תרגיל -פתרון. חשבו את הגבולות הבאים בעזרת משפט הסנדוויץ : )+ )+...+ ) א. ) + ) +... + ) 0 ) + ) +... + ) + +... + = + ) = + 0 המעבר השני לאי השוויון נכון לפי אי שוויון המשולש, המעבר השלישי נכון כי x) x לכל x, R המעבר השלישי נכון לפי נוסחה של סכום איברים ראשונים של סדרה חשבונית. לסיכום ראינו שהסדרה הנתונה חסומה בין שתי סדרות השואפות לאפס ולכן לפי משפט הסנדוויץ : ) + ) +... + ) = 0 + + + + + + +... + + + ולכן לפי משפט הסנדוויץ = + +. 9 = 9 5 + ) + 9 9 = 9 9 + +... + + = ב. + פתרון : + = 0 + +... + + = 0 ג. 5 + ) + 9 לכן לפי משפט הסנדוויץ : = 9 5 + ) + 9. הוכיחו כי הסדרות הרקורסיביות הבאות מתכנסות וחשבו את גבולותיהן: א. סדרה המוגדרת ע י:.a =, a + = a הוכחה: ננחש a = L L = a + = a = L נפתור את המשוואה על L = L : L ביחס ל- L ונקבל = 0 L או =.L מאחר וכל איברי הסדרה חיוביים נקבל שהגבול האפשרי היחיד הינו = L. כעת נוכיח שהסדרה אכן מתכנסת:
הסדרה חסומה מלרע ע י 0, כי כל איברי הסדרה חיוביים ולכן נותר להוכיח שהסדרה חסומה מלעיל. נוכיח באינדוקציה על ש- a בסיס האינדוקציה: =,.a = הנחת האינדוקציה: נניח ש- a. שלב ההוכחה: צ ל ש- + a, a + = a = המעבר הראשון נכון לפי הגדרת הסדרה והמעבר השני נכון לפי הנחת האינדוקציה. לסיכום הוכחנו ש- a לכל. N נוכיח שהסדרה מונוטונית עולה לכל. N a + a = a a = a a a + a 0 כי המכנה תמיד חיובי, והמונה חיובי כי הוכחנו ש < a 0 לכל. N לסיכום הוכחנו שהסדרה חסומה ומונוטונית עולה ולכן לפי משפט הסדרה מתכנסת. ולפי החישוב שעשינו קודם =. a L = a + =.a = 0, a + = a + ) = a ) a + a ב. הסדרה המוגדרת ע י: הוכחה: ננחש את גבול הסדרה: נסמן a = L L + L + L L = ביחס ל- L ונקבל = 0 L ולכן = L או =.L אבל מאחר וכל איברי הסדרה L) נפתור את המשוואה חיוביים הגבול האפשרי היחיד הינו = L. כעת נוכיח שאכן הסדרה מתכנסת, ) a + = ראשית, נוכיח שהסדרה חסומה מלרע ע י : a + ) a = = a a המעבר הראשון נובע מהגדרת הסדרה, המעבר שני נובע מאי- שיוויון הממוצעים.הממוצע החשבוני גדול או שווה הממוצע ההנדסי). שנית, נראה שהסדרה מונוטונית יורדת, כלומר נראה כי לכל a: + a, N a + = a + ) a + ) a a + a ) = a, המעבר השלישי נובע שוב כיוון a המעבר הראשון נובע מהגדרת הסדרה, המעבר השני נובע כיוון ש- a לכל N ולכן שהראנו שהסדרה חסומה מלרע ע י, כלומר ש: a.. לסיכום הוכחנו שהסדרה מונוטונית יורדת וחסומה מלרע ע י ולכן לפי משפט הסדרה מתכנסת, ולפי חישוב שעשינו קודם = a ג. הסדרה המוגדרת ע י ) + a =,a + = a הוכחה: ננחש a = L L = a + = a + ) = L + ).L לכן הגבול = L = נפתור את המשוואה על L) + L:
