יחידה 23: משפחות של פונקציות שיעור.1 המשפחה (a 0) y = ax 2 + bx נתבונן בפונקציות: g(x) = x 2 3x f(x) = 2x 2 6x רן הציג כל אחת מהפונקציות כמכפלה: 3) 2x(x g(x) = x(x 3) f(x) = רן אמר: רואים שלשתי הפונקציות אותן נקודות אפס, ולכן לשתיהן אותו ציר סימטריה ואותו קדקוד. האם רן צודק? ה סבירו. נחקור פרבולות מהמשפחה.(a 0) y = ax 2 + bx במשימות 4-1 נתייחס לנתונים במשימת הפתיחה. נקודות חיתוך עם ציר x )נקודות אפס( 1. א. מהם שיעורי נקודות האפס של הפונקציה?f(x) = 2x 2 6x רן רשם: = 0 f(x) 2x 2 6x = 0 2x(x 3) = 0 מ צאו את שיעורי נקודות האפס של הפונקציה f(x) בדרך של רן. ב. מ צאו את שיעורי נקודות האפס של הפונקציה.g(x) = x 2 3x לפונקציה ריבועית מהצורה (a 0, b 0) f(x) = ax 2 + bx יש שתי נקודות אפס. אחת מהן היא,0).(0 אפשר למצוא את שיעורי נקודות האפס בדרך אלגברית. f(x) = 6x 2 3x נתונה הפונקציה דוגמה: 6x 2 3x = 0 משווים = 0 f(x) רושמים את הביטוי כמכפלה = 0 1) + 3x(2x לפחות אחד מהגורמים במכפלה הוא אפס, ולכן = 0 1 + 2x או = 0 3x x או = 0 x = 0.5 המחלקה להוראת המדעים כל הזכויות שמורות x 2 = 0, x 1 לכן 0.5 = שיעורי נקודות האפס הם: (0, 0.5 ) ו- (0,0) יחידה - 23 משפחות של פונקציות 50
ציר הסימטריה ושיעורי נקודת הקדקוד.2 מהו ציר הסימטריה של הפונקציה?f(x)= 2x 2 6x רן אמר: שיעורי נקודות האפס של הפונקציה הם (0,3) ו- (0,0). 0 1.5 3 נקודות האפס הן נקודות סימטריות ביחס לציר הסימטריה. כלומר, ציר הסימטריה עובר בדיוק באמצע הקטע המחבר את נקודות האפס. א. מהו ציר הסימטריה של הפונקציה?f(x) ב. מהו ציר הסימטריה של הפונקציה?g(x) = x 2 3x.3 מהם שיעורי נקודת הקדקוד של הפונקציה?f(x) = 2x 2 6x רן אמר: נקודת הקדקוד נמצאת על ציר הסימטריה (1.5 = x). כדי למצוא את שיעורי נקודת הקדקוד, נציב = 1.5 x בייצוג האלגברי של הפונקציה. א. מ צאו את שיעורי נקודות הקדקוד של הפונקציה.f(x) ב. מ צאו את שיעורי נקודות הקדקוד של הפונקציה.g(x) = x 2 3x g(x) = x 2 3x 4. ה עתיקו וה שלימו תעודות זהות לפונקציות. ייצוג אלגברי של הפונקציה תחום סקיצה ציר הסימטריה שיעורי נקודת הקדקוד סוג הקדקוד שיעורי נקודות חיתוך עם ציר x )נקודות אפס, = 0 y( שיעורי נקודת חיתוך עם ציר x) = (0 y תחום עלייה של הפונקציה תחום ירידה של הפונקציה המחלקה להוראת המדעים כל הזכויות שמורות התחום שבו הפונקציה חיובית (0 > y) התחום שבו הפונקציה שלילית (0 < y) f(x) = 2x 2 6x כל המספרים כל המספרים ת"ז יחידה - 23 משפחות של פונקציות 51
ציר הסימטריה של הפרבולה המתארת פונקציה ריבועית מהצורה (a 0, b 0) f(x) = ax 2 + bx עובר דרך אמצע הקטע המחבר את שתי נקודות האפס של הפונקציה. אפשר למצוא את שיעורי נקודות האפס בדרך אלגברית. דוגמה : נתונה הפונקציה f(x) = 6x 2 3x שיעורי נקודות האפס של הפונקציה הם ציר הסימטריה x = 0.25 ) ( 0.5, 0 ו (0, 0) - 0 0.5 0.25 פרבולות בעלות תכונות נתונות.5 א. ה תאימו גרף לכל פונקציה f(x) = 2x 2 6x 3x x2 = ) g(x ב. מ צאו שתי פונקציות נוספות שיש להן אותן נקודות אפס. מהו ציר הסימטריה של הפונקציות שמצאתם? כמה פונקציות כאלה יש?.6 א ב א. תנו דוגמה לפונקציה ריבועית ששיעורי נקודות האפס שלה הם (4, 0) : ו.