פונקציה מסדר ראשון; הגדרת קו ישר: - הצגה ע"י ביטוי אלגברי וגרפי

תמליל

1 המרכז לחינוך מדעי תל אביב-יפו פתח דבר ספר זה שלפניכם, "מתמטיקה לפיזיקאים" הוא פרי יוזמה של חברי צוות חמד"ע, המתמודדים כל שנה עם הצורך בהתאמת הידע המתמטי של תלמידי הפיזיקה לדרישות הלימודים. תודתי העמוקה לגב' קורינה פולינגר מחמד"ע וד"ר איליה מזין, ידיד חמד"ע, שכתבו את הספר. תודה לסגני, מר משה פרידמן שהיה שותפי ללווי הפרויקט מבחינה תכנית, דידקטית ופדגוגית ולד"ר יוסי קורדובה שלקח חלק בכתיבת פרקים א' ו-ב'. תודות מגיעות לכל אנשי צוות חמד"ע שקראו, העירו הערות והאירו את עיני הכותבים לאורך הדרך, התנסו עם תלמידיהם בכיתה והוסיפו דגשים. תודה לד"ר דוד סלע, ולמר מיכאל סבין, אנשי הפיקוח של משרד החינוך ולגב' חיה שיטאי שליוו את הספר מתחילתו. הערכה לאנשי קרן תל אביב: מנכ"ל קרן תל אביב, אלוף )מיל( אברהם בן שושן וד"ר מגי נבון, מנהלת דסק ארה"ב בקרן תל אביב. תודות לסטנלי צ'ייס ומשפחתו שתרומתם אפשרה את כתיבת הספר והפצתו למורים ותלמידים. בברכה ד"ר תהלה בן גיא מנהלת חמד"ע 1 כל הזכויות שמורות לחמד"ע המרכז לחינוך מדעי בתל אביב-יפו

2 הקדמה המרכז לחינוך מדעי תל אביב-יפו מחקרים רבים בהוראת הפיזיקה מוכיחים שהבנת פיזיקה ברמה גבוהה מותנית בשליטה טובה במתמטיקה. מושגים מתמטיים כמו פונקציה, קו ישר, יחס הפוך, משולש, זווית, החלפת משתנים ולינאריזציה, פרופורציה ורבים אחרים חשובים מאד בעיבוד אינפורמציה, בתיאור והבנה של תופעות פיזיקליות. בין פיזיקה למתמטיקה קיים באופן טבעי קשר סינרגטי, הגורם לכך ששיפור בשליטה באחד גורם לשיפור בשני. יצירת התנאים לשימוש בקשר סינרגטי זה יכולה לגרום אצל לומדי פיזיקה בחטיבה העליונה לשיפור משמעותי בהבנת המושגים, התהליכים הפיזיקליים והקשרים ביניהם. הספר שלפניכם מיועד לתלמידים ולתלמידות הלומדים פיזיקה כמקצוע בחירה לקראת בחינת בגרות בבתי ספר על- יסודיים ברמה של 3 או 5 יח"ל. הוא מהווה את התשובה שלנו לצורך החיוני בחיזוק הבסיס המתמטי ללימודי פיזיקה בחטיבה העליונה. מטרות הספר: לרענן מושגים ונושאים שנלמדו בשנים קודמות בשיעורי המתמטיקה והם רלוונטיים ללימודי הפיזיקה. להסביר בקצרה מושגים ונושאים מתמטיים שטרם נלמדו בשיעורי המתמטיקה. "לתרגם" את משמעויות המושגים מ"שפת המתמטיקה" ל"שפת הפיזיקה" על מנת ליצור אצל תלמידי הפיזיקה את התובנה, שלמעשה מדובר בשתי ה"שפות" על אותם מושגים. מבנה הספר מאפשר מעבר מהידע המתמטי ליישומו בלימודי הפיזיקה באמצעות תהליך הדרגתי, מבוקר, ממוקד ושיטתי. אנו בטוחים, שחיזוק הנושאים המתמטיים צריך להתבצע תוך כדי הוראת הפיזיקה; לכן, פרקי הספר מסודרים בהתאם לנושאים המופיעים בתכנית הלימודים בפיזיקה. בכל פרק נכללים שלושה חלקים: 1. הצגת הנושאים המתמטיים הנדרשים.. הבהרות והדגשים להתאמת מושגים מ"עולם המתמטיקה" ל"עולם הפיזיקה". 3. אוסף תרגילים ובעיות רלוונטיים לפרק מסודרים לפי דרגת קושי. בהתאם למטרות ולמבנה הספר, מומלץ להשתמש בו בד בבד עם לימודי הפיזיקה בהתאם לתוכנית הלימודים בכתות ט' - י"א. בכל נושא בלימודי הפיזיקה השימוש בספר זה אמור להתבצע בשני שלבים: השלב הראשון הינו תיאורטי ובו מתבצע רענון של נושאים מתמטיים שנלמדו בעבר בשיעורי מתמטיקה והכרת נושאים מתמטיים שטרם נלמדו. השלב השני בהפעלת התכנית הינו יישומי ומטרתו להבטיח שהמעבר ממתמטיקה לפיזיקה יופנם ויאפשר בהמשך הבנה מעמיקה של התופעות הפיזיקליות. במציאות הקיימת בבתי הספר, אפילו באותה קבוצת לימוד, יכולים להימצא תלמידים ברמות ידע מתמטי שונות; ספר זה משתדל לתת מענה לכולם. כל מורה יכול להחליט כיצד ישתמש בו: בצורה פרונטלית, קבוצתית, זוגית או אישית, בזמן השיעורים או במסגרת שיעורי הבית. אנו מקווים ששימוש בספר זה כחומר עזר בלימודי הפיזיקה בחטיבה העליונה יגרום לשיפור יכולת התמודדות של התלמידים עם הרמה הנדרשת לפי תכנית הלימודים, ישפר את ביטחון העצמי של תלמידי הפיזיקה ויאפשר הפנמה אמיתית של החומר הנלמד. הערות והארות תתקבלנה בברכה. קורינה פולינגר, חמד"ע מרכז לחינוך מדעי של תל אביב-יפו. דוא"ל: corinpo@gmil.com איליה מזין, מודיעין. דוא"ל: il.mzin@gmil.com

3 המרכז לחינוך מדעי תל אביב-יפו תוכן העניינים פרק א קינמטיקה של תנועה לאורך קו ישר נושאים מתמטיים המושג "פונקציה" פונקציה קווית )לינארית( פונקציה ריבועית יישור )לינאריזציה( גרף של פונקציה לא לינארית נגזרת של פונקציה אינטגרל מסוים של פונקציה מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים שטחים של צורות גיאומטריות התאמת נושאים מתמטיים לעולם הפיזיקה מפונקציות מתמטיות לפונקציות פיזיקליות יחידות מדידה והמרתן תרגילים תשובות לתרגילים פרק ב קינמטיקה של תנועה במישור נושאים מתמטיים פרופורציה גיאומטריה טריגונומטריה וקטורים במישור התאמת נושאים מתמטיים לעולם הפיזיקה תרגילים תשובות לתרגילים...15 פרק ג כוחות ומצבי התמדה נושאים מתמטיים שברים רגילים כל הזכויות שמורות לחמד"ע המרכז לחינוך מדעי בתל אביב-יפו

4 פונקציה קווית )לינארית(...11 מערכת משוואות אלגבריות ממעלה ראשונה...11 אי-שוויונים...11 גיאומטריה טריגונומטריה התאמת נושאים מתמטיים לעולם הפיזיקה תרגילים...11 תשובות לתרגילים המרכז לחינוך מדעי תל אביב-יפו פרק ד החוק השני של ניוטון נושאים מתמטיים...11 נפח אי- שוויונים וקטורים התאמת נושאים מתמטיים לעולם הפיזיקה תרגילים תשובות לתרגילים פרק ה תנועות במישור....1 נושאים מתמטיים טריגונומטריה פירוק, הרכבה וחיסור וקטורים משולשים דומים פרבולה היפרבולה מעגל גיאומטריה במרחב התאמת נושאים מתמטיים לעולם הפיזיקה זריקה אופקית וזריקה משופעת 1.1 בהשפעת כוח הכובד בלבד תנועה מעגלית תרגילים תשובות לתרגילים

5 פרק ו התנע ושימורו נושאים מתמטיים אינטגרל מסוים של פונקציה שטחים של צורות גיאומטריות וקטורים נגזרת של פונקציה מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים התאמת נושאים מתמטיים לעולם הפיזיקה תרגילים... תשובות לתרגילים המרכז לחינוך מדעי תל אביב-יפו 159 פרק ז אנרגיה מכנית ושימורה נושאים מתמטיים מכפלה סקלרית של שני וקטורים אינטגרל מסוים של פונקציה זווית היקפית הנשענת על קוטר יישור )לינאריזציה( גרף של פונקציה לא לינארית מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים התאמת נושאים מתמטיים לעולם הפיזיקה תרגילים תשובות לתרגילים פרק ח מודל הגז האידאלי נושאים מתמטיים פרופורציה גיאומטריה חיסור וקטורים חזקות כתיב מדעי ממוצע התאמת נושאים מתמטיים לעולם הפיזיקה תרגילים תשובות לתרגילים... 5 כל הזכויות שמורות לחמד"ע המרכז לחינוך מדעי בתל אביב-יפו

6 המרכז לחינוך מדעי תל אביב-יפו 111 פרק ט תנועה הרמונית פשוטה נושאים מתמטיים יחס ישר יחידות מדידה של זוויות המעגל הטריגונומטרי פונקציות טריגונומטריות סינוס וקוסינוס 115 )פונקציות הרמוניות( זהויות טריגונומטריות הקירוב עבור זוויות קטנות משוואות טריגונומטריות נגזרות של פונקציות סינוס וקוסינוס יישור )לינאריזציה( גרף של פונקציה לא לינארית התאמת נושאים מתמטיים לעולם הפיזיקה תרגילים תשובות לתרגילים פרק י כבידה נושאים מתמטיים אליפסה מעגל שברים רגילים חזקות כתיב מדעי הפונקציות =k/ ו- k( =k/ מספר קבוע( יישור )לינאריזציה( גרף של פונקציה לא לינארית אינטגרל מסוים של פונקציה התאמת נושאים מתמטיים לעולם הפיזיקה תרגילים... תשובות לתרגילים

