חדו"א א תרגיל בית מס' 5 פתרונות חלקיים a a > 0, a n+ 3 an a n + 3. הוכיחו כי לסדרה הבאה אין גבול: פתרון: נניח בשלילה כי קיים לסדרה גבול סופי 3 L, לפי אריתמטיקה של גבולות מתקבל: a n+ 3 an a n + 3 L 3 L L + 3 L + 3L 3L 3 L 3 וקיבלנו סתירה. באופן דומה מראים כי הגבול איננו 3 או ±.. פתרו את השאלות הבאות: (א) נתונה סדרה } n {a כך ש, a n a וסדרה חיובית } k b }המקיימת k b a. הוכיחו כי: פתרון: לפי הנתון לכל > 0 ɛ קיים N כך שלכל n > N מתקיים כי < ɛ a.a n < a + ɛ נשים לב כי הסכומים N N S, S הם מספרים קבועים שאינם תלויים ב n. מתקיים כי: N + N + kn+ kn+
ולכן עבור n: > N (כאן אנו נעזרים בעובדה ש > 0 k b לכל k, כלומר ((a ɛ) < < (a + ɛ) S + (a ɛ) S + kn+ kn+ < < S + (a + ɛ) S + kn+ kn+ ולכן: S / ( n S / kn+ ( n kn+ ) + (a + ɛ) ) + a + ɛ. באותו kn+ כלומר, כאשר השתמשנו בנתון k b a ɛ אופן מראים כי מכיוון ש > 0 ɛ שרירותי קיבלנו את הדרוש. (ב) הוכיחו את הגרסא הבאה של משפט שטולץ: תהי } n x} סדרה כלשהי ותהי } n y} סדרה עולה ממש כך ש n y ובנוסף קיים הגבול במובן הרחב: x. n x. n+ x n אזי מתקיים: yn y n+ y n פתרון: (לתקן!!! מקרה של גבול סופי) בהינתן > 0 M, בוחרים N כך, xn+ xn לכן y n+ y n שיתקיים לכל > M :n N x n+ x n > M (y n+ y n ), n N x n+ x N > M (y n+ y N ) לאחר סיכום מ N עד n מקבלים: כלומר x n+ > M M y N + x N y n+ y n+ y n+ n לבחור (ניתן x N M y y n+, N y n+ < M בוחרים N כך שיתקיים לכל,n N 4 כזה מכיוון ש n y והמספרים M, x N, y N אינם תלויים ב.(n לכן לכל
x n+ y n+ > M M 4 M 4 M } n max {N, N מתקיים כי: x n yn. מכיוון ש > 0 M שרירותי קיבלנו כי 3. חשבו בעזרת משפט שטולץ (Stolz) את הגבולות הבאים: + + 3 3+...+ n n n פתרון: רושמים x n + + 3 3+...+ n n ו,y n n ע"י שטולץ מקבלים מיד כי הגבול הוא..p N לכל p + p +...+n p n p+ (א) (ב) פתרון: ע"י הפעלת שטולץ מקבלים p + p +... + n p n p n p+ n p+ (n ) p+ n p p+ ( ) n n p+ k ( ) k+ k p + ( ).p N לכל p + p +...+n p n n p p+ (ג) פתרון: מתקיים כי: p + p +... + n p n p n p + (p + ) (p + p +... + n p ) n p+ n p (p + ) לפי שטולץ מספיק לחשב את הגבול הבא: (p + ) ( p +... + n p ) n p+ ((p + ) ( p +... + (n ) p ) (n ) p+) n p (p + ) (n ) p (p + ) (p + ) n p n p+ + (n ) p+ (p + ) (n p (n ) p ) 3
ע"י שימוש בנוסחת הבינום מקבלים: p+ ( ) p + (p + ) n p n p+ + n k ( ) p+ k k k0 ( p ( ) ) p (p + ) n p n k k ( ) p k k0 (p + ) n p n p+ + n p+ (p + ) n p + (p+)p n p +... (p + ) (n p n p + pn p +...) n p +... n p +....n עבור a n a, b n b כאשר a b +a b +...+a nb n n (ד) פתרון: מקבלים שהגבול הוא.ab.n כאשר bn n B סדרה המקיימת: {b b n} כאשר +b +...+nb n n 3 פתרון: מקבלים שהגבול הוא.α R כאשר α + α +...+ n α n 3 פתרון: ע"י שימוש בשטולץ מקבלים כי הגבול שווה לגבול הבא n α n 3 (n ) 3 n α { n α } 3n 3n + α { n α } /n 3 3 n + α 3 n. B 3 (ה) (ו) כאשר {x} מסמן את החלק השברי של x (מתקיים כי (,0] {x}). הראו כי הסדרה a n+ לכל.n a n n.4 תהי סדרה חסומה המקיימת: מתכנסת. n.b n a הראו כי b n מונוטונית רעיון: הגדירו סדרה חדשה באופן הבא n עולה וחסומה, ולכן מתכנסת. הסיקו כי a n מתכנסת..5 יהי a גבול חלקי של סדרה מונוטונית } n.