(0, 0) - כמה פונקציות כאלו יש? ב. תנו דוגמה לפונקציה ריבועית שציר הסימטריה שלה הוא x = 5 והגרף שלה עובר בראשית הצירים. כמה פונקציות כאלו יש? ג. ש רטטו פרבולה ששיעור x של נקודת הקדקוד שלה הוא 2.5 ואחת מנקודות האפס שלה היא ).(0, 0 כמה פרבולות מתאימות יש? במשימה 5 ראינו, כי ניתן למצוא אינסוף פרבולות שלהן אותן נקודות אפס ואותו ציר סימטריה. דוגמה : לפונקציות הבאות : = ) h(x +x = ) g(x + 0. 5x f(x) = 6x 2 3x אותן נקודות אפס ) ( 0.5, 0 ו (0, 0) - ואותו ציר סימטריה ) (x = 0.25 אפשר להציג פונקציות אלו כמכפלה, כך (a 0) f(x) = ax(x + 0.5) : x2 2x 2 52 0.5 0.25 0
אוסף משימות.1 בכל סעיף מ צאו את שיעורי נקודות האפס, את ציר הסימטריה ואת שיעורי נקודת הקדקוד. y = 2x 2 4x א..2 ג. ה תאימו גרף לכל פונקציה. f (x) = 2x 2 + 4x g (x) = 3x 2 6x א. ב. 2 h (x) = x 2 4x 4 x s (x) = x 2 x ג..3 ב. y = 4x 2 + 12x y = 6x 2 + 12x ד. 1 2 ח קרו את הפונקציות. ה עתיקו וה שלימו תעודות זהות. f(x) = 3x 2 12x g(x) = 12x 2 + 6x תחום כל המספרים כל המספרים סקיצה ייצוג אלגברי של הפונקציה ציר הסימטריה שיעורי נקודת הקדקוד סוג הקדקוד שיעורי נקודות חיתוך עם ציר ( x נקודות אפס )y = 0, שיעורי נקודת חיתוך עם ציר (x = 0) y תחום עלייה של הפונקציה תחום ירידה של הפונקציה התחום שבו הפונקציה חיובית ) (y > 0 התחום שבו הפונקציה שלילית ) (y < 0 53
א. 4. בכל סעיף מ צאו את שיעורי נקודות האפס, את ציר הסימטריה ואת שיעורי נקודת הקדקוד, וש רטטו סקיצה לפי הנקודות שמצאתם. y = x 2 + 8x ב. y = 2x 2 + 4x ג. y = 7x 2 21x 5. בכל סעיף מ צאו את שיעורי נקודות האפס, את ציר הסימטריה ואת שיעורי נקודת הקדקוד, וש רטטו סקיצה לפי הנקודות שמצאתם. y = x 2 + x y = 10x 2 2x א. y = 2x 2 + 10x ב. ג. 6. א. ש רטטו פרבולה שציר הסימטריה שלה הוא = 7 x. כמה פרבולות כאלו אפשר לשרטט? ת נו דוגמה לשתי פרבולות כאלו. ב. ש רטטו פרבולה שנקודות האפס שלה הן (0,5) ו- (0,0). כמה פרבולות כאלו אפשר לשרטט? ת נו דוגמה לשתי פרבולות כאלו. ג. ש רטטו פרבולה שציר הסימטריה שלה הוא = 7 x ואחת מנקודות האפס שלה היא (0,0). כמה פרבולות כאלו אפשר לשרטט? ת נו דוגמה לשתי פרבולות כאלו. 7. תנו דוגמה לארבע פונקציות המתאימות לסקיצה שלפניכם. מהי הצורה הכללית של הפונקציות שמצאתם? המחלקה להוראת המדעים כל הזכויות שמורות y 4 0 x 8. ש רטטו פרבולה שציר הסימטריה שלה הוא = 3 x ונקודת המינימום שלה )2,3(. כמה פרבולות כאלה יש? תנו דוגמה לשתי פרבולות כאלו. יחידה - 23 משפחות של פונקציות 54
שיעור 2. אותה פונקציה בייצוגים אלגבריים שונים f(x) = 2(x 7) (x 1) לפניכם שלושה ייצוגים אלגבריים שונים של הפונקציה.f(x) f(x) = 2x 2 16x + 14 f(x) = 2(x 4) 2 18 התוכלו להראות כי אלו שלושה ייצוגים של אותה פונקציה? מהו לדעתכם היתרון של כל אחד מהייצוגים האלגבריים? נזהה תכונות של הפונקציה מתוך הייצוג האלגברי. ייצוג קדקודי (a 0) y = a(x p) 2 + k.1 נתונה הפונקציה 18 2 4) 2(x f(x) = א. ש רטטו סקיצה מתאימה לפונקציה. ב. האם לפונקציה נקודת מינימום או נקודת מקסימום? ג. האם הפרבולה ששרטטתם היא הרחבה או כיווץ של הפרבולה y? = x 2 ד. מהו ציר הסימטריה של הפרבולה? ה. מהם שיעורי נקודת הקדקוד? מידע על תכונות הפונקציה מתוך