7 פרק א - קינמטיקה של תנועה לאורך קו ישר פרק א קינמטיקה של תנועה לאורך קו ישר מושגים מתמטיים פונקציה, פונקציה קווית וריבועית, לינאריזציה, נגזרת ואינטגרל מסוים של פונקציה, מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים, שטחים של צורות גיאומטריות. קשר לעולם הפיזיקה פונקציות מקום-זמן ומהירות-זמן בתנועות שוות מהירות ושוות תאוצה הן בייצוג אנליטי והן בייצוג גרפי, משמעות פיזיקלית של הסימנים "+" ו- "-" עבור מיקום, מהירות ותאוצה, משמעות פיזיקלית של נגזרות הפונקציות, של שיפועי המשיקים לגרפים ושל שטחים בין הגרפים לצירי הזמן, מקום יחסי ומהירות יחסית. 1. נושאים מתמטיים 1.1 פונקציה פונקציה היא קשר בין שני משתנים: הנקרא משתנה בלתי תלוי או ארגומנט הפונקציה ו- הנקרא משתנה תלוי או הפונקציה.. ערך יחיד של הפונקציה קובעת לכל ערך של.=f() הסימון המקובל לפונקציה הוא ניתן להציג פונקציה בצורה מילולית, בטבלה, בעזרת ביטוי אנליטי או בצורה גרפית. 1. פונקציה קווית )לינארית(. m n תיאור אנליטי פונקציה ממעלה ראשונה b או תיאור גרפי קו ישר במערכת צירים (,) מאונכים זה לזה, המכונה מערכת צירים קרטזית. )או ) m מתאר את שיפוע הקו הישר = מקדם המשתנה הבלתי תלוי. b )או ) n מתאר את נקודת החיתוך עם הציר האנכי = האיבר החופשי של הפונקציה. )הערה במסמך זה נשתמש ב- m ו- n עבור השיפוע ונקודת החיתוך בהתאמה(. אם השיפוע חיובי הישר עולה )תרשים 1( ואם הוא שלילי הישר יורד )תרשים (. m<0 m>0 תרשים 1 ישר עולה תרשים ישר יורד 9 כל הזכויות שמורות לחמד"ע המרכז לחינוך מדעי בתל אביב-יפו

8 פרק א קינמטיקה של תנועה לאורך קו ישר אם השיפוע אפס, הישר אופקי )מקביל לציר (, כפי שמוצג בתרשים 3, והוא מתאר פונקציה קבועה. הערה: קו ישר אנכי )מקביל לציר ( תרשים 4 אינו מתאר פונקציה )לפי ההגדרה(. m=0 תרשים 3 ישר אופקי תרשים 4 ישר אנכי חישוב שיפועו של הישר העובר דרך שתי נקודות ) 1 ( 1, ו- ) :(, m 1 1 משוואת הישר העובר דרך שתי נקודות ) 1 ( 1, ו- ) :(, ( ) n=0 תרשים - 5 ישר דרך ראשית הצירים כאשר האיבר החופשי n מתאפס, הגרף עובר דרך ראשית הצירים - תרשים 5. במקרה כזה אומרים ש- נמצא ביחס ישר ל- ; למשל, אם גדל פי N, זה יגרום ל- לגדול פי N גם כן. חשוב לציין שיחס ישר הוא מקרה פרטי של תלות לינארית. יש שוני מהותי בין הטענות: - הטענה Y" גדול מ- X פי "N, שפירושה,Y=NX - הטענה Y" גדול מ- X ב "N, שפירושה.Y=X+N על מנת לשרטט גרף של פונקציה קווית מספיקות שתי נקודות. אם 0=n נקודה אחת היא ראשית הצירים וזקוקים לעוד נקודה אחת בלבד. אם 0 n שלו עם הצירים., נוח לשרטט את הגרף בעזרת נקודות החיתוך 01

9 פרק א קינמטיקה של תנועה לאורך קו ישר 1.3 פונקציה ריבועית. 0, תיאור אנליטי - פונקציה ממעלה שנייה b c תיאור גרפי - פרבולה במערכת צירים קרטזית. הפרבולה סימטרית יחסית לישר אנכי העובר דרך קודקודה ציר הסימטריה. שיעור ה- של נקודת b הקדקוד הוא : הקודקוד הוא: - נקודת מינימום אם 0< )פרבולה קעורה - תרשים 6( ובנקודה זאת הפונקציה עוברת מירידה לעליה. - נקודת מכסימום אם 0> )פרבולה קמורה - תרשים 7( ובנקודה זאת הפונקציה עוברת מעליה לירידה. ציר הסימטריה ציר הסימטריה <0 תרשים - 7 פרבולה קמורה >0 תרשים - 6 פרבולה קעורה 0, 1, 0, c b b 4c נקודות החיתוך עם הצירים: ציר - ציר - משיק לקו עקום בנקודה הוא הקו הישר שנוגע בקו העקום רק בנקודה זאת. שיפוע של משיק לגרף עקום אינו קבוע, אלא משתנה מנקודה לנקודה. מקרה פרטי - המשיק לקו ישר מתלכד עם הקו הישר. 11 כל הזכויות שמורות לחמד"ע המרכז לחינוך מדעי בתל אביב-יפו

10 פרק א קינמטיקה של תנועה לאורך קו ישר 1.4 יישור )לינאריזציה( גרף של פונקציה לא לינארית יישור הוא פעולה שמאפשרת לקבל פונקציה קווית )לינארית( מפונקציה לא קווית. לשם כך יש לבחור במשתנים חדשים במקום המשתנים המקוריים. המשתנה החדש מתקבל מהמשתנה הקודם על ידי הפעלה של אחת הפעולות המתמטיות, כמו חזקה או שורש. לדוגמה, אם נתונה הפונקציה (), אשר הגרף שלה איננו ישר )תרשים 8(, היישור )כלומר גרף קו ישר( מתקבל בהתאם לתבנית חדשה שמשמש לבניית כל גרף. )תרשים 9(. בין הסוגריים רשום המשתנה הבלתי תלוי ( ) תרשים - 8 גרף הפונקציה =f() כאשר f () תרשים - 9 גרף הפונקציה =f(*) 7 6 כאשר * נגזרת של פונקציה נגזרת של פונקציה =f() 0 בנקודה הארגומנט כאשר שינוי הארגומנט שואף לאפס. נהוג לסמן נגזרת של פונקציה =f() נעשית לפי המשתנה. בצורה אנליטית: מוגדרת כגבול אליו שואף היחס בין שינוי הפונקציה לבין שינוי על ידי '() או על ידי אם גוזרים פעם נוספת את הפונקציה '(), מקבלים נגזרת שנייה d. הצורה השנייה מדגישה שהגזירה d d () ( 0) '() lim lim d d. ''() אם הנגזרת d השנייה חיובית עבור מסוים, באותו גרף הפונקציה () קעור ואם היא שלילית, אזי הוא קמור. הנגזרת משקפת את קצב השתנות הפונקציה. המשמעות הגיאומטרית של הנגזרת היא שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה

11 פרק א קינמטיקה של תנועה לאורך קו ישר אינטגרל מסוים של פונקציה בעזרת אינטגרל המסוים אפשר לחשב שטח שבין גרף פונקציה לבין ציר המשתנה הבלתי תלוי. החישוב המקורב של השטח יכול להיעשות על ידי חלוקתו למלבנים )כי חישוב שטח מלבן הוא פשוט( f ( 4) f() וחיבור שטחי כל המלבנים תרשים f ( 1) f ( ) A f ( 3) b תרשים 11 קירוב שטח כסכום שטחי מלבנים השטח המקורב הוא סכום שטחי המלבנים שנבנו: A f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) i i1 4 הקירוב הולך ומשתפר ככל שהרוחב של המלבנים שנבנו הולך וקטן וכך מספר המלבנים הולך וגדל. "הקירוב" האופטימלי )כלומר הקירוב שייתן ערך מדויק של השטח - תרשים 11( מתקבל כאשר רוחב המלבנים שואף לאפס וכתוצאה מכך מספר המלבנים שואף לאינסוף: A f ( ) f ( ) f ( )... f ( ) f ( ) 1 3 n i i1 n A lim f ( ) f () d n i 1 בכתיב זה d מסמן את הרוחב הקטן מאד f() של כל אחד מהמלבנים, f() הוא הגובה של המלבן הנבנה בסביבתו הקרובה מאד של i b n A b f () d b והסימן מסמן את האינטגרל המסוים של הפונקציה f() מ- = עד ל-. = b b תרשים - 11 השטח המחושב באמצעות אינטגרל מסוים 13 כל הזכויות שמורות לחמד"ע המרכז לחינוך מדעי בתל אביב-יפו

12 פרק א קינמטיקה של תנועה לאורך קו ישר מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים הצורה הכללית של מערכת של שתי משוואות ממעלה ראשונה )משוואות לינאריות( : b1 c1 0 b c 0 פתרון המערכת הוא זוג ערכים מספריים עבור שני המשתנים ו-. הצבת שני ערכים אלה בכל אחת מהמשוואות הופכת אותה לפסוק אמת. כל משוואה מייצגת קו ישר במערכת צירים., פתרון המערכת )שיעורי ו- ) מורכב משיעורי נקודת החיתוך של שני הישרים. ישנן שלוש שיטות לפתרון מערכת של שתי משוואות לינאריות עם שני נעלמים: שיטת ההצבה, שיטת השוואת המקדמים והשיטה הגרפית. מספר הפתרונות: פתרון יחיד - ישרים נחתכים, אינסוף פתרונות - ישרים מתלכדים, או אף פתרון - ישרים מקבילים )תרשים 1(. ישרים נחתכים ישרים מתלכדים ישרים מקבילים תרשים 1 04

13 פרק א קינמטיקה של תנועה לאורך קו ישר 1.8 שטחים של צורות גיאומטריות A b שטח המלבן )תרשים 13(: תרשים - 13 מלבן b h A שטח המשולש )תרשים 14(: h h h משולש קהה זווית משולש ישר זווית משולש חד זווית תרשים - 14 משולשים b שטח הטרפז )תרשים 15(: h ( b) h A תרשים - 15 טרפז יחידת המדידה של שטח היא חזקה של יחידת המדידה של אורך. לדוגמה: m )מ"ר( - היחידה הבסיסית,(SI( cm )סמ"ר(, km )קמ"ר(. 15 כל הזכויות שמורות לחמד"ע המרכז לחינוך מדעי בתל אביב-יפו