{a הוכיחו כי a n a כאשר.n פתרון: נניח בה"כ כי } n a} סדרה מונוטונית עולה. נתון כי a גבול חלקי של } n a} לכן קיימת תת סדרה } nk {a כך ש a nk a כאשר.k בהינתן > 0 ɛ קיים.a n > a ɛ מתקיים כי n > n M לכן לפי מונוטוניות לכל,a nm > a ɛ כך ש M מכיוון שלא ייתכן כי a n > a עבור n כלשהו (ממונוטוניות היינו מקבלים סתירה לכך ש } nk {a מתכנסת ל (a נובע כי a n a כאשר.n.6 תהי סדרה } n {a ונגדיר סדרה } n {b באופן הבא:.b n n n a n הוכיחו כי לשתי הסדרות יש את אותם הגבולות החלקיים. פתרון: נשים לב כי n. n אם b הוא גבול חלקי של } n b} אז קיימת תת סדרה } nk {b כך ש b nk b כאשר,k כלומר b nk a nk b n k nk b ולכן b גבול חלקי של } n a}. באותו אופן אם a הוא גבול חלקי של } n a} הוא גם גבול חלקי של } n b}. 4
(חשבו בנוסף את sup ו 7. מצאו את הגבולות החלקיים של הסדרות הבאות: :( inf a n { n, n even (א) n, n odd פתרון: 0 n a כאשר n ולכן 0 n sup a n inf a והגבול החלקי היחיד הוא 0. (ב) n) 3 a n ( ) n+ ( + a k ( ) + 3 פתרון: כאשר n k, k N מקבלים את תת הסדרה k אשר יש לה גבול. כאשר,n k, k N מקבלים את תת הסדרה + k a אשר יש לה גבול. לכן קבוצת הגבולות החלקיים היא k. inf a n ו sup a n.{±} a n + n sin ( ) πn (ג) 3 פתרון: נשים לב כי מתקיים:, n 3k a n + 3(3k ), n 3k 3(3k ), n 3k. לכן קבוצת הגבולות החלקיים היא }.{±, ו n inf a n, sup a. a n ( + n) ( ) n n cos( + ( )n πn ) (ד) ) πn +sin( פתרון: נשים לב כי ( ) cos + ( )n sin πn ( ) πn ( )n ( ) + k k + a n (, n k (k ) + k ), n k כלומר, sup a n + e,{ ו לכן קבוצת הגבולות החלקיים היא } + e e,. inf n e.8 תהי } n {a סדרה כך ש 0 n. a n+ a הראו כי קבוצת הגבולות החלקיים [ ] שלה היא הקטע. inf a n, sup a n פתרון: נניח בשלילה כי קיימת נק' (L x,l) כך ש a איננה גבול חלקי של } n a}. 5
(א) לכן קיימים > 0 ɛ ו N N כך שלכל n N מתקיים, a n a ɛ בנוסף ניתן להניח כי מתקיים.l < a ɛ < a + ɛ < L a n+ a n < ɛ כך שמתקיים קיים N (ב) לפי הנתון 0 ) n (a n+ a לכל.n N a nk l inf נובע כי קיים n k כך שמתקיים < (ג) בתרגול ראינו כי מהנתון n a n :ii לכן לפי.n k > max {N, N } ו l + ɛ < a a nk + a nk + a nk + a nk < a + ɛ (ד) לפי i מקבלים כי.a nk + < a ɛ בנוסף מ ii ו i נובע כי לכל + k n n מתקיים a n a ɛ (אחרת היינו מקבלים שקיים ɛ) a n (a ɛ, a + בסתירה ל i, לא תיתכן "קפיצה" מעבר לתחום לפי.(ii ראינו בתרגול כי מהנ"ל נובע כי L sup a n a ɛ < L וקיבלנו סתירה. 9. תהי M R קבוצה סופית ולא ריקה. תנו דוגמא לסדרה כך ש M היא קבוצת הגבולות החלקיים שלה. פתרון: נניח כי } n.m {a,..., a הסדרה המחזורית..., a,..., a n, a,..., a n, a מקיימת את הדרוש..0 תהיינה } n {x n }, {y סדרות חסומות. הוכיחו את הטענות הבאות: (א) n) sup y n inf ( y פתרון: נשתמש בסימון. sup y n Y לכן ידוע כי לכל > 0 ɛ נתון קיים N כל שלכל n > N מתקיים.y n < Y + ɛ בנוסף לכל k N קיים n k > k כך ש k N ולכל, y n > Y ɛ מתקיים כי n > N כלומר לכל.y nk > Y ɛ קיים n k > k כך ש, y nk < Y + ɛ כלומר. inf ( y n) Y (ב) inf x n + sup y n sup (x n + y n ) sup x n + sup