הייצוג הקדקודי (a 0) y = a(x p) 2 + k האותיות k p, a, הנקראות פרמטרים. דוגמה: הפונקציה 2 2 3) 5(x y = a = 5, p = 3, k = 2 פרמטר a סוג הקיצון: המחלקה להוראת המדעים כל הזכויות שמורות אם > 0 a - לפרבולה יש נקודת מינימום. אם < 0 a - לפרבולה יש נקודת מקסימום. מידת הכיווץ או ההרחבה של זרועות הפרבולה: ככל ש a גדול יותר, זרועות הפרבולה מכווצות יותר. 4 לפרבולה נקודת מקסימום. y 1 2 0 1 2 3 4 5 6 2 x ציר הסימטריה = 3 x פרמטר p ו- k שיעורי נקודת הקדקוד (2,3) ציר הסימטריה x = p שיעורי נקודת הקדקוד (k,p) יחידה - 23 משפחות של פונקציות 55
(a 0) y = a(x x 1 )(x x 2 ייצוג כמכפלה ).2 נתונה הפונקציה 1) 7)(x f(x) = 2(x א. האם לפונקציה נקודת מינימום או נקודת מקסימום? ב. מהן נקודות האפס של הפונקציה? ג. מהו ציר הסימטריה של הפונקציה?.(a 0) y = a(x x 1 )(x x 2 מידע על תכונות הפונקציה מתוך הייצוג כמכפלה ) דוגמה: הפונקציה 2) 4)(x g(x) = 2(x + 4 פרמטר a לפרמטר a אותו תפקיד כמו בייצוג הקדקודי. לפרבולה נקודת מינימום y 4 2 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 שיעורי נקודות האפס: (0,4 ) ו-( 0,2) x = - 4 + 2 ציר הסימטריה -= 1 2 2 x (x 2 (x 1 ו- 0), נקודות האפס של הפונקציה הן: (0, ציר הסימטריה עובר באמצע הקטע המחבר את נקודות האפס x1 + x2 x = 2 ציר הסימטריה המחלקה להוראת המדעים כל הזכויות שמורות ייצוג סטנדרטי (a 0) y = ax 2 + bx + c.3 נתונה הפונקציה + 14 16x f(x) = 2x 2 א. האם לפונקציה נקודת מינימום או נקודת מקסימום? ב. מהי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר y? ג. מהו ציר הסימטריה של הפונקציה? יחידה - 23 משפחות של פונקציות 56
מידע על תכונות הפונקציה מתוך הייצוג הסטנדרטי y = ax 2 + bx + c ).(a 0 דוגמה : פרמטר a הפונקציה h(x) = x² + 8x 12 לפרבולה נקודת מקסימום לפרמטר a אותו תפקיד כמו בייצוג הקדקודי. 4 2 נקודת החיתוך של הגרף עם ציר y היא ) (0, c שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר y הם (0, 12) :.4 1 2 3 4 5 6 7 0 2 4 6 8 10 12 לפניכם שלושה ייצוגים של הפונקציה ).f(x ייצוג קדקודי f(x) = (x 2) 2 9 ייצוג סטנדרטי f(x) = x 2 4x 5 ייצוג כמכפלה ) f(x) = (x + 1)(x 5 א. ה ראו כי שלושת הייצוגים מתארים אותה פונקציה. ב. היעזרו במידע הנתון בייצוגים השונים, ומ צאו : האם לפונקציה נקודת מינימום או נקודת מקסימום? מהם שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים? מהו ציר הסימטריה של הפונקציה? מהם שיעורי נקודת הקדקוד של הפונקציה? ג. ש רטטו סקיצה של גרף הפונקציה ).f(x ס מנו על הגרף את הנקודות שמצאתם בסעיף ב. אוסף משימות.1 לפניכם ייצוגים אלגבריים שונים של פונקציה ).f(x ייצוג סטנדרטי ייצוג קדקודי 2 f(x) = 3x + 6x 24 f(x) = 3(x + 1) 2 27 ייצוג כמכפלה ) f(x) = 3(x + 4)(x 2 ק בעו אילו מהתכונות הבאות אפשר להסיק בקלות מתוך כל ייצוג, כמעט ללא צורך בחישובים. א. סוג הקדקוד : מינימום או מקסימום ד. ב. שיעורי נקודות האפס ה. מידת הכיווץ של זרועות הפרבולה ג. ציר הסימטריה ו. שיעורי נקודת הקדקוד שיעורי נקודת החיתוך עם ציר y 57