14 פרק א קינמטיקה של תנועה לאורך קו ישר נושאים מתמטיים לעולם הפיזיקה. התאמת.1 מפונקציות מתמטיות לפונקציות פיזיקליות מתמטיקה פיזיקה מקום מהירות שיעור )קואורדינטה( משתנה בלתי תלוי - זמן t משתנה בלתי תלוי - זמן t שיעור )קואורדינטה( משתנה תלוי - מקום משתנה תלוי - מהירות v v t t פונקציה מהירות- זמן v(t) או v v(t) v v t 0 פונקציה מקום- זמן (t) או (t) vt 0 פונקציה () או f () פונקציה קווית )לינארית( בתנועה שוות- מהירות בתנועה שוות- תאוצה m n v v 0 t v t 0 t t n = v 0 המהירות ההתחלתית השיפוע = התאוצה: v v v t t t 1 1 = 0 המקום ההתחלתי השיפוע = המהירות : v t t t 1 1 נקודת החיתוך עם ציר - n m 1 1 השיפוע v0t t פונקציה ריבועית b c 06

15 פרק א קינמטיקה של תנועה לאורך קו ישר מתמטיקה מקום פיזיקה מהירות נגזרת של פונקציה מהירות = קצב שינוי המקום תאוצה = קצב שינוי המהירות ' dv d v (t) v dt dt d f () lim ' ' 1 d 1 1 )לאו דווקא קבוע( ' d v (t) * dt גרף מקום - זמן גרף מהירות - זמן v t 1 t t 1 t 1 שיפוע המשיק לגרף ברגע = t 1 = המהירות הרגעית ברגע שיפוע המשיק לגרף ברגע = t 1 = התאוצה הרגעית ברגע t 1 t 1 שיפוע המשיק לגרף הנקודה 1 = נגזרת הפונקציה () באותה נקודה בנקודות הקיצון )מכסימום או מינימום( שיפוע המשיק מתאפס )נגזרת הפונקציה מתאפסת( נגזרת הפונקציה = שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודות הקיצון של הפונקציה מקום-זמן המהירות הרגעית מתאפסת נגזרת המקום = קצב רגעי של שינוי המקום = מהירות רגעית בנקודות הקיצון של הפונקציה מהירות-זמן התאוצה הרגעית מתאפסת נגזרת המהירות = קצב רגעי של שינוי המהירות = תאוצה רגעית * בפיזיקה נהוג לפעמים לסמן נגזרת יחסית לזמן על ידי נקודה מעל למשתנה שנגזר. 17 כל הזכויות שמורות לחמד"ע המרכז לחינוך מדעי בתל אביב-יפו

16 פרק א קינמטיקה של תנועה לאורך קו ישר מתמטיקה שטח נמדד ביחידות אורך בחזקה, למשל פיזיקה )מ"ר( או m תאוצה כפונקציה של זמן מהירות כפונקציה של זמן השטח הכלוא בין הגרף לבין הציר האופקי מייצג גודל פיזיקלי שיחידת המדידה שלו היא מכפלה של יחידות המדידה המתאימות לשני הצירים השטח שמתחת לגרף השטח שמתחת לגרף תאוצה- מהירות-זמן זמן שווה לשינוי במהירות שווה להעתק )שינוי במקום( בפרק זמן נתון הגוף באותו פרק זמן cm )סמ"ר( השטח שמתחת לגרף שווה לאינטגרל של הפונקציה בין אותם גבולות v(t) f() t 1 t t v t 1 t t A b t t1 v(t) dt v t t1 (t) dt b A f () d f ( ) 1 i i הערות: לשטח שמתחת לגרף מקום- זמן אין משמעות פיזיקלית. בדרך כלל בפיזיקה לא נתון הביטוי של הפונקציה אשר האינטגרל המסויים שלה מייצג גודן פיזיקלי חדש. מה שנתון זהו גרף הפונקציה מסורטט על רקע משובץ. לשם מציאת גודל השטח בתחום הרלוונטי נחוצים שלושה צעדים: - להעריך, בדיוק הטוב ביותר האפשרי, את מספר המשבצות הכלואות בשטח זה, - לחשב את ערך הגודל החדש המיוצג על ידי שטח של משבצת אחת, בהתאם לכיול צירי הגרף ויחידות המדידה הרשומות על הצירים, - להכפיל את תוצאות שני הצעדים הראשונים. 01

17 פרק א קינמטיקה של תנועה לאורך קו ישר. יחידות מדידה והמרתן אפשר לבטא ערך של גודל פיזיקלי באמצעות יחידות מדידה שונות. ככל שהיחידה הנבחרת גדולה יותר, כך המספר המתאר את הערך קטן יותר. מספר X יחידה = מספר X יחידה יחידות אורך בתרשים הבא מצוירים סולמות שמייצגים את הפעולות שיש לבצע כדי להמיר מספר גדול N של מילימטרים או מספר קטן n של קילומטרים ליחידות אורך אחרות. כפי שמצוין על ידי החיצים, מעבר בין כל שני שלבים עוקבים כלפי מטה )מיחידה גדולה לקטנה( דורש הכפלת המספר ב- 01 ולעומת זאת, מעבר בין כל שני שלבים עוקבים כלפי מעלה )מיחידה קטנה לגדולה( דורש חילוק המספר ב- 01. יחידות אורך n km 6 10 N X n 10 n 4 10,000 n 10 n 5 100,000 n 10 n m dm cm N 10 N 0.01 N 10 N 1 0.1N 10 N : ,000,000 n 10 n mm N להזכירך, היחידה הבסיסית למדידת אורך היא מטר )m(. n n n n n n s ms יחידות זמן היחידה הבסיסית למדידת זמן היא שנייה )s(. יחידות זמן er d h min 19 כל הזכויות שמורות לחמד"ע המרכז לחינוך מדעי בתל אביב-יפו

18 פרק א קינמטיקה של תנועה לאורך קו ישר יחידות מהירות : 3.6 מ'\ש' קמ"ש km h m s 3.6. m s היחידה הבסיסית למדידת מהירות היא מטר בשנייה 1

19 פרק א קינמטיקה של תנועה לאורך קו ישר 3. תרגילים 3.1 פונקציה קווית נתונה הפונקציה. = 8-4 האם פונקציה זאת היא לינארית, ריבועית, או אחרת? הסבר. א. מהי משמעות הפרמטרים המספריים המופיעים בתבנית? ב. רשום ביטוי אפשרי של פונקציה אחרת, אשר הגרף שלה מקביל לגרף הפונקציה הנתונה. האם הפונקציה המקורית עולה, או יורדת? הסבר. ד. האם הפונקציה החדשה מסעיף ג' עולה, או יורדת? הסבר. ה. האם גרף הפונקציה המקורית חותך את הצירים? אם כן, מהם שיעורי נקודות החיתוך? ו. כיצד עליך לשנות את תבנית הפונקציה המקורית כדי שהגרף שלה יעבור דרך ראשית הצירים? ז..1. = + 1 (II) נתונות שתי פונקציות (I) = + 7 ו-. א. מצא את שיעורי נקודות החיתוך עם הצירים של כל אחד משני הגרפים. ב. שרטט את שני הגרפים במערכת צירים אחת. מצא את שיעורי נקודת החיתוך בין שני הגרפים. ד. חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים לבין ציר ברביע הראשון. ו- v t ה. כיצד ישתנו, אם בכלל, תשובותיך לסעיפים א'-ד' אם מחליפים את האותיות ו- באותיות בהתאמה? * כאשר גוף נמצא בנקודה שהקואורדינטה שלה m, השעון הראה 3 שניות, וכאשר הוא היה בנקודה שהקואורדינטה שלה 9m, השעון הראה 5 שניות. בהנחה שמדובר על תלות קווית )לינארית( בין הקואורדינטה לבין הזמן ושסימניהם הם ו- t: א. בנה טבלה עם הערכים הנתונים ושרטט גרף של כפונקציה של ) t משתנה תלוי ו- t משתנה בלתי תלוי(. ב. רשום )באותיות בלבד( משוואת קו ישר במערכת צירים,(,t) שבה השיפוע מסומן באות v והערך.3. 0 של נקודת החיתוך עם הציר האנכי מסומן ב- ד. ה. ו. רשום את משוואת הקו הישר שבנית בסעיף ב' על סמך הנתונים המספריים של התרגיל. מצא היכן )באיזו קואורדינטה ( היה הגוף כאשר השעון הראה אפס. בנה מחדש גרף של המקום כפונקציה של הזמן t בקנה מידה שונה מזה שבחרת בסעיף א'. על סמך השוואה בין הגרפים בסעיפים א' ו- ה' הסק מהם ההבדלים בין שיפוע של גרף "מתמטי" לבין שיפוע של גרף "פיזיקלי"? מתי היה הגוף בראשית ציר המקום )כלומר, בנקודה שהקואורדינטה שלה אפס(? 1 כל הזכויות שמורות לחמד"ע המרכז לחינוך מדעי בתל אביב-יפו

20 פרק א קינמטיקה של תנועה לאורך קו ישר * רוכב אופניים יוצא בשעה 0011 בבוקר מביתו בתל-אביב ורוכב צפונה. בשעה 00:0 הוא עובר ליד הרצליה, ובין הרצליה לנתניה הוא רוכב במהירות קבועה של 11 מ'\ש'. ידוע שהמרחק מביתו להרצליה הוא :.:0 ק"מ והמרחק מהרצליה לנתניה הוא 10.6 ק"מ. א. שרטט תרשים של הבעיה. בכמה זמן עובר הרוכב את המרחק בין הרצליה לנתניה? ב. שרטט גרף מהירות הרוכב כפונקציה של הזמן. שרטט גרף מיקום הרכב כפונקציה של הזמן. ד. מהי המהירות הממוצעת של הרוכב מביתו עד נתניה? ה. רשום את משוואות התנועה של רוכב האופניים בכל אחד מקטעי הרכיבה שלו, בהנחה שבכל קטע ו. המהירות הייתה קבועה נתון גרף המהירות v כפונקציה של הזמן t של גוף הנע על קו ישר. v(m/s) t(s) א. ב. ד. חלק את הגרף לחמישה קטעים שונים ורשום לגבי כל אחד מהקטעים את משוואת הקו. חשב את העתק הגוף ב- 01 השניות, על ידי חישובי שטחים )חשוב לזכור: שטח מעל ציר הזמן מייצג העתק חיובי ושטח שמתחת לציר הזמן מייצג העתק שלילי( בשתי דרכים )1( על ידי שימוש בנוסחאות שטחים של הצורות הגיאומטריות המופיעות בגרף ו- )( על ידי הערכת מספר המשבצות. מדוע תשובתך לסעיף ב', שהתקבלה בעקבות חישובי שטחים, היא ביחידות אורך )למשל m( ולא ביחידות שטח )למשל m(? האם לשיפוע של כל אחד מהקטעים הנ"ל יש יחידות? אם כן - מהן ומהי משמעות השיפוע של כל אחד מן הקטעים?