כעת נוכיח שאכן הסדרה מתכנסת: ראשית, נראה כי הסדרה חסומה מלעיל ע י : נראה זאת באינדקוציה על, בסיס האינדוקציה : עבור =, a = הנחת האינדוקציה: נניח ש a שלב ההוכחה: צ ל ש- + a a + = a + ) + ) = כאשר המעבר הראשון נובע מהגדרת הסדרה והמעבר השני נובע מהנחת האינדוקציה. לכן לכל a., N שנית, נראה כי הסדר מונוטונית עולה: כלומר שלכל N מתקיים: a + a דרך א - a + = a + ) = a + + ) a a a a = a כאשר המעבר הראשון נובע מהגדרת הסדרה, המעבר השני נובע מאי שיוויון הממוצעים, והמעבר האחרון נובע כיוון שהוכחנו באינדוקציה כי לכל a, N. לכן N מתקיים.a + a דרך ב - נראה באינדוקציה על כי לכל N מתקיים a: + a בסיס האינדוקציה: =, a = a + ) = + ) = 5 = a הנחת האינדוקציה: נניח ש.a + a שלב ההוכחה: צ ל ש- +,a + a a + = a + + ) a + ) = a + כאשר המעבר הראשון נובע מהגדרת הסדרה ומהעבר השני נובע מהנחת האינדוקציה. לכן לכל N מתקיים.a + a לסיכום הוכחנו שהסדרה חסומה מלעיל ע י כמו כן הראנו שהסדרה מונוטונית עולה לכל, N ולכן לפי משפט הסדרה מתכנסת, ולפי חישוב שעשינו קודם =. a L = a + = 6 + a = 6 + L ד. הסדרה המוגדרת ע י.a =,a + = 6 + a הוכחה: ננחש a = L נפתור את המשוואה על L = 6 + L L, לכן = L או = L, מאחר וכל איברי הסדרה חיוביים נקבל שהגבול האפשרי היחיד הינו = L. כעת נוכיח שהסדרה אכן מתכנסת: נראה כי הסדרה חסומה מלעיל ע י, נראה זאת באינדוקציה על, כלומר נראה כי לכל a, N בסיס האינדוקציה: עבור =,,a = הנחת האנדוקציה:.a שלב ההוכחה: צ ל ש- + a. a + = 6 + a 6 + = המעבר הראשון נובע מהגדרת הסדרה, השלב השני נובע מהנחת האינדוקציה, לכן כל a. N כעת נראה כי הסדרה מונוטונית עולה, שוב נעזר באינדוקציה על ונראה כי לכל N מתקיים a. + a בסיס האינדוקציה : עבור =, a = 6 + a = 6 + = 7 = a הנחת האינדוקציה : a a.
a + = 6 + a 6 + a = a שלב ההוכחה: צ ל ש- a + a המעבר הראשון נובע מהגדרת הסדרה, המעבר השני נובע מהנחת האינדוקציה והמעבר האחרון נובע שוב מהגדרת הסדרה.לכן לכל N מתקיים a. + a לסיכום הוכחנו שהסדרה חסומה מלעיל ע י כמו כן הראנו שהסדרה מונוטונית עולה לכל, N ולכן לפי משפט הסדרה מתכנסת, ולפי חישוב שעשינו קודם =. a. עבור הסדרות הבאות מצאו את הגבולות החלקיים של הסדרה :,a ) N = ) ) א. + N,a k = ) k + k = + k אם נתבונן באיברים הזוגיים של הסדרה k אז רואים מיד כי זוהי תת סדרה המתכנסת לגבול = a. באותו האופן, אם נתבונן באיברים האי זוגיים של הסדרה,a = נוכל לראות שגם, a k = ) k + k = + k k היא גבול חלקי של הסדרה המקורית. אלו הגבולות החלקיים היחידים של הסדרה, כיוון שמתקיים: {k k N} {k k N} = N {k k N} {k k N} =.,a ) N = )) π ב. N ), וזוהי π פתרון : לסדרה זו יש חמש תתי סדרות שונות המתכנסות לגבולות שונים, עבור = kπ) = 0, = k. ) ), ולכן זוהי תת סדרה המתכנסת לגבול π = 8k+)π = תת סדרה המתכנסת לגבול,0 כאשר + 8k, = ) ), ונקבל תת סדרה שמתכנסת לגבול, באופן דומה, עבור + 5 8k, = נקבל π = 8k+)π כאשר + 8k, = = ועבור + 6 8k, = נקבל תת סדרה שמתכנסת לגבול ) ), נקבל תת סדרה המתכנסת לגבול π = 8k+5)π =.