.2 לפניכם שלושה ייצוגים אלגבריים שונים של הפונקציה ).f(x ייצוג קדקודי f(x) = 2(x 1) 2 8 ייצוג כמכפלה ) f(x) = 2(x + 1)(x 3 ייצוג סטנדרטי f(x) = 2x 2 4x 6 א. ה ראו כי שלושת הייצוגים מתארים אותה פונקציה. ב. היעזרו במידע הנתון בייצוגים השונים, ומ צאו : האם לפונקציה נקודת מינימום או נקודת מקסימום? מהם שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים? מהו ציר הסימטריה של הפונקציה? מהם שיעורי נקודת הקדקוד של הפונקציה? ג. ש רטטו סקיצה של גרף הפונקציה ).f(x ס מנו על הגרף את הנקודות שמצאתם בסעיף ב..3 ח קרו את הפונקציות. ה עתיקו וה שלימו תעודות זהות. ) h(x) = 2(x 4) 2 + 2 g(x) = (x + 4)(x 2 תחום ייצוג אלגברי של הפונקציה כל המספרים סקיצה ציר הסימטריה כל המספרים שיעורי נקודת הקדקוד סוג הקדקוד שיעורי נקודות חיתוך עם ציר ( x נקודות אפס )y = 0, שיעורי נקודת חיתוך עם ציר (x = 0) y תחום עלייה של הפונקציה תחום ירידה של הפונקציה התחום שבו הפונקציה חיובית ) (y > 0 התחום שבו הפונקציה שלילית ) (y < 0.4 בכל סעיף ר שמו שתי תכונות (או יותר) של הפונקציה. דוגמה : 58 הפונקציה f(x) = 3x 2 5 לפרבולה יש נקודת מקסימום (כי (a = 3 נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר y היא ).(0, 5 א. f(x) = 5x 2 ד. ) f(x) = (x 3)(x + 5 ב. ) f(x) = (x 5)(x + 3 ה. f(x) = 3x 2 + x 2 ג. f(x) = 2(x 5)2 +3 ו. f(x) = (x 3)2 5
שיעור 3. מעבר בין הייצוגים האלגבריים מזיזים את הפרבולה y = x 2 שלוש יחידות ימינה ויחידה אחת כלפי מטה. ר שמו את הייצוג האלגברי של הפונקציה שהתקבלה בדרכים שונות: ייצוג כמכפלה ייצוג סטנדרטי ייצוג קדקודי y = a(x x 1 )(x x 2 ) y = ax 2 + bx + c y = a(x p) 2 + k נלמד לעבור בין הייצוגים האלגבריים השונים של הפונקציה הריבועית. מייצוג קדקודי לייצוגים האלגבריים האחרים.1 נתונה פונקציה בייצוג קדקודי 16 2 2) (x f(x) = א. פ שטו את הביטוי האלגברי ור שמו את f(x) בהצגה סטנדרטית. ב. פ רקו לגורמים את הביטוי שקיבלתם בסעיף א )לפי טרינום( ור שמו את f(x) כמכפלה. ג. ש רטטו סקיצה של f(x) וס מנו בה את כל המידע שקיבלתם משלושת הייצוגים. אפשר לעבור מייצוג קדקודי של פונקציה ריבועית לייצוג סטנדרטי על-ידי פישוט. אפשר לעבור מייצוג סטנדרטי לייצוג כמכפלה על-ידי פירוק לגורמים. דוגמה: ייצוג קדקודי y = (x 2) 2 16 פישוט ייצוג סטנדרטי y = x 2 4x 12 המחלקה להוראת המדעים כל הזכויות שמורות מייצוג כמכפלה לייצוגים האלגבריים האחרים.2 נתונה פונקציה בייצוג כמכפלה 8) + 2)(x g(x) = (x נעמי אמרה: שיעורי נקודות האפס של הפונקציה הם: (0,8 ) ו- (0,2). ייצוג כמכפלה y = (x 6)(x + 2) ציר הסימטריה נמצא במרחק שווה משתי נקודות האפס, לכן ציר הסימטריה 3 = x. מציבים 3 = x בייצוג האלגברי של הפונקציה, ומקבלים 25 = y כלומר, שיעורי נקודת הקדקוד של הפונקציה )נקודת מינימום(: (25, 3 ) א. כּ תבו את הייצוג הקדקודי של הפונקציה. ב. פ שטו את אחד הייצוגים האלגבריים של הפונקציה )הייצוג כמכפלה או הייצוג הקדקודי(, וכ תבו ייצוג סטנדרטי של הפונקציה.g(x) פירוק לגורמים ג. ש רטטו סקיצה של,g(x) וס מנו בה את כל המידע שקיבלתם משלושת הייצוגים. יחידה - 23 משפחות של פונקציות 59