21 פרק א קינמטיקה של תנועה לאורך קו ישר ה. ו. ז. חשב את המהירות הממוצעת שהייתה לגוף לאורך התנועה כולה. האם קטעים שמקבילים לציר הזמן מייצגים פונקציה? הסבר. אילו הגוף היה נע במהירות קבועה במשך אותו זמן והיה עובר אותו העתק בדיוק, איך היה נראה גרף המהירות v כפונקציה של הזמן t? הוסף גרף זה לגרף הנתון. 3. פונקציה ריבועית נתונה הפונקציה א. בנה טבלה ובה עשרה ערכי וערכי המתאימים להם. שרטט גרף המתאר את הפונקציה במערכת צירים בעזרת הטבלה שבנית בסעיף א'. ב. מצא את שיעוריהן של נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים. חשב את הקואורדינטות של נקודת הקודקוד של הגרף. ד. שרטט בקירוב הטוב ביותר האפשרי את המשיק לגרף בנקודה (8-,1) A ומצא את שיפועו. פרט את ה. פעולותיך. בתחום בו הפונקציה עולה, האם שיפוע המשיק גדל, קטן או אינו משתנה? נמק. ו..6 * במעבדת הפיזיקה של מרכז מדעי ביצע תלמיד ניסוי באמצעות מערכת ממוחשבת כדי לקבוע את מיקומו של גוף הנע בקו ישר. תוצאות המדידות מופיעות בטבלה הבאה: מקום (cm) זמן t(s) א. ב. ד. ה. ו. לפי התוצאות שהתקבלו שרטט את הגרף של מקום הגוף )משתנה תלוי( כפונקציה של הזמן t )משתנה בלתי תלוי(. בהנחה שהפונקציה (t) היא ריבועית, רשום משוואה מתאימה לגרף שבנית בסעיף א'. )זכור - הביטוי הכללי של פונקציה ריבועית במתמטיקה הוא:. ) b c כידוע, שיפוע המשיק לגרף (t) מהווה בכל נקודת זמן את המהירות הרגעית של הגוף. האם מהירות הגוף תוך כדי תנועתו גד לה, קט נה או אינה משתנה? הסבר. כידוע, פונקצית מקום-זמן ריבועית מתארת תנועה שוות תאוצה. הביטוי הכללי של פונקצית מקום-זמן במקרה זה הוא: 1. 0 v0t t מתוך השוואה בין הביטוי שקיבלת בסעיף ב' לבין ביטוי כללי זה, מצא את הערכים של קבועי התנועה., v 0, 0 על סמך תשובתך לסעיף ד', רשום ביטוי המתאר את מהירות הגוף כפונקציה של הזמן v(t) ושרטט גרף של פונקציה זו. האם יש לשיפוע גרף הפונקציה v(t) יחידות פיזיקליות? אם כן מהן? 3 כל הזכויות שמורות לחמד"ע המרכז לחינוך מדעי בתל אביב-יפו

22 פרק א קינמטיקה של תנועה לאורך קו ישר 8. גוף נע על קו ישר. נתונה הפונקציה מקום-זמן של תנועתו: 4 t 3t א. מהם קבועי התנועה, כלומר המקום ההתחלתי, 0 המהירות ההתחלתית v 0 ב. רשום פונקצית מהירות-זמן עבור הגוף הנתון. מלא את הטבלה : והתאוצה? t(s) (m) v(m/s) (t), v(t), (t) ד. שרטט את הגרפים : עבור פרק הזמן מ- 0=t עד ל.t=1s 3.3 יישור הגרף של פונקציה לא לינארית. 6 * נתונה פונקציה.9 א. ב. מהו סוג הפונקציה? הסבר. בנה טבלה ובה עשרה ערכים של, החל מ- 0 עד 5 במרווחים קבועים, והערכים של המתאימים. שרטט גרף של הפונקציה על סמך הטבלה והוסף לגרף קו מגמה המתאים ביותר לחוקיות הפונקציה. ד. הוסף לטבלה עמודה/שורה נוספת של ומלא אותה. ה. שרטט גרף של כתלות ב- והוסף קו מגמה מתאים. ו. מהי המסקנה המתבקשת מהפעולות שנעשו בתרגיל? * לפניך מספר תבניות של פונקציה. בחר לגבי כל תבנית משתנה חדש כך, שהקשר החדש יהיה לינארי. ציין איזה משתנה נבחר כמשתנה בלתי תלוי א. 0.5 ה. cos() 5 1 ב. ד. ו. 4

23 פרק א קינמטיקה של תנועה לאורך קו ישר * במעבדת המכניקה נתבקשו התלמידים לשחרר ממנוחה מגבהים שונים משקולת, אשר מחוברת לסרט נייר העובר דרך רשם זמן. שחרור המשקולת מכל גובה, תרם לתלמיד סרט המכיל אוסף עקבות )מעין תצלום סטרובוסקופי(. א. איך יכול התלמיד לדעת מהסרט מהו מרחק הנפילה של הגוף, וכמה זמן גוף היה בתנועה? ב. תוצאות עיבוד הסרטים שנעשה ע"י התלמיד מופיעות בטבלה הבאה: מרחק הנפילה 1 (cm) זמן הנפילה 1 t (sec) ד. ה. ו. בנה גרף של מרחק הנפילה כפונקציה של הזמן. בהסתמך על ידע בנושא "נפילה חופשית", בחר משתנה חדש כך שיתקבל יחס ישר בין המשתנה לבין המשתנה החדש. הוסף שורה לטבלה עם הערכים של המשתנה החדש ובנה גרף נוסף של כפונקציה של המשתנה החדש. עזור לתלמיד ומצא על פי הגרף הנוסף את תאוצת הנפילה החופשית. הסבר צעדיך. z(m) ** לפניך מופיע חלק מהגרף "מקום כפונקציה של.1 מהירות" לגבי גוף הנזרק אנכית מעלה, כפי שהתקבל 80 במעבדת הפיזיקה באמצעות מערכת מדידה ממוחשבת. 60 א. בהנחה שהתנגדות האוויר זניחה, מצא את התבנית המתמטית המקשרת בין שני המשתנים המופיעים 40 בגרף. ב. לפי התבנית, בחר משתנה בלתי תלוי חדש ומלא 0 טבלת ערכים מתאימה v(m/s) שרטט גרף על סמך הטבלה שבסעיף ב' ומצא בעזרתו את תאוצת הנפילה החופשית. 3.4 מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים 13. א. פתור את מערכת המשוואות הבאה: ב. שרטט במערכת צירים אחת את שני הקווים הישרים המתאימים לשתי המשוואות וציין מהו מצבם ההדדי. במערכת המשוואות הנתונה, החלף את המספר 11 שבמשוואה השנייה במספר 1 ופתור את המערכת החדשה שקיבלת. 5 כל הזכויות שמורות לחמד"ע המרכז לחינוך מדעי בתל אביב-יפו

24 פרק א קינמטיקה של תנועה לאורך קו ישר ד. שרטט על מערכת צירים אחת את שני הקווים הישרים המתאימים לשתי המשוואות שקיבלת בסעיף ג' וציין מהו מצבם ההדדי. ה. מהו התנאי לכך ששני קווים ישרים כלשהם יחתכו זה את זה? א. פתור את מערכת המשוואות: )1( בשיטת ההצבה )( בשיטת השוואת מקדמים )3( בשיטה גרפית ב. חשב את השיפוע של כל אחד מהישרים המתארים את המשוואות הנתונות. האם ייתכן שסימני שני השיפועים זהים ועדיין הקווים נחתכים? הסבר. * מכונית יצאה בשעה בבוקר ממודיעין לחצור הגלילית, המרוחקת ממנה 071 ק"מ. בשעה יצא אופנוע מפתח-תקווה לחצור הגלילית מרחק 011 ק"מ. מניחים ששני כלי הרכב נסעו במהירות קבועה. המכונית הגיעה לחצור הגלילית 1.6 שעות לפני האופנוע ומהירותה הייתה גדולה.15 ממהירות האופנוע ב- 01 קמ"ש. א. חשב את המהירויות של המכונית והאופנוע. ב. מצא מהי המהירות של האופנוע יחסית למכונית - )1( בפרק הזמן בין שעה לשעה, )( אחרי שעה מהי המהירות של המכונית יחסית לאופנוע באותם פרקי זמן כמו בסעיף ב'? * גוף א' הנמצא במרגלות צוק נזרק מהרצפה כלפי מעלה במהירות שגודלה 01 מטר בשנייה. באותו רגע נזרק גוף ב' מראש הצוק, שגובהו 611 מטר, כלפי מטה במהירות שגודלה 1: מטר לשנייה. הנח שהגופים אינם מתנגשים, אלא חולפים זה ליד זה. כמו כן, הנח שהתנגדות האוויר זניחה ושתאוצת הנפילה החופשית היא 01 מטר לשנייה בריבוע. א. רשום את משוואת התנועה =f(t) של גוף א'. ב. רשום את משוואת התנועה של גוף ב'. פתור את מערכת המשוואות שקיבלת בסעיפים א' ו ב'. ד. שרטט במערכת צירים אחת את שני הגרפים, שמייצגים את שתי המשוואות הנ"ל. האם הגרפים נחתכים? אם כן - הסבר מהי משמעותה של נקודת החיתוך. אם לא - הסבר מדוע לא. ה. רשום את משוואות המהירות v=f(t) עבור שני הגופים. ו. פתור את מערכת המשוואות שהתקבלה בסעיף ה', הן באחת השיטות האלגבריות והן בשיטה גרפית ונסח מסקנות..16 6