- אלו הגבולות החלקיים היחידים של הסדרה כיוון שמתקיים : {k k N} {8k + k N} {8k + k N} {8k + 5 k N} {8k + 6 k N} = N {k k N} {8k + k N} {8k + k N} {8k + 5 k N} {8k + 6 k N} = וכמו כן: b) ) N שתי סדרות נתונות, הוכיחו או הפריכו את הטענות הבאות:,a ) N. תהיינה שתי סדרות a b חסומה אזי = 0 b ) N א. = 0 a ו- תשובה: הטענה נכונה. b M כך ש- M חסומה ולכן קיים קבוע ממשי 0 b ) N הוכחה : נתון ש- ומכאן נקבל 0 a b M a 0 ולכן לפי משפט הסנדוויץ = 0. a b ב. אם = 0 a b אז = 0 a או = 0. b a ) N כלומר, נפריך ע י מתן דוגמה נגדית :.).., 0,, 0,, 0, = האיברים במקומות האי- זוגיים בסדרה שווים ל- 0 והאיברים במקומות הזוגיים b ) N כלומר, שווים ל-. כמו כן.).. 0,, 0,, 0,, = האיברים במקומות האי- זוגיים בסדרה שווים ל- והאיברים במקומות הזוגיים שווים ל- 0. אז = 0 a b אבל שתי הסדרות לא מתכנסות ל- 0, אלא מתבדרות כיוון שלכל אחת מן הסדרות הללו יש שני גבולות חלקיים : 0, ) בדקו זאת!).
b ) N מתכנסות. a ) N ו- a + b ) N מתכנסת אז, ג. אם תשובה : הטענה לא נכונה!. a) ) N מתבדרת כיוון שיש לה שני גבולות חלקיים: ו- -, נפריך ע י מתן דוגמא נגדית, ) = מתבדרת כיוון שיש לה שני גבולות חלקיים : ו- - b ) N כמו כן + ) = a + b ) N מתכנסת לאפס. אבל 0) = +) ) + ) = a) ) N חסומה, אזי היא קושי, ד. אם הסדרה תשובה: הטענה אינה נכונה! N היא סדרה חסומה כיוון שלכל a ) N נפריך ע י מתן דוגמא נגדית: ) = מתקיים ש a אך היא אינה סדרת קושי, כיוון שאם היא הייתה סדרת קושי היא הייתה חייבת להתכנס, a) ) N אינה מתכנסת כיוון שיש לה שני גבולות חלקיים: ו- - בדקו זאת!) אבל הסדרה ) = ולכן היא אינה מתכנסת ועל כן היא לא סדרת קושי. a H bh a, a b ) = אז b ה. אם =,b ) N = ) a )ו- ) N נפריך ע י מתן דוגמה נגדית: ) = a b = = אז : = a b ) = + ) אבל = = ) a אזי הטענה ש- = ) a b כן הייתה נכונה! N = b ) N שימו לב!!! אם = ) a b ) = b a b הוכחה : a H הינו מספר אינסופי חיובי ולכן גם bh, H a N \ N ולכן עבור b = a ) N = b ) N נתון ש- = אינסופי חיובי ולכן b הינו ) H ולכן b ) N חיובי, נתון ש- = אינסופי ). a b ) = b a b b הינו אינסופי חיובי ולכן = ah H bh a b = a b a b ) = אבל, = ו. אם = ) a b אז =. b ) N = ),a ) N נפריך ע י דוגמא נגדית: ) = ) = אז מתקיים: = 5