אפשר לעבור מייצוג הפונקציה כמכפלה לייצוג קדקודי על - ידי מציאת ציר הסימטריה ושיעורי נקודת הקדקוד בעזרת נקודות אפס. דוגמה : ייצוג קדקודי ייצוג כמכפלה f(x) = (x 2) 2 + 16 ) f(x) = (x 6)(x + 2 ציר הסימטריה,x = 2 שיעורי נקודות האפס הם (6, 0) : ו ( 2, 0)- שיעורי נקודת הקדקוד ( (2, 16) : מציבים x = 2 בייצוג האלגברי ומקבלים )y = 16 מייצוג סטנדרטי לייצוגים האלגבריים האחרים.3 נתונה פונקציה בייצוגה הסטנדרטי h(x) = x 2 2x 3 א. פ רקו לגורמים (לפי טרינום), וכ תבו את הפונקציה ) h(x כמכפלה. ב. מ צאו את שיעורי נקודות האפס של הפונקציה, את ציר הסימטריה ואת שיעורי נקודת הקדקוד. ג. כ תבו ייצוג קדקודי של הפונקציה ).h(x ד. ש רטטו סקיצה של ) h(x וס מנו בה את כל המידע שקיבלתם משלושת הייצוגים. חושבים על....4 ייצוג קדקודי ה עתיקו את הדיאגרמה. כּ תבו על כל חץ את הדרך למעבר בין הייצוגים האלגבריים של הפונקציה הריבועית, מתוך הרשימה הבאה : פישוט בעזרת נקודות האפס פירוק לגורמים (טרינום) השלמה לריבוע ייצוג כמכפלה ייצוג סטנדרטי אוסף משימות.1 א. נתונה פונקציה בייצוג קדקודי.f(x) = (x 5) 2 1 פ שטו את הביטוי האלגברי ור שמו את ) f(x בהצגה הסטנדרטית. ב. נתונה פונקציה בייצוג סטנדרטי.g(x) = x 2 10x + 24 פ רקו לגורמים (לפי טרינום) ור שמו את ) g(x כמכפלה. ג. אם עניתם נכון, מצאתם כי ).f(x) = g(x ש רטטו סקיצה וס מנו בה את כל המידע שמצאתם בייצוגים השונים של הפונקציה. 60
ייצוג כמכפלה y = a(x x 1 )(x x 2 ) g(x) = (x + 6)(x 4) ייצוג סטנדרטי y = ax 2 + bx + c h(x) = x 2 + 5x 50 2. ה עתיקו את הטבלה וה שלימו. ייצוג קדקודי y = a(x p) 2 + k f(x) = (x 2) 2 25 3. ה עתיקו את הטבלה וה שלימו. ייצוג קדקודי ייצוג סטנדרטי ייצוג כמכפלה y = a(x x 1 )(x x 2 ) y = ax 2 + bx + c y = a(x p) 2 + k f(x) = 2(x 4) 2 2 g(x) = (x + 6)(x 6) h(x) = 3x 2 6x 9 ח קרו את הפונקציות הבאות. ה עתיקו וה שלימו. 4. h(x) = 2(x + 5) 2 7 g(x) = (x + 7)(x 5) 20 8x f(x) = x 2 ייצוג אלגברי של הפונקציה כל המספרים כל המספרים כל המספרים תחום סקיצה ציר הסימטריה שיעורי נקודת הקדקוד סוג הקדקוד שיעורי נקודות חיתוך עם ציר x )נקודות אפס, = 0 )y שיעורי נקודת חיתוך עם ציר y (x = 0) תחום עלייה של הפונקציה תחום ירידה של הפונקציה התחום שבו הפונקציה חיובית )0 > y( התחום שבו הפונקציה שלילית )0 < y( המחלקה להוראת המדעים כל הזכויות שמורות יחידה - 23 משפחות של פונקציות 61
.5 לפניכם גרפים של שלוש פונקציות : h(x) = 2x 2 + 4x + 2 f(x) = 2x 2 + 4x g(x) = 2x 2 + 4x 6 I III II א. ה תאימו גרף לכל פונקציה (אפשר להיעזר ב.)c - ב. לכל פונקציה מ צאו בדרך אלגברית את התכונות הבאות : שיעורי נקודות האפס ציר הסימטריה שיעורי נקודת הקדקוד שיעורי נקודת החיתוך עם ציר y בּ דקו את תשובותיכם בעזרת הגרפים. ג. מ צאו את שיעורי x כאשר.f(x) = 6 ; g(x) = 10 :.6 לפניכם גרפים של שלוש פונקציות בייצוגן הסטנדרטי y = ax 2 +bx + c f(x) = x 2 + 4x g(x) = x 2 + 4x 4 h(x) = x 2 + 4x + 12 ) (a 0 I א. ה תאימו גרף לכל פונקציה (אפשר להיעזר ב.)c - ב. לכל פונקציה, מ צאו בדרך אלגברית את התכונות הבאות : נקודות האפס ציר הסימטריה שיעורי נקודת הקדקוד שיעורי נקודת החיתוך עם ציר y ב דקו את תשובותיכם בעזרת הגרפים. II III.7 62 מ צאו את ציר הסימטריה של הפונקציה. ב + 1. א y = 3(x 4)(x + 2). 4)2 y = 3(x ג y = 2(x 1)(x + 4).