25 פרק א קינמטיקה של תנועה לאורך קו ישר 17. השלם את הטבלה )רשום את כל המספרים בכתיב מדעי בלבד(: ק"מ ס"מ מ' דצ"מ mm km * השלם את הטבלה )רשום את כל המספרים בכתיב מדעי בלבד(:.18 שנה ש' שעה ms d min / כל הזכויות שמורות לחמד"ע המרכז לחינוך מדעי בתל אביב-יפו

26 פרק א קינמטיקה של תנועה לאורך קו ישר תשובות לתרגילים (,0), (0,8) (7,0), (0,7) (1,0), (0,-0.5) (I) (II) (5,) 6-8.5m.43s 0.6h 6.67km/h 3m.46m/s (0,10), (3.53,0), (0.47,0) 3 (,-14) cm/s ו. א. ד. ד. ו. א. ב. ב. ד. ד. ה. ד cm/s. 1-10m/s. 14 א. (-3,1) 3 ו- ב. מכונית 85km/h או 50km/h אופנוע 75km/h או 40km/h 75m, 5s

27 פרק ב קינמטיקה של תנועה במישור פרק ב - קינמטיקה של תנועה במישור מושגים מתמטיים פרופורציה, צורות גיאומטריות, היטלים, פונקציות טריגונומטריות במשולש ישר זווית, משפטי קוסינוס וסינוס, וקטורים במישור - הצגה פולארית וקרטזית, פעולות עם וקטורים. קשר לעולם הפיזיקה שני הסוגים של גדלים פיזיקליים סקלריים וקטוריים, חיבור וקטורי לחישוב וקטור שקול, חיסור וקטורי לחישוב וקטור שינוי, מקום יחסי ומהירות יחסית. 1. נושאים מתמטיים 1.1 פרופורציות c. פרופורציה היא שוויון בין שתי מנות: b d התכונה העיקרית של פרופורציה היא שמכפלות האיברים בכל אחד מהאלכסונים שוות, כלומר. d bc c אפשר b d מהתכונה העיקרית נובע שניתן לנייד את האיברים בכל אלכסון. למשל מהפרופורציה b d. c d d c b, c או לקבל, או b b 1 c d על ידי ניוד מתאים של איברים אפשר לבטא איבר אחד באמצעות שלושת האיברים האחרים. מפרופורציה נתונה אפשר לקבל פרופורציות אחרות על ידי חיבור\חיסור בין המכנים למונים. למשל c. b d c b c d c b c d c מ- אפשר לקבל,,, b d b d c b d b d 1. גיאומטריה קווים קו ישר הוא אינסופי בשני קצותיו )בשני הכיוונים(. לקו ישר אין נקודת התחלה ואין נקודת סוף. תרשים - 1 קו ישר 9 כל הזכויות שמורות לחמד"ע המרכז לחינוך מדעי בתל אביב-יפו

28 פרק ב קינמטיקה של תנועה במישור מקו ישר ניתן לקבל שתי קרניים. קרן היא אינסופית רק בכיוון אחד )יש לה התחלה, אך אין לה סוף(. תרשים - שתי קרניים חלק של קו ישר המוגבל בשני הקצוות מכונה קטע ישר. תרשים - 3 קטע ישר זוויות זווית היא הצורה הגיאומטרית הנוצרת בין שתי קרניים. נקודת המפגש A של הקרניים מכונה קדקוד הזווית )תרשים 4(. A תרשים - 4 זווית נהוג לסמן את הזווית באחת משתי דרכים: - באמצעות אות יוונית קטנה, למשל )תרשים 5(. - באמצעות שלוש נקודות לפי הסדר: נקודה על אחת הקרניים, נקודת הקדקוד ונקודה על הקרן האחרת )תרשים 6(. B A C A תרשים - 5 זווית תרשים - 6 זווית BAC יחידת המדידה המקובלת של זוויות היא מעלה. בפיזיקה יחידת המדידה הבסיסית SI) ) עבור זוויות היא רדיאן )rd( והיא תוגדר בפרק ה'. שתי קרניים המתחילות מאותה נקודה יוצרות למעשה שתי זוויות, שסכומן 360 o )תרשים 7(. תרשים 7 שתי הזוויות הנוצרות על ידי o שתי קרניים

29 פרק ב קינמטיקה של תנועה במישור.161 כאשר שתי הקרני םי חופפות, הן יוצרות שתי זוויות אחת של בתרשים 8 מתוארות זוויות מסוגים שונים: o 1 והשנייה של A A זווית ישרה זווית חדה זווית קהה A A זווית של סיבוב שלם 181 A זווית שטוחה A 91 )181 A זוויות צמודות )סכומן זוויות שסכומן זוויות קדקודיות = תרשים - 8 סוגי זוויות אנך לקו ישר הוא קו היוצר זווית ישרה )של 01 ( עם הקו הישר. אנך לעקום מישורי, בנקודה נתונה, הוא קו היוצר זווית ישרה עם המשיק )קו ישר הנוגע בעקום בנקודה אחת בלבד( לעקום באותה נקודה )תרשים 9(. העקום, המשיק והאנך נמצאים במישור אחד. משיק אנך תרשים - 9 אנך לקו עקום 31 כל הזכויות שמורות לחמד"ע המרכז לחינוך מדעי בתל אביב-יפו

30 פרק ב קינמטיקה של תנועה במישור שתי זוויות אשר צלעותיהן מאונכות זו לזו בהתאמה, שוות זו לזו )תרשים 11(. תרשים 11 זוויות שצלעותיהן מאונכות זו לזו = היטלים ההיטל של נקודה A על ישר הוא הנקודה 'A שבה האנך לישר דרך A חותך את הישר. היטלו של קטע AB על ישר הוא הקטע A'B' שבין היטלי הנקודות A ו- B. אורך ההיטל הוא:, A'B' ABcos כאשר היא הזווית בין AB לבין הישר. אם הקטע AB מאונך לישר, היטלו על הישר הוא נקודה, כלומר אורך ההיטל הוא 1. אם הקטע AB מקביל לישר, אורך היטלו על הישר שווה לאורך הקטע. A A' B B' היטל של קטע A A' היטל של נקודה A B A' B' היטל של קטע מאונך לישר B B' A A' היטל של קטע מקביל לישר תרשים - 11 היטלים 0

31 ניצב פרק ב קינמטיקה של תנועה במישור משולשים משולשים - כאשר מחברים 3 נקודות שלא נמצאות על אותו ישר בקטעים ישרים, מקבלים משולש. סכום הזוויות הפנימיות בכל משולש הוא 001. אם אחת מזוויות משולש היא ישרה, המשולש מכונה משולש ישר- זווית; הצלעות היוצרות את הזווית הישרה מכונות ניצבים והצלע השלישית מכונה יתר )תרשים 1(. בין שלוש הצלעות של משולש ישר זווית קיים קשר מתמטי המוכר כמשפט פיתגורס: ריבוע היתר שווה לסכום ריבועי הניצבים. β יתר )יתר( = )ניצב( + )ניצב( α ניצב תרשים 1 משולש ישר זווית 90 במשולש ישר זווית, הזוויות החדות משלימות זו את זו ל- 01. מרובעים מרובע הוא מצולע שמתקבל כתוצאה מחיבור של 4 נקודות שלא נמצאות על אותו ישר, באמצעות קטעים ישרים. מרובע ששתיים מצלעותיו מקבילות זו לזו נקרא טרפז )תרשים 13(. שתי הצלעות המקבילות מכונות "בסיסים" ושתי הצלעות האחרות מכונות "שוקיים". תרשים 13- טרפז D מרובע שבו יש שני זוגות צלעות המקבילות זו לזו נקרא מקבילית )תרשים 14(. A B הצלעות המקבילות שוות זו לזו: AD = BC ; DC = AB O תרשים - 14 מקבילית C אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה : OB = OD ; OA = OC 33 כל הזכויות שמורות לחמד"ע המרכז לחינוך מדעי בתל אביב-יפו

32 α ניצב מול פרק ב קינמטיקה של תנועה במישור D A O C תרשים - 15 מעוין B מקבילית שכל צלעותיה שוות באורכן נקראת מעוין )תרשים 15(. AB = BC = CD = DA במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה וחוצים את זוויות המעוין. AC BD מעגל )תרשים 16( R מעגל הוא אוסף הנקודות במישור הנמצאות כולן באותו מרחק R מנקודה קבועה המכונה "מרכז המעגל". רדיוס מעגל R הוא הקטע המחבר בין מרכז המעגל ונקודה כלשהי על ההיקף. R היקף המעגל = אוסף כל הנקודות הנמצאות על המעגל ובתוכו מכונה "עיגול". תרשים - 16 מעגל 1.3 טריגונומטריה הגדרה של פונקציות טריגונומטריות במשולש ישר-זווית פונקציה סינוס: פונקציה קוסינוס: הניצב מול α היתר הניצב ליד α היתר יתר α β תרשים ניצב ליד α 17 משולש ישר זווית sin α = cos α = tn α = פונקציה טנגנס: הניצב מול α הניצב ליד α sin tn cos בין שלוש הפונקציות הנ"ל מתקיים הקשר: 04

