ידי הישרים = ו- 4 = 5

26 תשובות למבחן בגרות מספר 4 קיץ תש"ע 00 מועד א: = 6 + () לא 8 6 ג () ) 6; (7; () כן ב = ב = () רביע שני ורביע רביעי () מלבן = = ( ; ) = ( ) ; = ( ;) ; ירידה: אין 0; a + a ln( a) = ln( a) > ln( a) (5; ; ) ; ( ) : a > 0 () תחום הגדרה: כל אסימפטוטות: ( ) () עלייה: כל ( ln a;0 ) עבור < 0 a : () תחום הגדרה: אסימפטוטות: () עלייה: אין; ירידה: < ln( a) 0; a + a או ( ) א א א () ב () 4 א עבור () () () 5 א () 6) (0; מקסימום מוחלט; (;) מינימום מוחלט = () log 0 4 = 09 () 0< < : f '() < 0 ; < < 5π : f '() > 0 ב ()

27 מבחן בגרות מספר 5 קיץ תש"ע 00 מועד ב פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - a > 0 a 4 נתונה המשוואה = a a 6 א עבור אילו ערכים של a מייצגת המשוואה: () אליפסה? () מעגל? ב ידוע כי המשוואה הנתונה מייצגת אליפסה באליפסה חסומים: עיגול הנוגע באליפסה בנקודות החיתוך שלה עם ציר ה- וריבוע שצלעותיו מקבילות לצירים (ראה ציור) היחס בין שטח העיגול החסום לבין שטח הריבוע החסום 4π הוא 9 מצא את הערך של a הערה: אין קשר בין פתרון סעיף א' לפתרון סעיף ב' נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מקבילית השיעורים של ארבעה מבין קדקודי הפירמידה הם: S(;;8) C( ; ; ) B(4; ;5) A(6;a;9) בסיס הפירמידה נמצא במישור: ;) s(; π : = (; ; 4) + t(4; ;5) + א חשב את נפח הפירמידה SABCD (ערך מספרי) ב המישור π חותך את הצירים בנקודות K L M מצא את היחס בין נפח הפירמידה SABCD לבין נפח הפירמידה O ) OKLM ראשית הצירים) ג האם הישר שעליו נמצא גובה הפירמידה SABCD חותך את כל המישורים שעליהם מונחות פאות הפירמידה? OKLM נמק 4

28 n סדרת המספרים מרוכבים מקיימים לכל n טבעי: α) z n = (cosα+ isin א הבע באמצעות α את z z ב הראה כי הביטוי z z אינו תלוי ב- n n+ n פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ענה על אחת מהשאלות 5-4 נתונה הפונקציה a f() = a e הוא פרמטר א מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f()? ב מצא עבור אילו ערכים של a יש לפונקציה f() שתי נקודות קיצון ג דרך נקודות הקיצון של הפונקציה העבירו ישרים המאונכים לציר ה- המרחק בין הישרים הוא 6 מצא את ערך הפרמטר a 4 הצב את הערך של a שמצאת וענה על הסעיפים ד-ז: f() ד מצא את סוגי הקיצון של הפונקציה עם הצירים f() ה מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית f() ו שרטט סקיצה של גרף הפונקציה f '() ז לפניך סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת ()' f מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של ()' f 5 = על ידי ציר ה- על ידי הישר ועל ידי ציר ה- a > 0 בתחום f () = logb א נתונה הפונקציה a בתחום הנתון הערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא 4 והערך הקטן ביותר של הפונקציה הוא מצא את הערך של a ואת הערך של b 0< b< 5 5

29 a( ) f () log tan log = + a tan ב נתונה הפונקציה בתחום 0< a < 0< < π מצא את שיעורי של נקודות הקיצון של f() בתחום הנתון (אם יש כאלה) וקבע את סוגן הערה: אין קשר בין סעיף א' לסעיף ב' תשובות למבחן בגרות מספר 5 קיץ תש"ע 00 מועד ב: = 8 a ב 9 () a 8 8: ג כן 0< a < 4 א () א ב ו a = 7 8 ; e > a ג א cosα 4 א כל ב ד ) 4e (; מינימום מקסימום מינימום (0; 7) = 5 ה 8;0) ( (8;0) ז = e e = a ב 4 b = 5 א 6

30 מבחן בגרות מספר 6 חורף תשע"א 0 פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - נקודות כלשהן על הפרבולה ו- B A A AB כך שהמיתר <p 0 = p מקביל לציר ה- ישר המשיק A חותך לפרבולה בנקודה B את הישר שעובר בנקודה C ומקביל לציר ה- דרך הנקודה B את משוואת המקום הגיאומטרי p (ראה ציור) א () הבע באמצעות של הנקודות C הנוצרות באופן שתואר () שרטט סקיצה של המקום הגיאומטרי שאת משוואתו מצאת של נקודה C הנמצאת על המקום הגיאומטרי ב נתון כי שיעור ה- = p חשב במקרה זה את הזווית שאת משוואתו מצאת הוא CA ובין ציר ה- שבין המשיק לפרבולה C B' K נתון מקבילון ABCDA'B'C'D' (גוף שכל פאותיו הן מקביליות) DD' היא אמצע המקצוע L נקודה נקודה E נמצאת על המקצוע BB' D C E כך ש- B'E EB = B נתון כי המקצוע ' AA מאונך למישור AEL המישור חותך את המקצוע CC' בנקודה K (ראה ציור) נסמן: CK = mcc' AA ' = w AD = v AB = u m א מצא את הערך של היא CC' ב נתון כי ההצגה הפרמטרית של הישר AEL ושיעורי הקדקוד נמצאת במישור (; ;) הנקודה AEL מהמישור הם (0; ;) מצא את מרחק הקדקוד C A' A D' L C' = (4;5;8) + t(; ; ) C' 7

31 z 4 z z ו- z הם שלושה מספרים מרוכבים שונים הנמצאים על ישר אחד שעובר דרך ראשית הצירים z ו- z נמצאים ברביע הראשון ו- z נמצא ברביע השלישי נסמן: α) z = r (cosα+ isin z z א האם המנה היא מספר ממשי מספר מדומה טהור z z או מספר שהוא לא ממשי ולא מדומה טהור? נמק z z נתון גם כי z ו- z נמצאים על מעגל היחידה ו- = z z ב חשב את הערך המוחלט של z ג z 4 הוא הצמוד של z הבע באמצעות α את שטח המשולש הנוצר על ידי הנקודות z z פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ענה על אחת מהשאלות 5-4 : III II I נתונות שלוש פונקציות I = + 4 II = ln III = ln + 4 א מצא את תחום ההגדרה של כל אחת מהפונקציות ומצא את האסימפטוטות שלהן המקבילות לצירים (אם יש כאלה) I ב () שרטט במערכת צירים אחת סקיצה של גרף הפונקציה וסקיצה של גרף הפונקציה II ציין מספרים על ציר ה- ו- II I () הסבר מדוע נקודת החיתוך בין הגרפים של הפונקציות < < חייבת להימצא בתחום (אם יש כאלה) III ג () מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה שלמים ועוקבים נמצאת נקודת החיתוך () ציין בין אילו ערכי עם ציר ה- נמק III של גרף הפונקציה () לגרפים ששרטטת בתת-סעיף ב( ) הוסף בקו מרוסק (---- ( III סקיצה של גרף הפונקציה ד חשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציה II על ידי הגרף ו- = 5 = 5 ועל ידי הישרים III של פונקציה 4 8

32 f() = (+ נתונה הפונקציה )e א הראה כי f '() = e ב מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה f() וקבע את סוגן ג מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם הצירים ד שרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() ה הראה כי עבור a > 0 מתקיים: a f ()d < e ו () חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה על ידי ציר ה- ועל ידי ציר ה- () הסבר מדוע עבור f() a > 0 מתקיים: a f ()d > e 5 9

33 :0 תשובות למבחן בגרות מספר 6 חורף תשע"א () = p א () ב 6565 sin α = m ב א א מספר ממשי ב = z ג אסימפטוטות: אין = 0 = 0 אסימפטוטות: אסימפטוטות: < < () > 0 > 0 : I תחום הגדרה: כל : II תחום הגדרה: : III תחום הגדרה: 4 א ב () () בין ל- () ג () עלייה: > 0 ; ירידה: אף ד 5 ב (;0) מקסימום ( ; 0) e = 078 ג (0;) ו () 0

34 מבחן בגרות מספר 7 קיץ תשע"א 0 מועד א פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - נתון משולש ABC ששטחו = + מונחים על הישר ו- C קדקודי המשולש B הם (;) A שיעורי הקדקוד היא נקודת החיתוך של התיכונים במשולש P 5 שיעור ה- של P הוא א מצא את השיעורים של שני הקדקודים האחרים במשולש ABC BC וחותך את הצלעות האחרות ב מעבירים ישר המקביל לצלע 8 הוא DE ו- E האורך של D (ולא את המשכיהן) בנקודות מצא את משוואת הישר DE נתונה תיבה ABCDA'B'C'D' נסמן: AA ' = w AD = v AB = u נתון: = w v = u = נקודה F מקיימת t BF = tbc הוא פרמטר C הנקודה E היא אמצע האלכסון A'D א הראה כי לא קיים ערך של t שעבורו = 0 EAF ב () מצא את הערך של t שעבורו = coseaf A' w A E v u D' D B' B C' 5 שמצאת: t עבור הערך של () היכן נמצאת הנקודה F? BC או מחוץ לקטע BC BC באחד מקצות הקטע בתוך הקטע נמק ' ABB'A מצא את היחס שבו הנקודה F מקביל למישור הפאה ג אם EF BC נמק מחלקת את הקטע? t תלוי בערך של AEDF ד האם נפח הפירמידה אם כן הסבר מדוע אם לא חשב את נפח הפירמידה

35 נתונה סדרה: i i i n i א הראה כי כל איברי הסדרה מיוצגים במישור גאוס על ידי קדקודי ריבוע החסום במעגל היחידה (מעגל שרדיוסו ומרכזו בראשית הצירים) ב () הראה כי סכום 4n האיברים הראשונים בסדרה הוא מספר ממשי () מצא את הסכום של 9 האיברים הראשונים בסדרה ג נתונה סדרה של n מספרים מרוכבים: z z z z n איברי הסדרה מיוצגים במישור גאוס על ידי n קדקודים של מצולע משוכלל בעל n צלעות החסום במעגל היחידה איברים עוקבים בסדרה מייצגים קדקודים סמוכים במצולע נגד כיוון z השעון נתון גם כי = () רשום בהצגה קוטבית את האיבר z n (הבע באמצעות ) n () רשום משוואה שפתרונותיה מיוצגים על ידי n הקדקודים של המצולע המשוכלל פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ענה על אחת מהשאלות 5-4 נתונה הפונקציה f () = ln( + e ) + f()? א מהו תחום ההגדרה של הפונקציה שלהן f() ששיעורי ה- הן נקודות על גרף הפונקציה ו- N M ב שונים מאפס שיעור ה- של M הוא 0 ושיעור ה- של N הוא הוכח כי שיפוע הישר שמשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה = 0 MN שווה לשיפוע הקטע המקבילות ()' f ג מצא את האסימפטוטות של פונקציית הנגזרת לצירים (אם יש כאלה) היא שלילית ()' f פונקציית הנגזרת ד () מצא עבור אילו ערכי () מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת ועל ידי שני הצירים 0 f '() 4

36 נתונה הפונקציה a) a f() = ln( + הוא פרמטר > 0 a לגרף הפונקציה יש שיפוע מקסימלי ושיפוע מינימלי בנקודות שבהן = ln א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f() ב מצא את הערך של a ג מצא את גודל השיפוע המקסימלי של f() ואת גודל השיפוע המינימלי של f() 5 הצב = 4 a וענה על סעיף ד ד () מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה f() () מצא את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של הפונקציה f() () שרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() ( C תשובות למבחן בגרות מספר 7 קיץ תשע"א 0 מועד א: (45;55) ב = () נקודה F נמצאת בקצה הקטע BC (מתלכדת עם הקדקוד n z = ln + ln = t (7;8) t = = : FC BF : ד אינו תלוי בערך של א ב () ג ושווה ל- () () שיפוע מינימלי 60 (n ) zn = cis n < ln ד () = = S ג () ב () = ב = 4 a ג שיפוע מקסימלי 4) 0;ln ( מינימום () < 9 < < > או 4 א כל ג : : 5 א כל ד () ()

37 מבחן בגרות מספר 8 קיץ תשע"א 0 מועד ב פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - C( ; ) C E( ; ) E E C B( ; ) B B A( ; ) A A נתונה הפרבולה = ישר המשיק לפרבולה בנקודה A נפגש בנקודה E עם הישר המשיק לפרבולה בנקודה B ) A ברביע הראשון ו- B ברביע הרביעי) דרך הנקודה A העבירו ישר החותך את המשך EB בנקודה C כך ש- CE = EB כמתואר בציור א הראה כי E(A B) = A B ב הראה כי CA מקביל לציר ה- P B π A π נתונות משוואות של שני מישורים: π : + + z + 0 = 0 π : + + z 0 = 0 נתון ישר שהצגתו הפרמטרית היא: : = (0;0;0) + t(0; ;) הישר חותך את המישור π בנקודה B ואת המישור π הוא חותך בנקודה P הנקודה z) A( 5;0; נמצאת במישור π (ראה ציור) מהנקודות A ו- B העבירו אנכים למישור π החותכים את המישור בנקודות D ו- C בהתאמה מצא את נפח הפירמידה PABCD (שבסיסה ) ABCD 4

38 z 0 z + א נתון מספר מרוכב z (שהוא לא ממשי) המקיים = cosβ z () הבע באמצעות β את z מצא את שני הפתרונות n + z הוא מספר ממשי טהור או מספר מדומה () האם הביטוי n z טהור או מספר המורכב ממספר ממשי וממספר מדומה? נמק ) n הוא מספר טבעי z הוא המספר הנתון) ב נתון כי מספר מרוכב z נמצא ברביע הראשון מחוץ למעגל היחידה שרטט במערכת צירים סקיצה של מעגל היחידה ומקם בשרטוט את המספר z ואת: z+ נמק () נמק () נמק () z z z הערה: אין קשר בין סעיף א' לסעיף ב' פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ענה על אחת מהשאלות 5-4 המוגדרת לכל f() = b נתונה הפונקציה הוא פרמטר גדול מ- b f() את האסימפטוטות של הפונקציה b א () הבע באמצעות (אם יש כאלה) f() המקבילות לצירים (אם יש כאלה) () מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה את השיעורים של נקודות החיתוך של גרף b () הבע באמצעות עם הצירים f() הפונקציה f() (4) שרטט סקיצה של גרף הפונקציה g() המקיימת f() g() = ב נתונה הפונקציה g() את האסימפטוטות של הפונקציה b () הבע באמצעות המקבילות לצירים (אם יש כאלה) g() () שרטט סקיצה של גרף הפונקציה g() את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה b ג הבע באמצעות = על ידי הצירים ועל ידי הישר 4 5

39 נתונה הפונקציה > 0 f() = (ln) + (ראה ציור) = ונתון הישר 4 נקודה A נמצאת על גרף הפונקציה f() ונקודה B נמצאת על הישר הנתון א מצא את האורך המינימלי של הקטע AB אם הקטע מקביל לציר ה- ב מצא את האורך המינימלי של הקטע AB אם הקטע מאונך לישר הנתון ג מבין כל הקטעים AB האפשריים מהו האורך המינימלי של הקטע? AB נמק 5 תשובות למבחן בגרות מספר 8 קיץ תשע"א 0 מועד ב: z z z+ z z ב א cisβ() z = cosβ+ isinβ= z = cosβ isinβ = cis( β) () ממשי טהור +z נמצא על הציר הממשי (בתוך המעגל על המעגל או מחוץ לו) הערה: z (4) = b () (0; b) 8 () עלייה: כל ירידה: אף ( + log b; 0) = b 4 א () () ב () b 7 ג 6 b = 8ln 8 5 א 4 ג ב 8 6

40 מבחן בגרות מספר 9 חורף תשע"ב 0 פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - B האליפסה = + חותכת את ציר ה- a b בנקודות A ו- 'A ואת ציר ה- A' A היא חותכת בנקודות B ו- 'B = 5 4 א נתון כי הישר B' מאונך לישר A'B והמרחק בין הנקודה B לאחד המוקדים של האליפסה הוא 5 מצא את משוואת האליפסה ב F ו- F הם המוקדים של האליפסה E היא נקודה על האליפסה מצא את ההיקף של המשולש EFF ג מקרבים את מוקדי האליפסה זה לזה לאורך ציר ה- נוצרת אליפסה קנונית חדשה העוברת גם היא דרך הנקודות A ו- 'A ומוקדיה הם 'F ו- 'F 'E היא נקודה על האליפסה החדשה כך ש- E'E מקביל לציר ה- הגובה לצלע ' F 'F במשולש ' E'F 'F גדול פי (k > ) k מהגובה לצלע FF במשולש EFF () הבע באמצעות k את משוואת האליפסה החדשה () עבור איזה ערך של k המוקדים 'F ו- 'F יתלכדו לנקודה אחת בראשית הצירים? נמק נתונה פירמידה ABCDT שבסיסה ABCD הוא מקבילית משוואת מישור הבסיס ABCD היא: = 0 4 z + הצגה פרמטרית של הישר TB היא: ;) t(; = (; ; 7) + א מצא את השיעורים של הקדקוד B ב אלכסוני המקבילית ABCD נפגשים בנקודה M אחת מהנקודות z ואחת מהן נמצאת על ציר ה- נמצאת על ציר ה- D ו- M קבע איזו מהנקודות נמצאת על ציר ה- נמק 7

41 ABCD TB העבירו אנך למישור המקבילית TB ג דרך נקודה על הישר E האנך חותך את המישור בנקודה (ההיטל של הישר BE () מצא הצגה פרמטרית של הישר על מישור המקבילית) BD לאלכסון BE () מצא את המצב ההדדי בין הישר z הוא מספר מרוכב הנמצא ברביע הרביעי והערך המוחלט שלו + O היא ראשית הצירים הוא נתון: = z מצא במשולש : Ozz () את זוויות המשולש () את אורכי הצלעות של המשולש א D S M C ABCD SABCD שבסיסה ב נתונה פירמידה ישרה SC היא נקודה על המקצוע M הוא ריבוע היא הזווית שבין שתי פאות כך ש- DMB DMB = α סמוכות (ראה ציור) נתון: β זווית הבסיס בפאה צדדית היא sin α sinβ () מצא את הערך של המכפלה () האם ייתכן ש- 45=α? נמק A B הערה: אין קשר בין סעיף א' לסעיף ב' פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ענה על אחת מהשאלות 5-4 נתון כי הפונקציות f() ו- g() המוגדרות לכל ערך של ( ) f() מקיימות: f '() = g '() = e ישר המשיק לגרף הפונקציה f() בנקודת הקיצון שלה = 4 חותך את ציר ה- בנקודה שבה א () מצא את נקודות החיתוך של הגרף של פונקציית הנגזרת ()' g עם הצירים () מצא את תחומי העלייה והירידה של פונקציית הנגזרת ()' g () נתון גם: < 0 g"'() עבור < 5 g"'() > 0 עבור > 5 שרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת ()' g נמק = 4 ולפונקציה g() יש נקודה משותפת אחת בלבד ב לישר + e מצא את הפונקציה g() נמק 4 8

42 ויער II גדל עם הזמן לפי פונקציות I משקל העץ בשני יערות יער g() = M0 בהתאמה b ו- f() = N0 a מעריכיות העצים בשני היערות ניטעו באותו תאריך טון עץ וכעבור שנה היו I ביום הנטיעה היו ביער טון עץ בו טון עץ וכעבור שנה היו ביום הנטיעה היו ביער II טון עץ בו g() ואת הפונקציה f() א מצא את הפונקציה גדול I ב מצא כעבור כמה זמן מיום הנטיעה יהיה משקל העץ ביער ממשקל העץ ביער II f() ( סקיצה של גרף הפונקציה ג שרטט בקו מלא ) g() החל מיום הנטיעה ובקו מרוסק( - - -) סקיצה של גרף הפונקציה ציין מספרים על הצירים ד כעבור כמה זמן מיום הנטיעה ההפרש בין משקל העץ ביער II יהיה הגדול ביותר? למשקל העץ ביער I בתשובותיך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית 5 () מתלכדים תשובות למבחן בגרות מספר 9 חורף תשע"ב 0: k = 5 4 () + = 5 6k = ( ; 0; 8) + R(; 0; ) () לא ב () () ב 6 ג () + = 5 6 D ג () () 0 8) ;0; ( ב נקודה 0 (0; e ) 0 ( ;0) () עלייה: כל ; ירידה: אין + g() = e + א א א () 4 א () ב = g() ב כעבור יותר מ- 48 שנים f () = א ג ד כעבור 05 שנים