שיעור 4. מן התכונות אל הפונקציה 2 y 2 0 2 4 x 2 4 6 8 10 הפרבולה שלפניכם מתארת פונקציה ריבועית שבה = 1 a. התוכלו לגלות לפי השרטוט את הייצוג האלגברי של הפונקציה? נמצא את הייצוג האלגברי של הפונקציה לפי תכונותיה. 4 1. נתייחס לנתונים ממשימת הפתיחה. נעמי אמרה: לפי השרטוט, שיעורי נקודות האפס הם (0,4) ו- (0,2 ). לכן, הפונקציה היא 4) 2)(x.f(x) = (x + יפעת אמרה: לפי השרטוט, שיעורי נקודת הקדקוד )9,1(. א. מי צודקת? הסבירו. לכן, הפונקציה היא 9 2 1) (x.f(x) = ב. כתבו את הייצוג הסטנדרטי של הפונקציה. 2. הפרבולה שלפניכם מתארת פונקציה ריבועית שבה 1 = a. מהו הייצוג האלגברי של הפונקציה? כ תבו ייצוגים אלגבריים שונים: - ייצוג קדקודי - ייצוג סטנדרטי - ייצוג כמכפלה 3. בכל סעיף מצאו דוגמה לפונקציה מתאימה, ק בעו כמה פונקציות מתאימות יש וה סבירו: א. שיעורי נקודות האפס (0,3) ו- (0,1 ) ב. שיעורי נקודת הקדקוד (5,9 ) ג. שיעורי נקודת החיתוך עם ציר y הם (2,0) ד. ציר הסימטריה = 4 x המחלקה להוראת המדעים כל הזכויות שמורות ה. לפרבולה יש נקודת מקסימום, ומידת הכיווץ או הרחבה של זרועות הפרבולה היא = 0.5 a y 4 0 4 8 12 16 4 8 x 4. מ צאו ייצוג אלגברי שלפונקציה לכל סקיצה. y 2 א. ב. ג. ד. y y 2 y x 1 3 x 4 x 4-2 x האם בכל הייצוגים האלגבריים שרשמתם = 1 a או 1 = a? אם כן, ה ציעו לפחות ייצוג אלגברי אחד עבור 1 a או 1 a. יחידה - 23 משפחות של פונקציות 63
ראינו כי אפשר לקבל מידע אודות הייצוג האלגברי של הפונקציה לפי תכונותיה. דוגמאות : במשימה 3 אם שיעורי נקודת הקדקוד,( 9, 5) : אז הפונקציות המתאימות הן מהצורה : y = a(x + 9) 2 + 5 5 0 9 אם שיעורי נקודות האפס ) (3, 0 ו,( 1, 0)- אז הפונקציות המתאימות הן מהצורה : ) y = a(x + 1)(x 3 1 3 אם שיעורי נקודת החיתוך עם ציר,(0, 2) :y אז הפונקציות המתאימות הן מהצורה : y = ax 2 + bx + 2 0 אוסף משימות 2.1 לפניכם גרף של פונקציה ריבועית שבה.a = 1 מהו הייצוג האלגברי של הפונקציה? ר שמו את הפונקציה בשלושת הייצוגים : קדקודי, סטנדרטי וכמכפלה..2 בכל סעיף ת נו דוגמה לפונקציה מתאימה. ) (5, 0 ו ( 1, 0) - א. שיעורי נקודות האפס ב. שיעורי נקודת הקדקוד ) (3, 5 ג. שיעורי נקודת החיתוך עם ציר (0, 5) y 16 12 8 4 8 6 4 2 0 4 64
.3 בכל סעיף תנו דוגמה לפונקציה מתאימה. א. לפרבולה נקודת מינימום, וציר הסימטריה.x = 2 ב. לפרבולה נקודת מקסימום, ציר הסימטריה,x = 2 והיא עוברת בראשית הצירים. ג. ציר הסימטריה של הפרבולה,x = 2 ושיעורי נקודת המינימום שלה ).( 2, 5.4 ה תאימו פונקציה לכל תכונה. פונקציות תכונות f(x) = 2(x + 1) 2 + 3 א. שיעורי נקודות האפס ) (3, 0 ו ( 1, 0) - g(x) = 2x 2 3x + 1 ב. שיעורי נקודת הקדקוד ) ( 1, 3 ) h(x) = (x 3)(x + 1 ג. שיעורי נקודת החיתוך עם ציר (0, 1) y.5 ה תאימו תכונה אחת לכל פונקציה. פונקציות תכונות א. שיעורי נקודת החיתוך עם ציר (0, 2) y ב. שיעורי נקודת המקסימום ג. שיעורי נקודות האפס ד. שיעורי נקודת המינימום ה. ציר סימטריה ו. שיעורי נקודת המינימום ) (0, 5 ) (3, 0 ו ( 5, 0)- ) (3, 5 x=0 ) (5, 3 f(x) = 3x 2 5 g(x) = 3x 2 + x 2 5 +3 3) 2 5) 2 h(x) = (x r(x) = 2(x ) s(x) = (x 3)(x + 5 e(x) = 5x 2.6 שיעורי נקודות האפס של פונקציה ריבועית הם ) (2, 0 ו.(4, 0) - מ צאו פונקציה מתאימה מבין הפונקציות הבאות. ג y = (x 2)(x 8). א y = (x + 2)(x + 4). ב..7 ) y = 3(x 2)(x + 11 ד. y = (x 5)2 + 7 ציר הסימטריה של פונקציה ריבועית.x = 5 בּ דקו באילו סעיפים רשומה פונקציה מתאימה. ג y = (x 2)(x 8). א y = (x + 2)(x + 4). ב. ) y = 3(x 2)(x + 11 ד. ה y = (x 2)(x 4). y = (x 5)2 + 7 ו. y = (x 5)2 + 1 ה y = (x 2)(x 4). ו. y = (x 5)2 + 1 65