33 180 בתרשים 18 מתואר מעגל המכונה מעגל טריגונומטרי. למעגל זה המאפיינים הבאים: - הרדיוס שלו שווה ליחידת אורך אחת. - "הכיוון הטריגונומטרי החיובי" במעגל זה מוגדר כמנוגד לכיוון הסיבוב של מחוגי השעון. - מעגל זה מחולק לארבעה רבעים, הממוספרים לפי הכיוון הטריגונומטרי החיובי. - זווית מרכזית נבנית כך שהקרן הראשונה היא תמיד קבועה )נייחת( בכיוון המסומן ב- 0 והקרן השנייה )ניידת( נמצאת ברביע המתאים לגודל הזווית. - ערך הזווית הוא חיובי או שלילי, בהתאם לכיוון הסיבוב של הקרן ניידת ביחס לנייחת. בתרשים 19 מופיעה דוגמה בה הקרן הניידת נמצאת ברביע השני. אומרים שמיקומה הזוויתי הוא +150 o או -10 o. בכל משולש )תרשים 1( מתקיימים שני משפטים המקשרים בין הצלעות לזוויות. - משפט הקוסינוסים המתואר עבור הזווית על ידי הביטוי: פרק ב קינמטיקה של תנועה במישור 90 רביע ראשון רביע רביעי רביע שני רביע שלישי תרשים 18- מעגל יחידה תרשים 19- מיקום זוויתי B c A b C הערה: אם o 90 מתקבל משפט פיתגורס. - משפט הסינוסים היחס בין אורך הצלע לבין סינוס הזווית מולה הוא קבוע: b c bccos תרשים - 1 משולש כללי b c sin sin sin שימוש במחשבון כיס לחישובים טריגונומטריים - אופן המעבר מזווית לפונקציה טריגונומטרית )סינוס, קוסינוס או טנגנס( או להיפיך מתוארים בתרשים הבא: ערך הפונקציה )סינוס, קוסינוס או טנגנס( לוחצים על הלחצן הנושא עליו את שם הפונקציה לוחצים על הלחצן SHIFT ואחר כך על הלחצן הנושא עליו את שם הפונקציה ערך הזווית 35 כל הזכויות שמורות לחמד"ע המרכז לחינוך מדעי בתל אביב-יפו

34 פרק ב קינמטיקה של תנועה במישור 1.4 וקטורים במישור וקטור הוא קטע מכוון מנקודת התחלה אל נקודת סוף )קצה הווקטור או ראש הווקטור( )תרשים 1(. נקודת סוף מאפייני וקטור : - גודל, שהוא אורכו של הווקטור. - כיוון, המוגדר על ידי הזווית בין הווקטור לכיוון אחר, מוכר. בחירת קנה המידה לצורך שרטוט אורכו של וקטור היא שרירותית. נקודת התחלה תרשים - 1 וקטור בפיזיקה מסמנים בדרך כלל וקטור באמצעות אות אחת גדולה או קטנה. כדי להבחין שמדובר על וקטור, האות יכולה להיות רשומה בכתב מודגש )למשל A( או עם חץ מעליה )למשל (. A בחוברת זאת וקטורים יהיו רשומים על ידי אות אחת או שתיים, עם חץ מעליהן. ניתן להעתיק וקטור במקביל למצבו המקורי )בלי A 1 A A 4 במיקומה של נקודת ההתחלה, תכונות הווקטור לא משתנות. בתרשים מתקיים: שינוי בגודלו ובכיוונו( ועקב כך, למרות שזהו שינוי A1 A A3 A4 A 3 כי יש להם אותו גודל ואותו כיוון. תרשים - וקטורים שווים וקטורים מקבילים ואנטי- מקבילים יש להבדיל בין שני מקרים של וקטורים הנבנים על ישרים מקבילים: - וקטורים מקבילים, שהם בעלי אותו כיוון )תרשים 3 א (, ולכן הזווית ביניהם 0. o - וקטורים אנטי- מקבילים, שהם בעלי כיוונים מנוגדים )תרשים 3 ב(, ולכן הזווית ביניהם 180. o א ב תרשים - 3 וקטורים מקבילים ואנטי- מקבילים רכיבי וקטור אפשר להחליף וקטור נתון בשני וקטורים ניצבים זה לזה, כך שהווקטור המקורי הוא אלכסון המלבן המוגדר על ידי הווקטורים החדשים )ראה תרשים 4(. תרשים - 4 פרוק וקטור 06

35 פרק ב קינמטיקה של תנועה במישור נוח יותר כאשר הווקטורים החדשים נמצאים על הצירים של מערכת צירים קרטזיים אשר נבחרה במישור. הווקטורים החדשים מכונים רכיבים קרטזיים של הווקטור המקורי ופעולה זאת נקראת "פרוק הווקטור הנתון A לרכיביו הקרטזיים". תהליך קבלת הרכיבים הקרטזיים של וקטור )פירוק הווקטור לרכיבים(: O )1( מעתיקים את הווקטור הנתון כך שהתחלתו תתלכד עם תרשים - 5 שלב )1( לקבלת רכיבי וקטור OA )תרשים.)5 ראשית הצירים וקטור A A מורידים אנכים AA ו- AA לצירים מהקצה A של הווקטור המועתק )תרשים 6(. )( O A תרשים - 6 שלב )( לקבלת רכיבי וקטור A בונים את הווקטורים הקרטזיים של OA ו-, OA שהם הרכיבים OA )תרשים 7(. )3( O A הצגות של וקטור תרשים - 7 הרכיבים הקרטזיים A A A( A, A ) ניתן להציג וקטור בשתי דרכים: א. הצגה קרטזית )אלגברית( באמצעות שיעורי הקצה של הווקטור, כאשר התחלתו בראשית הצירים )תרשים 8( O A A OA (, ) A A מיוצג על ידי שיעורי הקצה, תרשים - 8 הצגה קרטזית של וקטור OA A ב. הצגה פולארית )קוטבית או גיאומטרית( באמצעות גודל וכיוון יחסית לכיוון נבחר )תרשים 9( כיוון נבחר θ O תרשים - 9 הצגה פולארית של וקטור ( OA, ) או,(OA, ) מיוצג על ידי גודלו וכיוונו, OA 37 כל הזכויות שמורות לחמד"ע המרכז לחינוך מדעי בתל אביב-יפו

36 פרק ב קינמטיקה של תנועה במישור הערה - מומלץ שהזווית, θ המגדירה את כיוון הווקטור, תהיה חדה. לשם כך יש לבחור כיוון מתאים שאליו מייחסים את הזווית )ראה דוגמאות בתרשים 31(. כיוון נבחר A A A θ θ 3 O O O θ 1 כיוון נבחר לא מומלץ מומלץ מומלץ כיוון נבחר תרשים - 31 הגדרת כיוון הווקטור מעברים בין שתי ההצגות )ראה גם תרשים 8( : א. נתון הייצוג הפולארי )הגיאומטרי( הקרטזי: (θ (OA,. חישוב הרכיבים הקרטזיים, שהם מרכיביו של הייצוג OA OA cos, OA OA sin ),OA (OA. חישוב הגודל והכיוון, המהווים את מרכיביו של ב. נתון הייצוג הקרטזי )האלגברי( הייצוג הפולארי: (OA, ) OA = OA + OA + A A גודל הווקטור - OA A tnθ = = כיוון הווקטור - OA A הערה: במידה שהווקטור לא נמצא ברביע הראשון, מאפיינים את כיוונו בהתאם להמלצות שלעיל. פעולות עם וקטורים א. פעולות עם וקטורים בייצוג פולארי )גיאומטרי( בכל פעולה נתאר כיצד מקבלים את הווקטור תוצאה על ידי תרשים מתאים. אפשר לחשב את הגודל והכיוון של וקטור זה בעזרת משפטי הסינוסים והקוסינוסים הרשומים בסעיף 1.3 של פרק זה. A חיבור וקטורי של שני וקטורים A ו- B הוא פעולה, שכתוצאה B. C A B ממנה מתקבל וקטור סכום C, כך ש- תרשים - 31 נתונים שני וקטורים 01

37 פרק ב קינמטיקה של תנועה במישור : תהליך קבלת הווקטור, C כאשר נתונים A ו- B דרך I למציאת וקטור סכום - חיבור לפי כלל המשולש )תרשימים 3 ו- 33(: A B )1( מעתיקים את אחד הווקטורים הנתונים, כך שהתחלתו תהיה בקצה הווקטור האחר. תרשים - 3 העתקה של וקטור אחד בסוף של השני )1( B A C תרשים - 33 חיבור וקטורי )( )( מחברים את נקודת ההתחלה של הווקטור הראשון עם קצה הווקטור השני. כיוונו של וקטור הסכום המתקבל הוא אל קצה הווקטור השני. F E A D B C אם מחברים יותר משני וקטורים, אפשר להכליל את כלל המשולש )תרשים 34( כלל המצולע: דרך II למציאת וקטור סכום חיבור לפי כלל המקבילית )תרשימים 37(: - 35 תרשים - 34 המצולע לחיבור חמישה וקטורים A A B C D E F B )1( מסדרים את הווקטורים A ו- B יתחילו מאותה נקודה. כך ששניהם תרשים - 35 סידור התחלת הווקטורים מאותה נקודה )1( A )( בונים מקבילית כך ש- A ו- B צלעות צמודות שלה. מהווים שתי B תרשים - 36 בניית מקבילית )( 39 כל הזכויות שמורות לחמד"ע המרכז לחינוך מדעי בתל אביב-יפו

38 פרק ב קינמטיקה של תנועה במישור A C )3( הווקטור C מתקבל לאורך אלכסון המקבילית, המתחיל מהנקודה המשותפת של הווקטורים A ו- B הקודקוד הרביעי של המקבילית. והוא מכוון כלפי תרשים - 37 האלכסון הוא וקטור הסכום )3( A A הערה: וקטור הוא הסכום הווקטורי של רכיביו. C C OA OA OA C A או ברישום של וקטור על ידי אות אחת: תרשים - 38 וקטור הוא סכום וקטורי של רכיביו C C C A הווקטור הנגדי לווקטור נתון A הוא וקטור בעל אותו גודל אבל בכיוון מנוגד. רושמים אותו A )תרשים 39(. הסכום של וקטור והנגדי שלו שווה ל- 1. A תרשים - 39 וקטור נגדי A B חיסור וקטורי של שני וקטורים נתונים A ו- B הוא פעולה של מציאת וקטור הפרש. D נדגים בהמשך כיצד מגיעים להפרש A ( D A B מכונה מחוסר, B מכונה מחסר(. כמובן, אותם שני וקטורים יכולים ליצור עוד וקטור הפרש, תרשים - 41 נתונים שני וקטורים. 'D D ובין שני וקטורי הפרש מתקיים 'D BA 41