43 מבחן בגרות מספר 0 קיץ תשע"ב 0 מועד א פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - במשולש ABC משוואת הצלע AB היא = = + ומשוואת הצלע AC היא כי BD נתון BC נמצאת על הצלע (;6)D הנקודה DC = א מצא את משוואת המעגל החוסם את המשולש ABC ב הנקודה (;6)D נמצאת על הפרבולה = p ישר המשיק לפרבולה בנקודה D נפגש בנקודה F עם ישר העובר דרך C כך ש- FD = FC מצא את שטח המשולש FDC π נתונים שני מישורים π ו- π המקבילים זה לזה המרחק בין שני המישורים הוא מישור π עובר דרך הנקודות (;0;)A ו- (6;0;0)B מישור π עובר דרך הנקודה ) ;0; C( מצא את משוואת המישור π ואת משוואת המישור (מצא את שתי האפשרויות לכל אחד מהמישורים) א נתונה המשוואה z = w z= + נתון כי אחד הפתרונות של המשוואה הוא i הראה כי מכפלה של כל שני פתרונות של המשוואה גם היא פתרון של המשוואה 0

44 D A E C ב נתונה פירמידה ישרה ABCDE שבסיסה ריבוע (ראה ציור) הזווית בין פאה צדדית בפירמידה B לבסיס הפירמידה היא 70 () מצא את גודל זווית הראש בפאה צדדית () נפח הפירמידה הוא סמ"ק מצא את האורך של צלע הבסיס של הפירמידה הערה: אין קשר בין סעיף א' לסעיף ב' פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ענה על אחת מהשאלות נתונה הפונקציה e f() = מעגלים שמרכזם בראשית הצירים נפגשים עם גרף הפונקציה (ראה ציור) מבין כל הרדיוסים של מעגלים אלה מצא את הרדיוס המינימלי 4 f() הוא פרמטר בפונקציה a f() = a (a + )(a + ) a נתונה הפונקציה נתון כי הפונקציה F(a) בתחום 0 a מקיימת: F(a) = f ()d 0 א מצא את הפונקציה F(a) ב בתחום 0 a מצא: () את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה F(a) וקבע את סוגן () את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה F(a) עם הצירים (אם יש כאלה) ג שרטט סקיצה של גרף הפונקציה F(a) בתחום 0 a 5

45 תשובות למבחן בגרות מספר 0 קיץ תשע"ב 0 מועד א: z + = 0 6+ z+ = 0 : π א = 6 ) ( ( 6) + ב : π z = z = () 776 : π : π או ס"מ ( e ; ) ב () 5 4 ln(a + ) 5 א = F(a) a + מקסימום מינימום e ג (0;0) (0;0) ב () ()

46 מבחן בגרות מספר קיץ תשע"ב 0 מועד ב פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - C(4; ) במשולש ישר-זווית ABC נתון: = 90 ACB משוואת היתר AB היא = 0 + שיעור ה- של קדקוד A גדול משיעור ה- של קדקוד B א מצא את השיעורים של קדקוד A ואת השיעורים של קדקוד B שעבורם ניצבי המשולש ABC מקבילים לצירים ב נתון כי ניצבי המשולש ABC אינם מקבילים לצירים אך אורך היתר שלו זהה לאורך היתר במשולש שבסעיף א' מצא את השיעורים של קדקוד A ואת השיעורים של קדקוד B במקרה זה A u M S B v w C SABC SA = u ABC v ; = ; ABC נתונה פירמידה ישרה SB = v נסמן: SC = w M היא נקודה במישור כך ש- SM = u + v + w SM נתון: u v= v w = u w א הוכח כי הווקטור נתון גם: מאונך למישור u ; = ; C(0 0) w = (0 ) ב מצא את משוואת המישור ABC ג דרך קדקוד C העבירו מישור π המקביל למקצוע AB ויוצר זווית של 0 עם המישור ABC מצא את משוואת המישור π (מצא את שני הפתרונות)

47 א z ו- z הם מספרים מרוכבים שונים מאפס z נתון כי הוא מספר מדומה טהור z הוכח כי הישר העובר דרך הנקודה z וראשית הצירים מאונך לישר העובר דרך הנקודה z וראשית הצירים (הנקודות z ו- z מייצגות במישור גאוס את המספרים הנתונים) D ב נתונה פירמידה ישרה EABCD שבסיסה E ABCD הוא ריבוע F היא נקודה על המקצוע EC ו- G היא נקודה על המקצוע ED כך שנוצר המישור GFBA EDC בפאה DC הגובה ל- EL B חותך את GF בנקודה K C KM הוא אנך אמצעי ל- AB (ראה ציור) M הזווית בין פאה צדדית של הפירמידה A לבסיס הפירמידה היא 70 הזווית בין המישור GFBA לבסיס הפירמידה היא 40 גובה הפירמידה הוא 75 ס"מ מצא את האורך של הקטע G K L KL F הערה: אין קשר בין סעיף א' לסעיף ב' פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ענה על אחת מהשאלות 5-4 a < 0 f() = נתונה הפונקציה a ln א מצא: () את תחום ההגדרה של הפונקציה () את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה) () את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ב שרטט סקיצה של גרף הפונקציה ג השטח החסום על ידי גרף הפונקציה על ידי ציר ה- ועל ידי הישר העובר בנקודת הקיצון של הפונקציה ומאונך לציר ה- מסתובב סביב ציר ה- נפח גוף הסיבוב שמתקבל הוא 8π מצא את הערך של a 4 4

48 05 נתונה הפונקציה a)e f() = ( המוגדרת לכל a הוא פרמטר א () האם הפונקציה f() היא זוגית או אי-זוגית? נמק () האם פונקציית הנגזרת ()' f היא זוגית או אי-זוגית? נמק 5 בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת ()' f f '() בתחום 0 בתחום זה יש לפונקציית הנגזרת ()' f מקסימום מוחלט ומינימום מוחלט כמתואר בציור אחת מנקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה- היא נקודה שבה = 5 ב מצא את שיעורי ה- (ערכים מספריים) של המקסימום המוחלט ושל המינימום המוחלט של פונקציית הנגזרת ()' f בתחום 0 ג שרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת ()' f בכל תחום ההגדרה שלה ד מצא את שיעור ה- של נקודת ההשקה שבה שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f() הוא: () הגדול ביותר בכל תחום הגדרתה נמק () הקטן ביותר בכל תחום הגדרתה נמק תשובות למבחן בגרות מספר קיץ תשע"ב 0 מועד ב: B(6; 0) A(; ) או = 0 z ) B(5; ב + z = 0 (; 0) () A(4; 5) z= ג 0 ס"מ ב 0< < e ; > e ירידה: f() > 0 69 () עלייה: a = א ב ב 4 א () ג היא זוגית f '() 5 א () הפונקציה () פונקציית הנגזרת ב מקסימום מוחלט: היא אי-זוגית = ג = 5 = מינימום מוחלט: () = ד () 5

49 מבחן בגרות מספר חורף תשע"ג 0 פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - נתונה האליפסה = + b a > B a b (ראה ציור) F ו- F הם מוקדי האליפסה A A וקדקודיה הם B B A A נתון כי המוקד F הוא אמצע הקטע AF B דרך מרכז האליפסה ושניים מקדקודיה העבירו מעגל נתון כי קוטר המעגל הוא 7 א מצא את משוואת האליפסה ב העבירו עוד שלושה מעגלים אחרים דרך מרכז האליפסה ושניים מקדקודיה המרכזים של ארבעת המעגלים הם קדקודים של מרובע המרובע הנמצא במישור ] [ הוא בסיס של פירמידה שקדקודה הוא (4 0)S מצא את נפח הפירמידה שני מעגלים שמרכזיהם נמצאים ברביע השני ו- (;0)B (;0)A בנקודות משיקים לציר ה- (ראה ציור) M המעגלים משיקים זה לזה בנקודה א המשיק המשותף לשני המעגלים בנקודה C חותך את ציר ה- MC = הראה כי AB M B C A ב () מצא את משוואת המקום הגיאומטרי של נקודות ההשקה M הנוצרות באופן שתואר () מהי הצורה של המקום הגיאומטרי של הנקודות M ובאיזה רביע/רביעים הוא נמצא? ג המדריך של הפרבולה = p משיק למקום הגיאומטרי שאת משוואתו מצאת בסעיף ב' מצא את שיעורי הנקודות על הפרבולה שמרחקן מהמוקד שלה הוא 0 6

50 B E F A C נתונים שני ישרים מצטלבים קטע AB נמצא על אחד הישרים וקטע CF נמצא על הישר האחר נקודה E היא אמצע הקטע AB (ראה ציור) נסמן: EA = w FE = v CF = u v u v נתון: w u = 7 v = w = קוסינוס הזווית בין הווקטורים א מצא את גודל הזווית ABC w ו- u הוא BC נתון גם: 6) B( A(0 ) מישור π עובר דרך הנקודה B ומאונך לישר AB ב מצא את משוואת המישור π ג היעזר בתשובתך לסעיף א' ומצא את גודל הזווית שבין הישר למישור π פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ענה על אחת מהשאלות 5-4 נתונות הפונקציות f() ו- g() הפונקציה f() ופונקציית הנגזרת ()' g מקיימות: f() g'() = בציור שלפניך מוצגים הגרפים I ו- II של הפונקציות f() ו- '() g א קבע איזה גרף הוא של הפונקציה f() ואיזה גרף הוא של פונקציית הנגזרת g(05) = g '() = e ב נתון גם: נמק g '() e 05 מצא עבור אילו ערכים של הגרף של הפונקציה נמצא מעל הגרף של הפונקציה g() ג הישר עובר דרך נקודת המינימום של הפונקציה ודרך נקודת המקסימום של פונקציית הנגזרת ()' g הישר עובר דרך נקודת המקסימום של הפונקציה ודרך נקודת המינימום של פונקציית הנגזרת ()' g מצא את משוואת הישר ואת משוואת הישר f() f() f() I II 4 7

51 ד השטח המוגבל על ידי הישר על ידי הגרף של הפונקציה f() ועל ידי הגרף של פונקציית הנגזרת ()' g הוא S השטח המוגבל על ידי הישר על ידי הגרף של הפונקציה f() ועל ידי הגרף של פונקציית הנגזרת ()' g הוא S מהו היחס? נמק S S בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת = ()' f הפונקציה f() מוגדרת לכל א היעזר בגרף של פונקציית f '() הנגזרת '() f ומצא: () את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f() נמק () את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של הפונקציה f() (אם יש כאלה) נמק ב נתון כי הישר = משיק לגרף הפונקציה f() בנקודת המינימום שלה מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם הצירים ג לפניך ארבעה גרפים IV I איזה גרף עשוי לתאר את הפונקציה f()? נמק 5 I II III IV 8

52 תשובות למבחן בגרות מספר חורף תשע"ג 0: () קשת המעגל = ) ( + ברביע השני := III := 9 '() g ב > ג 0< < < 0 8 ב + = ( ) = + 4 = 0 (9; 6) א ב () (9;6) 809 ב ג ג ; ירידה: II f() א 4 א I הוא של ד S S = הוא של < > או 0 או ב 0) (75; ג גרף : אין (0;0) ; < 0 5 א () עלייה: > 0 : () 9

53 מבחן בגרות מספר קיץ תשע"ג 0 מועד א פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - o נתונות הנקודות: 0) 8; B( A(0; 6) דרך הנקודה E שעל הקטע AB מעבירים ישר המקביל לציר ה- A E C (הנקודה E שונה מ- A ומ- ) B P הישר חותך את ציר ה- בנקודה C הישר BC חותך את הישר OE בנקודה P O ראשית הצירים (ראה ציור) O א הראה כי המקום הגיאומטרי שעליו נמצאות הנקודות P הנוצרות באופן שתואר נמצא על קו ישר ב הנקודה P o נמצאת על המקום הגיאומטרי שמצאת בסעיף א' כך שהנקודה E היא מרכז המעגל החוסם את המשולש ABO מצא את שטח המשולש AP O B A L M B T במשולש ABC התיכון לצלע BC הוא AT הנקודה L נמצאת על הצלע AC AT ו- BL נפגשים בנקודה M (ראה ציור) נסמן: AB = u AC = v BM = βbl AM = αat א נתון: AL LC = 4 מצא את הערך של α ואת הערך של C β 40

54 ב () מצא את המשוואה של המקום הגיאומטרי שעליו מונחות הנקודות B שעבורן במשולש ABC מתקיים: = 50 AT A(; 0) v = (7; 7) על פי הנתונים שבתת-סעיף ב( ) והנתון שבסעיף א' ענה על התת סעיפים () ו-( ) () מצא את השיעורים של הנקודה L () אם הישר MB מקביל לציר ה- מצא את השיעורים של הקדקוד B הערה: הפתרון של סעיף ב אינו תלוי בפתרון של סעיף א A D S B א נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מקבילית (ראה ציור) נסמן SD = v SA = w SB = u w ו- u () הבע באמצעות v C את הווקטור SC () נתון גם: SC = SA SD = SB w = a u = a ASB = β ASD = α DSB = 90 cosα+ cosβ= הראה כי 6n z הוא מספר מרוכב z ב = z z i + () פתור את המשוואה הוא מספר טבעי אז n () הראה כי כאשר ערכים יכול לקבל רק שני הערה: אין קשר בין סעיף א לסעיף ב 4

55 פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ענה על אחת מהשאלות 5-4 ln ( ln ) f '() = ( ln ) 4 נתונה פונקציית הנגזרת ()' f א () מצא את תחום ההגדרה של '() f היא = 0 () אחת משתי האסימפטוטות האנכיות של מצא את האסימפטוטה האנכית השנייה עם הצירים ()' f () מצא את נקודות החיתוך של הגרף של (אם יש כאלה) היא שלילית ואת התחומים ()' f (4) מצא את התחומים שבהם שבהם היא חיובית ()' f יש גם אסימפטוטה אופקית ב ידוע כי לפונקציית הנגזרת ()' f סרטט סקיצה של הגרף של פונקציית הנגזרת > e בנקודה שבה f() משיק לגרף הפונקציה 4 = ג הישר () מצא את השיעורים של נקודת ההשקה נמק < 4 ) (e f () הסבר מדוע ()' f () השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת e e שווה ל- 05 בתחום ועל ידי ציר ה- ) e) f מצא את הערך של = 0 נתונה הפונקציה 0< a < + f() = a a f() א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה היא אי-זוגית f() ב הראה כי הפונקציה (אם יש כאלה) f() ג מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה f() ד סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ()' f היא פונקציה זוגית ה ידוע שפונקציית הנגזרת בנקודה שבה = f() המשיק לגרף הפונקציה העבירו ישר T בנקודה אחרת f() והעבירו ישר אחר המשיק לגרף הפונקציה שני המשיקים מקבילים זה לזה ) T היא הנקודה היחידה על גרף שבה המשיק מקביל ל- ) f() הפונקציה T (במידת הצורך) את השיעורים של הנקודה a הבע באמצעות נמק 5 4

56 תשובות למבחן בגרות מספר קיץ תשע"ג 0 מועד א: (4; 7) () (4;) א המקום הגיאומטרי שעליו נמצאות הנקודות P נמצא () ( + 6) + ( + 7) = 00 ו- = + 6 ב () ב על הקו הישר β=07 8 יח"ר א α=06 z= i () ב SC = u + v w א () () הוכחה שני הערכים האפשריים הם (e ;0) (; 0) () = e () e > 0 4 א () 0< < > e < < ; שלילית: או e או e< < (4) חיובית: e ב 45 () (e ; 4) ג () ד ; < 0 > 0 0 ג עלייה: ירידה: אין או 5 א ; a a ה 4

57 מבחן בגרות מספר 4 קיץ תשע"ג 0 מועד ב פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - נתונות הנקודות 0) a; A( ו- 0) B(a; a > 0 המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מהנקודה A גדול פי ממרחקן מהנקודה B זהה למקום הגיאומטרי של מספרים מרוכבים z המקיימים = 4 b a z+ ו- b הם פרמטרים ממשיים א מצא את הערך של a ואת הערך של b ב מלבן TNEF שצלעותיו מקבילות לצירים חסום במקום הגיאומטרי המתואר בפתיח שיעורי ה- של הקדקודים E ו- F קטנים מ- 0 המספר המרוכב z = + i מייצג את הקדקוד T של המלבן הנקודה C נמצאת על ציר ה- כך ש- 6 = CF CN מצא את השיעורים של הנקודה C הישר עובר דרך הנקודות 0;) A(0; ו- 0) B(;; הישר מאונך למישור π וחותך את המישור בנקודה D המישור π עובר דרך ראשית הצירים O א מצא את שטח המשולש OAD ב () המישור π מכיל את ציר ה- ומקביל לישר מצא את הזווית בין הישר ובין ישר החיתוך שבין המישור למישור π () מצא את המרחק של הישר מישר החיתוך שבין המישור π למישור π π 44

58 A' E C' B' B נתונה מנסרה ישרה 'B'C' ABCA שבסיסה משולש שווה-צלעות הנקודה E נמצאת על המקצוע AB כך ש- < k < ) AE = kab (0 א נתון כי הזווית בין המישור A 'EC למישור ABC היא הזווית A 'EA מצא את הערך של k A נתון: = AC A 'EA = 45 הזווית בין המישור A 'EC למישור ABC היא A 'EA ב חשב את הזווית בין המישור ABC למישור A 'BC נקודה F נמצאת על המישור A 'BC (לאו דווקא על ( BC כך ש- AF מאונך ל- BC ומתקיים: A'F= ta'c + ma'b ג סמן: C t = m AB = v והוכח כי AC = u AA ' = w פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ענה על אחת מהשאלות 5-4 a א נתונות הפונקציות: a > 0 g() = e f() = e a () סמן במערכת צירים את השטח הכלוא בין הגרפים = ואת השטח הכלוא של הפונקציות f() ו g() והישר a = בין הגרפים של הפונקציות f() ו- g() והישר a () השטחים שסימנת בתת-סעיף א () מסתובבים סביב ציר ה- הבע כפונקציה של a את הנפח הכולל של גוף הסיבוב שנוצר () סרטט סקיצה של גרף הפונקציה V(a) V(a) 4 ב בתאריך // 005 הופקד בבנק א' סכום כסף מסוים ובאותו תאריך הופקד גם בבנק ב' אותו סכום כסף בכל אחד מהבנקים סכום הכסף שהופקד גדל כל שנה באחוז קבוע כעבור 7 שנים היו בבנק א' 98 שקלים ובבנק ב' היו 6 שקלים כעבור כמה שנים מהתאריך // 005 יהיה בבנק ב' סכום כסף הגדול ב- 5% מסכום הכסף שיהיה בבנק א'? הערה: אין קשר בין סעיף א לסעיף ב 45

59 = f() k הוא פרמטר שונה מ- 0 נתונה הפונקציה k ln א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f() ב () מצא עבור אילו ערכים של k לפונקציה f() יש מקסימום 5 נתון כי בתחום > הפונקציה f() מקבלת את כל הערכים ורק אותם () מצא את הערך של k () נתון גם כי הישר = הוא האסימפטוטה היחידה של הפונקציה f() סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() בכל תחום הגדרתה ג מבין המשיקים לגרף הפונקציה f() בתחום > מצא את נקודת ההשקה של המשיק ששיפועו מינימלי 0 מועד ב: V(a) תשובות למבחן בגרות מספר 4 קיץ תשע"ג () = C(5; 0) () 90 f() 5 b= ב a = ב () = ב k = g() א () א א א 4 a V(a) =π e + e a () ב שנים 0< < א > או () k = () k< ב () 0 e ג e) (e ; 5 46

60 P A u w = a מבחן בגרות מספר 5 חורף תשע"ד 04 פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - הנקודות C(;) ו- D(;) נמצאות ברביע הראשון על הפרבולה = 4 m = 4 + הוא CD א () הראה כי שיפוע המיתר CD היא אמצע המיתר (;) () הנקודה m מצא את ב נתון כי מרחק כל נקודה על הפרבולה הנתונה מהישר (0 ;) שווה למרחקה מהנקודה 6 הוא = a מהישר מרחק הנקודה C? a נמק () מהו הערך של CD () מצא את משוואת הישר (ראה ציור) AB = w AC = v AD = u נתונים הווקטורים: BAC = DAC = = DAB נתון: D u = v = w = u v w א האם ייתכן ששלושת הווקטורים נמצאים במישור אחד? נמק v B C ABC נתון גם כי הווקטור AP = au + bv + w מאונך למישור a ABC ו- b הם פרמטרים (ראה ציור) ב מצא את האורך של AP (ערך מספרי) ג היעזר בחישובים טריגונומטריים ומצא את הזווית בין המישור PCB ובין המישור 47