8. ח קרו את הפונקציות. ה עתיקו וה שלימו תעודת זהות. h(x) = 3(x + 1) 2 + 12 f(x) = 2(x 1)(x 5) ייצוג אלגברי של הפונקציה תחום סקיצה ציר הסימטריה שיעורי נקודת הקדקוד סוג הקדקוד כל המספרים כל המספרים שיעורי נקודות חיתוך עם ציר x )נקודות אפס, = 0 )y שיעורי נקודת חיתוך עם ציר y (x = 0) תחום עלייה של הפונקציה תחום ירידה של הפונקציה התחום שבו הפונקציה חיובית )0 > y( התחום שבו הפונקציה שלילית )0 < y(.9 נתונה פונקציה 5) 1)(x y = (x א. מהו ציר הסימטריה של הפרבולה המתאימה? ב. הזיזו את הפרבולה כך שציר הסימטריה שלה יהיה = 6 x. המחלקה להוראת המדעים כל הזכויות שמורות מ צאו את נקודת החיתוך של הפונקציה שהתקבלה עם ציר,x ור שמו את הייצוג האלגברי של הפונקציה שהתקבלה..10 הזיזו את הפרבולה y = x 2 כך שתתקבל הפרבולה + 7 4x.f(x) = x 2 + האם לפונקציה יש נקודות אפס? אם כן, כ תבו את שיעוריהן. אם לא, ה סבירו. הדרכה: אפשר לרשום את הפונקציה כך: f(x) = x 2 +4x + 4 + 3 (x + 2) 2 יחידה - 23 משפחות של פונקציות 66
שיעור.5 בעיות מילוליות, נקודות קיצון ופתרון משוואות בחצר בית - הספר שטח אדמה ריבועי, שאורך צלעו 8 מטרים. ההנהלה מתכננת לשתול שתי ערוגות פרחים (כמו בתמונה), ולרצף את השטח הנותר. 8 מ א ר שמו ביטויים אלגבריים מתאימים למידות של הערוגות ( x מבטא את אורך צלע הריבוע המרוצף הימני במטרים,.)0 x 8 ש ערו : מה השטח האפשרי הגדול ביותר לשתילת פרחים? מהו שטח הריבוע המרוצף הימני במקרה זה? ב נפתור בעיות מילוליות ונמצא ערכים מקסימליים ומינימליים של ביטויים ריבועיים. במשימות 5-1 נתייחס לנתונים במשימת הפתיחה..1 ה עתיקו את הטבלה וה שלימו. השטח הכולל של ערוגות הפרחים (במ"ר) פּ שטו! הגנן הציע לשתול פרחים בשטח כולל של 24 מ"ר..2 שטח ערוגה ב (במ"ר) שטח ערוגה א (במ"ר) אורך צלע הריבוע הימני המ רוצף (במטרים) 1 3 א. גילי אמרה : הפונקציה המתארת את השטח של שתי ערוגות הפרחים היא + 16x 2x 2 + 16x = 24 היא כתבה : 2 2x + 16x 24 = 0 x 2 8x + 12 = 0 פ תרו את המשוואה של גילי. 2x 2 =.y ב. מהן המידות של הריבוע הימני המרוצף לפי הצעת הגנן? ג. ש רטטו על נייר משובץ שני תרשימים של תכנון החצר המתאימים להצעתו של הגנן. ד. מה גודלו של השטח המרוצף בכל אחד מהמקרים?.3 המנהלת מעדיפה שהשטח הכולל של הערוגות יהיה 14 מ"ר. מהן מידות הריבוע הימני המרוצף לפי העדפת המנהלת? האם יש אפשרויות שונות לתכנון החצר לפי העדפת המנהלת? ה סבירו. 67
.4 עדי שרטטה במחשב את גרף הפונקציה y = 2x 2 + 16x 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 א. איזה חלק של הגרף מתאים לסיפור? ה סבירו. ב. ה סבירו כיצד ניתן לגלות מתוך הגרף את אורך צלע הריבוע הימני המרוצף בכל מקרה : לפי הצעת הגנן : שטח הערוגות הכולל הוא 24 מ"ר. לפי העדפת המנהלת : שטח הערוגות הכולל הוא 14 מ"ר. ג. מהו תחום העלייה ומהו תחום הירידה של הפונקציה? מה המשמעות של תחומי העלייה והירידה בסיפור?.5 8 תלמידי החוג לחקלאות רוצים