y n. sup צ"ל כי y n Y ו sup x + Y sup x n X, inf פתרון: נסמן x n x מתקיים: (x n + y n ) X + Y פתרון: נראה את נכונות אי השיוויונות: (אנו נעזרים בתנאים מספיקים/הכרחיים ל sup, inf מהתרגול) x + Y sup (x n + y n ).i לכל > 0,ɛ לפי הנתון המ"מ מתקיים y n k המקיימת.y nk > Y ɛ לכן x n > x ɛ בנוסף קיימת תת סדרה קיימת תת סדרה x nk + y nk המקיימת המ"מ:,x nk + y nk > a + B ɛ כלומר. sup (x n + y n ) x + Y ɛ מכיוון שאי השיוויון האחרון נכון לכל > 0 ɛ מקבלים את הדרוש. 6
sup (x n + y n ) X + Y.ii לפי הגדרת sup לכל > 0 ɛ המ"מ מתקיים x n < X + ɛ ו,y n < Y + ɛ לכן המ"מ x n + y n < X + Y + ɛ ולכן. sup (x n + y n ) X + Y + ɛ. הוכיחו כי אם תתי הסדרות } 3n {a n }, {a n }, {a של סדרה } n a }מתכנסות, אזי הסדרה } n a }מתכנסת. פתרון: לפי משפט מההרצאה אם סדרה מתכנסת אזי כל תת סדרה שלה מתכנסת לאותו הגבול כמו } n a}. נסמן a n a a n b a 3n c מכיוון ש } 6n {a היא תת סדרה של } n {a וגם של } 3n {a נקבל מהמשפט כי.a c באותו אופן מכיוון ש } 3 6n a} היא תת סדרה של } n a} וגם של } 3n a} נקבל.b c לכן.a b c נראה כי.a n a לכל > 0 ɛ קיימים N, N כך שלכל n N מתקיים a n a < ɛ ולכל n N מתקיים. a n a < ɛ לכן אם נבחר } N > max {N, N לכל,n N אם n k אזי k N ולכן, a n a a k a < ɛ אם k,n אזי k N ולכן a a n. a k a < ɛ. תהי } n {a סדרה המקיימת < n a n+ a לכל inf a n,n ו 4 n. sup a הוכיחו כי לסדרה } n {a לפחות שלושה גבולות חלקיים. פתרון: ראשית נראה כי בקטע [3.9,.] יש אינסוף איברים של הסדרה } n a}. לפי הנתון עבור 0.,ɛ לכל k N קיימים m k > n k > k כך ש. ɛ a nk < + ו 3.9 ɛ.a mk > 4 כלומר קיים n כך ש n k < n < m k עבורו 3.9] [., n a (מכיוון שלא ניתן ל"קפוץ מעל קטע באורך.8. 3.9 כאשר ההפרשים בין איברים עוקבים הם לכל היותר ). מכיוון ש k שרירותי ו n > k קיבלנו כי יש אינסוף איברים של } n a} בקטע [3.9,.]. כעת נראה כי ישנם אינסוף איברים של } n {a בקטע 6].[3.95, מהגדרת sup נובע כי יש אינסוף איברים של } n {a הגדולים מ 3.95. אם רק מספר סופי מהם היה בקטע [6,3.95] היינו מקבלים (מכיוון שאורך הקטע גדול מ ) כי החל ממקום מסוים כל איברי } n a} גדולים או שווים ל 6 בסתירה לנתון n. inf a באופן דומה מראים כי יש אינסוף איברי } n a} בקטע [.05, ]. לפי משפט בולצנו ווירשטרס בכל אחד מהקטעים הנ"ל יש תת סדרה מתכנסת (אחרת), וברור כי הגבולות של כל תת סדרה שונים זה מזה. לכן לסדרה יש לפחות שלושה גבולות חלקיים. 7
a n n, ולכן 3. הוכיחו את הטענות הבאות או מצאו דוגמא נגדית:. a a n a אזי +a +...+a n n (א) אם a a n +( )n פתרון: נבחר למשל,a n ( ) n לכן. a n a אזי n a a... a n מקיימת כי 0,a n n b בתור דוגמא נגדית 0, אבל הגבול a n לא קיים. n (ב) } n {a סדרה חיובית. אם a a... a n a { 0, n 0 פתרון: הסדרה, n {, n odd n even a. n+ a n a אזי n אבל עבור n an מקיימת כי a n a +n לא קיים. a n an+ ולכן הגבול a n. אפשר גם לבחור אבל n a אחרת. n (ג) } n {a סדרה חיובית. אם an a {, n odd פתרון: הסדרה, n even an+ ועבור n אי זוגי a n זוגי (ד) לכל סדרה לא חסומה קיים גבול במובן הרחב. פתרון: הסדרה a n ( ) n n איננה חסומה ולא קיים לה גבול במובן הרחב. 8