61 המקום הגאומטרי של המספרים המרוכבים z מקיים: = 7 5i z המקום הגאומטרי של המספרים המרוכבים w = + i מקיים: = 45 arg(w) arg(w) ) היא הזווית בהצגה הקוטבית של ( w המקום הגאומטרי של המספרים המרוכבים w חותך את המקום הגאומטרי של המספרים המרוכבים z בנקודות B ו- C א סרטט באותה מערכת צירים סקיצות של שני המקומות הגאומטריים ב הנקודות B ו- C מייצגות במישור גאוס את המספרים המרוכבים z ו- z בהתאמה מצא את ) z arg(z פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ענה על אחת מהשאלות 5-4 נתונה הפונקציה f() = e א מצא: () את תחום ההגדרה של הפונקציה f() () את תחומי העלייה והירידה של פונקציית הנגזרת ()' f ב מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה ()' = f והראה כי נקודה זו נמצאת על גרף הפונקציה ) f( > 0 = ג הפונקציות '() = f ו- ) f( = נפגשות בנקודה אחת בלבד (הנקודה שמצאת בסעיף ב) השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי פונקציות אלה ועל ידי הישר a > = a שווה ל- (a) 8e f מצא את הערך של a תוכל להשאיר ln בתשובתך 4 א קבלן מציע דירות למכירה בתשלומים חודשיים בתאריך 0 התשלום החודשי עבור הדירה היה 5900 שקל ובכל חודש התשלום גדל ב- 0% המשכורת החודשית של רן בתאריך 0 הייתה 8000 שקל ובכל חודש היא גדלה ב- % רן יכול להתחיל לשלם עבור הדירה רק אחרי התאריך שבו התשלום החודשי עבור הדירה יהיה 60% ממשכורתו החודשית כעבור כמה חודשים שלמים מהתאריך 0 יוכל רן להתחיל לשלם עבור הדירה? 5 48

62 n n ב נתונה הפונקציה ) ln( f() = הפרמטר n הוא מספר טבעי וזוגי () מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f() () קבע אם הפונקציה f() היא זוגית או אי-זוגית נמק () הראה כי יש רק ישר אחד המשיק לגרף הפונקציה f() ומקביל לציר ה- ומצא את משוואתו הערה: אין קשר בין סעיף א לסעיף ב תשובות למבחן בגרות מספר 5 חורף תשע"ד 04: = () a = 6 ג = m ב () א () א לא ייתכן ב א ; ירידה: < 0< f() = e > arg(z z ) = 90 () עלייה: 0 ב 4 א () ב e) (; ג מינימום () הפונקציה a = + ln 5 א חודשים היא זוגית 0 משוואת המשיק היא ב () () 49

63 מבחן בגרות מספר 6 קיץ תשע"ד 04 מועד א פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - א מצא את המשוואה של המקום הגאומטרי של הנקודות = הוא שהמרחק של כל אחת מהן מהישר ב מהי משוואת המקום הגאומטרי של מרכזי המעגלים המשיקים בשתי נקודות למקום הגאומטרי שמצאת בסעיף א? לאחד המעגלים שבסעיף ב? (0;0) יכול להשיק בנקודה ג האם ציר ה- נמק A S E K O B SO C נתונה פירמידה ישרה SABC שבסיסה ABC הוא משולש שווה-צלעות גובה הפירמידה הוא (ראה ציור) SO נקודה E היא אמצע נקודה F מקיימת SF = tsc נסמן: OS = w AC = v AB = u נקודה K מקיימת: SK = u v w 9 9 מצא את הערך של אם ידוע t שהנקודות K F ו- E נמצאות על ישר אחד א סרטט במישור גאוס סקיצה של המקום הגאומטרי של המספרים המרוכבים z המקיימים: = i z + נמק ב המקום הגאומטרי שבסעיף א נפגש עם ציר ה- בנקודה z נתונה הנקודה ( ; )M נסמן ב- O את ראשית הצירים המספר המרוכב z נמצא על המקום הגאומטרי שבסעיף א כך שהמרובע zmzo הוא דלתון מצא את הזווית החדה של הדלתון ג () מצא את הארגומנט של z () מבין המספרים המרוכבים z שבסעיף א מהו המספר שיש לו הארגומנט הגדול ביותר? מהו ארגומנט זה? 50

64 פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ענה על אחת מהשאלות 5-4 f '() בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת המוגדרת לכל מצא תחומי קעירות ()' f א על פי הגרף של של הפונקציה וכלפי מטה כלפי מעלה נמק המוגדרת לכל f '() f() 4 f() חותך את ציר ה- f() נתון כי גרף הפונקציה בחלקו השלילי ב סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() 05 ג נתון גם: a f() = ( a)e הוא פרמטר היעזר בנתונים בגרף של ()' f וחשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ועל ידי הצירים נתונה הפונקציה c) c f() = log 4( הוא פרמטר נתון כי לפונקציה יש אסימפטוטה שמשוואתה = c א () מצא את ערך הפרמטר () מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה () מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה (4) מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (5) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ב () נתונה הפונקציה f() g() = g() סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g() = k יש למשוואה k () עבור אילו ערכים של שני פתרונות בלבד? 5 5

65 תשובות למבחן בגרות מספר 6 קיץ תשע"ד 04 מועד א: = ב = ג לא א = א t = z= () המספר המרוכב הוא 0 ב 60 ג () (הנקודה המתאימה היא ;0) ( ( הארגומנט הוא 80 ב < : ; > 4 א : < f() ; ירידה: > () עלייה: e = = 09 e (5) ( ;0) 05 g() () c= 4 ( ; 0) (0;) ג 5 א () (4) ב () k = 0 () 5

66 O B = 4 מבחן בגרות מספר 7 קיץ תשע"ד 04 מועד ב פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - נקודה A נמצאת ברביע הראשון על הפרבולה שמשוואתה = C A ישר המשיק לפרבולה בנקודה B מקביל למיתר - O ) OA ראשית הצירים) דרך הנקודה A העבירו ישר המקביל לציר ה- הישר חותך את המשיק בנקודה C (ראה ציור) נסמן: C שיעור ה- של הנקודה C A של הנקודה שיעור ה- A היעזר בעובדה שהנקודה C נמצאת על פרבולה שמשוואתה וענה על הסעיפים א ב ו-ג א הבע באמצעות C את A ב הבע באמצעות C את השיפוע של הישר OA ג נתון גם כי שטח המשולש BCA הוא 0565 מצא את השיעורים של הנקודה C במשולש ABC גובה המשולש לצלע AB הוא נסמן: AD = tab CB = v CA = u נתון: CD CB = CA = cosacb = 4 א חשב את הערך של t בעזרת חשבון וקטורים ב סרטט את המשולש ABC ואת הגובה CD כך שהסרטוט יתאים לערך של t שחישבת בסעיף א' ג נקודה E נמצאת על הצלע BC (בין B ל- ) C CD = h נסמן: CE 5 נתון גם: BE = הבע את AE באמצעות h ו- u בלבד 5

67 z + ( ) 4 א פתור את המשוואה = z הוא מספר מרוכב z ב האם שלושה מן הפתרונות שמצאת בסעיף א' נמצאים על המקום הגאומטרי של המספרים המרוכבים w השונים מ- 0 ומקיימים: < 5 arg(w) < 07? נמק פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ענה על אחת מהשאלות 5-4 ( + ) = f() a הוא פרמטר a e נתונה הפונקציה f()? א () מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f() עם הצירים () מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ()' f ב בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת היעזר בנתונים הרשומים בגרף ומצא: וערך מספרי () ערך מספרי עבור שיעור ה- של נקודת הקיצון עבור שיעור ה- f '() f() וקבע את סוגה של הפונקציה וערך () ערך מספרי עבור שיעור ה- מספרי עבור שיעור ה- של נקודת הפיתול של הפונקציה f() () את תחומי הקעירות כלפי מעלה f() של הפונקציה וכלפי מטה f() ג סרטט סקיצה של גרף הפונקציה 4 54

68 4 = e 9ln( + ) f() = + נתונה הפונקציה (ראה ציור) א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f() ב () מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f() עם ציר ה- () השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה = על ידי ציר ה- ועל ידי הישרים e a > ו- a = הוא 5 נתון כי e היעזר בנגזרת של ) + ( = ln ומצא את a ג לפונקציה f() יש נקודת קיצון אחת בלבד בנקודה שבה מצא עבור אילו ערכי הפונקציה f() שלילית וגם פונקציית הנגזרת ()' f שלילית 5 תשובות למבחן בגרות מספר 7 קיץ תשע"ד 04 מועד ג ב: / AE = 7u h 8 ג C(5;) C 5 A C D = C ב 4 A = א C 4 = t ב א B i ב כן ג 0 C 0 06i ( ;0) (0; 6) א 4 א () כל () ) e 4 ; ( מינימום ב () > : ; ; 8 e < : () () 4 e < < e a = e e ;0 () ב () > א ג 5 55

69 מבחן בגרות מספר 8 קיץ תשע"ד 04 מועד ג פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - נתונה המשוואה = + a a 6 א מצא עבור אילו ערכים של a a הוא פרמטר חיובי שונה מ- 4 המשוואה מייצגת אליפסה חותכת את הקרן השלילית אליפסה שמשוואתה = + a a 6 של ציר ה- בנקודה A F הוא המוקד הימני של האליפסה ו- F הוא המוקד השמאלי הישר AF יוצר עם הקרן החיובית של ציר ה- זווית של 6566 ב מצא את משוואת האליפסה ג מצא את משוואת המקום הגאומטרי של נקודות הנמצאות במרחקים שווים מהמוקד F ומן הישר שעובר דרך המוקד F ומקביל לציר ה- נמק C A H B P F D בפירמידה משולשת ABCD AF הוא גובה הפירמידה לפאה ו- CH הוא גובה הפירמידה לפאה הישרים AF ו- CH נפגשים בנקודה (ראה ציור) AP BD = 0 א () הסבר מדוע () הוכח כי AC BD ב הוכח כי ג סמן BD = u הוכח כי אם BDC ABD P BA CBD = ABD אז = w AH BD BC = v AB = BC 56

70 נתון המספר המרוכב z = cosα+ isin α ונתון מספר מרוכב w שהערך המוחלט שלו הוא r) > (0 r z ו- w נמצאים ברביע הראשון z = המספר z מקיים w w א הבע באמצעות α ו- r את המספר w את הצמוד שלו w ואת ההפכי שלו w ב סרטט במערכת צירים את מעגל היחידה והוסף לסרטוט דוגמה של מספר w ושל ההפכי שלו עבור > r w a = z a ג נתונה סדרה הנדסית a n שבה = w הבע באמצעות α ו- r את a 5 פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ענה על אחת מהשאלות 5-4 נתונה הפונקציה f() = e (ראה ציור) א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ב הוכח כי הפונקציה עולה לכל בתחום ההגדרה שלה ג העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה = הישר נפגש עם גרף הפונקציה בשתי נקודות בלבד () מצא את משוואת המשיק () העתק למחברתך את גרף הפונקציה והוסף לגרף סרטוט של המשיק () השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ועל ידי המשיק מסתובב סביב ציר ה- מצא את נפח גוף הסיבוב שנוצר 4 57

71 בציור שלפניך מוצגים שני גרפים I ו- II של פונקציות המוגדרות בתחום I אחד הגרפים הוא של הפונקציה f() II והאחר הוא של פונקציית הנגזרת ()' f א קבע איזה מבין הגרפים I ו- II הוא של הפונקציה f() נמק ב נתונה הפונקציה ) f() g() = ln( () מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה g() () מה הן האסימפטוטות של g() המאונכות לציר ה-? () מצא את השיעורים של נקודות הקיצון הפנימיות של g() (אם יש כאלה) וקבע את סוגן (4) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה g() (5) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g() אם נתון כי הישר חותך את גרף הפונקציה f() בשלוש נקודות 0 = 5 58

72 תשובות למבחן בגרות מספר 8 קיץ תשע"ד 04 מועד ג: מאונך למישור BDC BDC AP = 6 ג + = 0 4 א > 4 a ב א () AF מאונך למישור הפאה BDC לכן BD ומכאן ש- AP מאונך ל- נקבל שמכפלתם הסקלרית שווה ל- הנמצא במישור הפאה AP BD = 0 w w 0 כלומר ב ( ) = cis w r α ( ) w = r cis α w = r cis α ( ) a5 r cis 5 = α א ג () = 4 א ג () π = e () (5) f() < = 5 א גרף II הוא של או = < < = ב () () ) (;ln מקסימום () < < ; < < < < (4) עלייה: ירידה: או 59

73 מבחן בגרות מספר 9 חורף תשע"ה 05 פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - P נתון מעגל שמשוואתו = 5 + המעגל חותך את ציר ה- בנקודות A ו- M B הוא מיתר במעגל המאונך לציר ה- MN א הישרים MB ו- NA נפגשים B בנקודה ) P(; כמתואר בציור A ) אינו מונח על ציר ה- MN ) N () נסמן: 0) M( 0; הבע באמצעות 0 ו- 0 את משוואת הישר MB ואת משוואת הישר NA () הראה כי המקום הגאומטרי של הנקודות P(;) הנוצרות באופן שתואר מקיים את המשוואה: 5 = ב אם המיתר MN מונח על ציר ה- מצא את רדיוס המעגל החסום במרובע MBNA הערה: הפתרון של סעיף ב אינו תלוי בפתרון של סעיף א נתון משולש שקדקודיו הם: ()C גובה המשולש לצלע AB הוא CD א מצא את השיעורים של הנקודה D ב נתונה הנקודה ) 5 E( מהי הזווית בין הישר : CE () לישר? AB () לישר? BC () למישור? ABC ג חשב את הזווית בין הישר ED לבין המישור A( 0) ABC נמק B( 5 5) 60

74 א פתור את המשוואה: = z z i + z הוא מספר מרוכב ב המספר המרוכב z הוא הפתרון של המשוואה שבסעיף א z הוא קדקוד הראש של משולש שווה-שוקיים החסום במעגל שמרכזו בראשית הצירים z ו- z הם שני הקדקודים האחרים של המשולש נתון: = z המספר המרוכב w מקיים: w = z z z חשב את הסכום n הוא מספר טבעי 4 w+ w + w + w + 4n +w פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ענה על אחת מהשאלות 5-4 g() ועל ידי הצירים f() = m m + נתונה הפונקציה g() = f '() f() g() = ln 4 g() המקיימת: ונתונה הפונקציה הוא פרמטר m עולה לכל g() ידוע כי הפונקציה מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של הפונקציה (מצא ערך מספרי) 4 נתונה פונקציית הנגזרת: f '() ln( ) + f '() = ()' f א מצא את תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת ב מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של פונקציית הנגזרת וקבע את סוגה f() של נקודת הקיצון של הפונקציה ג מצא את שיעור ה- וקבע את סוגה ו- ()' f יש אותו תחום הגדרה f() לפונקציות g() = ד הפונקציה g() מקיימת: f '() היעזר בסעיפים הקודמים ומצא: () את תחום ההגדרה של g() () את השיעורים של נקודת הקיצון של g() וקבע את סוגה 5 6

75 תשובות למבחן בגרות מספר 9 חורף תשע"ה 05: 0 50 = ג : NA () 90 = מינימום e 0 50 = () : MB 5 = 5 5;0) 45; D( ב () z= i א () ב א ב הסכום הוא אפס מינימום ג ( מינימום ; ) e e ( ; e ) e () e ב < 0 6 < 0 א 4 5 א ד () 6

76 מבחן בגרות מספר 0 קיץ תשע"ה 05 מועד א פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - p> נתונה פרבולה המקיימת: = p 0 נקודה D נמצאת על הפרבולה ברביע הראשון במרחק 8 מציר ה- א הבע באמצעות p את המרחק של הנקודה D מן המדריך של הפרבולה p+ מעבירים שני מעגלים: מעגל ראשון שמרכזו בנקודה D ורדיוסו 4 מעגל שני שמרכזו במוקד F של הפרבולה המעגל השני משיק מבחוץ למעגל הראשון ומשיק גם לציר ה- ב היעזר בסעיף א ומצא את משוואת הפרבולה ג נקודה K נמצאת על הפרבולה שאת משוואתה מצאת דרך הנקודה K העבירו משיק לפרבולה ואנך למשיק המשיק והאנך חותכים את ציר ה- בנקודות T ו- S בהתאמה המרחק בין הנקודה T לנקודה S הוא 6 מצא את השיעורים של הנקודה K (מצא את שתי האפשרויות) בתשובתך תוכל להשאיר שורש במידת הצורך נתון ישר שמשוואתו ) t( = ( 4) + מישור π מאונך לישר וחותך את ציר ה- בנקודה A נקודה A נמצאת על הקרן החיובית של ציר ה- במרחק 8 מראשית הצירים O נקודות B ו- C הן נקודות החיתוך של המישור π עם ציר ה- ועם ציר ה- z בהתאמה א () מצא את האורך של כל אחד מששת המקצועות של הפירמידה OABC () האם הפירמידה OABC היא ישרה? נמק ב נקודה D נמצאת על הקטע AC כך ש- OD חוצה-זווית AOC מהו המצב ההדדי בין הישר OD לישר? BC נמק 6

77 n נתונה המשוואה = 8 z z הוא מספר מרוכב > n א הוכח כי n הפתרונות של המשוואה הם קדקודים של מצולע משוכלל המספרים z 0 z z z הם ארבעה קדקודים עוקבים מבין n הקדקודים של המצולע שבסעיף א (לפי סדר המספרים הרשום) z 0 הוא מספר ממשי וחיובי z נמצא במישור גאוס ברביע הראשון z0 z z z נתון: = 8i ב מצא את הערך של n פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ענה על אחת מהשאלות המוגדרת לכל = f() נתונה הפונקציה a הוא פרמטר גדול מ- 0 f() היא פונקציה אי-זוגית א הוכח כי הפונקציה (במידת הצורך) את השיעורים של נקודות a ב () הבע באמצעות f() וקבע את סוגן הקיצון של הפונקציה f() () סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() ג מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ו- = אם נתון כי ועל ידי הישרים = על ידי ציר ה- ] f() g() = [ g() המקיימת: ד נתונה הפונקציה g() של נקודות הקיצון של הפונקציה מצא את שיעורי ה- וקבע את סוגן a = a e 4 64

78 נתונה הפונקציה a f () = a ln הוא פרמטר גדול מ- 0 א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f() ב הראה כי לפונקציה f() יש נקודת פיתול אחת בלבד והבע את שיעור ה- שלה באמצעות a ג איזה מבין הגרפים IV III II I שלפניך מתאים לגרף פונקציית הנגזרת השנייה ()"? f נמק 5 IV III II I שווה ל- 0 f() ד () אם שיפוע המשיק בנקודת הפיתול של a מצא את הערך של ()' f עבור הערך () סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת שמצאת a של נקודות קיצון? f() שמצאת יש לפונקציה a () האם עבור הערך של נמק f() שיפוע המשיק בנקודת הפיתול של a ה מצא עבור אילו ערכים של גדול מ- 0 65

79 תשובות למבחן בגרות מספר 0 קיץ תשע"ה 05 מועד א: (6; 48) ג 48) (6; = 8 p ב א + p א () 8 = OA BC = AB = 80 AC = 80 OC = 4 OB = 4 () הפירמידה אינה ישרה בפירמידה ישרה המקצועות הצדדיים שווים זה לזה במקרה שלפנינו לא קיים קדקוד ממנו יוצאים שלושה מקצועות שווים ב מצטלבים ב = 8 n מינימום ; a e מקסימום ; a e 4 ב () () e ג = = 0 ד = מקסימום מינימום מקסימום IV ג גרף = a ב 5 א > 0 () a = ד () () לא ה > a 66

80 מבחן בגרות מספר קיץ תשע"ה 05 מועד ב פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - נתונה הפרבולה: = 4 הישרים ו- L משיקים לפרבולה A בנקודות A ו- B בהתאמה הנקודה A נמצאת ברביע הראשון והנקודה B נמצאת ברביע הרביעי כמתואר בציור B K המשיקים נפגשים בנקודה (; ( א מצא את השיעורים של הנקודה A ואת השיעורים של הנקודה B L ב הפרבולה משיקה בנקודה B למעגל שמרכזו K נמצא על ציר ה- (ראה ציור) מעגל שמרכזו M משיק לציר ה- בראשית הצירים ומשיק מבחוץ למעגל שמרכזו K המרכז M נמצא משמאל לציר ה- () מצא את השיעורים של המרכז K () מצא את משוואת המעגל שמרכזו M תוכל להשאיר שורש בתשובתך z O' A' O A B' B C' C המקצועות OC OA ו- OO' של התיבה OABCO'A'B'C' מונחים על הצירים כמתואר בציור נתון כי המישור = 0 m + + z עובר דרך הקדקודים C A ו- O' m הוא פרמטר גדול מ- 0 א האם הישר BC' מקביל למישור הנתון או חותך אותו? נמק 67