39 פרק ב קינמטיקה של תנועה במישור A דרך I למציאת וקטור הפרש - חיסור בשיטת המשולש )תרשימים 41 ו- 4(: )1( מסדרים את שני הווקטורים A ו- B כך ששניהם יתחילו מאותה נקודה. B תרשים - 41 וקטורים מתחילים מאותה נקודה )1( A )( מחברים את קצותיהם של שני הווקטורים; כיוונו של D הוא כלפי המחוסר. A הערה: אפשר לראות שווקטור ההפרש D משלים את המחסר B A D B תרשים - 4 וקטור הפרש )( B + למחוסר, A כלומר = D דרך II למציאת וקטור הפשר - חיסור בשיטת החיבור עם הנגדי )תרשימים 43 ו- 44(: B B D A B A ( B) : D ניתן לכתוב: תהליך מציאת : B שהוא הווקטור הנגדי ל-, B )1( בונים את תרשים - 43 וקטור נגדי )1( D B A )( מחברים את B ל- באחת משיטות החיבור שתוארו לעיל: A תרשים - 44 וקטור הפרש )( מכפלה בין וקטור למספר )סקלר( תוצאה של מכפלת וקטור A בסקלר m היא וקטור, B כך שכותבים. B ma - - גודלו של הווקטור : B B m A 41 כל הזכויות שמורות לחמד"ע המרכז לחינוך מדעי בתל אביב-יפו

40 פרק ב קינמטיקה של תנועה במישור אם m הוא מקביל ל- A אם m חיובי ואנטימקביל ל- A כיוונו של הווקטור B שלילי )תרשים 45(. - A ma ma m>0 m<0 תרשים - 45 מכפלת וקטור בסקלר הערה חשובה: הדרכים שהוצגו עד כאן לביצוע פעולות שונות עם וקטורים בייצוג פולארי מאפשרות מתן תשובה איכותית. במידה ונדרשת תשובה כמותית בעזרת ייצוג פולארי בלבד, יש להשתמש במשפטי סינוסים וקוסינוס או לבצע סרטוט מדויק, כלומר למדוד במדויק את הזוויות ולסרטט את הווקטורים בקנה מידה(. ב. פעולות עם וקטורים בייצוג קרטזי )אלגברי( ניתן לבצע פעולות בווקטורים על ידי שימוש ברכיביהם הקרטזיים. לשם כך יש לבצע את הפעולות הבאות: )1( פירוק כל אחד מן הווקטורים הנתונים לרכיבים הקרטזיים בתרשים )( חישוב הרכיבים )3( ביצוע הפעולה הנדרשת בנפרד בכל ציר B B ma ma כפל בסקלר - D A B D A B חיסור - C A B C A B חיבור - )4( מציאת הגודל והכיוון של התוצאה. נסכם את השלבים השונים על ידי תרשים הזרימה הבא: נתונים: מספר וקטורים בהצגה פולארית )גודל וכיוון( מעבר מהצגה פולארית לקרטזית הרכיבים הקרטזיים של הווקטורים הנתונים ביצוע הפעולה הנדרשת הרכיבים הקרטזיים של וקטור התוצאה מעבר מהצגה קרטזית לפולארית תשובה: וקטור התוצאה בהצגה פולארית )גודל וכיוון( 4

41 פרק ב קינמטיקה של תנועה במישור. התאמת נושאים מתמטיים לעולם הפיזיקה בפיזיקה יש להבדיל בין שני סוגים של גדלים פיזיקליים: גדלים סקלריים, לדוגמה: מסה, זמן, טמפרטורה, עבודה, אנרגיה, המאופיינים על ידי ערך מספרי חיובי או שלילי, המלווה ביחידת מדידה. גדלים וקטוריים, לדוגמה: מהירות, תאוצה, כוח, תנע, ורכיביהם המאופיינים על ידי ערך מספרי המלווה ביחידת מדידה )גודל( ובנוסף לכך על ידי כיוון. נהוג לתאר גודל פיזיקלי וקטורי באמצעות וקטור, המייצג אותו גודל פיזיקלי. במקרה זה משרטטים את הווקטור לפי קנה מידה, כך שווקטור באורך מסוים מתאים לערך מסוים של הגודל הפיזיקלי. לאור ההבחנה בין גדלים פיזיקליים סקלריים לבין גדלים פיזיקליים וקטוריים, הפעולות המתמטיות מתבצעות בהתאם: גדלים סקלריים יש לחבר ולחסר בצורה אלגברית. גדלים וקטוריים יש לחבר ולחסר לפי כללי החיבור והחיסור של וקטורים. וקטור המתקבל כסכום של כמה וקטורים, המייצגים גודל פיזיקלי וקטורי, מכונה בפיזיקה וקטור שקול. פעולת חיבור וקטורי נדרשת לדוגמה לקבלת העתק כולל כסכום העתקים חלקיים. וקטור המתקבל כהפרש של שני וקטורים, המייצגים גודל פיזיקלי וקטורי עבור גוף מסוים בשני רגעים ו- t 1 שונים, מכונה וקטור שינוי. חיסור וקטורי כזה נדרש לקבלת: r r(t ) r(t ) 1 1 v v(t ) v(t ) 1 1 וקטור העתק, כשינוי וקטור המקום וקטור שינוי המהירות t ההפרש של שני וקטורים, המייצגים גודל פיזיקלי וקטורי עבור שני גופים שונים A ו- B ברגע מסוים, מוביל לגודל פיזיקלי יחסי. חיסור וקטורי כזה נדרש לקבלת: r r r A,B A B וקטור מיקום יחסי, כהפרש בין וקטורי המקום v v v A,B A B וקטור מהירות יחסית, כהפרש בין וקטורי המהירות 43 כל הזכויות שמורות לחמד"ע המרכז לחינוך מדעי בתל אביב-יפו

42 פרק ב קינמטיקה של תנועה במישור 3. תרגילים 3.1 פרופורציות. m p n s 1. נתונה הפרופורציה א. בטא את כל אחד מארבעת האיברים באמצעות שלושה האחרים. ב. נתון קטע שאורכו d, המחולק לשני חלקים ו- b. ידוע שהיחס בין אורך הקטע לבין אורך החלק הגדול שווה ליחס בין אורך החלק הגדול לבין אורך החלק הקטן. )1( רשום פרופורציה המתאימה לתיאור זה. )( אורך הקטע 111 מטר. חשב את אורכם של שני החלקים. 3. גיאומטריה וטריגונומטריה במשולש * נתון משולש ישר זווית:. v d g מלא את הטבלאות הבאות שבהן p מסמן את היקף המשולש ו- A מסמן את שטחו. ( o ) v (cm) ( o ) A (cm ) d (cm) p (cm) g (cm) **7 * למקרה 7 ישנן שתי אפשרויות. 44

43 פרק ב קינמטיקה של תנועה במישור p(cm) A(cm ) tn tn sin sin ( o ) ( o ) d(cm) v(cm) g(cm) *6 * למקרה 6 ישנן שתי אפשרויות. במשולש ישר זווית אחת הזוויות היא בת 16. אורכו של הניצב מול הזווית הנתונה הוא : ס"מ. שרטט תרשים מתאים לנתונים. א. חשב את אורך הניצב השני ואת אורך היתר. ב..3 מגדילים את הזווית הנתונה וגם את אורך הניצב מולה פי. 1 חשב את האורכים החדשים של הניצב השני ושל היתר. ד. מהי המסקנה שנובעת מתוצאותיו של סעיף ג'? ה. כיצד ישתנו, אם בכלל, גדלי הזוויות במשולש אם נגדיל את האורכים של כל הצלעות פי שלושה? הסבר תשובתך. * במשולש ABC אורך הניצב AC פי :.0 מאורך הניצב.BC חשב את זוויות המשולש. א. האם ניתן לחשב חד-משמעית את צלעות המשולש? ב..4 ** AC הוא מוט אנכי, שקצהו העליון בנקודה A. על ראש המוט נמצא מקל אנכי.AD הקו BC הוא קו אופקי שאורכו 001 מטר. מנקודה B רואים את הקצה העליון A של המוט בזווית גובה של 10, ואת הקצה העליון D של המקל בזווית גובה בת 10. א. שרטט תרשים המתאר את מבנה התרגיל וסמן בו את כל הנתונים. חשב את גובה המקל.AD פרט חישוביך. ב. חשב בכמה ארוך קטע BD מן הקטע.AB עקב רוח חזקה שנשבה זמן מה, נוטה המקל AD בזווית בת 01 ביחס לאנך, כך שנקודה A לא ד. זזה והנקודה D מתרחקת מ- B. חשב את המרחק החדש בין נקודות C ו- D כל הזכויות שמורות לחמד"ע המרכז לחינוך מדעי בתל אביב-יפו

44 פרק ב קינמטיקה של תנועה במישור. sin מחליפים את ב- sin ואת q ב- c p q * נתונה פרופורציה.6 א. אילו תנאים צריכים להתקיים על מנת שהביטוי החדש יהיה נכון?, c, ב. בהנחה שהתנאים שהצגת בסעיף א מתקיימים, בטא את sin באמצעות ו- p. נתונים c p ו-. 30 חשב את הזווית. ד. בהנחה ש- ו- c, = p האם יתכן שהביטוי שמתקבל בעקבות ההחלפה המתוארת בשאלה הוא נכון? 3.3 וקטורים * נתון וקטור B אשר גודלו 11 יחידות אורך וכיוונו יוצר 0: מעלות עם הכיוון החיובי של ציר, ברביע הראשון..7 א. בנה מערכת צירים קרטזית ושרטט באופן איכותי את הווקטור הנ"ל, כך שיתחיל בראשית הצירים. ב. הוסף בצבע אחר את היטליו של הווקטור B על הצירים. ד. חשב את אורכי ההיטלים וציין את סימנו של כל אחד מהם )חיובי או שלילי(. הוסף באותה מערכת צירים שני וקטורים, כך שלאחד הווקטורים ההיטל על ציר יהיה שווה לאפס, ולווקטור השני ההיטל על ציר על ציר יהיה שווה לאפס. שווה לאפס. רשום מהו התנאי לכך שהיטל של וקטור ה. כיצד ישתנו תשובותיך לסעיף ג' אם נעביר את נקודת ההתחלה של הווקטור B לנקודה )1-,:(? הסבר. מראשית הצירים 8. בטבלה הבאה נתונים השיעורים של נקודת ההתחלה ונקודת הסוף של ארבעה וקטורים: נקודת סוף )1,-1( )-1,-6( )3,( )1,1( נקודת התחלה )3,5( ),-8( )3,-7( )1,-8( וקטור I וקטור II וקטור III וקטור IV א. ב. ד. שרטט את ארבעת הווקטורים במערכת צירים משותפת. חשב את רכיביו של כל וקטור. חשב את גודלו וכיוונו של כל אחד מארבעת הווקטורים. חשב את הווקטור השקול )גודל וכיוון(. 46