ששטח הערוגות יהיה מקסימלי. מהן מידות הריבוע הימני המרוצף במקרה זה? מ צאו את התשובה בדרך אלגברית וב דקו אותה בעזרת הגרף. בעקבות....6 6 4 2 0 סכום אורכי הניצבים של משולש ישר - זווית הוא 22 ס"מ. נסמן - x : אורך אחד הניצבים בס"מ. א. אילו ערכים מתאימים ל x- לפי תנאי הבעיה? ב. כ תבו ביטויים אלגבריים לאורך הניצב השני של המשולש ולשטח המשולש. ג. מהם אורכי הניצבים אם שטח המשולש 56 סמ"ר? כמה אפשרויות שונות מצאתם? ד. מהו השטח המקסימלי האפשרי של המשולש? ה סבירו. ה. מהו אורך היתר של המשולש אם שטח המשולש מקסימלי? ה סבירו. אוסף משימות.1 לפניכם שרטוט של גרף הפונקציה y = 0.5x² + 2x פ תרו את המשוואות הבאות בעזרת הגרף. א. ב. ג. ד. 68 6 4 0.5x² + 2x = 0 0.5x² + 2x = 6 0.5x² + 2x = 2 0.5x² + 2x = 4 2 4x 2 0 2 4 6 2
.2 אורך הגדר של חלקה מלבנית הוא 40 מטרים. א. ת נו 3 דוגמאות למידות החלקה המלבנית. ב. נסמן ב x- את האורך (במטרים) של צלע אחת של החלקה המלבנית ).(0 < x < 20 נסמן ב (20 x)- את האורך (במטרים) של הצלע השנייה של החלקה (ר או שרטוט מדגים). 20 x מה מייצג הביטוי )?x(20 x ג. לפניכם גרף הפונקציה ) y = x(20 x ענו לפי הגרף : מה אורכי צלעות החלקה המלבנית אם השטח הוא : 20 מ"ר? 50 מ"ר? 90 מ"ר? מה השטח המקסימלי האפשרי של החלקה? y שטח החלקה )במײר( 100 80 60 40 20 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 x אורך צלע אחת )במ (.3 6 4 2 0 20 מחוט שאורכו 12 ס"מ יוצרים מלבן. א. כּ תבו ביטויים אלגבריים לאורכי צלעות המלבן ולשטח המלבן. ב. מהן מידות המלבן אם שטח המלבן הוא 8 סמ"ר? ה סבירו. ג. מהן מידות המלבן בעל השטח המקסימלי שאפשר ליצור? ה סבירו..5 פ תרו את המשוואות..4 מספר אחד גדול ממספר שני ב.10 - כופלים את המספרים זה בזה. עבור אילו מספרים תהיה המכפלה מינימלית? א 3x 2 +6x = 9. ב 2x 2 16x = 30. ג 2x 2 8x + 10 = 0. 69
שומרים על כושר כפל מקוצר 1. מ צאו זוגות של ביטויים אלגבריים זהים. x 2 12x + 36 x 2 9 x 2 + 10x + 25 א. + 1 2x x 2 + ב. ג. ד. (x + 3)(x 3).d (x + 1) 2.c (x 6) 2.b (x + 5) 2.a 2. מ צאו את השגיאות ותקנו אותן. (x 6) 2 = x 2 + 12x + 36 א. (x + 5) 2 = x 2 + 25 ג. (x + 4) 2 = x 2 + 8x + 8 ב. (x 3)(x + 3) = x 2 + 9 ד. x 2 8x + 16 = 0 x 2 2x + 1 = 0 3. פ תרו. א. ד. x 2 + 6x + 9 = 0 4x 2 20x + 25 = 36 ב. = 144 1 + 4x 4x 2 ג. ה. ו. x 2 + 18x + 81 = 16 4. פ תרו. א. 75 > 4) + 4)(x 5(x 3) 2 5(x (x 2 1 ) 2 (x + 2 1 ) 2 ב. 0 > ג. 3 > 2 x) (x 1) 2 (4 5. בכל סעיף ק בעו אילו ערכים מתאימים ל- x לפי הנתונים ור שמו ביטוי לשטח הריבוע )x ביחידות אורך(. א. אורך צלע הריבוע 8 x אורך צלע הריבוע + 2 x אורך צלע הריבוע 2 7x א. ב. ב. המחלקה להוראת המדעים כל הזכויות שמורות ג. 6. בכל סעיף הביטוי האלגברי מייצג שטח של ריבוע בסמ"ר )x בס"מ(. ק בעו אילו ערכים מתאימים ל- x, ור שמו ביטוי לאורך צלע הריבוע לפי שטחו. x 2 + 10x + 25 (2x 5) 2 7. נתון ריבוע שאורך צלעו 3a יחידות )a ביחידות אורך, > 0 a(. נתון מלבן שאורך צלע אחת שלו קטן ב- 2 יחידות מאורך צלע הריבוע ואורך הצלע האחרת גדול ב- 2 יחידות מאורך צלע הריבוע. א. אילו ערכים מתאימים ל- a לפי תנאי הבעיה? ב. לאיזה מרובע שטח גדול יותר, למלבן או לריבוע? ה סבירו. יחידה - 23 משפחות של פונקציות 70