81 ב הישר O'M נמצא במישור הנתון ואינו מתלכד עם הישר O'A () האם הישרים BC' ו- O'M מקבילים? נמק () הבע באמצעות m את המרחק בין הישרים BC' ו- O'M ג דרך הקדקודים 'C ו- B העבירו אנכים למישור ACO' האנכים חותכים את המישור בנקודות E ו- F אורך הקטע EF הוא מצא את הערך של m z א סרטט במערכת צירים את המקום הגאומטרי המקיים i z i = z z הוא מספר מרוכב ב שני מספרים מרוכבים שונים z ו- z נמצאים על המקום הגאומטרי שסרטטת המרחק של z מראשית הצירים שווה למרחק של z מהראשית + = z ) הוא מספר ממשי) נתון: i מצא את הארגומנט של פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ענה על אחת מהשאלות 5-4 a f () = ln הוא פרמטר גדול מ- 0 a+ נתונה הפונקציה a א מצא (הבע באמצעות a במידת הצורך): () את תחום ההגדרה של הפונקציה f() () את שתי האסימפטוטות של הפונקציה f() המאונכות לציר ה- () את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f() (אם יש כאלה) (4) את השיעורים של נקודות הפיתול של הפונקציה f() (אם יש כאלה) ב סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() = משיק לגרף הפונקציה f() בנקודת הפיתול שלה ג הישר לפונקציה f() ולפונקציית הנגזרת ()' f יש אותו תחום הגדרה סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת ()' f ציין בגרף את הערכים המספריים של האסימפטוטות ושל נקודות החיתוך עם הצירים (אם יש כאלה) 4 68

82 נתונה הפונקציה f() = 4e + e + 4 e f() א () מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה המאונכות לצירים f() () מצא את האסימפטוטות של הפונקציה (אם יש כאלה) f() () מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה עם הצירים f() (4) מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() (5) סרטט סקיצה של גרף פונקציה f() ב מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של הפונקציה ועל ידי ציר ה- על ידי הישר = על ידי ציר ה- > ln בתחום F() = f() d ג נתונה פונקציה המקיימת F() של נקודות הקיצון של הפונקציה מצא את שיעורי ה- (אם יש כאלה) נמק 5 69

83 תשובות למבחן בגרות מספר קיץ תשע"ה 05 מועד ב: + + = () K(0; ) ) B(; ב () א 4) A(4; א הישר BC' מקביל למישור הנתון m= ב () לא הישרים BC' ו- O'M מצטלבים () ג m ב 5 א a < < a ; ירידה: אין = () עלייה: = = a ג = a () a < < a (0;0) 4 א () (4) ב (0;) ; ירידה: אין = 4 < ln = ln או (5) 5 א () ln () () עלייה: (0;9) (4) > ln (ln 4;0) = ln 4 ( ) 4ln ג + 5 = 659 e e ב (מינימום) 70

84 מבחן בגרות מספר חורף תשע"ו 06 פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - מעגל שמרכזו על ציר ה- עובר B דרך הנקודות 4) (; ו- 6;) ( A (שאינן קדקודי המלבן שבציור) הצלע AB של המלבן ABCD מונחת C D על ישר העובר דרך הנקודות האלה קדקודי המלבן ABCD נמצאים ברביע הראשון וברביע השני כמתואר בציור א מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה- ב המשכי הצלעות BC ו- AD עוברים דרך נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה- נתון כי המרחק של הצלע DC מראשית הצירים הוא מצא את שטח המלבן ABCD A z C O B נתונה פירמידה AOBC מונח על החלק החיובי של ציר ה- AO המקצוע מונח על החלק החיובי של ציר ה- z CO המקצוע והמקצוע AB נמצא במישור [] כך ששיעור ה- ושיעור ה- של הקדקוד B חיוביים (ראה ציור) נתון: = AO AC AB = 0 BO = 5 CO = א מהו המצב ההדדי בין הישר AB ובין ציר ה-? נמק CAB ב מצא את הזווית בין המישור ובין המישור [z] CAB ובמישור [] נמצאת במישור D ג נקודה [z] למישור CD כך ש- CB = CD מצא את הזווית בין הישר 7

85 המספר המרוכב z נמצא במישור גאוס ברביע הראשון על מעגל שרדיוסו ומרכזו ראשית הצירים O המספר המרוכב z נמצא במישור גאוס ברביע השני על מעגל שרדיוסו 4 ומרכזו ראשית הצירים O נתון כי הזווית בין הקטע Oz ובין הקטע Oz היא 60 המספרים z ו- z הם האיבר הראשון והאיבר השני בסדרה הנדסית בהתאמה z 4 הוא האיבר הרביעי בסדרה זו א הראה כי z ו- z 4 נמצאים על קו ישר אחד העובר דרך ראשית הצירים z z4 ב נתון גם: i = מצא את הארגומנט (הזווית) של z 4 ג מצא את שטח המשולש zz z 4 פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות פונקציות חזקה עם מעריך רציונלי פונקציות עם שורשים ענה על אחת מהשאלות 5-4 ln(a ) נתונה הפונקציה = f() a הוא פרמטר שונה מ- 0 a ענה על הסעיפים א ו-ב עבור > 0 a א מצא (הבע באמצעות a במידת הצורך): () את תחום ההגדרה של הפונקציה () את האסימפטוטה של הפונקציה המאונכת לציר ה- () את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה) (4) את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה (אם יש כאלה) וקבע את סוגן ב סרטט סקיצה של גרף הפונקציה 4 ענה על הסעיפים ג ו-ד עבור < 0 a ג סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ד נתון כי האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים נפגשות בנקודה ;0) ( מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה על ידי ציר ה- = (ערך מספרי) e+ ועל ידי הישר a 7

86 f() = נתונה הפונקציה + + a e f "() a הוא פרמטר גדול מ- 4 בציור שלפניך נתון הגרף של פונקציית "() f הנגזרת השנייה אינו חותך את ציר ה- ()" f הגרף של מוגדרת לכל "() f הפונקציה ויורדת בכל תחום הגדרתה א () מצא את נקודות החיתוך של גרף עם הצירים (אם יש כאלה) f() הפונקציה במידת הצורך a הבע באמצעות f() () מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה (אם יש כאלה) יש נקודות פיתול? נמק f() () האם לפונקציה f() (4) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ()' f יש נקודות פיתול? נמק ב האם לפונקציית הנגזרת הראשונה ()' f ג השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת הראשונה 5 8 e על ידי הצירים ועל ידי הישר = שווה ל- a מצא את הערך של 5 7

87 תשובות למבחן בגרות מספר חורף תשע"ו 06: 7;0) ( ב 8 א (;0) א הישר AB מקביל לציר ה- ב 406 ג 4 ב 5 ג 8 +e מקסימום () = () > ( ; ) (4) ( ;0 ) 4 א () a e a a a ג ב ד ירידה: כל (4) (0;a) () עלייה: אין; 5 א () () לא ב לא ג = 5 a 74

88 מבחן בגרות מספר קיץ תשע"ו 06 פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - נתון טרפז (AB DC) ABCD המשכי השוקיים BC ו- AD נפגשים בראשית הצירים השוק BC מונחת על החלק החיובי של ציר ה- הקדקודים A ו- D נמצאים ברביע השלישי הבסיס AB מונח על הישר = גובה הטרפז הוא היעזר בסרטוט סקיצה של הטרפז במערכת צירים וענה על סעיפים א ו-ב' א מצא את משוואת הבסיס DC נתון כי הקדקודים A ו- C נמצאים על מעגל שמרכזו בקדקוד ב () מצא את רדיוס המעגל () מצא את השיעורים של הקדקוד D בפירמידה ABCDE שבסיסה ריבוע נתון: AD DE הווקטור AE יוצר ו- AB זוויות שוות עם הווקטורים AD 5 אורך צלע הבסיס הוא נסמן: AE = w AB = u AD = v (ראה ציור) א מצא את הערך של המכפלה הסקלרית ושל המכפלה הסקלרית w u B 6 w v = EH נתון: 5 הנקודה H נמצאת על המקצוע EC כך ש- EC ב מצא את אורך המקצוע AE ג () הראה כי המשולש EDC הוא ישר-זווית ומצא את שטחו () מצא את נפח הפירמידה המשולשת AEDC A w v u AH = 7 B D E C 75

89 נתון: = 0 ) θ z R cisθ z R cis( z הוא מספר מרוכב >θ> 90 R 0 הוא מספר ממשי חיובי פתרונות המשוואה הנתונה הם z ו- z z נמצא ברביע הראשון א הבע באמצעות θ ו- R את ואת z z = z ו- נתון כי משוואת הישר העובר דרך z ב מצא את θ היא z z z המספר המרוכב z מקיים: z = z ג () סרטט במישור גאוס את המספרים O ) () נתון כי שטח המשולש zoz הוא 5 מצא את הערך המוחלט של ראשית הצירים) z פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות פונקציות חזקה עם מעריך רציונלי פונקציות עם שורשים ענה על אחת מהשאלות 5-4 f () = e נתונה הפונקציה f() א () מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית עם הצירים f() () מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה (אם יש כאלה) f() () סרטט סקיצה של גרף הפונקציה מקיימת f() g() = g() (4) נתון כי הפונקציה לסקיצה של גרף g() הוסף סקיצה של גרף הפונקציה f() הפונקציה ו- g() f() ב חשב את השטח הסגור בין הגרפים של שתי הפונקציות ובין הישר = מקיימות: ו- t(a) ג הפונקציות h(a) 4 a h(a) = f()d a t(a) = g() d a מצא את השיעורים של נקודת הפגישה בין הגרפים של הפונקציות h(a) ו- t(a) 76

90 נתונה הפונקציה ( ln ) f () = א () מצא את תחום ההגדרה של f() () מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה f() עם הצירים (אם יש כאלה) () מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה f() (אם יש כאלה) וקבע את סוגן ב () מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של פונקציית הנגזרת ()' f (אם יש כאלה) וקבע את סוגן () מצא את השיעורים של נקודת הפיתול של הפונקציה f() ג () סרטט באותה מערכת צירים סקיצה של הפונקציה f() וסקיצה של פונקציית הנגזרת ()' f () ברביע הראשון הגרפים של הפונקציות f() ו- ()' f נפגשים בנקודה אחת באיזה תחום ערכים נמצא שיעור ה- של נקודה זו? ד הפונקציה g() מקיימת: f() g'() = נתון: g(e) = c g( e) = b g() = a הבע באמצעות b a ו- c את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה על ידי ציר ה- ועל ידי הישרים = ו- e = f() 5 77

91 : 06 תשובות למבחן בגרות מספר קיץ תשע"ו D( 9; 8) () R = 0 א = ב () ב = 0 AE א = 5 u w v = w V 5 50 AEDC = = () S 5 50 EDC = = 768 ג () z = R cis(80 +θ ) = R cisθ z א = R cisθ z = R = 0 () () ב 0=θ ג z z z (0;0) 75) 087; ( מינימום () (0;0) א () מקסימום 4 (4) () = S ג 0) ; ( e = 64 e ב ג () (; מקסימום 4 ) פיתול ; e 4e () ( e;0) () מקסימום () > 0 ( ; ) e e 5 א () ב () e < < () ד S = b a c 78

92 מבחן בגרות מספר 4 קיץ תשע"ו 06 מועד ב פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - A נתונה פרבולה שמשוואתה = p שני ישרים המשיקים לפרבולה בנקודות K ו- L נפגשים בנקודה שהיא נקודת החיתוך של מדריך הפרבולה עם ציר ה- א () הראה כי שיעור ה- של K שווה לשיעור ה- של L () הראה כי המשיקים מאונכים זה לזה נמצא על ציר ה- M נתון מעגל שמרכזו משיקים גם למעגל זה ו- L K המשיקים לפרבולה הנתונה בנקודות בנקודות אלה =p וענה על הסעיפים ב ג הצב M ב מצא את משוואת המעגל שמרכזו AKML ג מצא את משוואת המעגל החסום במרובע נתון מעגל הנמצא במישור π ומרכזו בראשית הצירים (0;0;0)O הישר t(;;) : = (;;0) + נמצא במישור π ומשיק למעגל זה בנקודה B א מצא את השיעורים של הנקודה B ב הישר ;) s(; : = (0;;) + חותך את המישור π בנקודה A () הראה כי הנקודה A נמצאת על המעגל הנתון () מצא את שטח המשולש AOB 79

93 n z א נתון המספר המרוכב z = ( cos π + isin π 9 9) ( cos π isin π ) () מצא את z ואת הארגומנט (הזווית) של z () מצא את הערכים של n ) n מספר טבעי) שעבורם הוא מספר מדומה טהור הערה: אין קשר בין סעיף א לסעיף ב ב נתון המקום הגאומטרי = 40 z) (z+ z) m(z m הוא מספר ממשי גדול מ- () זהה את המקום הגאומטרי נמק () הנקודה שמיוצגת על ידי המספר + 8i נמצאת על המקום הגאומטרי מצא את השיעורים של נקודות החיתוך של המקום הגאומטרי עם הצירים פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות פונקציות חזקה עם מעריך רציונלי פונקציות עם שורשים ענה על אחת מהשאלות 5-4 נתונה הפונקציה = 9 f() המוגדרת לכל א () מצא את השיעורים של נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים () מצא את האסימפטוטה האופקית לגרף הפונקציה () מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה (אם יש כאלה) וקבע את סוגן (4) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ב מצא את השטח מימין לציר ה- המוגבל על ידי גרף הפונקציה על ידי ציר ה- ועל ידי האסימפטוטה האופקית תוכל להשאיר ln בתשובתך ג נתונה הפונקציה + 4 f() g() = השטח שמצאת בסעיף ב שווה לשטח מימין לציר ה- המוגבל = על ידי גרף הפונקציה g() על ידי ציר ה- ועל ידי הישר k מהו הערך של? k נמק 4 80

94 בציור שלפניך מתואר גרף הפונקציה f() f() נתון כי הפונקציות f() f "() f '() מוגדרות לכל לגרף הפונקציה f() יש אסימפטוטה אופקית אחת שמשוואתה = 5e כמתואר בציור נקודות הקיצון של הפונקציה f() B(; 5e) הן: A(4;e) הנקודות ;0) C( E(5; e) D(;0) נמצאות על גרף הפונקציה f() הפונקציה f() קעורה כלפי מטה בתחום > ובתחום < < וקעורה כלפי מעלה בתחום > 5 ובתחום א מצא את שיעורי ה- של נקודות הקיצון של פונקציית הנגזרת וקבע את סוגן נמק ב הפונקציה g() מקיימת ] f() g() = ln[ () מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה g() () מצא את האסימפטוטות של g() המאונכות לציר ה- () מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה g() (אם יש כאלה) וקבע את סוגן (4) לפונקציה g() יש אסימפטוטה אופקית אחת שמשוואתה ln(5e) = סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g() < < 5 f '() 5 8

95 (0; 0) קיץ תשע"ו 06 מועד ב: (0;0) ( 0;0) (0;0) תשובות למבחן בגרות מספר 4 ב = 8 ( ) + ג = ( ) + S ABO = (arg z = 90 ) n = 5 () אי זוגי: ) 0; B(; ב arg z = π z = מספר טבעי n א א () () m ב () = + אליפסה קנונית () (4) (; 0) מינימום (0; 4) = (0; 4) 4 א () () () S = ב = 0455 ln ג = k 5 א = מינימום = מקסימום = 5 מינימום (4) ב () > או < = = () () ) ln(e) 4; ( מקסימום (4) 8

96 מבחן בגרות מספר 5 חורף תשע"ז 07 פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - נתונות שתי פרבולות: = 4 I = 4 II II B C A I I היא נקודה על פרבולה A II היא נקודה על פרבולה B נמצאות מעל ציר ה- ו- B A הנקודות משיקים ו- II I העבירו לפרבולות ו- B בהתאמה A דרך הנקודות כמתואר בציור נתון ששני המשיקים מאונכים זה לזה ונחתכים בנקודה C הנמצאות על ציר ה- ו- B A א מצא את שיעורי הנקודות ACBM הם שלושה מקדקודיו של ריבוע A B ב נתון: C M () מצא את שיעורי הקדקוד M () נתון מעגל שמרכזו ו- BC AC המעגל משיק לישרים הן נקודות ההשקה ו- B A מצא את משוואת המעגל והסבר מדוע 8

97 B z D OBCD O C OBCD נתונה פירמידה משולשת OD OC OC OB OB OD שבה כמתואר בציור OD = 6 OC = 4 = OB נתון: נמצאות על ו- P K הנקודות בהתאמה ו- OD המקצועות OB כך שמתקיים: = : KB OP : PD = : OK : עובר מישור המקביל ו- P K דרך הנקודות Q בנקודה OC וחותך את CD למקצוע ל- QC OQ א מצא את היחס בין נמק את תשובתך ב מצא את היחס בין נפח הפירמידה למישור CB ג מצא את הזווית בין הישר לנפח הפירמידה OKPQ KPQ הוא מספר מרוכב נתונים שני מקומות גאומטריים: z zz + i(z z) + z + z = 0 I z + i(z z) = 0 II א סרטט באותה מערכת צירים סקיצה של שני המקומות הגאומטריים המקומות הגאומטריים הנתונים נחתכים בשתי נקודות A(;) ( < ) ו- B(;) ב מצא את השיעורים של הנקודות A ו- B ג נתונה הנקודה P(;) 0 0 הנקודה P נמצאת במרחק שווה מכל הנקודות שעל המקום הגאומטרי I נתון: z0 = i הוכח שהמספר הצמוד ל- z 0 נמצא על המקום הגאומטרי II ד נתון: ) z = + i הם שיעורי הנקודה A שמצאת בסעיף ב) נתונה סדרה חשבונית שבה האיבר הראשון הוא 5z וההפרש הוא z 0 מצא את כל ערכי n שעבורם S n (סכום n האיברים הראשונים בסדרה) הוא מספר ממשי (אם יש כאלה) 84

98 פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות פונקציות חזקה עם מעריך רציונלי פונקציות עם שורשים ענה על אחת מהשאלות 5-4 b ו- a a + b+ נתונה הפונקציה נתון כי הפונקציה זוגית א מצא את b f() = e הם פרמטרים 4 לפונקציה יש בדיוק שתי נקודות פיתול ב הוכח: < 0 a הפונקציה הנתונה קעורה כלפי מטה בתחום < < < > ו- וקעורה כלפי מעלה בתחומים ג מצא את a ד () מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים (אם יש כאלה) () סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() ה סרטט סקיצה של גרף הנגזרת ()' f ו נתונה הפונקציה "() h() = f '() f מהו התחום שבו הפונקציה h() חיובית? נתונות שתי פונקציות: ) e f () = ln(ae be ) g() = ln( b> 0 a > 0 הפרמטרים נתון: b ו- a א ידוע שלשתי הפונקציות יש אותו תחום הגדרה הוכח: a = b ב ידוע שלשתי הפונקציות יש נקודה משותפת אחת בלבד נקודה זו היא נקודת הקיצון היחידה של הפונקציה f() חשב את a את b ואת שיעורי נקודת הקיצון של f() : ג הוכח כי g() יורדת וקעורה כלפי מטה בכל תחום הגדרתה ד הוכח שההפרש בין הפונקציות f() ו- g() הוא פונקציה קווית ה () מצא את האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציות f() ו- g() (אם יש כאלה) () סרטט על מערכת צירים אחת סקיצה של הגרפים של שתי הפונקציות בסרטוט הדגש את גרף הפונקציה f() 5 85

99 תשובות למבחן בגרות מספר 5 חורף תשע"ז 07: + ( ) = () M(0;) ) ; B( ב () א ) A(; ג 75 6 א = : QC OQ : ב I ( + ) + ( ) = II + ( + ) = א n = 5 ד B(0;0) ב 04) 08; A( ג = a () b= 0 = 0 4 א ד () f() ה f '() < (0;0) ו < 0< או b= מקסימום 5 ב = a ד הוכחה: ] [f() g() = g() = ln () = ln = ln = ln : f() : g() ה () f() = ln 86