45 פרק ב קינמטיקה של תנועה במישור ידוע שהרכיב על ציר של וקטור D שווה ל- )1.0- ) יחידות אורך ורכיבו על ציר שווה ל- )6.1-( יחידות אורך. א. שרטט במערכת צירים קרטזית את שני הרכיבים, החל מראשית הצירים, ואת הווקטור השקול )השווה לסכום הווקטורי של הרכיבים(. פרט את צעדיך..9. D ב. חשב את גודלו ואת כיוונו של הווקטור השקול והסבר מדוע בעצם הווקטור השקול הוא איזה וקטור E נמק. )גודל וכיוון( יש להוסיף לווקטור E כדי שתוצאת החיבורD, D ד. ה. תשתווה לאפס? ציין במה דומים ובמה שונים כלל המשולש וכלל המקבילית לחיבור וקטורים. לווה את הסבריך בדוגמאות מתאימות. על מנת לחסר וקטור אחד ממשנהו, האם ניתן לבצע פעולת חיבור שתוביל לאותה תוצאה? לווה את נימוקיך בדוגמה מתאימה. * נער יצא מנקודה נתונה והלך 1 ק"מ מזרחה. לאחר מכן הלך עוד 0 ק"מ בזווית 11 צפונה מהמזרח..11 בסיום הקטע השני הוא נע עוד : ק"מ צפונה ולבסוף עבר 6 ק"מ נוספים בזווית 61 צפונה מהמערב. א. שרטט את מסלול תנועתו של הנער, וסמן באותיות את נקודות המעבר בין הקטעים ובחצים - את כיווני התנועה בקטעים השונים. הוסף ל שרטוט מערכת צירים, כך שציר יהיה מכוון מזרחה וציר - צפוה. ב. חשב את ההעתק הכולל של הנער בכל ציר בנפרד. בהנחה שהנער השלים כל קטע תוך שעה וחצי, חשב את המהירות הממוצעת שלו )גודל וכיוון( בכל קטע. ד. חשב את ההעתק הכולל )גודל וכיוון( שעבר הנער. ה. חשב את המהירות הממוצעת של הנער לאורך הדרך כולה. ו. איזה העתק )גודל וכיוון( על הנער להוסיף, כדי שיחזור לנקודת ההתחלה? למה שווה ההעתק הכולל במקרה זה? 11. * גוף מתחיל לנוע מנקודה O לנקודה A ועובר 11m בכיוון 0 : צפונה מהמזרח. לאחר מכן הוא עובר לנקודה B הנמצאת 01m דרומה מ- A. בהמשך הוא נע בכיוון 00 צפונה מהמערב ועובר 5m עד לנקודה C. לבסוף עובר הגוף מרחק של 1m: בכיוון 1 : מערבה מהדרום עד לנקודה. D פתור את הסעיפים הבאים בשתי דרכים: )1( בדרך גיאומטרית; )( בדרך אלגברית. א. ב. חשב את ההעתק הכולל OD של הגוף )גודל וכיוון(. איזה העתק )גודל וכיוון( להוסיף לתנועת הגוף, כדי שהעתק הסופי שלו ישתווה לאפס? איזה העתק בגודל מינימלי יש להוסיף אחרי D כך שהווקטור AE יהיה בכיוון צפון- DE דרום? 47 כל הזכויות שמורות לחמד"ע המרכז לחינוך מדעי בתל אביב-יפו

46 פרק ב קינמטיקה של תנועה במישור א. ב. ד. ה. 1. * כאשר גוף נע במסלול שאינו קו ישר, ניתן לסמן את המהירות הרגעית שלו באמצעות וקטור המשיק למסלול בנקודה הנדרשת אשר כיוונו הוא בהתאם למגמת התנועה. גודלו של הווקטור מאפיין את גודל המהירות באותו רגע בנקודה הנתונה. צייר במחברתך מסלול שאינו קו ישר וסמן עליו את מקומות הימצאותו של הגוף בכמה רגעים עוקבים. בהנחה שמרווחי הזמן בין כל שתי נקודות עוקבות שציירת הינם שווים )כמו בתצלום סטרובוסקופי(, סמן בשלוש מהנקודות העוקבות שסימנת בסעיף א' )נקרא להן C( B, A, את וקטורי המהירות הרגעית )יש לקחת בחשבון הן את מגמת התנועה והן את גודל המהירות(. פרט צעדיך. מצא בתרשים את וקטור השינוי במהירות בין שתי הנקודה A ו- B שבחרת, באמצעות חיסור וקטורים בדרך גיאומטרית. פרט את פעולותיך. מצא את וקטור השינוי במהירות בין הנקודה B ו- C שבחרת, על ידי חיסור וקטורים. פרט את צעדיך. לאיזה וקטור אחר יש אותו כיוון כמו לווקטור "השינוי במהירות"? הסבר ונמק את תשובותיך. 13. נתונים ארבעה וקטורים המתחילים כולם בנקודה אחת, שהיא גם ראשית הצירים של מערכת קרטזית. להלן הקואורדינטות של נקודות הקצה של ארבעת הווקטורים:. D (-4,0), C (,8), B ( -3,-5), A (0,6) א. שרטט במערכת צירים את ארבעת הווקטורים הנתונים. ב. פרק לרכיביו הקרטזיים כל וקטור שאינו נמצא על אחד הצירים. סמן את הרכיבים בצבע אחר וחשב את גודלו של כל אחד מן הרכיבים. חשב את רכיבי הווקטור - E השקול לארבעת הווקטורים הנתונים, בכל ציר בנפרד. ד. מהו הווקטור השקול )גודל וכיוון( של ארבעת הווקטורים הנתונים? חשב והסבר מהי המשמעות של הביטוי "וקטור שקול". ה. איזה וקטור )גודל וכיוון( יש להוסיף לארבעת הווקטורים המקוריים, כדי שהשקול של כל חמשת הווקטורים יתאפס? 14. * נתונים שני וקטורים AB ו- CD. הווקטורים נבנים בין הנקודות : B(3,5),A(3,1) (,4)D בהתאמה. א. ב. שרטט את שני הווקטורים במערכת צירים קרטזית. ו- C(8,), מהן הקואורדינטות החדשות של נקודות הסוף 'B ו- 'D, אם מעתיקים את הווקטורים לראשית הצירים? שרטט את הווקטורים אשר מתחילים בראשית הצירים ומצא את הפרשםAB-CD )1( בדרך אלגברית; )( בדרך גיאומטרית )לפי שיטת המשולש(. )גודל וכיוון(:. AB מהי המסקנה CD ד. שרטט במערכת צירים חדשה את הווקטור וחבר אותו לווקטור המתבקשת מהתשובה שהתקבלה? 41

47 א. ב. פרק ב קינמטיקה של תנועה במישור 15. ** נהר זורם מערבה ועליו שטה רפסודה שרוחבה 011 מטר - בכיוון הזרימה. אחד העובדים הולך על הרפסודה מדופן אחת שלה ועד לדופן השנייה בכיוון דרום. בזמן הליכתו מספיקה הרפסודה לעבור מרחק של 1:1 מטר ביחס לגדת הנהר. שרטט תרשים של מה שמתרחש מנקודת מבטו של צופה העומד על הגדה וסמן בו את כל הנתונים, כולל המיקום ההתחלתי והסופי של העובד, וכן מיקומו הסופי של העובד אילו לא היה נע על הרפסודה. חשב את ההעתק של העובד ביחס לגדה )גודל וכיוון(. העובד מרכיב על הרפסודה מנוע שמקנה לה מהירות של 16 קמ"ש ביחס למים. מהירות הזרימה של מי הנהר היא 00 קמ"ש יחסית לגדה. חשב את מהירות הרפסודה ביחס לגדה )גודל וכיוון( בכל אחד מהמקרים הבאים: )i( הרפסודה שטה עם כיוון הזרימה. )ii( הרפסודה שטה נגד כיוון הזרימה. )iii( ביחס למים הרפסודה שטה בניצב לגדה. ד. אילו העובד היה צריך להביא את הרפסודה לנקודה הנמצאת בדיוק מול נקודת המוצא על הגדה הנגדית, באיזו זווית עליו לכוון את הרפסודה הממונעת ביחס למים, אם בהתחלה הרפסודה הייתה בצמוד לגדה הדרומית? הסבר תשובתך. 16. ** ציפור עפה במהירות של 01km/h ביחס לאוויר )כלומר ללא רוח הציפור הייתה מתקדמת ב- 01km/h יחסית לקרקע(. נתון כי מהירות הרוח היא 11km/h מערבה. א. באיזו זווית צריכה הציפור לפנות ביחס לכיוון הרוח, כדי שתעוף בדיוק דרומה? ב. במשך כמה זמן תשלים הציפור מרחק של 01km ביחס לקרקע בתנאים אלה? באיזו זווית צריכה הציפור לפנות ביחס לכיוון הרוח, על מנת שתעוף צפון-מערבה? ד. תוך כמה זמן תעבור הציפור מרחק של 01km ביחס לקרקע בתנאי של סעיף ג'? ה. האם יתכן מצב שבו מהירות הציפור ביחס לקרקע תשתווה לאפס? נמק תשובותיך. 49 כל הזכויות שמורות לחמד"ע המרכז לחינוך מדעי בתל אביב-יפו

48 פרק ב קינמטיקה של תנועה במישור תשובות לתרגילים.15 ב..6 o, 60m.1 ב) ( 61.8m, 38.m (i) 54km/h עם כיוון הזרימה 6.8cm, 5.5cm.3 ב. (ii) 18km/h נגד כיוון הזרימה 8.41cm,.6cm (iii) 40.5km/h ב צפונה מהמערב.4 א o, 54.5 o ד. 30 מזרחה מהצפון ב. לא, כי א. 1.37m.5 ב. ב. 0.91h 4.83m m ד. 0.78h ד ד. לא, כי , 1.1.7, עם הציר ברביע השלישי 6.3 (I) עם הציר, 3.61 (II) +, 0 עם הציר 9 (III) עם הציר, 9.06 (IV) ברביע ביחס ל.9 ב., km, 11.7km ב km ב בכיוון... ד..08km/h בכיוון... ה., 7.58 ביחס ל ברביע m.11 א m מזרחה.13 (-5,9), עם ברביע השני 10.3 ד. B'(0,4) D'(-6,),.14 ב., ביחס ל + ברביע הרביעי