100 מבחן בגרות מספר 6 קיץ תשע"ז 07 מועד א פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - E B D נתון מעוין BCDE הקדקודים D ו- B נמצאים על ציר ה- והקדקודים C ו- E נמצאים על ציר ה- נתון: אורך צלע המעוין הוא 5 אורך גובהו הוא 48 ואורך האלכסון BD גדול מאורך האלכסון CE דרך הקדקודים B ו- D עוברת אליפסה קנונית (ראה ציור) שמוקדיה הם הנקודות C א () מצא את השיעורים של קדקודי המעוין () מצא את משוואת האליפסה C ו- E פרבולה שמשוואתה = p חותכת את האליפסה ברביע הראשון בנקודה M נתון: שיעור ה- של M הוא 5 ב הוכח שמוקד הפרבולה נמצא בנקודה C ג דרך הנקודה E מעבירים ישר המקביל לציר ה- k היא נקודה על הפרבולה שמרחקה מהישר הזה הוא P מצא את היחס PC הסבר k 87

101 D ABCD הוא ריבוע A S M C AM נתונה פירמידה ישרה SABCD שבסיסה SM = SA + SC היא נקודה כך ש- M B AC = א () הוכח: AC () הוכח: ש- SM מאונך ל- () נמק מדוע SM הוא גובה הפירמידה C( ; ; 0) 0) ;; A( נתון: z= נמצאות במישור 0 ו- D הנקודות B 6 SABCD הוא ונפח הפירמידה M ב () מצא את שיעורי הנקודה S (מצא את שתי האפשרויות) () מצא את שיעורי הקדקוד נסמן את הנקודות שמצאת בתת-סעיף ב( ) ב- S ו- S ג( ) מצא את משוואת המישור ASS () האם נקודה C נמצאת על המישור? ASS נמק z = א מצא את המספרים המרוכבים z המקיימים נסמן את פתרונות המשוואה מסעיף א ב- z z ו- z z הוא ממשי נתון כי ב () הראה ש- z z ו- z הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית () z z ו- z הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה z 5 האיבר החמישי בסדרה z n מצא את ההנדסית z n ג () z 4 z ו- z 5 (האיברים ה- ה- 4 וה- 5 בסדרה ו- C B A שמצאת בסעיף ב) מיוצגים על ידי הנקודות ABC במישור גאוס בהתאמה חשב את שטח המשולש הן שלוש נקודות במישור גאוס המייצגות שלושה ו- M L K () z n איברים עוקבים בסדרה חופף למשולש שאת שטחו מצאת KLM הסבר מדוע המשולש בתת סעיף ג( ) 88

102 פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות פונקציות חזקה עם מעריך רציונלי פונקציות עם שורשים ענה על אחת מהשאלות 5-4 f() = e e 4 נתונה הפונקציה f() () מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה א וקבע את סוגן f() () מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה f() () מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה המאונכות לצירים f() (4) מצא את האסימפטוטות של הפונקציה (אם יש כאלה) f() (5) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g() = f() נתונה הפונקציה היעזר בתשובותיך על סעיף א וענה על סעיף ב מוגדרת לכל g() ב () הסבר מדוע הפונקציה g() ומה סוגן? () מה הם שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה נמק את תשובתך g() () מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה המאונכות לצירים g() (4) מצא את האסימפטוטות של הפונקציה (אם יש כאלה) נמק את תשובתך f() (5) הוסף לסרטוט של גרף הפונקציה g() סקיצה של גרף הפונקציה 89

103 h() = + נתונה הפונקציה א מצא את תחום ההגדרה של h() ב מצא את תחום שבו > 0 h() 5 h '() בתחום שבו > 0 h() נתונה הפונקציה f() המקיימת: = '() f h() נתון שגרף הפונקציה f() עובר דרך הנקודה ( (;ln וידוע שלפונקציה f() יש אסימפטוטה אופקית אחת ג מצא את הפונקציה f() ד מצא את האסימפטוטות של הפונקציה f() המאונכות לצירים ה מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f() (אם יש כאלה) ו סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() תשובות למבחן בגרות 6 מספר קיץ תשע"ז 07 מועד א: + = 5 6 () E( ;0) C(;0) D(0; 4) B(0; 4) א () PC ג C(;0) k = ב מוקד הפרבולה א () כשמחברים את הקדקוד הפירמידה הישרה עם מרכז המעגל החוסם את הבסיס מקבלים גובה הפירמידה או 6) S(0;0; נמצאת על המישור S(0;0;6) C () M(000) () = 0 ב () ג () z = cis00 = i z = cis80 = z = cis60 = + i א S ABC = 4 = cis80 z = ג () 5 ב () 90

104 4 א () לכל ;858 מינימום מקסימום ;04 () < < > ; ירידה: < () עלייה: = (4) (5) f() f() ב () שונה לכל שונה לכל ;058 מקסימום מינימום ;70 () < > ; ירידה: < < () עלייה: = (4) (5) ו 5 א 0 < f () = ln > 0 + ( ) ב ג = 0 = ד = 0 < ה ירידה: > 0 ; עלייה: אף 9

105 מבחן בגרות מספר 7 קיץ תשע"ז 07 מועד ב פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - (0;0)A נתונה הנקודה ואינה ראשית הצירים היא נקודה שנמצאת על ציר ה- B המקביל לציר ה- מעבירים ישר דרך הנקודה B שמאונך לישר AB O מעבירים ישר דרך ראשית הצירים ו- נחתכים בנקודה C הישרים הנבנות כמתואר נמצא א הוכח שהמקום הגאומטרי של הנקודות C על הפרבולה ומצא את משוואתה היא נקודה כלשהי הנמצאת על הפרבולה שאת משוואתה מצאת D ב היא מוקד הפרבולה בסעיף א הנקודה F הוא פרמטר >k 0 = k נתון הישר = k וחותך את הישר העבירו ישר המקביל לציר ה- D דרך הנקודה שנבנה כמתואר NDF שעבורו כל משולש k N קיים ערך של בנקודה הוא שווה שוקיים k נמק () מצא את הערך של נמצאת ברביע הראשון D () נתון: הנקודה NDF שעבורה המשולש D מצא את שיעורי הנקודה הוא שווה צלעות 9

106 B' B M C' C N A' A D' D CC' נתונה קובייה ABCDA'B'C'D' נסמן: = w CD = v CB = u BM = t BC' AN נתון: = s AC א מצא את היחס s שעבורו MN t מקביל למישור (t 0) AA'B'B t = 4 s = נתון: ב חשב את הזווית שבין MN ובין המישור ABCD ג מהו המצב ההדדי של הישרים AB ו-? MN נמק במעגל שמרכזו בראשית הצירים במישור גאוס חסום במשולש שווה צלעות ABC z הקדקוד A מתאים למספר המרוכב a i = a (0 > a הוא פרמטר ממשי) נתון: הקדקוד B נמצא ברביע הראשון א הבע באמצעות a את המספרים המרוכבים z ו- z המתאימים לקדקודים B ו- C בהתאמה z z = 4 נתון: ב מצא את a 6n+ 5 ג המספר z מתאים לנקודה P במישור גאוס n הוא מספר שלם הנקודה O היא ראשית הצירים הראה שהנקודה B נמצאת על הקרן OP 9

107 פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות פונקציות חזקה עם מעריך רציונלי פונקציות עם שורשים ענה על אחת מהשאלות 5-4 הוא פרמטר c g() = + c נתונה הפונקציה g() f() = e מוגדרת כך: f() הפונקציה ו- ()' g נחתכים בנקודה ()' f הגרפים של פונקציות הנגזרת שלה הוא ששיעור ה- c א מצא את ב () הוכח ש- ()' f היא פונקציה אי-זוגית ()' f () מצא את שיעורי כל הנקודות שבהן הגרפים של הפונקציות חותכים זה את זה ו- ()' g? f '() > g'() () עבור אילו ערכי באותה ו- ()' g ()' f (4) סרטט סקיצה של הגרפים של הפונקציות מערכת צירים N( ; 8) (8;)M ג נתון: הוא אלכסון של מלבן שצלעותיו מקבילים לצירים MN מחלק את המלבן לשני חלקים ()' f הראה שגרף הפונקציה שווים בשטחם נתונה הפונקציה ( ) m f () = + m ln א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה הוא פרמטר f() 4 5 f() יש נקודת קיצון נתון שלפונקציה m ב () מצא את תחום הערכים של באמצעות f() () הבע את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה f() נמצאת על גרף הפונקציה P ג הנקודה P () מצא את שיעורי הנקודה היא נקודת מינימום P שעבורו הנקודה m () מצא את הערך של f() של הפונקציה הצב את m שמצאת בתת-סעיף ג( ) וענה על הסעיפים ד-ה ד סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() ה נתונה הפונקציה m f() g() = חשב את e ושיעוריה אינם תלויים ב- m g()d 94

108 תשובות למבחן בגרות מספר 7 קיץ תשע"ז 07 מועד ב: D(5; 00) = D(5;0 ) () k = 5 ב () א = ג מצטלבים S ב t = z = a a i = a cis 00 א א z = a + a i = a cis60 z = a = a cis80 ב = a (4) (0;0) (;8) c= 8 ( ; 8) 4 א ב () < או<0 > () ) m) ( m;m( ln מינימום () m> 0 ב () 5 א > 0 m= () P(;) ג () ד ה 95

109 מבחן בגרות מספר 8 חורף תשע"ח 08 פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - ו- 0) D(9 B(9 0) 0) A(0 נתונות הנקודות: א מצא את משוואת המקום הגאומטרי שעליו נמצאות הנקודות C ABC הוא חוצה זווית במשולש CD שעבורן ABC שנבנה באופן המתואר ב מהו השטח הגדול ביותר של משולש ABC במשולש BC שעבורן הצלע בסעיף א? ג מצא את שיעורי שתי הנקודות C משיקה למקום הגאומטרי שאת משוואתו מצאת בסעיף א תוכל להשאיר שורש בתשובתך A' A K B 'C היא מנסרה משולשת ישרה ABCA'B'C' שכל מקצועותיה שווים זה לזה נסמן את אורך המקצוע ב- a ABCK היא פירמידה ישרה ABCK הוא גובה בפירמידה DK C כמתואר בציור נתון: ' AA DK = t נפח המנסרה ABCA'B'C' גדול פי 45 מנפח הפירמידה ABCK א חשב את t ב מצא את הזווית בין המישור ABK למישור ABC נתון: נפח הפירמידה ABCK הוא ג מצא את a 96

110 נתון: הקודקוד A נמצא בראשית הצירים הקודקוד 'A החיובי של ציר ה- z והקודקוד C נמצא על החלק החיובי של ציר ה- שיעורי הקודקוד B הם חיוביים ד () מצא את שיעורי הקודקוד 'B () מצא את משוואת המישור AB'K תוכל להשאיר שורש בתשובותיך נמצא על החלק א פתור את המשוואה ( ) z i z i = 0 a n נסמן ב- את פתרון המשוואה מסעיף א המייצג את הנקודה שקרובה יותר לראשית הצירים a n היא סדרה חשבונית w הוא איבר בסדרה וגם הוא איבר בסדרה an ב () הסבר מדוע כל איברי הסדרה הם מן הצורה: bi + = b הוא מספר ממשי () הסבר מדוע כל הנקודות במישור גאוס המייצגות את איברי הסדרה חוץ מן הנקודה (0 ) נמצאות מחוץ למעגל היחידה 97

111 פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות פונקציות חזקה עם מעריך רציונלי פונקציות עם שורשים ענה על אחת מהשאלות 5-4 נתונה הפונקציה: f() = e e + א( ) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f() () מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f() (אם יש כאלה) () מצא את שיעורי נקודות הפיתול של הפונקציה f() (אם יש כאלה) (4) מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f() המאונכות לצירים (5) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() ב הסבר מדוע עבור כל מספר ממשי a מתקיים: < ()d f a+ a תוכל להיעזר בסרטוט f() = g() + ג () g() היא פונקציה המקיימת: הוכח שהפונקציה g() היא פונקציה אי-זוגית () הסבר מדוע לכל שני מספרים מתקיים: c ו- b המקיימים 0< b< c b c b c f ()d + f ()d = c b בתשובתך תוכל להיעזר בסרטוט מתאים ובשיקולי סימטריה 4 98

112 n (ln ) נתונה הפונקציה = f() n הוא מספר טבעי א () מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f() () מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם הצירים (אם יש כאלה) סובבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f() על ידי ציר ה- ועל ידי הישרים = ו- = e סביב ציר ה- נפח גוף הסיבוב שהתקבל שווה ל- n+ π ב מצא את n הצב בפונקציה f() את n שמצאת בסעיף ב וענה על הסעיפים ג-ה ג () מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f() וקבע את סוגן () מצא את משוואת האסימפטוטה של הפונקציה f() המאונכת לציר ה- = לפונקציה f() יש אסימפטוטה שמשוואתה היא 0 ד סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() m הוא פרמטר ה הפונקציה g() מקיימת: g() = f() + m 0 נתון כי קיימת נקודה שבה גרף הפונקציה g() משיק לציר ה- () מצא את m () עבור אילו ערכים של k יש למשוואה g() = k פתרון יחיד? 5 99

113 :08 א תשובות למבחן בגרות מספר 8 חורף תשע"ח ב יח"ר = 855 S ABC ( + 8) + = 800 C(0 59) ג 59) C(0 a = t = א ד ב ג + z = 0 () B'( 6) () () הסבר z = 4 i z = + i א ב () הסבר = 0 = (4) (0 ) 4 א () כל () עלייה: כל ירידה: אין () (5) ב הסבר ג () הוכחה () הסבר 0< () 0) ( ב = n 5 א () = 0 () 4 6 (e ) e ג () מינימום: 0) ( ד מקסימום: 6 k = e 0< k () 6 m = e ה () או 00

114 מבחן בגרות מספר 9 קיץ תשע"ח 08 מועד א פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - נתונות הנקודות: 0) a a > 0 B( 0) A( הוא פרמטר א הבע באמצעות a את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות P PA = PB המקיימות QA ב הראה שהמקום הגיאומטרי של כל הנקודות Q המקיימות QB = הוא מעגל והבע באמצעות a את שיעורי מרכז המעגל הזה ואת הרדיוס שלו ג נתבונן באוסף כל המעגלים אשר משיקים למקום הגיאומטרי שמצאת בסעיף א ועוברים דרך מרכז המעגל שמצאת בסעיף ב נתון כי מרכזי המעגלים האלה מהווים מקום גיאומטרי העובר דרך ראשית הצירים () זהה את המקום הגיאומטרי הזה () מצא את a וכתוב את משוואתו של המקום הגאומטרי הזה 0

115 A' P A z בציור שלפניך נתונה התיבה ABCDA'B'C'D' מונחים על המקצועות DD' DC DA D' C' הצירים ו- z בהתאמה כמתואר בציור K B' נתון: = 4 DA AA ' = D N L C נסמן: a > 0 AB = a הוא פרמטר הנקודות L N P ו- K נמצאות על מקצועות התיבה ' AA DC B בהתאמה ו- A'B' BC כך שמתקיים: ' PA N(05 0) AP = A'K = 4 DN BC היא אמצע המקצוע L 5 א מצא את משוואת המישור PNK ושל הישר PL ב () מצא הצגה פרמטרית של הישר NK a אם צריך הבע באמצעות הם ישרים מצטלבים ו- PL () הסבר מדוע הישרים NK? PC'C = 8 a ג () עבור איזה ערך של בתשובתך השאר שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית = 90 PC'C? נמק שעבורו a () האם קיים z = z = r הם שני מספרים מרוכבים המקיימים z ו- z arg z+ arg z = 90 z היא מספר מדומה טהור א הוכח כי תוצאת המכפלה z והבע אותו באמצעות r הנקודות B A ו- C במישור גאוס מייצגות בהתאמה את המספרים המרוכבים z z ו- z נתון: הנקודות B A ו- C אינן נמצאות על ישר אחד והנקודה C נמצאת = על הישר ב הסבר מדוע המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים הנקודה D במישור גאוס מתאימה למספר המרוכב ( z (z z (z ) = i z z = i z+ z נתון: = 7 + 7i ג () מצא את שיעורי הנקודות C ו- D (מצא את שתי האפשרויות) () חשב את שטח המרובע BDAC עבור הנקודה C הנמצאת ברביע הראשון 0

116 פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות פונקציות חזקה עם מעריך רציונלי פונקציות עם שורשים ענה על אחת מהשאלות 5-4 נתונה משפחת הפונקציות m> 0 m f() = e e m הוא פרמטר ענה על סעיף א אם צריך הבע באמצעות m א () מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f()? () מצא את שיעורי נקודות החיתוך של הפונקציה f() עם הצירים (אם יש כאלה) () מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f() המאונכות לצירים (אם יש כאלה) (4) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f() (אם יש כאלה) וקבע את סוגן m= ב סרטט במערכת צירים אחת גרפים של הפונקציות f() עבור =m (ידוע ששני הגרפים חותכים זה את זה בשתי נקודות בדיוק) ועבור התאם בין הגרפים שסרטטת ובין ערכי m הנתונים f() משיק לגרף הפונקציה = הישר k ג () הבע באמצעות m את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה = על ידי ציר ה- ועל ידי הישר k f() 4 עבור כל m נסמן את השטח בתת-סעיף ג () ב- S m ( m= ) S הוא השטח עבור S () הראה שלכל m מתקיים: S m = m 0

117 נתון: f() היא פונקציה רציפה וגזירה לכל נסמן ln(f()) g() = > ורק שם הפונקציה g() מוגדרת לכל > 4 ולכל בתחום 4 f '() = 0 רק עבור = בציור שלפניך מתואר גרף הפונקציה g() הפונקציה g() מתאפסת רק בנקודות שבהן = ו- = 5 א מצא את ) ( f f (0) ו- () f ב מה הם תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה f()? נמק ג מה הם שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם כל אחד מן הצירים? נמק ד לפונקציה f() יש שתי אסימפטוטות אופקיות כתוב את משוואותיהן ה מה הם תחומי עלייה ותחומי הירידה של הפונקציה f()? נמק ו סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() ז הסבר מדוע: f ()d > 04

118 תשובות למבחן בגרות 9 קיץ תשע"ח 08 מועד א: R = a + M(4 + a 0) = 60 a = = a א ) + (a ( (4 + a)) + = ב ג () פרבולה קנונית () א = 0 0 6z + 4 ב () ) a = (0 5 0) + t(4 ) = (4 0 ) + r( () אינם נחתכים ואינם מקבילים 599 a () לא ג () ( BC z z ב על פי חישוב (המרחק AC שווה למרחק א ri = D(65 65) C( ) או D( 65 65) ג () C() S = 66 () BDAC S m = ln 4m 8m ( ln05 m ) 4 () הוכחה ג () (4) = 0 () (00) m= () m= 4 א () כל ב > < < 4 < < 0 5 א = ) ( f f () = f (0) = e ב תחום חיוביות: > 4 < תחום שליליות: ג (0e) (0) (40) ד = = e < תחום עליה: ה תחום ירידה: < 0< 05

119 ו ז שטח זה גדול משטחו של מלבן שצלעותיו הן באורך (המלבן המקווקו בשרטוט) ו- 06

120 מבחן בגרות מספר 0 קיץ תשע"ח 08 מועד ב פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - נתונה הפרבולה הקנונית p > 0 = p הוא פרמטר הנקודות ) A( ו- ) B( נמצאות על הפרבולה נתון: שיפוע הישר AB הוא 4 שיעור ה- של אמצע הקטע AB הוא א מצא את משוואת הפרבולה 9 נתון: המשיקים לפרבולה דרך הנקודות A ו- B מאונכים זה לזה ב מצא את שיעורי הנקודות A ו- B (הנקודה A נמצאת ברביע הראשון) ג מצא עוד זוג נקודות על הפרבולה שהמשיקים דרכן לפרבולה מאונכים זה לזה 07

121 בתיבה ABCDA'B'C'D' הנקודה L היא אמצע המקצוע BB' והנקודה G היא מפגש האלכסונים של הפאה A'B'C'D' הנקודה K היא אמצע הקטע LG (ראה ציור) נסמן: AA ' = w AB = v AD = u DB' DK את נמצאת על האלכסון ו- w v u א הבע באמצעות K ב הוכח שהנקודה DK DB' ומצא את היחס B'C' ההמשך של הקטע AK חותך את המישור BCC'B' בנקודה F נתון: AF = s u + v + t w ג () מצא את s ואת t והראה כי הנקודה F נמצאת על המקצוע () מצא את היחס B'F B'C' z B z A ו- z C הם שלושה מספרים מרוכבים שונים זה מזה המייצגים את הנקודות B A ו- C במישור גאוס בהתאמה נתון: = 65 C z A = z B = z הנקודה A נמצאת ברביע הראשון (8 i) z = (8 + i) z מקיימים את המשוואה: z C ו- z A א () מצא את z A ואת z C () הסבר מדוע = 90 ABC נתון: AB = BC ב מצא את (מצא את שתי האפשרויות) נתון: הנקודה B נמצאת ברביע השני ג a n היא סדרה הנדסית שבה a = za ו- a = zb נתון: m הוא מספר טבעי כך שסכום m האיברים הראשונים של הסדרה a n הוא 0 הסבר מדוע m מתחלק ב- 4 ללא שארית z B 08

122 פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות פונקציות חזקה עם מעריך רציונלי פונקציות עם שורשים ענה על אחת מהשאלות 5-4 g() f() = e נתונה הפונקציה e נסמן: g() = e א () מהו תחום ההגדרה של הפונקציה g()? () מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה והסבר מדוע לכל מתקיים: e ב () מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f()? נמק () מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f() המאונכות לצירים (אם יש כאלה) () מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() הצירים (אם יש כאלה) (4) הראה כי e f '() = e (e ) עם 4 ידוע כי הביטוי e e מוגדר לכל וחיובי בתחום ג () חשב את ( ( f ואת () f וסרטט סקיצה של גרף הפונקציה f() בתחום () הסתמך על הסעיפים הקודמים והסבר מדוע לפונקציה f() יש לפחות שתי נקודות קיצון בתחום ההגדרה שלה כולו ד חשב את השטח המוגבל על ידי ציר ה- על ידי הישר = ועל ידי גרף הפונקציה f() בתחום 0 09

123 נתונה הפונקציה: b) b > 0 f () = ln (e + הוא פרמטר א () מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f() () מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f() (אם יש כאלה) 5 f() נתונה הפונקציה: ) be g() = ln (e + ב מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה g() ג () הוכח: f() g() = () מצא את שיעורי נקודת החיתוך של הגרפים של הפונקציות ו- g() (אם צריך הבע באמצעות ) b נתון כי נקודת המינימום של הפונקציה g() נמצאת על האסימפטוטה של הפונקציה f() ד מצא את ערך הפרמטר b ה הצב = 4 b וסרטט במערכת צירים אחת סקיצה של הגרפים של הפונקציות f() ו- g() 0

124 44 א תשובות למבחן בגרות 0 קיץ תשע"ח 08 מועד ב: B(5 6) A(4 4) ב = 4 ג יש אינסוף זוגות נקודות כאלו שמכפלת שיעורי ה למשל: או שלהם היא (6 ) (6) (5 6) (4 4) DK = DB' 4 ב B'F = B'C' DK = w u + v א () S = t= ג () z = 8 i = 65 cis875 C z = 8 + i = 65 cis 75 AC A () מתקבל מעגל קנוני שבו הינה זווית היקפית הנשענת על הקוטר קוטר ו- B נמצאת על היקף המעגל כך ש CAB z = 8i = 65 cis 8875 B B א () ב z = + 8i = 65 cis 975 או m q = 0 m [cis90 ] = 0 Sm ולכן מתבקש = 0 q = cis90 ולכן ג נתון cis90m = 90m = 60k m = 4k כלומר: 4 א () כל min (0) () לפונקציה יש נקודת מינימום מוחלט בנקודה (0) (00) (4) הוכחה e לכל () < 0 := 0 f () = כלומר לכן g() ב () כל לכל > 0 := () f ( ) = e 046 e + = ג ()

125 = ל- 5 רציפה קיימת בין = 0 f '() כיוון ש f '(0) = f '( 5) = 008 () לפחות נקודה אחת שבה = 0 ()' f והיא נקודת מינימום של הפונקציה = ל- 5 רציפה קיימת בין = 0 f '() כיוון ש f '(0) = f '(5) = 00 לפחות נקודה אחת שבה = 0 ()' f והיא נקודת מקסימום של הפונקציה ד ) e S = ln( + () עולה בכל תחום הגדרתה (0 ln( + b)) 5 א () כל ב כל ג () הוכחה () ד = 4 b ה

126 מבחן בגרות מספר חורף תשע"ט 09 פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - 6 מעגל שמרכזו M חותך את החלק החיובי של ציר ה בנקודה A כמתואר בציור שלפניך ממרכז המעגל העבירו אנך לציר ה החותך את הציר בנקודה E נתון כי = AE נתון גם כי מרחק הנקודה M מראשית הצירים הוא מחצית מן האורך של רדיוס המעגל א הוכח כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות M המקיימות את נתוני השאלה נמצא על אליפסה ומצא את משוואתה נסמן ב F וב F את מוקדי האליפסה שאת משוואתה מצאת בסעיף א הנקודות D ו D הן נקודות על האליפסה שיעור ה של D חיובי ושיעור ה של D שלילי ב )( מצא את השטח הגדול ביותר האפשרי עבור המרובע FDFD נמק )( האם קיים מרובע FDFD בעל היקף גדול ביותר? נמק

127 4 נתונה פירמידה OBCDE שבסיסה OBCD הוא ריבוע המקצוע OE מאונך למישור הבסיס נתון: = OD OE = מיקמו את הפירמידה במערכת צירים כך שהנקודה O היא ראשית הצירים והנקודות E B D נמצאות על הצירים z בהתאמה )כמתואר בציור( א מצא את ההצגה הפרמטרית של הישר EC הנקודה N נמצאת על המקצוע EC מן הנקודה N מורידים אנך לבסיס הפירמידה החותך אותו בנקודה F מרחק הנקודה F מציר ה - הוא ב מצא את שיעורי הנקודה N ג מצא את גודל הזווית שבין המישור BCN ובין בסיס הפירמידה OBCD K היא נקודה על המקצוע EC כך ש - KOBCD היא פירמידה ישרה OBCD( בסיס הפירמידה( ד מצא את ההצגה הפרמטרית של הישר שעליו מונח הגובה לבסיס מן הנקודה K z z 0 z ב הוא מספר א מצא את כל הפתרונות של המשוואה z מרוכב ב )( מצא את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור גאוס z המקיימות (z) )( הראה כי כל הפתרונות של המשוואה בסעיף א נמצאים על המקום הגאומטרי שמצאת בתת סעיף ב) ( ג )( את הנקודות שמתאימות לפתרונות המשוואה שמצאת בסעיף א מסובבים 45 בזווית )נגד כיוון השעון( נתון שכל אחת מן הנקודות המתקבלות 4 z ג לאחר הסיבוב מתאימה למספר המקיים את המשוואה a מצא את a )( את הנקודות שמתאימות לפתרונות המשוואה שמצאת בסעיף א מסובבים בזווית )נגד כיוון השעון( הוכח שסכום המספרים המתאימים לנקודות המתקבלות לאחר הסיבוב שווה ל - 0 4

128 פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות פונקציות חזקה עם מעריך רציונלי פונקציות עם שורשים ענה על אחת מהשאלות 5-4 ג ג a a e e f () נתונה הפונקציה a e e לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית א מצא את n הוא פרמטר a a הצב את הערך של שמצאת וענה על הסעיפים ב - ה ב מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה () f והראה כי עבור כל f () e f () בתחום מתקיים: 0 e ג )( מצא את האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה )( מצא את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה )אם יש כאלה( )( סרטט סקיצה של גרף הפונקציה () f f () 4 מגדירים פונקציה h() e e ד )( רשום את האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה h() ד )( סרטט סקיצה של גרף הפונקציה h() ד )( חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה h() על ידי ציר ה - ועל ידי הישר n8 והישר n6 והן סימטריות ביחס נתון: הפונקציה h() סימטרית ביחס לישר n הנקודות A ו- B נמצאות על גרף הפונקציה h() לישר n של הנקודה A הוא n8 שיעור ה- ה מצא את שיעורי הנקודה B 5

129 f () היא פונקציה גזירה לכל f () בתחום ההגדרה שלה f () e א הראה שלפונקציה ולפונקציה יש נקודות קיצון באותם שיעורי ונקודות הקיצון האלה הן מאותו סוג )מינימום או מקסימום( 5 n נתון כי ) n( n f () הוא פרמטר טבעי ב מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה של f () n ג מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה התייחס לערכים שונים של התייחס לערכים שונים f () - עם ציר ה n נתון: גרף הפונקציה f () ד )( הראה כי הפונקציה חותך את ציר ה - f () ד היא אי-זוגית בשתי נקודות f () n ( ד )( מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן )אם צריך- הבע באמצעות ( n )( סרטט סקיצה של גרף הפונקציה () f עבור n ה היעזר בתשובתך על סעיף א מצא את שיעורי נקודות הקיצון של n n( ) הפונקציה e טבעי( וקבע את סוגן )אם צריך - הבע באמצעות ( n :09 תשובות למבחן בגרות מספר חורף תשע"ט א F D F D 9 ב )( S 6 השטח המקסימאלי מתקבל עבור המשולשים בעלי הגובה המקסימאלי )( לא למרובע יש היקף קבוע של 8 א ) EC (0 0) t( ד ב N() 7565 ג ( 0) s(0 0) a )( הוכחה )( הוכחה ג )( i ב )( א i 6

130 0 ln ln ב 0 ג )( a 4 א )( עלייה: אין 0 ln ד )( 0 ln )( ירידה: ln )( )( )( 5 ה ) B( ln 6 0 זוגי: n (0) 0 עבור ( 0) זוגי: n n אי זוגי: (0) עבור 5 א הוכחה ב עבור ג עבור n אי זוגי: )( n ma e e n min e e ד )( הוכחה )( ma e e n e min e e n e ה 7

131 מבחן בגרות מספר קיץ תשע"ט 09 מועד א פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - 4 נמצאת על ציר ה- A AB אורך הקטע הוא והנקודה נתון: הנקודה נמצאת על ציר ה- )ראה ציור( הנקודה היא אמצע הקטע א מצא את המשוואה של המקום הגאומטרי של כל הנקודות שנבנו כך וזהה את המקום הגאומטרי הזה B AB M M נתון: הנקודה L נמצאת על הקטע AB AL כך ש- t הוא פרמטר LB ב הבע באמצעות את המשוואה של המקום הגאומטרי של כל הנקודות שנבנו כך וזהה את המקום הגאומטרי הזה ג בעבור איזה ערך של t המקום הגאומטרי שמצאת בסעיף ב מתלכד עם המקום הגאומטרי שמצאת בסעיף א? נמק ד האם קיים t 0 שבעבורו המקום הגאומטרי שמצאת בסעיף ב חותך את t 0 t L ציר ה- בנקודה? נמק 50 8

132 )ראה ציור( BC' 'B'C'D' ABCDA היא קובייה שאורך צלעה הוא 6 הנקודה נמצאת על ראשית הצירים א חשב את גודל הזווית שבין הקטע ובין הקטע ב הוכח שהישר A C' מאונך למישור הנקודה היא נקודת החיתוך של הישר A 'C עם המישור A 'C BC'D BC'D B K ג מצא את היחס A 'K A 'C O היא נקודת החיתוך של הנקודה עם אלכסון הבסיס אלכסון הבסיס K נמצאת על הקטע ד הוכח שהנקודה BD C'O AC א )( הוכח כי לכל מספר מרוכב z )( הוכח כי אם המספר המרוכב המספר z z ב )( נמצא על מעגל היחידה הראה כי בעבור כל מספר מרוכב z z z z )( הוא מספר ממשי z z מתקיים z נמצא על מעגל היחידה אז גם הנמצא על מעגל היחידה הסכום ב z ו- הם מספרים מרוכבים הנמצאים על מעגל היחידה נתון כי הרכיבים המדומים של ו- z z z אז z z z z ו- הם חיוביים הוכח כי אם: z w cis הוא מספר מרוכב נתון: נתונה סדרה הנדסית שהאיבר הראשון שלה הוא נמצאים ברביע הראשון 0 w והאיבר השני הוא נתון כי סכום 5 האיברים הראשונים בסדרה ההנדסית שווה ל- 0 w ג )( הבע באמצעות את מנת הסדרה והסבר מדוע כל איברי הסדרה נמצאים על מעגל היחידה ג )( מצא את )מצא את שתי האפשרויות( 9

133 פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות פונקציות חזקה עם מעריך רציונלי פונקציות עם שורשים ענה על אחת מהשאלות 5-4 נתונה הפונקציה: המוגדרת לכל e f () ln e א) ( מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה הצירים )אם יש כאלה( ) ) מצא את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה )אם יש כאלה( f () f () )( מצא את משוואת האסימפטוטה של הפונקציה המקבילה לציר ה- f () )4( מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )אם יש כאלה( ב סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ג )( הוכח כי f () f () f () ln(e ) )( הסבר מדוע גרף הפונקציה f () ד נתונה הפונקציה e נמצא כולו מתחת לישר g() המוגדרת לכל g() עם ) ) מה הם תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה )אם יש כאלה(? )( a הוא פרמטר היעזר בנגזרת הפונקציה () f והראה כי נפח גוף הסיבוב של השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה a ועל ידי הישר ln a שווה ל- ln a פרט את חישוביך g() על ידי הצירים 4 0

134 m m e f () נתונה משפחת הפונקציות ענה על הסעיפים א-ב בעבור m 0 א )( מהו תחום ההגדרה של הפונקציות f () הוא פרמטר? )( מצא את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציות )אם יש כאלה( נמק f () f () )( נתון כי כל הפונקציות מן המשפחה חותכות זו את זו בנקודה אחת מצא את שיעוריה ב )( בעבור מצא את הערכים של שבעבורם הנגזרת m m 0 f '() : ) ( אינה מתאפסת בשום נקודה ) ( מתאפסת בנקודה אחת בדיוק ) ( מתאפסת בשתי נקודות בדיוק )( בסוף השאלה נתונים שלושה גרפים f () של פונקציות מן m ידוע כי וכי כל אחד מן המשפחה בעבור 0 הגרפים מתאים לערך או לטווח ערכים אחר של m התאם לכל גרף מבין השלושה את הערך או את טווח הערכים של m המתאים לו נמק ענה על סעיף ג תוכל להיעזר בגרף המתאים מבין הגרפים ג סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ) f ( בעבור 0 m m 5

135 t )( הוכחה תשובות למבחן בגרות קיץ תשע"ט 09 מועד א: אליפסה 4t 4 t t מעגל קנוני ורדיוסו t t 4 t 6 א ב ד לא או ב הוכחה ג ד הוכחה ג z cos z )( 0 ln 0 A 'K A 'C z : rcis )( ב עבור 5 או 5 )( הוכחה )( A'CBC' 90 q א א )( הוכחה cis א( ין חיתוך עם ציר חיתוך עם ציר ב f f ג )( 4 א ( )( שלילית לכל חיובית לאף )4( עולה לכל יורדת לאף חיובית לכל g ג )( הוכחה )( הוכחה ד )( )( הוכחה שלילית לאף 0 )( m 0 חיובית לכל שלילית עבור אף f )( 5 א )( כל 0 m ) ( m m 0) ( m ב )( ) ( : גרף m : גרף 0 m )( גרף : ג

136 מבחן בגרות מספר קיץ תשע"ט 09 מועד ב פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - a a הוא פרמטר חיובי a נתון מעגל שמשוואתו היא: את משוואת המעגל שהתקבל א הבע באמצעות ב בונים מעגל המשיק מבחוץ למעגל שהתקבל בסעיף א ומשיק גם לציר של מרכז המעגל שבונים הוא חיובי שיעור ה- מצא את משוואת המקום הגאומטרי שעליו נמצאים מרכזי המעגלים ) הנבנים כך )אם יש צורך השתמש ב- הזיזו את המעגל ימינה )הזזה אופקית( כך שישיק לציר ה- a ה- M a הישר משיק בנקודה למקום הגאומטרי שאת משוואתו מצאת בסעיף ב ג מצא את ד רשום את שיעורי נקודת ההשקה של שני המעגלים האלה: )( המעגל שהתקבל בסעיף א )( המעגל שנבנה כמתואר בסעיף ב ומרכזו בנקודה M

137 נתונה פירמידה שבסיסה הוא ריבוע )ראה ציור( הנקודה היא נקודת חיתוך אלכסוני הבסיס הנקודה היא נקודה על הקטע והיא מקיימת AS נסמן: w AD v AB u t 0 SP t SD ABCD SD SABCD O P א הבע את הווקטור באמצעות t ו- w ב מצא בעבור איזה ערך של מקביל למישור הפאה SAB v u OP t OP הוא נתון: אורך צלע הריבוע מאונך לבסיס הפירמידה היא ראשית הצירים הנקודות הנקודה נמצאות ו- D B ו- על החלק החיובי של הצירים בהתאמה הישר ג מצא בעבור אילו ערכים של עם מישור הפאה יוצר זווית של OP 4 AS 4 z t ABCD 45 A S SAD AS הנקודה T נמצאת על הקטע TABCD ד מצא את נפח הפירמידה כך ש- SC היא פירמידה ישרה TABCD 4

138 נתונה סדרה הנדסית שהאיבר הראשון שלה הוא והאיבר השני שלה הוא ( הוא מספר מרוכב( נתון כי הסדרה איננה קבועה א )( רשום את חמשת האיברים הראשונים של הסדרה )אם יש צורך הבע באמצעות ( )( הוכח כי סכום חמשת האיברים הראשונים בסדרה שווה ל- z ( 5 z i z 5 z z i z i ב )( מצא את כל הפתרונות של המשוואה )( מצא את כל הפתרונות של המשוואה ( הוא מספר מרוכב( iz הוא מספר מרוכב( 4 iz z iz z 0 z A הנקודה נמצאת ברביע השלישי במישור גאוס והיא מתאימה לאחד מפתרונות המשוואה שפתרת בתת-סעיף ב) ( - ראשית הצירים( ג מצא את המספר המרוכב המתאים לנקודה )מצא את שתי האפשרויות( ABO הוא משולש שווה צלעות במישור גאוס ( O B 5

139 פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות פונקציות חזקה עם מעריך רציונלי פונקציות עם שורשים f f ln a ענה על אחת מהשאלות 5-4 נתונה הפונקציה הוא פרמטר א הראה שהפונקציה מוגדרת לכל a f ב מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- )אם יש צורך הבע באמצעות ( ג מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה )אם יש צורך הבע באמצעות ( ד בסוף השאלה מוצגים שלושה גרפים ( ) המתארים את גרף הפונקציה כתלות בפרמטר f a a : a של - כל אחד מן הגרפים מתאים לאחד מן התחומים 0 a )( a 0 )( )( מתאים לכל אחד מן הגרפים - כתוב איזה מתחומי הערכים a 0 a a f a 0 ענה על סעיף ה בעבור המקיים a 4 f נסמן ב- S את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ועל ידי ציר a 0 ln 4 4a 4 d S ו- a ה- ה הבע באמצעות את האינטגרל: 6

140 המוגדרות f f' לפניך סרטוט המתאר את הגרפים של הפונקציות '' f לכל הגרף נמצא כולו מעל הגרף 5 f f' f '' א התאם כל אחד מן הגרפים נמק את קביעתך לפונקציות B f הנקודה A הפונקציה נמצאת על גרף הפונקציה כך שהקטע והנקודה מקביל לציר ה- נמצאת על גרף AB f ' f ' נתון כי e ב מצא בעבור איזה ערך של אורך הקטע יהיה מינימלי ובעבור איזה ערך של אורך הקטע יהיה מקסימלי AB AB e נתון כי האורך המקסימלי של הקטע AB שווה ל- ג מצא את הפונקציה f תשובות למבחן בגרות קיץ תשע"ט 09 מועד ב: ג a ד () ב 0 4a ( a) a א V ד t t ג cis8 cis58 t ב OP u (t )v ( t)w 4 iz -z -iz z )( הוכחה cis54 cis6 cis98 cis70 cis4 cis54 cis6 cis98 cis4 ג א א )( ב )( )( 7

141 a a min( ln( )) 4 a ln 4 S (00) a0) ( ג ה )( 4 א הוכחה ב )( ד )( : '' f : ' f 5 א : f f () e ב אורך מקסימלי אורך מינימלי ג 8

142 מבחן בגרות מספר 4 חורף תש"ף 00 פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - A הנקודה פרמטרים חיוביים נתון: נמצאת על האליפסה a b ברביע הראשון a הם ו- b a b אורך הציר הגדול של האליפסה הוא F ו- F הם מוקדי האליפסה FAF הוא ושטחו היקף המשולש א מצא את משוואת האליפסה ב מצא את שיעורי הנקודה A דרך הנקודה 5 A עוברת פרבולה שמשוואתה היא p p 0 ( ואינו שלם( L דרך נקודה A בנקודה ג מצא את שיעור ה- של הנקודה הפרבולה והאליפסה נחתכות בנקודה נוספת הנקודה נמצאת על הישר AB ד מצא את משוואת המקום הגאומטרי שעליו נמצאות כל נקודות מפגשי התיכונים במשולשים ALD L העבירו משיק לפרבולה המשיק חותך את ציר ה- B D 9

143 הישר עובר דרך ראשית הצירים O ומאונך למישור והמישור p היא נקודת החיתוך של הישר הנקודה א מצא את משוואת הישר הוא מלבן הנמצא על היא פירמידה ישרה שבסיסה היא ראשית הצירים( )הנקודה המישור ועם ציר הן נקודות החיתוך של המישור הנקודות בהתאמה ABCD B ו- A ו- D O B ו- A OABCD ה- ב )( מצא את שיעורי הקודקודים )( מצא את שיעורי הקודקודים ג חשב את גודל הזווית בין הפאה הצדדית בסיס הפירמידה הנקודות AOB C עם ציר ה- בפירמידה OABCD F 4 0 ו- G 4 0 נמצאות על הקטע AB H ד )( הראה כי FG AB )( מצא שיעורים של שתי נקודות הוא I ו- כך שנפח הפירמידה ובין OFGHI מנפח הפירמידה OABCD נמק את תשובתך א פתור את המשוואה z ( z a n היא סדרה הנדסית שהמנה שלה היא ב הראה כי לכל הנקודות a הוא מספר מרוכב( פרט את חישוביך i טבעי n a n4 6a n D ו- C B A a a a 4 ו- a בהתאמה A במישור גאוס מייצגות את איברי הסדרה הוא אחד הפתרונות של המשואה z הנקודה נמצאת ברביע הראשון ג )( סרטט סקיצה של המרובע ABCD )( מצא את שטח המרובע ABCD 0

144 ד הנקודות ו- C' B' A' 'D ו- מייצגות את איברי הסדרה a 7 a 6 a 5 a 8 המרובע בהתאמה מצא את היחס בין שטח המרובע A'B'C'D' S נמק S A'B'C'D' ABCD ABCD ובין שטח פרק שני גדילה ודעיכה פונקצית חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ענה על אחת מהשאלות 5-4 נתונה הפונקציה c ו- a a f e c א מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה הם פרמטרים f נתון: משוואת האסימפטוטה האופקית של הפונקציה f הפונקציה f ב מצא את הערך של חותכת את ציר ה- בנקודה היא 0e 4 c ואת הערך של a ג )( מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )אם יש כאלה( )( מה הם תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה )אם יש כאלה(? לפונקציה f f f יש נקודת פיתול יחידה בנקודה שבה ד )( סרטט סקיצה של גרף הפונקציה הישר k )( לאילו ערכי נמק f k חותך את גרף הפונקציה? f ה העבירו משיק לגרף הפונקציה f עובר בראשית הצירים הסבר מדוע השטח הנמצא ברביע השני ומוגבל על ידי גרף הפונקציה f על ידי המשיק ועל ידי ציר ה- בנקודת הפיתול שלה המשיק קטן מ- e 4

145 f ' n נתונה פונקציית הנגזרת של הפונקציה : f f '' ו- f ' לפונקציות f א )( מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה יש אותו תחום הגדרה f f )( מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )( מצא את תחומי הקעירות כלפי מעלה והקעירות כלפי מטה הפונקציה ב )( מה הן משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של פונקציית של f ' f הנגזרת? f ' )( סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f f נתון: f e 0 ג )( מצא ביטוי אלגברי לפונקציה )( סרטט סקיצה של גרף הפונקציה 5 :00 תשובות למבחן בגרות 4 מספר חורף תש"ף D( 44) C 4 4 )( א ב אפשר גם: ד B 0 60 A 600 I04 H 04 9 L ג A 9 z 6 0 ב )( 56 ד )( הוכחה )( למשל: א ג ב הוכחה ד היחס הוא 56 i i 5 )( א cis60 cis80 cis00 אפשר גם ג )(

146 k ב a 4 c 0 ג )( עלייה: אין ירידה: 0 k )( הפונקציה חיובית בכל תחום הגדרתה או ה הוכחה )( 4 א ד )( 0 e : )( e ירידה: 0 e )( עלייה: 5 א) ( 0 )( 0 0 ב )( e : )( ln ( ) f () ln( ) ג) (

147 מבחן בגרות מספר 5 קיץ תש"ף 00 מועד א פרק ראשון גיאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מהשאלות - OMG הוא משולש הנקודה היא ראשית הצירים מן הנקודה (6 )M הורידו גובה לצלע נתון כי אורך הגובה שהורידו הוא 6 א הראה כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות המתקבלות באופן הזה נמצא על שני ישרים ומצא את משוואותיהם של הישרים מעגל שמרכזו בנקודה בנקודות ב G OG O M Q ו- P )( רשום את משוואת המעגל )( מצא את שיעורי הנקודות P משיק לשני הישרים שמצאת בסעיף א ו- Q ג האם המרובע OPMQ הוא בר חסימה במעגל? נמק אם כן מצא את משוואת המעגל החוסם אותו 4

148 KBC נתונה מנסרה ישרה משולשת ABCA' B'C' היא אמצע הקטע נתון: הנקודה נמצאת על הקטע הנקודה ומקיימת AA ' w KC v KB u נסמן: באמצעות הבע את א ו- w AA' v u M K AK KA' AM B'C ' היא נקודה על AM המקיימת: הם סקלרים( v (0 50) ו- ו- u (5 5 5) ( P KP u v ב נתון: מצא את P(0 46) ג נמצאת על המישור )( הסבר מדוע הנקודה KBC )( מצא את משוואת המישור )( מצא את שיעורי הנקודה K P ו- z הם שני מספרים מרוכבים שונים 7 7 z cos isin z cos isin z z z נתון: הוא מספר ממשי z z א )( מצא את )( הראה כי ואת z הוא מספר מדומה z z w z נתון: z z 6 ב מצא את כל הפתרונות המשוואה z w ג )( האם הפתרונות שמצאת בסעיף ב יכולים להתאים לקודקודים של משושה משוכלל במישור גאוס? אם כן מצא את שיעוריהם של שאר קודקודי המשושה )( תן דוגמה למספר טבעי n 6 שבעבורו הפתרונות שמצאת בסעיף ב מהווים קודקודים של מצולע משוכלל בעל n קודקודים 5

149 פרק שני גדילה ודעיכה פונקצית חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ענה על אחת מהשאלות 5-4 נתונה הפונקציה ) f () ln((e b) הוא פרמטר ענה על סעיף א אם צריך הבע את תשובותיך באמצעות א )( מהו תחום ההגדרה של הפונקציה ()? f )( נמק מדוע בכל תחום ההגדרה של הפונקציה )( מצא את המשוואה של האסימפטוטה האופקית של הפונקציה )4( קבע בעבור אילו ערכים של יש לפונקציה נקודת קיצון ואם יש כזאת מצא את שיעוריה והראה שהיא נקודת מינימום )5( סרטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור b f () b f () b b f () 0 f () f () 4 b ב הוא n 5 שבעבורם הישר מצא את כל הערכים של נמק אסימפטוטה של הפונקציה שמצאת בסעיף ב אין נתון כי בעבור אחד מן הערכים של נקודות קיצון לפונקציה עולה או קבע אם הפונקציה בעבור הערך הזה של יורדת נמק f () b f () b f () ג 6

150 ) () f () f '''() f () e ( 5) f '() e ( 4) נתונה הפונקציה א הראה כי המוגדרת לכל וכי f ''() e ( ) n f () n (n) f () e ( 5 n) (n) () f היא הנגזרת מסדר נתונה החוקיות: ב מצא את בעבורה של )למשל בעבור כל טבעי והראה כי החוקיות הנתונה מתקיימת n f '''() ג ענה על סעיף ג אם צריך הבע את תשובותיך באמצעות )( מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים )( מצא את משוואת האסימפטוטה האופקית של הפונקציה (n) f () (n) () f )( מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה )אם יש כאלה( וקבע את סוגן אינם (k) () f ו- (m) () f )4( הראה כי הגרפים של הפונקציות ו- נחתכים בעבור שני מספרים טבעיים שונים )5( סרטט על מערכת צירים אחת סקיצה של הגרפים של וכתוב איזה מן הגרפים ו- הפונקציות מתאים לכל אחת מן הפונקציות k m f ''() f '() f () f (n) () 5 ד הסתמך על החוקיות הנתונה ומצא לפונקציה פונקציה קדומה אם נתון כי הגרף של הפונקציה F() עובר בראשית הצירים א מ ת את תשובתך על ידי גזירה f () F() תשובות למבחן בגרות 5 קיץ תש"ף 00 מועד א- ( ) ( 6) 6 ( ) ( ) 0 4 א 0 ב) ( גכן ( 6) (0) )( K( 47) 5 א AM w u v ב 5 ג )( לפי תכונות קומבינציה לינארית )( z 6 0 )( 5 7

151 cis 6 n 9 5 cis 6 )( 4 cis z א )( ) cis( z z z i ב (0)( )( ) )( ג )( כן ln(b ) )( א )( כל )4( )( התוכן גדול מ- לכל )5( b 0 min(ln b0) 4 b עולה b ב b ג עבור אין נקודות קיצון והפונקציה f () (0 n 5) (5 n0) 5 א הוכחה ) f '''() e ( )( ב )( ג) ( 4n min(4 n e ) 0 )4( הוכחה )5( ד F() e ( 6) 6 8

152 מבחן בגרות מספר 6 קיץ תש"ף 00 מועד ב פרק ראשון גאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים ענה על שתיים מן השאלות - a (5a 0) a הישר 4 0 משיק למעגל שמרכזו חיובי א הבע את משוואת המעגל באמצעות מנקודה בנקודה ב a G G K הוא פרמטר הנמצאת מחוץ למעגל העבירו ישר המשיק למעגל הבע באמצעות את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות שבעבורן המרחק שווה למרחק שלהן מן הישר a וצייר סקיצה שלו נתון: אורך הקטע ג GK GK הקצר ביותר האפשרי הוא 75 )( מה הם שיעורי הנקודה שבעבורה אורך הקטע הוא 75? נמק )( מצא את ערכו של הפרמטר נמק GK a G 9

153 נתונים שני ישרים: : (60 7) k(5 4) : (506) t(90) ונתון הווקטור 8) u (6 0 הנקודה A והנקודה כך ש- נמצאת על הישר נמצאת על הישר C AC u א מצא את שיעורי הנקודות היא פירמידה ישרה שבסיסה הוא משולש ישר זווית 90( ( ABC הנקודה נמצאת על הישר והנקודה נמצאת על הישר מצא את שיעורי הנקודה B מצא את משוואת המישור ABC S ו- C ABC A ABC B C SABC ב ג מן הנקודה ד העלו אנך למישור חשב את הזווית שבין האנך ובין הישר 40

154 הוא מספר מרוכב א פתור את המשוואה ב 5 5 z n n הנקודות A n A A במישור גאוס מתאימות לפתרונות הוא מספר טבעי( חיברו את הנקודות המשוואה A n A A ויצרו מצולע משוכלל קמור נתון כי שטח המצולע שהתקבל שווה ל- n מצא את n ( z n ענה על הסעיפים ג-ד בעבור הערך של הוא פתרון של המשוואה ]כלומר: ] Re(w) Im(w) 0 n w a bi ג ד באילו רביעים נמצאים פתרונות שמצאת בסעיף ב כך ש- a b 0 n z n כאלה? w ארבע הנקודות הנמצאות ברביעים שמצאת בסעיף ג הן קודקודיו של מלבן אם מכפילים כל אחד מן המספרים המתאימים לארבע הנקודות ) 0 90 מתקבל מלבן ( z0 הללו במספר cos isin חדש שצלעותיו מקבילות לצירים מצא את הזווית נמק z 4

155 פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות ענה על אחת מהשאלות 5-4 e f () נתונה הפונקציה e ae הפונקציה א ב ג ד a f () אינה מוגדרת בעבור הוא פרמטר 0 a ואת תחום ההגדרה של הפונקציה )( מצא את )( מצא את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה )( מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה סרטט סקיצה של גרף הפונקציה אחד מן הגרפים IV I שבסוף השאלה מתאר פונקציה קדומה לפונקציה () f המוגדרת בתחום ההגדרה של () f איזה מהם מתאר אותה? נמק נתונה הפונקציה k) h() f ) עבור איזה ערך של? h() אסימפטוטה שמשוואתה היא יש לפונקציה נמק f () f () k 0 0 f () f () 4 4

156 הפונקציות () f ו- ()) g() n(f מוגדרות וגזירות לכל א הראה כי לפונקציה ולפונקציה יש נקודות קיצון באותם שיעורי ושנקודות הקיצון הללו הן מאותו הסוג )מינימום/מקסימום( n(f ()) f () בציור שלפניך מתואר גרף של פונקציה כך ש- ו- ()) g() n(f מוגדרות וגזירות לכל לפונקציה () f יש נקודת קיצון יחידה ששיעוריה הם )( ושתי אסימפטוטות: אסימפטוטה שמשוואתה היא שמשוואתה היא הפונקציה כאשר f () f () גרף f () ה- חותך את ציר ואסימפטוטה נוספת 5 ענה על סעיף ב בהסתמך על הגרף המתואר בציור ב )( מהו תחום ההגדרה של הפונקציה g()? נמק )( מה הם שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה )( מה הן משוואות האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים?? g() g() )4( מצא את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה נמק )5( סרטט סקיצה של גרף הפונקציה נגדיר לפניך סרטוט של גרף הפונקציה h() g() g() B h() f () g() ג )( מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה h() קבע את סוגן בעזרת הגרף )( הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה () f והנקודה נמצאת על גרף הפונקציה g() כך שהקטע AB מאונך לציר ה- מהו שיעור ה- שבעבורו אורך הקטע AB הוא? נמק 4

157 תשובות למבחן בגרות 6 קיץ תש"ף 00 מועד ב: a 5 )( G(00) 6a ( 5a) 6a א ב ג) ( 84 4 z 0 B( 5 ) A(0 0) א 7) C(6 0 ב ג ד n z cis7 cis44 cis6 א ג רביעים I III ד ב cis88 45 n n 0 )( 0 0 n 0 n5 תחום הגדרה: a 4 0 א )( )( תחומי עליה: n5 n ב תחומי ירידה: 4 k n ג גרף IV ד 0 n )( ( n ) ma )( א הוכחה ב) ( כל )4( תחומי חיוביות: )5( תחומי שליליות: 0 )( (0) min ג) ( (06) ma 44

158 מבחן בגרות מספר 7 חורף תשפ"א 0 מועד א פרק ראשון גאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים (AB DC) טרפז ABCD נתון: המרחק בין בסיסי הטרפז הוא DC ו- AB קטע האמצעים של הטרפז ABCD + נמצא על הישר = 0 4 א מצא את משוואות הישרים שבסיסי הטרפז נמצאים עליהם נתון: השוק BC מעבירים פרבולה קנונית כך שהקודקודים נמצאת על ציר ה- (p > 0) = p D ו- A ומוקד הפרבולה נמצא על הקודקוד ב ג B של הטרפז נמצאים על מדריך הפרבולה או על הקודקוד )( מהי משוואת הפרבולה שבעבורה הטרפז הגדול מבין שני הטרפזים האפשריים? נמק )( מהי משוואת הפרבולה שבעבורה הטרפז הקטן מבין שני הטרפזים האפשריים? מעבירים ישר המקביל לציר ה- שמצאת בסעיף ב בשתי נקודות E C ABCD ABCD הוא הוא וחותך את שתי הפרבולות ו- F מצא את משוואת המקום הגיאומטרי שעליו מונחים אמצעי הקטעים EF באופן זה 45

159 ABC נסמן: נתון: הוא משולש ) D( נמצאת על AC = v ) B( הנקודה AB u A(0 ) ABC הקטע א כך ש- BC AD = u+ v )( מצא את שיעורי הנקודה ישר זווית )( מצא את משוואת המישור C והוכח כי המשולש הוא ABC ABC הנקודה E נמצאת במישור כך ש- ABEC הוא מלבן הנקודה M היא מפגש האלכסונים במלבן זה ABEC היא נקודה כך ש- MS מאונך למישור S ב )( מצא הצגה פרמטרית לישר נקודה MS S כזו SABEC )( תן דוגמה לשיעורים של נקודה בעבור הנקודה )( בעבוד הנקודה והסבר מדוע לכל היא פירמידה ישרה S S שמצאת חשב את הזווית כמתואר בתת סעיף ב) ( SAB S P שמצאת האם קיימת נקודה נוספת כך ש- PABEC היא פירמידה ישרה שבעבורה מתקיים SAB = PAB? אם כן מצא את שיעוריה אם לא נמק 46

160 נתונה המשוואה z הוא מספר מרוכב( ( 6 i z = 64 א מצא את כל פתרונות המשוואה הנתונה פתרונות המשוואה הנתונה מתאימים לקודקודים של מצולע קמור במישור גאוס ב הראה שלכל אחד מקודקודי המצולע קיים קודקוד אחד בדיוק כך שהישר שמחבר ביניהם עובר דרך ראשית הצירים כופלים כל אחד מפתרונות המשוואה הנתונה במספר מרוכב קבוע w ג הסבר מדוע סכום המספרים שהתקבלו הוא אפס w = + i נתון : ד כתוב משוואה שפתרונותיה הם המספרים: פתרונות המשוואה הנתונה בתחילת השאלה והמספרים שהתקבלו לאחר ההכפלה ב- w 47

161 פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות נתונה הפונקציה: 4 f() = e 4e + א )( מצא את תחום ההגדרה של f() )( מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים )( מצא את שיעורי נקודות הקיצון של )אם יש כאלה( f() f() )4( מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )5( סרטט סקיצה של גרף הפונקציה וקבע את סוגן f() f() 4 b b f() d 4 b < 0 ב הסבר מדוע לכל מתקיים: k f() g() = שתחום הגדרתה זהה לתחום נתונה הפונקציה k ההגדרה של הפונקציות f() הוא פרמטר נתון כי לפונקציה g() יש נקודת מינימום ג מהו תחום הערכים האפשריים בעבור? k נמק 48

162 f() f() f() f() f() = נתונה הפונקציה (ln()) א )( מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )( מצא את משוואת האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים )( מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )אם יש כאלה( )4( מצא את שיעורי נקודות החיתוך של הפונקציה f() f() ב עם הצירים )אם יש כאלה( )5( סרטט סקיצה של גרף הפונקציה הישר = k אינו חותך את גרף הפונקציה נמק k הוא פרמטר( מצא את k ( 5 e < e (I- III) T() = e - נגדיר ג f() d )( לפניך שלושה ערכי בעבור איזה מהם הערך של T() הוא הכי גדול? נמק = I T() e < e = = II III )( הסבר מדוע בעבור כל מתקיים: 49

163 = )( א תשובות למבחן בגרות 7 חורף תשפ"א 0 מועד א: = = 0 : CD ב )( + = 0 : AB ג = 5 + z+ = 0 )( הוכחה AC) (AB C(0 5 ) א )( t(0) ( 5505) + הסבר ב )( SAB 806 )( דוגמה: 5) S( P( 50) )( cis45 cis 85 cis 5 cis (z i)(z i) cis05 cis 45 א ב הוכחה ד ג הוכחה אפשר גם: z = = 0 = ln = 0 )( 0 ln 4 א )( 4) (ln מינימום )( < 0 ירידה: 0 ln או ln ln או )4( עלייה: ln < )5( ב הוכחה ג < 0 k 50

164 0 < < e = e e )( e > 0 א )( )( עלייה: אין ירידה: או (0) )4( )5( 5 )( הסבר = ) ב = k II ג )( 5

165 מבחן בגרות מספר 8 חורף תשפ"א 0 מועד נבצרים פרק ראשון גאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים A( ) הפרבולה ) B( ו- = 6 הן שתי נקודות שונות הנמצאות על ברביע הראשון א )( הראה כי שיפוע המיתר הוא AB 6 m= + (7 ) )( הנקודה היא אמצע המיתר m מצא את AB ב נתון: המרחק של כל נקודה על הפרבולה הנתונה מן = a הישר מרחק הנקודה שווה למרחק של נקודה זו מן הנקודה (90) A )( מהו הערך של מן הישר = 075a הוא 7? a נמק )( מצא את משוואת הישר AB 5

166 (AB DC) נתון טרפז שווה שוקיים ABCD )ראה סרטוט( נתון: DAB 0 t ( AB t u AD = v נסמן: DC u הוא סקלר( v u t א )( הבע את באמצעות ו- v u )( הבע את הווקטור BC באמצעות v ו- u v ( 0) נתון: 0) u (8 6 v ב )( מצא את שיעור ה- של הווקטור )מצא את שני הערכים( )( עבור איזה ערך משני הערכים של שמצאת בתת סעיף ב) ( הבסיס DC נמק הוא קוטר במעגל שהטרפז חסום בו? 5

167 z = r cosθ + isin θ r cos(80 θ) + i sin(80 θ) z א נתון מספר מרוכב הסבר מדוע מתקיים: z ו- הם שלושה מספרים מרוכבים שונים z z הנקודות המייצגות אותם במישור גאוס נמצאות על ישר אחד z שעובר דרך ראשית הצירים הנקודות המייצגות את z ו- נמצאות ברביע הראשון והנקודה המייצגת את z נמצאת ברביע השלישי z = r (cosα + isin α) נסמן z z z z ב הוכח כי המנה היא מספר ממשי z ו- נתון גם כי הנקודות במישר גאוס המייצגות את המספרים z z z 5 נמצאות על מעגל היחידה ו- z z 4 z ג חשב את הערך המוחלט של z ד z 4 הוא הצמוד של הבע באמצעות את שטח המשולש הנוצר על ידי הנקודות z 4 z במישור גאוס המייצגות את המספרים z α 54

168 f() נתונה הפונקציה א f() = 4e מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה 4 > 0 נתונות הפונקציות: () g() = f בתחום h() = f( ) ב מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה קבע את סוגה והראה כי הנקודה הזאת נמצאת על גרף הפונקציה g() h() נתון: הגרפים של שתי הפונקציות g() ו- h() נפגשים בנקודה אחת בלבד )הנקודה שמצאת בסעיף ב( ג סרטט את הגרפים של שתי הפונקציות מערכת צירים ו- g() h() באותה ד נתון: השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה גרף הפונקציה g() h() ועל ידי הישר a > = a ln שווה ל- 4 e + 4ef(a) מצא את הערך של a תוכל להשאיר בתשובתך 55

169 הגרפים II I שבסרטוט שלפניך מתארים שתי פונקציות המוגדרות והאחר f() f () בתחום 4 אחד הגרפים הוא של הפונקציה הוא של פונקציית הנגזרת שלה א קבע מי מבין הגרפים I ו- II הוא הגרף של נמק הפונקציה f() 5? הסתמך על הסרטוט וענה על סעיף ב g() = ln(f()) ב נתונה הפונקציה )( מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה g() )( מה הן האסימפטוטות של הפונקציה g() המאונכות לציר ה- )( מצא את השיעורים של נקודות הקיצון הפנימיות של g() הפונקציה g() )אם יש כאלה( וקבע את סוגן )4( מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )5( סרטט סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה g() תשובות למבחן בגרות 8 חורף תשפ"א 0 מועד נבצרים: = 4+ 4 )( a = 9 = 4 m ב )( א )( הוכחה )( v BC uv u )( v t = - u א )( = 7 )( = 7 = 7 ב )( 5sin α z 5 א הוכחה ב הוכחה ג ד ( 4e) 0 א ב 4 56

170 ג ד a 4 ln 4 - גרף I f () - גרף II 5 א f() 0 0 )( 0 מקסימום ירידה או 0 0 (ln 8) ב )( )( )4( עלייה )5( 57

171 מבחן בגרות מספר 9 חורף תשפ"א 0 מועד מאוחר פרק ראשון גאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים נתון: נקודה שיעור ה- K נמצאת על הפרבולה של נקודה המרחק בין הנקודה א מצא את (p > 0) = 4p הוא K K ובין מוקד הפרבולה הוא 0 p )מצא את שתי האפשרויות( p < p נסמן את הערכים של p שמצאת בסעיף א ב- ו- p p = 4p (m 0) ישר מן הצורה = m חותך את הפרבולה בראשית הצירים ובנקודה נוספת בראשית הצירים ובנקודה נוספת הצב את הערכים ב = 4p A ואת הפרבולה B p ו- p הבע את שיעורי נקודה באמצעות בעבור כל ישר שמצאת וענה על סעיפים ב-ג A ואת שיעורי נקודה B נסמן ב- M (m 0) m = m הנוצר באופן המתואר ג את אמצע הקטע AB מצא את משוואת המקום הגיאומטרי שעליו נמצאות הנקודות M האלה )ללא ) m 58

172 CC AD נתונה התיבה ABCDABCD הנקודה K נמצאת על המקצוע הנקודה E )ראה סרטוט( היא אמצע המקצוע ; AB = u ; AD = v ; נסמן: AA = w הוא סקלר( u = ; v = 6 t > 0 ( ; CK = tcc w = 6 t נתון: EKB = 90 א מצא את π π CDAB BK נסמן ב- π ב את המישור )( הוכח כי הישר )( הסבר מדוע הישר מאונך למישור EK מקביל למישור w ( 8) K(4 5 ) נתון: 0) B( π ג מצא את משוואת המישור 59

173 א פתור את המשוואה: = 0 + +i z (+ i)z אחד הפתרונות של המשוואה שפתרת נמצא ברביע הרביעי והוא מיוצג על ידי הנקודה A במישור גאוס הפתרון השני מיוצג על ידי הנקודה דרך הנקודה הישר B B במישור גאוס עובר מעגל שמרכזו בראשית הצירים - O AO חותך את המעגל בנקודות במעגל חסום מצולע משוכלל בעל נתון כי הנקודות ב מהו ה- n D ו- C n B C D צלעות הן קודקודים של המצולע האפשרי הקטן ביותר? נמק את תשובתך ג בעבור הערך של n שמצאת בסעיף ב: )( רשום את המספרים המרוכבים המתאימים לקודקודי המצולע )( כתוב משוואה שפתרונותיה הם כל המספרים המרוכבים המתאימים לקודקודי המצולע 60

174 פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות הפונקציה g() מוגדרת וגזירה לכל הגרף שלה חותך את ציר ה- נקודות הקיצון של הפונקציה הנגזרת של הפונקציה ציר ה- בראשית הצירים בלבד g() ו- () הן ( ) g() מתאפסת בעבור = הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה שואף לאינסוף ובעבור א בלבד ו- = בעבור g() בלבד שואף למינוס אינסוף )( סרטט סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה )( רשום את תחומי החיוביות והשליליות של )פונקציית הנגזרת של g() g () ) g() 4 g() f() = e נתונה הפונקציה g() ב )( מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f() )( מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה )( מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן )4( סרטט סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה f() f() f() 6

175 a 0 f() = a ln a נתונה משפחת הפונקציות ענה על סעיפים א-ג בעבור ובעבור הוא פרמטר f() a < 0 a > 0 א ב מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה הבע באמצעות a הפונקציה את שיעורי נקודת הקיצון של וקבע את סוגה f() 5 נתון כי הפונקציה f() חותכת את ציר ה- בשתי נקודות שונות f() ג סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ) המוגדרת f() נתונה הפונקציה () g() = f )נגזרת הפונקציה באותו תחום שבו מוגדרת הפונקציה f() נתון: > 0 a a g() ד מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה = a הישר וציר ה- והוכח כי השטח אינו תלוי ב- תשובות למבחן בגרות 9 חורף תשפ"א 0 מועד מאוחר ג = B( ) m m 8 8 A( ) m m = 8 P ב 5+ 5 z ב) ( הוכחה )( הוכחה ג = 0 9 א = P t= א n = 8 ב z = i z = i א (0 ) ( ) ( 0) ( ) (0) ( ) ג) ( (0) 8 Z = 56 )( ( ) 6

176 4 א) ( < (0) שלילית: < או e) ( מקסימום )( < < = )( )( חיובית: ב) ( כל מינימום מקסימום ( ) e )4( < 0 : a < 0 0 < : 5 א < a 0 : a < 0 ב ) lna + ( a ג < a 0 : מינימום ד ln 6

177 מבחן בגרות מספר 40 קיץ תשפ"א 0 מועד א פרק ראשון גאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים נתון פרמטר a > 0 a א מצא את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות שהמרחק שלהן מן הנקודה (a0) שווה למרחק שלהן מן הישר = a ב מצא את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות שהמרחק שלהן מן הנקודה (0a) שווה למרחק שלהן מן הישר = a נתון כי שני המקומות הגאומטריים שמצאת בסעיפים א-ב נחתכים בשתי נקודות אחת הנקודות היא () ג )( מצא את a )( מצא את שיעורי נקודת החיתוך האחרת מחברים את שתי נקודות החיתוך של שני המקומות הגיאומטריים עם הנקודות (0 a) ו- (a 0) כך שמתקבל מרובע ד )( מהו סוג המרובע שהתקבל? נמק )( חשב את שטח המרובע 64

178 ABCD נתונה פירמידה מרובעת SABCD נתון: מאונך לבסיס הפירמידה שבסיסה הוא מעוין SA = BA BAD = 60 הוא פרמטר AB = u AD = v 0 t SA AS = w SE = tsc נסמן: t u v w ED ו- EB א ב הבע את הוקטורים נתון: באמצעות t= )( הוכח כי )( הוכח כי האנך מן הנקודה E מאונך ל- ED לבסיס עובר דרך נקודת EB נתון: מפגש האלכסונים של המעוין B(6 60) A(000) קודקוד D נמצא על ציר ה- בכיוון החיובי שיעור ה- של הנקודה S גדול מאפס z D ו- S SAB ג ד חשב את שיעורי הקודקודים מצא את משוואת המישור 65

179 נתונה המשוואה א z ( 4 z = 6 פתור את המשוואה הוא מספר מרוכב( נתון: פתרונות המשוואה מייצגים קודקודים של מצולע במישור גאוס ב סרטט במערכת הצירים את המצולע שהתקבל כופלים ב- + i קודקודי המצולע ג n כל אחד מן המספרים המייצגים את מצא את שיעורי הנקודות המיוצגות על ידי המספרים שהתקבלו בהכפלה הוא מספר טבעי c ו- < n < 7 הוא מספר ממשי כל אחד מן המספרים המרוכבים שמצאת בסעיפים הקודמים z n מקיים את המשוואה = c c ד n מצא את ואת הנקודות במישור גאוס המיוצגות על ידי כל הפתרונות של n המשוואה ה n z = c מצא את שטח המצולע שמצאת בסעיף ד יוצרות מצולע בעל צלעות 66

180 פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות נתונה הפונקציה המוגדרת לכל f() = + ae a הוא פרמטר a בטא את תשובותיך באמצעות א ב a לפי הצורך )( מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים )אם יש כאלה( f() )( מצא את תחומיי העלייה והירידה של הפונקציה )אם יש כאלה( )( מצא את שיעורי נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים )אם יש כאלה( נתונה הפונקציה f() f() g() = f() 4 )( מהו תחום ההגדרה של הפונקציה g()? נמק את תשובתך )( מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים )אם יש כאלה( )( ידוע כי לפונקציה g() g() יש נקודת פיתול אחת המתקבלת ln(a) = כאשר מצא את שיעור ה- של נקודת הפיתול וסרטט סקיצה של גרף הפונקציה g() ג )( מצא את שיעור נקודת הקיצון של הפונקציה )( סרטט את גרף הפונקציה g () () g פרט את שיקוליך ד מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g () = ועל ידי הישרים = 0 67

181 f() g() f() f() = ln (+ )( ) נתונה הפונקציה א )( מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )( מצא את האסימפטוטות של הפונקציה f() המאונכת לצירים )( מצא את תחומי העליה והירידה של הפונקציה f() ב )אם יש כאלה( )4( סרטט את גרף הפונקציה נתונה הפונקציה ln(f()) g() = היעזר בתשובותיך על השאלות בסעיף א וענה על g() התת-סעיפים )(-)( שלפניך )( מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )( מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )אם יש כאלה( )( סרטט סקיצה של גרף הפונקציה פרט את שיקוליך f() g() g() < f() < 0 קבע אם המכפלה ג בעבור כל המקיים חיובית נמק את קביעתך 5 תשובות למבחן בגרות 40 קיץ תשפ"א 0 מועד א: (00) )( a= = a + = א + a ב ג) ( E D = ( t)v t u + (t)w = 0 ד) ( דלתון )( א EB = ( t)u t v + (t)w ב) ( הוכחה )( הוכחה S(0 0) ג 0) D(0 ד 68

182 cis5 cis 5 cis5 א cis 45 ב S = 5 c = 6556 n = 6 (0 ) (0) ( 0) ג (0) ד ה (0+ a) )( א) ( = )( עליה: אין ירידה: כל 4 = )( = = 0 )( ב) ( כל פיתול )( lna ( ) ג) ( lna ד S = + 4 a+ = 0 = = )( < א) ( < או < < או 5 או ירידה: אין < )( עליה: < או < < )4( )( )( עליה: < < ב )( ירידה: אין ג לא 69

183 מבחן בגרות מספר 4 קיץ תשפ"א 0 מועד מיוחד פרק ראשון גאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים נתון פרמטר א a שונה מאפס הראה כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות שהמרחק שלהן מן הנקודה (a ) שווה למרחק שלהן מן הנקודה קו ישר הבע את משוואת הישר באמצעות ( a) a הוא נתון הישר = a a ב מצא לאילו ערכים של א ניצבים זה לזה הישר הנתון והישר שמצאת בסעיף הישר שמצאת בסעיף א והישר הנתון ניצבים זה לזה ומשיקים לשני מעגלים M ו- N מרכזי שני המעגלים מונחים על ציר ה- המעגל M נמצא מימין לציר ה- והמעגל N נמצא משמאל 6 לציר ה- נתון כי המרחק בין מרכזי המעגלים הוא N והרדיוס של המעגל M גדול פי מן הרדיוס של המעגל ו- N ג מצא את המשוואות של המעגלים M נתון הישר = הישר משיק לשני המעגלים M ו- N ד מצא משוואה של ישר המשיק לשני המעגלים נוסף על הישרים המשיקים המתוארים בשאלה נמק את תשובתך 70

184 בסרטוט שלפניך מתוארת מנסרה ישרה ABCABC ABC AC = (k+0k ) שהבסיס שלה הוא המשולש נתון המספר k שבעבורו: AA = (kk7k+) AB = (kk) k א מצא את ערכו של BC ו- AC המקצועות AC ו- BC מונחים על הישרים בהתאמה: ABC נמק AC ABC : = (8 ) + t(k+0k ) BC : = (40) + m(k k 4) ב מצא את משוואת המישור CAB ג ד חשב את גודל הזווית מצא את מרכז המעגל החוסם את המשולש 7

185 w נתונה משוואה I: א פתור את משוואה I הוא מספר מרוכב w 4iw4 + i = 0 נתונה משוואה: ב z z = a+ bi הוא מספר מרוכב a ו- b הם מספרים ממשיים ידוע כי אחד מפתרונות משוואה זו מתאים לנקודה הנמצאת במישור גאוס על הציר המדומה בחלקו השלילי אחת מן הטענות - שלפניך נכונה קבע איזו ונמק את קביעתך a = 0 a 0 a 0 b > 0 b 0 b 0 w ו- w z = (w + w ) נתונה משוואה :II הם הפתרונות של משוואה I ג ד פתור את משוואה II פתרונות משוואה II מייצגים קודקודים של משולש במישור גאוס סרטט את המשולש שהתקבל במישור גאוס נתון מספר מדומה d u = di הוא פרמטר ממשי מוסיפים את u לכל אחד מן הפתרונות של משוואה II כך שהמספרים שמתקבלים מייצגים משולש חדש ה מצא את הערך של d שבעבורו המעגל החוסם את המשולש החדש עובר דרך ראשית הצירים מצא את שתי האפשרויות 7

186 פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות f() נתונה הפונקציה: e f() = e e e א )( מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f() )( מצא את המשוואות של האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים )אם יש כאלה( )( מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )אם יש כאלה( )4( הוכח כי הפונקציה f() f() ב סרטט סקיצה של גרף הפונקציה היא אי-זוגית f() 4 g() = f() a g() = a נתון הישר: הוא פרמטר ידוע כי ג )( מצא את a )( חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה f() לבין הישר g() 7

187 נתונה משפחת הפונקציות: f() = (ln()) n n א ב הוא מספר טבעי ענה על הסעיפים שלפניך בעבור n זוגי ובעבור אם יש צורך בטא את תשובותיך באמצעות )( מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה n n )( מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )( מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן אי-זוגי כל אחד מן הגרפים א-ג שלפניך מתאר פונקציה במשפחה קבע איזה גרף יכול להתאים ל- n n ל- ואיזה גרף יכול להתאים ל- n איזה גרף יכול להתאים נמק את קביעותיך 5 g() = (ln()) נתונה הפונקציה: g() ג סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g() ד חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה על ידי ציר ה- ועל ידי הישרים = e ו- = e 74

188 תשובות למבחן בגרות 4 קיץ תשפ"א 0 מועד מיוחד: ( ) + = ( 4) + = 8 ב a ג א = a i (5 5 5) + i 90 5+z45 = = 0 k = ד א א ב ב טענה ד ג d = + i cis 70 i cis50 + i ג cis0 ד ה או = d או = : = : )( 4 א) ( כל )( עליה: כל ב ירידה: אין ) 4 (הוכחה 006 )( ג) (

189 > 0 : g() > 0 5 א) ( f() : n 0 e > ירידה e n n אי-זוגי: עלייה: )( n ירידה: e > n 0 e זוגי: עליה: או n n ( n) ( ) n n e e אי-זוגי: מינימום n )( n ( n) ( ) n n e e זוגי: (0) מינימום ( מקסימום n = n = n = n ב גרף א': גרף ב': גרף ג': ד ג 76

190 מבחן בגרות מספר 4 קיץ תשפ"א 0 מועד ב פרק ראשון גאומטריה אנליטית וקטורים טריגונומטריה במרחב מספרים מרוכבים לפניך משוואת הפרבולה: = a ומשוואת המעגל: + a = 0 א a הוא פרמטר גדול מ- 0 מצא את שיעורי נקודות החיתוך של הפרבולה והמעגל הבע באמצעות a אם יש צורך דרך שתיים מנקודות החיתוך של הפרבולה והמעגל עובר ישר ששיפועו חיובי ב ג מצא את משוואת הישר הבע באמצעות a ממרכז המעגל מעבירים אנך לישר אורך האנך הוא )( הבע באמצעות )( מצא את אם יש צורך 5 a a את מרכז המעגל ואת הרדיוס שלו מגדירים מעגל חדש שמרכזו זהה למרכז המעגל הנתון והרדיוס שלו קטן ב- ד מרדיוס המעגל הנתון מצא את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות שאורך המשיק מהן למעגל החדש שווה למרחק שלהן מן הישר = 4 77

191 נתון משולש הצלע ABC )ראה סרטוט( הנקודה D הנקודה E AB מחלקת את הצלע AC F הנקודה AE : EC = : היא מפגש הקטעים היא אמצע ביחס של CA = u נסמן: CB = v CD ו- BE BF = tbe ו- t הם מספרים כך ש: k CF = kcd k א t מצא את ואת 4 ++z = 0 המשולש ABC נמצא במישור A מישור זה חותך את ציר ה- בנקודה C את ציר ה- בנקודה ואת ציר ה- z בנקודה B הנקודה O היא ראשית הצירים ב מצא את שיעורי הנקודות F ו- E ג מצא את משוואת המישור AOE ד מצא את נפח הפירמידה FAOE 78

192 z נתונה משוואה I: א פתור את משוואה I הוא מספר מרוכב 4 z z 4 = 0 פתרונות המשוואה מיוצגים על ידי כל הקודקודים של מצולע במישור גאוס ב מצא את שטח המצולע z (az + b)(z +) 0 נתונה משוואה :II הוא מספר מרוכב a ג ד b ו- הם מספרים ממשיים השונים מאפס ידוע כי שניים מבין הפתרונות של המשוואה הם מספרים מדומים הוכח כי a b > 0 מצא את פתרונות משוואה II הבע באמצעות אם יש צורך ו- a b ידוע כי הפתרונות המדומים של משוואה II מיוצגים על ידי נקודות הנמצאות על מעגל שמרכזו בראשית הצירים והרדיוס שלו גדול פי שניים מן הערך המוחלט של פתרונות משוואה I b a ה מצא את היחס 79

193 פרק שני גדילה ודעיכה פונקציות חזקה פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (b b) נתונה הפונקציה: f() = e המוגדרת לכל b < 0 הוא פרמטר הבע את תשובותיך באמצעות b א )( מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים )( מצא את האסימפטוטות של הפונקציה לציר ה- )אם יש כאלה( אם יש צורך f() f() )( מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן )אם יש כאלה( )4( סרטט סקיצה של גרף הפונקציה המקבילות f() f() 4 נגדיר את הפונקציה: נתון כי לפונקציה a g() = f(+ a) g() הוא פרמטר יש נקודת קיצון על ציר ה- a ב )( מצא את ובטא את הפונקציה באמצעות ו- )( האם הפונקציה g() היא זוגית אי-זוגית או לא זוגית ולא אי-זוגית? נמק )( סרטט סקיצה של גרף הפונקציה b g() g() ג מצא את שיעור ה- פונקציית הנגזרת g () הצב ד b = 05 g () הנגזרת נקודות הקיצון של של כל אחת מנקודות הקיצון של וקבע את סוגן וחשב את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית על ידי ציר ה- g () ועל ידי הישרים העוברים דרך ומאונכים לציר ה- 80